VETORES-TEORIA

VETORES-TEORIA

2010

Prof. Luiz Abelardo Freire - Msc

IFPE

OS CINCO VALORES HUMANOS (BSSSB)

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BSSSB Prof. Luiz Abelardo

VETORES

(a) Grandeza. Exemplo: comprimento – tempo – massa – força – pressão – potência – volume – temperatura – etc. (b) Grandeza Escalar – são aquelas que apenas o módulo mede sua intensidade. Exemplo: 3 litros – 28°C – 2 kg. (c) Grandeza Vetorial – são aquelas que além do módulo precisamos para quantificá-la da direção e do sentido. (d) Definições: módulo = intensidade = número que contém a unidade considerada direção = posição de uma linha reta sentido = modo de se percorrer uma reta (só existe dois) (e) Representação da grandeza vetorial:

móduloaa

módulobb

módulocc

(f) Tipos de Vetores: 1 – Eqüipolentes : são vetores que têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. 2 – Opostos : são vetores que têm mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. 3 – Diretamente Opostos : são vetores que têm mesmo módulo, mesma direção, sentidos opostos e estão na mesma reta suporte. 4 – Colineares : são vetores que estão no mesmo suporte. 5 – Resultante: é um vetor que representa o resultado de uma operação vetorial. 6 – Versor: é o vetor de módulo igual a 1.

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(g) Operações com vetores – Método Geométrico.

baR

abR

(g.1) Adição:

Método do Polígono:

Método do Paralelogramo:

cbaR

(g.2) Subtração:

baR

abR

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(g.3) Produto de um escalar por um vetor:

aR

2 aR

2

(g.4) Produto Escalar de dois vetores. O estudo do Trabalho (energia) realizado sobre um corpo é que proporcionou ver que o resultado da multiplicação de dois vetores, para essa grandeza Trabalho, é chamado de produto escalar de dois vetores. A força é um vetor e a distância percorrida pelo corpo também é um vetor, mas o resultado, que é o produto dos dois vetores, é o Trabalho realizado sobre esse corpo e é uma quantidade de energia, ou seja, é um número, um escalar. Vejamos a definição de Trabalho de uma Força.

coscos dFdFdFW

cosbabaR

Não esquecer que a força (vetor) tem além do módulo, direção e sentido possui ponto de aplicação. (g.5) Produto vetorial. O estudo do Torque de uma força (ou Momento de uma força) realizado sobre uma barra (ou braço de alavanca) que gira em torno de um eixo é que proporcionou ver que o resultado do produto vetorial de dois vetores é um outro vetor. A força é um vetor e o braço de alavanca que é uma distância entre o ponto de aplicação dessa força até o eixo da barra é também um vetor. Veja a definição.

O vetor resultante T

é perpendicular ao plano (xy) que contém deF

.

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dF

e o módulo é sendFdxsenFT

bxaR

e o módulo é senabRR

(g.6) Versor. Versor é um vetor de módulo igual a hum. Se estamos trabalhando no plano xy

teremos dois versores que são jei

. Esses versores são usados para representar

qualquer vetor no plano xy. Veja a figura. Note onde deve ser colocado os versores. (g.7) Decomposição de vetor. Decompor o vetor a

em duas componentes nas direções x e y. Veja.

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(g.8) Escrever um vetor em função dos versores.

yx aaa

ou jaiaa yx

ou jsenaiaa

cos

(g.9) Método Analítico. Soma de dois vetores: Esse método analítico (ou seja, método usando o cálculo) precisa de uma figura para nascer; e essa soma só pode ser feita de dois em dois vetores daí a figura principal ser o paralelogramo.

: ângulo entre os vetores bea

;

:1 direção do vetor resultante em relação a b

;

:2 direção do vetor resultante em relação a a

;

No triângulo retângulo OAC temos:

222 CAAOR (I) mas

cosabAO (II) e

senCBCA ; senaCA (III)

substituindo (II) e (III) em (I) fica: 222 )()cos( senaabR

cos2)(cos 22222 abbsenaR mas 1cos 22 sen e

cos2222 abbaR (módulo do vetor R

)

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OA

AC1tan

costan 1

ab

sena

costan 1

1ab

sena

direção de R

em relação a b

OD

CD2tan

costan 2

ba

senb

costan 1

2ba

senb

direção de R

em relação a a

Vamos agora usar a figura do polígono (triângulo) para resolver o mesmo problema anterior. Nesse caso vamos a lei dos Cossenos que é:

cos2222 abbaR

(módulo de R)

porém para achar a direção de R

temos que usar a lei dos Senos: pela figura vemos que: senasenbCE

senRsenbsenbAD )180(

senRsenasenaBF )180(

para CE obtemos:

sen

b

sen

a

para AD obtemos: sen

R

sen

b

para BF obtemos: sen

R

sen

a

disso surge:

8


sen

R

sen

b

sen

a

Lei dos Senos

daí senR

bsen então sen

R

bsen 1 direção de R

em relação a a

mas senR

asen então sen

R

asen 1 direção de R

em relação a b

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