UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS Iistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/metnum/Penyelesaian Soal UAS...
Transcript of UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS Iistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/metnum/Penyelesaian Soal UAS...
ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM
PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017 hlm.1dari8
Istiarto–http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/–istiarto@
ugm.ac.id
UJIANAKHIRSEMESTERMETODENUMERISI
DR.IR.ISTIARTO,M.ENG.|KAMIS,8JUNI2017|OPENBOOK|150MENIT
PETUNJUK1. Saudaratidakbolehmenggunakankomputeruntukmengerjakansoalujianini.2. Tuliskanurutan/cara/formulayangSaudarapakaiuntukmendapatkanjawaban.
Janganhanyamenuliskantabelangkajawaban.
SOAL1[CP:A.1,A.2,A.3,K.1;BOBOTNILAI:25%]Tabeldangambardibawahiniadalahelevasimukatanahdisuatutebing.Jarak,x[m] 10.3 15.4 21.7Elevasi,z[m] 172.0 171.2 168.2
Caridantemukankurvapolinomialkuadratik(second-orderpolynomial)melewatiketigatitikdatatersebutdenganmetode(a)interpolasiLagrangedan(b)interpolasiNewton.Buattabelsepertidibawahiniberdasarkankurvapolinomialtersebut.Jarak,x[m] Elevasi,z[m]
(MetodeLagrange)Elevasi,z[m](MetodeNewton)
10.3 172.0 172.013.15 … …16 … …18.85 … …21.7 168.2 168.2
PENYELESAIANPolinomialkuadratikyangmerupakankurvaparabolikmelewatiketigatitikdatapadasoalini,denganmemakaimetodeLagrange,dinyatakandalampersamaanberikut:𝑧 = 𝑓$ 𝑥 = 𝐿' 𝑥 𝑓 𝑥' + 𝐿) 𝑥 𝑓 𝑥) + 𝐿$ 𝑥 𝑓 𝑥$
168168.5169
169.5170
170.5171
171.5172
172.5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Elevasi,z[m]
Jarak,x [m]
ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM
hlm.2dari8 PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017
Istiarto–http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/–istiarto@
ugm.ac.id
𝑧 = 𝑓$ 𝑥 =𝑥 − 𝑥)𝑥' − 𝑥)
𝑥 − 𝑥$𝑥' − 𝑥$
𝑓 𝑥' +𝑥 − 𝑥'𝑥) − 𝑥'
𝑥 − 𝑥$𝑥) − 𝑥$
𝑓 𝑥) +𝑥 − 𝑥'𝑥$ − 𝑥'
𝑥 − 𝑥)𝑥$ − 𝑥)
𝑓 𝑥$
𝑧 = 𝑓$ 𝑥 =𝑥 − 15.4
10.3 − 15.4𝑥 − 21.7
10.3 − 21.7172 +
𝑥 − 10.315.4 − 10.3
𝑥 − 21.715.4 − 21.7
171.2
+𝑥 − 10.3
21.7 − 10.3𝑥 − 15.4
21.7 − 15.4168.2
JikamemakaimetodeNewton,makapersamaankuadratikyangmelewatiketigatitikdatapadasoaliniadalah:𝑧 = 𝑓$ 𝑥 = 𝑏' + 𝑏) 𝑥 − 𝑥' + 𝑏$ 𝑥 − 𝑥' 𝑥 − 𝑥)
𝑏' = 𝑓 𝑥'
𝑏) = 𝑓 𝑥), 𝑥' =𝑓 𝑥) − 𝑓 𝑥'
𝑥) − 𝑥'
𝑏$ = 𝑓 𝑥$, 𝑥), 𝑥' =𝑓 𝑥$, 𝑥) − 𝑓 𝑥), 𝑥'
𝑥$ − 𝑥'=
1𝑥$ − 𝑥'
𝑓 𝑥$ − 𝑓 𝑥)𝑥$ − 𝑥)
−𝑓 𝑥) − 𝑓 𝑥'
𝑥) − 𝑥'
Koefisienb0,b1,danb2dapatdiperolehdenganhitungantabulasidibawahini.
i x z=f(xi)Langkahhitungan ke-1 ke-2
0 10.3 172 -0.1569 -0.0280 ®b0,b1,b21 15.4 171.2 -0.4762 2 21.7 168.2
Dengandemikian,persamaankuadratikyangmelewatiketigatitikdataadalah:𝑧 = 𝑓$ 𝑥 = 172 − 0.1569 𝑥 − 10.3 − 0.0280 𝑥 − 10.3 𝑥 − 15.4
Denganduapersamaanpolinomialkuadratiktersebut,makatabelpadasoaldapatdilengkapimenjadisebagaiberikut:
Jarak,x[m] Elevasi,z[m](MetodeLagrange)
Elevasi,z[m](MetodeNewton)
10.3 172.0 172.013.15 171.7 171.716 171.0 171.018.85 169.8 169.821.7 168.2 168.2
SOAL2[CP:A.1,A.2,A.3,K.1;BOBOTNILAI:25%]TebingpadaSoal1akandipotongmengikutigarislurusyangmenghubungkantitik(10.3,172.0)ketitik(21.7,168.2).GunakantabelhasilinterpolasipadaSoal1beserta(a)metodeintegrasiKuadraturGaussdan(b)metodeintegrasiSimpson1/3untukmenghitungdanmenemukanvolumegaliantanah.
PENYELESAIANProfilmukatanahditebingpadaSoal1dapatdigambardenganmemakaipersamaanpolinomialyangmerupakankurvainterpolasiketigatitikdatamukatanah.Gambarberikutiniadalahhasilplotkurvainterpolasimelewatiketigatitikdata.Garisputus-putuspadagambaradalahprofilmukatanahsetelahtebingdipotong.Volumegaliantanahadalahvolumetanahdiantaraprofilmukatanahawaldanprofilmukatanahsetelahtebingdipotong.Jikalebartebingtegaklurusbidanggambaradalah1meter,makavolume
ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM
PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017 hlm.3dari8
Istiarto–http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/–istiarto@
ugm.ac.id
tanahgaliandapatdiketahuidenganmenghitungselisihluasdibawahprofilmukatanahawaldanluasdibawahprofilmukatanahsetelahpemotongantebing.Luasdibawahprofilmukatanahdihitungdengancaraintegrasinumeris.
IntegrasiNumerisMetodeKuadraturGauss.Dalammetodeini,variabelxdiubahmenjadivariabelxd.Hubungankeduavariabeladalahsebagaiberikut:
𝑥 =𝑏 + 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 𝑥9
2
d𝑥 =𝑏 − 𝑎2
d𝑥9
Dalamhubungandiatas,adanbadalahbatasintegrasi,yaitua=10.3danb=21.7.DenganmemakaipersamaankuadratikyangdiperolehdariinterpolasimetodeNewton,makaluasdibawahprofilmukatanahtebingdihitungdenganintegrasinumerisberikut:
𝑥 =21.7 + 10.3 + 21.7 − 10.3 𝑥9
2= 16 + 5.7𝑥9
d𝑥 =𝑏 − 𝑎2
d𝑥9 = 5.7d𝑥9
172 − 0.1569 𝑥 − 10.3 − 0.0280 𝑥 − 10.3 𝑥 − 15.4 d𝑥$).<
)'.=
= 172 − 0.1569 16 + 5.7𝑥9 − 10.3)
>)
− 0.0280 16 + 5.7𝑥9 − 10.3 16 + 5.7𝑥9 − 15.4 5.7d𝑥9
= 𝑓 𝑥9 = −1 3 + 𝑓 𝑥9 = 1 3 = 979.2801 + 966.7759
= 1946.0560[m$]
Luastanahdibawahprofilmukatanahsetelahdipotongdapatdihitungdenganmudahkarenabentukbangunprofiltanahtersebutadalahtrapesium.
168
168.5
169
169.5
170
170.5
171
171.5
172
172.5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Elevasi,z[m]
Jarak,x [m]
mukatanahawal
ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM
hlm.4dari8 PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017
Istiarto–http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/–istiarto@
ugm.ac.id
Luastrapesium = 21.7 − 10.3 172 + 168.2 2 = 1939.14[m$]
Dengandemikian,volumegaliantanahpersatuanlebartegaklurusbidanggambaradalah:Vol. = 1946.0560 − 1939.14 = 6.9160[m=/m]
IntegrasiNumerisMetodeSimpson1/3.Tabelkoordinattitik-titikpadapenyelesaianSoal1memiliki5titikberjarakseragam.MetodeintegrasiSimpson1/3dapatditerapkanuntukmenghitungluasdibawahprofilmukatanahtebing.MenurutmetodeSimpson1/3,luasatauintegraldibawahkurvaadalah:
𝐼 = 𝑓 𝑥P
Q
d𝑥 =𝑏 − 𝑎6
𝑓 𝑎 + 4𝑓𝑎 + 𝑏2
+ 𝑓 𝑏 =∆𝑥3
𝑓 𝑎 + 4𝑓𝑎 + 𝑏2
+ 𝑓 𝑏
Hitungandisajikanpadatabeldibawahini.i x f(x) Dx I0 10.3 172.0 1 13.15 171.7 2.85 978.44332 16 171.0 3 18.85 169.8 2.85 967.61334 21.7 168.2 1946.0566
Volumegaliantanahpersatuanlebartegaklurusbidanggambaradalah:Vol. = 1946.0566 − 1939.14 = 6.9166[m=/m]
SOAL3[CP:A.1,A.2,A.3,K.1;BOBOTNILAI:25%]Kecepatanlajukeretaapidalam8detikpertamasejaksaatmulaibergerakdariposisiberhentidinyatakandenganpersamaanmatematisdibawahini:
𝑣 =d𝑥d𝑡
= 5𝑒'.VW − 0.8𝑥
Dalampersamaantersebut,vadalahkecepatanlajukeretaapidalamsatuanmeterperdetik,tadalahwaktudalamselang0s.d.8detik,danxadalahjarakdarititikawaldalamsatuanmeter.Hitunglahposisikeretaapidarititikawal(x[m])setiapselang2detik(t=0,2,4,6,8[s])denganmenggunakan(a)metodeRalston(2nd-orderRunge-Kutta)dan(b)metodepoligon(modifiedHeun).
PENYELESAIANPersamaankecepatanlajukeretaapimerupakanpersamaandiferensialbiasa(ODE),fungsiwaktudanjarak:
𝑣 =d𝑥d𝑡
= 𝑓 𝑡, 𝑥 = 5𝑒'.VW − 0.8𝑥(padasaatawal:𝑡 = 0, keretaberhenti:𝑥 = 0)
PersamaantersebutdapatdiselesaikansecaranumerisuntukmendapatkanjaraksebagaifungsiwaktudenganmenggunakanantaralainmetodeRalstonataumetodepoligon.MetodeRalston.MetodeinitermasuksalahsatumetodeRunge-Kuttaordeduadengannilai𝑎$ = 2 3,sehingga𝑎) = 1 3dan𝑝) = 𝑞)) = 3 4.Dengannilai-nilaiini,makapersamaandiferensialdiatasdiselesaikanuntukmendapatkanjarakxsebagaiberikut:
𝑥bc) = 𝑥b + 𝜙bℎ = 𝑥b +)=𝑘) +
$=𝑘$ ℎ
ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM
PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017 hlm.5dari8
Istiarto–http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/–istiarto@
ugm.ac.id
𝑘) = 𝑓 𝑡b, 𝑥b
𝑘$ = 𝑓 𝑡b +=gℎ, 𝑥b +
=gℎ𝑘)
Dalampersamaandiatas,hadalahlangkahhitung,yaituselangwaktuhitung,ℎ = ∆𝑡 =1detik.TabeldibawahinimenyajikanlangkahhitunganpenyelesaianpersamaandiferensialdenganmetodeRalston.i ti xi k1 ti+¾h xi+¾hk1 k2 fi xi+10 0 0 5 1.5 7.50 4.59 4.72 9.451 2 9.45 6.03 3.5 18.50 13.97 11.33 32.102 4 32.10 11.26 5.5 49.00 39.02 29.76 91.633 6 91.63 27.12 7.5 132.32 106.75 80.21 252.054 8 252.05
Metodepoligon.Persamaandiferensialbiasakecepatanlajukeretaapidiselesaikanuntukjaraksebagaifungsiwaktudalamduatahapmengikutipersamaanberikut:
𝑥bchi = 𝑥b + 𝜙bℎ2= 𝑥b + 𝑓 𝑡b, 𝑥b
ℎ2= 𝑥b + 𝑣b
ℎ2
𝑥bc) = 𝑥b + 𝜙bchiℎ = 𝑥b + 𝑓 𝑡bchi, 𝑥bchi ℎ = 𝑥b + 𝑣bchiℎ
Hitungandisajikandalamtabeldibawahini.i ti xi vi ti+½ xi+½ vi+½ xi+10 0 0 5 1 5 4.24 8.491 2 8.49 6.80 3 15.29 10.18 28.842 4 28.84 13.87 5 42.71 26.74 82.333 6 82.33 34.57 7 116.89 72.06 226.454 8 226.45
SOAL4[CP:A.1,A.2,A.3,K.1;BOBOTNILAI:25%]Suatupersamaandiferensialparsialeliptik(PersamaanLaplace)yangmenggambarkandistribusienergipotensialdinyatakandalambentukdibawahini:
𝜕$𝜙𝜕𝑥$
+𝜕$𝜙𝜕𝑦$
= 0
Dalampersamaantersebutfadalahtinggienergipotensialdalamsatuanmeter,xdanyadalahkoordinatdalamsatuanmeter.Persamaandiatasberlakudi0£x£3dan0£y£3.Gunakanteknikpenyelesaianbedahingga(finitedifferenceapproximation)untukmenghitungtinggienergipotensialdisetiapselangDx=Dy=1[m]apabiladiketahuisyaratbatas:f(0,y)=20[m],f(3,y)=40[m],f(x,0)=30[m],f(x,3)=60[m].
f=20[m
]
y[m] f=60[m]
f=40[m
]
0 1 2
2
3
1
30 x[m]
f=30[m]
ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM
hlm.6dari8 PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017
Istiarto–http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/–istiarto@
ugm.ac.id
PENYELESAIANTinggipotensialdihitungdi4titikhitung,yaitu𝜙),), 𝜙$,), 𝜙),$, 𝜙$,$(lihatgambar).Denganteknikbedahingga(finitedifferenceapproximation),disetiaptitikdapatdisusunpersamaanyangmengaitkantinggipotensialdisuatutitikdengantinggipotensialdikeempattitiktetangganya.
20 + 𝜙$,) + 30 + 𝜙),$ − 4𝜙),) = 0
𝜙),) + 40 + 30 + 𝜙$,$ − 4𝜙$,) = 0
20 + 𝜙$,$ + 𝜙),) + 60 − 4𝜙),$ = 0
𝜙),$ + 40 + 𝜙$,) + 60 − 4𝜙$,$ = 0
Denganpengaturanletaksuku-sukupadapersamaandiatas,makadiperoleh4persamaanaljabardibawahini:−4𝜙),) + 𝜙$,) + 𝜙),$ + 0𝜙$,$ = −50
𝜙),) − 4𝜙$,) + 0𝜙),$ + 𝜙$,$ = −70
𝜙),) + 0𝜙$,) − 4𝜙),$ + 𝜙$,$ = −80
0𝜙),) + 𝜙$,) + 𝜙),$ − 4𝜙$,$ = −100
Keempatpersamaandiatasdapatdituliskandalambentukmatriks.
−4 1 1 01 −4 0 11 0 −4 10 1 1 −4
𝜙),)𝜙$,)𝜙),$𝜙$,$
=
−50−70−80−100
EmpatpersamandiatasdapatdiselesaikandenganberbagaimetodepenyelesaianpersamaanaljabaryangtelahSaudarapelajaripadapertemuansebelumUTS.Diujian,Saudaradapatmemakaimetodeiteratif,misalmetodeJacobi,Gauss-Seidel,atauSOR.DibawahinidisajikantabelhitunganiterasimetodeJacobi.
iterasi,n f1,1 f2,1 f1,2 f2,2 Dmaks0 0 0 0 0 -1 12.5 17.5 20 25 252 21.875 26.875 29.375 34.375 9.375⋮ 19 31.250 36.250 38.750 43.750 7.15´10-0520 31.250 36.250 38.750 43.750 3.58´10-05
DalamhitunganiterasimetodeJacobi,setiappersamaandituliskandalambentuk:
𝜙),)mc) =−50 − 𝜙$,)m − 𝜙$,)m
−4=50 + 𝜙$,)m + 𝜙$,)m
4
𝜙$,)mc) =−70 − 𝜙),)m − 𝜙$,$m
−4=70 + 𝜙),)m + 𝜙$,$m
4
𝜙),$mc) =−80 − 𝜙),)m − 𝜙$,$m
−4=80 + 𝜙),)m + 𝜙$,$m
4
𝜙$,$mc) =−100 − 𝜙$,)m − 𝜙),$m
−4=100 + 𝜙$,)m + 𝜙),$m
4
f=20[m
]
0 1 2 3 x[m]0
1
2
3y[m]
f=40[m
]
f=60[m]
f=30[m]
ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM
PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017 hlm.7dari8
Istiarto–http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/–istiarto@
ugm.ac.id
Padaawaliterasi,tinggipotensialdisetiaptitikhitungdiberinilainol,𝜙b,n' = 0.Setelah20kaliiterasi,diperolehhitungankonvergenkenilai-nilaitinggipotensidisetiaptitik,yaitu𝜙),) = 31.25 m , 𝜙$,) = 36.25 m , 𝜙),$ = 38.75 m , 𝜙$,$ = 43.75 m .Dalamujian,Saudarabolehhanyamelakukanhitungansampai2atau3kaliiterasi.
-o0o-
ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM
hlm.8dari8 PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017
Istiarto–http://istiarto.staff.ugm
.ac.id/–istiarto@
ugm.ac.id