VECTORES

Nota. Para esta actividad debes tener instalada java en tu PC, descargarla gratis en www.java.comEn las siguientes actividades reforzars la suma y la descomposicin de vectores. Para cada uno de las actividades propuestas en las siguientes pginas web describe los pasos que se realiza para sumar y descomponer vectores.

http://www.walter-fendt.de/ph14s/resultant_s.htm http://www.walter-fendt.de/ph14s/forceresol_s.htm

En un documento en MS Word, mediante cinco ejemplos diferentes explica cmo sumar dos y tres vectores, y cinco ejemplos diferentes de cmo descomponer un vector y expresarlo usando vectores unitarios. Utiliza imgenes, diagramas, fotos o esquemas en tus explicaciones. Realiza esta actividad y envala a travs de Vectores. .- Suma de Vectores.

Mtodo Grfico

Para sumar escalares, como tiempo, se usa la aritmtica simple. Si dos vectores se encuentran en la misma recta tambin podemos usar aritmtica, pero no as si los vectores no se encuentran en la misma recta. Por ejemplo, si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendr una magnitud de 5 km y un ngulo = 36.87 respecto del eje x positivo. Ver figura:

Vectorialmente, el desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores V1 y V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 Esta es una ecuacin vectorial.

La regla general para sumar vectores en forma grfica (con regla y transportador), que de hecho es la definicin de cmo se suman vectores, es la siguiente:(1) Use una misma escala para las magnitudes. (2) Trace uno de los vectores, digamos V1(3) Trace el segundo vector, V2, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurndose que su direccin sea la correcta.(4) La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.Este mtodo se llama suma de vectores de cola a punta. Notemos que V1 + V2 = V2 + V1, esto es, el orden no es importante.Este mtodo de cola a punta se puede ampliar a tres o ms vectores. Suponga que deseamos sumar los vectores V1, V2, y V3 representados a continuacin:

VR = V1 + V2 +V3 es el vector resultante destacado con lnea gruesa.Un segundo mtodo para sumar dos vectores es el mtodo del paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este mtodo se trazan ambos desde un origen comn y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen comn.

Ejemplo 1:

Un libro, cuyo peso es de 10 N, se encuentra en reposo sobre una mesa (N representanewton, que es la unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI. Un newton equivale, aproximadamente, a un cuarto de libra).

Ver la figura 1

Figura 1 Los vectores se representan con flechasNote que la flecha representando el vectorwtiene una longitud aproximada de 2 cm, y apunta en la direccin del peso del libro. En este caso se ha elegido una escala tal que 10 N corresponden a 2 cm. Si se aplicara una fuerza horizontal,F, de 15 N, para empujar el libro hacia la derecha, esta fuerza estara representada por una flecha paralela a la superficie de la mesa, con una longitud de 3 cm, ya que cada 5 N equivalen a 1 cm en la escala escogida. Observe que cuando se usa una letra para referirse a un vector sta se escribe ms oscura, para distinguirla de los escalares. Qu longitud tendra una flecha para representar a un vector de 100 N si se usara la misma escala de 5 N por centmetro?

Ejemplo 2:

Asuma que la fuerza necesaria para levantar el peso de una persona adulta es de aproximadamente 600 N. En la escala que se us en el Ejemplo 1, la longitud de la flecha que representara a esta fuerza sera de 600 N / 5 N/CM =120 CM. Claramente en este caso, debido a que en una hoja de papel de maquinilla no tendramos suficiente espacio para dibujar una flecha de esta magnitud, se debe modificar la escala y asumir, por ejemplo, 1 cm por cada 100 N, con lo cual la longitud de la flecha se reducira a slo 6 cm. La eleccin de una escala es asunto de conveniencia para quien quiera usar flechas para dibujar vectores en un espacio limitado al tamao del papel.

Mtodo del polgono para sumar vectoresEste mtodo es geomtrico. Se describe a continuacin mediante el siguiente ejemplo:Ejemplo 3SeanA= 10 N,B= 15 N y C = 5 N tres vectores tales queAapunta directamente hacia la derecha,Bhacia arriba yC, 45 hacia abajo de la horizontal y hacia la izquierda. Note que cuando nos referimos solamente a la magnitud de los vectores los escribimos con trazo delgado. Se quiere representar estos vectores mediante flechas

Figura 2 Tres fuerzas A, B, y C representadas por flechasEl primer paso consistir en elegir una escala conveniente que permita convertir los nwtones a centmetros. Sean 2.5 N = 1 cm. Con esta escala, las longitudes de las flechas que representarn a los vectoresA,ByCsern: longitud deA,

10 N /2.5 N /4 cm =1 cm,longitud deB, 15 N/2.5N/ 1 cm =6 CM, y longitud deC, 5 N / 2.5 N/1 CM= 2 CM

Ver la figura 2

La sumaR=A+B+Ces un nuevo vector, el cual se llamar resultante y se representar conR. Dicha resultante se encuentra luego de unir el comienzo del vectorAcon el final del vectorC, una vez que los vectoresByCse han trasladado de su posicin original a nuevas posiciones en las cuales el comienzo deBse une al final deA, y el comienzo deC, al final deB. Ver la figura 3

Figura 3 Las mismas fuerzas A, B y C, formando un polgono con la resultante RLa magnitud de la resultante se encuentra midiendo la longitud deRy convirtindola a newton. En este ejemplo la longitud medida es de 5.2 cm, lo que equivale a 13 N.

Para determinar la direccin deRse mide con un transportador el ngulo entreAyR.

Su valor es de 60. Es evidente que el uso de este mtodo requiere papel, lpiz, utensilios de geometra y habilidad para dibujar, medir y usar dichos utensilios correctamente. El mtodo es muy sencillo pero requiere la inversin de tiempo, y su precisin no es muy buena. En la siguiente seccin veremos cmo sumar estos mismos vectores de una manera ms fcil, precisa y rpida

Mtodo por componentesEn este mtodo analtico se descompone cada vector en dos componentes perpendiculares entre s, segn ilustraremos en el ejemplo 4Ejemplo 4Sean nuevamente los vectoresA,ByCdel ejemplo 3. El primer paso para sumar analticamente estos tres vectores consiste en definir un sistema de coordenadas cartesianas, gracias al cual se especificar la direccin de cada vector. Note que en este mtodo todos los vectores se colocan con su extremo inicial en el origen. Ver la figura 4. Se descompondr cada uno de estos vectores en sus componentes horizontales y verticales. Para hacer esto considrese la figura 5. En esta figura se muestra el vectorFlocalizado en un sistema coordenado cartesiano. La magnitud del vector es proporcional a la longitud de la flecha, mientras que su orientacin est determinada por el nguloque el vector hace con el lado positivo del ejex. Observe que el tringulo Oabes recto en el vrticea. El lado Oaes el cateto adyacente al ngulo.El ladoabes opuesto al ngulo, y el segmento Obes la hipotenusa del tringulo. El segmentoabes paralelo al ejey, y elcb, paralelo al ejex. Se ha designado comoFxal segmentoOa,Fyalab, yFa la flechaOb

Descomposicin de vectores en sus componentes

Al igual que se pueden combinar dos vectores en uno, o sea su suma, tambin es posible hacer lo contrario; dado un vector, encontrar los dos vectores cuya suma es el vector primitivo..

Imagine que el vector dado est representado por la fecha AB del dibujo y queremos descomponerlo en las partes de la suma de dos vectores dirigidos a lo largo de AA' y AA". Dibujamos lneas a lo largo de AA' y AA" y tambin lneas paralelas a ellas desde B, el otro final del vector. Si AA' y AA" son perpendiculares entre si (lo usual), entonces estas lneas encierran un rectngulo ACBD, donde AB es su diagonal. Es evidente que AC y CB son la solucin a nuestro problema y en la suma de vectores

AC + CB = AB

DESCOMPOSICION DE VECTORESProblema 1Una caja es empujada sobre el suelo por una fuerza de 20 kg. que forma un ngulo de 300 con

la horizontal. Encontrar las componentes horizontal y vertical.

FX = F cos 30

FX = 20 cos 30

FX = 17,32 Kg.

FY = F sen 30

FY = 20 * (0,5)

FY = 10 Kg. DESCOMPOSICION DE VECTORESProblema 2

Un bloque es elevado por un plano inclinado 200 mediante una fuerza F que forma un ngulo

de 300 con el plano.

a) Que fuerza F es necesaria para que la componente FX paralela al plano sea de 8 Kg.

b) Cuanto valdr entonces la componente FY

FX = 8 Kg

FX = F cos 30

8 = F cos 30

8 = F 0,866

F = 9,23 Kg.

FY = F sen 30

FY = 9,23 * (0,5)

FY = 4,61 Kg.

Descomposicin y composicin rectangular de vectores por mtodos grficos y analticos.Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un nmero mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un nmero mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposicin. Si el sistema equivalente tiene un nmero menor de vectores, el procedimiento se denomina composicin.

En la siguiente,

EJEMPLO 3

se muestra un vector a cuyo punto de aplicacin se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una lnea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores ax y ay as formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a. se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ngulo (90).

Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composicin. Un ejemplo: encontrar grafica y analticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.

Solucin por mtodo graficoPara encontrar de manera grafica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N

Trazamos nuestro vector al medir el ngulo de 30 con el transportador. Despus a partir del extremo del vector, trazamos una lnea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y. en el punto de interseccin del eje X quedara el extremo del vector componente Fx. En el punto de interseccin del eje Y quedara el extremo del vector componente Fy. En ambas componentes su origen ser el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual estamos descomponiendo:

Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34N.

Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y segn la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.EJEMPLO 4Solucin por mtodo analticoAl fin de determinar el valor de las componentes de manera analtica observemos que se forma un triangulo rectngulo al proyectar una lnea hacia el eje de las X y otro al proyectar una lnea hacia el eje de las Y. trabajaremos solo con el triangulo rectngulo formado al proyectar la lnea hacia el eje de las X. las componentes perpendiculares del vector F sern: para Fx el cateto adyacente y par Fy el cateto opuesto al ngulo de 30. Por lo tanto debemos calcular cuanto valen estos dos catetos; para ello, utilizaremos las funciones trigonometricas seno y coseno.Calculo de Fy:

Sen 30 = cateto opuesto =FyHipotenusa F

Despejemos Fy:

Fy = F sen 30 = 40N x 0.5 = 20N

Calculo de Fx:

Cos 30 = cateto adyacente = FxHipotenusa F

Despejemos Fx:

Fx = F cos 30 = 40N x 0.8660 = 34.64N

Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera grafica y analtica, encontraremos una pequea diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes grficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analtica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisin.

EJEMPLO 5- La lmpara de la figura que pesa P est sostenida por dos cuerdas como muestra la figura. Si la fuerza que hace cada una es P, entonces los ngulos y son respectivamente:

a) 45 y 45 b) 37 y 53 c) 30 y 60d) 53 y 37 e) 30 y 30 f) 60 y 30

Bien, ah tens el DCL. Lo hice sobre el nudito superior a la lmpara. Exager un poquito ms la inclinacin de las cuerdas para que y resulten bien diferentes y no nos veamos tentar a usar alguna propiedad que no tengan... pero que parezca.Babrs visto que los y que represent son los mismos que los de la figura del problema. En realidad no son los mismos, pero valen lo mismo. Como se llamaban? Ah, ya s: alterno internos entre paralelas.Tambin debs tener en claro (es dato del problema) que TA = TB= P

Este DCL es un poco incmodo voy a reemplazar las tensiones por sus respectivas componentes, abajo est.

En la descomposicin vectorial tenemos

TAx = TAcos = P cos TBx = TBcos = P cos TAy = TAsen = P senTByx = TBsen = P sen

Ya podemos aplicar la 2da ley de Newton para los dos ejes

Fx = 0 TBx TAx = 0 Fx = 0 TAy + TBy P = 0 Reemplacemos por las expresiones que contienen los ngulos

P cos P cos = 0 P cos = P cos cos = cos P sen + P sen P = 0 P sen + P sen= P Resumiendo. Del primer rengln nos queda:

cos = cos que significa ni ms ni menos que = . Y del segundo rengln

sen + sen = 1Paro ahora sabemos que son iguales, as que podemos escribir

sen + sen= 12 .sen = 1sen =

= = 30