UNIDAD DIDACTICA 8

,

En esta unidad didáctica se pretende que los alumnos y alumnas lleguen a ser capaces de:

l. Comprender los conceptos asociados al conjunto de los números reales.

2. Manejar intervalos, entornos y subconjuntos de IR, estudiando en eUos su acotación.

3. Estudiar el dominio, recorrido, monotonía, extremos relativos, acotación. simetrías y periodicidad de las funciones dadas mediante su gráfica o mediante su expresión analítica.

4. Representar gráficas de funciones que se ajusten a unas condiciones dadas.

5. Saber componer funciones y encontrar la inversa de una función dada.

1. Representación de intervalos y entornos en la recta real y estudio de su acotación.

2. Cálculo del dominio de las funciones elementales.

3. Utilización de la gráficas de funciones dadas para realizar el estudio de sus característi­cas.

4. Estudio de las características de una función dada mediante su expresión analítica.

5. Cálculo de la función inversa de una función dada y aplicar las propiedades de la compo­sición de funciones.

to de los números

PROCEDIMIENTOS ACTIJU

1. Valoración de la equivalencia d del conjunto de J reales.

2. Sensibilidad 10 precisi6nyeJ cui presentación grt funciones yen el las mismas.

3. Gusto por la c1ari gol' matemático en J sos de resoluci6n d des.

4. Reconocimiento d utilidad del lengua; nal y gráfico com herramienta del An&í!IIÍi~

temático.

~I

,

Al fmalizar esta unidad didáctica, el alumnado demostrará:

l. Diferenciar los números pertenecientes a cada uno de los principales conjuntos numéricos.

2. Representar sobre la recta real diferentes tipos de números.

3. Describir y dibujar los intervalos y entornos de la recta real.

4. Determinar los elementos asociados a la acotación de conjun-tos.

5. Conocer y calcula los dominios de las funciones.

6. Analizar y representar las características más usuales de una función: dominio, recorrido, mono­tonía, extremos relativos, acotación, simetrías y periodicidad.

7. Dibujar gráficas de funciones que responden a unas características dadas.

8. Realizar todas las operaciones con funciones, en particular la composición.

9. Determinar la función inversa de una función dada, siempre que exista.

• Revisar los conceptos relativos a números reales ya funciones reales que el alumno ya posee de cursos anteriores.

• Consolidar los conceptos asociados a funciones reales de variable real mediante un tratamiento más analítico.

,

ACTIVIDADES INICIALES

H,4] -1 4

(-1,4) -1 4

EH, 4) =(-5,3) -5 3

E*(3, 3) = (O, 6) - {3} o 3 6

(~,sJ 5

3 6

A ={XE ~llx-21 < 3} = {XE ~1-1 < x< S}

A está acotado superiormente por 5 e inferiormente por -1, luego, A está acotado. No tiene máximos ni mínimos.

8 = {x E ~ 13 ~ x < 4}

8 está acotado superiormente por 4 e inferiormente por 3, luego, 8 está acotado. Tiene mínimo, el 3.

C= (-2,1) u (O, 2J

C está acotado superiormente por 2 e inferiormente por -2, luego C está acotado. Tiene máximo, el 2.

-5

ACTIVIDAD PARA RESOLVER

A está acotado inferiormente por O y superiormente por 1, luego está acotado, máximo = 1.

8 está acotado inferiormente por O y no acotado superiormente, luego no está acotado, mínimo = o. e está acotado superiormente por 3 e inferiormente por -S, luego está acotado, mínimo = -s. O está acotado superiormente por 2 y no acotado in­feriormente luego no está acotado, máximo = 2.

ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-ApRENDIZAJE

Son números naturales Vil 9 112 V64 eO O

Son números enteros _42 -16/V4 v=8 Son números racionales --4/3 1,04 2/5

Son números reales V15 n\2 3v2

a) A ={XE ~Ix > S} = (S, +00)

o 5

b) 8 = {x E .z 14:::;: x < 6} = {4, S}

4 5

e) e={x E NI-s < x:::;: 2} ={O, 1, 2}

012

d) O = {x E ~ 12,s < x < S,2} = (2,S; S,2)

-0------0-­2.5 5,2

e) E={XE ~lx<-l ox:<:3}=(-oo,-1)u [3, +00)

~

-1 3

f) F= {x E .z 1x:::;: 3 o x:<: 2} = .z

g) e = (-00, -1) u [2, S) --.o ----<e__D­

-1 2 5

h) H= (-6, -4) n [-4, 8) = 0

a) [-3, S] = {x E ~ 1-3:::;: x:::;: S}

b) (-3,SJ={XE ~1-3<x:::;:S)

e) (-3, S) = {x E ~ 1-3 < x < S}

d) [--3,S)={XE ~1-3:::;:x<S}

e) [2, +00) = {x E ~ Ix:<: 2}

f) (2, +00) = {x E ~ Ix> 2}

g) (-00, 2] = {x E ~ 1 x:::;: 2}

h) (-oo,2)={XE ~lx<2)

i) E(3, 1) = (2, 4) = {x E ~ 12 < x < 4}

j) P(3, 1) = (2, 4) - {3} = {x E ~ 12 < x < 4; x"# 3}

k) E:(3, 1) = (3, 4) = {x E ~ 13 < x < 4}

1) n3, 1) = (2, 3) = {x E ~ 12 < x < 3}

m) E(1,3)=(-2,4)={xE ~1-2<x<4}

o) E*(-3; 0,2) = (-3,2; -2,8) - {-3} = {x E ~ 1-3,2 < < x< 2,8; X"# -3}

/, = (-00, S) ..4-----0-­5

/2 = (-S, +00) o -5 +00

/) = (O, 8] -e • O 8

/1 n /2 n /) = (O,S) ------o------<r {x E ~ lo < x < S}O 5

a) [1, S] u (7 - x, 7+x) = [1,10) => x= 3

b) E(3, 2) n E(2, 1) = (1, x) => (1, S) n (1, 3) = = (1, x) => x = 3

e) (-2, 3] n (x - 2, x + 2) = (-1,3) => x = 1

d) [2, x) u [4, 8] = [2, 8] => No tiene solución

Los conjuntos Al 81 C, O están acotados inferiormente por cualquier número menor o igual que (-S) y supe­riormente por cualquier número mayor o igual que 7; luego estos conjuntos están todos acotados.

a) A no tiene máximos ni mínimos.

b) 8 tiene mínimo en -S y máximo en 7.

e) e tiene mínimo en -S y no tiene máximo.

d) O tiene máximo en 7 y no tiene mínimo.

e) E(-3, 1) = (-4, -2) está acotado y no tiene máximo ni mínimo.

f) F =(-6, 1) u [O, 3) =(-6, 3) está acotado y no tiene máximo ni mínimo.

g) G = (+, +00) no está acotado superiormente, por

tanto, G no está acotado.

h) H = [-6, 1] n (0,3) = (O, 1] está acotado y tiene máxi­mo en 1.

O 1= {x E IR Ix> 3 o x < 1} = (--00, 1) U (3, +00) no es­tá acotado.

j) }={XE IR I x=~;nE N={l,~,~,_l_, ... } 3 3 9 27

} está acotado y tiene máximo en 1.

a) ínfimo de A es 1 y supremo de A es 3.

b) ínfimo de Bes 1 y supremo de Bes 2.

a) A = {XE IR Ilxl~ 3} = [--3,3] • •-3 3

b) B = {XE IR Ilx- 2/<l} = (1, 3)

c) C={XE 1R113-xl<2};-2<3-x<2~ ~ -5 < -x < -1 ~ 5 > x> 1 ~ 1 < x < 5 ~

~ C= (1, s)--~ 0­1 5

d) O={XE 1R12Ix+11~S} -5 ~ 2x + 2 ~ 5 ~ -7 ~ 2x ~ 3 ~ -3,5 ~ x ~ 1,5

0= [-3,5; l,SJ. • -3,5 1,5

b) La expresión Ix - 31 + Ix -11 toma los siguientes valores:

-2X + 4 si x < 1 si 1 ~ x ~ 3

Ix- 31+lx- 11= ¡ 2 2x-4 si x> 3

Las soluciones de la ecuación Ix - 31 + Ix - '11 = 2 son todos los números reales del intervalo [1,3].

J 2 + 4 < 3 e) Si x>Oresolvemos -2x-3=0<=>x=~ -1

? -2 ± 4 1<Si x<O resolvemos )( +2x-3 = O<=>x=-­2 -3

Las soluciones de la ecuación J? - 21xl - 3 = O son 3 y -3.

Oom (= (-3, 4)

Oom g =(--00, 2)

Oom h =(--00, -3] U [3, +00)

Oom k = IR - {-l}

Oom / = IR

Oom m = IR

Oom n = IR - {3, 4}

Oom o = [ ~ , + 00)

Oom p = IR Oom q = (--00, O) U (6, +00)

Oom r= IR

3k!r}Oom s = IR - -3, con k E 7L{ 2 - k!r

• ((x) = x4 - 2J; ((-x) = (-xt -2 (_X)2 = x4

- 2J ~

~ ((x) = ((-x) ~ simétrica respecto al eje de orde­nadas. No periódica.

• g(x) = cos 2x; g(-x) = cos 2(-x) = cos 2x ~ g(x) = = g(-x) ~ simétrica respecto al eje de ordenadas. Periódica de período !r.

• h(x) = _x_o No simétrica, ni periódica. x-1

• k(x) = Isen xl. Simétrica respecto al eje de ordena­das. Periódica de período !r.

• /(x) = x eX'. Simétrica respecto al origen de coorde­nadas, pues /(-x) =-x eX' = -/(x). No periódica.

• m(x) = Ix - 21 ni simétrica ni periódica.

• n(x) = [x - E(X)]2 no simétrica y periódica de pe­ríodo 1.

x • o(x) = J? + 1 . Simétrica respecto al origen de

coordenadas, pues o(-x) = -o(x). No periódica.

--------

a)

x

b)

x

c)

3 X

------'EL­J!

Veamos que O < J! < 1 + 1

J! Por un lado tenemos que J! + 1 > O al ser las ex­

presiones del numerador y del denominador siempre positivas.

De igual forma la función dada es menor que 1 al cumplirse:

Puede observarse la acotación en la gráfica

y

xo

Si x < O la función puede expresarse como

J! - x ((x) = = x-l.

x

Estudiamos el signo del cociente:

((X2) - ((Xl) = (X2 - 1) - (Xl - 1) = X2 - XI =1 > O. X2 - Xl X2 - Xl X2 - XI

Luego la función es estrictamente creciente en IR-.

a)~ y ~ b) '\ 1-\<-----­

-2 2 X w0x -3

c) d)

o x -1

I y = ((X) I Oom ( = IR; 1m (= (_00, 2]; ni simétrica ni periódica; Acotada superiormente por 2; estrictamente creciente de (-00, 2) Y estrictamente decreciente (2, +00). Máxi­mo relativo en (2, 2).

I y= g(x) I

Oom g = (-2, 3); 1m g = IR; ni simétrica ni periódica; no acotada; Estrictamente creciente en (-2, -1) u (O, 3) Y estrictamente decreciente en (-1, O). Máximo re­lativo en (-1, 3) Y mínimo relativo en (O, O).

I y = h(x) I

Oom h = (-00, -4) u (-4, 4) u (4, +00) = IR - (-4, 4); 1m h = IR; simétrica respecto al eje de ordenadas; no periódica; no acotada; estrictamente creciente en (O, 4) u (4, +00) Y estrictamente decreciente en (-00, -4) u u (-4, O). Mínimo relativo en (O, O).

-4

GUíA DIDÁCTICA • 113

I y = j(x) I Oom j = IR; 1m j = (O, 2); no simétrica; periódica de período 2; acotada inferiormente por Oy superiormen­te por 2. Estrictamente creciente en (O, 1) Y estricta­mente decreciente en (1, 2), considerando la función en (O, 2).

I y = k(x) I Oom k = (-3, 3); 1m k = IR; simétrica respecto al ori­gen de coordenadas; no periódica; no acotada; estric­tamente decreciente en (-3, 3).

[ y = ¡(x) I Oom 1= IR - (2); 1m 1= (-4, +00); simétrica respecto a x = 2, no periódica; acotada inferiormente por -4, en general no acotada; estrictamente creciente en (-00, 2)

Y decreciente estrictamente en (2, +00).

f o (g -----o = (g o n( =a) (g o h)(x) = f)[h(x)) 2 1 ) x + 1

= g[f( x2 ~ 1 )] = g(l) =m b) (fogoh)(x) = (fog)[h(x)) =(fog)( 1 )=

x2 + 1

c) (h o g o f)(x) = (h o g)[f(x)) = (h o g)[l] =

=h[g(1))=h[2)= 1 = ­2 2 tE

+ 1 5

1 - af(a)=ln-­f(b)=ln~

1 + a 1 + b

1-a 1-bf(a) + f(b) = In-- + In-- =

l+a l+b

= In[[~] .[~]] = In 1+ ab - a - b (1)1 + a 1 + b 1 + a + b + ab

a+b1---­

b ) 1 + ab f ~ = In a+ b( 1 + ab 1 + -- ­

1 + ab

1 + ab - a - b= In (2)1 + a + b + ab

Como (1) = (2), queda probada la igualdad pedida.

f(x + 1) =J - 3x + 2

Hacemos x + 1 = t => x = t - 1 fU) = U - 1)2 - 3U - 1) + 2 = f - 5t + 6 => => fU) = f - 5t + 6, luego:

f(x) = J - 5x + 6

• (f o g)(x) = f[g(x)) = f[2 - 5x] =

3(2 - 5x) - 1 5 - 15x -----=--­

4 4

5 - 15x 5 4y 5 - 4x y= => x= - => (f ogf1(x) =-­

4 15 15

3x - 1 3x - 1 1 + 4y• f(x) =--- => y= => x= --~ =>

4 4 3

=> f- 1(x) = 1 + 4x 3

2-y• g(x) = 2 - 5x => y =2 - 5x => x =-- =>

-1 2 - x 5 =>g (x) = - ­

5

(g-l o f-1)(x) =g-l [f-I(x)) =g-I[ 1 ~ 4x ] =

2_~4x 3

5 - 4x (-1 f-1)() 5 - 4x = =>g o X=--­= 5 15 15

Luego queda probado que: (f o gf1 (x) = (g-l o f-1)(x).

ACTIVIDADES PROPUESTAS EN PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

IX I - 1 si ¡xl - 1 ~ O a) Ilxl - 11 = { -[¡xl _1] si Ixl - 1 < O =

X - 1 si x ~ 1 -x-1 si xS::-1

- -x + 1 si O < x < 1{

x + 1 si -1 < x < O

J + 2x si x 2: O ~ [x 2

+ 21 x ll = J + 21xl = { J _ 2x si x < O

Dom (= {X E~I X; 2 > O} = (-2, O) u (O, + 00)((x) = I1 xl - 1 I + IJ + 21 xii =

J-3X-1 six:::;-l Dom g = {x E ~ I 2 - x > O y X:t- -2) = J - x + 1 si -1 < x < O

J + x + 1 si O :::; x < 1 = (-00, -2) U (-2, 2){ J + 3x - 1 si x 2: 1

La gráfica de la función ((x) es: y

ya) 12

211

10

9 ----.".2+-,----:-11:--0-+-----:+---".21----... x

, ,

-1 y= /(x)

-2

-1 si O < x < 1 o -2 < x < -1((x) = - ­{ 2 si 1 :::; x < 2 o -1 :::; x < O

-3 -2 -1 o 2 3 X

GUíA DIDÁCTICA • 115

yb)

y=h(x)

-2

-2 si -2 < x::;-l

1 si -1 <X::;o

-1 si -O::; x < 1h(x) =

2 si 1 ::; x < 2 O si x=O

Supongamos a > b, se cumple:

X + a }Dom (= x E IRI -- > O = (-00, -a) u (b, +00){ x-b

c= 80 h -10 H c = número de clientes h = n.o de horas a partir de 9

Hacemos un gráfico que ilustre la situación:

N.Q de clientes

Horas

a) El número máximo de clientes es de 160.

b) 70 < 80 h - 10 h2 < 150 ~

~ { 1O h2

- 80 h + 70 < O y 10 H - 80 h + 150 > O

h E (1,7) } ~ { hE (-00,3) U (S, + 00) ~ hE (1,3) u (5,7)

Hay que ir entre las 10 Y las 12 de la noche o bien entre las 2 y las 4 de la madrugada.

Corresponde a la zona rayada de la gráfica.

c) Debemos ir entre las 2 y las 4 de la madrugada. Corresponde a la zona de la derecha, dentro de la zona rayada.

d) El establecimiento cierra a las 5 de la madrugada.

La curva y = ((x) - g(x) no tiene por qué ser creciente. Por ejemplo:

((x) = x es creciente en x = 1

g(x) = 2x es creciente en x = 1

Y = ((x) - g(x) = x - 2x =-x es decreciente en x = l.

(es estrictamente creciente si siendo

Xl < X2 ~ {(Xl) < {(X2) ~ {(Xl) - {(X2) < O

((XI) = XI) + aXI

((X2) = X2) + aX2

~ {(Xl) - {(X2) =X~ + ax, - (xi + aX2) =(x~ - ~) + a (Xl - X2)

(x¡ - xi) + a (XI - X2) < O

(Xl - X2) (X; + X2 Xl + ~ + a) < O (1)

Como x, < X2 ~ XI - X2 < O. La igualdad (1) será cierta si X,2 + X2 Xl + ~ + a > O

~ la > O1, pues como Xl < X2, entonces 2 2

Xl + X2 Xl + X2 > O ~ queda a > O.

- - - - - - - --

- - - - - - - - -

y

4

-tm------: -- ,3 , ' , '

, ' , : 2

, , ,

-----+---,.....,+-~2:---;!3--X O

., f() In x . , . l'La funClon x == -- tiene un maxlmo re atlvo en x

el punto p(e, f(e)) == (e, -;). Luego Inxx < ---; ::::}

::::} e In x < x::::} In xe < x::::} I xe < eX IVx E E (e, E)

RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS

Esta es una conjetura que está sin demostrar.

Hasta el número 100 podemos encontrar varios primos gemelos: 5 y 7; 11 Y 13; 17 Y 19; 29 Y 31; 41 Y 43; 71 Y 73.

En efecto, el polinomio d - n + 41 genera números pri­mos para valores de n comprendidos entre -40 y 40. Por ejemplo:

n == 25::::} n 2 - n + 41 == 641 que es un número primo.

Para cualquier valor de <<n» no genera números pri­mos, pues, por ejemplo, para n == 41 ::::} n 2

- n + 41 == == 41 2

- 41 + 41 == 41 2 que es un número compuesto, no es un número primo.

Tomamos un número de tres cifras cualesquiera, 739, y le aplicamos lo que dice el problema:

739739 == 739

7·11·13

Observamos que obtenemos el número de partida. Veamos que esto se cumple con cualquier número y

para ello partimos de un número cualquiera xyz:

xyzxyz ==

== 100 OOOx + 10 OOOy + 1 OOOz + 100x + 1Oy + Z ==

== 1 001 . (1 OOx + 1Oy + z) == 7 . 11 . 13 . xyz

Por tanto, al dividir xyzxyz por 7, por 11 y por 13, ob­tenemos el número de partida xyz.