Unidade 02 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas
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Unidade 02Modelos de Estruturas Reticuladas
Fundamentos de Mecânica das Estruturas
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora
versão 13.05
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 1 / 51
Introdução
Programa
1 IntroduçãoEstruturas ReticuladasAções Externas – CargasPrincípios Gerais de Mecânica das Estruturas
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 2 / 51
Introdução Estruturas Reticuladas
Programa
1 IntroduçãoEstruturas ReticuladasAções Externas – CargasPrincípios Gerais de Mecânica das Estruturas
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 2 / 51
Introdução Estruturas Reticuladas
Introdução
Estruturas Reticuladas
Estrutura Reticuladaé aquela constituída por elementos resistentes nos quais uma dimensão se sobressaisobre as outras duas. A interseção de uma ou mais elementos é chamada de nó.
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 2 / 51
Introdução Ações Externas – Cargas
Programa
1 IntroduçãoEstruturas ReticuladasAções Externas – CargasPrincípios Gerais de Mecânica das Estruturas
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Introdução Ações Externas – Cargas
Introdução
Ações Externas – Cargas
As ações externas aplicadas a estruturas são os agentes causadores de tensões edeformações internas aos componentes da estrutura.As cargas podem ser divididas em dois grupos
1 Cargas Permanentes2 Cargas Acidentais
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 3 / 51
Introdução Ações Externas – Cargas
Introdução
Ações Externas – Cargas
1 Cargas PermanentesPeso próprioQualquer outro tipo de carregamento com magnitude ou permanência constantesque atuam sobre a estruturaEmpuxo do solo: ocorre em estruturas de contenção, reservatórios subterrâneos,piscinas, galerias e túneis
2 Cargas AcidentaisCargas móveis: cargas que se movem gradualmente de uma posição para outra semcausar impacto na estruturaSobrecarga: cargas que não mudam de posição e podem atuar ou não sobre a ex-trutura em um determinado intervalo de tempo (móveis em um apartamento de umedifício residencial).Impacto: considerado quando cargas em movimento atuam sobre a estrutura.Denomina-se o coeficiente de impacto a magnitude que irá majorar o valor dessascargas em movimento. Este tipo de coeficiente está sendo substituído por resultadosde análises dinâmicas dos modelos estruturais
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Introdução Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas
Programa
1 IntroduçãoEstruturas ReticuladasAções Externas – CargasPrincípios Gerais de Mecânica das Estruturas
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 5 / 51
Introdução Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas
Introdução
Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas
Quatro níveis de abstração
Estrutura Real↓
Modelo Estrutural↓
Modelo discreto↓
Modelo Computacional
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 5 / 51
Introdução Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas
Introdução
Princípios Gerais de Mecânica das Estruturas
Modelo estruturalNa concepção do modelo estrutural é feita uma idealização do comportamento daestrutura real.Hipóteses simplificadoras:
hipóteses sobre a geometria do modelo;hipóteses sobre as condições de suporte (ligação com o meio externo, por exem-plo, com o solo);hipóteses sobre o comportamento dos materiais;hipóteses sobre as solicitações que agem sobre a estrutura (cargas de ocupaçãoou pressão de vento, por exemplo).
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Condições Básicas de Análise Estrutural
Programa
2 Condições Básicas de Análise EstruturalCondições de equilíbirioCondições de compatibilidadeLeis constitutivas dos materiaisSolução NuméricaSimplificação do modeloComparação entre P1 e P2Superposição de Efeitos
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Condições Básicas de Análise Estrutural
Condições Básicas de Análise Estrutural
As condições matemáticas que o modelo estrutural tem que satisfazer para representaradequadamente o comportamento da estrutura real:
condições de equilíbrio;condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura (leisconstitutivas dos materiais).
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Condições Básicas de Análise Estrutural
Condições Básicas de Análise Estrutural
Problema P1Determine os esforços nas barras da estrutura. Considere que as barras são feitas domesmo material elástico-linear e a área A da seção transversal é constante.
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Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio
Programa
2 Condições Básicas de Análise EstruturalCondições de equilíbirioCondições de compatibilidadeLeis constitutivas dos materiaisSolução NuméricaSimplificação do modeloComparação entre P1 e P2Superposição de Efeitos
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Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de equilíbirio
Condições Básicas de Análise Estrutural
Condições de equilíbirio
Considerando o equilíbirio do nó inferior na configuração deformada, temos∑Fx = 0 ⇒ N2 = N3∑Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cosφ= P
onde N1 é o esforço na barra vertical e N2 é o esforço na barras inclinadas.
Análise de segunda ordem
A análise feita com o equilíbrio na configuração deformada denomina-se análise desegunda ordem (deslocamentos não desprezíveis na imposição das condições de equi-líbrio).
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Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de compatibilidade
Programa
2 Condições Básicas de Análise EstruturalCondições de equilíbirioCondições de compatibilidadeLeis constitutivas dos materiaisSolução NuméricaSimplificação do modeloComparação entre P1 e P2Superposição de Efeitos
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 10 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de compatibilidade
Condições Básicas de Análise Estrutural
Condições de compatibilidade
As condições de compatibilidade podem ser divididas em dois grupos:Condições de compatibilidade externa: referem-se aos vínculos externos da estrutura
e garantem que os deslocamentos e deformações sejam compatíveiscom as hipóteses adotadas com respeito aos suportes ou ligações comoutras estruturas.
Condições de compatibilidade interna: garantem que a estrutura permaneça, ao sedeformar, contínua no interior dos elementos estruturais (barras) enas fronteiras entres os elementos estruturais, isto é, que as barraspermaneçam ligadas pelos nós que as conectam (incluindo ligação porrotação no caso de não haver articulação entre barras).
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Condições Básicas de Análise Estrutural Condições de compatibilidade
Condições Básicas de Análise Estrutural
Condições de compatibilidade
Relação de compatibilidade:
cosφ = l+u√(l+u)2+a2
d1 = u
d2 =√(l + u)2 + a2 −
√l2 + a2
onde u é o deslocamento vertical no nó inferior, d1 é o alongamento na barra vertical ed2 é o alongamento na barras inclinadas.
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Condições Básicas de Análise Estrutural
Programa
2 Condições Básicas de Análise EstruturalCondições de equilíbirioCondições de compatibilidadeLeis constitutivas dos materiaisSolução NuméricaSimplificação do modeloComparação entre P1 e P2Superposição de Efeitos
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Condições Básicas de Análise Estrutural
Condições Básicas de Análise Estrutural
Leis constitutivas dos materiais
O modelo matemático do comportamento dos materiais, em um nívelmacroscópico, é expresso por um conjunto de relações matemáticas entre ten-sões e deformações.A lei constitutiva que relaciona tensões normais e deformações normais é a con-hecida Lei de Hooke e é dada por
σ= Eε
onde E é o módulo de elasticidade do material, σ são as tensões normais na di-reção axial da barra e ε indicam as deformações normais na direção axial dabarra.
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 12 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural
Condições Básicas de Análise Estrutural
Leis constitutivas dos materiais
Assim, para a barra verticalN1
A= E
d1
l⇒ N1 = EA
ul
e para as barras inclinadas
N2
A= E
d2√l2 + a2
⇒ N2 = EA
√(l + u)2 + a2 −
√l2 + a2√
l2 + a2
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Condições Básicas de Análise Estrutural
Condições Básicas de Análise Estrutural
Leis constitutivas dos materiais
Substituindo os cosφ, N1 e N2 na equação de equilíbrio,
EAul+ 2EA
√(l + u)2 + a2 −
√l2 + a2√
l2 + a2
l + u√(l + u)2 + a2
= P
e após algumas simplificações temos:
ul+ 2
(1 +
ul
) 1√1 +
(al
)2−
1√(1 + u
l
)2+
(al
)2
= PEA
!Vê-se que só foi possível resolver a estrutura hiperestática desse exemplo usando to-dos os três tipos de condições: equilíbrio, compatibilidade e leis constitutivas.
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 14 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural
Condições Básicas de Análise Estrutural
Leis constitutivas dos materiais
Há casos em que o material é também solicitado ao efeito de cisalhamento. Paramateriais trabalhando em regime elástico-linear, a lei constitutiva que relacionatensões cisalhantes com distorções de cisalhamento é dada por:
τ= Gγ
onde G é módulo de cisalhamento (propriedade do material), τ é a tensão decisalhamento γ a distorção de cisalhamento.
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Condições Básicas de Análise Estrutural Solução Numérica
Programa
2 Condições Básicas de Análise EstruturalCondições de equilíbirioCondições de compatibilidadeLeis constitutivas dos materiaisSolução NuméricaSimplificação do modeloComparação entre P1 e P2Superposição de Efeitos
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Condições Básicas de Análise Estrutural Solução Numérica
Condições Básicas de Análise Estrutural
Solução Numérica
Para derivar um procedimento de solução vamos usar a relação
P =EAu
l+ 2
EA( √
u2 + 2ul + l2 + a2 −√
l2 + a2)(u + l)√
l2 + a2√
u2 + 2ul + l2 + a2
e empregar o método de Newton, onde
uk+1 = uk+1 −∂P(uk)
∂uP(uk)
com∂P(u)∂u = EA
l +EA(2u+2 l)(u+l)
(u2+2ul+l2+a2)√
l2+a2+
2EA(√
u2+2ul+l2+a2−√
l2+a2)
√l2+a2
√u2+2ul+l2+a2
−
EA(√
u2+2ul+l2+a2−√
l2+a2)(u+l)(2u+2 l)
√l2+a2(u2+2ul+l2+a2)3/2
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Condições Básicas de Análise Estrutural Solução Numérica
Condições Básicas de Análise Estrutural
Solução Numérica
Para simplificação, vamos assumir que
∂P(uk)
∂u= Kk; P(uk) = Pk
e então o método de Newton fica
uk+1 = uk+1 − KkPk
com∂P(uk)
∂u
∣∣∣∣∣∣u=0
=EAl
+2EAl2
(l2 + a2)3/2
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Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo
Programa
2 Condições Básicas de Análise EstruturalCondições de equilíbirioCondições de compatibilidadeLeis constitutivas dos materiaisSolução NuméricaSimplificação do modeloComparação entre P1 e P2Superposição de Efeitos
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 18 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo
Condições Básicas de Análise Estrutural
Simplificação do modelo
No problema anterior, a condição de equilíbrio na direção vertical do nó inferiorda estrutura foi escrita considerando a geometria deformada da estrutura.Em alguns casos, os deslocamentos que a estrutura vai sofrer são muito pe-quenos em relação às suas dimensões.Essa hipótese, denominada de hipótese de pequenos deslocamentos, será adotadacomo simplificação.A análise de estruturas com essa consideração denomina-se análise de primeiraordem.
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 18 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo
Condições Básicas de Análise Estrutural
Simplificação do modelo
Problema P2Seja o problema P1. Considere agora uma condição de pequenos deslocamentos, demodo que as equações de equilíbrio sejam escritas na configuração indeformada.
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 19 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo
Condições Básicas de Análise Estrutural
Simplificação do modelo
Mantendo-se a hipótese de pequenos deslocamentos, pode-se considerar que oângulo entre as barras após a deformação da estrutura não se altera,Nesse exemplo os deslocamentos são considerados pequenosA equação de equilíbrio que relaciona a força aplicada P com o esforço normalnas barras é escrita na configuração indeformada da estrutura∑
Fx = 0 ⇒ N2 = N3∑Fy = 0 ⇒ N1 + 2N2 cosθ = P
onde N1 é o esforço na barra vertical e N2 é o esforço na barras inclinadas.
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Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo
Condições Básicas de Análise Estrutural
Simplificação do modelo
Pode-se então estabelecer relações de compatibilidade entre os alongamentos dasbarras e o deslocamento vertical do nó inferior:
cosθ = l√l2+a2
d1 = ud2 = ucosθ = u l√
l2+a2
onde u é o deslocamento vertical no nó inferior, d1 é o alongamento na barra vertical ed2 é o alongamento na barras inclinadas.
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 21 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo
Condições Básicas de Análise Estrutural
Simplificação do modelo
Das equações constitutivas temos para a barra vertical
N1
A= E
d1
l⇒ N1 = EA
ul
e para as barras inclinadas
N2
A= E
d2√l2 + a2
⇒ N2 = EAul
l2 + a2
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 22 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Simplificação do modelo
Condições Básicas de Análise Estrutural
Simplificação do modelo
Voltando na equação de equilíbrio temos
EAul+ 2EA
(ul
l2 + a2
)l√
l2 + a2= P
o que após algumas simplificações resulta em
ul
1 + 2l3
(l2 + a2)32
= PEA
(1)
!Ao comparar a resposta não linear com a resposta linear da estrutura para pequenosdeslocamentos, podemos observar que o coeficiente angular da resposta linear é igualà derivada da curva carga-deslocamento não linear para u = 0.
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 23 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2
Programa
2 Condições Básicas de Análise EstruturalCondições de equilíbirioCondições de compatibilidadeLeis constitutivas dos materiaisSolução NuméricaSimplificação do modeloComparação entre P1 e P2Superposição de Efeitos
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 24 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2
Condições Básicas de Análise Estrutural
Comparação entre P1 e P2
Modelos Estruturais
P1:ul + 2
(1 + u
l
) 1√1+( a
l )2− 1√
(1+ ul )
2+( a
l )2
= PEA
N1 = EA ul
N2 = EA√(l+u)2+a2−
√l2+a2
√l2+a2
P2:ul
(1 + 2l3
(l2+a2)32
)= P
EA
N1 = EA ul
N2 = EA ull2+a2
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 24 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2
Condições Básicas de Análise Estrutural
Comparação entre P1 e P2
Modelos Discretos /Modelos Computacionais1 from pylab import*2 E=70e9 ; d=0.005 ; A=pi*d**2/4 ; l=1 ;a=13 u=linspace(0,0.5,100)4 # P1 - equilibrio na posição deformada5 def P1(u,E,A,l,a):6 cosphi=(l+u)/sqrt((l+u)**2+a**2)7 N1=E*A/l*u8 N2=E*A/sqrt(l**2+a**2) * (sqrt((l+u)**2+a**2)-sqrt(l**2+a**2))9 p=N1+2*N2*cosphi10 return(p)11 # P2 - simplificação do modelo12 def P2(u,E,A,l,a):13 cost=(l)/sqrt(l**2+a**2)14 N1=E*A/l*u15 N2=E*A/sqrt(l**2+a**2) * u*cost16 p=N1+2*N2*cost17 return(p)18 # Obtem as curvas19 y1 = P1(u,E,A,l,a); y2 = P2(u,E,A,l,a)20 # Gráficos para comparação21 plot(u/l, y1/(E*A), label=’P1’); plot(u/l, y2/(E*A), label=’P2’)22 legend(loc=0); grid()23 xlabel(’u/l’); ylabel(’P/EA’)24 show()
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 25 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2
Condições Básicas de Análise Estrutural
Comparação entre P1 e P2
Comparação das relações força-deslocamento
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 26 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Comparação entre P1 e P2
Condições Básicas de Análise Estrutural
Comparação entre P1 e P2
Pontos para discussão
É possível obter a mesma solução do problema P2 (não linear) resolvendo umasequência de problemas do tipo P1 (linear)Por exemplo, considerando as cargas aplicadas em pequenos incrementos
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 27 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos
Programa
2 Condições Básicas de Análise EstruturalCondições de equilíbirioCondições de compatibilidadeLeis constitutivas dos materiaisSolução NuméricaSimplificação do modeloComparação entre P1 e P2Superposição de Efeitos
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 28 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos
Condições Básicas de Análise Estrutural
Superposição de Efeitos
Considere uma estrutura onde atual n solicitações s1, s2, . . . , sn. Um efeito elásticoqualquer E, pode ser obtido pela superposição deste efeito calculado para cadasolicitação separadamente.
E(s1 + s2 + · · ·+ sn) = E(s1) + E(s2) + · · ·+ E(sn)
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 28 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos
Condições Básicas de Análise Estrutural
Superposição de Efeitos
O princípio da superposição é válido desde que a estrutura tenha comportamentolinear, ou seja satisfaça:
O material deve se comportar segundo a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear)As deformações e os deslocamentos devem ser pequenos de forma que possa serconsiderada a posição indeformada como posição de equilíbrio
Se a estrutura não satisfaz a primeira condição acima, diz-se que ela apresentanão-linearidade física
Se a estrutura não satisfaz a segunda condição, diz-se que ela apresenta não-linearidade geométrica
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 29 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos
Condições Básicas de Análise Estrutural
Superposição de Efeitos
Condições para o comportamento linear
Para se ter comportamento linear uma estrutura exige-se necessariamente o com-portamento linear do material (linearidade física), e linearidade geométrica daestrutura.Para a linearidade geométrica deve-se ter um arranjo adequado das barras e dosvínculos de forma que seja possível estabelecer as condições de equilíbrio estru-tural na posição inicial da estrutura indeformada.Para tanto a estrutura deve funcionar em regime de pequenos deslocamentos epequenas deformações.Não é possível uma estrutura apresentar comportamento linear se o material tivercomportamento não-linear, bem como não há possibilidade da estrutura apresen-tar comportamento linear se apresentar alguma não-linearidade geométrica.
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 30 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos
Condições Básicas de Análise Estrutural
Superposição de Efeitos
Para estrutura abaixo, não se consegue o equilíbrio no ponto C sem considerar adeformação das barras AC e BC e os conseqüentes deslocamentosAssim, para formular o equilíbrio do nó C, é necessário levar em conta o ânguloα formado entre as barras na posição deformada e na posição inicialEsta estrutura apresenta comportamento não-linear para qualquer valor de P equalquer tipo de material
Abaixo apresenta-se uma estrutura derivada da estrutura acima, mas cuja dis-posição de barras e vínculos permite a ocorrência de linearidade geométrica
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 31 / 51
Condições Básicas de Análise Estrutural Superposição de Efeitos
Condições Básicas de Análise Estrutural
Superposição de Efeitos
O princípio da superposição dos efeitos pode ser aplicado quando o comportamentoda estrutura é elástico-linear, isto é:
O material segue a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear)Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos (linearidadegeométrica)Não existe interação entre efeitos de força axial e momento fletor nas barras (lin-earidade geométrica)A disposição das barras e de vínculos é tal que se pode formular o equilíbrio naposição inicial da estrutura indeformada
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 32 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material
Programa
3 Modelos Constitutivos – Comportamento do MaterialAnálise 1ª Ordem × Análise 2ª OrdemMaterial Elástico LinearMaterial Elástico Não-LinearMaterial Perfeitamente PlásticoRelação Ramberg-Osgood
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 33 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Análise 1ª Ordem × Análise 2ª Ordem
Programa
3 Modelos Constitutivos – Comportamento do MaterialAnálise 1ª Ordem × Análise 2ª OrdemMaterial Elástico LinearMaterial Elástico Não-LinearMaterial Perfeitamente PlásticoRelação Ramberg-Osgood
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 33 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material
Análise de Segunda Ordem∑Fx = 0⇒ N2 = N3∑Fy = 0⇒ N1 + 2N2 cosφ= P
Condições de Compatibilidade
cosφ=l + u√
(l + u)2 + a2
d1 = u;
d2 =√(l + u)2 + a2 −
√l2 + a2;
Análise de Primeira Ordem∑Fx = 0⇒ N2 = N3∑Fy = 0⇒ N1 + 2N2 cosθ = P
Condições de Compatibilidade
cosθ =l√
l2 + a2
d1 = u;
d2 = ucosθ = ul√
l2 + a2−1;
Equação Constitutiva
σ= Eε⇒NA= E
∆ll
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material
Dados
E = 210GPa,σP = 420MPa;
A =πd2
4m2, d = 0.005m;
l = 1m, a = 1m;
Material Elástico Linear: σ= EεMaterial Elástico Não-Linear: σ= Eε1/2
Material Perfeitamente Plástico:σ= Eε se ε ≤ 0.002σ= σP
Relação Ramberg-Osgood:ε=
σ
E+ α
σP
E
(σ
σP
)m
ασP
E= 0.002,m = 5
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Linear
Programa
3 Modelos Constitutivos – Comportamento do MaterialAnálise 1ª Ordem × Análise 2ª OrdemMaterial Elástico LinearMaterial Elástico Não-LinearMaterial Perfeitamente PlásticoRelação Ramberg-Osgood
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 35 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Linear
Modelos Constitutivos – Comportamento do MaterialUm material pode comportar-se de diversas formas.
Utilizando um material elástico linear: σ= Eε ;Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)1
Dados!
1Contribuiram para essa seção os alunos Anna Claudia Resende, Joventino Campos e Weslley PereiraLeonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 35 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear
Programa
3 Modelos Constitutivos – Comportamento do MaterialAnálise 1ª Ordem × Análise 2ª OrdemMaterial Elástico LinearMaterial Elástico Não-LinearMaterial Perfeitamente PlásticoRelação Ramberg-Osgood
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 36 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear
Material Elástico Não-LinearO que muda no modelo?
Equação Constitutiva
σ= Eε1/2⇒NA= E
(∆ll
)1/2
Para a configuração deformada (P1):
N1 = EA(
d1
l
)1/2
⇒ N1 = EA(u
l
)1/2
N2 = EA(
d2
l
)1/2
⇒ N2 = EA
√(l + u)2 + a2 −
√l2 + a2√
l2 + a2
1/2
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 36 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear
Material Elástico Não-LinearO que muda no modelo?
Equação Constitutiva
σ= Eε1/2⇒NA= E
(∆ll
)1/2
Para a configuração deformada (P1):
N1 = EA(
d1
l
)1/2
⇒ N1 = EA(u
l
)1/2
N2 = EA(
d2
l
)1/2
⇒ N2 = EA
√(l + u)2 + a2 −
√l2 + a2√
l2 + a2
1/2
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 36 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear
Material Elástico Não-LinearO que muda no modelo?
Equação Constitutiva
σ= Eε1/2⇒NA= E
(∆ll
)1/2
Para a configuração deformada (P1):
N1 = EA(
d1
l
)1/2
⇒ N1 = EA(u
l
)1/2
N2 = EA(
d2
l
)1/2
⇒ N2 = EA
√(l + u)2 + a2 −
√l2 + a2√
l2 + a2
1/2
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 36 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear
Material Elástico Não-LinearO que muda no modelo?Equação Constitutiva
σ= Eε1/2⇒NA= E
(∆ll
)1/2
Para a simplificação do modelo (P2):
N1 = EA(
d1
l
)1/2
⇒ N1 = EA(u
l
)1/2
N2 = EA(
d2
l
)1/2
⇒ N2 = EA
ucosθ√l2 + a2
1/2
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 37 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear
Material Elástico Não-LinearO que muda no modelo?Equação Constitutiva
σ= Eε1/2⇒NA= E
(∆ll
)1/2
Para a simplificação do modelo (P2):
N1 = EA(
d1
l
)1/2
⇒ N1 = EA(u
l
)1/2
N2 = EA(
d2
l
)1/2
⇒ N2 = EA
ucosθ√l2 + a2
1/2
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 37 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear
Material Elástico Não-LinearO que muda no modelo?Equação Constitutiva
σ= Eε1/2⇒NA= E
(∆ll
)1/2
Para a simplificação do modelo (P2):
N1 = EA(
d1
l
)1/2
⇒ N1 = EA(u
l
)1/2
N2 = EA(
d2
l
)1/2
⇒ N2 = EA
ucosθ√l2 + a2
1/2
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 37 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Elástico Não-Linear
Material Elástico Não-Linear
Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)
Dados!
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 38 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico
Programa
3 Modelos Constitutivos – Comportamento do MaterialAnálise 1ª Ordem × Análise 2ª OrdemMaterial Elástico LinearMaterial Elástico Não-LinearMaterial Perfeitamente PlásticoRelação Ramberg-Osgood
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 39 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico
Material Perfeitamente PlásticoO que muda no modelo?
Equação Constitutiva
σ=
Eε se ε 6 0.002σP se ε > 0.002
Para facilitar os cálculos escreverei as deformações ε em função de θ e de ε11 2
(deformação na barra 1). Para os dois modelos a deformação na barra 1 é dada por:
ε11 =d1
l=
ul
2εi j: deformação na barra i do problema P jLeonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 39 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico
Material Perfeitamente PlásticoO que muda no modelo?
Equação Constitutiva
σ=
Eε se ε 6 0.002σP se ε > 0.002
Já para a barra 2, a deformação no caso (P1) é dada por3 :
ε21 =
√(l + u)2 + a2 −
√l2 + a2√
l2 + a2=
√(l + u)2 + a2
l2 + a2 − 1 =
√(1 + u
l )2 + ( a
l )2
1 + ( al )
2 − 1
⇒ ε21 =
√(1 + ε11)2 + tan2 θ
1 + tan2 θ− 1 =
√(1 + ε11)2 + tan2 θ
secθ− 1
3εi j: deformação na barra i do problema P jLeonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 40 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico
Material Perfeitamente PlásticoO que muda no modelo?
Equação Constitutiva
σ=
Eε se ε 6 0.002σP se ε > 0.002
No caso (P2), temos4:
ε22 =ucosθ√l2 + a2
=ucosθ
l√
1 + ( al )
2=
ucosθ
l√
1 + tan2 θ=
ucosθlsecθ
=ul
cos2 θ
⇒ ε22 = ε11 cos2 θ
4εi j: deformação na barra i do problema P jLeonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 41 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico
Material Perfeitamente PlásticoO que muda no modelo?
Equação Constitutiva
σ=
Eε se ε 6 0.002σP se ε > 0.002
Para o caso (P1), as equações de equilíbrio ficam:
N1 + 2N2 cosφ= P⇒ Aσ(ε11) + 2Aσ(ε21)l + u√
(l + u)2 + a2= P
⇒PA= σ(ε11) + 2σ(ε21)
1 + ul√
(1 + ul )
2 + ( al )
2
⇒P
EA=
1E
σ(ε11) + 2σ(ε21)1 + ε11√
(1 + ε11)2 + tan2 θ
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 42 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico
Material Perfeitamente PlásticoO que muda no modelo?
Equação Constitutiva
σ=
Eε se ε 6 0.002σP se ε > 0.002
Para o caso (P2), as equações de equilíbrio ficam:
N1 + 2N2 cosθ = P⇒ Aσ(ε11) + 2Aσ(ε22)cosθ = P
⇒P
EA=
1E
(σ(ε11) + 2σ(ε22)cosθ
)
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 43 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico
Material Perfeitamente Plástico
Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)
Dados!
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 44 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico
Material Perfeitamente Plástico
Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)
Dados!
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 45 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico
Material Perfeitamente Plástico
Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)
Dados!
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 46 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Material Perfeitamente Plástico
Material Perfeitamente Plástico
Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)
Dados!
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 47 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood
Programa
3 Modelos Constitutivos – Comportamento do MaterialAnálise 1ª Ordem × Análise 2ª OrdemMaterial Elástico LinearMaterial Elástico Não-LinearMaterial Perfeitamente PlásticoRelação Ramberg-Osgood
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 48 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood
Relação Ramberg-OsgoodEquação Constitutiva
ε=σ
E+ α
σP
E
(σ
σP
)m
⇒∆ll=σ
E+ α
σP
E
(σ
σP
)m
Como σ está implícito, é necessário um método iterativo para descobrir seu valor.Para a simulação foi utilizada a função fsolve() do pacote scipy 5
Parâmetros: ε=
σ
E+ α
σP
E
(σ
σP
)m
ασP
E= 0.002,m = 5
5http://www.scipy.org/Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 48 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood
Relação Ramberg-Osgood
Para a configuração deformada (P1) a:aresolvem-se as equações implicitamente para σ
d1
l⇒
ul=σ
E+ α
σP
E
(σ
σP
)m
⇒ N1 = Aσ
d2
l⇒
√(l + u)2 + a2 −
√l2 + a2√
l2 + a2=σ
E+ α
σP
E
(σ
σP
)m
⇒ N2 = Aσ
Para a configuração deformada (P2) a:aresolvem-se as equações implicitamente para σ
d1
l⇒
ul=σ
E+ α
σP
E
(σ
σP
)m
⇒ N1 = Aσ
d2
l⇒
ucosθ√l2 + a2
=σ
E+ α
σP
E
(σ
σP
)m
⇒ N2 = Aσ
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 49 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood
Relação Ramberg-Osgood
Configuração Deformada (P1) × Hipótese dos Pequenos Deslocamentos (P2)
Dados!
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 50 / 51
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material Relação Ramberg-Osgood
Modelos Constitutivos – Comportamento do Material
Relação Ramberg-Osgood
Pontos para discussão
No problema P2, considere o caso onde há variação de temperaturaA variação de temperatura implica em modificações (expansão/contração) naestruturaIsso pode influenciar os resultados? a
aModelagem termo-mecânica
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 02 versão 13.05 51 / 51