UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA … · 4.2 Rovnica paraboly ... Rovnica...

UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED

GEOMETRIA V

Kužeľosečky a kvadratické plochy

Ondrej Šedivý – Dušan Vallo

Vydané v Nitre 2012 Fakultou prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre

Nitra 2012

Názov: Geometria V.


Autori: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.

RNDr. Dušan Vallo, PhD.

Recenzenti: PaedDr. Lucia Rumanová, PhD.

Prof. RNDr. Pavel Hanzel, CSc.

Edícia: Prírodovedec č. 526

Schválené: Vedením Fakulty prírodných vied UKF v Nitre dňa 21. novembra 2012

Rukopis neprešiel jazykovou úpravou.

© Ondrej Šedivý

Vydané s finančnou podporou grantu KEGA 073UKF-4/2011 s názvom Didaktické postupy

vyučovania matematiky na II. stupni ZŠ a v príprave učiteľov s akcentom na prioritné úlohy

matematiky vo vzdelávaní v intenciách Štátneho vzdelávacieho programu.

ISBN: 978-80-558-0197-1

EAN 9788055801971

9 788055 801971

Obsah Predslov

Kužeľosečky

1 Kružnica................................................................................................................... 5

1.1 Základné vlastnosti................................................. ............................................. 5

1.2 Rovnica kružnice................................................................................................... 7

2 Elipsa.............................................................................................. ......................... 18


2.2 Rovnica elipsy....................................................................................................... 22

3 Hyperbola.............................................................................................. .................. 29

3.1 Základné vlastnosti............................................................................................... 29

3.2 Rovnica hyperboly................................................................................................ 33

4 Parabola 42

4.1 Základné vlastnosti............................................................................................... 42

4.2 Rovnica paraboly.................................................................................................. 44

5 Vzťah kvadratickej formy dvoch premenných a rovnice kužeľosečky................... 51


5.2 Kvadratická forma bez člena xy............................ ............................................... 52

5.3 Kvadratická forma s členom xy............................ ................................................ 55

Kvadratické plochy

6 Kvadratická rovnica s troma neznámymi............................ .................................... 66


7 Vzťah kvadratickej formy troch premenných a rovnice kvadratickej plochy.......... 84


Literatúra

Predslov

V predmete Geometria 2 sme sa venovali analytickej geometrii lineárnych

útvarov a geometrickým štruktúram.

V tejto učebnici texte predkladáme študentom učebnú látku, ktorej obsahom sú vlastnosti

kužeľosečiek a kvadratických plôch.

Kužeľosečky a kvadratické plochy môžeme študovať syntetickou metódou

a metódou súradníc. V tomto študijnom materiály použijeme metódu súradníc.

Kužeľosečky sú rovinné krivky. Rovinnou krivkou sa nazýva množina všetkých (a len

tých) bodov, ktorých súradnice (napr. v pravouhlej súradnicovej sústave) vyhovujú

algebraickej rovnici ( ), 0f x y = , t.j. dosadené do ľavej strany, ktorá je polynómom, ju

anulujú. Stupeň rovnice sa nazýva stupňom krivky. Po priamke v rovine, ktorá je krivkou

1. stupňa, majú najjednoduchšie vlastnosti krivky 2. stupňa – kužeľosečky. Rovnice

kužeľosečiek sú teda kvadratické rovnice dvoch premenných.

Analogicky aj plochy druhého stupňa sú určené kvadratickými rovnicami, ale

troch premenných.

Teória kužeľosečiek patrí medzi najstaršie geometrické poznatky. Obšírnu teóriu

kužeľosečiek vypracoval Apollónius z Pergy (asi 200 – 175 pred n. l.) v diele „O

kužeľosečkách“, ktorým si vyslúžil titul „veľkého geometra“.

Kužeľosečky možno chápať aj ako rezové krivky roviny a rotačnej kužeľovej

plochy (rovina neprechádza jej vrcholom).

Učivo o kužeľosečkách a kvadratických plochách je súčasťou prípravy budúcich

učiteľov z geometrie.

Veríme, že predložená učebnica pomôže študentom zvládnuť aj túto časť učiva

geometrie a pomôže im v príprave na plnenie úloh v školskej praxi.

Prajeme študentom veľa úspechov pri štúdiu.

V Nitre, 30. októbra 2012 Autori

5

Kužeľosečky Kužeľosečkami nazývame: kružnicu, elipsu, parabolu a hyperbolu.

1 Kružnica

1.1 Základné vlastnosti

Nech S je ľubovoľný bod roviny a 0r > . Kružnicou k nazveme všetky body X roviny,

ktorých vzdialenosť od bodu S sa rovná číslu r (obr. 1).

Bod S sa nazýva stred kružnice. Úsečka SX (alebo číslo r ) je polomer kružnice.

Kružnicu danú bodom S a polomerom r budeme označovať ( ),k S r .

Obr. 1

Obr. 2

Priamka s , ktorá má s kružnicou k spoločné dva rôzne body, nazýva sa sečnicou kružnice.

Priamka t , ktorá má s kružnicou spoločný jediný bod T , nazýva sa dotyčnicou kružnice, bod

T je dotykový bod.

Priamka m , ktorá nemá s kružnicou spoločný bod, nazýva sa nesečnica kružnice (obr. 2).

Každá úsečka AB , ktorej koncové body ležia na kružnici, nazýva sa tetiva. Ak tetiva

obsahuje stred kružnice, nazýva sa priemer kružnice (obr. 3).

Obr. 3

6

Dve rôzne kružnice môžu mať najviac dva spoločné body.

Nech sú dané dve kružnice ( )1 1 1,k S r , ( )2 2 2,k S r . O vzájomnej polohe dvoch kružníc 1 2,k k platí:

a) Ak 1 2 1 2S S r r> + , ležia kružnice 1 2,k k mimo seba (obr. 4).

b) Ak 1 2 1 2S S r r= + , kružnice 1 2,k k sa dotýkajú zvonka (obr. 5).

c) Ak 1 2 1 2 1 2r r S S r r− < < + , kružnice 1 2,k k sa pretínajú (obr. 6).

d) Ak 1 2 1 2 ,S S r r< − kde 1 2r r> , kružnice 1 2,k k sa dotýkajú zvnútra (obr. 7).

e) Ak 1 2 1 20 S S r r< < − , kružnica 2k leží vo vnútri kružnice 1k (obr. 8).

f) Ak 1 2 2 1,S S r r≡ < , kružnice 1 2,k k sú sústredné (obr. 9).

Obr. 4

Obr. 5

Obr. 6

Obr. 7

Obr. 8

Obr. 9

7

1.2 Rovnice kružnice

Analytické rovnice kružnice uvedieme v ďalšom.

Rozlíšime dva prípady:

a) stred kružnice k leží v začiatku pravouhlej súradnicovej sústavy,

b) stred kružnice k má súradnice [ ],m n , ktoré súčasne nie sú rovné 0 .

a) Kružnica so stredom [ ]0,0S má rovnicu

2 2 2x y r+ = , (1.21)

kde r je polomer kružnice.

Obr. 10

b) Kružnica so stredom [ ],S m n umiestnená v pravouhlej súradnicovej sústave má

rovnicu

( ) ( )2 2 2x m y n r− + − = , (1.22)

Obr. 11

Rovnicu ( ) ( )2 2 2x m y n r− + − = môžeme vyjadriť v tvare

8

2 2 2 2 22 2 0x y mx ny m n r+ − − + + − = (1.22a).

Obrátene, rovnica 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = (1.22b)

je rovnicou kružnice, ak , , , , ,A B C D E F sú také reálne čísla, o ktorých platí 2 20, 0, 4 0A C B D E AF= ≠ = + − > .

Stredom tejto kružnice je bod ,2 2D ESA A

− −

a jej polomer sa rovná číslu

2 21 42

r D E AFA

= + − .

Rovnica (1.22b) sa často nazýva všeobecný tvar rovnice kružnice.

Ak 1A C= = , rovnicu kružnice uvádzame v tvare 2 2 0x y Mx Ny L+ + + + = , (1.22c)

kde , ,M N L R∈ .

V pravouhlej súradnicovej sústave má kružnica k so stredom [ ],S m n a polomerom r

parametrické rovnice cossin , 0,2

x m r ty n r t t π

= + ⋅

= + ⋅ ∈ (1.23)

Parameter 0, 2t π∈ a vyjadruje geometricky veľkosť uhla, ktorého ramená sú

polpriamka SA , súhlasne rovnobežná s kladnou polosou x a polpriamka SX , kde X je

ľubovoľný bod kružnice k (obr. 12).

Obr. 12

9

Ak je stred S v začiatku súradnicovej sústavy, budú parametrické rovnice mať tvar cossin , 0, 2

x r ty r t t π

= ⋅

= ⋅ ∈ (1.24)

Pri vzájomnej polohe priamky a kružnice sme uviedli dotyčnicu kružnicu.

V pravouhlej súradnicovej sústave má rovnica dotyčnice t ku kružnici so stredom

[ ],S m n a bodom dotyku [ ]1 1,T x y (obr. 13) tvar

( )( ) ( )( ) 21 1x m x m y n y n r− − + − − = (1.25)

Obr. 13

V ďalšom zavedieme pojem polára kružnice.

Nech je daná kružnica ( ),k S r a bod P .

Množinou všetkých bodov Q harmonicky združených s pevným bodom P (pólom)

vzhľadom k priesečníkom priamok idúcich bodom P s danou kružnicou k je priamka p ,

zvaná polára.

V pravouhlej sústave súradníc má rovnica poláry p kružnice k so stredom [ ],S m n

a pólom [ ]0 0,P x y (obr. 14) tvar

( ) ( ) ( ) ( ) 20 0 0x m x m y n y n r− − + − − − = (1.26)

10

Obr. 14

Úlohy

1.1 Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred v začiatku O súradnicovej sústavy

a prechádza bodom [ ]2, 3M − .

Riešenie.

Keďže bod M O≠ , hľadaná kružnica existuje a jej rovnica má tvar 2 2 2x y r+ = .

Bod M leží na kružnici, jeho súradnice vyhovujú jej rovnici, t.j. platí ( )22 22 3 r+ − = ,

čiže 2 13r = . Hľadaná rovnica kružnice je 2 2 13x y+ = .

1.2 Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred [ ]4,5S − a prechádza bodom

[ ]6,1A .

Riešenie.

Keďže A S≠ , hľadaná kružnica existuje. Ak dosadíme do rovnice ( )1.22 súradnice

stredu 4, 5m n= − = , dostaneme

( ) ( )2 2 24 5x y r+ + − = .

Potrebné je určiť jej polomer.

Bod A leží na kružnici, preto jeho súradnice 6, 1x y= = vyhovujú rovnici kružnice, t.j.

platí ( ) ( )2 2 26 4 1 5 r+ + − = ,

čiže ( )22 210 4 116r = + − = .

11

Rovnica kružnice je ( ) ( )2 24 5 116x y+ + − = , resp.

2 2 8 10 75 0x y x y+ + − − = .

1.3 Napíšte rovnice kružnice so stredom [ ]1,3S − a polomerom 5r = . Napíšte

rovnice dotyčnice v bode [ ]4, 0TT y− > .

Riešenie.

Rovnica kružnice podľa ( )1.22 je

( ) ( )2 21 3 25x y+ + − = , alebo 2 2 2 6 15 0x y x y+ + − − = .

Bod T leží na kružnici, preto je 216 8 2 15 0T Ty y+ − − − = .

Odtiaľ ( ) ( )1 27, 1T Ty y= = − .

Úlohe vyhovuje bod [ ]4,7T − . Dotyčnica t v bode T má podľa ( )1.25 rovnicu

( )( ) ( )( )4 1 1 7 3 3 25 0x y− + + + − − − = ,

po úprave 3 4 40 0x y− + = .

1.4 Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi [ ]7,3A , [ ]2,6B − ,

[ ]5, 1C − .

Riešenie.

Ak existuje hľadaná kružnica, potom má rovnicu 2 2 0x y Mx Ny L+ + + + = . Keďže

hľadaná kružnica je určená bodmi , ,A B C , ich súradnice vyhovujú danej rovnici. Tak

dostávame tri rovnice

58 7 3 040 2 6 026 5 0

M N LM N LM N L

+ + + =− + + =+ − + =

Riešením tejto sústavy troch rovníc je 4M = − , 6N = − a 12L = − .

Hľadaná rovnica je potom 2 2 4 6 12 0x y x y+ − − − = .

Po úprave ( ) ( )2 22 3 25x y− + − = ,

jej stred je [ ]2,3S a polomer 5r = .

1.5 Určte rovnicu kružnice so stredom [ ]5, 4S , ktorá na priamke : 2 3 0a x y+ − =

vytína tetivu dĺžky 8 (obr. 15).

Riešenie. 1. spôsob

12

Určíme vzdialenosť stredu S od priamky a .

Obr. 15

Využijeme pravouhlý trojuholník SRV , vypočítame polomer r .

2 2

5 2.4 3 10 2 551 2

v+ −

= = =+

Použili sme vzorec pre výpočet vzdialenosti bodu od priamky.

Pretože 4RV = , môžeme napísať ( )22 22 5 4 36r = + = .

Rovnica hľadanej kružnice je ( ) ( )2 25 4 36x y− + − = ,

po úprave 2 2 10 8 5 0x y x y+ − − + = .

1. spôsob

Rovnica kružnice so stredom [ ]5, 4S je

( ) ( )2 2 25 4x y r− + − = (1).

Určíme súradnice priesečníkov priamky 2 3 0x y+ − = s kružnicou riešením sústavy

rovníc

( ) ( )2 2 25 4x y r− + − = (2)

2 3 0x y+ − = (3)

Riešime

3 2x y= −

( ) ( )2 2 22 2 4y y r+ + − = ,

po úprave 2 25 20y r= − ,

13

odkiaľ 2

1,220

5ry −

= ± ,

takže 2

1,2203

5rx −

= ± .

Pretože dĺžka tetivy je 8 , vzdialenosť bodov [ ] [ ]1 1 2 2, , ,x y x y je

( ) ( )2 21 2 1 2 64x x y y− + − = ,

teda

( ) ( )

2 22 2

2 2

2

20 202 4 645 5

4 1620 20 645 5

20 166

r r

r r

rr

− −+ − =

− + − =

− ==

Rovnica hľadanej kružnice je ( ) ( )2 25 4 36x y− + − = .

1.6 Určte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi [ ] [ ]5,3 , 6, 2A B a má stred na

priamke 3 4 3 0x x− − = .

Riešenie.

Ak hľadaná kružnica existuje, má rovnicu ( ) ( )2 2 2x m y n r− + − = . Súradnice bodov

[ ] [ ]5,3 , 6, 2A B musia vyhovovať danej rovnici a stred [ ],S m n leží na danej priamke,

jeho súradnice musia vyhovovať rovnici 3 4 3 0x x− − = . Tým dostávame sústavu troch

rovníc s tromi neznámymi:

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

5 3

6 23 4 3 0

m n r

m n rm n

− + − =

− + − =

− − =

Riešením dostaneme 29, 6, 25m n r= = = .

Rovnica hľadanej kružnice je ( ) ( )2 29 6 25x y− + − = ,

po úprave 2 2 18 12 92 0.x y x y+ − − + =

1.7 Určte rovnicu dotyčnice kružnice 2 2 289x y+ = v jej bode [ ]18,T y .

Riešenie.

14

Súradnice dotykového bodu [ ]18,T y vyhovujú rovnici kružnice, preto 2164 289y+ = ,

čiže 21 225y = ,

takže 1 215, 15y y= = − .

Rovnica dotyčnice danej kružnice v bode [ ]8,15T je

1 1 2898 15 289 0.xx yyx y

+ =+ − =

Rovnica dotyčnice danej kružnice v bode [ ]8, 15T − je

8 15 289 0.x y− − =

1.8 Určte rovnicu tej dotyčnice kružnice 2 2 20x y+ = , ktorá je rovnobežná

s priamkou 2 7y x= + .

Riešenie.

Dotyčnica danej kružnice v dotykovom bode [ ]1 1,T x y má rovnicu

1 1 20xx yy+ = ( )1

Dotykový bod T leží na kružnici, a preto 2 21 1 20x y+ = .

Smernica k hľadanej dotyčnice je podľa ( )1 1

1

xky

= − .

Daná priamka 2 7y x= + má smernicu 2k = , teda 1

1

2xy

− = , 1 12x y= − .

Riešením sústavy 2 21 1

1 1

202

x yx y

+ == −

dostaneme 1 22, 2y y= = − .

Prvá dotyčnica má dotykový bod [ ]1 4, 2T − a rovnicu 4 2 20x y− + = ,

po úprave 2 10 0x y− + = .

Druhá dotyčnica má dotykový bod [ ]1 4, 2T − a rovnicu 4 2 20x y− = ,

po úprave 2 10 0x y− − = .

1.9 Určte rovnice dotyčníc prechádzajúcich bodom [ ]3,5;0,5M ku kružnici

2 2 6,25x y+ = .

Riešenie. (obr. 16)

15

Rovnica dotyčnice kružnice 2 2 6,25x y+ = v dotykovom bode [ ]1 1,T x y je

1 1 6, 25xx yy+ = . Pretože hľadaná dotyčnica prechádza bodom [ ]3,5;0,5M , jeho

súradnice vyhovujú rovnici

3,5 0,5 6, 25x y+ = ( )1

Bod T leží na kružnici, preto 2 21 1 6,25x y+ = ( )2

Riešením sústavy rovníc ( )1 a ( )2 vypočítame súradnice dotykových bodov.

Z rovnice ( )1 vyjadríme 1 112,5 7y x= − a dosadíme do rovnice ( )2 :

( )221 112,5 7 6,25x x+ − = ,

po úprave dostaneme 21 12 7 6 0x x− + = ( )3

Odtiaľ 1 22, 1,5x x= = .

Z rovnice ( )1 potom plynie

1

2

12,5 14 1,512,5 10,5 2

yy

= − = −= − =

Dotyčnica 1t má dotykový bod [ ]1 2; 1,5T − − , rovnicu 2 1,5 6,25x y− = ,

po úprave 8 6 25 0.x y− − =

Dotyčnica 2t má dotykový bod [ ]1 1,5;2T , rovnicu 1,5 2 6, 25x y+ = ,

po úprave 6 8 25 0.x y+ − =

Obr. 16

16

1.10 Napíšte v pravouhlej sústave súradníc všeobecnú rovnicu kružnice k danej

parametrickými rovnicami.

( )2 cos

1 sin , 0, 2 1x ty t t π

= − +

= + ∈

Riešenie.

Upravme parametrické rovnice ( )1 na tvar

( )cos 2sin 1 2

t xt y

= +

= −

Po umocnení a sčítaní rovníc ( )2 dostaneme ( ) ( )2 22 2sin cos 2 1 .t t x y+ = + + −

Po použití identity 2 2sin cos 1t t+ = , je ( ) ( )2 22 1 1x y+ + − = .

Po úprave 2 2 4 2 4 0x y x y+ + − + = .

1.11 Zistite vzájomnú polohu kružnice 2 2 6,25x y+ = a priamok

a) priamky 1p s rovnicou 3 4 10 0x y− − = ,

b) priamky 2p s rovnicou 8 6 25 0x y+ − = ,

c) priamky 3p s rovnicou 4 0x y+ + = ,

Riešenie.

a) Súradnice[ ],x y spoločného bodu priamky a kružnice vyhovujú rovniciam

( )( )2 2

3 4 10 0 1

6, 25 2

x y

x y

− − =

+ =

Z rovnice ( )1 vyjadríme 4 103

yx += , po dosadení do ( )2 dostaneme kvadratickú rovnicu

25 16 8,75 0y y+ + = ,

ktorá má diskriminant 256 175 81 0D = − = > . Rovnica má dva reálne korene

1,26 910

y − ±=

1 20,7, 2,5y y= − = −

Potom z rovnice ( )1 vyplýva 22, 4; 0x x= = . Priamka 1p je teda sečnicou danej kružnice

a pretína ju v bodoch [ ]2, 4; 0,7R − , [ ]0; 2,5Q − (obr. 17).

17

Obr. 17

b) Analogicky riešením sústavy rovníc

( )

( )2 2

6 25 38

6, 25 4

yx

x y

− +=

+ =

dostaneme kvadratickú rovnicu 24 12 9 0y y− + = .

Jej diskriminant je 144 144 0D = − = .

Rovnica má dvojnásobný koreň 1,5y = , a potom 2x = .

Priamka 2p je dotyčnicou danej kružnice s dotykovým bodom [ ]2;1,5T (obr. 18).

Obr. 18

18

c) Riešením sústavy rovníc

( )( )2 2

4 5

6, 25 6

x y

x y

= − −

+ =

dostaneme kvadratickú rovnicu 24 12 9 0y y− + = .

Diskriminant tejto rovnice je 64 78 14 0D = − = − < , preto rovnica nemá v obore reálnych

čísel riešenie. Priamka 3p danú kružnicu nepretína, je jej nesečnicou. (obr. 19).

Obr. 19

2. Elipsa


Elipsou nazývame množinu všetkých bodov M v rovine, ktorých súčet vzdialeností od

dvoch pevných bodov 1 2,F F sa rovná konštante 2 0a > (obr. 20).

1 2 2F M F M a+ = , 1 2 2F F a< ( )1

Obr. 20

19

Body 1 2,F F sa nazývajú ohniská elipsy a číslo 2a sa nazýva dĺžka hlavnej osi elipsy. Stred

S úsečky 1 2F F sa nazýva stred elipsy, číslo 1 2 1 212

e SF SF F F= = = je excentricita

(výstrednosť) elipsy. Číslo 2 2b a e= − je dĺžka vedľajšej polosi elipsy. Úsečky 1 2,F M F M

sa nazývajú ohniskové sprievodiče bodu M .

Z definície elipsy vyplýva konštrukcia bodov elipsy, ak poznáme ohniská a dĺžku 1 22a F F> .

Nech je daná úsečka PQ , 2PQ a= a body 1 2,F F , ktoré sú ohniská elipsy (obr. 21).

Rozdelíme úsečku PQ bodom R na dve úsečky dĺžok 1 2,r r . Priesečníky 1 2,M M kružníc

( )1 1 1,k F r a ( )2 2 2,k F r sú body elipsy. Ak vymeníme úlohu ohnísk, získame ďalšie dva body

3 4,M M elipsy.

Obr. 21

Z konštrukcie vyplýva súmernosť bodov elipsy podľa priamky 1 2F F a podľa priamky CD ,

kde body ,C D zostrojíme pomocou kružníc ( ) ( )1 1 2 2, , ,k F a k F a a a je polovica úsečky PQ .

Potom elipsa je súmerná aj podľa stredu S , kde S je stred úsečky 1 2F F . Na priamke 1 2F F

zostrojíme body ,A B elipsy, AS SB a= = . Body ,A B nazývame vrcholy hlavnej osi, body

,C D sú vrcholy vedľajšej osi.

Z vyššie uvedeného vyplýva, že elipsa je určená svojimi vrcholmi (obr. 22).

20

Obr. 22

Ak sú dané osi elipsy, potom môžeme využiť afinný vzťah medzi elipsou a kružnicou1

a použiť tzv. zástavkovú konštrukciu elipsy (obr. 23 a obr. 24).

Obr. 23 Obr. 24

Pri rysovaní elipsy v okolí jej vrcholov obyčajne nahradzujeme oblúkmi kružníc, napríklad

tzv. hyperoskulačných kružníc. Konštrukcie ich stredov 1 2 3 4, , ,S S S S sú znázornené na obr.

25.

Obr. 25

1 Použijeme dve osové afinity, kde osami afinity sú priamky, na ktorých ležia osi elipsy.

21

Priamka a elipsa môžu mať trojakú vzájomnú polohu.

Buď majú spoločné dva body (priamka je sečnicou), alebo majú jediný spoločný bod

(priamka je dotyčnica, spoločný bod je bodom dotyku) , alebo nemajú spoločný bod (priamka

je nesečnica).

Dotyčnicu t v bode M elipsy, ktorej vrcholy hlavnej osi sú ,A B , vrcholy vedľajšej osi sú

,C D a ohniská 1 2,F F (obr. 26) zostrojíme takto:

Určíme tú os uhlov sprievodičov 1F M , 2F M , ktorá pretína hlavnú os AB mimo úsečky

1 2F F . To je hľadaná dotyčnica t , pretože platí, že dotyčnica rozpoľuje tzv. vonkajší uhol

sprievodičov.

Obr. 26

Zostrojme bod Q súmerne združený s bodom 2F vzhľadom na os t . Leží na kolmici vednej

bodom 2F na priamku t . Stred úsečky 2F Q je päta P tejto kolmice na priamku t . Zo

zhodnosti trojuholníkov 2MPF a MPQ vyplýva, že bod Q leží na priamke 1F M . Odtiaľ

vyplýva 2MF MQ= a 1 2 2F M F M a+ = a platí 1 1 2F M MQ F Q a+ = = .

Ak zostrojíme body analogicky bodu Q pre ďalšie dotyčnice elipsy, budú tieto ležať na

kružnici so stredom 1F s polomerom 2a . Túto kružnicu nazývame riadiacou kružnicou

elipsy.

Ďalej je 2 1 2: 1: 2F S F F = a 2 1: 1: 2F P F Q = . Je teda SP a= .

22

Preto, ak zostrojíme body obdobné bodu

P na ostatných dotyčniciach elipsy,

budú ležať na kružnici so stredom S

a polomerom a .

Túto kružnicu nazývame vrcholová

kružnica elipsy (obr. 27).

Obr. 27

2.2 Rovnica elipsy

Nech je daná pravouhlá súradnicová sústava. Umiestnime elipsu v nej tak, že S O=

a ohniská 1 2,F F ležia na osi x (obr. 28).

Obr. 28

Pre body M elipsy platí:

1 2 2 ,F M F M a+ = ( )1

( )2 21F M x e y= + +

( )2 22F M x e y= − + .

a potom ( ) ( )2 22 2 2x e y x e y a+ + + − + = ( )2

Po úprave s využitím vzťahu 2 2 2b a e= − dostaneme

23

2 2

2 2 1x ya b

+ = . ( )3

Rovnicu ( )3 nazývame rovnicou elipsy v stredovom tvare so stredom v začiatku súradnicovej

sústavy a s ohniskami na osi x .

Ak ohniská elipsy zvolíme na osi y a stred opäť v začiatku O (obr. 29), dostaneme rovnicu

2 2

2 2 1x yb a

+ = . ( )4

Obr. 29

Elipsa, ktorá má stred [ ],S m n a jej hlavná os je rovnobežná s osou x (obr. 30), má rovnicu

( ) ( )2 2

2 2 1x m y n

a b− −

+ = , ( )5

kde a je dĺžka hlavnej, b je dĺžka vedľajšej polosi elipsy.

Obr. 30

Elipsa, ktorá má stred [ ],S m n a jej hlavná os je rovnobežná s osou y , má rovnicu

24

( ) ( )2 2

2 2 1x m y n

b a− −

+ = ( )6

Túto rovnicu nazývame rovnicou elipsy v tzv. osovom tvare.

Rovnica 2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + = ( )7

je rovnicou elipsy, ak , , , ,A C D E F sú čísla, o ktorých platí

0, 0A C> > a A C≠ alebo 0, 0A C< < a A C≠ .

V pravouhlej súradnicovej sústave má elipsa, ktorej ohniská sú [ ] [ ]1 2,0 , ,0F e F e− , hlavná

polos a a vedľajšia polos b , parametrické rovnice tvaru cossin , 0, 2

x a ty b t t π

=

= ∈ ( )8

Ak je stredom elipsy bod [ ],S m n a ohniská ležia na rovnobežke s osou x , prechádzajúcej

stredom S , má parametrické rovnice tvaru cossin , 0, 2

x m a ty n b t t π

= +

= + ∈ ( )9

V pravouhlej súradnicovej sústave súradníc rovnica dotyčnice elipsy danej rovnicou v osovom

tvare so stredom [ ],S m n a bodom dotyku [ ]1 1,T x y je

( )( ) ( )( )1 12 2 1

x m x m y n y na b

− − − −+ = ( )10

Množinou všetkých bodov Q harmonicky združených s pevným bodom P (pólom) vzhľadom

k priesečníkom priamok idúcich pólom P s danou elipsou je priamka p , nazývaná polára.

Ak leží bod P zvonku elipsy, potom polárou p bodu P vzhľadom k elipse je spojnica bodov

dotyku 1 2,T T dotyčníc vedených z bodu P k elipse (obr. 31).

Ak bod P leží na elipse, potom polárou p bodu P vzhľadom k elipse je dotyčnica elipsy

idúca bodom P .

Ak bod P leží vo vnútri elipsy, potom polára p bodu P vzhľadom k elipse nemá s danou

elipsou spoločný bod.

25

Obr. 31

V pravouhlej sústave súradníc rovnica poláry elipsy, ktorá má stred [ ],S m n , pól [ ]0 0,P x y ,

je

( )( ) ( )( )1 12 2 1

x m x m y n y na b

− − − −+ = ( )11

Úlohy

2.1 Napíšte rovnicu elipsy v stredovom tvare, ak jej hlavná polos má dĺžku 5a =

a excentricita je 3.e =

Riešenie.

Pretože pre elipsu platí 2 2 2e a b= − , je 2 2 2 25 9 16b a e= − = − = . Takže stredový tvar

rovnice elipsy je 2 2

125 16x y

+ = .

2.2 Určte dĺžky polosí a súradnice ohnísk elipsy danej rovnicou 2 225 9 900x y+ = .

Riešenie.

Ak vydelíme danú rovnicu číslom 900 , dostaneme 2 2

136 100x y

+ = .

Z tejto rovnice môžeme usúdiť, že stred je v začiatku O a ohniská ležia na osi y . Takže

10a = , 6b = , 2 2 2 100 36 64e a b= − = − = , t.j. 8e = . Potom súradnice ohnísk sú

[ ] [ ]1 20,8 , 0, 8F F − .

26

2.3 Napíšte rovnicu elipsy v stredovom tvare, ktorej ohnisko je [ ]2 4,0F a prechádza

bodom [ ]3,1M .

Riešenie.

Zo súradníc ohniska vyplýva, že 4e = , potom 2 2 2 216, 16a b a b− = = + .

Ak bod M je bodom elipsy, musia súradnice bodu M spĺňať jej rovnicu 2 2

2 2 1x ya b

+ = ,

čiže 2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = . Po dosadení súradníc bodu M a vzťahu 2 216a b= + do rovnice

dostaneme ( ) ( )2 2 2 29 16 16b b b b+ + = + , t.j. 4 26 16 0b b+ − = .

Odtiaľ vyplýva 2 2b = (druhý koreň uvedenej bikvadratickej rovnice je 2 8 0b = − < a ten

nemá význam) a dostaneme 2 2 16 18a = + = . Rovnica hľadanej elipsy je 2 2

118 2x y

+ =

2.4 Nájdite rovnicu elipsy v stredovom tvare, ktorá prechádza bodmi [ ]6, 4P , [ ]8,3Q .

Riešenie.

Ak takáto rovnica existuje, jej rovnica v stredovom tvare je 2 2

2 2 1x ya b

+ = ,

po úprave 2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = . Po dosadení súradníc bodov ,P Q dostaneme rovnice

2 2 2 2

2 2 2 2

36 1664 9

b a a bb a a b

+ =

+ =.

Odčítaním druhej rovnice od prvej rovnice dostaneme 2 228 7 0b a− + = , takže 2 24a b= .

Dosadením do prvej rovnice dostaneme 2 2 436 64 4b b b+ = .

Odtiaľ 2 25b = , takže 2 4.25 100a = = .

Hľadaná rovnica je tvaru 2 2

1100 25x y

+ =

2.5 Je daná rovnica elipsy 2 25 9 30 18 9 0x y x y+ − − + = . Určte dĺžky polosí ,a b ,

excentricitu e , súradnice stredu a ohnísk a parametrické rovnice.

Riešenie.

Rovnica elipsy má tvar 2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + = a teda osi elipsy ležia na

rovnobežkách s osami súradníc.

27

Danú rovnicu budeme postupne upravovať

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

5 9 30 18 9 0

5 6 9 9 2 1 9 5.9 9.1

5 3 9 1 45 0

x y x y

x x y y

x y

+ − − + =

= − + + − + + − − =

= − + − − =

Odtiaľ ( ) ( )2 23 11

9 5x y− −

+ = ,

Stredom elipsy je bod [ ]3,1S , hlavná polos je 3a = , vedľajšia polos 5b = . Pre

excentricitu platí 2 2 9 5 2e a b= − = − = .

Ohniská ležia na priamke rovnobežnej s osou x a ich prechádzajúcej bodom S , potom

je 1y = . Pretože 1 2 2SF SF e= = = , pre ohniská platí [ ] [ ]1 21,1 , 5,1F F (obr. 32).

Parametrické rovnice danej elipsy sú

3 3cos

1 5 sin , 0,2

x t

y t t π

= +

= + ∈

Obr. 32

2.6 Elipsu danú parametrickými rovnicami 3 5cos4sin , 0, 2

x ty t t π

= +

= ∈ ( )1

vyjadrite v pravouhlej súradnicovej sústave.

Riešenie.

Upravme rovnice ( )1 na tvar

28

3cos , sin5 4

x yt t−= = .

Takto upravené rovnice umocnime a sčítajme

( )2 231

25 16x y−

+ = ,

čím získame rovnicu elipsy. Stred elipsy je [ ]3,0S , ohniská ležia na osi x , hlavná polos

je 5a = , vedľajšia polos je 4b = .

2.7 Určte, v ktorých bodoch pretína priamka 2 14 0x y+ − = elipsu 2 24 100x y+ =

a rovnice dotyčníc elipsy v týchto bodoch.

Riešenie.

Priesečníky obidvoch čiar nájdeme riešením sústavy ich rovníc, táto sústava je

2 2

2 14 04 100

x yx y

+ − =

+ =

Z prvej rovnice vyjadríme 14 2x y= − , čo dosadíme do rovnice elipsy a po úprave je 2 7 12y y− + .

Koreňmi tejto rovnice sú 1 23, 4y y= = , a potom 1 28, 6x x= = . Priesečníky sú

[ ] [ ]1 8,3 , 6, 4P P .

Dotyčnica 1t v bode [ ]1 8,3P má rovnicu 8 12 100x y+ = , po úprave 2 3 25 0x y+ − = .

Dotyčnica 2t v bode [ ]2 6, 4P má rovnicu 3 8 2 0x y+ − = .

2.8 Určte rovnicu elipsy v stredovom tvare, ktorá sa dotýka priamky 2 25x y+ = v bode

[ ]19,T y .

Riešenie.

Dotykový bod T leží na danej dotyčnici, preto jeho súradnice musia vyhovovať jej

rovnici, teda 19 2 25y+ = , odkiaľ vyplýva 1 8y = .

Rovnica dotyčnice je 2 2

9 8 1x ya b

+ = ,

a ak má byť totožná s rovnicou 1 2 125 25

x y+ = ,

29

musí platiť 2 2

9 1 8 2,25 25a b

= = .

Odtiaľ 2 225, 100a b= = . Hľadaná rovnica elipsy je

2 2

1,225 100x y

+ = čiže 2 24 9 900x y+ =

2.9 Napíšte rovnice dotyčníc elipsy 2 24 9 24 18 27 0x y x y+ − − + = v bodoch, v ktorých

elipsa pretína os x .

Riešenie.

Body osi x majú 0y = , súradnice týchto priesečníkov sú korene rovnice 24 24 27 0x x− + = , čiže 2 6 6,75 0x x− + = , t.j. 1 4,5x = a 2 1,5x = . Sú to body

[ ]1 4,5;0T , [ ]2 1,5;0T .

Dotyčnica danej elipsy v dotykovom bode 1T má rovnicu

1 1 1 14 9 12 12 9 9 27 0x x y y x x y y+ − − − − + = ,

čiže ( ) ( )1 1 1 14 12 9 9 12 9 27 0x x y y x y− + − − − + =

Teda pre [ ]1 4,5;0T je

6 9 54 27 0x y− − + = ,

resp. 2 3 9 0x y− − =

Pre [ ]2 1,5;0T je po úprave rovnica dotyčnice

2 3 3 0x y+ − =

3. Hyperbola


Hyperbolou nazývame množinu všetkých bodov M v rovine, ktorých rozdiel vzdialeností

v absolútnej hodnote od dvoch pevných bodov 1 2,F F sa rovná konštante 2a , kde

1 20 2a F F< < (obr. 33).

Pre ľubovoľný bod M hyperboly platí 1 2 2F M F M a− = , 1 2 2F F e= , kde 1 2F S F S e= = a

a S je stred úsečky 1 2F F .

30

Body 1 2,F F sa nazývajú ohniská hyperboly, bod S je stred hyperboly a číslo a sa nazýva

dĺžka hlavnej polosi hyperboly, číslo 1 2 1 212

e SF SF F F a= = = > je excentricita

(výstrednosť) hyperboly. Číslo 2 2b e a= − je dĺžka vedľajšej polosi hyperboly.

Obr. 33

Vyznačme v ďalšom obrázku (obr. 34) základné prvky hyperboly.

Body ,A B sú hlavné vrcholy hyperboly, (niekedy im hovoríme aj reálne vrcholy), body ,C D

sú vedľajšie vrcholy hyperboly. Platí 2AB a= , 1 2 2F F e= , 2CD b= , kde 2 2b e a= − ,

z čoho vyplýva aj konštrukcia bodov ,C D .

31

Obr. 34

Priamky 1 2,a a nazývame asymptoty hyperboly a sú to uhlopriečky obdĺžnika so stranami

2 , 2a b .

Z definície hyperboly vyplýva tzv. bodová konštrukcia hyperboly.

Zvolíme dva body 1 2,F F a priamku nimi určenú označíme o . Nech S je stred úsečky 1 2F F .

Dva body ,A B na priamke o zostrojíme tak, že SA SB a= = .

Ďalej si zvolíme priamku p a na nej zvolíme dva také body ,A B′ ′ , aby AB A B′ ′= .

Na polpriamke A B′ ′ zvolíme bod M ′ tak, aby 1A M F B′ ′ > a narysujeme kružnicu 2k so

stredom 2F a s polomerom 2r B M′ ′= .

Podobne narysujeme kružnicu 1k so stredom 1F a s polomerom 1r A M′ ′= .

Kružnice 1 2,k k sa pretnú v bodoch 1 2,M M . Body 1 2,M M sú osovo súmerné vzhľadom na

priamku o . Pretože ide o ľubovoľný pár bodov hyperboly, majú túto vlastnosť všetky body

hyperboly, t.j. hyperbola je osovo súmerná vzhľadom na priamku určenú ohniskami, preto

priamku o nazývame osou hyperboly (obr. 35).

Narysujeme bodom S priamku o′ , kolmú na os o . Bod 3M je osovo súmerný s bodom 1M

vzhľadom na os o′ . Pretože i ohniská sú vzhľadom na os o′ súmerné, platí

1 1 2 3F M F M= a 1 3 2 1F M F M= .

32

Odtiaľ 1 3 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2F M F M F M F M F M F M a− = − = − = .

Priamku o′ nazveme tiež os hyperboly. Priamku o nazývame hlavnou osou, os o′ zase

vedľajšou osou hyperboly.

Obr. 35

Na osi o′nie sú body hyperboly.

Pre každý bod M hyperboly úsečky 1F M a 2F M sa nazývajú sprievodiče bodu M

hyperboly (obr. 36).

Narysujme bodom M priamku t , ktorá je osou uhla 1 2F MF . Pätu kolmice vedenej bodom 2F

na priamku t označme P a osovo súmerný bod k bodu 2F vzhľadom na priamku t označme

Q . Bod P leží na kružnici so stredom S a polomerom a , ktorú nazývame vrcholová

kružnica vk .

33

Obr. 36

Trojuholník 2F QM je rovnoramenný, a preto 2F M MQ= . Odtiaľ 1 2F Q a= .

Z toho vyplýva tvrdenie:

Päty P kolmíc vedených ohniskami hyperboly na ich dotyčnice ležia na vrcholovej kružnici

hyperboly (t.j. na kružnici, ktorej stred je stredom hyperboly, a ktorá prechádza vrcholmi

,A B hyperboly). Body Q , osovo súmerné k ohnisku hyperboly vzhľadom k dotyčniciam, ležia

na kružnici rk so stredom v druhom ohnisku a s polomerom 2a (riadiaca kružnica

hyperboly).

3.2 Rovnica hyperboly

Umiestnime hyperbolu do pravouhlej súradnicovej sústavy tak, že jej stred S je v začiatku O

a ohniská na osi x (obr. 37).

34

Obr. 37

Podľa definície platí 1 2 2F M F M a− = ( )1

( ) ( )2 22 21 2,F M x e y F M x e y= + + = − + .

Po dosadení do ( )1 je

( ) ( )2 22 2 2x e y x e y a+ + − − + = ( )2

Pri ďalších algebrických úpravách možno označenie absolútnej hodnoty vynechať.

Po úpravách a zavedení 2 2 2b e a= − dostaneme 2 2

2 2 1x ya b

− = ( )3

Rovnica ( )3 je rovnicou hyperboly v stredovom tvare.

Ak stredom hyperboly je bod [ ],S m n a ohniská 1 2,F F ležia na rovnobežke s osou x ,

prechádzajúcou bodom S (obr. 38), potom rovnica hyperboly má tvar

( ) ( )2 2

2 2 1x m y n

a b− −

− = ( )4

Túto rovnicu nazývame rovnica hyperboly v osovom tvare.

35

Obr. 38

Rovnica hyperboly, ktorej stred leží v začiatku súradnicovej sústavy a ohniská sú na osi y ,

[ ]1 0,F e , [ ]2 0,F e− , má tvar

2 2 2 2

2 2 2 21, 1y x x ya b b a

− = − + = ( )5

Ak stred hyperboly je bod [ ],S m n a ohniská ležia na rovnobežke s osou y , prechádzajúcou

bodom S , potom rovnica hyperboly má tvar

( ) ( )2 2

2 2 1x m y n

b a− −

− + = ( )6

Rovnice v osovom tvare môžeme upraviť 2 2 0Ax By Cx Dy E+ + + + = , pričom AB < 0 .

Túto rovnicu nazývame rovnicou hyperboly vo všeobecnom tvare. V tomto prípade hyperbola

má hlavnú os rovnobežnú s osou x alebo s osou y .

Obrátene to však neplatí, každá takáto kvadratická rovnica nemusí byť rovnicou hyperboly

s hlavnou osou rovnobežnou s osou x alebo s osou y

V pravouhlej súradnicovej sústave má hyperbola s ohniskami [ ]1 ,0F e− , [ ]2 ,0F e a hlavnou

polosou a parametrické rovnice

cos1 1 1 3, , ,2 2 2 2

axt

y b tg t t π π π π

=

= ⋅ ∈ − ∪

( )7

36

Ak stredom hyperboly je bod [ ],S m n a ohniská 1 2,F F ležia na rovnobežke s osou x ,

prechádzajúcou bodom S , potom parametrické rovnice hyperboly majú tvar

cos1 1 1 3, , ,2 2 2 2

ax mt

y n b tg t t π π π π

= +

= + ⋅ ∈ − ∪

( )8

Rovnica dotyčnice v osovom tvare so stredom [ ],S m n s dotykovým bodom [ ]1 1,T x y je

( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 1

x m x m y m y ma b

− ⋅ − − ⋅ −− = ( )9

Rovnice asymptôt hyperboly v stredovom tvare sú

,b by x y xa a

= = − ( )10

a v osovom tvare so stredom [ ],S m n sú

( )by n x ma

− = ± − ( )11

Pri nepriamej úmernosti sa stretávame s grafom rovnoosovej hyperboly .

Rovnoosová hyperbola, ktorej asymptoty sú totožné s osami ,x y pravouhlej súradnicovej

sústavy, má rovnicu kyx

= , kde 0k ≠ je konštanta.

Ak je 0k > , vetvy rovnoosovej hyperboly ležia v I. a III. kvadrante (obr. 39),

ak k < 0 , potom vetvy ležia v II. a IV. kvadrante (obr. 40).

Obr. 39 Obr. 40

37

Úlohy

3.1 Napíšte rovnicu hyperboly v stredovom tvare, ak vzdialenosť hlavných vrcholov je

30 a vzdialenosť ohnísk je 34 .

Riešenie.

Zo zadania úlohy vyplýva, že 2 30a = , 2 34e = . Potom 15, 17a e= = . Dĺžku b vedľajšej

polosi vypočítame zo vzťahu 2 2 2e a b= + , čiže

2 2 2 217 15 289 225 64 8b e a= − = − = − = = .

Rovnica tejto hyperboly je 2 2

1225 64x y

− = ,

po úprave 2 264 225 14400x y− =

3.2 Napíšte rovnicu hyperboly v stredovom tvare, ktorá má hlavné vrcholy v ohniskách

a ohniská vo vrcholoch elipsy s rovnicou 2 2

1100 64x y

+ = .

Riešenie.

Z danej rovnice elipsy vyplýva, že 2 100a = , 2 64b = , 2 2 2 36e a b= − = , takže

10, 8, 6a b e= = = .

Potom hyperbola má 2 2 210, 6, 100 36 64e a b e a= = = − = − = , 8b = . Rovnica tejto

hyperboly je 2 2

136 64x y

− = ,

po úprave 2 216 9 576x y− = .

3.3 Napíšte rovnicu hyperboly v stredovom tvare, ktorá prechádza bodom [ ]4,5;1M

a jej asymptoty majú rovnice 23

y x= a 23

y x= − .

Riešenie.

Keďže rovnice asymptôt sú by xa

= ± , potom 23

ba

= ± , čiže 1,5a b= ± .

Po dosadení do rovnice hyperboly v stredovom tvare je 2 2

2 2 12,25

x yb b

− = .

38

Pretože bod [ ]4,5;1M leží na tejto hyperbole, platí 2 2

20, 25 1 12,25b b

− = ,

po úpravách 2 2

9 1 1b b

− = , takže 2 2 28, 2, 25 18b a b= = = .

Rovnica hyperboly je 2 2

118 8x y

− = ,

po úprave 2 24 9 72x y− =

3.4 Zistite, či rovnica 2 29 16 90 96 495 0x y x y− − − − = je rovnicou hyperboly. Ak je,

potom určte jej stred, ohniská a polosi.

Riešenie.

Danú rovnicu budeme postupne upravovať

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

9 16 90 96 495 0

9 10 16 6 495

9 10 25 16 6 9 495 9.25 16.9

9 5 16 3 576

9 5 16 31

576 5765 3

164 36

x y x y

x x y y

x x y y

x y

x y

x y

− − − − =

− − + =

− + − + + = + −

− − + =

− +− =

− +− =

Z tejto rovnice vyplýva, že stred je [ ]5, 3S − , hlavná os je rovnobežná s osou x , 8a = ,

6b = , 2 64 36 100e = + = , 10e = ; ohniská sú [ ]1 5, 3F − − , [ ]2 15, 3F − , pretože pre x − ovú

súradnicu ohniska 1F je 5 10 5m e− = − = − ; pre x − ovú súradnicu ohniska 2F je

5 10 15m e+ = + = .

3.5 Zistite, či rovnica 2 23 12 2 14 0x y x y− + − + = je rovnicou hyperboly. Ak áno, potom

určte jej stred, ohniská a polosi.

Riešenie.

Rovnicu postupne upravíme

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

3 12 2 14 0

3 4 2 14

3 4 4 2 1 14 3.4 1

x y x y

x x y y

x x y y

− + − + =

+ − + = −

+ + − + + = − + −

39

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

3 2 1 3

1 21

3 1

x y

y x

+ − + = −

+ +− =

Z tejto rovnice vyplýva, že stredom hyperboly je [ ]2, 1S − − , hlavná os je rovnobežná

s osou y , 3a = , 1b = , 2 2 2 3 1 4e a b= + = + = , 2e = . Ohniská sú [ ]1 2, 3F − − ,

[ ]2 2,1F − .

3.6 Presvedčte sa, či parametrické rovnice

12

1 , 02

ax tt

by t abt

= + = − ≠

sú rovnice hyperboly. Napíšte jej rovnicu v pravouhlej súradnicovej sústave.

Riešenie.

Z daných rovníc vylúčime parameter t . Napíšeme ich v tvare

( )

( )

1 2 1

1 2 2

xtt a

ytt b

+ =

− =

a sčítaním týchto rovníc dostaneme

2 22 x yta b

= + ,

odkiaľ 1,bx ay abtab t bx ay+

= =+

.

Po dosadení týchto výsledkov do rovnice ( )1 dostaneme

2x bx ay aba ab bx ay

+= +

+,

čo postupne upravujeme takto:

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

2 2 2

1

bx bx ay bx ay a b

b x abxy b x abxy a y a bb x a y a bx ya b

+ = + +

+ = + + +

− =

− =

Táto rovnica je rovnicou hyperboly v stredovom tvare.

40

3.7 Určte rovnicu dotyčnice hyperboly 2 22 3 8 6 1 0x y x y− − + − = v dotykovom bode,

ktorého 3y = .

Riešenie.

Dotykový bod T leží na danej hyperbole, po dosadení 3y = do rovnice hyperboly je 22 27 8 18 1 0x x− − + − = , čiže 2 4 5 0x x− − = . Odtiaľ je 1 25, 1x x= = − .

Dotyčnica danej hyperboly v dotykovom bode [ ]5,3T má rovnicu

10 9 4 20 3 9 1 0x y x y− − − + + − = ,

čiže 2x y− = .

Dotyčnica v bode [ ]1,3T ′ − má rovnicu 2 9 4 4 3 9 1 0x y x y− − − + + + − = , teda 2x y+ = .

3.8 Presvedčte sa, či parametrickými rovnicami

( )( )2

4 1

3 1 2

x t

y t

=

= −

je daná hyperbola. Napíšte rovnicu dotyčnice v bode [ ]5, 0TT y > .

Riešenie.

Vylúčením parametra t z obidvoch rovníc vypočítame rovnicu hyperboly. Parameter

4xt = z rovnice ( )1 dosadíme do rovnice ( )2 a postupne upravujeme:

( )

2

2 2

2 2

2 2

3 14

9 1616

9 16 144

116 9

xy

y x

x yx y

= −

= −

− =

− =

Táto rovnica je rovnicou hyperboly v stredovom tvare s ohniskami na osi x a polosami

4, 3a b= = . Teraz určíme súradnice bodu T hyperboly tak, že do rovnice ( )1 dosadíme

5Tx x= = a vyjadríme z nej parameter 54

t = . Po dosadení tejto hodnoty do rovnice ( )2

dostaneme 25 9 93 1 316 16 4Ty = − = = ± .

41

V našom prípade je 95,4

T

. Potom rovnica dotyčnice má tvar

95 4 116 9

yx− = a po

úprave 5 4 16 0x y− − = .

3.9 Napíšte rovnicu dotyčnice hyperboly 2 2 20x y− = , ktorá prechádza bodom [ ]4, 4M .

Riešenie.

Dotyčnica danej hyperboly s dotykovým bodom [ ]1 1,T x y má rovnicu 1 1 20x x y y− = .

Pretože prechádza bodom [ ]4, 4M , jeho súradnice tejto rovnici vyhovujú a platí

1 14 4 20x y− = , čiže 1 15x y= + , čo dosadené do rovnice 2 21 1 20x y− = dáva

2 21 1 125 10 20y y y+ + − = .

Odtiaľ 1 0,5y = − , takže 1 15 4,5x y= + = . Hľadaná dotyčnice má dotykový bod

[ ]4,5; 0,5T − a rovnicu 4,5 0,5 20x y+ = , t.j. 9 20x y+ = .

Daným bodom M prechádza len jedna dotyčnica hyperboly, lebo tento bod leží na jej

asymptote s rovnicou y x= .

3.10 Napíšte rovnicu rovnoosej hyperboly, ktorej asymptotami sú súradnice osi

a prechádza bodom [ ]5,3M . Súčasne napíšte rovnicu dotyčnice tejto hyperboly

v danom bode M .

Riešenie.

Pretože bod M leží na uvažovanej hyperbole s rovnicou kyx

= , jeho súradnice vyhovujú

tejto rovnici a platí 35k

− = , teda 15k = − . Rovnica hyperboly je 15yx

= − , resp.

15xy = − .

Rovnica dotyčnice má tvar 1 1 2y x x y k+ = a teda dotyčnica v bode M má rovnicu

3 5 30x y− + = − , čiže 3 5 30 0x y− − = .

3.11 Určte rovnicu hyperboly v stredovom tvare, ktorá má asymptotu 12

y x=

a dotyčnicu 3x y− = .

Riešenie.

42

Rovnica asymptoty je by xa

= a porovnaním s rovnicou 12

y x= dostaneme 12

ba

= , čiže

2a b= . Rovnica hyperboly je 2 2

2 2 14x yb b

− = , resp. 2 2 24 4x y b− = .

Treba vypočítať 2b . Hľadajme jej priesečník s danou priamkou 3y x= − . Po dosadení do

rovnice hyperboly dostaneme ( )2 2 24 6 9 4x x x b− − + = , čiže ( )2 23 24 36 4 0x x b− + + = .

Ak má daná priamka byť dotyčnicou hľadanej hyperboly, musí mať s ňou jeden spoločný

bod, táto rovnica teda musí mať dvojnásobný koreň, preto jej diskriminant musí sa

rovnať nule: ( )2144 3 36 4 0D b= − + = . Odtiaľ vypočítame 2 3b = . Rovnica hľadanej

hyperboly je 2 2

112 3x y

− = , t.j. 2 24 12x y− = .

4. Parabola


Parabolou nazývame množinu všetkých bodov M v rovine, ktoré majú rovnakú vzdialenosť

od pevného bodu F a pevnej priamky d .

Bod F nazývame ohnisko paraboly, priamku d zase riadiacou priamkou paraboly.

Vzdialenosť 0p > ohniska F od riadiacej priamky d je parameter paraboly (obr. 41).

Obr. 41

Priamka o , zostrojená ohniskom F kolmo na riadiacu priamku d , je os paraboly. Teda pre

každý bod M paraboly platí

( )1MQ MF=

Z definície paraboly vyplýva konštrukcia bodov paraboly (obr. 42).

43

Označme G priesečník osi o a priamky d . Zrejme stred V úsečky FG je bod paraboly.

Bod V je vrchol paraboly.

Zvoľme bod 1 na polpriamke VF a veďme ním kolmicu l na priamku o . Kružnica k so

stredom F a s polomerom 1r G= pretne priamku l v dvoch bodoch ,M M ′ . Tieto body

zrejme ležia na parabole.

Obr. 42

Ak totiž Q je päta kolmice vedená bodom M na priamku d , je vzdialenosť MQ bodu

M od priamky d rovnaká ako 1G , teda platí 1MQ G r FM= = = . Rovnako to platí aj

o bode M ′ . Úsečky MQ a MF nazývame sprievodiče bodu M .

Zostrojme bodom M os t uhla FMQ . Ľahko sa presvedčíme, že priamka t má s parabolou

spoločný práve jeden bod. Preto priamku t nazveme dotyčnicou paraboly (obr. 43)

Obr. 43

44

Všetky body, ktoré majú od bodu Q a od bodu F rovnaké vzdialenosti, ležia na priamke t

a tá má s priamkou MQ spoločný práve bod M . Toto tvrdenie vyplýva z nasledujúcej úvahy.

Vzhľadom na osovú súmernosť paraboly, dotyčnicou paraboly v jej vrchole V je kolmica v

na os o , priamka v je vrcholová dotyčnica.

Označme P priesečník priamok v a t . Trojuholníky MPF a MPQ sú zhodné, pretože

MF MQ= , stranu MP majú spoločnú a vnútorné uhly FMP a QMP sú zhodné. Z toho

vyplýva, že aj vnútorné uhly obidvoch trojuholníkov pri vrchole P sú zhodné a teda pravé.

Z uvedeného platí FP PQ= . Z toho vyplýva:

a) päty P kolmíc vedených ohniskom paraboly na dotyčnice paraboly ležia na

vrcholovej dotyčnici,

b) body Q súmerné s ohniskom podľa dotyčníc paraboly ležia na riadiacej priamke.

4.2 Rovnica paraboly

Umiestnime parabolu do pravouhlej súradnicovej sústavy tak, že vrchol V bude v začiatku O

a ohnisko ,02pF

. Jej riadiaca priamka má rovnicu

2px = − (obr. 44).

Podľa definície pre každý bod [ ],M x y platí:

FM MQ= ,

potom 2

2

2pFM x y = − +

a

2pMQ x= + ,

22

2 2p px y x − + = +

.

Po úprave je ( )2 2 1y px=

Obr. 44

45

Ak budeme meniť polohu ohniska, však vrchol V ponecháme v začiatku O , dostaneme

nasledovné rovnice paraboly:

Rovnica paraboly s ohniskom ,02pF −

má tvar 2 2y px= − , ( )2

rovnica paraboly s ohniskom 0,2pF

má tvar 2 2x py= , ( )3

rovnica paraboly s ohniskom 0,2pF −

má tvar 2 2x py= − . ( )4

Jednotlivé prípady polohy sú znázornené na obr. 45.

Obr. 45

Parabola, ktorá má vrchol [ ],V m n a jej os je rovnobežná s osou x , má rovnicu

( ) ( )2 2y n p x m− = − (obr. 46) ( )5

alebo ( ) ( )2 2y n p x m− = − − ( )6

Obr. 46

46

Parabola, ktorá má vrchol [ ],V m n a jej os je rovnobežná s osou y , má rovnicu

( ) ( )2 2x m p y n− = − (obr. 47) ( )7

alebo ( ) ( )2 2x m p y n− = − − ( )8

Obr. 47

Rovnica 2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + = ( )9

je rovnicou paraboly, ak , , , ,A C D E F sú reálne čísla a platí:

0, . 0A C D= ≠ alebo 0, . 0C A E= ≠ .

Poznámka

Graf kvadratickej funkcie ( )2 , 0, ,y ax bx c a x= + + ≠ ∈ −∞ ∞ predstavuje parabolu.

Ak je [ ],V m n vrchol paraboly a [ ]1 1,T x y bod dotyku dotyčnice paraboly, potom rovnica

dotyčnice paraboly

a) ( ) ( )2 2y n p x m− = ± − má tvar ( )( ) ( )1 1 2y n y n p x x m− − = ± + − , ( )10

b) ( ) ( )2 2x m p y n− = ± − má tvar ( )( ) ( )1 1 2x m x m p y y n− − = ± + − , ( )11

Úlohy

4.1 Napíšte rovnicu paraboly, ktorá má vrchol v začiatku súradnicovej sústavy

a ohnisko a) [ ]5,0F b) [ ]0, 2F − .

Riešenie.

a) 2 2y px= , 52p VF= = , 10p = , polpriamka VF je kladnou polosou x a je osou

paraboly. Rovnica paraboly je 2 20y x= .

47

b) 2 2x py= − , 22p VF= = , 4p = , polpriamka VF je zápornou polosou y a je osou

paraboly. Rovnica paraboly je 2 8x x= − .

4.2 Určte rovnicu paraboly, ktorá má vrchol v začiatku súradnicovej sústavy,

prechádza bodom [ ]3, 6A − a má os a) na osi x , b) na osi y . Určte súradnice ohniska

a rovnicu riadiacej priamky.

Riešenie.

a) Ak [ ]0,0V a os o je na osi x , má parabola rovnicu 2 2y px= (vyplýva z polohy

bodu A ). Pretože bod A leží na parabole je 36 2 .3p= , odkiaľ 2 12p = , takže rovnica

paraboly je 2 12y x= . Potom 6p = , 32p

= , [ ]3,0F a riadiaca priamka d yP má

rovnicu 3x = − .

b) Ak [ ]0,0V a os o je na osi y , má parabola rovnicu 2 2x py= − (vyplýva z polohy

bodu A ). Pretože bod A leží na parabole je ( )9 2 . 6p= − − , odkiaľ 2 1,5p− = − , takže

rovnica paraboly je 2 1,5x y= − . Potom 0,3752p

= , [ ]0; 0,375F − a riadiaca priamka

d xP má rovnicu 0,375y = .

4.3 Určte súradnice vrchola, súradnice ohniska, rovnicu riadiacej priamky paraboly 2 8 10 64 0x x y+ − − = .

Riešenie.

Danú rovnicu paraboly postupne upravíme na tvar

( ) ( )

2

2

2

8 10 64 08 16 10 64 16

4 10 8

x x yx x y

x y

+ − − =

+ + = + +

+ = +

Porovnaním s rovnicou ( )7 dostaneme, že daná parabola má vrchol [ ]4, 8V − − ,

parameter 5p = , ohnisko [ ]4; 5,5F − − a riadiaca priamka má rovnicu 10,5y = − .

4.4 Určte súradnice vrchola, súradnice ohniska, rovnicu riadiacej priamky paraboly 2 4 6 13 0y x y− + + = .

Riešenie.

Danú rovnicu paraboly postupne upravíme na tvar

48

( ) ( )

2

2

2

4 6 13 06 9 4 13 9

3 4 1

y x yy y x

y x

− + + =

− + = − +

+ = −

Porovnaním s rovnicou ( )5 dostaneme, že daná parabola má vrchol [ ]1, 3V − , parameter

2p = , ohnisko [ ]2, 3F − a riadiaca priamka má rovnicu 0x = .

parabola má os o xP , 11, 3,2 4, 12

m n p p= = − = = . Preto má vrchol [ ]1; 3V − , súradnice

ohniska sú [ ]2; 3F − . Riadiaca priamka je rovnobežná s osou y a má rovnicu 0x = (os

y ).

4.5 Napíšte vrcholovú rovnicu paraboly, ktorá má os na súradnicovej osi y a dotýka sa

priamky s rovnicou 5 4 10 0x y− − = .

Riešenie. Vzhľadom na umiestnenie paraboly v súradnicovej sústave má rovnicu tvaru 2 2x py= . Pre napísanie rovnice potrebujeme vypočítať parameter p , resp. 2 p .

Súradnice x jej priesečníkov s danou priamkou

5 104

xy −=

sú korene kvadratickej rovnice 22 5 10 0.x px p− + =

Ak má byť táto priamka dotyčnicou hľadanej paraboly, musí táto rovnica mať jeden

dvojnásobný koreň; preto jej diskriminant sa musí rovnať nule, teda 225 80 0,p p− =

potom 3, 2p = .

Hľadaná parabola existuje a má rovnicu 2 6, 4x y= .

4.6 Určte rovnice priamok, ktoré prechádzajú bodom [ ]6;2M − a majú s parabolou

2 16y x= práve jeden spoločný bod.

Riešenie.

Priamka, ktorá spĺňa danú podmienku, je buď rovnobežka s osou paraboly, alebo jej

dotyčnica.

49

Z rovnice 2 16y x= vyplýva, že os tejto paraboly je os x ; rovnobežka s osou x

prechádzajúca bodom [ ]6;2M − má rovnicu 2y = a pretne danú parabolu v bode P ,

ktorého 22 1

16 4x = = , takže 1 ;2

4P

.

Dotyčnica vedená bodom M má rovnicu ( )2 6y k x− = + , kde 0k ≠ . Dotykový bod

s parabolou 2 16y x= určíme riešením rovníc

( )

2 162 6 .

y xy k x

=

− = +

Po úprave dostaneme kvadratickú rovnicu

( )2 16 96 32 0ky y k− + + = ,

ktorej diskriminant bude sa rovnať nule, teda

( )256 4 96 32 0,k k− + =

čiže 23 2 0,k k+ − =

odkiaľ

1 22 , 13

k k= = − .

Takže rovnice hľadaných dotyčníc sú

( )22 63

y x− = + , čiže 2 3 18 0,x y− + =

( )2 6y x− = − + , čiže 4 0.x y+ + =

4.7. Napíšte rovnicu paraboly v pravouhlej súradnicovej sústave, ak jej

parametrické rovnice sú 22, 1x t y t= + = − .

Riešenie.

Z prvej parametrickej rovnice vyjadríme parameter 2t x= − a dosadíme ho do druhej

rovnice. Dostaneme

( )22 1y x= − −

alebo 2 4 3.y x x= − +

50

Parabola má potom v pravouhlej súradnicovej sústave rovnicu 2 4 3.y x x= − + , jej vrchol

je [ ]2; 1V − a parameter 12

p = .

4.8 Dané sú dve paraboly rovnicami 2 7y x= a ( )2 11 9y x= − . Napíšte rovnice

spoločných dotyčníc daných parabol.

Riešenie.

Podľa zadania parabol, vrcholy parabol sú dva rôzne body osi x a ich spoločná os je os

x . Z toho vyplýva, že hľadané dotyčnice nie sú rovnobežné s osou y a teda majú

smernicu.

Rovnica hľadanej dotyčnice bude mať rovnicu tvaru y kx q= + , v ktorej zatiaľ

nepoznáme k a q . Určíme ich z podmienky, že dotyčnica s každou z týchto parabol má

len jeden spoločný bod.

Ak dosadíme y kx q= + do rovníc daných parabol, dostaneme dve kvadratické rovnice,

ktorých diskriminanty musia sa rovnať nule.

Rovnica

( )2 2 22 7 0k x kq x q+ − + =

má diskriminant ( )2 2 22 7 4 0kq k q− − = a odtiaľ 1,75kq = .

Rovnica

( ) ( )2 2 22 11 99 0k x kq x q+ − + + =

má diskriminant ( ) ( )2 2 22 11 4 99 0.kq k q− − + =

Po dosadení 1,75kq = dostávame 1 21 1,3 3

k k= = − ,

takže 1 27 1 21 7 1 21: , :4 3 4 4 3 4

q q= = = − = − .

Rovnice spoločných dotyčníc daných dvoch parabol sú

1 213 4

y x= ± ± ,

čiže

4 12 63 0x y+ + = a 4 12 63 0x y− + = .

4.9 Reflektor má rez tvaru paraboly. Jeho priemer je 24cm a hĺbka 12cm . Určte

polohu ohniska a rovnicu parabolického rezu.

Riešenie.

51

Danú situáciu si znázorníme v súradnicovej sústave (obr. 48)

Obr. 48

Položili sme os reflektoru na kladnú časť osi x a vrchol do začiatku súradnicovej

sústavy O . Parabolický rez v tomto prípade je charakterizovaný rovnicou 2 2 .y px=

Bod [ ]12;12M leží zrejme na danej parabole. Po dosadení súradníc tohto bodu je

144 24 p= ,

odkiaľ 6p = .

Rovnica parabolického rezu vo zvolenej súradnicovej sústave je 2 12y x=

a jeho ohnisko je [ ]3;0F .

5. Vzťah kvadratickej formy dvoch premenných a rovnice kužeľosečky


Forma 2 2

11 12 22 13 23 332 2 2a x a xy a y a x a y a+ + + + + , ( )1

kde 11 12 22 13 23 33, , , , ,a a a a a a sú dané reálne čísla, pričom aspoň jedno z čísel 11 12 22, ,a a a sa

nerovná nule, nazýva sa kvadratická forma s dvoma premennými ,x y .

Kvadratická rovnica má všeobecný tvar 2 2

11 12 22 13 23 332 2 2 0,a x a xy a y a x a y a+ + + + + = ( )2

52

kde ija , ( )1,2,3; 1,2,3i j= = sú reálne čísla a aspoň jedno z čísel 11 12 22, ,a a a sa nerovná nule.

Rovnica ( )2 vo vhodne zvolenej pravouhlej súradnicovej sústave môže vyjadrovať:

1. kužeľosečku (kružnicu, elipsu, hyperbolu, parabolu);

2. dvojicu priamok;

3. bod;

4. prázdna množina

5.2 Kvadratická forma bez člena xy

Na základe úvah v predchádzajúcich častiach môžeme rovnicu ( )2 s 12 0a = upraviť na tvar

2 211 22 13 23 332 2 0a x a y a x a y a+ + + + = . ( )3

Postupnými úpravami dostaneme tieto prípady:

1. Rovnica 2 2

2 2 1x ya b

+ = , ( )4

kde a b> je rovnica elipsy, ktorej hlavná os je na osi x a vedľajšia os je na osi y ; pre

a b= je to rovnica kružnice so stredom v začiatku a s polomerom a ; pre a b< je to

rovnica elipsy, ktorej hlavná os je na osi y a vedľajšia na osi x .

2. Rovnica 2 2

2 2 1x ya b

− = , ( )5

je rovnicou hyperboly, ktorej reálna os leží na osi x a imaginárna na osi y ; rovnica

2 2

2 2 1x ya b

− + = , ( )6

je rovnica hyperboly, ktorej reálna os leží na osi y a imaginárna os na osi x .

3. Rovnica 2y ax= , ( )7

je rovnica paraboly, ktorej os leží na osi x , vrchol v začiatku a ohnisko je bod ;04a

.

Rovnica 2x ay= , ( )8

53

je rovnica paraboly, ktorej os leží na osi y , vrchol je v začiatku a ohnisko je bod 0;4a

.

Poznámka. Tvrdenia o rovniciach 2y ax= , 2x ay= zostávajú správne aj vtedy, keď číslo a v nich

vystupujúce je záporné.

Pri vyšetrovaní kvadratickej rovnice bez člena xy , t.j. rovnice 2 2

11 22 13 23 332 2 0a x a y a x a y a+ + + + = , ( )9

môžeme postupovať takto:

1. Ak 11 220, 0a a≠ ≠ , upravujeme rovnicu ( )9 nasledovne

2 2 2 213 23 11 22 33 22 13 11 23

11 2211 22 11 22

0.a a a a a a a a aa x a ya a a a

− −+ + + + =

( )10

Ak v nej vystupujúci zlomok sa nerovná nule, predelíme k nemu opačným číslom

a z takto vzniknutej rovnice usúdime, aký útvar tá rovnica predstavuje.

Ak uvažovaný zlomok sa rovná nule, zisťujeme priamo alebo ďalšou úpravou, aký útvar

rovnica predstavuje.

2. Ak 11 220, 0a a≠ = , upravíme rovnicu ( )9 na tvar

2 213 13

11 23 3311 11

2a aa x a y aa a

+ = − − +

a ďalej na tvar 2 2

13 23 33 13

11 11 23 11 23

22 2

a a a ax ya a a a a

+ = − + −

,

ak 23 0a ≠ .

3. Ak 11 220, 0a a= ≠ , postupujeme ako v prípade 2.

Úlohy

5.1 Je daná kvadratická rovnica 2 236 16 36 96 9 0x y x y+ + − + = . Zistite útvar, ktorý je

daný rovnicou.

Riešenie.

Daná rovnica je bez člena xy , postupne ju upravujeme.

( ) ( )2 2

2 2

36 16 36 96 9 0

36 16 6 9 0

x y x y

x x y y

+ + − + =

+ + − + =

54

( )

( )

( )

( )

2 2

22

22

2

2

1 136 16 6 9 9 9 04 4

136 9 16 3 144 9 02

136 16 3 144 / :1442

132 1.

4 9

x x y y

x y

x y

x y

+ + − + − + − + =

+ − + − − + =

+ + − =

+ − + =

Táto rovnica je rovnicou elipsy, ktorej stred je v bode 1 ,32

− , hlavná os leží na priamke

12

x = − a vedľajšia os leží na priamke 3y = , dĺžka hlavnej polosi je 3 a dĺžka vedľajšej

polosi je 2 (obr. 49).

Obr. 49

5.2 Je daná kvadratická rovnica 24 5 6 8 0x x y− − + + = . Určte útvar, ktorý je daný

rovnicou.

Riešenie. 2

2

2

2

4 5 6 8 054 6 8 045 25 254 6 8 04 64 16

153 56 496 8

x x y

x x y

x x y

y x

− − + + =

− + + + = − + + + + + =

+ = +

55

Táto rovnica je rovnicou paraboly, ktorej vrchol je 5 153;8 96

V − − , rovnica osi tejto paraboly

je 58

x = − , jej parameter je 34

p = .

5.3 Kvadratická forma s členom xy

Nech je daná kvadratická rovnica

2 211 12 22 13 23 332 2 2 0.a x a xy a y a x a y a+ + + + + = ( )11

Z koeficientov rovnice ( )11 zostavíme determinanty

11 12 1311 12

12 22 23 3312 22

13 23 33

a a aa a

D a a a Da a

a a a= = ( )12

Determinant D nazývame determinantom kužeľosečky s rovnicou ( )11 a determinant 33D

nazývame diskriminantom kvadratických členov kužeľosečky.

Podľa hodnosti h matice determinantu D môžu nastať tieto prípady:

1. 0, 3D h≠ = - kužeľosečka je regulárna (kružnica, elipsa, hyperbola, parabola);

2. 0, 2D h= = - kužeľosečka je singulárna (degenerovaná) (rozpadá sa na dve reálne

alebo imaginárne rôznobežky);

3. 0, 1D h= = - kužeľosečka je opäť singulárna (rozpadá sa na dve rôzne alebo totožné

rovnobežky, ktoré sú reálne alebo imaginárne).

O kužeľosečke danej všeobecnou rovnicou ( )11 možno rozhodnúť na základe 33,D D

a hodnôt 11 12 22, ,a a a .

Zostavme tabuľku.

56

TABUĽKA 1

11 0a D <

alebo

22 0a D <

reálna elipsa

11 22a a= reálna

12 0a = kružnica

33 0D > 11 0a D >

alebo

22 0a D >

rovnici ( )11 nevyhovuje žiadny bod

33 0D = parabola

0D ≠

33 0D < hyperbola

33 0D > rovnici ( )11 vyhovuje jediný bod

22 0D < dve rôzne reálne rovnobežky

22 0D =

dve splývajúce rovnobežky

(dvojnásobná priamka)

11 0a ≠

22 0D > rovnici ( )11 nevyhovuje žiadny bod

11 0D < dve rôzne reálne rovnobežky

11 0D =

dve splývajúce rovnobežky

(dvojnásobná priamka)

33 0D = 11

22

00

aa

=≠

11 0D > rovnici ( )11 nevyhovuje žiadny bod

0D =

33 0D < dve reálne rôznobežky

22 23 11 1311 22

23 33 13 33

a a a aD D

a a a a= =

57

Ak v rovnici ( )11 je 12 0a ≠ , otočením sústavy súradníc o orientovaný uhol α , ktorý

vypočítame zo vzťahu

( ) 11 22

12

cotg 22

a aa

α−

= , ( )13

dosiahneme to, že regulárna kužeľosečka s rovnicou ( )11 má osi rovnobežné so

súradnicovými osami.

Ak nastane tento stav, potom môžeme usúdiť o akú kužeľosečku sa jedná:

1. ak 11 22 0a a > , potom je regulárna kužeľosečka elipsou (pre 11 22a a= je kružnica);

2. ak 11 22 0a a < , potom je regulárna kužeľosečka hyperbolou (pre 11 22a a= − je rovnoosá

hyperbola);

3. ak 11 22 0a a = , potom je regulárna kužeľosečka parabolou.

Úlohy

5.3 Rozhodnite, akú kužeľosečku určuje rovnica 2 25 8 5 18 218 9 0x xy y x y+ + − − + = .

Riešenie.

Vypočítajme hodnoty D a 33D .

33

5 4 95 4

4 5 9 ... 81 ... 94 5

9 9 9D D

−= − = = − = = =

− −.

Podľa tabuľky 1 daná rovnica je rovnicou elipsy, pretože 3381 0, 9 0D D= − ≠ = > ,

( )11 5. 81 405 0a D = − = − < .

Otočením súradnicovej sústavy o orientovaný uhol α podľa vzorca ( )13 dostaneme

( ) 5 5 0cotg 2 0,8 8

α−

= = =

z toho 2 90 , 45α α= =o o . Ak použijeme transformačné rovnice pre otočenie

.cos .sin.sin .cos

x x yy x y

α αα α

′ = +′ = − +

alebo

.cos .sin

.sin .cosx x yy x y

α αα α

′ ′= −′ ′= +

58

dostaneme

( )

( )

2 ,22 .

2

x x y

y x y

′ ′= −

′ ′= +

Po dosadení do danej rovnice je

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 1 1 2 25. 8. 5 18. 18. 9 0,2 2 2 2 2

x y x y x y x y x y′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− + − + + − − − + + =

po úprave

( ) 221.

1 9

x y′ − ′+ =

Z poslednej rovnice je zrejmé, že ohniská elipsy ležia na rovnobežke s osou y′ .

Stredom elipsy v otočenej sústave súradníc je bod 2;0S ′ , v pôvodnej súradnicovej

sústave bod [ ]1;1S . Ďalej 3, 1,a b= = (obr. 50)

Obr. 50

5.4 Je daná rovnica kužeľosečky 2 22 3 6 12 0x xy y x x− + − + − = . Určte o akú

kužeľosečku sa jedná.

Riešenie.

Vypočítame hodnoty D a 33D .

59

33

1 1 1,51 191 1 3 ... ... 01 14

1,5 3 12D D

− −−

= − = = − = = =−

− −

Podľa tabuľky 1 je daná krivka parabolou, pretože 339 0, 04

D D= − ≠ = . Určme ďalšie

charakteristické prvky paraboly. Otočme súradnicovú sústavu, vypočítajme uhol

otočenia.

( ) 1 1 0cotg 2 0,2 2

α−

= = =− −

odkiaľ 2 90 , 45α α= =o o . Potom transformačné rovnice pre príslušné otočenie

( )

( )

2 ,22 .

2

x x y

y x y

′ ′= +

′ ′= − +

Po dosadení do danej rovnice dostaneme

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 1 1 2 22. 3. 6. 12 0.2 2 2 2 2

x y x y x y x y x y′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ − − + + − + − + + − + − =

Po úprave je 29 3 912 2 2

8 4 16x y ′ ′− = − −

.

Daná rovnica v otočenej sústave súradníc určuje parabolu s vrcholom 9 912; 28 16

V

s parametrom 3 28

p = (Obr. 51)

Obr. 51

60

5.5 Zistite, akú množinu bodov v rovine určuje rovnica 2 22 3 2 5 5 3 0x xy y x y+ − − + − = .

Riešenie.

Vypočítame hodnoty D a 33D .

33

2 1,5 2,52 1,5 251,5 2 2,5 ... 0, 0

1,5 2 42,5 2,5 3

D D−

= − = = = = − <−

− −.

Z tabuľky je vidieť, že sa jedná o dve reálne rôznobežky. Rovnice daných rôznobežiek

nájdeme najjednoduchšie tak, že rovnicu usporiadane podľa klesajúcich mocnín y (resp.

x ) a riešime vzhľadom na os y (resp. x ).

Tak dostaneme

2 1 02 3 0.

x yx y

− + =+ − =

Ich priesečník P má súradnice 1 7,5 5

x y= = .

Obr. 52

5.6 Rozhodnite, akú kužeľosečku určuje rovnica 2 24 12 6 2 3 0.x xy y x y+ − + + + =

Nájdite túto kužeľosečku.

Riešenie.

33

4 6 34 6

6 1 1 ... 79, 406 1

3 1 3D D= − = = − = = −

−

61

Z tabuľky vidíme, že danou krivkou je hyperbola ( 3379 0, 40 0D D= − < = − < ).

Podľa vzorca ( )13 je

( ) ( )( )

4 1 1cotg 2 0.12 2tg

αα

− −= = =

Vieme, že ( ) ( )2

2

11 2cos 2

tg αα

+ = , z toho vyplýva

( ) ( )2

1 5cos 2 ...2 1 13tg

αα

= = =+

Zo známych vzorcov je

( ) ( )1 cos 2 1 cos 23 2cos ... , sin ... .2 213 13

α αα α

+ −= = = = = =

Z transformačných vzorcov vyplýva

( )

( )

1 3 2131 2 313

x x y

y x y

′ ′= −

′ ′= +

Po dosadení do rovnice dostaneme

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2

2

1 14 3 2 12 3 2 2 313 131 6 22 3 3 2 2 3 3 0.

13 13 13

x y x y x y

x y x y x y

′ ′ ′ ′ ′ ′⋅ − + ⋅ − + −

′ ′ ′ ′ ′ ′− + + − + + + =

Úpravou dostaneme

2 23 13 11 13

65 1041.

79 79200 320

y x

′ ′+ + − =

Daná hyperbola má hlavnú os rovnobežnú s osou y′ , t.j. s priamkou

3 13 2 13 0,13 13

x y+ = stred S v otočenej sústave je v bode 11 13 3 13;104 65

− −

a polosi

62

sú 79 1 79 1... 158, ... 395200 20 320 20

a b= = = = = = . V ďalšom nakreslíme

hyperbolu (obr. 53)

Obr. 53

5.7 Zistite, aká kužeľosečka je určená rovnicou 2 24 4 2 12 0.x xy y x y− + − + − =

Riešenie.

33 22

1 2 0,51 2 1 0,5 492 4 1 ... 0, 0, .2 4 0,5 12 4

0,5 1 12D D D

− −− −

= − = = = = = = −− − −

− −

Rovnica tvorí kužeľosečku, ktorá obsahuje dve rôzne reálne priamky

33 22490, 0, 04

D D D = = = − <

.

Ukážeme aj ďalšie možné postupy riešenia danej úlohy.

Postupne upravujeme.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

22 2

4 4 2 12

4 1 4 2 12

1 14 1 4 1 4 2 122 4

x xy y x y

x y x y y

x y y y y

− + − + − =

= − + + + − =

= − + − + + + − =

63

( )

( ) ( )

21 492 4 14 4

2 4 . 2 3 0.

x y

x y x y

= − − − =

= − − − + =

Na obr. 54 sú priamky znázornené.

Obr. 54

Iný postup riešenia môže byť aj takýto.

Urobíme transformáciu súradnicovej sústavy otočením o orientovaný uhol α , pre ktorý

platí ( ) 42 ...3

tg α = = , potom zo vzorca 22

11cos

tg xx

+ = vyplýva ( ) 3cos 24

α = . Zo

vzorcov 1 cossin2 2x x−

= a 1 coscos2 2x x+

= máme

2 1cos , sin5 5

α α= = .

Transformačné rovnice sú

( )

( )

1 25

1 25

x x y

y x y

′ ′= −

′ ′= +

Po dosadení do danej rovnice a po úprave je

25 5 12 0,y y′ ′+ − =

64

odkiaľ 3 5 4 55 0.5 5

y y

′ ′− ⋅ + =

Ak sa vrátime k pôvodnej súradnicovej sústave, platí

( ) ( )2 3 . 2 4 0.x y x y− + − − + + =

Rovnice priamok sú 2 3 0, 2 4 0.x y x y− + = − − =

5.8 Daná je rovnica 2 24 4 6 12 9 0x xy y x y+ + − − + = . Zistite kužeľosečku, ktorá je touto

rovnicou určená.

Riešenie. Upravujme danú rovnicu.

( )( ) ( )

( )

2 2

2 2

22

2

4 4 6 12 92 2 3 4 12 9

2 2 3 2 3

2 3 0.

x xy y x yx y x y y

x y x y

x y

+ + − + − + =

= + − + − + =

= + − + − =

= + − =

Overme správnosť výsledku pomocou tabuľky 1. Vypočítame postupne determinanty

33 22, ,D D D .

33 22

1 2 31 2 1 3

2 4 6 ... 0, 0, 0.2 4 3 9

3 6 9D D D

−−

= − = = = = = =−

− −

Pretože 11 0a ≠ , je daná rovnica rovnicou dvojnásobnej priamky (reálne splývajúce

rovnobežky, obr. 55 )

Obr. 55

65

5.9 Rozhodnite aký geometrický útvar je daný rovnicou 2 2 4 2 5 0.x y x y+ − + + =

Riešenie. Upravujme postupne danú rovnicu.

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

4 2 5

4 4 2 1

2 1 0.

x y x y

x x y y

x y

+ − + + =

= − + + + + =

= − + + =

Rovnica je splnená, keď 2 0, 1 0x y− = + = , čiže 2, 1x y= = − .

Daná rovnica určuje bod [ ]2, 1P − (obr. 56 ).

Overme tvrdenie pomocou tabuľky 1.

Vypočítajme determinanty 33,D D .

33

1 0 21 0

0 1 1 ... 0, 1.0 1

2 1 5D D

−= = = = =

−

Keďže 0D = a 33 1 0D = > , daná rovnica určuje jediný reálny bod.

Obr. 56.

5.10 Určte kužeľosečku danú rovnicou 2 216 9 32 128 0.x y x− − − = . Ak je táto

kužeľosečka hyperbolou, napíšte rovnice asymptôt tejto hyperboly.

Riešenie.

Upravujme danú rovnicu.

( )( )

2 2

2 2

2 2

16 9 32 128

16 2 1 9 128

16 1 9 144 0

x y x

x x y

x y

− − − =

= − + − − =

= − − − =

66

Z poslednej rovnice vyplýva

( )2 211.

9 16x y−

− =

Je to rovnica hyperboly so stredom v bode [ ]1;0S (obr. 56).

Rovnice asymptôt potom sú ( ) ( )4 41 , 1 .3 3

y x y x= − = − −

Obr. 57.

Kvadratické plochy

6 Kvadratická rovnica s troma neznámymi


Rovnicu 2 2 2

11 22 22 12 13 23 14 24 34 442 2 2 2 2 2 0,a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a+ + + + + + + + + = ( )1

kde 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44, , , , , , , , ,a a a a a a a a a a sú reálne čísla, pričom aspoň jedno z čísel

11 12 13 14 22 23 24 33 34, , , , , , , ,a a a a a a a a a sa nerovná nule, nazývame sa kvadratickou rovnicou

s troma neznámymi , ,x y z .

Rovnica ( )1 je často rovnicou plochy, ktorú nazývame kvadratickou plochou.

Pri skúmaní plochy v priestore riešime tieto úlohy:

a) je daná kvadratická rovnica a zisťujeme plochu, ktorá je touto rovnicou určená;

67

b) poznáme plochu a v danej súradnicovej sústave hľadáme jej rovnicu.

Zisťovať, akú plochu predstavuje rovnica ( )1 , budeme tzv. metódou rezov rovinami. Táto

metóda spočíva v týchto krokoch:

1. Zistíme súradnice priesečníkov súradnicových osí s touto plochou.

2. Zistíme rezové krivky súradnicových rovín s touto plochou.

3. Zistíme rezové krivky rovín rovnobežných so súradnicovými rovinami s danou

plochou.

Ukážeme postup zisťovania druhu plochy, ktorú vyjadruje daná kvadratická rovnica.

Príklad 1. Je daná rovnica 2 2 2 2x y z r+ + = . ( )2

Zistite plochu, ktorá je touto rovnicou určená.

Riešenie.

1. Zistíme priesečníky súradnicových osí s danou plochou.

a) xO , 0, 0y z= =

2 2

1

2

x rx rx rx r

=

=

== −

Sú to body [ ] [ ]1 2;0;0 , ;0;0A r A r− . Tieto body sú súmerne združené podľa začiatku

súradnicovej sústavy.

b) yO , 0, 0x z= =

2 2

1

2

y ry ry ry r

=

=

== −

Sú to body [ ] [ ]1 20; ;0 , 0; ;0B r B r− . Opäť tieto body sú súmerne združené podľa začiatku


c) zO , 0, 0x y= =

68

2 2

1

2

z rz rz rz r

=

=

== −

Sú to body [ ] [ ]1 20;0; , 0;0;C r C r− . Tieto body sú súmerne združené podľa začiatku


2. Zistíme rovnice rezových kriviek súradnicových rovín s touto plochou.

a) , 0xyO z =

2 2 2

0x y rz

+ ==

Rezová krivka je kružnica s rovnicou 2 2 2x y r+ = .

b) , 0xzO y =

Rezová krivka je kružnica s rovnicou 2 2 2x z r+ = .

c) , 0yzO x =

Rezová krivka je kružnica s rovnicou 2 2 2y z r+ = .

Rezové krivky sú zhodné kružnice so stredom v začiatku súradnicovej sústavy.

3. Zistíme rovnice rezových kriviek rovín rovnobežných so súradnicovými rovinami

s danou plochou.

a) Nech sú roviny xyOα P . Vtedy z k= .

2 2 2 2

,x y z rz k

+ + ==

potom je 2 2 2 2x y r k+ = − .

Ak k r< , potom je rovnica ( )22 2x y r′+ = , kde 2 2r r k′ = − , rovnicou kružnice.

Ak k r= , sú to body 1 2,C C .

Ak k r> , potom rovina α nemá s plochou spoločné body.

b) Analogicky postupujeme pri rezoch rovinami ,xz yzO Oβ γP P .

Táto rovnica prezentuje množinu bodov M , pre ktoré platí 2OM r= , kde O je začiatok

súradnicovej sústavy a bod [ ], ,M x y z .

Túto plochu nazývame guľovou plochou so stredom S O= a polomerom r .

69

V nasledujúcom prehľade sú uvedené kvadratické plochy so stredom, resp. vrcholom,

v začiatku súradnicovej sústavy a s osoami na súradnicových osiach.

1. Guľová plocha so stredom v začiatku a polomerom r má rovnicu 2 2 2 2x y z r+ + = . ( )2

2. Trojosový elipsoid so stredom v začiatku a s polosami , ,a b c po rade na osiach , ,x y z

má rovnicu 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = . ( )3

Zvláštnymi prípadmi trojosového elipsoidu sú rotačné kvadratické plochy, ktoré môžeme

charakterizovať nasledovne:

a) Nech je daná elipsa k s polosami ,a b . Množinu všetkých elíps, ktoré vzniknú rotáciou

elipsy okolo jednej z jej osí, nazývame rotačným elipsoidom. Ak os rotácie je hlavná

os elipsy, potom dostaneme rotačný elipsoid pretiahnutý ( a b c> = ).

b) Ak os rotácie je vedľajšia os elipsy, dostaneme sploštený rotačný elipsoid

( b a c< = ).

Rovnica rotačného elipsoidu závisí od toho, okolo ktorej súradnicovej osi elipsa rotuje.

Poznámka. Ak by v rovnici ( )3 platilo a b c= = , ide o guľovú plochu, ktorá vznikne rotáciou kružnice

okolo priemeru.

Obr. 58

3. Hyperboloidy

Existujú dva druhy hyperboloidov.

70

a) Trojosový jednodielny hyperboloid so stredom v začiatku a polosami , ,a b c po rade

na osiach , ,x y z má rovnicu

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − = , ( )4

kde ,a b sú reálne polosi, c je imaginárna polos. Ak a b= , potom dostaneme rotačný

jednodielny hyperboloid. Rotačný jednodielny hyperboloid môže vzniknúť rotáciou

hyperboly okolo vedľajšej (imaginárnej) osi. Ak vedľajšia os je na osi z (obr. 59),

potom rovnica rotačného jednodielneho hyperboloidu je

2 2 2

2 2 2 1x y za a c

+ − = . ( )5

Obr. 59

b) Trojosový dvojdielny hyperboloid so stredom mv začiatku súradnicovej sústavy,

s polosami , ,a b c po rade na osiach , ,x y z má rovnicu

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − = − , ( )6

kde ,a b sú imaginárne polosi, c je reálna polos. Pre a b= dostaneme rotačný

dvojdielny hyperboloid (obr. 60) s rovnicou 2 2 2

2 2 2 1x y za a c

+ − = − , ( )7

71

Obr. 60

4. Paraboloidy

Opäť poznáme dva druhy paraboloidov.

a) Eliptický paraboloid s vrcholom v začiatku súradnicovej sústavy a osou na osi z má

rovnicu 2 2

2 2 2 0x y za b

+ − = , ( )8

kde ,a b sú kladné čísla. Ak a b= , dostaneme rotačný paraboloid (obr. 61).

Obr. 61

b) Hyperbolický paraboloid s vrcholom s vrcholom v začiatku súradnicovej sústavy

a osou na osi z má rovnicu

72

2 2

2 2 2 0x y za b

− − = , ( )9

kde ,a b sú kladné čísla (obr. 62).

Obr. 62

5. Valcové plochy

Budeme uvádzať valcové plochy s povrchovými priamkami rovnobežnými so

súradnicovou osou z .

a) Eliptická valcová plocha, ktorej riadiaca krivka je elipsa v rovine 0z = , má rovnicu 2 2

2 2 1x ya b

+ = , ( )10

kde ,a b sú kladné čísla.

Ak v rovnici ( )10 platí a b= , je to rotačná valcová plocha, ktorej rovnica je

2 2 2x y a+ = (obr. 63).

Obr. 63

73

Eliptickými valcovými plochami sú aj útvary, ktorých rovnice sú 2 2

2 2

2 2

2 2

1

1

x za cy zb c

+ =

+ =, ( )11

kde , ,a b c sú kladné čísla.

b) Hyperbolická valcová plocha

Každá z rovníc 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 0, 1 0, 1 0,

1 0, 1 0, 1 0,

x y x y x za b a b a cx z y z y za c b c b c

− − = − + − = − − =

− + − = − − = − + − = ( )12

kde , ,a b c sú kladné čísla, je rovnicou hyperbolickej valcovej plochy.

c) Parabolická valcová plocha

Každá z rovníc 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,y px x py z px x pz z py y pz= = = = = = ( )13

kde p je číslo rôzne od nuly, je rovnicou parabolickej valcovej plochy.

6. Kužeľové plochy

Rovnica 2 2

22 2 0x y z

a b+ − = , ( )14

kde ,a b sú kladné čísla, je rovnicou eliptickej kužeľovej plochy. Ak v rovnici ( )14 je

a b= , je táto rovnica rovnicou rotačnej (kruhovej) kužeľovej plochy (obr. 64).

Obr. 64

74

V ďalšom na niektorých príkladoch ukážeme použitie rezovej metódy pri zisťovaní druhu

plochy, ak poznáme rovnicu plochy.

Príklad 2. Je daná rovnica 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = . ( )15

Zistite vlastnosti plochy danej touto rovnicou.

Riešenie.

1. Priesečníky plochy so súradnocvými osami.

Os x , 0, 0.y z= =

22 2

1 22 1 , ,x x a x a x a x aa

= ⇒ = ⇒ = = = −

Sú to dva body [ ] [ ]1 2;0;0 , ;0;0 ,A a A a− , pričom sú tieto body 1 2,A A súmerné podľa začiatku


Analogicky na osi y sú dva body [ ] [ ]1 20; ;0 , 0; ;0 ,B b B b− body 1 2,B B sú súmerné podľa

začiatku súradnicovej sústavy.

Na osi z sú dva body [ ] [ ]1 20;0; , 0;0;C c C c− s analogickou vlastnosťou..

2. Súradnicové roviny danú plochu pretínajú nasledovne.

Súradnicová rovina , 0Oxy z = pretína túto plochu v elipse s rovnicou 2 2

2 2 1x ya b

+ = .

Súradnicová rovina , 0Oxz y = pretína túto plochu opäť v elipse s rovnicou 2 2

2 2 1x za c

+ = .

Súradnicová rovina , 0Oyz x = pretína túto plochu v elipse s rovnicou 2 2

2 2 1y zb c

+ = .

3. Priesek roviny, ktorej rovnica je z k= , a ktorá je rovnobežná so súradnicovou rovinou

Oxy , a danej plochy s rovnicou ( )15 , je množina všetkých bodov, ktoré vyhovujú súčasne

rovnici ( )15 a rovnici tej roviny, t.j. vyhovujú rovniciam

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = a z k= . ( )16

75

Urobme diskusiu riešenia tejto sústavy.

a) Ak je k c< , je prisek elipsa., ak a b≠ ; alebo kružnica, ak je a b= .

b) Ak je k c= , je priesek množina s jedným bodom [ ]0;0;c .

c) Ak je k c> , je priesek prázdna množina, pretože v tomto prípade nemá

sústava ( )16 riešenie.

Podobné tvrdenia platia aj o rovinách rovnobežných s rovinami Oxz a rovinách

rovnobežných s rovinou Oyz .

Plocha uvedených vlastností je elipsoid. Z predošlej úvahy vyplýva:

• Elipsoid má tri roviny súmernosti.

• Elipsoid má tri osi súmernosti.

• Priesečník osí súmernosti je stred elipsoidu.

• Priesečník osí s elipsoidom sú vrcholy elipsoidu.

Príklad 3. Zistite plochu a jej vlastnosti, ktorej rovnica je 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − = , ( )17

, ,a b c sú kladné čísla.

Riešenie.

Urobíme len posledný krok metódy rezov, t.j. budeme zisťovať rezy plochy a rovín

rovnobežných so súradnocovými rovinami.

a) Rez roviny, ktorej rovnica je z k= , a ktorá je rovnobežná s rovinou Oxy a plochy

s rovnicou ( )17 je množina všetkých bodov, ktoré vyhovujú sústave rovníc

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − = a z k= . ( )18

Rezom je elipsa, ak je a b≠ , alebo kružnica, ak a b= . Potom dostaneme

2 2 2

2 2 2 1x y ka b c

+ − = ,

76

čiže rovnica

2 2

2 22 2 2 2

1x y

a c k b c kc c

+ = + +

b) Rez roviny, ktorej rovnica je x m= , a ktorá je rovnobežná s rovinou Oyz , a danej

plochy, je množina všetkých bodov, ktoré vyhovujú sústave rovníc 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ − = a x m= . ( )19

Ak je m a≠ , je tento rez hyperbola s rovnicou

2 2 2

2 2 2 1,m y za b c

+ − =

čiže 2 2

2 22 2 2 2

1y z

b a m c a ma a

+ = + +

, pre m a<

a 2 2

2 22 2 2 2

1y z

b m a c m aa a

− + = − −

, pre m a> .

Ak je m a= , je tento rez množina skladajúca sa z dvoch priamok

0y zb c

+ = a 0y zb c

− = .

Podobné tvrdenia platia aj pre rezy rovín rovnobežných so súradnicovou rovinou Oxy

a danou plochou.

Plochu týchto vlastností nazývame jednodielnym hyperboloidom. Ak v rovnici ( )17 je

a b= , jednodielny hyperboloid je rotačný, os z je jeho osou rotácie.

Príklad 4. Zistite plochu a jej vlastnosti, ktorá je daná rovnicou 2 2

2 2 2 0x y za b

− − = , ( )20

,a b sú kladné čísla.

77

Riešenie.

1. Súradnicové osi majú s plochou jediný spoločný bod a to je začiatok súradnicovej sústavy

[ ]0;0;0O .

2. Zistíme rezy súradnicových rovín s plochou

a) , 0Oxy z = .

Po dosadení 0z = do rovnice ( )20 dostaneme

2 2

2 2 0 0, 0.x y x y x ya b a b a b

− = ⇒ − = + =

Rez tejto roviny s plochou pozostáva z dvoch priamok, ktorých rovnice sú

0, 0.x y x ya b a b

− = + =

b) , 0Oxz y = .

Po dosadení dostaneme 2

2 2 0x za

− = ,

Čo je rovnica paraboly.

c) , 0Oyz x = .

Opäť dostaneme rovnicu paraboly 2

2 2 0y zb

− − = .

3. Urobme rezy rovín rovnobežných so súradnicovými rovinami s plochou danou rovnicou

( )20 (obr. 65).

a) Rez roviny z k= s plochou ( )20 .

Rez je množina bodov vyhovujúcich sústave rovníc

2 2

2 2 2 0x y za b

− − = a z k= .

Ak 0k ≠ , rez je hyperbola s rovnicou

( ) ( )2 2

2 2 12 2

x y

a k b k− = , ak 0k > ;

( ) ( )2 2

2 2 12 2

x y

a k b k− + =

− −, ak 0k < .

78

b) Rez roviny y h= a ktorá je rovnobežná so súradnicovou rovinou Oxz a plochy ( )20 je

množina všetkých bodov vyhovujúcich sústave rovníc

2 2

2 2 2 0x y za b

− − = a y h= .

Tento rez je vždy parabola, ktorá má rovnicu

2 2

2 2

1 .2

x hza b

= −

Rez roviny, ktorej rovnica je x m= a je rovnobežná so súradnicovou rovinou Oyz , s plochou

( )20 , je množina všetkých bodov vyhovujúcich sústave rovníc

2 2

2 2 2 0x y za b

− − = a x m= .

Tento rez je vždy parabola s rovnicou

2 2

2 2

1 .2

y mzb a

= − +

Obr. 65

Úlohy

Úloha 1. Ktorý z bodov [ ] [ ] [ ] [ ]1;0;4 , 0;0;5 , 1;4;5 , 0;4;3A B C D ležia na guľovej ploche

danej rovnicou 2 2 2 25x y z+ + = ?

79

Riešenie. Súradnice bodov guľovej plochy vyhovujú rovnici tejto guľovej plochy. Z toho

vyplýva, že body B a D ležia na tejto ploche.

Úloha 2. Napíšte rovnicu guľovej plochy so stredom v bode [ ]4; 2;7S − a polomerom

8r = .

Riešenie. Ak posunieme začiatok O súradnicovej sústavy ( ); ; ;O x y z do bodu [ ]; ;S m n p ,

dostaneme novú sústavu ( ), ; ;S x y z′ ′ ′ . Medzi súradnicami ľubovoľného bodu v sústave

( ); ; ;O x y z a v sústave ( ), ; ;S x y z′ ′ ′ platia transformačné rovnice

, ,x x m y y n z z p′ ′ ′= − = − = − .

Guľová plocha so stredom v bode S a polomerom r , ktorá má v sústave ( ), ; ;S x y z′ ′ ′ rovnicu

2 2 2 2x y z r′ ′ ′ ′+ + = , má v sústave ( ); ; ;O x y z rovnicu

( ) ( ) ( )2 2 2 2x m y n z p r− + − + − = .

V našom prípade je

( ) ( ) ( )2 2 24 2 7 64x y z− + + + − = .

Úloha 3. Vypočítajte súradnice stredu 1S a polomer 1r kružnice, ktorej rovina

3 9 0x y z+ − − = pretína guľovú plochu ( ) ( ) ( )2 2 24 7 1 36x y z− + − + + =

Riešenie. Stred 1S hľadanej kružnice je priesečník priamky k , ktorá prechádza stredom S

guľovej plochy a je kolmá na rovinu s danou rovnicou. Z rovnice guľovej plochy dostaneme

súradnice jej stredu [ ]4;7; 1S − a polomer 6r = . Smerový vektor kolmice k je totožný

s normálovým vektorom roviny 3 9 0x y z+ − − = , t.j. ( )3;1; 1s = −r

, takže parametrické

rovnice kolmice k sú

4 3 ,7 ,1 ,

x ty tz t t

= += += − − ∈ ¡

Dosadením do rovnice roviny dostaneme pre parameter t rovnicu

( ) ( ) ( )3 4 3 7 1 9 0,t t t+ + + − − − − =

po úprave

80

11 11 0,t + =

z tejto rovnice je 1.t = −

Ak dosadíme za 1t = − do prametrických rovníc, dostaneme súradnice hľadaného stredu

[ ]1 1;6;0S . Vzdialenosť stredu S danej guľovej plochy od danej roviny vypočítame

3.4 7 1 9 11 119 1 1 11

v+ + −

= = =+ +

.

Túto vzdialenosť sme mohli vypočítať ako vzdialenosť bodov S a 1.S

Polomer 1r určíme zo vzťahu 2 2 21r r v= + ,

odkiaľ 2

1

1

36 11,5.

rr

= −=

Hľadaná kružnica má polomer 1 5r = a stred [ ]1 1;6;0S .

Úloha 4. Určte dĺžku tetivy, ktorá na priamke 4 6 22 3 2

x y z− + += =

− − vytína plocha

2 2 2

116 12 4x y z

+ + = .

Riešenie. Daná priamka má parametrické vyjadrenia nasledovné:

4 2 ,6 3 ,2 2 .

x ty tz t

= += − −= − −

Dosaďme za , ,x y z do rovnice danej plochy, dostaneme

( ) ( ) ( )2 2 24 2 6 3 2 21

16 12 4t t t+ − − − −

+ + = .

Postupnými úpravami dostaneme

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 22

2 2

2

2 3 21 1,

4 42 1 1,

2 6 4 0.

t tt

t t

t t

+ ++ + + =

+ + + =

+ + =

Odkiaľ dostaneme 1 21, 2t t= − = − .

Hľadané priesečníky sú [ ] [ ]2; 3;0 , 0;0;2A B− .

81

Dĺžka tetivy AB je

2 2 22 3 2 17AB = + + = .

Úloha 5. Napíšte rovnicu elipsoidu s osami 2 , 2 , 2a b c , ak jeho stred je [ ]0 0 0; ;S x y z a osi

ležia na rovnoboežkách so súradnicovými osami.

Riešenie. Ak stred elipsoidu je v začiatku, tak rovniua elipsoidu poznáme.

Použijeme trasformačné rovnice

0 0, ,x x x y y y z z z′ ′ ′= − = − = − ,

čím sme zaviedli novú súradnicovú sústavu so začiatkom v bode [ ]0 0 0; ;S x y z , ktorej

súradnicové osi sú rovnobežné s pôvodnými. V tejto súradnicovej sústave bude mať elipsoid

rovnicu 2 2 2

2 2 2 1.x y za b c′ ′ ′

+ + =

Použijeme transformačné rovnice a dostaneme hľadanú rovnicu daného elipsoidu

( ) ( ) ( )2 2 20 0 0

2 2 2 4.x x y y z z

a b c− − −

+ + =

Úloha 6. Určte kužeľosečku, v ktorej daná rovina pretína hyperbolický paraboloid 2 2

4 0,12 9x y z− − = ak rovnica roviny je a) 4 0x + = , b) 0z = .

Riešenie.

a) Riešime sústavu dvoch rovníc 2 2

4 012 9

4 0

x y z

x

− − =

+ =

Rezom je parabola s rovnicou 2 1363

zy −= − v rovine 4x = − , jej vrchol je

14;0;3

V − , parameter 18p = .

b) Riešime sústavu dvoch rovníc 2 2

4 012 9

0

x y z

z

− − =

=

Dostaneme

82

2 2

012 9x y

− = .

Rozložíme na súčin

03 32 3 2 3

x y x y − ⋅ + =

.

Rezom sú dve rôznobežky s rovinciami

0, 03 32 3 2 3

x y x y− = + = .

Úloha 7. Napíšte rovnicu rezu hyperboloidu 2 2 2

125 16 9x y z

+ − = rovinou danou rovnicou a)

3x = , b) 5y = − , c) 3z = .

Riešenie.

a) Riešime sústavu dvoch rovníc 2 2 2

125 16 9

3

x y z

x

+ − =

=

Po dosadení za 3x = a úprave dostaneme 2 2 16

16 9 25y z

− = .

Rezom je hyperbola.

b) Opäť riešime sústavu dvoch rovníc 2 2 2

125 16 9

5

x y z

y

+ − =

= −

Po dosadení za 5y = − a úprave dostaneme

2 2 99 25 16z x

− = .

Rezom je hyperbola.

c) Opäť riešime sústavu dvoch rovníc 2 2 2

125 16 9

3

x y z

z

+ − =

=

Po dosadení za 3z = a úprave dostaneme

83

2 2

150 32x y

+ = .

Rezom je elipsa.

Úloha 8. Metódou rezov určte plochu, ktorá má rovnicu a) 2 2

9 16x yz = + , b)

2 2

18 50x yz = − .

Riešenie.

a)

1. Hľadajme súradnice bodov, v ktorých plochu pretínajú súradnicové osi:

, 0, 0xO y z= =

2

0 09x x= ⇒ =

Priesečníkom je bod [ ]0;0;0O .

, 0, 0 0yO x z y= = ⇒ =

, 0, 0 0zO x y z= = ⇒ =

Súradnicové osi pretínajú plochu v bode O .

2. Rezy súradnicovými rovinami

, 0xyO z =

2 2

09 16x y

+ = .

Vyhovujú len 0, 0x y= = . Teda rovina s plochou spločný bod a to je začiatok


, 0xzO y = , po dosadení do rovnice plochy je

2

9x z= .

Rezom je parabola, ktorej vrchol je bod O .

, 0yzO x = , po dosadení do rovnice plochy je

2

16y z= .

Rezom je opäť parabola, ktorej vrchol je bod O .

3. Rezy rovinami rovnobežnými so súradnicovými rovinami ,xyO z kα =P .

Budeme riešiť sústavu rovníc

84

2 2

9 16x yz = + a z k= .

Ak 0k < , rovina α nepretína plochu.

Ak 0k = , rez je jeden bod (pozri vyššie).

Ak 0k > , rez je elipsa.

Podobne môžeme hľadať rezy rovín ,xy yzO Oβ γP P . Ľahko sa presvedčíme, že rezom vo

všetkých prípadoch je parabola.

Rovnica 2 2

9 16x yz = + je rovnicou eliptického paraboloidu.

b) Prípad prenechávame čitateľovi. Postup čitateľ nájde v Príklade 4. Jedná sa o hyperbolický

paraboloid.

7. Vzťah kvadratickej formy troch premenných a rovnice kvadratickej

plochy


Forma 2 2 2

11 22 22 12 13 23 14 24 34 442 2 2 2 2 2a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a+ + + + + + + + + ,

kde 11 12 13 14 22 23, , , , ,a a a a a a sú dané reálne čísla, pričom aspoň jedno z čísel

11 12 13 14 22 23 24 33 34, , , , , , , ,a a a a a a a a a sa nerovná nule, nazýva sa kvadratická forma s troma

premennými , ,x y z .

Kvadratická rovnica s neznámymi , ,x y z má všeobecný tvar 2 2 2

11 22 22 12 13 23 14 24 34 442 2 2 2 2 2 0,a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a+ + + + + + + + + = ( )1

pričom ( ), 1,2,3, 4ija i j = sú reálne čísla a aspoň jedno z čísel 11 12 13 14 22 33, , , , ,a a a a a a sa

nerovná nule a ij jia a= .

Rovnica ( )1 v pravouhlej sústave súradníc môže byť rovnicou:

1. kvadratickej plochy (guľovej plochy, elipsoidu, paraboloidu, hyperboloidu,

valcovej plochy, kužeľovej plochy),

2. dvojice rovín (dvoch rôznych alebo dvoch splývajúcich),

3. priamky,

4. bodu,

85

5. prázdnej množiny.

Zaveďme si nasledovné označenia.

11 12 13 14

12 22 23 244

13 23 33 34

14 24 34 44

a a a aa a a a

I Da a a aa a a a

= = 11 12 13

3 44 12 22 23

13 23 33

a a aI D a a a

a a a= =

11 13 22 2311 122

13 33 23 3312 22

a a a aa aI

a a a aa a= + + 1 11 22 33I a a a= + +

11 12 14 11 13 14 22 23 24

3 33 22 11 12 22 24 13 33 34 23 33 34

14 24 44 14 34 44 24 34 44

a a a a a a a a aS D D D a a a a a a a a a

a a a a a a a a a= + + = + +

33 3411 14 22 242

34 4414 44 24 44

a aa a a aS

a aa a a a= + +

Hodnoty 4 3 2 1, , ,I I I I nazývame invarianty, 2 3,S S semiinvarianty.

Poznámka. Ak kvadratická plocha určená rovnicou ( )1 má jediný stred súmernosti, nazývame

ho stredom kvadratickej plochy a kvadratickú plochu nazývame stredovou kvadratickou

plochou.

Uveďme prehľadnú tabuľku možností množín určených všeobecnou rovnicou ( )1

v pravouhlej súradnicovej sústave.

H

odnoty invariantov a sem

iinvariantov M

nožina O

brázok R

ovnica () 1 po transformácii

1.

213

4

00

0

III

I

>⋅>

<

elipsoid (guľová plocha)

xy

z

()

22

2

22

21

0x

yz

ab

ca

bc

++

−=

==

2. 21

3

4

00

0

III

I

>⋅>

>

prázdna m

nožina

22

2

22

21

0x

yz

ab

c+

++

=

3.

2

0I

≠

21

3

4

00

0

III

I

>⋅>

=

bod

x

y

z

2

22

22

20

xy

za

bc

++

=

4.

20

I≤

alebo

12

4

00

II

I⋅

≤>

jednodielny hyperboloid

x

z

2

22

22

21

0x

yz

ab

c+

−−

=

5.

20

I≤

alebo

12

4

00

II

I⋅

≤<

dvojdielny

hyperboloid

2

22

22

21

0x

yz

ab

c+

−+

=

6.

20

I≤

alebo

12

4

00

II

I⋅

≤=

kužeľová

plocha

x

2

22

22

20

xy

za

bc

+−

=

7.

34

00II

=≠

4

0I

<

eliptický

paraboloid

z

2

2

20

xy

zp

q+

−=

8.

40

I>

hyperbolický paraboloid

xy

2

2

20

xy

zp

q−

−=

9.

234

000

III

≠==

21

2 00

IIS >⋅

<

eliptická valcová plocha

x

y

z

2

2

22

10

xy

ab

+−

=

10. 21

3 00

IIS >⋅

>

prázdna m

nožina

22

22

10

xy

ab

++

=

11.

23

00IS

>=

Priam

ka os z

x

y

z

2

2

22

0x

ya

b+

=

12.

23

00IS

<≠

hyperbolická

valcová plocha

x

y

z

2

2

22

10

xy

ab

−−

=

13.

23

00IS

<=

dve

rôznobežné roviny

xy

2

2

22

0x

ya

b−

=

14.

34

23

0,0

0,0

II

IS

==

=≠

parabolická valcová plocha

x

y

z

2

20

xpy

−=

15.

20

S<

dve

rovnobežné roviny

xy

2

20

xa

−=

16.

20

S>

prázdna m

nožina

22

0x

a+

=

17.

3

4

23

0,0

0,0

II

IS

==

==

2

0S

=

jedna rovina

xy

2

0x

=

Literatúra [1] Eliáš, J. – Horváth, J. – Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky 1,, SVTL Bratislava,

1965, ISBN: 63-101-65

[2] Jirásek, F. – Kriegelstein, E. – Tichý, Z. : Sbírka řešených příkladu z matematiky,

Nakladatelstvo SNTL, Alfa Praha, 1979. ISBN: 04-013-79

[3] Kluvánek, I. – Mišík, L. – Švec, M.: Matematika I. Nakladateľstvo Alfa Bratislava, 1971.

ISBN: 63-551-71

[4] Šalát, T. a kol.: Malá encyklopédia matematiky. Obzor Bratislava 1981. ISBN: 65-002-81

Názov: Geometria V


Autori: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.

RNDr. Dušan Vallo, PhD.

Edícia: Prírodovedec č. 526

Schválené: Vedením Fakulty prírodných vied UKF v Nitre dňa 21. novembra 2012

Typ publikácie: ACB - vysokoškolské učebnice vydané v domácich vydavateľstvách

Rozsah: 94 strán

Formát: A4

Náklad: 80 ks

ISBN: 978-80-558-0197-1

EAN 9788055801971

UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA … · 4.2 Rovnica paraboly ... Rovnica...

Documents

Transcript of UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA … · 4.2 Rovnica paraboly ... Rovnica...