Probabilidade e EstatísticaProf Leoni

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VAC

Variáveis Aleatórias Contínuas

- Função de densidade de probabilidade; - Função de distribuição acumulada; - Esperança e variância; - Distribuição uniforme contínua.

Usar: MINITAB PROCONF R

Função de densidade de probabilidade

Função de densidade de probabilidade

O comportamento probabilístico de uma variável aleatória contínua é descrito pela sua função de densidade de probabilidade.

Uma FDP é uma função f(x) que satisfaz as seguintes propriedades:

1. f(x) ≥ 02. A área total sob o gráfico de f(x) tem de ser igual a 1.

Função de distribuição acumulada

FX(x) = Pr (X ≤ x)

Esperança e variância de V.A. contínuas

Help do Software R apresenta alguns modelos para VAC.Digite: > ?Distributions

For the beta distribution see dbeta. For the Cauchy distribution see dcauchy. For the chi-squared distribution see dchisq. For the exponential distribution see dexp. For the F distribution see df. For the gamma distribution see dgamma. For the log-normal distribution see dlnorm. For the normal distribution see dnorm. For the Student's t distribution see dt. For the uniform distribution see dunif. For the Weibull distribution see dweibull.

Distribuição uniforme

Densidade da distribuição uniforme no intervalo [a, b].

Função de distribuição acumulada

FX (x) = Pr (X ≤ x)

Esperança e variância

E (X) = (a + b)/2

O cálculo da variância requer cálculo integral, e pode-se mostrar que

Var (X) =(b − a)2/12

Considere a função fX apresentada

1. Encontre o valor de k para que fX seja uma função de densidade de probabilidade de uma v.a. X.

2. Determine a equação que define fX.3. Calcule Pr(2 ≤ X ≤ 3).4. Encontre E(X).5. Encontre a função de distribuição acumulada de X.

1. Como a área tem que ser 1, temos de ter 1 = (5 − 1) × k ⇒ k =1/4

2. fx

3. A probabilidade pedida é a área sombreada

Pr(2 ≤ X ≤ 3) = (3 − 2) ×1/4=1/4

4. Por argumentos de simetria, a esperança é o ponto médio, ou seja, E(X) = 3.

5. Para x < 1, temos que FX(x) = 0 Para x > 5, temos que FX(x) = 1 Para 1 ≤ x ≤ 5, FX(x) é a área de um retângulo de base (x − 1) e altura ¼

FX(x) =(x – 1)/4

A quantidade de líquido (x) utilizada em latas de coca-cola tem distribuição uniforme no intervalo 345 ml a 355 ml, ou seja, X ∼ U[345, 355]. São rejeitadas pelo processo de controle de qualidade as latas que possuam menos de 346 ml ou mais de 354 ml.(a) calcule Pr(X > 353); (b) calcule Pr(X < 346); (c) qual é a proporção de latas rejeitadas ?

Seja X = “conteúdo da lata de coca-cola”. Então, X ∼ U[345, 355]

(a)Pede-se Pr(X > 353) = 1 − Pr(X ≤ 353) = 1 − FX(353) = 1 – (353 – 345)/(355 – 345) = 0, 2

(b) Pede-se Pr(X < 346) = Pr(X ≤ 346) = FX(346) = (346 – 345)/(355 – 345)= 0, 1

(c) Pede-se Pr(350 − 4 < X < 350 + 4) = Pr(346 < X < 354) = Pr(X ≤ 354) − Pr(X ≤ 346) = (354 – 345)/(355 – 345) – (346 – 345)/(355 – 345) = 0, 8Logo, a proporção de latas rejeitadas é 1−0, 8 = 0, 2, ou seja, 20% das latas são rejeitadas pelo processo de controle de qualidade. É uma proporção bastante alta.