Derivácie niektorých

elementárnych funkcií a ich

odvodenie

log

sin

cos

n

x

a

y C

y x

y a

y x

y x

y x

1

0

ln

1log

cos

sin

n

x

a

y

y nx

y a a

y ex

y x

y x

x^n

1

0 0lim lim

n n

n

x x

x x xy x x y xf x n x

x x

1 2 211 ....

2!

n n n nx x x nx x n n x x

Ukážeme aj pre nR

sinx

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2cos sin2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

0 0 0

2cos sin sin2 2 2sin lim lim lim cos cos

2

2

cos sin

x x x

x x xxx

x x xxx

x x

0 0 0

1 1lim lim lim ln

x xx x xx x x x

x x x

a aa aa a a a a

x x x

0 0

1 1 1log lim log 1 limlog 1 log

x x

x x

a a a a

x xx e

x x x x x

0

lim 0x

C CC

x

lnx x xe e e e

ex je funkcia, ktorá po zderivovaní je

rovná sama sebe.

a e

Pomocné vety -pripomenutie

Ak funkcia f, g majú v bode a limity:

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( )( )lim lim ( ) 0

( ) lim ( )

x a x a x a

x a x a x a

x a

x a x a

x a

f x g x f x g x b c

f x g x f x g x b c

f xf x bak g x

g x g x c

lim ( )

lim ( )

x a

x a

f x b

g x c

Pravidlá derivovania a ich

odvodenie

Základné pravidlá a ich

odvodenie

2

u v u v

uv u v uv

uvw u vw uv w uvw

u u v uv

v v

u v

u v

f x uv

u

v

Derivácie:

Nech funkcie u a v sú diferencovateľné, t.j majú

derivácie, potom:

Poznámka

Z existencie derivácie v bode x0 vyplýva, že ak x 0 potom

y 0 .

Ak by neplatilo y0, keď x0 vlastná limita by nemohla

existovať a funkcia by nemala v bode x0 deriváciu

0

limx

y x x y xy

x

y0, keď x0

Derivovanie súčtu a rozdielu

funkcií

u x x u x u

v x x v x v

0 0

lim limx x

u vu v u v

x x

uv u v uv

uvw u vw uv w uvw

1.... .... .... .... ....n nx x xxx xxx xx xx xxxx xxx x xxx xxxx xxx nx

Derivovanie súčinu funkcií

2

u u v uv

v v

20limx

u vv u

u u v uvx x

v v v v v

Derivovanie podielu funkcií

0limx

u u u

u v v v

v x

DERIVOVANIE ŠPECIÁLNYCH

TYPOV FUNKCIÍ

Pomocné vety -pripomenutie

Ak funkcia f, g majú v bode a limity:

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( )( )lim lim ( ) 0

( ) lim ( )

x a x a x a

x a x a x a

x a

x a x a

x a

f x g x f x g x b c

f x g x f x g x b c

f xf x bak g x

g x g x c

lim ( )

lim ( )

x a

x a

f x b

g x c

Poznámka

Z existencie derivácie v bode x0 vyplýva, že ak x 0 potom

y 0 .

Ak by neplatilo y0, keď x0 vlastná limita by nemohla

existovať a funkcia by nemala v bode x0 deriváciu

0

limx

y x x y xy

x

y0, keď x0

Derivácia zloženej funkcie

x u xy y u

y y u x

0 0 0 0 0lim lim lim lim limx x x u x

y y u

x u x

y u y u y u

u x u x u x

0

lim 0u

y

Funkcia u má deriváciu keď x0 potom u0

u je diferencovateľná:

VYUŽITIE DERIVÁCIE

ZLOŽENEJ FUNKCIE

DERIVÁCIA INVERZNEJ

FUNKCIE

Derivácia inverznej funkcie

1

y

x

yf x

Derivácie dvoch navzájom inverzných funkcií majú navzájom prevrátené hodnoty

0

0

1 1lim

limx

xy

y

yf x

xx y

y

1

( )y f x

x y f x

1

x y

d y d ydyy

dy dx dy

arcsin siny x x y

1 1

cos

dy

dxdx y

dy

1,1 ,2 2

x y

1

y

x

yf x

1, Vyjadri x ako funkciu y

2, zderivuj x podľa y

3, zderivované x podľa y

daj do menovateľa

4, vo vzniknutom produkte

nahraď funkciu y x-ami

2 2

2 2

1 1 1

cos 11 sin

1 1

11 sin(arcsin )

dy

dx y xy

xx

cosdx

ydy

Algoritmus:

Derivácia inverznej funkcie

geometricky

1

y

x

yf x

y f x

x y

1cot

2tg g

tg

Geometrický význam:

f x tg

x tg

Derivácia inverznej funkcie

geometricky

2

Zameňme x-ovú os za y-ovú:

Ukážky

nny x y x

1

11

1

1

1 1

n

n

nn

y x

ny y

y xny n

1

11

1

1

1 1

n

n

nn

y x

yny

y xny n

1

x

y

f xy

x u xy y u

LOGARITMICKÁ DERIVÁCIA

v x

y u x

lnv vy u v u u

u

ln ln

v xu x v x u x

y e e

ln lny x v x u x

Logaritmická derivácia

Derivovať ako zloženú funkciu

Derivovať ako exponenciálnu funkciu

Úprava funkcie pred derivovaním

DERIVÁCIA IMPLICITNE

ZADANEJ FUNKCIE

Implicitne zadané funkcie

, 0F x y

Deriváciu funkcie y dostaneme tak, že pri derivovaní rovnice F budeme y

chápať ako zloženú funkciu y(x).

22 2 1 0y y x

2 ln 2 2 2 0

2

2 2 ln 2

y

y

y y x

xy

22 2 1 0y x

y x x

Predpokladajme, že y je zadané rovnicou F, ktorá zväzuje

nezávislú premennú x s funkciou y, ale y nedokážeme

osamostatniť.

2y x

1

2

y x

yx

1

2

y x

yx

Dokážeme nájsť deriváciu dy/dx, bez ohľadu na to, aby sme vedeli, v ktorej časti

oboru funkcie sa nachádzame ?

Netreba hľadať

vyjadrenie pre y

univerzálne

Rovnica dotyčnice a

normály ku krivke

0 0 0y y f x x x

0 0

0

1y y x x

f x

sin12

2cos

2

tgtg

2

dotyčnica

normála

Teleso sa pohybuje po krivke. Určte smer vektora rýchlosti,

dotyčnicu a normálu ku krivke.

H=10m6m

9m3/min

R=5m

Z kužela s výškou H a polomerom R vyteká 9m3 za minútu. Určte rýchlosť klesania

hladiny v okamihu, keď y=6m.

21

3V x y

Rx y

H

2

3

2

1

3

RV y

H

2

3

2

1

3

RV y

H

2

2

2

13

3

dV R dyy

dt H dt

2

2 2

1dy H dV

dt R y dt

2/31/3 1/3 22 22/3 3

2 2 2

2

2 2

3 1 3 1

3 3 3

1

dy H dV H R dVV y

dt R dt R H dt

H dV

R y dt

2

3

2

1

3

RV y

H

Implicitne zadaná funkcia y Explicitne zadaná funkcia y

DERIVÁCIA PARAMETRICKY

ZADANEJ FUNKCIE

Derivovanie funkcií zadaných

parametricky

Vo fyzike častým parametrom je čas

0

2

0

cos

1sin

2

x v t

y v t gt

2

0 2 2

02 cos

gy xv tg x

v

V podstate išlo o parametrické vyjadrenie paraboly

Ukážka parametrického

vyjadrenia kružnice

cos

sin

x R

y R

2 2

x t

y R t

2 2 2x y R

Parametrické zadanie funkcií a

ich diferencovanie

x t

y t

y x f x

t x

Od

str

án

en

ie p

ara

metr

aMetóda 1. - odstránenie parametra a následná derivácia

y x

Derivovanie funkcií zadaných

parametricky

x t

y t

t

t

t yy

t x

Zderivuj pravú a ľavú stranu podľa x, nezabudni t/x/

1d dt

x t xdt dx

dy d dty t x

dx dt dx

Podeľ pravé a ľavé strany:

Metóda 2. - priama derivácia podľa parametra

Derivuj podľa x:

Derivuj podľa y:

Pohyb častíc v priečnom

elektrickom poli

L

Odklon od pôvodného smeruČastica vletí do homogénneho elektrického

poľa s intenzitou E. Určte, pod akým uhlom

vyletí z kondenzátora. Určte odklon y2.

0

2 21 1

2 2

x v t

qEy at t

m

Parameter je čas t

Pohyb častíc v priečnom

elektrickom poli

2

2

2

0 0

1 1

2 2

qE qE qEx xy t y

m m v m v

0

0 0

qE xdy qEt

m vdt mydx v v

dt

Metóda 1.

Metóda 2.

0

2 21 1

2 2

x v t

qEy at t

m

2

0

L

qE Ltg

m v

Očami fyzika: Keďže parameter t je čas, v podstate sa určuje tangent uhla medzi

zložkami vektora rýchlosti častice, čo zodpovedá tangentu uhla, ktorý zviera vektor

rýchlosti s x-ovou osou. Vektor rýchlosti má smer dotyčnice na trajektóriu.

DIFERENCIÁL FUNKCIE, JEHO

VÝZNAM A POUŽITIE

Diferenciál funkcie

0 0

lim lim 0x x

y y dyx x x

x x dx

Diferenciál – hlavná časť prírastku funkcie,

označujeme ho znakom dy

Výrazy y/x a dy/dx sa od seba líšia tým menej, čím viac

sa x blíži k nule

0

limx

yy x x x y x x x

x

Tento člen ovplyvňuje prírastok funkcie oveľa viac ako druhý člen.

Pri x0 sú oba členy nekonečne malými, druhý člen je však

vyššieho rádu malosti.

Geometrická interpretácia

Diferenciál zodpovedá prírastku funkcie, ak funkciu

nahradíme v okolí bodu x jej dotyčnicou.

dyy dy y x

x

x

x x

3

3 3 2

2

2 2 3 2

y x x

dy d x x x x x x x

1

y x

dy d x x x x x

Obvykle sa preto píše namiesto x znak dx a nazýva sa

diferenciálom nezávislej premennej (argumentu).

dx x

( )dy f x dx ( )dy

f xdx

Derivácia funkcie je rovná podieľu jej diferenciálu dy k

diferenciálu nezávislej premennej dx

Diferenciál súčtu, rozdielu

podieľu viacerých funkcií

( )dy f x dx

2

... ...d u v w du dv dw

d uv vdu udv

u duv udvd

v v

dy f u du

Vlastnosti diferencialov a ich

odvodenie

... ... /

... ...

... ...

u v w u v w dx

u v w dx u dx v dx w dx

d u v w du dv dw

/uv u v uv dx

uv dx v u dx u v dx

d uv v du u dv

2

2

2

/u u v uv

dxv v

u u dx v u v dxdx

v v

u du v u dvd

v v

/

u

dF du dFy F u x u dx

du dx du

dFdy u dx

du

dy F u du

Diferenciál podieľ dvoch funkcií

Diferenciál zloženej funkcie

Diferenciál súčinu funkciiíDiferenciál súčtu funkciií

Približný výpočet hodnoty

funkcie – linearizácia funkcie

100

1 1 1

2 20

100 10.05

x

dyy dy x x

dx x

y y y

Odhadnite hodnotu 1010.5 ak viete, že 1000.5=10

Pre malé hodnoty x sa prírastok funkcie y približne rovná

diferenciálu dy:

Prírastok funkcie vyšetríme v okolí bodu x=100

-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160

0

2

4

6

8

10

12

14

X*X

X

100

1 1 1

2 20

100 10.05

x

dyy dy x x

dx x

y y y

Prírastok funkcie vyšetrujeme v okolí bodu x=100

Výpočet chýb – meranie vo

fyzikeMeraním sme zistili polomer gule r s presnosťou

r. Určte relatívnu chybu merania objemu.

3 244

3

3

V dV r r r r

V dr

V r

3 3 2 324 4 4 4

3 33 3 3 3

V r r r r r r r r

dV r r

Vo fyzike je prirodzené očakávať, že meracie zariadenie

spĺňa: r r

Relatívna chyba stnovenia objemu

je 3 krát väčšia ako relatívna

chyba polomeru

0 5 10 15 20 25 30 35

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000V

mm

^3

r [mm]

3 3 2 324 4 4 4

3 33 3 3 3

V r r r r r r r r

Príklad

• Určte o akú vzdialenosť sa posunie obraz spojky, ak sme predmet

posunuli o malú vzdialenosť da.

2

2

1 1 1

a a f

afa

a f

da fda da da

da a f

Obraz sa posunie opačným smerom ako predmet

Linearizácia

zväčšenina

Linearizácia

1y x

Linearizujme v okolí bodu x=0. Pre prírastok funkcie platí:

1

0

1x

y y x x x x

0 1y y y x

=1/2

= -1 x - x

= 1/3 x 5x4

= - 1/2 x - x2

0

2

1

mm

v

c

2

00

2

11

21

m vm m

cv

c

Kinetická energia2

2 2 2 2 2

0 0 0 0

1 11

2 2k

vE mc m c m c m c m v

c

Určte ako sa mení tiažové zrýchlenie s výškou, v priblížení

diferenciálu

URČOVANIE

CHARAKTERISTÍK FUNKCIÍ

POUŽITÍM DERIVÁCIE

Monotónnosť funkcie

0

0

0 tan

0

limx

y x RASTÚCAdy y

y x y x Konš tadx x

y x KLESAJÚCA

Derivovateľná funkcia je v danom intervale :

Konštantná, ak v tomto intervale:

Rastúca, ak v tomto intervale:

Klesajúca, ak v tomto intervale:

0y x

0y x

0y x

Podľa znamienka prvej derivácie môžeme rozhodnúť, či

funkcia rastie alebo klesá na nejakom intervale

Derivácia geometricky

zodpovedá tangentu

(orientovaného) uhla,

ktorý zviera dotyčnica s

osou

Kladný tangent - ostrý uhol

záporný tangent - tupý uhol

Nulovej smernici

zodpovedá priamka

rovnobežná s

x – ovou osou.

Funkcia rastie, smernica dotyčnice zviera s x-ovou osou

ostrý uhol tg > 0 0y x

Funkcia klesá, smernica dotyčnice zviera s x-ovou osou

tupý uhol tg < 0 0y x

Funkcia rastie, smernica dotyčnice

zviera s x-ovou osou ostrý uhol

tg > 0 0y x

0y

Konvexná funkcia

0y

Konkávna funkcia

Podľa znamienka druhej derivácie môžeme rozhodnúť, či

funkcia je konvexná alebo konkávna

Lokálne a globálne extrémyNech je funkcia definovaná na intervale J. Funkčná

hodnota f(x0) sa nazýva:

globálnym maximom, ak pre každé xJ platí:

globálnym minimom, ak pre každé xJ platí:

0( )f x f x

0( )f x f x

Ak sa obmedzíme len na nejaké okolie bodu x0 a

skúmame jeho vzájomný vzťah medzi hodnotou f(x0) a

hodnotami funkcie v ostatných bodoch tohto okolia, potom

hovoríme o lokálnych extrémoch

Hovoríme, že funkcia má v bode x0

lokálne maximum ak existuje také okolie U, že platí:

lokálne minimum, ak existuje také okolie U, že platí:

0( )f x f x

0( )f x f x

Lokálne a globálne maximá

KEDY nastane extrém ???

Použitie derivácii na štúdium

priebehu funkcií

Funkcia môže mať extrém iba v takom bode x0, v ktorom:

0( ) 0f x

derivácia neexistuje

Nutná podmienka

Deriv

ácia

je

nevla

stn

á

De

rivá

cia

sp

rava

je in

á a

ko

de

rivá

cia

zľa

va

Geometricky :

funkcia má v bode x0

dotyčnicu rovnobežnú

s x –ovou osou,

alebo nemá dotyčnicu

v tomto bode.

derivácia existuje

Funkcia y v bode 0

nemá extém, hoci jej

prvá derivácia v tomto

bode je nulová !!!

Funkcia y v bode 0

nemá extém, hoci jej

prvá derivácia

neexistuje v tomto

bode !!!

Splnenie nutnej podmienky nezabezpečuje existenciu

extrému

Funkcia y v bode 0

nemá extém, hoci jej

prvá derivácia v tomto

bode je nulová !!!

Funkcia y v bode 0

nemá extém, hoci jej

prvá derivácia

neexistuje v tomto

bode !!!

Splnenie nutnej podmienky nezabezpečuje existenciu

extrému

Aká je postačujúca podmienka?

0y 0y 0y 0y 0y

0y 0y Derivácia v bode D

neexistuje

Smernica

dotyčnice kladná

Smernica

dotyčnice kladná

Smernica

dotyčnice kladná

Znamienko derivácie funkcie sa musí v lokálnom extréme

zmeniť.

Extrémy elementárnych funkcií

V bode, v ktorom je lokálny extrém, musí prechádzať

rastúca časť spojitej funkcie na klesajúcu, alebo naopak.

Funkcia nemôže mať lokálny extrém v intervale, v ktorom

je rýdzo rastúca, alebo klesajúca.

Znamienko derivácie funkcie sa musí v lokálnom extréme

zmeniť.

Skúsme špecifikovať základné charakteristiky lokálnych

extrémov:

(0) 0y

Funkcia y v bode 0 nemá extém, hoci jej prvá

derivácia v tomto bode je nulová !!!

Funkcia stále rastie, znamienko

derivácie sa nezmenilo, stále je

kladné !!!

2( ) 3y x x

3( )y x x

Použitie derivácii na štúdium

priebehu funkcií

Funkcia môže mať extrém iba v takom bode x0, v ktorom:

0( ) 0f x

derivácia neexistuje

Nutná podmienka

Deriv

ácia

je

nevla

stn

á

De

rivá

cia

sp

rava

je in

á a

ko

de

rivá

cia

zľa

va

Geometricky :

funkcia má v bode x0

dotyčnicu rovnobežnú

s x –ovou osou,

alebo nemá dotyčnicu

v tomto bode.

derivácia existuje

Inflexný bod

Zhrnutie

Ak v bode x0 má funkcia extrém, v tomto bode je derivácia

nulová a zároveň sa v ňom zmení znamienko. Samotná prvá

derivácia je teda v okolí bodu x0 buď rýdzo rastúca, alebo

rýdzo klesajúca.

Ak bod x0 je inflexný bod, potom derivácia nebude meniť v

tomto bode znamienko, ale v bode x0 dosiahne svoj extrém a

preto v tomto bode bude prvá derivácia tiež nulová.

Postačujúce podmienky pre

existenciu lokálneho extrémuAk má funkcia y(x) v bode x0 ostré lokálne

minimum 0 0( ) 0 ( ) 0y x y x

Ak má funkcia y(x) v bode x0 ostré lokálne

maximum 0 0( ) 0 ( ) 0y x y x

Ak

n je párne číslo, tak funkcia má v bode x0 ostrý lokálny extrém a

to:

maximum, ak

Minimum, ak

1

0 0 0 0( ) ( ) ... ( ) 0 ( ) 0n ny x y x y x y x

0( ) 0ny x

0( ) 0ny x

n je nepárne číslo, tak funkcia f nemá v bode x0 lokálny extrém,

x0 je inflexný bod

Extrémy funkcie

• Určíme kritické body x0, v ktorých je derivácia nulová

• Určíme druhé derivácie:

0 0f x

0 0f x

v x0 je lokálne minimum

v x0 je lokálne maximum

Derivácia musí meniť znamienko, aby v bode x0 mala

funkcia extrém

0 0f x Môže byť extrém, alebo inflexný bod,

rozhodneš podľa derivácie, ktorá bude

prvýkrát nulová

• Preskúmaj body, v ktorých funkcia nemá deriváciu a

stacionárne body, v ktorých funkcia nemá deriváciu.

Aký má byť rozmer valca daného objemu V, aby jeho povrch

bol čo najmenší ?

3

3

02

44 0

2

VS r

Sr

h r

Využitie vo fyzike: minimalizácia tepelných strát povrchom

kalorimetra

Určte čas za ktorý kinetická energia dažďovej kvapky dosiahne maximum.

Kvapka mala počiatočnú hmotnosť m0 a pri páde jej hmotnosť dôsledkom

vyparovania sa rovnomerne zmenšuje.

22

0

1 1

2 2kE mv m kt gt

2

0

3

2k

dE g t kt m

dt

0

0

0

20 0

3

20

3

20

3

k

mt

k

dE mt

dt k

mt

k

2

1

minn

i

i

x x imum