Tema 1: Vectores -...
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Semana 1: Tema 1: Vectores
1.1 Vectores y adición de vectores
1.2 Componentes de vectores
1.3 Vectores unitarios
1.4 Multiplicación de vectores
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Vectores
Los vectores son cantidades que tienen
tanto magnitud como dirección y
sentido y que siguen ciertas reglas de
combinación.
Ejemplos: fuerza, velocidad,
aceleración, campo eléctrico, campo
magnético, etc.
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Representación gráfica de
un vector
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Componentes rectangulares
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En tres dimensiones
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SUMA DE VECTORES
(GRÁFICAMENTE)
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SUMA(RESTA) DE VECTORES
(GRÁFICAMENTE)
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Propiedades de la Suma de Vectores
)asociativa(ley f )e d( )f e (d b)
a)commutativ(ley ab ba a)
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Vectores unitarios
Todo vector que tenga magnitud igual a
la unidad de medida se define como
vector unitario.
Ejemplo:
En general todo vector es
un vector unitario
un
n
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Ejemplo 1.1:
¿Cuáles son las componentes de un
vector a en el plano xy si su dirección es
de 252° antihorario del eje x positivo y su
magnitud es de 7.34 unidades?
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Respuesta :
:gráfica
siguiente lahacer podemospiden que loentender Para
.ay ahallar debemos , a es vector nuestro si decir, es
res,rectangula scomponente las pidiendo esta problema El
:Solución
Unidades7.34 Magnitud , 252
:Datos
yx
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98.6y 27.2
:obteniendo
)252(34.7y )252cos(34.7
: valoresdosustituyen
)(y )cos(
: tenemosgráfica la departir A
00
yx
yx
yx
aa
senaa
asenaaa
ji
aa
asena
yx
yx
98.627.2a :Respuesta
98.6y 27.2
:obteniendo
)18cos(34.7y )18(34.7
decir es salen, no cálculo losen pues scomponente
las de signos los presente tener debemos caso esteen ,18 de
ángulo elcon trabajar podemos también queObserven
00
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Ejemplo 1.2:
La componente “x” de cierto vector es de
-25 unidades y la componente “y” es de
43 unidades. ¿Cuál es la magnitud del
vector y el ángulo entre su dirección?
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Respuesta:
83.59)25
43(tan)(tan
74.494325
:quesaber Debemos
:Solución
y piden nos , 43y 25 que
tenemosb : como vector nuestro osconsideram Si
:Datos
11
2222
x
y
yx
yx
b
b
bbb
b bb
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:problema del gráficación representa una Hagamos
0
000
120.17y 49.74b :Respuesta
17.12083.59180180
:tenemos
positivo x eje el desde es respuesta nuestra Como
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Ejemplo 1.3
Una pieza pesada de maquinaria es
elevada y deslizada a lo largo de 13 m en
un plano inclinado orientado a 22° de la
horizontal, como se muestra. (a)¿A qué
altura de su posición original es
levantada? (b)¿A qué distancia se movió
horizontalmente?
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Respuesta
m. 12 b)y 5m a) :Respuesta
586.4)22(13
: tenemoscaso esteen y opuesto
cateto elcon relacionar puede se sube que lo es Como
12)22cos(13
:que lopor dado ángulo al adyacente cateto elcon
relacionar puede se pieza la avanza que lo es Como
:Solución
? b)y ? a) ;22 ;13
:Datos
msenL
L
mL
L
LLmL
y
y
x
x
xy
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Ejemplo 1.4:
Una partícula viaja 20 km hacia el norte y
después 35 km en dirección 60° al oeste
del norte. Encuentre la magnitud y
dirección del desplazamiento resultante.
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Respuesta:
Norte del Oeste al 60 ;35 ;90 ;20
:Datos
kmbkma
bac
entodesplazamiun dedirección y magnitudpiden Nos
.15090
ánguloun de hablando estaríamos x,las de positivo
eje el desde b de ángulo el tomamossi quedecir es
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kmjic
bacbac
senbb
aa
yyyxxx
yx
yx
02.485.37305.3730
5.37y 30
:decir es
5.17)150(35y -30)150cos(35
20y 0
:Solución
22
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:que de hecho el empleamos
entodesplazami vector deldirección lahallar Para
129 48km; :Respuesta
128.6651.34-180 :obtenemos positivo
x eje al Respecto ;34.5130
5.37tan)(tan 11
x
y
c
c
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Ejemplo 1.5:
Dos vectores están dados por
y .
Halle:
(a) , (b) ,
( c) un vector tal que .
kjia 34
kjib 4
ba
ba
c
0cba
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Respuesta:
.k3j4i5k41
j13i14k4jikj3i4ba b)
.k5j2i3k41
j13i14k4jikj3i4ba a)
:Solución
0cba :que talcHallar c)y
?ba b) ;?ba a) ;k4jiby kj3i4a
:Datos
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k3j4i5
bac0cba c)
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Ejemplo 1.6:
Hallar el vector unitario que se
encuentra en la dirección del vector
.
u
kjin 33
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Respuesta:
:pide se que loilustrar a ayuda gráfica idea La
:Solución
kj3i3n dedirección laen cuentraen se ;?u
:Datos
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kjikji
n
nu
n
nn
n
23.069.069.036.4
33
:manera siguiente la de
procedemos , dedirección laen unitarioun vector hallar Para
unitario.
un vector es no luego ,136.4133
: de magnitud la Hallemos
222
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Ángulos directores
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Ejemplo 1.7:
Hallar los ángulos directores del vector
.
kjin 33
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Respuesta:
74.76)36.4
1(cos
y 52.46)36.4
3(cos :teAnálogamen
52.46)36.4
3(cos :decir es
)(cos)cos()cos( Como
:Solución
kj3i3n vector del y ;Hallar :Datos
1
1
1
1
n
n
n
nnn xx
x
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Multiplicación de vectores
Un vector por un escalar
Producto punto o producto escalar
Producto cruz o producto vectorial
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Un vector por un escalar
El producto de una escalar por
un vector , escrito , se
define que es un nuevo vector cuya
magnitud es
. El nuevo vector tiene el
mismo sentido que si es
positivo y el sentido opuesta si es
negativo.
c
a c
a
c a
ac
a cc
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Producto punto o producto
escalar
Se define como:
zzyyxx babababa
)cos(
abba
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Ejemplo 1.8:
Use las ecuaciones anteriores para
calcular el ángulo entre los dos vectores
.
kjibkjia 32y 333
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Respuesta:
26.2245.19
18cos
74.32.5
331323cos
312333
.k3ji2 k3j3i3
cosba
cos )cos(ba
: despejando ),cos(ba :que Conocemos
:Solución
.k3ji2by k3j3i3a
vectoreslos entre ocomprendid ?,Hallar :Datos
11
22222
11
abab
ab
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Producto cruz o vectorial
Se define como:
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
bac
)sen(abbac
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Ejemplo 1.9:
Tres vectores suman cero, como se
ilustra. Calcule
(a) ,
(b) , y
( c ) .
ba
ca
cb
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Respuesta:
k12
030
004
kji
ba luego j3by i4a
: tenemos,a de inicio elen origen el Suponiendo : víaOtra
k12k)90(ba
: xyplano elen están que Suponiendo a)
:Solución
cb c)y ca b) ;ba a)hallar ,0cba :Datos
absen
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:decir es origen, mismo del saliendo
vectoreslosponer econvenient es caso este para ,? b)
ca
k12k)13.143(54k)13.143(ca :Luego
143.1336.87-180-180 luego
,180 además ,87.36)4
3(tan que Observa 1
senacsen
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:decir es origen, mismo del saliendo
vectoreslosponer econvenient es caso este para ,? c)
cb
k99.11
k)87.126(53k)87.126(cb
:luego
;87.12687.3690 caso esteEn
senbcsen
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Ejemplo 1.10:
Se tienen dos vectores en el plano, cuya
suma es el vector c=(3, -5), y de tal forma
que uno de los vectores sumando tiene
una magnitud de 3 y su ángulo director es
de 1.3 rad. Determine el ángulo, en rad,
que hace el vector resultante con el
segundo de los vectores.
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Respuesta:
ji
jsenijaseniaa
a
ba zz
89.28.0
)3.1(3)3.1cos(3)()cos(
:decir es ,avector
del resrectángula scoordenada lashallar podemos ,y aCon
:Solución
.by c
hace que radianesen ,Hallar rad. 1.3 ,3 sea ,cba
que tal,0 donde ,by a vectoresdos los Sea :Datos
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rad. 26.0)
83.519.8
05.46(cos)(cos
:obtenemos despejando ),cos(
:decir es escalar, producto el
emplear debemos vectoresdos entre ángulo elhallar Para
89.7y 2.2 :luego
,89.72.2)89.28.0(53decir es
,5389.28.0 que tenemos, Como
1-1-
bc
cb
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jijijib
jibjicba
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Ejemplo 1.11:
El producto vectorial de dos vectores es
c=(-4, 2, 0) ,de tal forma que uno de los
factores es a =(0,0,-1), determina al
segundo de los factores si su magnitud es
igual a 5.
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Respuesta:
?y 4 ,2 : que concluye se aquí de
24)(100ba
:Solución
5.b si
,bhallar ,cba que tal,by a vectoreslosSean :Datos
zyx
xyyx
zyx
bbb
jijbibibjb
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542by 542b
:problema elpor dadas
scondicione las satisfacen que vectoresdosExisten
:Respuesta
5 :decir es b5
b2025b1645 5b Como
21
2
z
2
z
2
z
kjikji
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Ejemplo 1.12: Cap3 Servey N°4.
Dos puntos en el plano tienen coordenadas polares (2.50m;30.0°)
y (3.80m;120.0°). Determine a) las coordenadas cartesianas de
estos puntos y b) la distancia entre ellos.
Ejemplo 1.13: Cap3 Servey N°10.
Un avión vuela desde su campamento base hasta el lago A, a una
distancia de 280 km en una dirección de 20.0° al norte del este.
Después de dejar caer provisiones vuela hacia el lago B, ubicado
a 190 km y 30.0° al oeste del norte desde el lago A. Determine
gráficamente la distancia y la dirección desde el lago B al
campamento base.
Ejemplo 1.14: Cap3 Servey N°14.
Un perro que busca un hueso camina 3.5 m hacia el sur, después
8.2 m en un ángulo de 30.0° al norte del este y finalmente 15.0 m
al oeste. Encuentre el vector desplazamiento resultante del perro
utilizando técnica gráficas.
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Ejemplo 1.15: Cap3 Servey N°30.
El vector A tiene componentes y de -8.70 cm y 15.0 cm,
respectivamente; el vector B tiene componentes x y y de 13.2
cm y -6.6 cm, respectivamente. Si A - B + 3C=0, ¿Cuáles son
las componentes de C?
x y
Ejemplo 1.16: Cap3 Servey N°36.
Un mariscal de campo toma el balón desde la linea de golpeo,
corre hacia a tras 10 yardas y después recorre 15 yardas en
paralelo a la misma línea de golpeo. En este punto lanza un
pase recto de 50 yardas dentro del campo, perpendicular a la
línea de golpeo. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento
resultante del balón de futbol?
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Ejemplo 1.17: Cap3 Servey N°40.
Usted se encuentra de pie sobre el piso en el origen de un
sistema coordenado. Un aeroplano vuela sobre usted con
velocidad constante paralela al eje x y a una altura constante de
. En t = 0 el aeroplano está directamente encima
de usted, por lo que el vector desde usted al aeroplano está
dado por . En t = 30.0 s, el vector de
posición que parte de usted al aeroplano es de
Determine la magnitud y orientación del vector posición del
aeroplano en t = 45 s.
m 1060.7 3
jP )m 1060.7( 30
jiP )m 1060.7(m) 1004.8( 3330
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Vectores
El profesor orientará la tarea y cuando
deberás hacer el examen
correspondiente a esta Tarea.
Fin del Tema 1