UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO – UFTM

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Monografia:

UM ESTUDO SISTEMATIZADO SOBRE A RESOLUÇÃO DAS

EQUAÇÕES POLIMOMIAIS

Autor: Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira

Orientador: Prof. Dr. Osmar Aléssio

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Rafael Peixoto

Profa. Mônica Siqueira Martines

• Primeira tentativa de resolução das equações polinomiais: Dada pelosbabilônios, há cerca de 2000 a.C (BOYER, 2010);

•Os números eram escritos em notação sexagesimal:

14;30 era escrito assim:

Resolução do seguinte problema:

“Encontrar o lado de um quadrado se a área menos o lado da 14;30”.

Que é equivalente a resolver a seguinte polinomial: x² - x = 870

Solução (Dada pelos babilônios):

“Tome a metade de 1, que é 0;30, (0,5 na notação decimal) emultiplique 0;30 por 0;30, o que dá 0;15 (0,25); some isto a 14,30 (870),o que dá 14;30;15 (870,25). Isto é o quadrado de 29;30 (29,5). Agorasome 0;30 (0,5) a 29;30 (29,5) e o resultado é 30, o lado do quadrado.”

Capítulo I: INTRODUÇÃO

Solução (Dada pela notação moderna):

Considerar a polinomial: x² - px = q. A solução será dada pela

seguinte fórmula:

• Conforme Boyer (2010), os babilônios sabiam resolver

polinomiais dos tipos:

x² + px = q

x² = px + q

x² + q = px

Soluções: Encontradas em textos antigos dos babilônios.

• Sabiam resolver polinomiais do tipo: x³ = a e x³ + x² = a.

Soluções: dada através de tabelas de acordo com o valor de “a”;

Capítulo I: INTRODUÇÃO

• Estudar e discutir os métodos resolutivos das equações polinomiaisde graus 1, 2, 3 e 4;

• Impossibilidade de resolução das equações polinomiais de grau 5ou superiores por meio de uma fórmula resolutiva;

•Trazer ao leitor uma maneira organizada e sistematizada daálgebra utilizada;

• Permitir a sedimentação dos conhecimentos já adquiridos peloleitor durante sua trajetória acadêmico-escolar;

• Esclarecer certos “porquês” quando se fala sobre a equação doterceiro grau e se há uma forma de solucioná-la, como ocorrenas equações quadráticas

OBJETIVOS:

Capítulo I: INTRODUÇÃO

Iezzi (2005):

Dado um polinômio, cuja forma geral é dada na forma:

• Chama-se equação polinomial quando:

• Grau do polinômio: n

• Raiz do polinômio: Valor “r” tal que p(r) = 0;

Capítulo II: EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Dado uma equação polinomial de grau n escrita na forma

se existir uma raiz racional da forma:

com p e q inteiros, mdc(p,q)=1, então p divide e q divide .

Demonstração

Exemplo: Encontrar todas as raízes do seguinte polinômio:

dado que uma de suas raízes seja racional.

Solução

Capítulo II: EQUAÇÕES POLINOMIAIS

2.1 - Teorema das raízes racionais :

Teorema do resto: Dado um polinômio

de grau n, existem polinômios

e tal que:

.

Demonstração

2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini

2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini

Primeira linha: Coeficientes de p(x);

Segunda linha: Raiz do polinômio divisor e coeficientes de q(x);

2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini

Os coeficientes da segunda linha são obtidos da seguinte forma:

Como r é uma raiz de p(x), de acordo com o teorema anterior,

e estes coeficientes compõem o polinômio:

cujo grau é inferior ao de p(x).

Exemplo

2.3 – Relações de Girard

Pode-se utilizar nas equações polinomiais para encontrar as suas

possíveis raízes;

2.3 .1 – Relações de Girard para as equações polinomiais de

grau 2

Seja o polinômio quadrático p(x) = ax² + bx + c, e e as raízes

deste polinômio, então:

2.3 .2 – Relações de Girard para as equações polinomiais de grau 3

Seja o polinômio cúbico e , e as

suas raízes, então pode-se mostrar que:

2.3 .3 – Relações de Girard para as equações polinomiais de grau 4

Considerando o polinômio de quarto grau:

Analogamente mostra-se as relações de Girard para equações quárticas,

dadas da seguinte forma:

Exemplos

Resolução: Tome a função f(x) = a.x+b. Queremos encontrar “x” tal

que f(x)=0. Então:

2.4 – Equação polinomial do primeiro grau

Dada por . O valor de “x” é a raiz da equação procurada.

Teorema da decomposição, Iezzi (2005): Tal polinômio admite uma

única raiz.

Seja a função quadrática . Desejamos

encontrar “x” tal que f(x) = 0. Sejam x’ e x’’ as duas raízes da

equação quadrática, então seus valores são dados pela

seguinte fórmula:

2.5– Equação polinomial do segundo grau

Demonstração e exemplos

2.6 – Equação polinomial do terceiro grau (Breve histórico):

• Scipione Del Ferro (1465 – 1526): Sabia resolver equações do tipo:

Morreu antes de publicar seu feito científico, mas antes revelou seu segredo a

Antônio Maria Del Fior.

• Nicolo Fontana (Tartaglia – 1499 – 1557): Estudou a resolução de Fior e sabia

resolver as cúbicas do tipo:

•Disputa entre Fior e Tartaglia: Os 30 problemas que envolviam equações

cúbicas.

•Tartaglia vence a disputa.

•Girolamo Cardano (1501 – 1576) : Acreditava na insolubilidade das cúbicas.

•Estudo dos trabalhos de Tartaglia e o juramento de Cardano;

• A publicação da ars magna, de Cardano (1545);

2.6 – Equação polinomial do terceiro grau (Resolução):

Seja o polinômio tal que p(x) = 0. Então, de

acordo com o teorema fundamental da álgebra tal polinômio admite exatamente

3 raízes, podendo ser reais e/ou complexas. (Iezzi, 2005)

Fórmula de Cardano:

Onde:

O discriminante pode ser:

•Positivo: O polinômio admite uma raiz real e duas complexas conjugadas;

•Nulo: Admite uma raiz dupla e outra distinta;

•Negativo: Três raízes reais.

2.6 – Equação polinomial do terceiro grau (Resumo):

Caso >0, então utiliza-se a Fórmula de Cardano:

Caso =0, utiliza-se a fórmula:

(raiz dupla)

Obs: A terceira raiz real pode ser obtida pelo dispositivo de Brioft-Ruffini;

Caso <0, utiliza-se as fórmulas:

Onde:

Demonstração e exemplos

2.7– Equação polinomial do quarto grau:

• Lodovico Ferrari (Milão, 2 de fevereiro de 1522 — 5 de outubro de 1565): Era

discípulo de Girolamo Cardano;

• Ars Magna de Cardano: É citado o método de resolução das quárticas;

Forma geral (reduzida): Obtida tomando o polinômio de quarto grau:

com p(x) = 0. Então, de acordo com o

teorema fundamental da álgebra, tal polinômio admite quatro raízes.

• O método de Ferrari;

Tome a equação geral: . Fazemos a seguinte

substituição algébrica:

Originando a seguinte equação, na variável “y”:

Onde:

Considere a raiz desta equação tal que y = u + v + z. Então mostra-se que o

seguinte sistema de equações:

Pode ser resolvido fazendo .

2.7 – Equação polinomial do quarto grau:

2.7 – Equação polinomial do quarto grau:

Que é equivalente a resolver a seguinte equação cúbica, na variável “t”:

(Ver relações de Girard para polinômios

de 3º Grau).

Seja e duas raízes da equação acima. Então temos que e

. Precisamos verificar os sinais de u,v e z. Conhecendo o valor de

uma raiz, graças à equação , podemos estudar os sinais das outras

duas

raízes, já que o sinal da terceira depende do sinal das demais. Veja o quadro a

seguir:

2.7 – Equação polinomial do quarto grau:

Sinal de Sinal de Sinal de

+ + -

+ - +

- - -

- + -

Quadro 1: Estudo de sinal das raízes quadradas de u, v e z

Assim, as quatro raízes, na variável “x” serão dadas por:

Exemplos

2.8 – Equações polinomiais de grau superior a 4

• Questionamentos sobre a resolução da polinomial:

• O Teorema de Abel-Ruffini e a insolubilidade das equações quínticas e

superiores por meio de fórmulas algébricas.

Èvarist Galois (1811-1832)

•Nascido em Paris;

•Aos 15 anos tentou por duas vezes ingressar-se na Escola Politécnica, mas não

foi aceito devido a seu despreparo e às exigências impostas;

•Em 1829, ingressou-se na Escola Normal, onde se habilitaria para o cargo de

professor;

•Em 1830 foi preso, devido ao seu envolvimento com a Revolução de 1830;

•Morreu jovem aos 21 anos em um duelo, ao ter um caso amoroso com uma

mulher comprometida;

•Antes de morrer, escreveu o que sabia sobre a futura Teoria de Galois, um ramo

da álgebra abstrata;

2.8 – Equações polinomiais de grau superior a 4

• Journal de Mathématique: Publicações de Galois, por Joseph Liouville (1846);

• Publicação do teorema que afirma que todo polinômio nessas condições não

podem ser resolvidos por radicais.

• Uma das consequências deste importante teorema é que as equações de graus

inferior a cinco podem ser resolvidas por fórmulas expressas por radicais.

• Prova: pode ser encontrada em Moreira (1990);

• É consequência da Teoria de Galois;

Pode ser entendido da seguinte maneira:

1)Todo polinômio de grau n está associado ao grupo de Galois;

2) Uma equação polinomial de grau n é solúvel por radicais se, e somente se, o

seu grupo associado a esta equação for solúvel;

3) Estes grupos de polinômios podem ser entendidos como um tipo de estrutura

algébrica que está contida em grupos de permutações, denotadas por .

2.8 – Equações polinomiais de grau superior a 4

Algumas consequências deste teorema:

1) Se este grupo não for solúvel, então todos os grupos de polinômios

contidos nele também não serão solúveis, e, portanto, as equações

associadas a estes grupos não serão solúveis por radicais;

2) Se n < 5 , então todos os grupos de permutações são solúveis,

concluindo que todas as equações de grau “n < 5 “ são resolúveis por

radicais;

Capítulo III: Considerações Finais

Este trabalho procurou mostrar que:

• A sistematização dos critérios de resolução das equações polinomiais de

graus um, dois, três e quatro e também um breve comentário acerca das

equações de grau superior a quatro;

• Ampliar os conhecimentos do leitor quando da resolução destas

equações;

• Muitas pessoas desconhecem os métodos de resolução das equações

de grau maior que 2, ou talvez as considerem insolúveis;

• Apenas as equações de graus inferior ou igual a quatro podem ser

resolúveis através de fórmulas algébricas;

• Os métodos numéricos e computacionais;

•Tentativa de diversos matemáticos de utilizarem métodos análogos de

resolução das polinomiais de grau inferior a quatro nas de grau superior;

Questionamento:

A adoção de novas estratégias para a resolução de equações polinomiais

poderá um dia se tornar um modelo unificado que tornará o seu manuseio e

entendimento mais facilitado?

Capítulo III: Considerações Finais

REFERÊNCIAS

BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher,

2010

FERREIRA, José Ferreira. História das soluções das equações

por meio de radicais. p. 1-2. Disponível em:

http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22008/WellingtonJoseFerreira.p

df>. Acesso em: 25 jul. 2013.

IEZZI, Gerson. Equações polinomiais. In: IEZZI, Gerson.

Fundamentos de matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual,

2005. p. 101-148.

MOREIRA, Carlos Gustavo Tamm de Araujo. Um teorema sobre

solubilidade de equações polinomiais por radicais reais. Rio de

Janeiro, n. 12, 1990. Disponível em: <

http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/>. Acesso em: 25 jul. 2013.