Unidade 04 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas
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Unidade 04Tensões Normais em Barras Curvas
Fundamentos de Mecânica das Estruturas
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora
versão 13.04
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 1 / 29
Esforços em Barras Curvas
Programa
1 Esforços em Barras CurvasEquações de EquilíbrioTensões Normais em Barras CurvasTensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 2 / 29
Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Programa
1 Esforços em Barras CurvasEquações de EquilíbrioTensões Normais em Barras CurvasTensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 2 / 29
Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
Vamos começar o estudo com uma barra curva coplanar com seção constante.
y
z
s
py(s)
pz(s)
R
Mz
My
Ns
Vz
Vy
xy′
z
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
R é o raio de curvatura de um ponto qualquerDois sistemas de coordenadas ortogonais: (x,y′,z) e (s,y,z)(x,y′,z) localizado em alguma seção conveniente(s,y,z) é um sistema curvilíneo onde s mede o comprimento de arco ao longo doeixo geométricoy é uma coordenada radial que aponta para o centro de curvaturaz é normal ao plano da barra
y
z
s
py(s)
pz(s)
R
Mz
My
Ns
Vz
Vy
xy′
z
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
py(s) e pz(s) são forças externas por unidade de comprimentoAssumimos que a torção de cada seção é desprezível (a resultante passa pelocentro de cisalhamento)Tensões resultantes: Ns, Vy, Vz, My, MzForças positivas agem nas direções de crescimento de s, y e zMomentos positivos produzem tração nos quadrantes positivos y e z da seção.Assumimos que σs, τsy e τsz são funções conhecidas de s
y
z
s
py(s)
pz(s)
R
Mz
My
Ns
Vz
Vy
xy′
z
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 3 / 29
Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
Barra curva coplanar
y
z
s
py(s)
pz(s)
R
Mz
My
Ns
Vz
Vy
xy′
z
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
Vamos considerar um ponto P localizado no eixo da barra, a uma distância s doplano xy′
Vamos analisar a porção da barra entre os pontos P e P′, localizado em s + ∆s
y
z
P P ′
s
σs
τsz
τsy
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
A vista lateral (e) e superior (d) são mostradas abaixoOs esforços recebem incrementos ∆Ns, ∆Vy, ∆Vz, ∆My, ∆Mz
Os incrementos ∆py, ∆pz e ∆R são desprezados à medida que ∆s→ 0
Mz
Mz + ∆Mz
Ns + ∆Ns
Vy + ∆y
∆s
∆ψ
∆ψ2
py
Ns
Vy
P P ′
R
2R sin ∆ψ2
Vz
Vz + ∆Vz
My cos ∆ψ2
pz
(My + ∆My) cos ∆ψ2
P P ′
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
Equilíbrio no plano xy′
∆ψ é o ângulo entre as seções e P e P′
Mz
Mz + ∆Mz
Ns + ∆Ns
Vy + ∆y
∆s
∆ψ
∆ψ2
py
Ns
Vy
P P ′
R
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
Mz
Mz + ∆Mz
Ns + ∆Ns
Vy + ∆y
∆s
∆ψ
∆ψ2
py
Ns
Vy
P P ′
R
Vy cos ∆ψ2 − (Vy + ∆Vy)cos ∆ψ
2 − py∆s − Ns sin ∆ψ2 − (Ns + ∆Ns) sin ∆ψ
2 = 0(Ns + ∆Ns − Ns)cos ∆ψ
2 + (Vy + ∆Vy − Vy) sin ∆ψ2 = 0
Mz + ∆Mz −Mz + py∆sRsin ∆ψ2 − Vy cos ∆ψ
2 2Rsin ∆ψ2 + Ns sin ∆ψ
2 2Rsin ∆ψ2 = 0
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
Denotando ∆ψ= ∆s/R e somando as forças verticais
Vy cos∆ψ2− (Vy + ∆Vy)cos
∆ψ2− py∆s − Ns sin
∆ψ2− (Ns + ∆Ns) sin
∆ψ2
= 0
À medida que ∆s→ 0, temos que cos ∆ψ2 → 1 e sin ∆ψ
2 → ∆ψ/2 = ∆s/2RDividindo a equação por ∆s
∂Vy
∂s= −py −
Ns
R
Similarmente, somando as forças horizontais
(Ns + ∆Ns − Ns)cos∆ψ2
+ (Vy + ∆Vy − Vy) sin∆ψ2
= 0
e no limite∂Ns
∂s=
Vy
RLeonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 9 / 29
Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
Somando os momentos em torno de P′
Mz + ∆Mz −Mz + py∆sRsin ∆ψ2 − Vy cos ∆ψ
2 2Rsin ∆ψ2 +
+Ns sin ∆ψ2 2Rsin ∆ψ
2 = 0
Dividindo a equação por ∆s e tomando o limite ∆s→ 0
∂Mz
∂s= Vy
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
Chegamos finalmente em:
∂Vy∂s = −py −
NsR
∂Ns∂s =
VyR
∂Mz∂s = Vy
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
As mesmas considerações podem ser feitas no plano xz,2R sin ∆ψ
2
Vz
Vz + ∆Vz
My cos ∆ψ2
pz
(My + ∆My) cos ∆ψ2
P P ′
chegando-se em∂Vz∂s = −pz
∂My∂s = Vz
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
Relações entre os esforços:
∂Vy∂s = −py −
NsR
∂Ns∂s =
VyR
∂Mz∂s = Vy
∂Vz∂s = −pz
∂My∂s = Vz
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Esforços em Barras Curvas Equações de Equilíbrio
Esforços em Barras CurvasEquações de Equilíbrio
Se o eixo da barra pode ser parametrizada por uma curva
f (t) = (x(t),y(t))
então podemos determinar o raio de curvatura em cada ponto com
R(t) =1
k(t)
onde
k(t) =x′(t)y′′(t) − y′(t)x′′(t)
(x′(t)2 + y′(t)2)32
Se a curva pode ser representada explicitamente como y = f (x), então
k =y′′
(1 + y′2)32
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Programa
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Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas
Esforços em Barras CurvasTensões Normais em Barras Curvas
Quando as distribuições de tensões são integradas na seção ransversal, temos
Ns =
∫σsdA, Vy =
∫τsydA, Vz =
∫τszdA,
Ms =
∫(τszy − τsyz)dA, My =
∫σszdA, Mz =
∫σsydA
Vamos nos concentrar em avaliar σsSabemos que σs é estaticamente equivalente a Ns, My e Mz
y
z
P P ′
s
σs
τsz
τsy
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Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas
Esforços em Barras CurvasTensões Normais em Barras Curvas
De acordo com as equações
Ns =
∫σsdA, My =
∫σszdA, Mz =
∫σsydA
a distribuição de tensões normais σs depende de Ns, My e Mz
Porém, não podemos avaliar as integrais acima sem conhecer σs como função dede y e z
Com as equações da estática exauridas, temos que nos voltar para consideraçõesde deformação como informação adicionalO que nos leva a conclusão que o simples problema de flexão de uma barra éestaticamente indeterminadoPara evitar complicações desnecessárias, vamos introduzir a hipótese de Navier
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Hipótese de Navier
Seções planas normais ao eixo geométrico da barra antes da deformação permanecemplanas e normais a esse eixo após a deformação a
aEssa hipótese foi originalmente usada por James Bernoulli (1654–1705), embora LouisNavier (1785–1836) a tenha usado para desenvolver a primeira teoria completa sobre tensões emvigas. A teoria para barras com pequenas curvaturas foi primeiramente introduzidas em 1858por E. Winkler (1935–1888) e é por vezes chamada de Teoria de barras curvas de Winkler
yz
u(s, y, z)
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Se tal condição prevalece, temos que o deslocamento na direção normal ao eixogeométrico, para um dado valor de s pode ser escrito
u = α+ βy + γz
onde α = α(s), β = β(s) e γ = γ(s) z são funções de s, e podem ser consider-adas constantes ao logo da seção.
yz
u(s, y, z)
Vamos agora examinar a geometria de um elemento posicionado entre as seçõesem s e s + ∆s
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Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas
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R
∆s∆syy
∆ψ
Seja ∆s o incremento no comprimento de arco.Fibras a uma distância y têm um comprimento ∆sy.Da geometria
∆ψ=∆sR
=∆sy
R − y⇒
∆s∆sy
=R
R − y
e no limitedsdsy
=1
1 − yR
A deformação longitudinal de uma fibra qualquerfica
εs =∂u∂sy
=∂
∂sy(α+ βy + γz)
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Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas
Esforços em Barras CurvasTensões Normais em Barras Curvas
R
∆s∆syy
∆ψ
εs = a∂s∂sy
+ b∂s∂sy
y + c∂s∂sy
z
= (a + by + cz)∂s∂sy
ondea =
dαds
, b =dβds
, a =dγds
Substituindo dsdsy
= 11− y
R
εs =1
1 − yR(a + by + cz)
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Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas
Esforços em Barras CurvasTensões Normais em Barras Curvas
O problema se reduz a determinar a, b e c. Usando as equações da estática,
Ns =
∫σsdA = aE
∫dA
1 − y/R+ bE
∫ydA
1 − y/R+ cE
∫zdA
1 − y/R
Mz =
∫σsydA = aE
∫ydA
1 − y/R+ bE
∫y2dA
1 − y/R+ cE
∫zydA
1 − y/R
My =
∫σszdA = aE
∫zdA
1 − y/R+ bE
∫yzdA
1 − y/R+ cE
∫z2dA
1 − y/R
onde os coeficientes da integrais dependem unicamente da geometria da seçãotransversalPor simplicidade, fazemos
Jy =
∫z2
1 − y/RdA, Jyz =
∫yz
1 − y/RdA, Jz =
∫y2
1 − y/RdA
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Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas
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Após algumas manipulações simbólicas, podemos reescrever os termos∫1
1 − y/RdA =
∫dA +
1R
∫ydA +
1R2
∫y2
1 − y/RdA = A +
1R
∫ydA +
1R2 Jz∫
z1 − y/R
dA =
∫zdA +
1R
∫yzdA =
∫zdA +
1R
Jyz∫y
1 − y/RdA =
∫ydA +
1R
∫y2dA =
∫ydA +
1R
Jz
E, considerando a origem do sistema de coordenadas no centroide da seção,∫yda = yA = 0∫zda = zA = 0
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Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas
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E com isso, o sistema se reduz a
Ns
E=
(A +
Jz
R
)a +
Jz
Rb +
Jyz
Rc
Mz
E=
Jz
Ra + Jzb + Jyzc
Mz
E=
Jyz
Ra + Jyzb + Jyc
Resolvendo
Ea =Ns
A−
Mz
AR
Eb =MzJy −MyJyz
JyJz − J2yz−
Ns
AR+
Mz
AR2
Ec =MyJz −MzJyz
JyJz − J2yz
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Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas
Esforços em Barras CurvasTensões Normais em Barras Curvas
Finalmente,
σs =Ns
A−
Mz
AR+
MzJy −MyJyz
JyJz − J2yz
y1 − y/R
+MyJz −MzJyz
JyJz − J2yz
z1 − y/R
Os dois primeiros termos representam a tensão normal uniforme na seçãoMesmo em caso de flexão pura (Ns = 0) a curvatura causa tensão normal desen-volvida no centroide, com magnitude −Mz
RA
Os termos restantes representam uma distribuição não uniforme deviso à cur-vatura inicial
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 23 / 29
Esforços em Barras Curvas Tensões Normais em Barras Curvas
Esforços em Barras CurvasTensões Normais em Barras Curvas
A linha neutra é o lugar geométrico da seção transversal onde σs = 0Usando essa condição na equação anterior
RNs −Mz
RA+
MzJy −MyJyz
JyJz − J2yz−
RNs −Mz
R2A
y +MyJz −MzJyz
JyJz − J2yz
z = 0
A linha neutra passa pelo centroide somente se Ns =MzR
No caso de flexão pura (Ns = 0) somente se R é infinitamente grande, ou seja, abarra é reta
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Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Programa
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Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Esforços em Barras CurvasTensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Vamos considerar uma barra curva submetida à flexão puraDevido à curvatura de uma barra submetida a flexão pura, tensões radiais signif-icantes podem se desenvolver na seção transversal 1
Considere o segmento de uma barra curva abaixo submetida à flexão pura
1Efeitos de do cisalhamento nas tensões radiais serão estudadas na Unidade 5.Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 25 / 29
Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Esforços em Barras CurvasTensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Isolando a porção A′, a força desenvolvida nessa área é
F =
∫A′σsdA
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 26 / 29
Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Esforços em Barras CurvasTensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Assumindo que Ns é zero (flexão pura), e usando
σs =Ns
A−
Mz
AR+
MzJy −MyJyz
JyJz − J2yz
y1 − y/R
+MyJz −MzJyz
JyJz − J2yz
z1 − y/R
temos que
F =
∫A′σsdA = −
MzA′
RA+
MzJy −MyJyz
JyJz − J2yz
Qz +MyJz −MzJyz
JyJz − J2yz
Qy
ondeQz =
∫A′
y1 − y/R
dA, Qy =
∫A′
z1 − y/R
dA
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Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Esforços em Barras CurvasTensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Se σy é a tensão radial média e b é a dimensão indicada na figura, a força demagnitude
σy(R − y)∆ψb, ∆ψ= ∆s/R
deve ser desenvolvida ara balancear a componente vertical de F
Somando as forças na direção vertical, temos
2F sin∆ψ2
= σyb(R − y)∆ψ
Observando que sin ∆ψ2 → ∆ψ/2 = ∆s/2R, tomando o limite encontramos
σy =F
b(R − y)
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 28 / 29
Esforços em Barras Curvas Tensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
Esforços em Barras CurvasTensões Radiais em Barras Curvas (Flexão Pura)
E por fim temos
σy =1
b(R − y)
−MzA′
RA+
MzJy −MyJyz
JyJz − J2yz
Qz +MyJz −MzJyz
JyJz − J2yz
Qy
À medida que R cresce, σy descresce, e, portanto, é geralmente desprezado com-parado com σs
Este não é o caso de ganchos,correntes e outras partes de máquinas e estruturasonde a razão h/R é relativamente grande
Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 04 versão 13.04 29 / 29