Ukuran Penyebaran Data (Dispersi)
-
Upload
wien-aulia -
Category
Documents
-
view
579 -
download
39
description
Transcript of Ukuran Penyebaran Data (Dispersi)
UKURAN PENYEBARAN DATAPengertia
n Ukuran Penyebaran Data atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan merupakan ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya
Jenis Ukuran Penyebaran Data1. Jangkauan (Range = R); Jangkauan
atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar dengan nilai terkecil dari suatu data. a. Jangkauan data tunggal; bila
ada sekumpulan data tunggal X1, X2, …, Xn maka jangkauannya adalah
Min.Maks. XXRange
b. Jangkauan data berkelompok ; untuk data berkelompok jangkauan dapat ditentukan dengan dua cara yaitu dengan menggunakan titik atau nilai tengah dan menggunakan tepi kelas. 1. Jangkauan adalah selisih titik
tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.
2. Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah. 3. Jangkauan adalah selisih tepi atas nyata kelas tertinggi dengan tepi bawah nyata kelas terendah.
Pendapatan Pengusaha Kopi di Aceh Tengah
No. Interval Pendapatan Frekuensi
1 140 - 144 2
2 145 - 149 4
3 150 - 154 10
4 155 - 159 14
5 160 - 164 12
6 165 - 169 5
7 170 - 174 3
Jumlah 50
3. Tepi bawah kelas terendah = 139,5 4. Tepi atas kelas tertinggi = 174,5 5. Jangkauan = 172 – 142 = 30
6. Jangkauan = 174,5 – 139,5 = 35
1. Titik tengah kelas terendah = 142 2. Titik tengah kelas tertinggi = 172
2. Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas Q3 dan kuartil bawah Q1, dapat dirumuskan :
JK = Q3 – Q1
Jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah dari selisih kuartil atas Q3 dengan kuartil bawah Q1, dapat dirumuskan :
Qd = ½(Q3 – Q1)
Jangkauan antarkuartil dapat digunakan untuk menemukan adanya data pencilan (Outlier) yaitu data yang dianggap salah catat atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang, karena perlu diteliti ulang. Sehingga dapat diselesaikan dengan rumusan sebagai berikut :L = 1,5 x JK
BD = Q1 – LBL = Q3 + L
L = langkah Pertama
BD = Batas DalamBL = Batas Luar
Selidikilah apakah terdapat data pencilan dari data dibawah ini :
15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97
Contoh :
50Q jadi4,4
16(16)
4
1 1)(15
4
1Q 11
68Q jadi 12,4
48(16)
4
3 1)(15
4
3Q 33
Jangkauan Kuartil, JK = Q3 – Q1 =68 – 50 = 18
L = 1,5 x 18 = 27BD = 50 – 27 = 23BL = 68 + 27 = 95 Pada data diatas terdapat nilai 15 terendah dan 97 data tertinggi, sehingga nilai 15 kurang dari batas dalam yaitu 23 atau lebih dari batas luar yaitu 95. Dengan demikian nilai 15 dan 97 termasuk data pencilan oleh karena itu perlu datanya diteliti ulang. Adanya nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan salah dalam mencatat, salah dalam mengukur atau data dari kasus menyimpang.
3. Simpangan Rata-Rata (Average Deviation) Simpangan rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-simpanganya. Simpangan rata-rata dibedakan :1. Simpangan rata-rata data
tunggal
n
n
1iX
iX
SR
2. Simpangan rata-rata data berkelompok
if
Xi
Xi
fSR
Dimana :
= Nilai rata-ratan = Banyaknya data
SR = Simpangan rata-rata Xi = Data ke - iX
if = Banyaknya frekuensi data berkelompok
4. Simpangan Baku atau Standar Deviasi
n
n
1i
2Xi
X
s
1. Simpangan baku data tunggal
Simpangan baku adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat.
Dimana :
= Nilai rata-ratan = Banyaknya data
s2 = varians/ragam
Xi = Data ke - iX
if = Banyaknya frekuensi data berkelompok
s = simpangan baku
Contoh data tunggal :Suatu penelitian terhadap 8
peusahaan industri otomotif terhadap tingkat pengembalian investasinya, hasil penelitian dalam persen adalah sebagai berikut : 10,6 12,6 14,8 18,2 12,0 14,8 12,2 dan 15,6.Pertanyaan :1.Berapa rata-rata tingkat
pengembalian investasinya?2.Berapa deviasi rata-ratanya?3.Interpretasikan deviasi rata-
ratanya.
No. (Xi)
1 10,6 -3,25 3,25
2 12,6 -1,25 1,25
3 14,8 0,95 0,95
4 18,2 4,35 4,35
5 12,0 -1,85 1,85
6 14,8 0,95 0,95
7 12,2 -1,65 1,65
8 15,6 1,75 1,75
Jumlah 110,80 16
Rata-Rata 13,85 2
)Xi
(X Xi
X
Diselesaikan dengan menggunakan tabulasi
Diselesaikan dengan penguraian rumus simpangan rata-rata data tunggal
8
85,136,15...85,138,1485,136,1285,136,10
n
n
1iX
iX
SR
8
75,1...95,025,125,3SR
28
16SR
1. Rata-rata tingkat pengembalian = 13,85 atau sekitar 13,85%2. Simpangan Rata-rata atau deviasi rata-rata adalah 2 (2 %)
3. Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata adalah angka yang menunjukkan pengembalian investasi perusahaan otomotif secara simpangan rata-rata 2% pertahun dari rata-rata hitung pengembalian investasi sebesar 13,85%.
Jumlah Investasi Banyaknya
(Dalam Dollar) Pekerja
30 - 34 3
35 - 39 7
40 - 44 11
45 - 49 22
50 - 54 40
55 - 59 24
60 - 64 9
65- 69 4
Penelitian yang dilakukan terhadap dana investasi yang di investasikan per dua minggu oleh karyawan dalam rencana pembagian keuntungan, data sebagai berikut :
Contoh data berkelompok :
Xi
Xi
f)Xi
(X Xi
X Jumlah Investasi Jumlah Titik ∑Fi x Xi
(Dalam Dollar) Pekerja Tengah (X)
30 - 34 3 32 96 -19,0417 19,0417 57,1250
35 - 39 7 37 259 -14,0417 14,0417 98,2917
40 - 44 11 42 462 -9,0417 9,0417 99,4583
45 - 49 22 47 1034 -4,0417 4,0417 88,9167
50 - 54 40 52 2080 0,9583 0,9583 38,3333
55 - 59 24 57 1368 5,9583 5,9583 143,0000
60 - 64 9 62 558 10,9583 10,9583 98,6250
65- 69 4 67 268 15,9583 15,9583 63,8333
Jumlah 120 6125 687,5833
Rata-rata 51,04 5,7299
7299,5120
5833,687SR
Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata adalah angka yang menunjukkan pengembalian investasi dari dana yang di investasikan per 2 minggu, jadi pengembalian investasi sebesar $5,73 per minggunya
Contoh data tunggal menentukan simpangan baku:
Suatu penelitian terhadap 8 peusahaan industri otomotif terhadap tingkat pengembalian investasinya, hasil penelitian dalam persen adalah sebagai berikut : 10,6 12,6 14,8 18,2 12,0 14,8 12,2 dan 15,6.Diselesaikan dengan rumus simpangan baku
8
85,136,15...85,138,1485,136,1285,136,10
n
n
1iX
iX
s2222
2
8
75,1...95,025,125,3s
2222
8
0625,3...9025,05625,15625,10s
8
0600,42s
2575,5s
2929,2s
atau s2 = 5,2575
Jumlah Investasi
Jumlah Titik Titik
Tengahkuadrat
Jumlah kali Frek. dgn Titik Tgh
Jumlah kali Frek. dgn
Titik Tgh kudrat
(Dalam Dollar) PekerjaTengah
(Xi)X2 ∑Fi x Xi ∑Fi x Xi
2
30 - 34 3 32 1024 96 3072
35 - 39 7 37 1369 259 9583
40 - 44 11 42 1764 462 19404
45 - 49 22 47 2209 1034 48598
50 - 54 40 52 2704 2080 108160
55 - 59 24 57 3249 1368 77976
60 - 64 9 62 3844 558 34596
65- 69 4 67 4489 268 17956
Jumlah 120 6125 319345
1n
1ii
f
n
1ii
f/2)n
1ii
Xi
f(n
1i)X
i(f
s
2i
1120
120/6125319345s
2
119
2083,312630319345s
4268,56s
5117,7s atau s2 = 56,4268
5. Ragam (Variance) Ragam atau variance ukuran penyebaran/dispersi yang menjelaskan tingkat keterpencaran data dari serangkaian distribusi. Apakah data-data tersebut berkelompok disekitar nilai rata-ratanya atau terpencar secara tidak beraturan jauh dari nilai rata-ratanya. Untuk sampel variannya (varians sampel) disimbolkan dengan s2, sedangkan untuk populasi (varians populasi) disimbolkan dengan σ2 (baca : sigma).
a. Ragam (Variance) Data Tunggal Untuk seperangkat data X1, X2, X3, …, Xn (data tunggal) ragamnya dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
n
2Xi
Xs2
Untuk n > 30
1-n
2Xi
Xs2
Untuk n ≤ 30
Dimana :
= Nilai rata-ratan = Banyaknya data
s2 = varians/ragam
Xi = Data ke - iX
if = Banyaknya frekuensi data berkelompok
s = simpangan baku
c. Ragam (Variance) Gabungan Misalkan terdapat k buah sub sampel sebagai berikut :
- Sub sampel 1, ukuran n1 dengan ragam
23s
21s
- Sub sampel 2, ukuran n2 dengan ragam
2sk
- …………. , ………. ……. ……... - Sub sampel k, ukuran nk dengan ragam
- Sub sampel 3, ukuran n3 dengan ragam
22s
2 2 22 1 1 2 2 k k
1 2 k
(n 1)s (n 1)s ... (n 1)ss
(n n ... n ) kgab
212
1
(n 1)ss
(n k)gab
Dengan rumus adalah :
atau
Jika sub sampel-sub sampel tersebut digabung menjadi sebuah sampel berukuran n1 + n2 + … + nk = n, maka ragam gabungannya
6.Ukuran Dispersi Relatif Ukuran dispersi atau variasi yang sudah dipelajari adalah ukuran absolut, ukuran ini hanya dapat digunakan untuk melihat hasil penyimpangan-penyimpangan suatu nilai atau yang terdapat pada suatu kumpulan data, bukan untuk beberapa kumpulan data.Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara ukuran dispersi absolut dengan nilai rata-ratanya, dengan rumus sebagai berikut :
dispersi absolutdispersi relatif =
rata-rata
Ukuran-ukuran koefisien keragaman atau dispersi relatif adalah sebagai berikut :1. Koefisien Variasi (Keragaman) (KV)
Koefisien kergaman dapat dirumuskan :s
KV x 100%X
2. Variasi (Keragaman) Jangkauan (VR) Jangkauan keragaman dengan
rumus :
RVR x 100%
X3. Variasi (Keragaman)
Simpangan Rata-Rata (VSR) Simpangan rata-rata keragaman dapat dirumuskan :
SR
VSR x 100%X
4. Variasi (Keragaman) Kuartil (VQ) Quartil keragaman dapat
dirumuskan :
3 1
3 1
Q QVQ x 100%
Q Q
dQVQ x 100%
Me
5. Kemencengan atau Kecondongan Kemencengan atau kecondongan (Skewness) adalah ingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi.Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median dan modus yang tidak sama besarnya atau
MoMeX
Sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan dari pada yang ke kiri maka distribusi disebut condong ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri dari pada ke kanan maka distribusi disebut condong ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.
Berikut gambar kurva dari distribusi yang condong ke kanan (condong positif) dan condong ke kiri (condong negatif).
Kemencengan distribusi ke kanan
Kemencengan distribusi ke kiri
X Mo
Me X
Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi condong ke kanan atau condong ke kiri, dapat ditentukan berdasarkan metode-metode sebagai berikut :1. Koefisien Kemencengan
Pearson Koefisien kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien kemencengan Pearson dirumuskan :
X Mosk
s
Apabila secara teori didapatkan hubungan antar nilai pusat sebagai berikut :
Me)X3(MoX Maka rumus kemencengan di atas dapat diubah menjadi :
s
Me)-X3(sk
Nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka :
1.sk = 0; kurva memiliki bentuk simetris2.sk > 0; nilai-nilai terkonsentrasi pada
sisi sebelah kanan ( terletak di sebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva condong ke kanan atau condong positif.
3.sk < 0; nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva condong ke kiri atau condong negatif.
X
X
2. Koefisien Kemencengan Bowley Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemecengan Bowley dirumuskan : 3 2 2 1
B3 2 2 1
(Q Q ) (Q Q )sk
(Q Q ) (Q Q )
3 2 1B
3 1
Q 2Q Qsk
Q Q
atau
Dimana :
Bsk koefisien kemencengan Bowley
Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien Kemencengan Apabila nilai skB dihubungan dengan keadaan kurva, didapatkan :
1. Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1, maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara positif
2. Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1, maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara negatif
3. skB positif berarti distribusi menceng ke kanan
4. skB negatif berarti distribusi menceng ke kiri
5. skB = 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan skB > 0,30 menggambarkan kurva yang menceng berarti
Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Kurvanya dibedakan atas 3 yaitu :
5. Keruncingan (Kurtosis)
1.Leptokurtik; merupakan distribusi yang memiliki pucak relatif tinggi.
2.Platikurtik; merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar.
3.Mesokurtik; merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.
Bila distribusinya merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal. Perhatikan gambar dibawah ini
Leptokurtik
Platikurtik
Mesokurtik
Gambar : Keruncingan Kurva
Untuk mengetahui keruncingan kurva suatu distribusi, maka ukuran yang digunakan adalah : 1. Koefisien Keruncingan
Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan α4 (alpha 4). Dengan ketentuan sebagai berikut :1.Nilai lebih kecil dari 3 (< 3) maka
distribusinya adalah distribusi Platikurtik.
2.Nilai lebih besar dari 3 (3 >) maka distribusinya adalah distribusi Leptokurtik.
3.Nilai sama dengan 3 (= 3) maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik.
Untuk mencari nilai keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok : 1. Untuk data tunggal
4
4
4 s
)X(Xn1
α
2. Untuk data tunggal
4
4
4 s
f)X(Xn1
α