,UNIDAD DIDACTICA 15

-

BLOQUE TEMÁTICO 111

,

En esta unidad didáctica se pretende que los alumnos y alumnas lleguen a ser capaces de:

1. Conocer y aplicar el método exhaustivo o método de Arquímedes en el cálculo de áreas de recin­tos planos.

2. Utilizar el concepto de integral definida para calcular áreas de recintos limitados por una o dos cur­vas.

3. Comprender los teoremas relativos al cálculo integral que relacionan este con el cálculo diferen­cial.

4. Aplicar correctamente la regla de Barrow en el cálculo de integrales definidas.

5. Valorar la importancia del cálculo integral en el desarrollo de diversas ciencias.

¡ntos planos.

.da. Propie­

212· GUíA DIDÁCTICA

,r~,",.' ~. os PROCEDIMIENTOS I 1. Utilización del método

exhaustivo en el cálculo de áreas de recintos pla­nos.

2. Utilización del teorema del valor medio en la re­solución de ejercicios sen­cillos.

3. Relación del cálculo dife­rencial e integral a partir del teorema funda~ental

del cálculo.

4. Cálculo de integrales de­finidas mediante la regla de Barrow.

5. Cálculo de áreas de recin­tos planos y volúmenes por medio de integrales definidas.

Integrales definidas. Aplicaciones

,

Al finalizar esta unidad didáctica, el alumnado demostrará:

1. Conocer las propiedades de la integral definida.

2. Interpretar geométricamente las propiedades de la integral definida.

3. Comprender y aplicar el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo integral.

4. Aplicar la regla de Barrow al cálculo de integrales definidas.

5. Utilizar las integrales definidas para el cálculo del área encerrada por una o dos curvas.

6. Aplicar la integral definida en el cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución.

• Introducir al alumno en el concepto de integral definida a través de áreas de recintos planos.

• Introducir al alumno al uso del rigor en la definición de conceptos y demostraciones de teoremas relati ­vos al cálculo integral.

• Utilizar la representación gráfica de funciones para la delimitación de recintos.

• Aplicar la regla de Barrow al cálculo de integrales definidas y de áreas de recintos planos.

Área = B + b . h = 4 + 1,5 . 5 = 13,7 2 2

ACTIVIDAD INICIAL

b) y

a) y

3

3 í

4 --- .... ------.-----------.- x=4 ><"

-1 x

-_-1'1--O+-................--...2---f----1------.X 3 4

x2 + ¡ - 6x - 2Y + 1 = O (x - 3)2 + (y _ 1)2 = 9

Lo que nos pide el problema es hallar el área del recin­ La curva es una circunferencia de centro C(3, 1) y radio to rayado. Este reci nto es un trapecio y su área es: 3 unidades.

--

La circunferencia corta al eje OX en los puntos P(O, 17; O) YQ(5,83; O).

El área de la zona sombreada vale:

9n' 141,058 _ ~ . 5 66 . 1 = 8 29 u2

360 2' ,

u 2 es unidades cuadradas

ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-ApRENDIZAJE

La suma superior es:

s(P) = (O - (-1)) . 16 + (2 - O) . 16 + (4 - 2) . 12 = = 16 + 32 + 24 = 72.

La suma inferior es:

s(P) = (O - (-11) . 15 + (2 - O) . 12 + (4 - 2) . °= = 15 + 24 + °= 39

La suma superior es:

S(P) = (2 - 1) . 3 + (3 - 2) . 1°= 3 + 1°= 13

La suma inferior es:

s(P) = (2 - 1) . 1 + (3 - 2) . 3 = 1 + 3 = 4

a) J: (; + 3)dx = [: + 3xJ: =18

El teorema del valor medio dice que::l e E (0,3) tal que

J: (; + 3)dx = (e2 + 3) . (3 - O) => 3e2 + 9 = 18 =>

=> 3e2 = 9 => ¿ = 3 => e = ±Y3 por tanto, como e E (O, 3), el valor pedido es e = Y3

b) f2 (_; + 2x)dx =[-; + ;]2 = ~ o 3 o 3

El teorema del valor medio dice que ::1 e E (O, 2) tal que

J: (-; + 2x)dx =(-¿ + 2e) . (2 - O) =>

2 4 2 => -2e + 4e = - => 6e - 12c + 4 =°=>

3

=> 3¿ - 6c + 2 =°=> e = 1,58; c = 0,42

Obtenemos dos valores de e, pero esto no contra­dice el teorema, ya que este teorema garantiza que exista un valor pero no dice que este valor sea único.

c) No es aplicable el teorema del valor medio ya que la función y =((x) no es continua en el intervalo [-1, 1], al cumplirse:

lím ((x) = lím 2 =2 X~O- X~O-

lím ((x) = lím 1 = 1 X~O+ X~O·

4 J4 [ 2; 3; ]4d) ((x)dx = (2; - 3x)dx = - - - = J2 2 3 2 2

~ ~ ~ 58 = 18 6 - (-O 6) = 19 3 = ­

, , I 3

Por el teorema de la media: 4 29 ((x)dx = ((e)(4 - 2) con e E (2, 4) => ((e) = ­J 32

58 ~ 2Y - = (2e - 3e) . 2 => 12e - 18e - 58 =°=>

3

18 ±Y324 + 2 784 = 18 ± 55,75 =/ 3,07=> e= 24 24 \-1,57

Por tanto, e = 3,07 E (2, 4).

F(x) = J: eCOS I dt => F'(x) = eCOS X

2G(x) = J: t dt => G'(x) =;

x2

1 I 1 2x H(x) = -- dt=> H(x) =--'2x=-­fco 3+t 3+; 3+;

I(x) = f31t + 21 dt => I'(x) = (x + 2)

~ t ~

¡(x) = -2-- dt => ]'(x) = _e_ . 3; = 2 t + 1 x6 + 1

rx2 ra

K(x) = Jx In (t2 + 4) dt = Jx In (r + 4)dt +

l e

X2

JX 1X2

+ a In(r + 4) dt =- a In (r + 4)dt + a In(r + 4) dt = 1

(X2 =Ia

x

-In(r + 4)dt + Ja In(r + 4) dt ~

~ K'(x) = -In(; + 4) + In(x4 + 4) ·2x

K'(x) = 2x . In(x4 + 4) -In(; + 4)

a) La derivada es:

2e4XlF'(x) =

El valor buscado es F'(O) = 2 . e40 = 2.

b) La derivada de la función F(x) es F'(x) = In x. Esta no se anula en el intervalo [2, 10]. La derivada es posi­tiva en intervalo citado.

Teniendo en cuenta los hechos anteriores la función F(x) no tiene extremos relativos y sí extremos abso­lutos que se alcanzan en los extremos del intervalo.

Para F(2) = 0,39 se obtiene el número de la función yen F(l O) = 14,03 tiene el máximo absoluto.

2 F"(X) = 1 _x + 2xc) F'(x)=~

1 +; (1 + ;)2

F'(x) =O ~ x =1 Ycomo F"(l) > O en x =1 E (0,2)

F(x) alcanza un mínimo relativo.

d) F'(x) = X

x' 2e) C'(x) = e- (1 + x )

f6 4 dx a) - ­,~

Calculamos la integral indefinida por integrales inme­diatas:

f 4 dx f ,~Vx + 3 = 4 (x + 3f 2-2 dx = 8 vx + 3 + C

Haciendo C = OY aplicando la regla de Barrow, obte­nemos:

4dx ,~6 .r:; ~ = [8vx + 3], = 8V9 - 8v4 = 24 - 16 = 8f6

, x+3

('rJ2 b) Jo sen 2x . dx

Calculamos la integral indefinida:

fsen 2x· dx =+fsen 2x· 2dx = +(-cos 2x) + C

Hacemos C = OYaplicamos la regla de Barrow:

r 2 rrJ2 [ 1

fo sen 2x . dx 2 (-cos 2x) Jo =

1 1 1 1 = - (-cos n) --(-C05 O) = - + - = 1 2 2 2 2

c) fSln x dx

] x

Calculamos la integral indefinida:

In x f 1 (In d-- dx = In x . - . dx =-- + Cf x x 2

Hacemos C = OYapl icamos la regla de Barrow

(sIn x dx = [ (In X)2 ]5 = (In 5)2 _ (In 3)2 = J] x 2 3 2 2

1 1 5 = -[(In 5 -In 3)(ln 5 + In 3)] = -In 15 ·In- = 0,69 2 2 3

x

d) -----!--2 dx1,

+o e

Operando de forma análoga a las anteriores, obte­nemos:

1, x

-----!--2 dx = [In (eX + 2)J ¿= In (e + 2) - In 3 = o e +

e+2=In-- =045

3 '

e) (_', 4x dx1- (x 2 + 2)4

Operando de forma análoga a las anteriores, obte­nemos:

(' 4x dx = 2 (_',(; + 2)-4 . 2x dx = J-, (x 2 + 2)4 1­

rrJ2

f) fo cos X . sen 3 x . dx

Operando de manera análoga a las anteriores, obte­nemos:

rrJ2 fo cos x . sen3 x . dx = [ (se: X)4 J:2= (sen 4n12

)4

(sen 0)4 1

4 4

B 3 g) ,~dxLo v 1 + x

Operando de manera análoga a las anteriores, obte­nemos:

B 3 LB ~ ,~dx=3 (1 +Xf2 dx= [6v'l+XJ~=Lo v1 +x o

=6v'9 - 6V1 =12

h) f\l9 + 4x dx

Operando de manera análoga a las anteriores, obte­nemos:

4 1 14 ~ [ V(9 + 4X)3 ]4Y9 + 4x dx = - (9 + 4x) 2 04 dx = =1o 4 o 6 o

125 27 49 =----=

6 6 3

i) (b dX con b > OJo x + b

Operando de forma análoga a las anteriores, obte­nemos:

b ~ b 2b --b=[In Ix + biJa = In 12bl-ln Ibl =In- =ln2=O,69

oX+L b

O) fv') ~ 2

dx J 1 1 + x

Operando de forma análoga, obtenemos:

fv') dx v'). M --2 dx = [are tg xl 1 3 = are tg v3 - are tg 1 =

1 1 + x

=---=­3 4 12

Operando de forma análoga a las anteriores, obte­nemos:

2

4x2 (1 + X3)5 dx = -4 L2

(1 + ;)5 3i dx = o 3 o

oL 3

= [~ (1 + X3)6]2 = [ 2(1 + X )6 ]2 = 118098 _ ~ =

1) (4 \Ix - 1 dx J1 X

Obtenemos la integral indefinida por el método de cambio de variable haciendo x - 1 = t2

=:} dx = 2t dt.

t\lx -1 dx = f-- . 2t dt = f~ = dt =

f 2 2 x 1 + t 1 + t

= f 2(1 + r) - 2 dt = f2 dt - f-2- dt = 1+r 1+r

= 2t - 2 are tg t = 2 vx=-1 - 2 are tg vx=-1 + C o

Hacemos C = OYaplicamos la regla de Barrow para de­terminar la integral definida:

f 4~ -- dx = [2 vx=-1 - 2 o are tg vx=-1l~ =

1 x

o=(2V3-2 ;)-(0-0)=2\1'.3- 27t =1,373

n2 n2 sen y; 2 L 1m) ~ dx = - sen VX' .e dx = Lo 3 vx 3 o 2vx

= [- ~ eos VXJ: = (- ~ cos n) -(- ~ eos O) =o

2+2 4

3 3

e2xn) (o x2 dxo o

J-1 Determinamos la integral indefinida por el método de integración por partes y obtenemos:

fx 2 e 2x • dx = Io

2 u = x =:} du =2x dX] 2x d 1 2xdv=e x=:}v=-eo

2

f 22 2x

2x x e J 2xI = x e dx = -2- - x e o dxo o

Aplicamos de nuevo el método a esta última integral:

u =x =:} du = dx l 2x d 1 2xdv=e x=:}v=2 eo

2x 2x 2x i e [x e f 1 2x ]I =fx2 e . dx = -2- - -2- - 2 e dx =o

2 2x 2x 2x3 o 9 o 9 X e x e e=-----+-+C

= 118097,8 224

C=:=============::JGu.l nl:D:A e TIC A • 217

Calculamos la integral definida haciendo C = O Y apli­cando la regla de Barrow:

2x 2x

lole2x dx= [ x e 2X I= (1)- ( 5 ) --2 =0,08-----+-.; e e ­

-1 2 2 4 I 4 4 e

ñ) 1'4 tg x dx J-TI14

Calculamos la integral indefinida por el método de in­tegrales inmediatas y después calculamos la definida haciendo C =O Y aplicando Barrow.

TI14 lTI14 -sen x [ ]TT/4tg x dx =- dx = -In leos xl + C -TT/4 =

l-TI14 -TI14 eos x

= (-In V; )-(-In V;) = O

12 dx o)

o Y9 - x2

Calculamos la integral de forma análoga a la anterior:

2 ~dx

r' k 2= fffi = [are sen (~) + C]2 = Jo 9 - x ( X)2 3 o1- ­

o 3f = [are sen ( ; )I = are sen ~ - are sen O = 0,73

p) f(X - eX eos x) dx

Determinamos la integral indefinida:

f(x - eX eos x) dx =fx dx - feX eos x dx = ; - I

La integral I = feX cos x dx la calculamos por el méto­

do de integración por partes:

U = eX ~ du = eX dX} dv = cos x dx ~ v = sen x

I = feX cos x dx = eX sen x - feX sen x dx

Aplicando el mismo método a esta última integral, ob­tenemos:

u =eX ~ du =eX dx} dv =sen x dx ~ v =-eos x

I =feX cos x dx =eX sen x - [ _ex eos x -f-ex eos x dX] =

= eX sen x + eX eos x - feX eos x dx ~

eX sen x + eX eos x ~ I = eX sen x + eX eos x - I ~ 1= ------ ­

2

Por tanto:

.; eX sen x + eX cos xf (x - eX eos x) dx = 2 - 2 + C

Haciendo C = O Y aplicando Barrow, obtenemos:

1 X) d [2x eX sen x + e cos x ] 1(x - e eos x x = - - X =

o 2201=(+ e sen 1 ; e cos 1 ) _ (O _ O; 1 ) _ =

= 1 -1,88 = -0,88

xq) e_2- dxJ2 x - 1

Determinamos la integral indefinida por el método de integrales inmediatas y después la integral definida ha­ciendo C = O Y aplicando Barrow:

13

3 x 1 1 2x [ 1 2 ] J -2- dx= - -2- dx= -In Ix -11 + C =

2x-l 22x-l 2 2

1 1 ff= -In 8 - -In 3 = In - =O 49 2 2 3'

e J x

r) J2 (x _ 1)2 dx

Determinamos la integral indefinida por el método de

integración de funciones racionales:

xJ dx = f (x + 2)(x - 1)2 + 3x - 2 dx =f (x _ 1)2 (x _ 1)2

3x J 2 (x + 2)2= (x + 2) dx + ( 1)2 dx - 2 dx = + x - (x - 1) 2

3f x - 1 + 1 d f d f f

2 (x + 2)2+ x - x= +

(x - 1)2 (x - 1)2 2

1 f 1 (x + 2)2+3 f --dx+ 2 dx= 2 +3Inlx- 11­

x - 1 (x - 1)

1---+C

X - 1

Determinamos la integral definida haciendo C = °y aplicando la regla de Barrow:

3 x) [(X+2)2 1 ]) _ 1)2 dx = + 3 In Ix - 11 - -- =

2 X 2 x-1 2J (

25 1 ) = -2- + 3 In 2 - 2 - (8 + 0- 1) = 5 + 3 In 2 = 7,08(

11 d

s) _)_x_ dx o x + 1

Determinamos la integral indefinida por el método de integrales racionales, descomponiendo la fracción dada en suma de fracciones simples:

_1_ dx = J ~ dx + J -1/3 x + 2/3 dx = J x) + 1 x + 1 >! - x + 1

1 1J x 2J 1=-Inlx+ 11-- -.l-::----dx+- dx= 3 3 x-x+1 3 x2-x+1

=~/nlx+11_~J2X-1+1 dx+.3.-J 1 dx= 3 6 >!-x+ 1 3 >!-x+ 1

2 J 1 1 1 + 3 1 + ( x _ 1/2 )2 dx = 3 In Ix + 11-6 In

V3/2

V3 ( 2x - 1 ) I>! - x + 1I + -3- are tg V3 + C

Calculamos la integral definida haciendo C =°y apli­cado la regla de Barrow y obtenemos:

1 dx [ 1 1-- = -In Ix + 11-- ln I>! - x + 11 + o x) + 1 3 61

+ Y'3 are tg ( 2x- 1 )]' = In2 _ Y'3n =°84 3 Y'3 o 3 9 '

16 ~ do X

3 Y2x - 3 - 1

Resolvemos la integral indefinida por el método de cambio de variable, haciendo 2x - 3 = f => dx = tdt.

-----;:::::Y=2=X=-_3_ dx =J_t_. tdt= J_f- dt= J V2x - 3 - 1 t - 1 t - 1

= J U - 1) U + 1) + 1 dt = JU + 1) dt + J _1- dt = t-1 t-1

U + 1)2 + In 1t - 11 = 2

(V2X="3 + 1)2 + In IV2x _ 3 I + C_ "1

2

Dando a C el valor °y apl icando la regla de Barrow, ob­tenemos:

r ~ dX=[ (V2X="3 + 1)2 + In V2x-3-1 ]6 = .h~-1 2 I 1 )

(Y'3 + 1)2 ]= (8 + In2) - 2 + In(Y'3 -1) = 5,27[

2 + 1l5Xu) -)- dx

2 X - X

Calculamos la integral indefinida por el método de in­tegración de funciones racionales:

x: + 1 dx =J >! + 1 dx = J ~ dx + J x - x x(x - 1)(x + 1) x

+ J_1- dx+J-1- dx=-Inlxl + Inlx-11 + Inlx+ 11 = x-1 x+ 1

>! - 1 I=In -x- +CI

Haciendo C = O Y aplicando la rela de Barrow, obtene­mos la integral definida:

2 + 1 [1 >! -1 1]5 24 3l5 X dx = -- In - In- =-)- In = ­

x -x X 2 5 2

16 =In- = 1 16 5 '

v) f\~dx 3

Resolvemos la integral indefinida por el método de cambio de variable, haciendo x - 2 = f ~ dx =2t dt.

Jx~ dx =J(f + 2)' t· 2tdt =J(2t4 + 4r)dt=

=~ + 4f = 2~ + 4~ + C 5 3 5 3

Haciendo C =O Y aplicando la regla de Barrow, obte­nemos:

(\~dX=[ 2~ + 4~]6 = J3 5 3 3

=( 64 +~)_(~+~)= 62 + 28 = 326 =21 7 5 3 5 3 5 3 15 '

11~

w) dx x

Esta integral no está definida en [0,1].

Resolvemos la integral indefinida en el campo comple­jo por el método de cambio de variable, haciendo .1 t dt x -1 = r ~ dx=­

x

J~ dx=J~' tdt =J~ dt=J_r- dt= x x x >1 r+1

= J (r + 1) - 1 dt = J dtJ_1- dt = r+1 r+1

= t - are tg t =VK -1 - are tg ~ + C.

Haciendo e = OY aplicando la regla de Barrow obte­nemos:

1 ~ [,~ ,~]1 -n° i -- dx = vK -1 - are tg vX- - 1 o =- ­x 4L

x) ~ x, í dx J4 x + vx

Resolvemos la integral indefinida por el método de cambio de variable, haciendo x = r ~ dx = 2 t dt.

f x J r J 2r---::r dx = -2-' 2tdt= -- dt= 4X+VX r+t t+1

= J (2t-2)((+ 1) + 2 dt= J(2t-2) dt+ J_2- dt= t+1 t+1

= r - 2t + 2 In It + 11 = x - 2VX + 2 In Ivx + 11 + e

Haciendo e =O Y aplicando la regla de Barrow, obte­nemos:

r ~ dx = [x- 2VX + 2 In Ivx + 11]~ = 3,58J4 x + vx

) (3 x4

+ 2x - 6 d Y )2 x3+ x2_ 2x x

Resolvemos la integral indefinida por el método de in­tegración de funciones racionales:

X4 + 2x - 6 d -J (K + X- - 2x)(x - 1) + 3x- - 6 d­3 2 x- x-

J x + x - 2x K + X- - 2x

3>1 - 6 (x - 1)2 J 3 = (x-1)dx+ dx= + - dx+

J J x(x-1)(x + 2) 2 x

-1 J 1 (x - 1)2+ -- dx+ -- dx= +31n lxi-In Ix-11 +J x-1 x+2 2

(x - 1)2 I I K(X + 2) I eI I 21 +n ++nx+ = 2 x-1

Haciendo e =OY aplicando la regla de Barrow, obte­nemos la integral definida:

X4 + 2x - 6 d _ [ (x - 1)2 I IK(X + 2) 1]3 _l31 + nj x- ­

1 X + x - 2x 2 x - 1 2

135) (1 ) 3 135= 2 + In-- - - + In32 = - + In -- = 225( 2 2 2 64 '

2z) Lx • In x dx

Esta integral no está definida en el intervalo [-1,1].

a) rv21sen xl dx = f -sen x dx + [2 sen x dx = J-Jt!2 J-1Ú2

= kos X]~nt2 + [-eos X]~2 = (1 - O) + (--O + 1) = 2

b) L: 1>1- 11 dx = 2 D->I + 1) dx + 2 f(>I- 1) dx =

= 2 [->1 + 2x]~ + 2 [>1- 2xJ~ = 2 + 2 = 4

c) L:" Ixl sen x dx = .J: -x sen x dx + f" x sen x dx =

= [x eos x - sen x]~" + [-x cos x + sen X]~1f =

= -n- 2n = -3n.

d) l\!Ix - 11 + 1] dx = L\-x- + 2x) dx + f>l dx =

= [_~ + >1]1 + [~]2 =~ + !- = 3. 3 031 3 3

x

e) 1: Ilxl - 11 dx = 2 D-X + 1) dx + 2 f (x - 1) dx =

= [-K + 2x]~ + [K - 2x]~ = 1 + 1 =2

l/2

f) f 12x - 11 dx = L(_2X + 1) dx + f2 (2x - 1) dx =

= [-K + 2X]~2 + [K - X]~/2 = ~ + ~ = 2 442

150

33 211= (X + X ) dx = O -50

J =[sen S (8x 3 + x) dx =O

Ambas integrales son iguales a cero, pues al ser las fun­ciones impares y simétricas respecto al origen se anu­lan entre sí las áreas de las regiones que se obtienen.

y

x

El área del recinto sombreado viene dada por:

f(3x + 2) dx =

2 =[3; + 2xr=(2; + 6) -(~ + 2) = 16 u

Directamente este recinto es un trapecio y su área vale:

A = B + b . h = 11 + 5 . 2 = 16 u2

2 2

Con lo que queda comprobado el resultado anterior.

y

Recinto sombreado:

Área =-f(K -4x) dx =-[(; - 2K)1: =

=-[ 64 _ 32J = ~ u2 = 10 7 u2

3 3 '

1 -- K =-2xy= -2x 2

X = O y =_2- K K=4x => {2 x=4

y

x

Queremos calcular el área del recinto sombreado:

a)

= [y _~]4 = 16 _ 64 = 5,3 u2 6 ° 6

x

y

3 , r(, ~ Y) [ v'6 . 2W ~ ]6 2Area = Jo v6x - (; dx = 3 -18 0=12u

b)

2

-40

El área pedida es la del recinto sombreado.

-1'l7 [X4

8~ 7Y ]7Area = - (~- 8Y + 7x) dx = - - - -- + -- = 2 4 3 2 2

=_[(2:01 _ 2744 + 3;3)_(4_ 64 +14)]= 3 3

=139,58 u2

y Las curvas I = 9x; I = 4(x + 1) se cortan en los puntos de abscisa x = 0,8 pues:

4 9x = 4(x + 1) => x = - = 0,8

5 x

El área pedida es la de la zona sombreada y vale:

Área = 2 [.c82 VX+l dx - r'8 3VX dX] =

El área del recinto limitado por la curva, el eje OXy las = 2 [ 4V(x + 1)3 ]0,8 -2 [2 v9] ~,8=

1C 1C rectas x = -- y x = - vale: 3 -1

2 2

,[2 rrJ2 2 8~ _ 41/0,83 = 3,58 u2

Area = 2 cos x dx = 2 [sen x] ° = 2 u 3

yc)

---+------..~l_+-+_--+--'----..--+_--X

Estas curvas se cortan en los puntos solución del sistema:

Y=6X-X-}~{X=0 y=O P(O,O) y =X- - 2x x =4 Y=8 0(4, 8)

Área r(X- - 2x) dx + f(6X - x-)dx - f(X- - 2x) dx =

=[ ~ - X-I+ [3X- - ~ 1-[~ -X-J: =

= (~8 + 4) + (48 - 64 ) - [( 64 -16) - ( ~ - 4)] = 3 3

-8 64 64 8 = - + 4 + 48 - - - - + 16 + - - 4 = 3 3 3 3

= 64 -~ = 21 3 u2

3 '

Otra forma de hallar el área del recinto buscado:

Área =f[(6x - X-) - (X- - 2x)] dx =f(8x - 2x-) dx =

2K ]4 128 2= 4X- - - =64 - -- =21 3 u[ 3 o 3 '

y

x

Las curvas se cortan en x =OY x =1. Calculamos el área de la zona sombreada.

Área ={(X e-X - X- e-¡ dx ={(X - x-) e-X dx

Resolvemos por el método de integración por partes la integral indefinida:

J(x - x-) e-x dx

u =x - X- ~ du = (1 - 2x) dX} dv = e-x dx ~ v =_e-x

1= J(x - X-) e-x dx = - (x - x-) e-x - J-(1 - 2 x)e-x dx =

= (X- - x) e-x + J(1 - 2x) e-x dx

u = 1 - 2x ~ du =-2 dX} xdv = e-x dx ~ v =_e­

1= J(x - X-) e-x dx = (x - X-) e-x - (1 - 2x) e-x ­

- J2 e-x dx = (X- - x) e-x - (1 - 2x) e-x + 2 e-x + e

Haciendo e = OY aplicando la regla de Barrow, calcu­lamos la integral definida que nos permite calcular el área pedida:

Área = [(X- - x) e-x - (1 - 2x) e-x + 2 e-x] ~ = 3 2= - - 1 =0,1036 u e

y

36 x= 6

X=12

36 X-36

-36

El área del recinto sombreado buscado vale:

, J12 36 [ ] 12 12Area = - dx = 36 In x 6 =36 In - = 6 X 6

= 361n2 = 24,95 u2

_________________.cIlCl:l=======::<anl_ DIDÁCTICA • 223

________

El círculo de radio Rqueda limitado por la circunferen­cia de ecuación y

K+I=~

Área =4 faR YR2 - x2 dx -R o R X

f,~Calculamos la integral indefinida vR2 - x2 dx median­

te el cambio de variable

x = R . sen t ~ dx = R . eos t . dt

f yR2 - x2 dx = f yR2 - R2 sert t· R . eos t . dt =

f~ .eo~ t· dt = ~ f 1 + ~os 2 t dt =

= ~ (++ se~ 2 t ) + e =

are sen -~ 2.-~ .)1 - ~ 1 = ~ --2-- + --------'-4---'-'--- + e

(

Haciendo e =o y aplicando la regla de Barrow, calcu­lamos la integral definida que nos da el área del círculo buscado:

R

Área = 4 fa yR2 - x2 dx =

+~( arcs:n~ + 2~ F II

, K I l' , /• La e 1Ipse -2 + -2 = encierra un recinto cuya area a b

vale:

2/ fa Ja Jj - Jj x2Area =4 2 dx

O a

Calculamos la integral indefinida

fJ al Jj ~ Jj x2 dx

por el método de cambio de variable, para ello hace­mos x =a sen t ~ dx =a eos t dt

f--; Yal Jj - fyaJi x2 dx = : 2 - a2 sert t . a eos t dt =

b f..2 .2 d b f 1 + eos 2 t dt-­= - á eos t t= a a 2

= ab (t + sen 2t)+ e 2 2

R)= -ab (are sen -x + -1 . 2 . -x 1 - -2

+ e 2 a 2 a a

Haciendo e =oy aplicando la regla de Barrow, calcu­lamos la itnegral definida que nos da el área encerrada por la elipse dada:

=[~(are sen ~ + 2.- .2 . ~ J1 _x2 )]a2 a 2 a i o

= 2 ab( ; + O) - 2 ab (O - O) = (ab . n) u 2

Los volúmenes son:

a) V=n f(2X + 1)2 dx =nf(4K + 4x + 1) dx =

=n[ 4~ + 2K + X]4 = 364 nu3 3 o 3

b) V =nf~ (x - K)2 dx =n[(6~ - 1~~ + 1O~ )I =

n 3 =-u

30

3c) V = nfTT: sen2 x dx = n[ 2.- x - 2.- sen 2X]" = ~ u a 2 4 o 2

2x 3d) V =nf' e dx = n[ ~x ] 1 = ~ (e2 _ 1) . u

a 2 o 2

4's fc4's ( 2x + 3 )2 4,5b) V= n 2x dx- n dx = [nK] 0,5 ­fc

0,5 0,5 4

K 3K 9x ]4,5,- - + -- + - =20n- 17,33 n =2,67 n 12 8 16 0,5

e) V =2nJ~ (K - 1)2 dx =2nJ>X4- 2K + 1) dx =

= 2n [~_ 2K + X]' = 16n 5 3 o 15

-1 f-1d) V =n (-3x _2)2 dx - n X

4 dx = f-2 -2

1

= n r\9K + 12x+ 4) dx- n r x4 dx=J-2 J-2

=n [3K + 6K + 4xt~ - , -~ 1-1

= 5 -2

=7n-~= 4n 5 5

El volumen es:

El volumen es:

=2J~ _ 2~ + ~1' = 16 n'1 3 5 7 o 105

El volumen de la esfea es:

V= n (R (f?2 _ K) dx =2n (R(R2 - K) dx = J-R Jo

3 3 = 2n [R2X_~]R = 2n 2R = 4nR

3 o 3 3

El volumen del elipsoide es:

V=2n (s (1 - ~) dx =2n [x - ~15 =2n· ~ = Jo 25 75 o 3

20n

3

pág 379

ACTIVIDADES PROPUESTAS EN PRUEBAS DE ACCESO A lA UNIVERSIDAD

La suma superior es:

S(P) = [-2 - (-3)] . 8 + [-1 - (-2)] . 3 + [1 - (-1)] . O+

+ (2 - 1) . 3 = 8 + 3 + O+ 3 = 14.

La suma inferior es:

s(P) = [-2 - (-3)] . 3 + [-1 - (-2)] . 0+ [-1 - (-1)] . 0+

+ (2 - 1) . O=3 + O+ O+ O=3.

Aplicando este teorema obtenemos:

l1Kdx=¿·(1-0)~ [ K11

=¿~¿=-~c=±1 1- .f'>° 3 o 3 v3

1 Como e E (O, 1) ~ el valor buscado es e =+ V3

La primera derivada es:

F'(x) = e-x" . 2x =2xe-x"

La segunda derivada es:

F"(X) = (2 - 8x4 )e-x"

La derivada es:

F'(x) =cos Jl O b) El límite produce una indeterminación del tipo -.

Aplicando la regla de L'HOpital obtenemos: O

reos r dt cos Jl lím o x = lím = cos O = 1 x~o x~o 1

Las derivadas de la función son:

F'(x) = (x4 - 1) . 2x => F'(x) =2xs - 2x

F"(X) = 10 x4 - 2

La primera derivada se anula y obtenemos:

F'(x) = O => 2xs - 2x = O => x =-1, x = O, x = 1

En el punto (-1, O), al ser F"(-1) = 8 > O, existe un mí­nimo relativo.

En el punto (1, O), al ser F"(l) = 8 > O, existe un míni­mo relativo.

En el punto (O, 2/3), al ser F"(O) = -2 < O, existe un má­ximo relativo.

Tenemos que:

r' Ixl =2 r'x dx = [x]~ = 1. J-, Jo

y

"'---__+x -1 o

a) Haciendo el cambo eX = t, obtenemos:

r' eX dx = re 1 dt = 2xJo e + eX + 2 J, r + t + 2

= 2v7 . r 1 2- d, =

7 , 1+ (~t+ _1_)2 V7 V7 V7

= 2'!! [arctg.( ~ t+ ~ )I= 2'!! (1,18-0,85)=0,249

b) fa"~ cos x dx = [Jl sen x + 2x cos x- 2 sen x]~=-2n

c) Haciendo el cambio de variable 1 + Jl = t, obtene­mos:

2

f \ÍJ t [ f ] 2 8 1 7x~dx= rdt= - =--=---=-. o , 31.) 33

f1x - 11 cos x dx = f~ -(x - 1) . cos X· dx +

+ f(X -1) . cos x . dx = f~ -(x - 1) . cos x . dx +

+ f(X -1) . cos x . dx

Calculamos la integral indefinida por el método de in­tegración por partes:

I = f (x - 1) . cos x . dx

u =x - 1 => du =dX}

dv = cos x . dx => v = sen x

I = f (x - 1) . cos x . dx = (x - 1) sen x - f sen x . dx =

= (x - 1) . sen x + COS x + e rb

1Jo Ix - 11 cos x . dx =-[(x - 1) sen x + COS x] 0+

+ [(x - 1) sen x + COS x] ~ = -cos 1 + 1 +

+ [(b - 1) sen b + COS b - cos 1] = 1 + (b - 1) sen b +

+ COS b - 2 cos 1

Área = - In x) dx = [ ~ - (x In x ­te(--; X x) J: =

y

x

La zona sombreada es la región de plano limitada por las curvas dadas.

XJ ]1 XJ ]2=22x+- +2[4x-­[ 3 o 3 1

Ecuación de la recta tangente a {(x) = In x, en el punto (e, 1):

1 1 {'(x) = - ~ m = ­

x e 1 1

Y- 1 = - (x - e) ~ y = - x ~ e e

. / 1la recta tangente tiene por ecuaClon y = - x

e

y

1 y=-xe

3e 3e In x L't-f>pilallím x In x = - - lím -- =

2 x~o· 2 x~o' l/x

L't-f>pilal 3e lím ~ = 3e

2 X~ o· -l/J 2

y

------lr---+----t---- y = d

-----'------':-t"''''----------'-------x o

Llamando d a la distancia busada, se cumple:

36 = 2 {dVd- J~ ~ dX} ~

XJ]Vd~ 18 = dVd - [3 o ~

dVd ~ 18 = dVd - -- ~

3

2dVd ~18= ~ d=3

3

A una distancia de 3 unidades.

La parábola y la recta se cortan en los puntos: y y= 3x+ 2

y=x-+ax} 2 .2 X + ax =-x ~ x + x (a + 1) =O ~

y+x=O

~ X = O·, y = O

{ x =-a - 1; Y =a + 1 x

Área pedida = I{a-1 [-x - (X- + ax)) dxj

Ponemos el valor absoluto, pues el área puede ser dife­rente según sea a> O o a < O.

x=1 y y

El área de la zona sombreada viene dada por:

8 --a

8>0 Área = (1 (3x + 2) - (X- 2 ) dx = Jo + 3x + 2

= (' (3X + 2 __2_ + _2_) dx = A = I{a-, [-x- (X- + ax)J dxl = Jo x + 1 x + 2

[ 3x- ]1 = -2-+2x-2In 1x+11+ 2In \x+21 0=

= I (-a - 1)2 _ (-a - 1)3 _ a(-a - 1)2

1 = 379 = - + 2 - 4 In 2 + 2 In 3 = - + In - = 2,922 3 2 2 2 16

3 3 = /_a - 3a:- 3a - 1 1 = (a: 1) 11

-----.;'\--""~----x

Como el área es 36, entonces: y

(a: 1)31= 36 ~

-(a + 1)3--- =36 ~ a + 1 =-6 ~ a =-7

6

-(a + 1)3----'- =-36 ~ a + 1 = 6 ~ a = 5

6

Las soluciones son: I a =-7 I o I a =5 I

x

Hallamos los puntos de inflexión: Los puntos de inflexión son:

-2x 6;- 2 (1 3)(-1 3)y' = (1 + ;)2 y" = (1 + ;)3 './3'4 './3'4

6; - 2 = O~ ; = ~ ~ x = ± _1_

I1\\Í3 1

(1 + ;)3 6 './3 Área =2 o dx = 1 +;

1\\Í3 [n ] n= 2 are tg x o = 2 (; - O =3 = 1,046 J[ ]

~

CRITERIOS Y ACTIVIDADES DE EVALUACION - - . - - -' - - ­

BLOQUE TEMÁTICO 111: Análisis

1. Utilizar el concepto y el cálculo de límites para el estudio de la continuidad de las funciones.

Este criterio supone:

• Saber calcular límites sencillos y resolver las indeterminaciones más usuales.

• Aplicar el concepto de límite al estudio de la continuidad de funciones dadas mediante su gráfica o su expresión analítica.

2. Utilizar el concepto de derivada, así como su cálculo, para encontrar, analizar e interpretar las características más destacadas de funciones expresadas en forma explícita.

Este criterio supone:

• Calcular derivadas de funciones sencillas.

• Utilizar la derivada en el cálculo de las rectas tangente y normal a una curva en un punto dado.

• Usar la derivada en el estudio de las características más importantes de una función: monotonía, extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión.

3. Aplicar el cálculo de límites y derivadas en la resolución de problemas de optimización y medida.

Este criterio supone:

• Matematizar el fenómeno que se pretende optimizar.

• Saber obtener e interpretar los valores o resultados que optimizan un fenómeno dado.

4. Aplicar métodos analíticos al estudio de funciones y a la interpretación de fenómenos naturales y tecnológicos.

Este criterio supone:

• Conocer las propiedades más características de funciones dadas en forma explícita.

• Obtener la gráfica de una función que describe un fenómeno natural o tecnológico, dada en forma explí ­cita a partir del estudio de sus características más esenciales.

• Analizar fenómenos naturales, económicos y técnicos a partir de su gráfica.

5. Calcular integrales indefinidas y definidas de funciones sencillas y aplicar el concepto de integral definida al cálculo de áreas de recintos planos y volúmenes de revolución.

Este criterio supone:

• Saber calcular integrales indefinidas utilizando los métodos de integración más sencillos.

• Aplicar la regla de Barrow en el cálculo de integrales definidas.

• Saber calcular áreas de recintos planos limitados por rectas y curvas sencillas.

• Determinar volúmenes de cuerpos de revolución sencillos.

1. Calcula los siguientes límites:

a) lím [Vx2 -4-(x+l)] x ~ +00

x3 + 2~ + x b) lím

x--.-l 2~ - x - 3

x' + 1

c) lím (x + 2 )7;"7 x --. +~ X

2. Estudiar la discontinuidad de las siguientes funcio­nes, clasificando los puntos de discontinuidad.

a) y =f(x)

b) y=g(x)= IX+21-lx-21

3. Calcular las siguientes derivadas:

a) 0[\14 - 21

b) O [sen2 (3x - 1)]

4. Busca los puntos de la curva

y =x 4 - 7x3 + 13~ + x + 1

que tienen la tangente formando un ángulo de 45° con el eje de abscisas.

5. Sea la función f(x) = In (a + bx3). Estudia la rela­

ción que tiene que existir entre a y b para que f'(l) =1.

6. En la función f(x) =ax3 + bx + e halla a, b y c para que la función tenga un máximo relativo en x =1 y un punto de inflexión en (O, O).

7. Con una lámina rectangular de dimensiones 4 y 2 m, respectivamente, se quiere construir una caja abierta de volumen máximo, para lo cual se recor­ta un cuadrado en las cuatro esquinas. Halla el la­do de este cuadrado.

8. En una determinada zona, el número de millones de seres vivos por km 2 de superficie viene dado por la

función 2 8 , en la que x representa la altitud o x + 4

profundidad en km. Representa gráficamente esta función analizando sus características más rele­vantes. ¿A qué altitud o profundidad la densidad de población de seres vivos es máxima? ¿A partir de qué altitud o bajo qué profundidad la densidad de la población es inferior a uno?

9. Estudia y representa gráficamente la función f: R ~ R definida así:

(x + 1)2

x si x < O

f(x) = O si x =O

In x

x si x> O

10. Obtén las siguientes integrales definidas:

e2x a) 4x dxJ 1 + e

b) J~dX x - vx

c) J (2x - 3) sen x dx

11. Calcula rf(x) dx siendo la función f la siguiente:

x

12 si x> 6

f(x) = ~ - 34 si 3 ~ x ~ 6

-25 si x < 3

12. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) =x 3, el eje OX y las rectas de ecuaciones x =-1 Yx =2.

13. Calcula el área del recinto limitado por las gráfi­cas de las funciones f(x) = ~ - 2 Yg(x) = 2x + 1.

8

--­ X - 2 si x 2: 2Ix - 21 = { -x + 2 si x < 2

82a) lím Yx - 4 - (x + 1) = X~ +00

[~-(x+1)] [~+(x+1)] = = lím 2

X~ +00 yx - 4 + (x + 1)

x 2 _ 4 - (x + 1)2 = lím X~ +00 Yx2 -4+x+1

-----,=-=2=x;--_5__ ~ _-_2 =-1= lím X~ +00 Yx2

- 4 + x + 1 2

®o \Q) lím x (x + 1) =Ob) lím

x---)-l (2x - 3)x---)-l

1+1 F,::\ ~(~ -1)lím

xc) lím (~)~ ~ ex....,+~ 1 +x = x---)+~ X

a) y

f(x) presenta:

- En x =-2 una discontinuidad evitable.

- En x = 1 una discontinuidad de salto finito de pri­mera especie.

- En x = 2 una discontinuidad de segunda especie.

- En x = 3 una discontinuidad de segunda especie.

- En x =5 una discontinuidad de salto infinito de pri­mera especie.

X + 2 si x 2: -2 b) Ix - 21 = { .

-x - 2 SI X < -2

-2X si x <-2 y =g(x) = 4 si -2 ::; x < 2¡

2x si x 2: 2

Estudiamos la continuidad en x = -2 yen x = 2.

• lím g(x) = lím 4 = 4 =g(-2) x ---) -2+ X ---) -2+

lím g(x) = lím (-2x) = 4 =g(-2) x---) -r x---)-r

g(x) es continua en x = -2.

• lím g(x) = lím 2x = 4 =g(2) ¡x---)-Y x---)-Y ~ g(x) es

lím g(x) = lím 4 = 4 =g(2) continua x ---) -r x ---) -r en x =2

g(x) es continua en todo su dominio.

X _2 X In 2a) O ['V4 _ 2x] = 0 [4 - 2 ] •

3 3 "V(4 - 2x)l 3 'V(4 - 2X)2

b) O [sen 2 (3x - 1)] = O [sen (3x - 1)]2 =

=2 . [sen (3x - 1)] . [eos (3x - 1)] . 3 = = 3 . sen [2 (3x - 1)] = 3 . sen (6x - 2)

2X c) O [In ( 1 ;x )] = O [In (1 - 2x) -In (2x)] =

-2 2 -2 -1 =

1 - 2x 2x 1 - 2x x x (1 - 2x)

Hemos de buscar los puntos en los cuales la recta tan­gente tenga por pendiente m = tg 45° =1 ~

~ y' =4x3 - 21 ~ + 26x + 1 ~ 4x3

- 21 ~ + 26x + 1 =

= 1 ~ 4x3

- 21~ + 26x = O ~ Xl = O; X2 = 2; X3 = 413

Obtenemos tres puntos:

P (O, 1) Q (2, 15) R ( 143 , 12,8)

3b>? ('(x) =--"

a + bx3

, 3b 3b ((1) =-- => -- = 1 => a = 2b

a+b a+b

La relación que debe existir entre ay bes: la = 2b Icon b'#O

Si la función ((x) tiene un máximo relativo en x = 1, entonces cumple que ('(1) = O Y ("(1) < O.

('(x) = 3a>? + b => ('(1) =3a + b => 3a + b =O.

Si la función ((x) tiene un punto de inflexión en (O, O) entonces se cumple: ("(0) = O Y ((O) = O ("(x) = 6ax => => ("(0) = O => O = O

((O) = e => e = O.

Hay infinitas soluciones para a, b, c

Todas las que verifiquen que {e = O 3a + b = O

Y además con a < O para que efectivamente en x = 1 exista un máximo relativo.

2m

4m

Llamemos «x» al lado del cuadrado.

La base de la caja es un rectángulo de dimensiones (4 - 2x) Y (2 - 2x). La altura de la caja es igual al lado del cuadrado que hemos recordado en las esquinas.

Volumen = (4 - 2x) (2 - 2x) . x = 4x3 - 12>? + 8x

Optimizamos esta función:

V',X} =12x2 - 24x + 8; 12>? - 24x + 8 =O =>

3 + v3 => 3>? - 6x + 2 = O => x, = = 1,58 m

3

3 -v3 X2 = = 0,42 m

3

V",X} = 24x - 24

V"(l ,58) > O=> Para x = 1,58 el volumen es mínimo.

V"(O,42) < O=> El volumen es máximo para x = 0,42 m.

8((x) = y=-----,,----­

>!+4

• Dominio: Oom ( = IR

• Simetrías y periodicidad: Es una función simétrica respecto al eje de ordenadas y no es periódico.

• Puntos de corte con los ejes: (O, 2).

• Asíntotas: y = O. • Extremos relativos: Máximo relativo en (O, 2).

· fl . , (4 18 ) ( 4 18 ) • Puntos de In eXlOn: - - - - ­3'13 3'13

• Intervalos de signo constante: (es positiva en todo su dominio.

y (millones)

El número de seres es máximo en la superficie altitud O km. La densidad de población es superior a 1 en alturas o profundidades superiores a 2 km.

(x - 1)2 a) y = (x < O)

x

• Dominio: IR

• Simetrías: No simétrica.

• Periodicidad: no periódica.

• Cortes con los ejes: (-1, O)

• Asíntotas: x = O; Y = x + 2

• Extremos relativos: Máximo (-1, O)

In x b) y =-- (x > O)

x

• Dominio: IR

• Simetrías: no tiene.

• Periodicidad: no periódica.

• Cortes con los ejes: (1, O)

• Asíntotas: x = O; Y = O

, In x lím In x = O X---) O X X---) x 11m -- =-00;

. ,. ( 1)• Extremos re latlvos: Maxlmo e,-¡

A partir del estudio anterior, obtenemos la gráfica de la función dada:

y y

8

2 • x

x

-8

2x Queremos hallar el área de la zona rayada, y ésta vale: e2x 1 J e . 2 1

a) ---4x dx =- -~~ dx =- are tg(e2X ) + eJ 1+e 2 1 +(e2? 2 r' 3 (2 3 [ 4]-1 [ 4]2

Área = Jo x dx + Jo x dx = : o+ : o=

b) J~dx 1 16 17 2 x - vx = - + - = - = 4 25 u

4 4 4 '

Resolvemos esta integral indefinida por el método de t2cambio de variable, haciendo x = =::) dx = 2t dt

1_1_ dx = J -2_- . 2t dt = J _2- dt =

J x-vx t -t t-l

= 2 In It - 11 = 2 In !VX - 11 + e

c) J (2x - 3) sen x . dx

Resolvemos esta integral indefinida por el método de integración por partes:

u = 2x - 3 =::) du = 2 . dX} dv = sen x . dx =::) v = -eos x Estas dos curvas se cortan en los puntos solución del sis­

tema formado por sus ecuaciones:

J (2x - 3) sen x . dx = - (2x - 3) eos x - J -2 cos x dx = 2 2}Y -- x - x2 _ 2 = 2x + 1 =::) x2 - 2x - 3 = O = - (2x - 3) eos x + 2 sen x + e Y = 2x + 1

Queremos hallar el área de la zona sombreada:

Área =f, [(2x + 1) - (l- 2)] dx =f, (-1 + 2x + 3) dx =f {(x) dx =f ((x) dx +r{(x) dx =f -25 dx + _X3 2]3 ( 1 )= [ -3- + x + 3x -1 = (-9 + 9 + 9) - :3 + 1 -3 =

+ f (l- 34) dx = [-25x]~ + [~ - 34xJ: = 5 32 2 2

= 9 + - = - u = 107 u =(-50) + (-39) =-89 33'

234· GUíA DIDAcTICA

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