Vetores apostila 2
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1
Vetores
Vetores do plano ou do espaço são representados por segmentos orientados.
Segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo vetor.
No paralelogramo, a seguir, os segmentos orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v, logo: . v= AB e CD
����������������������������
A
B
C
D
2
Quando escrevemos , estamos afirmando que o vetor é determinado pelo segmento orientado AB de origem A e extremidade B.
Qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o vetor v.
Cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representado por v.
O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor v é, também, o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.
O módulo de v é indicado por .
v= AB ��������������
v
3
Todo ponto do espaço representa o vetor zero, também chamado de vetor nulo, e é indicado por 0.
A cada vetor não nulo v corresponde um vetor oposto –v, que tem o mesmo módulo, a mesma direção e sentido contrário ao de v.
Um vetor v é unitário se .
v.
-v
v 1
4
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção.
u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
.
B.A v
CD.u
. .A Bv C Du
5
Os vetores não nulos u, v e w ( o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano , diz-se que eles são coplanares.
.
B.A u
C
D
.v
.E
Fw
π
π
6
Operações com vetores
Adição de vetores: Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC, respectivamente:
Os pontos A e C determinam o vetor soma . AC = u + v��������������
A
B
C
u v
u + v
7
Operações com vetores
Propriedades da adição:
i) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w).
ii) Comutativa: u + v = v + u.
iii) Existe somente um vetor nulo 0 tal que, para todo vetor v, se tem:
v + 0 = 0 + v = v
iv) Qualquer que seja o vetor v, existe somente o vetor –v , chamado de oposto de v, tal que:
v + (-v) = -v + v = 0 .
8
A
B
C
D
u + v
v + u
u
u
v
v
9
A
B
C
D
u - vv - u
A
B
C
D
uv
- v
u
u
- u
v
v
10
Operações com vetores
Multiplicação de um Número Real por um Vetor: Dado um vetor v (diferente de zero) e um número real k (diferente de zero), chama-se produto do número real k pelo vetor v o vetor u = kv, tal que:
a) módulo: .
b) direção: a mesma de v.
c) sentido: se k > 0 o mesmo de v; e contrário ao de v se k < 0.
u kv k v
.
.
v
2v
.- 3v
11
Operações com vetores
Propriedades da Multiplicação por um Número Real:
i) a(bu) = (ab)u.
ii) (a + b)u = au + bu.
iii) a(u + v) = au + av.
iv) 1u = u.
12
Vetores
O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente.
Calcule:
AB e CD����������������������������
A
D
B
C
a) AD + AB b) BA + DA c) AC - BC1d) AN + BC e) MD + MB f) BM - DC2
������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������ ������������������������������������������
M
N.
.
13
Vetores
.
A
D
B
C
= a) AD + AB AC������������������������������������������
M
N.
.
14
Vetores
.
A
D
B
CM
N.
.
= + = b) BA + DA CD DA CA����������������������������������������������������������������������
15
Vetores
. = = c) AC - BC AC + CB AB����������������������������������������������������������������������
D
B
C
N.
.M
A
16
Vetores
. = = d) AN + BC AN + NM NB + NM AM ou NC���������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������
D
B
C
N.
.M
A
17
Vetores
. = = e) MD + MB MD + DN MN����������������������������������������������������������������������
D
B
C
N.
.M
A
18
Vetores
. = = 1f) BM - .DC BM + MD BD2����������������������������������������������������������������������
D
B
C
N.
.M
A
19
Ângulo de Dois Vetores
.
u
O ângulo de dois vetores u e v não nulos é o ângulo formado pelas semirretas OA e OB e tal que 0 .
θθ
����������������������������
v
0
A
B
θ
20
Ângulo de Dois Vetores
.u v
0
θ=a) Se , u e v têm a mesma direção e sentidos con = trários.
����������������������������
b) Se , u e v têm a mesma direção e o mesmo = 0 sentido.����������������������������
.u v0
θ=0
21
Ângulo de Dois Vetores
.
u
v0
.c) Se , u e v são ortogonais e indica-se: u v= 2
��������������������������������������������������������
v
uu + v
.
A
B
C
2 2 2O ΔOBC permite escrever : .u+v = u + v
22
Ângulo de Dois Vetores
.d) O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor
e) Se u é ortogonal a v e k R , u é ortogonal a kv.��������������
.
f) O ângulo formado pelos vetores u e -v é o suplemento do ângulode u e v
����������������������������
����������������������������
.-v v
θ θ
u
23
. v60º
u
Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60º, determinar o ângulo formado pelos vetores:a) u e -vb) -u e vc) -u e -vd) 2u e 3v
�������������� ��������������
����������������������������
����������������������������
����������������������������
����������������������������
24
.-v v
u
a) u e -v����������������������������
120º60º
25
. v
u
b) -u e v����������������������������
60º
-u 120º
26
.-v v
-u
c) -u e -v����������������������������
60º
60º
u
27
. 3v
2u
d) 2u e 3v����������������������������
60º