Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf ·...

81
Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ich odvodenie

Transcript of Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf ·...

Page 1: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Derivácie niektorých

elementárnych funkcií a ich

odvodenie

Page 2: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

log

sin

cos

n

x

a

y C

y x

y a

y x

y x

y x

1

0

ln

1log

cos

sin

n

x

a

y

y nx

y a a

y ex

y x

y x

Page 3: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

x^n

1

0 0lim lim

n n

n

x x

x x xy x x y xf x n x

x x

1 2 211 ....

2!

n n n nx x x nx x n n x x

Ukážeme aj pre nR

Page 4: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

sinx

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2cos sin2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

0 0 0

2cos sin sin2 2 2sin lim lim lim cos cos

2

2

cos sin

x x x

x x xxx

x x xxx

x x

Page 5: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

0 0 0

1 1lim lim lim ln

x xx x xx x x x

x x x

a aa aa a a a a

x x x

0 0

1 1 1log lim log 1 limlog 1 log

x x

x x

a a a a

x xx e

x x x x x

0

lim 0x

C CC

x

lnx x xe e e e

ex je funkcia, ktorá po zderivovaní je

rovná sama sebe.

a e

Page 6: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Pomocné vety -pripomenutie

Ak funkcia f, g majú v bode a limity:

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( )( )lim lim ( ) 0

( ) lim ( )

x a x a x a

x a x a x a

x a

x a x a

x a

f x g x f x g x b c

f x g x f x g x b c

f xf x bak g x

g x g x c

lim ( )

lim ( )

x a

x a

f x b

g x c

Page 7: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Pravidlá derivovania a ich

odvodenie

Page 8: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Základné pravidlá a ich

odvodenie

2

u v u v

uv u v uv

uvw u vw uv w uvw

u u v uv

v v

u v

u v

f x uv

u

v

Derivácie:

Nech funkcie u a v sú diferencovateľné, t.j majú

derivácie, potom:

Page 9: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Poznámka

Z existencie derivácie v bode x0 vyplýva, že ak x 0 potom

y 0 .

Ak by neplatilo y0, keď x0 vlastná limita by nemohla

existovať a funkcia by nemala v bode x0 deriváciu

0

limx

y x x y xy

x

y0, keď x0

Page 10: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Derivovanie súčtu a rozdielu

funkcií

u x x u x u

v x x v x v

0 0

lim limx x

u vu v u v

x x

Page 11: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

uv u v uv

uvw u vw uv w uvw

1.... .... .... .... ....n nx x xxx xxx xx xx xxxx xxx x xxx xxxx xxx nx

Derivovanie súčinu funkcií

Page 12: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

2

u u v uv

v v

20limx

u vv u

u u v uvx x

v v v v v

Derivovanie podielu funkcií

0limx

u u u

u v v v

v x

Page 13: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

DERIVOVANIE ŠPECIÁLNYCH

TYPOV FUNKCIÍ

Page 14: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Pomocné vety -pripomenutie

Ak funkcia f, g majú v bode a limity:

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( )( )lim lim ( ) 0

( ) lim ( )

x a x a x a

x a x a x a

x a

x a x a

x a

f x g x f x g x b c

f x g x f x g x b c

f xf x bak g x

g x g x c

lim ( )

lim ( )

x a

x a

f x b

g x c

Page 15: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Poznámka

Z existencie derivácie v bode x0 vyplýva, že ak x 0 potom

y 0 .

Ak by neplatilo y0, keď x0 vlastná limita by nemohla

existovať a funkcia by nemala v bode x0 deriváciu

0

limx

y x x y xy

x

y0, keď x0

Page 16: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Derivácia zloženej funkcie

x u xy y u

y y u x

0 0 0 0 0lim lim lim lim limx x x u x

y y u

x u x

y u y u y u

u x u x u x

0

lim 0u

y

Funkcia u má deriváciu keď x0 potom u0

u je diferencovateľná:

Page 17: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

VYUŽITIE DERIVÁCIE

ZLOŽENEJ FUNKCIE

Page 18: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

DERIVÁCIA INVERZNEJ

FUNKCIE

Page 19: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Derivácia inverznej funkcie

1

y

x

yf x

Derivácie dvoch navzájom inverzných funkcií majú navzájom prevrátené hodnoty

0

0

1 1lim

limx

xy

y

yf x

xx y

y

1

( )y f x

x y f x

1

x y

d y d ydyy

dy dx dy

Page 20: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

arcsin siny x x y

1 1

cos

dy

dxdx y

dy

1,1 ,2 2

x y

1

y

x

yf x

1, Vyjadri x ako funkciu y

2, zderivuj x podľa y

3, zderivované x podľa y

daj do menovateľa

4, vo vzniknutom produkte

nahraď funkciu y x-ami

2 2

2 2

1 1 1

cos 11 sin

1 1

11 sin(arcsin )

dy

dx y xy

xx

cosdx

ydy

Algoritmus:

Page 21: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Derivácia inverznej funkcie

geometricky

1

y

x

yf x

y f x

x y

1cot

2tg g

tg

Geometrický význam:

f x tg

x tg

Page 22: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Derivácia inverznej funkcie

geometricky

2

Zameňme x-ovú os za y-ovú:

Page 23: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Ukážky

nny x y x

1

11

1

1

1 1

n

n

nn

y x

ny y

y xny n

1

11

1

1

1 1

n

n

nn

y x

yny

y xny n

1

x

y

f xy

x u xy y u

Page 24: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

LOGARITMICKÁ DERIVÁCIA

Page 25: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

v x

y u x

lnv vy u v u u

u

ln ln

v xu x v x u x

y e e

ln lny x v x u x

Logaritmická derivácia

Derivovať ako zloženú funkciu

Derivovať ako exponenciálnu funkciu

Úprava funkcie pred derivovaním

Page 26: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

DERIVÁCIA IMPLICITNE

ZADANEJ FUNKCIE

Page 27: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Implicitne zadané funkcie

, 0F x y

Deriváciu funkcie y dostaneme tak, že pri derivovaní rovnice F budeme y

chápať ako zloženú funkciu y(x).

22 2 1 0y y x

2 ln 2 2 2 0

2

2 2 ln 2

y

y

y y x

xy

22 2 1 0y x

y x x

Predpokladajme, že y je zadané rovnicou F, ktorá zväzuje

nezávislú premennú x s funkciou y, ale y nedokážeme

osamostatniť.

Page 28: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

2y x

1

2

y x

yx

1

2

y x

yx

Dokážeme nájsť deriváciu dy/dx, bez ohľadu na to, aby sme vedeli, v ktorej časti

oboru funkcie sa nachádzame ?

Netreba hľadať

vyjadrenie pre y

Page 29: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

univerzálne

Page 30: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...
Page 31: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Rovnica dotyčnice a

normály ku krivke

0 0 0y y f x x x

0 0

0

1y y x x

f x

sin12

2cos

2

tgtg

2

dotyčnica

normála

Page 32: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Teleso sa pohybuje po krivke. Určte smer vektora rýchlosti,

dotyčnicu a normálu ku krivke.

Page 33: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

H=10m6m

9m3/min

R=5m

Z kužela s výškou H a polomerom R vyteká 9m3 za minútu. Určte rýchlosť klesania

hladiny v okamihu, keď y=6m.

21

3V x y

Rx y

H

2

3

2

1

3

RV y

H

Page 34: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

2

3

2

1

3

RV y

H

2

2

2

13

3

dV R dyy

dt H dt

2

2 2

1dy H dV

dt R y dt

2/31/3 1/3 22 22/3 3

2 2 2

2

2 2

3 1 3 1

3 3 3

1

dy H dV H R dVV y

dt R dt R H dt

H dV

R y dt

2

3

2

1

3

RV y

H

Implicitne zadaná funkcia y Explicitne zadaná funkcia y

Page 35: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

DERIVÁCIA PARAMETRICKY

ZADANEJ FUNKCIE

Page 36: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Derivovanie funkcií zadaných

parametricky

Vo fyzike častým parametrom je čas

0

2

0

cos

1sin

2

x v t

y v t gt

2

0 2 2

02 cos

gy xv tg x

v

V podstate išlo o parametrické vyjadrenie paraboly

Page 37: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Ukážka parametrického

vyjadrenia kružnice

cos

sin

x R

y R

2 2

x t

y R t

2 2 2x y R

Page 38: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Parametrické zadanie funkcií a

ich diferencovanie

x t

y t

y x f x

t x

Od

str

án

en

ie p

ara

metr

aMetóda 1. - odstránenie parametra a následná derivácia

y x

Page 39: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Derivovanie funkcií zadaných

parametricky

x t

y t

t

t

t yy

t x

Zderivuj pravú a ľavú stranu podľa x, nezabudni t/x/

1d dt

x t xdt dx

dy d dty t x

dx dt dx

Podeľ pravé a ľavé strany:

Metóda 2. - priama derivácia podľa parametra

Derivuj podľa x:

Derivuj podľa y:

Page 40: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Pohyb častíc v priečnom

elektrickom poli

L

Odklon od pôvodného smeruČastica vletí do homogénneho elektrického

poľa s intenzitou E. Určte, pod akým uhlom

vyletí z kondenzátora. Určte odklon y2.

0

2 21 1

2 2

x v t

qEy at t

m

Parameter je čas t

Page 41: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Pohyb častíc v priečnom

elektrickom poli

2

2

2

0 0

1 1

2 2

qE qE qEx xy t y

m m v m v

0

0 0

qE xdy qEt

m vdt mydx v v

dt

Metóda 1.

Metóda 2.

0

2 21 1

2 2

x v t

qEy at t

m

2

0

L

qE Ltg

m v

Očami fyzika: Keďže parameter t je čas, v podstate sa určuje tangent uhla medzi

zložkami vektora rýchlosti častice, čo zodpovedá tangentu uhla, ktorý zviera vektor

rýchlosti s x-ovou osou. Vektor rýchlosti má smer dotyčnice na trajektóriu.

Page 42: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

DIFERENCIÁL FUNKCIE, JEHO

VÝZNAM A POUŽITIE

Page 43: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Diferenciál funkcie

0 0

lim lim 0x x

y y dyx x x

x x dx

Diferenciál – hlavná časť prírastku funkcie,

označujeme ho znakom dy

Výrazy y/x a dy/dx sa od seba líšia tým menej, čím viac

sa x blíži k nule

0

limx

yy x x x y x x x

x

Tento člen ovplyvňuje prírastok funkcie oveľa viac ako druhý člen.

Pri x0 sú oba členy nekonečne malými, druhý člen je však

vyššieho rádu malosti.

Page 44: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Geometrická interpretácia

Diferenciál zodpovedá prírastku funkcie, ak funkciu

nahradíme v okolí bodu x jej dotyčnicou.

dyy dy y x

x

x

x x

Page 45: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

3

3 3 2

2

2 2 3 2

y x x

dy d x x x x x x x

1

y x

dy d x x x x x

Obvykle sa preto píše namiesto x znak dx a nazýva sa

diferenciálom nezávislej premennej (argumentu).

dx x

( )dy f x dx ( )dy

f xdx

Derivácia funkcie je rovná podieľu jej diferenciálu dy k

diferenciálu nezávislej premennej dx

Page 46: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Diferenciál súčtu, rozdielu

podieľu viacerých funkcií

( )dy f x dx

2

... ...d u v w du dv dw

d uv vdu udv

u duv udvd

v v

dy f u du

Page 47: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Vlastnosti diferencialov a ich

odvodenie

... ... /

... ...

... ...

u v w u v w dx

u v w dx u dx v dx w dx

d u v w du dv dw

/uv u v uv dx

uv dx v u dx u v dx

d uv v du u dv

2

2

2

/u u v uv

dxv v

u u dx v u v dxdx

v v

u du v u dvd

v v

/

u

dF du dFy F u x u dx

du dx du

dFdy u dx

du

dy F u du

Diferenciál podieľ dvoch funkcií

Diferenciál zloženej funkcie

Diferenciál súčinu funkciiíDiferenciál súčtu funkciií

Page 48: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Približný výpočet hodnoty

funkcie – linearizácia funkcie

100

1 1 1

2 20

100 10.05

x

dyy dy x x

dx x

y y y

Odhadnite hodnotu 1010.5 ak viete, že 1000.5=10

Pre malé hodnoty x sa prírastok funkcie y približne rovná

diferenciálu dy:

Prírastok funkcie vyšetríme v okolí bodu x=100

Page 49: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160

0

2

4

6

8

10

12

14

X*X

X

100

1 1 1

2 20

100 10.05

x

dyy dy x x

dx x

y y y

Prírastok funkcie vyšetrujeme v okolí bodu x=100

Page 50: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Výpočet chýb – meranie vo

fyzikeMeraním sme zistili polomer gule r s presnosťou

r. Určte relatívnu chybu merania objemu.

3 244

3

3

V dV r r r r

V dr

V r

3 3 2 324 4 4 4

3 33 3 3 3

V r r r r r r r r

dV r r

Vo fyzike je prirodzené očakávať, že meracie zariadenie

spĺňa: r r

Relatívna chyba stnovenia objemu

je 3 krát väčšia ako relatívna

chyba polomeru

Page 51: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

0 5 10 15 20 25 30 35

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000V

mm

^3

r [mm]

3 3 2 324 4 4 4

3 33 3 3 3

V r r r r r r r r

Page 52: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Príklad

• Určte o akú vzdialenosť sa posunie obraz spojky, ak sme predmet

posunuli o malú vzdialenosť da.

2

2

1 1 1

a a f

afa

a f

da fda da da

da a f

Obraz sa posunie opačným smerom ako predmet

Page 53: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Linearizácia

zväčšenina

Page 54: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Linearizácia

1y x

Linearizujme v okolí bodu x=0. Pre prírastok funkcie platí:

1

0

1x

y y x x x x

0 1y y y x

=1/2

= -1 x - x

= 1/3 x 5x4

= - 1/2 x - x2

Page 55: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

0

2

1

mm

v

c

2

00

2

11

21

m vm m

cv

c

Kinetická energia2

2 2 2 2 2

0 0 0 0

1 11

2 2k

vE mc m c m c m c m v

c

Page 56: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Určte ako sa mení tiažové zrýchlenie s výškou, v priblížení

diferenciálu

Page 57: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

URČOVANIE

CHARAKTERISTÍK FUNKCIÍ

POUŽITÍM DERIVÁCIE

Page 58: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Monotónnosť funkcie

0

0

0 tan

0

limx

y x RASTÚCAdy y

y x y x Konš tadx x

y x KLESAJÚCA

Derivovateľná funkcia je v danom intervale :

Konštantná, ak v tomto intervale:

Rastúca, ak v tomto intervale:

Klesajúca, ak v tomto intervale:

0y x

0y x

0y x

Podľa znamienka prvej derivácie môžeme rozhodnúť, či

funkcia rastie alebo klesá na nejakom intervale

Page 59: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Derivácia geometricky

zodpovedá tangentu

(orientovaného) uhla,

ktorý zviera dotyčnica s

osou

Kladný tangent - ostrý uhol

záporný tangent - tupý uhol

Nulovej smernici

zodpovedá priamka

rovnobežná s

x – ovou osou.

Page 60: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Funkcia rastie, smernica dotyčnice zviera s x-ovou osou

ostrý uhol tg > 0 0y x

Funkcia klesá, smernica dotyčnice zviera s x-ovou osou

tupý uhol tg < 0 0y x

Funkcia rastie, smernica dotyčnice

zviera s x-ovou osou ostrý uhol

tg > 0 0y x

Page 61: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

0y

Konvexná funkcia

0y

Konkávna funkcia

Podľa znamienka druhej derivácie môžeme rozhodnúť, či

funkcia je konvexná alebo konkávna

Page 62: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...
Page 63: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Lokálne a globálne extrémyNech je funkcia definovaná na intervale J. Funkčná

hodnota f(x0) sa nazýva:

globálnym maximom, ak pre každé xJ platí:

globálnym minimom, ak pre každé xJ platí:

0( )f x f x

0( )f x f x

Ak sa obmedzíme len na nejaké okolie bodu x0 a

skúmame jeho vzájomný vzťah medzi hodnotou f(x0) a

hodnotami funkcie v ostatných bodoch tohto okolia, potom

hovoríme o lokálnych extrémoch

Page 64: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Hovoríme, že funkcia má v bode x0

lokálne maximum ak existuje také okolie U, že platí:

lokálne minimum, ak existuje také okolie U, že platí:

0( )f x f x

0( )f x f x

Page 65: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Lokálne a globálne maximá

KEDY nastane extrém ???

Page 66: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Použitie derivácii na štúdium

priebehu funkcií

Funkcia môže mať extrém iba v takom bode x0, v ktorom:

0( ) 0f x

derivácia neexistuje

Nutná podmienka

Deriv

ácia

je

nevla

stn

á

De

rivá

cia

sp

rava

je in

á a

ko

de

rivá

cia

zľa

va

Geometricky :

funkcia má v bode x0

dotyčnicu rovnobežnú

s x –ovou osou,

alebo nemá dotyčnicu

v tomto bode.

derivácia existuje

Page 67: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Funkcia y v bode 0

nemá extém, hoci jej

prvá derivácia v tomto

bode je nulová !!!

Funkcia y v bode 0

nemá extém, hoci jej

prvá derivácia

neexistuje v tomto

bode !!!

Splnenie nutnej podmienky nezabezpečuje existenciu

extrému

Page 68: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Funkcia y v bode 0

nemá extém, hoci jej

prvá derivácia v tomto

bode je nulová !!!

Funkcia y v bode 0

nemá extém, hoci jej

prvá derivácia

neexistuje v tomto

bode !!!

Splnenie nutnej podmienky nezabezpečuje existenciu

extrému

Page 69: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Aká je postačujúca podmienka?

0y 0y 0y 0y 0y

0y 0y Derivácia v bode D

neexistuje

Smernica

dotyčnice kladná

Smernica

dotyčnice kladná

Smernica

dotyčnice kladná

Znamienko derivácie funkcie sa musí v lokálnom extréme

zmeniť.

Page 70: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Extrémy elementárnych funkcií

V bode, v ktorom je lokálny extrém, musí prechádzať

rastúca časť spojitej funkcie na klesajúcu, alebo naopak.

Funkcia nemôže mať lokálny extrém v intervale, v ktorom

je rýdzo rastúca, alebo klesajúca.

Znamienko derivácie funkcie sa musí v lokálnom extréme

zmeniť.

Skúsme špecifikovať základné charakteristiky lokálnych

extrémov:

Page 71: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...
Page 72: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

(0) 0y

Funkcia y v bode 0 nemá extém, hoci jej prvá

derivácia v tomto bode je nulová !!!

Funkcia stále rastie, znamienko

derivácie sa nezmenilo, stále je

kladné !!!

2( ) 3y x x

3( )y x x

Page 73: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Použitie derivácii na štúdium

priebehu funkcií

Funkcia môže mať extrém iba v takom bode x0, v ktorom:

0( ) 0f x

derivácia neexistuje

Nutná podmienka

Deriv

ácia

je

nevla

stn

á

De

rivá

cia

sp

rava

je in

á a

ko

de

rivá

cia

zľa

va

Geometricky :

funkcia má v bode x0

dotyčnicu rovnobežnú

s x –ovou osou,

alebo nemá dotyčnicu

v tomto bode.

derivácia existuje

Page 74: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Inflexný bod

Page 75: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Zhrnutie

Ak v bode x0 má funkcia extrém, v tomto bode je derivácia

nulová a zároveň sa v ňom zmení znamienko. Samotná prvá

derivácia je teda v okolí bodu x0 buď rýdzo rastúca, alebo

rýdzo klesajúca.

Ak bod x0 je inflexný bod, potom derivácia nebude meniť v

tomto bode znamienko, ale v bode x0 dosiahne svoj extrém a

preto v tomto bode bude prvá derivácia tiež nulová.

Page 76: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Postačujúce podmienky pre

existenciu lokálneho extrémuAk má funkcia y(x) v bode x0 ostré lokálne

minimum 0 0( ) 0 ( ) 0y x y x

Ak má funkcia y(x) v bode x0 ostré lokálne

maximum 0 0( ) 0 ( ) 0y x y x

Ak

n je párne číslo, tak funkcia má v bode x0 ostrý lokálny extrém a

to:

maximum, ak

Minimum, ak

1

0 0 0 0( ) ( ) ... ( ) 0 ( ) 0n ny x y x y x y x

0( ) 0ny x

0( ) 0ny x

n je nepárne číslo, tak funkcia f nemá v bode x0 lokálny extrém,

x0 je inflexný bod

Page 77: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Extrémy funkcie

• Určíme kritické body x0, v ktorých je derivácia nulová

• Určíme druhé derivácie:

0 0f x

0 0f x

v x0 je lokálne minimum

v x0 je lokálne maximum

Derivácia musí meniť znamienko, aby v bode x0 mala

funkcia extrém

0 0f x Môže byť extrém, alebo inflexný bod,

rozhodneš podľa derivácie, ktorá bude

prvýkrát nulová

• Preskúmaj body, v ktorých funkcia nemá deriváciu a

stacionárne body, v ktorých funkcia nemá deriváciu.

Page 78: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...
Page 79: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Aký má byť rozmer valca daného objemu V, aby jeho povrch

bol čo najmenší ?

3

3

02

44 0

2

VS r

Sr

h r

Využitie vo fyzike: minimalizácia tepelných strát povrchom

kalorimetra

Page 80: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

Určte čas za ktorý kinetická energia dažďovej kvapky dosiahne maximum.

Kvapka mala počiatočnú hmotnosť m0 a pri páde jej hmotnosť dôsledkom

vyparovania sa rovnomerne zmenšuje.

22

0

1 1

2 2kE mv m kt gt

2

0

3

2k

dE g t kt m

dt

0

0

0

20 0

3

20

3

20

3

k

mt

k

dE mt

dt k

mt

k

Page 81: Derivácie niektorých elementárnych funkcií a ichbohm/metody/derivacie_vyuzitie.pdf · 2016-11-06 · Rovnica dotyčnice a normály ku krivke y y f x x x 0 0 0c 00 0 1 y y ...

2

1

minn

i

i

x x imum