UMA CONVERSA SOBRE TEORIA DA INTEGRAÇÃO Incentivar abordagens usando uma teoria mais potente e.g. • séries ortogonais generalizadas, • distribuições de L. Schwartz, • teoria de wavelets, • integração de Lebesgue

idéia básica da integração de Lebesgue: contém a integral de Riemann como um caso particular. Abordagens modernas envolvendo integração tende a adotar este conceito, aumentando as possibilidades e a riqueza de resultados.

Henri Lebesgue (1875-1941).

( )P,,ΑΩ ( )µ,,Βℜ

O extraordinário conceito de integração de Lebesgue (1902) generaliza a integração clássica. • A integral de Lebesgue de funções integráveis à Riemann fornece o

mesmo resultado. • Há, porém, uma enorme variedade de sinais integráveis à Lebesgue cuja

integral de Riemann não existe. • A integração de Lebesgue possibilita integrar sinais numa região bem mais

sofisticada que um simples intervalo. A noção é baseada na Teoria de Conjuntos.

MEDIDA DE UM CONJUNTO

1. Álgebra de Intervalos abertos Todos os intervalos ou conjuntos gerados a partir de uniões e

complementos finitos de intervalos na reta real constituem uma

álgebra de intervalos. Ela é adotada na integração de Riemann.

A medida de um intervalo, aberto ou fechado, pode ser definida pelo

seu comprimento (medida no sentido compatível com uma medida

euclidiana com uma régua).

Se E:=(a,b) é um intervalo, então sua medida vale m(E):=b-a.

Como a medida de um ponto isolado é nula, a medida correspondente

a um intervalo fechado E:=[a,b] também corresponde à m(E):=b-a.

2. σ-álgebra de intervalos abertos: A σ-álgebra de Borel.

Todos os intervalos ou conjuntos gerados a partir de uniões e

complementos (finitos ou não) de intervalos na reta real constituem

uma σ-álgebra de intervalos, a σ-álgebra de Borel. Ela é adotada na

integração de Lebesgue.

Vide o Conjunto de Cantor.

Há “mais” conjuntos que não contém nenhum intervalo dentro da σ-

álgebra de Borel que conjuntos clássicos (Teoria da Categoria de

Baire).

Analogia: conjuntos derivados da álgebra de intervalos ⇔ números racionais, σ-álgebra de Borel: conjuntos “estranhos” ⇔ números irracionais...

Dado um conjunto E da σ-álgebra de Borel, de medida µ(E),

definem-se duas medidas:

• Medida externa

• Medida interna

medida externa

Seja I um conjunto aberto, EI ⊃ . Então )()( EIm µ≥ . Define-se a medida mo(E) como a medida externa de E

)()(:)(inf EEmIm

I

o µ≥=

Figura. Topologia numa medida externa.

medida interna

Seja I um conjunto fechado, EI ⊂ . Então )()( EIm µ≤ . Define-se a medida mi(E) como a medida interna de E

)()(:)(sup EEmIm

I

i µ≤=

Figura. Topologia numa medida interna.

Se mo(E)=mi(E)=µ(E) então o E é mensurável e sua medida vale µ(E). • medida de Lebesgue é aditiva, i.e. a medida da união (finita ou não) de

conjuntos disjuntos é a soma das medidas de cada um deles.

µµµµ é uma generalização da medida m de intervalos. Se E=(a,b)⊂ℜ, então

I:=(a-ε,b+ε)⊃E e ababEmIm

I

o −=−−+== )(inf)(:)(inf εε

ε ;

I:=[a+ε,b-ε]⊂E e ababEmIm

I

Sup i −=+−−== )(sup)(:)( εε

ε e a medida

coincide com a medida clássica para intervalos.

Considere a partição do intervalo [0,1] em dois conjuntos disjuntos

(partição de Dirichlet em racionais e irracionais):

,10|: QxxxDQ ∈≤≤= e

,10|: IxxxDI ∈≤≤=

Claro que DIDQ∪=]1,0[ . A medida de Lebesgue de conjunto [0,1] é 1, e portanto

1)()(]1,0[ =+= DIDQ µµµ .

Medida de Lebesgue do conjunto RQ: usa-se o arranjo de Cantor para

mostrar que os racionais Q são enumeráveis.

• Frações p/q com denominador q=1 (1ª linha) • Frações p/q com denominador q=2 (2ª linha) • ...

Os racionais podem ser arranjados em uma seqüência r1 r2 r3 ... (postos em correspondência biunívoca com N).

Assim, dado ε>0 arbitrário, considera-se a seqüência de intervalos abertos In⊃DQ

• ε/2 centrado em r1 • ε/22 centrado em r2 • ... • ε/2n centrado em rn • ...

A medida externa de DQ é cotada por

εεεε

=+++=≤∑∞

=

...222

)()(32

1n

no ImDQm.

Desde que 0)()(0 =≤≤ DQmDQm oi , segue-se que µ(DQ)=0. Como (0,1) = DQ ∪ DI ⇒ µ(0,1) = µ(DQ)+µ(DI)=1, tem-se que µ(DI)=1.

Integral de Riemann e medida de Intervalos (Álgebra de Intervalos)

∫I dttf )( em que ),( +∞−∞=ℜ⊂I é um intervalo da álgebra acima.

Assim, por exemplo, ∫∫ =)1,0(

1

0)()( dttfdttf e ∫∫ ℜ

+∞

∞−= dttfdttf )()(

1

.

A integral de Riemann pode ser definida utilizando a medida de um intervalo.

O intervalo [a,b] é particionado como ),( 1 kk xx − , com bxxxxa n =<<<<= :...: 210 .

• Para um intervalo aberto ),( 1 kk xx − , a medida vale

=− ),( 1 kk xxm xxx kk ∆=− − :1 .

Interessa o limite ∞→n e 0),( 1 →− kk xxm

(partição arbitrariamente refinada).

Com )(: kk fy ξ= , o somatório

∑∑=

−=

− −==n

kkkk

n

kkkk xxyxxmys

11

11 )(),(:

representa uma área que presumivelmente aproxima-se da área sob a

curva y=f(x).

Se s tem um único limite, independente da partição do intervalo

[a,b], então este limite é chamado de integral de Riemann.

Integral de Lebesgue e medida de Lebesgue (σσσσ-Álgebra de Borel)

Para definir a integral de Lebesgue de f(x), particione o eixo da

ordenadas em ...,,, 210 nyyyy , com nyyyy <<<< ...210 e

construma o somatório

∑=

=n

kkk emy

1)(:σ

.

Quando f é mensurável e limitada, a soma acima admite um único

limite independente da partição, provido que ela seja

substancialmente refinada. Este limite é chamado de integral de

Lebesgue.

Diferenças entre as duas integrais. • o eixo das abcissas é particionado na Integral de Riemann.

• o eixo das ordenadas é particionado na Integral de Lebesgue.

• A integral de Riemann só pode ser feita sobre elementos da

álgebra de intervalos abertos. (noção chave: comprimento do

intervalo)

• A integral de Lebesgue pode ser calculada sobre qualquer

conjunto da σ-álbebra de Borel. (noção chave: medida do

conjunto).

Diferenças entre as duas integrais.

• Os conjuntos ek desempenham o papel dos intervalos (xk-1,xk).

• A integral de Riemann falha quando f não permanece próximo a

yk na maioria dos intervalos (xk-1,xk) enquanto que a integral de

Lebesgue garante que f(x) é automaticamente próximo de yk

dentro dos intervalos ek.

COMENTÁRIOS FINAIS

Pode ser mostrado que se a integral de Riemann existe, então a

integral de Lebesgue também existe e assume o mesmo valor.

Por outro lado, há uma enormidade de funções que não são

integráves à Riemann, mas que o são à Lebesgue.