Uvrtne Zavojne Opruge_predavanja i Vezbe

7/30/2019 Uvrtne Zavojne Opruge_predavanja i Vezbe

http://slidepdf.com/reader/full/uvrtne-zavojne-oprugepredavanja-i-vezbe 1/58

Mehanički funkcionalni elementi 1

Uvrtne zavojne opruge

Opruge kao pogonski elementi

Uvrtne opruge se koriste uglavnom za realizovanje obrtnog

kretanja elemenata konstantnog ili promenljivog momenta inercijeza osu opruge J.

Zadatak opruge je da realizuje zahtevano ugaono pomeranje

elementa φk u vremenskom intervalu tk .




Primeri primene uvrtnih zavojnihopruga kao pogonskih elemenata






Uvrtne zavojne opruge

Oprugu treba tako dimenzionisati da sopstvena kružna frekvencasistema ω1 i početni otklon φp, za zadate vrednosti parametara

opterećenja i uslove oslanjanja nepokretnog kraja opruge,

zadovolje zahtev:

)tcos1( k 1pk ω





Uvrtne zavojne opruge – model prostornozakrivljenog štapa izloženog savijanju

Uvrtne zavojne opruge se izrađuju s korakom koji i pri početnom

otklonu obezbeđuje zazor između zavojaka opruge čime se

eliminiše uticaj trenja među zavojcima na karakteristiku opruge.

Opruga je jednoznačno definisana izborom vrednosti prečnika žice

d, srednjeg prečnika opruge Dm, broja zavojaka n, dužina krakova

l1 i l2 i izborom materijala od koga će opruga biti izrađena.






Tangencijalno (a), radijalno (b) i aksijalno (c) izvođenje krakova






Mdf 7.0 σ

df Mfp 4.0 σ

32dM3

fppπσ

L64

dE

L

EIc

4z π=

21t lllL +

21m llnDL +

( ) 22mt

m )da(nDnl4Dda +

( )21mMp

p llnD

Ed

8.0

c

M+=

ϕσdf - dopušteni napon na savijanje

σM- zatezna čvrstoća

σfp- napon na savijanje pri početnom otklonu

Mp - moment savijanja pri početnom otklonu

cφ

- krutost uvrtne zavojne opruge

E - modul elastičnosti čelične žice za opruge

n - broj zavojaka opruge

a - zazor između zavojaka






Sa smanjenjem broja zavojaka i povećanjem dužine krakova

opruge raste i uticaj ugla savijanja krakova na ugaono zakretanje

pokretnog kraja opruge.

Korigovana vrednost ugaonogzakretanja može se računski

odrediti uvođenjem korigovane

krutosti opruge:

3

l

3

ll

EIc

21t

z

+=






p

mmpn2

n2DD

ϕπ=

tp

mmpupdd

n2

n2DdDD ≥

ϕ

π=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+1

dd

Dn2

t

mp

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+

ϕ≥1

dd

D2

n

t

m

p

upt D95.0d ≤

Dmp - srednji prečnik opruge pri poč. otklonu

Dup – unutr. prečnik opruge pri poč. otklonu

φp - početni otklon

dt - prečnik trna


d - prečnik žice opruge






Približna vrednost sopstvene kružne frekvence:

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

ϕ

ϕ−

p

k

k

1arccos

t

1

Obično se usvajaju vrednosti: 1p

k ≤ϕϕ

•da bi opruga i nakon realizovanja zahtevanog pomeranja φk

raspolagala određenim obrtnim momentom,

•da bi se smanjilo oscilovanje opruge po završenom pomeranju






Približna vrednost prečnika žice opruge:

4 2

E

LJ64

d ωπ d - prečnik žice opruge

L - dužina žice opruge

J - moment inercije pokretnog elementa

ω - približna vrednost sopstvene kružne frekvence







Od izbora vrednosti odnosa φk /φp zavisi i procena broja zavojaka

u početnoj fazi proračuna opruge:

2

p

k

k

18.3n

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

ϕϕ

ϕ

≈

na bazi koje odlučujemo kojim od dva predložena modela

dimenzionisati oprugu






Predviđene su tri varijante veze odgovarajućeg kraka opruge sa

nepokretnim referentnim sistemom:

uklještenje zglobna veza oslanjanje




Primer proračuna uvrtne zavojneopruge – prostorno zakrivljeni štap


Dimenzionisati uvrtnu zavojnu oprugu koja treba da pomeri obrtnu

polugu mase m = 33g za φk = 15o u vremenskom intervalu

tk = 5ms. Pomeranje treba realizovati oprugom sa radijalnim

kracima, dužine l1 = l2= 37.7mm, navučenom na trn pre

čnikadt = 14mm i vezanom sfernim zglobom za postolje. Moment

inercije poluge za obrtnu osu koja se poklapa sa osom opruge je

J = 6136gmm2. Sopstvenu kružnu frekvencu odrediti

diskretizacijom mase opruge na 12 diskretnih masa po zavojku(β = 30o).






Za početni otklon usvojimo vrednost:

op 30

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ϕϕ 1

p

k

Očekivani broj zavojaka je: 33.3

30

15

1218.318.3n2

o

o2

p

k

k =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

π

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

ϕϕϕ≈

Opruge sa n < 8 treba dimenzionisati modelom prostorno

zakrivljenog štapa






a) Približna vrednost sopstvene kružne frekvence:

( ) 1

p

k

k

s44.2095.01arccoss005.0

11arccos

t

1 −=⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

ϕ

ϕ−





Mehanizmi u mehatronici Opruge kao pogonski elementi

b) Usvajamo vrednost:

025.1D

D

dd

D

mp

m

t

m =+

( )upt D95.0d ≤

Broj zavojaka opruge: ( )33.3

1025.12

6

1dd

D2

n

t

m

p =−

π=

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛−

+

ϕ≥

usvajamo: n = 4






c) Usvajamo srednji prečnik opruge: ( )tm dD >

mm16Dm =






d) Dužina žice opruge:

mm46.276mm7.37mm7.374mm16llnDL 21m =

Prečnik žice opruge:

mm65.1s44.209

mm

N1006.2

gmm6136mm46.27664

E

LJ64d

4

22

2

5

2

4 2 =⋅

⋅=

π−

Usvajamo: ds = 1.7mm

( )mm14dmm3.14mm7.1mm16dD tsm =






e) Zatezna čvrstoća:

2Msmm

N1460mm7.1d =

Dopušteni napon na savijanje:

22Mdf mm

N

1022mm

N

14607.07.0 =






f) Granične vrednosti početnog otklona:

o

2

5

2M

p83.52rad922.0

mm7.1mm

N1006.2

mm46.276mm

N14608.0

Ed

L8.0=

⋅

⋅=≤

o

t

mp 52.27rad48.01

mm7.1mm14

mm16421

dd

Dn2 =

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛−

+

Usvajamo nižu graničnu vrednost: φpg = 27.52o






g) Masa zavojnog dela opruge:

g58.34mm16

4

mm7.1

mm

kg1085.7nD

4

dm

22

3

6m

2s

o =⋅ρ −

Sopstveni moment inercije opruge:

2222

moo gmm28.229

4

mm16g58.3

4

DmJ =






Ukupna masa opruge:

g926.4mm46.276

4

mm7.1

mm

kg1085.7L

4

dm

22

3

62s

ou =⋅ρ −

Ukupni moment inercije opruge:

( ) ( ) 232

31m

22

21

2m21

2mto

ou gmm94.13563

ll2

Dll4

Dll4Dl

LmJ =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++






h) Karakteristična vrednost osnovnog harmonika: k = 0.00139

4444

sz mm40998.0

64

mm7.1

64

dI ===

Tačna vrednost sopstvene kružne frekvence osnovnog harmonika:

133

4

2

5

ou3m

z1 s847.21500139.0

g926.4mm16

mm41.0

mm

N1006.28

k mD

EI8 −=⋅

⋅

=






i) Početni otklon:

( ) ( )o

1k 1

k p 41.28rad4958.0

s005.0s8.215cos1

2618.0

tcos1=

⋅ωϕ

= −

o

pgp

o

52.2741.28 =dt = 13.9mm

ds = 1.7mm

Dm = 16mmn = 4

φp = 28.41o

ω1 = 215.85s-1

dt = 14mm

ds = 1.7mm

Dm = 17mm

n = 4

φp = 30.29o

ω1 = 208.32s-1





Uvrtne zavojne opruge – model šupljegcilindra izloženog uvijanju

Kod uvrtnih opruga sa više od osam zavojaka i trnom uticaj vrste

veze krajeva opruge sa postoljem i obrtnim elementom se može

zanemariti.

Sopstvena kružna frekvenca se u tom slučaju može lakše odrediti

modelom torziono elastičnog šupljeg cilindra čija je dužina

jednaka dužini opruge, krutost pri uvijanju jednaka krutosti uvrtne

opruge, a jednaki su i aksijalni momenti inercije mase po jedinicidužine ose opruge.






fpp

pEd

L2cM σ

ϕ

o

4

1

o

11LJ64dEk

Jck π=ϕ

16

nDd

4

D

mJ

3m

222m

oo

ρπ

=

( )k 1

p

k tcos1 ωϕϕ

−

φp

- početni otklon

Mp - moment savijanja pri početnom otklonu

cφ

- krutost uvrtne zavojne opruge

L - dužina žice opruge

σfp - napon na savijanje pri početnom otklonu




mo - masa zavojnog dela opruge

Dm - srednji prečnik opruge

ρ - gustina materijala žice opruge

φk - ugaono pomeranje elementa

tk – vremenski interval






⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ρσϕ− E

nDd

2tk cos

nDdE

21

2m

k 12

mfp

k

ρ

E

nD

d

2

t

k p 2m

k

1

k

k

fp1 tE

k

1a

ϕρ

σ

pcosDpa1 m =

( ) 33.2p7246.0aDmaxm =




( )srmg1sr

fp

mg1 ,Dk E

7246.0Dk ω

σ



( )srggg1gg1 k k ctg ω

oJ

J=

k 1 – karakter. vrednost osnovnog harmonika

σfp – napon na savijanje pri početnom otklonu

E - modul elastičnosti


ωsr - srednja ugaona brzina






Približna vrednost prečnika žice:

32

mD

Jp16d

κρ


J - moment inercije pokretnog sklopa

p – faktor dimenzija opruge


κ - odnos momenata inercije pokretnog sklopa i opruge

Dm – srednji prečnik opruge






Moment inercije opruge sa:

- tangencijalnim kracima

( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++

3

ll

2

Dll

4

Dll

4

Dl

L

mJ

32

31m

22

21

2m21

2mto

ou

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++

3

ll

4

Dll

4

Dl

L

mJ

32

31

2m21

2mto

ou

- radijalnim kracima

- aksijalnim kracima( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

4

Dll

4

Dl

L

mJ

2m21

2mto

ou





Primer proračuna cilindrične opruge – elastični šuplji cilindar

Primer 3.1: Dimenzionisati uvrtnu zavojnu oprugu, navučenu na trn prečnika dt = 12.9mm, koja treba da pomeri obrtnu polugu mase

m = 33g za φk = 24o u vremenskom intervalu tk = 5ms. Moment

inercije poluge za obrtnu osu poluge koja se poklapa sa osom

opruge je J = 3136gmm2. Oprugu dimenzionisati modelom šupljeg

cilindra izloženog uvijanju.






Usvajamo srednji prečnik opruge:

( )mm9.12dmm15D tm =






a) Odnos momenata inercije pokretnog sklopa i opruge:

mm15D

s7758.83t

m

1

k

k sr

=

== −

2.40g =

Usvajamo: κ = 21.66





b) Za odnose momenata inercije κ > 5 dovoljno tačno rešenje

frekventne jednačine daje relacija:

21323.0

166.213

3

13

3k 1 =

++






c) Približna rešenja transcedentne jednačine za dimenzionisanje

opruga:pcosDpa1 m =

mogu se odrediti nekim od numeričkih postupaka ili grafički .

Za vrednost koeficijenta a:

k

k

fp1 tE

k

1a

ϕρ

σ

123

6

2

mm0287.0msrad

5419.0

mmN206000

mmkg1085.7

mm

N550213.01a −=

⋅=

i Dm = 15mm rešenje jednačine biće: 926101.0p =






d) Faktor dimenzija opruge može se odrediti iz relacije:

k 12m

tk

p2

Ep

nD

d π=

1

2

3

6

mm001065.0s005.0213.0

9261.02

mm

N206000

mm

kg1085.7

p−

−

=⋅

π=






e) Približna vrednost prečnika žice može se odrediti iz relacije:

32

mD

Jp16d

κρmm6075.1

mm

kg1085.766.21mm15

mm001065.0gmm613616

3

3

62

12

=⋅

⋅=

−

−

Usvajamo prvu veću standardnu vrednost: ds = 1.7mm


( )mm9.12dmm3.13mm7.1mm15dD tsm =

2Msmm

N1460mm7.1d =





f) Odnos motanja

8.8mm7.1

mm15

d

Dw

s

m =

164w ÷






g) Broj zavojaka opruge izračunavamo relacijom:

998.5

mm15mm7.1

mm

g1085.766.21

gmm613616

Dd

J16n

3322

3

32

2

3m

2s

2=

⋅

⋅=

κρ −

Usvajamo prvu veću celobrojnu vrednost: n = 6




Mehanič

ki funkcionalni elementi 10



h) Dužina žice opruge:

mm743.2826mm15nDL m =

Masa opruge:

g038.5mm743.2824

mm7.1

mm

kg1085.7L

4

dm

22

3

62s

o =⋅ρ −

Sopstveni moment inercije opruge:

2222

moo gmm3819.283

4

mm15g038.5

4

DmJ =



Mehanič

ki funkcionalni elementi 11



i) Odnos momenata inercije:

66.2165.21gmm382.283

gmm6136

J

J2

2

o

≈





j) Sopstvena kružna frekvenca osnovnog harmonika opruge:

1

2

44

2

o

4s

11 s91848.218gmm382.283743.28264

mm7.1mm

N206000

21323.0LJ64

dEk

−=⋅

⋅==


O k ki l i





k) Početni otklon:


( ) ( )o

1k 1

k p 33.44rad7736.0

s005.0s9.218cos1

419.0

tcos1=

⋅ωϕ

= −

o

2

5

2M

p 03.54rad943.0

mm7.1

mm

N1006.2

mm382.283mm

N14608.0

Ed

L8.0=

⋅

⋅=≤

o

t

mp 19.59rad033.11

mm7.1mm9.12

mm15621

dd

Dn2 =

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+

O k ki l i



Mehanicki funkcionalni elementi 1



Primer: Dimenzionisati uvrtnu zavojnu oprugu sa radijalnimkracima dužine l1 = 2mm i l2 = 23mm, navučenu na trn prečnika

dt = 19.5mm, koja treba da pomeri obrtni disk mase m = 50.1g za

φk = 29o u vremenskom intervalu tk = 9.5ms. Moment inercije

poluge za obrtnu osu poluge koja se poklapa sa osom opruge je

J = 9118gmm2. Oprugu dimenzionisati modelom šupljeg cilindra

izloženog uvijanju. Karakteristike materijala žice opruge su:

ρ = 8160kg/m3

i E = 206000N/mm2

.

O k ki l ti






Usvajamo srednji prečnik opruge:

( )mm5.19dmm22D tm =

Usvajamo napon na savijanje pri početnom otkonu:

σfp = 500 N/mm2







a) Odnos momenata inercije pokretnog sklopa i opruge:

usvajamo: κ = 5.316






b) Za odnose momenata inercije κ > 5 dovoljno tačno rešenje

frekventne jednačine daje relacija:

4207.01316.53

3

13

3k 1 =

++







c) Približna rešenja transcedentne jednačine za dimenzionisanje

opruga:pcosDpa1 m =

mogu se odrediti nekim od numeričkih postupaka ili grafički .

Za vrednost koeficijenta a:

k

k

fp1 tE

k

1a

ϕρ

σ

1

23

6

2

mm01038.0ms

rad

5.9

506.0

mm

N206000

mm

kg1016.8

mm

N500421.0

1a

−

=⋅

=

i Dm = 22mm rešenje jednačine biće: 465221.0p =







d) Faktor dimenzija opruge može se odrediti iz relacije:

k 12m

tk

p2

Ep

nD

d π=

1

2

3

6

mm000146.0s0095.04207.0

465221.02

mm

N206000

mm

kg1016.8

p−

−

=⋅

π=







e) Približna vrednost prečnika žice može se odrediti iz relacije:

32

mD

Jp16d

κρmm3126.1

mm

kg1016.8316.5mm22

mm000146.0gmm911816

3

3

62

12

=⋅

⋅=

−

−

Usvajamo veću standardnu vrednost: ds = 2.0mm


( )mm5.19dmm20mm2mm22dD tsm =

2Msmm

N1420mm0.2d =





p g p g

f) Odnos motanja

11mm2

mm22

d

Dw

s

m =

164w ÷






p g p g

g) Broj zavojaka opruge izračunavamo relacijom:

0.8

mm22mm2

mm

g1016.8316.5

gmm911816

Dd

J16n

3322

3

32

2

3m

2s

2=

⋅

⋅=

κρ −

Usvajamo celobrojnu vrednost: n = 8







h) Dužina zavojnog dela žice opruge:mm92.5528mm22nDL mt =

Masa zavojnog dela opruge:

g174.14mm92.5524

mm2

mm

kg1016.8L

4

dm

22

3

6t

2s

o =⋅ρ −

Sopstveni moment inercije zavojnog dela opruge:

2222

moo gmm09.1715

4

mm22g174.14

4

DmJ =






i) Odnos momenata inercije:

316.5316.5gmm09.1715

gmm9118

J

J2

2

o

≈





j) Ukupna dužina žice opruge:


mm92.577mm23mm2mm92.552llLL 21t =

Ukupni moment inercije opruge:

( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++

3

ll

2

Dll

4

Dll

4

DL

L

mJ

32

31m

22

21

2m21

2mto

ou

( ) ( ) 22332222

ou gmm28.1958gmm3

232

2

22232

4

22232

4

2292.552

92.557

174.14J =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++=





k) Sopstvena kružna frekvenca osnovnog harmonika opruge:

1

2

44

2

out

4s

11 s62.162

gmm28.1958mm92.55264

mm2mm

N206000

4207.0JL64

dEk

−=

⋅

⋅==






l) Početni otklon:


( ) ( )o

1k 1

k p 77.29rad5196.0

s0095.0s62.162cos1

506.0

tcos1=

⋅ωϕ

= −

o

2

5

2M

p 3.91rad593.1

mm2mm

N1006.2

mm92.577mm

N14208.0

Ed

L8.0=

⋅

⋅=≤

o

st

mp 98.66rad169.11

mm2mm5.19

mm22821

dd

Dn2 =

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+






Upoređenje modela za oprugu istih dimenzija sa istim

parametrima kretanja i opterećenja:

29.7729.12φp [o]

162.62164.91ω1 [s-1]

elastični

šuplji

cilindar

prostorno

zakrivljeni

štap

Uvrtne Zavojne Opruge_predavanja i Vezbe

Documents

Transcript of Uvrtne Zavojne Opruge_predavanja i Vezbe