Vektorid

Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga – suuruse arvulise väärtusega.

Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks.

Suurust, mille kirjeldamiseks on peale arvulise väärtuse vaja teada tema sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks.

Geomeetrilise vektori all mõistame kindla pikkusega, kindlas sihis paiknevat ja kindlas suunas suunatud suurust.

Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku.

Samaväärne definitsioon:

Skalaarse suuruse väärtuste hulgaks võib olla ka kompleksarvude hulk.

Vektori algus- ja lõpp-punkt

Vektoril on alguspunkt (joonisel punkt A) ja lõpp-punkt (B).

A

B

Algus- ja lõpp-punktiga määratud vektorit tähistatakse:

või kreeka väiketähega

AB

Kollineaarsed vektorid

ABAB

Vektori pikkust e. moodulit tähistatakse AB

Vektori pikkuse all mõeldakse tema algus- ja lõpp-punkti vahelist kaugust.

Vektoreid, mis asuvad paralleelsetel sirgetel (või ühel ja samal sirgel), nimetatakse kollineaarseteks.

Asjaolu, et vektorid ja on kollineaarsed, tähistatakse:

Vektorite võrdsus

Kui kolm vektorit on paralleelsed ühe ja sama tasapinnaga, siis nimetatakse neid komplanaarseteks.

Kaht geomeetrilist vektorit ja loetakse võrdseteks ja kirjutatakse , kui need vektorid on kollineaarsed, samasuunalised ( ) ja ühepikkused .

Kollineaarsed vektorid võivad olla samasuunalised (tähistatakse või vastandsuunalised (tähistatakse .

Vektorid AB ja BA on samasihilised (kollineaarsed) ja sama pikkusega, kuid nende suunad on vastupidised. Kirjutatakse:

AB = – BA

Vektorite liitmine

Vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku, nimetatakse nullvektoriks.

Nullvektorit tähistatakse kreeka tähega (teeta).

Vektorite ja summaks nimetatakse vektorit ja tähistatakse .

ACBCABBCABAC

Vektorite liitmiseks tuleb nad ruumis nii ringi paigutada (iseendaga paralleelselt), et nad moodustaksid murdjoone; seejuures tuleb iga järgnev vektor rakendada eelneva vektori lõpp-punktist. Vektorite summaks on vektor, mis sulgeb murdjoone.

Vektori korrutamine skalaariga

Arvu (skalaari) c ja vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab järgnevaid tingimusi:

1) vektor con paralleelne (kollineaarne) vektoriga c 2) kui c 0, siis vektori csuund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral on vektorid cja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse ja arvu c

absoluutväärtuse korrutamisel: . cc

Lineaarsed tehted

Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks.

Lineaaralgebra on matemaatika haru, mis uurib objekte, millega saab sooritada lineaarseid tehteid.

Geomeetriliste vektorite vektorruumTeoreem 1

Lineaarsed tehted kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmisi omadusi:

1) (liitmise kommutatiivsus);2) (liitmise assotsiatiivsus);3) leidub selline vektor , et iga korral (nullvektori olemasolu);4) iga vektori jaoks leidub selline vektor , et (vastandvektori olemasolu);5) iga a, b R ja V korral;6) iga a R ja V korral;7) iga a, b R ja V korral;8) 1iga V korral.

korral , iga V korral ,, iga )()( V

V V

V V baba )( aaa )(

)()( baab

Omadused 1 – 8 annavad meile õiguse nimetada hulka V vektorruumiks.

Aritmeetilised vektoridn-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a1; a2; ... ; an), võetuna kindlas järjekorras.

);...;;( 21 naaaTähistame:

Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulka tähistatakse Rn ja teda nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks ruumiks.

Lineaarsed tehted aritmeetilises ruumis

Aritmeetiliste vektorite ja summaks

nimetatakse aritmeetilist vektorit

);...;;( 21 naaa );...;;( 21 nbbb

);...;;( 2211 nn bababa Skalaari c ja aritmeetilise vektori korrutiseks nimetatakse aritmeetilist vektorit

).;...;;( 21 ncacacac

);...;;( 21 naaa

Aritmeetiliste vektorite vektorruum

Lineaarsed tehted n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis rahuldavad teoreemis 1 toodud kaheksat omadust.

Teoreem 2

)0;...;0;0(Nullvektor n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis :

Vektori vastandvektor: );...;;( 21 naaa

Seega moodustavad n-mõõtmelised aritmeetilised vektorid vektorruumi.

Vektorite skalaarkorrutisAritmeetiliste vektorite ja skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu

);...;;( 21 naaa );...;;( 21 nbbb

nni

n

ii babababa

...22111

Teoreem 3

Skalaarkorrutis n-mõõtmelises ruumis V = Rn rahuldab omadusi1) korral; 2) korral (kommutatiivsus);3) korral (distributiivsus);4) korral (distributiivsus);5) korral.

V iga 0 ; kui siis, parajasti 0 V , iga

V ,, iga )()()(V ,, iga )()()(

R aVaaa ja , iga )()()(