UIVERZITET U NIŠU - pmf.ni.ac.rs · Cetvrti deo rada se odnosi naklasu sluˇcajnih procesa koji su...

UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

PRIMENA GRANIČNIH TEOREMA TEORIJE

VEROVATNOĆE U NEŽIVOTNOM OSIGURANJU

MASTER RAD

MENTOR: STUDENT:

Prof. dr M;ヴｷﾃ; MｷﾉﾗジWｷJ Gorana PWデﾆﾗｷJ

NIŠ, FEBRUAR 2014.

Sadrzaj

Uvod 2

1 Osnovni pojmovi i rezultati 3

1.1 Osnovni modeli u nezivotnom osiguranju . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Relevantni pojmovi teorije verovatnoce . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Normalna aproksimacija raspodele ukupne stete 16

2.1 Granicne teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Ocena premija nezivotnog osiguranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Preciznost normalne aproksimacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Granicne teoreme za slucajna kretanja 31

3.1 Konvergencije slucajnog niza sa slucajnimindeksima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Konvergencija momenata u strogom zakonu i centralnoj granicnojteoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Procesi obnavljanja i slucajna kretanja u nezivotnom osiguranju 44

4.1 Procesi obnavljanja. Uvodni primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Procesi obnavljanja. Definicija i opste

cinjenice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 Teoreme obnavljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Granicne teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5 Ocekivanje i disperzija ukupne stete u modelu obnavljanja . . . . . . 594.6 Klasicni principi izracunavanja premija . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.7 Aproksimacija raspodele ukupne stete

pomocu centralne granicne teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Zakljucak 68

Literatura 69

Biografija 71

1

Uvod

Osiguravajuce drustvo se sklapanjem ugovora o osiguranju obavezuje da ce nadokna-diti stete nad osiguranim predmetima, ukoliko dodje do steta. Zauzvrat, osiguranikplaca osiguravajucem drustvu odredjenu premiju c, kao nadoknadu za preuzimanjerizika. Postavlja se pitanje kako odrediti visinu premije, tako da kompanija izbegnebankrot. Zato je potrebno modelirati broj nastalih steta u odredjenom periodu, kaoi ukupnu stetu, sto je najbitiniji zadatak teorije nezivotnog osiguranja. Osnovnimodeli u nezivotnom osiguranju se baziraju, pre svega, na primeni stohastickihprocesa.

Tema ovog rada je primena granicnih teorema teorije verovatnoce u nezivotnomosiguranju. Rad se sastoji iz cetiri tematske celine.

U prvom delu su navedeni neki relevantni pojmovi teorije verovatnoce koji cebiti korisceni u daljem radu, kao i osnovni modeli broja nastalih steta i ukupne stetenastale u odredjenom periodu. Najpoznatiji model je Cramer-Lundbergov modelu okviru kojeg se broj steta u portfoliju nezivotnog osiguranja opisuje Poissonovimprocesom. Zbog toga je definisan Poissonov proces i date su neke njegove osobine.

Centralna granicna teorema predstavlja vazan rezultat u teoriji verovatnoce. Udrugoj celini ovog rada dato je uopstenje centralne granicne toreme za slucaj kada jebroj sabiraka u sumi slucajna promenljiva. Ova torema je od bitnog znacaja zato stobroj nastalih steta u okviru portfolija osiguranja u odredjenom periodu predstavljaslucajnu velicinu. Takodje je data ocena premije nezivotnog osiguranja i navedenisu konkretni primeri za odredjivanje premije c, kao i stope rezerve θ.

U narednom delu navedene su granicne teoreme koje daju odnose raznih vrstakonvergencija slucajnih nizova, a koje su bitne za sam rad.

Cetvrti deo rada se odnosi na klasu slucajnih procesa koji su poznati pod nazivomprocesi obnavljanja. Kako je Poissonov proces specijalan slucaj procesa obnavljanja,uvodjenjem procesa obnavljanja za opisivanje broja steta u portfoliju osiguranja sedobija opstiji model–model obnavljanja. U ovoj celini su navedeni osnovni pojmovii uvodni primeri u vezi sa procesima obnavljanja, dokazane su neke teoreme obna-vljanja, kao i strogi zakon velikih brojeva i centralna granicna teorema u modeluobnavljanja. Jedno od osnovnih pitanja u nezivotnom osiguranju jeste kako odreditiadekvatnu premiju u cilju pokrivanja gubitka. Rezultati dobijeni granicnim teore-mama za procese obnavljanja i proces ukupne stete iskorisceni su za odredjivanjepremije.

Posebno zahvaljujem mentoru, dr Mariji Milosevic, na podrsci i pomoci pri izradirada.

2

Glava 1

Osnovni pojmovi i rezultati

U ovoj glavi ce najpre biti predstavljeni osnovni elementi teorije nezivotnog osigu-ranja. U tom smislu ce biti reci o dva najpoznatija modela u okviru ove teorije.Jedan od njih se bazira na primeni Poissonovog procesa, a drugi na primeni procesaobnavljanja, sto je ujedno i motivacija za razmatranje u okviru narednih poglavlja.Nakon toga ce biti navedeni neki pojmovi i rezultati iz teorije verovatnoce koji ceeksplicitno biti korisceni u nastavku.

1.1 Osnovni modeli u nezivotnom osiguranju

Teorija rizika je sinonim za primenjenu matematiku u nezivotnom osiguranju. Onase bavi modeliranjem broja steta nastalih nad osiguranim predmetima, kao i odre-djivanjem visine premije koju bi osiguravajuca kompanija trebalo da naplati odosiguranika prilikom sklapanja ugovora o osiguranju kako bi izbegla bankrot.

Polazna pretpostavka svih modela jeste da je portfolio osiguranja homogen. Podpojmom homogenog portfolija se podrazumeva portfolio u cijem sastavu se nalazepolise koje se odnose na slicne rizicne dogadjaje, kao sto su polise osiguranja odre-djenog tipa vozila, polise osiguranja od pozara i slicno. Takva pretpostavka garan-tuje da iznosi steta koje ce potencijalno nastati nad osiguranim stvarima imaju”priblizno” istu raspodelu.

Temelj moderne teorije rizika postavio je svedski aktuar Filip Lundberg 1903.godine. Lundbergov model je osnovni model u teoriji rizika koji je pogodan zaopisivanje osobina homogenog portfolija osiguranja.

Neka je (Ω, F , P ) prostor verovatnoca i neka su sve slucajne promenljive islucajni dogadjaji definisani na datom prostoru.

Osnovne pretpostavke Lundbergovog modela su:

(i) Stete nad osiguranim predmetima nastaju u slucajnim trenucima Ti, pri cemuje 0 = T0 < T1 ≤ T2 ≤ T3 ≤ ... Slucajna promenljiva Ti predstavlja trenutaknastanka i-te stete, i cesto se naziva dolazno vreme i-te stete.

3

Osnovni pojmovi i rezultati 4

(ii) Iznos stete nastale u trenutku Ti je Xi, pri cemu su Xi, i ≥ 1 nenega-tivne, nezavisne slucajne promenljive sa istom raspodelom (skraceno ”iid”-independent identically distributed).

(iii) Niz iznosa steta Xi, i ≥ 1 i niz trenutaka njihovog nastanka Ti, i ≥ 1 suuzajamno nezavisni.

Drugom pretpostavkom je postignuta homogena struktura portfolija osiguranja,dok treca pretpostavka cini model jednostavnijim za rad.

Definicija 1.1.1 Slucajan proces N = N(t), t ≥ 0 se naziva proces prebroja-vanja ako zadovoljava sledece osobine:

(i) N(0) = 0,

(ii) N(t) ∈ 0, 1, 2, ..., t ≥ 0,

(iii) ∀t, h ≥ 0, N(t) ≤ N(t+ h).

Slucajan proces N , koji je definisan na ovaj nacin, pogodan je za opisivanje brojarealizacija nekih slucajnih dogadjaja tokom vremena. U tom smislu se prirastajN(t)−N(s), t > s ≥ 0 moze interpretirati kao broj dogadjaja koji su se realizovaliu vremenskom intervalu (s, t].

U osiguranju je od znacaja broj steta nastalih u odredjenom periodu. Zbog togaproces prebrojavanja predstavlja jedan od centralnih pojmova u teoriji osiguranja.

Definicija 1.1.2 Proces broja nastalih steta se definise kao

N(t) = Cardi ≥ 1 : Ti ≤ t, t ≥ 0.

Proces broja nastalih steta je proces prebrojavanja na intervalu [0,+∞), a N(t)predstavlja broj steta koje su se realizovale do trenutka t, zakljucno sa njim.

Od posebnog znacaja je proces ukupne stete S = SN(t), t ≥ 0, koji sedefinise kao

S0 = 0 s.i., SN(t) =

N(t)∑

i=1

Xi =+∞∑

i=1

XiI[0,t](Ti), t ≥ 0,

pri cemu je

I[0,t](Ti) =

1, Ti ∈ [0, t],0, Ti > t.

Osnovni zadaci teorije rizika su:

(i) odredjivanje ”dovoljno” realnih, ali jednostavnih modela za N i S, sto po-drazumeva odredjivanje raspodele iznosa steta Xi, kao i raspodele trenutakanastanka steta Ti;

(ii) odredjivanje teorijskih osobina slucajnih procesa N i S, kao sto su raspodele,momenti, asimptotsko ponasanje i priroda njihove zavisnosti.


Jedan od osnovnih zadataka teorije rizika je modeliranje broja steta koje ceosiguravajuca kompanija imati obavezu da nadoknadi u nekom periodu. Ne postojiuniverzalni model broja steta, a samim tim ni univerzalni model ukupne stete uportfoliju nezivotnog osiguranja. Najpoznatiji i najjednostavniji model u teorijinezivotnog osiguranja se bazira na Poissonovom procesu, i to je Cramer-Lundbergovmodel o kome ce biti reci u nastavku ovog poglavlja.

Poissonov proces ima veoma znacajnu ulogu u primenama teorije verovatnocei slucajnih procesa. U svom radu iz 1903. godine Lundberg je pretpostavio daje proces broja steta upravo Poissonov proces. Tridesetih godina dvadesetog veka,Herald Cramer je razvio teoriju kolektivnog rizika u kojoj su proces ukupne stete Si vremena nastanka steta (dolazna vremena) Ti generisani Poissonovim procesom.

U nastavku ce za proizvoljnu funkciju f : [0,+∞) → [0,+∞), biti koriscenaoznaka f(s, t] = f(t)− f(s), 0 ≤ s < t < +∞.

Takodje, ako je M = 0 s.i., tada se smatra da M ima Poissonovu raspodelu saparametrom 0 (M : P(0)).

Definicija 1.1.3 Slucajan proces N = N(t), t ≥ 0 je Poissonov proces akozadovoljava sledece uslove:

1. N(0) = 0 s.i.,

2. za svako ti, i = 1, 2, ..., n, n ≥ 1, pri cemu je 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn,prirastaji N(ti−1, ti], i = 1, 2, ..., n su uzajamno nezavisni,

3. postoji neopadajuca, neprekidna s desna funkcija µ : [0,+∞) → [0,+∞),pri cemu je µ(0) = 0, tako da prirastaji N(s, t] procesa N imaju P(µ(s, t])raspodelu, gde je 0 ≤ s < t < +∞,

4. sa verovatnocom 1, trajektorije N(t, ω), t ≥ 0, ω ∈ Ω procesa N su nepreki-dne s desna za svako t ≥ 0 i imaju limes sa leve strane u svakoj tacki t > 0.

Za slucajan proces koji ima osobinu 4. Definicije 1.1.3, kaze se da ima cadlagtrajektorije.

Funkcija µ se naziva funkcija srednje vrednosti Poissonovog procesa N .Definicija 1.1.3 ukazuje na to da je za odredjivanje raspodele Poissonovog procesaN dovoljno odrediti funkciju srednje vrednosti µ. U nastavku ce biti odredjenekonacno-dimenzionalne raspodele Poissonovog procesa.

Na osnovu teoreme Kolmogorova, raspodela slucajnog procesa je odredjena fami-lijom konacno-dimenzionalnih funkcija raspodela. U slucaju Poissonovog procesa,za 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn < +∞, n-dimenzionalni zasek (N(t1), N(t2), ..., N(tn))se moze predstaviti u obliku

(N(t1), N(t2), ..., N(tn)) = (N(t1), N(t1) +N(t1, t2], ...,n∑

i=1

N(ti−1, ti]).


Sve komponente slucajnog vektora sa desne strane poslednje jednakosti imaju Poi-ssonovu raspodelu, pa na osnovu nezavisnosti prirastaja sledi da su konacno-dimenzi-onalne raspodele Poissonovog procesa, za svaki ceo broj ki ≥ 0, i = 1, 2, ..., n, oblika

PN(t1) = k1, N(t2) = k1 + k2, ..., N(tn) = k1 + k2 + ...+ kn= PN(t1) = k1, N(t1, t2] = k2, ..., N(tn−1, tn] = kn

= e−µ(t1)(µ(t1))

k1

k1!e−µ(t1,t2]

(µ(t1, t2])k2

k2!. . . e−µ(tn−1,tn]

(µ(tn−1, tn])kn

kn!

= e−µ(tn)(µ(t1))

k1(µ(t1, t2])k2 . . . (µ(tn−1, tn])

kn

k1!k2! . . . kn!.

Cinjenica da je lako odrediti konacno-dimenzionalne raspodele Poissonovog proce-sa je jedan od razloga njegove primene u teoriji nezivotnog osiguranja.

Najpoznatiji Poissonov proces je homogen Poissonov proces sa intenzitetom λ >0, kod koga je funkcija srednje vrednosti µ(t) = λt, t ≥ 0.

Definicija 1.1.4 Slucajan proces N = N(t), t ≥ 0 je homogen Poissonovproces sa intenzitetom λ > 0 ako zadovoljava sledece uslove:

1. N(0) = 0 s.i.,

2. za svako ti, i = 1, 2, ..., n, n ≥ 1, pri cemu je 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn,prirastaji N(ti−1, ti], i = 1, 2, ..., n su uzajamno nezavisni i stacionarni,

3. prirastaji N(s, t] procesa N imaju P(λ(t − s)) raspodelu, gde je 0 ≤ s < t <+∞,

4. ima cadlag trajektorije.

Stacionarnost prirastaja podrazumeva da, za svako 0 ≤ s < t i h > 0, vazisledeca jednakost u raspodeli

N(s, t](r)= N(s+ h, t+ h] : P(λ(t− s)).

U opstem slucaju se kaze da Poissonov proces N ima funkciju intenziteta λ(t)ako, za svako 0 ≤ s < t < +∞, prirastaj funkcije srednje vrednosti µ(s, t] imareprezentaciju

µ(s, t] =

∫ t

s

λ(u)du,

za neku nenegativnu, merljivu funkciju λ(t), t ≥ 0. U tom slucaju, µ je neprekidnafunkcija.

U kontekstu osiguranja, ako je proces broja steta N Poissonov proces sa inte-nzitetom λ, to znaci da se stete javljaju, u proseku, uniformno tokom vremena. Usuprotnom, ako je N Poissonov proces sa funkcijom intenziteta λ(t), onda to znacida se stete javljaju sa razlicitom ucestaloscu u razlicitim vremenskim intervalima, aucestalost je odredjena funkcijom intenziteta. Modeliranje broja steta nehomogenim


Poissonovim procesom sa funkcijom intenziteta λ(t) se moze opravdati postojanjemsezonskih efekata. Na primer, podaci pokazuju da se vise automobilskih nesrecadogadja u zimskom periodu u odnosu na ostatak godine.

Definicija 1.1.5 Neka je Wi, i ≥ 1 niz iid pozitivnih slucajnih promenljivih.Tada je slucajno kretanje

T0 = 0, Tn = W1 + ...+Wn, n ≥ 1,

niz obnavljanja, a proces prebrojavanja

N(t) = Cardi ≥ 1 : Ti ≤ t, t ≥ 0,

je odgovarajuci brojacki proces obnavljanja.

Niz Wi, i ≥ 1 se naziva niz medjudolaznih vremena procesa N .Neka je nadalje N = N(t), t ≥ 0 homogen Poissonov proces sa intenzitetom

λ > 0. Neka je 0 = T0 < T1 ≤ T2 ≤ . . . niz dolaznih vremena koji odgovara procesuN . Osnovna ideja je definisati homogeni Poissonov proces pomocu dolaznih vre-mena, odnosno uspostaviti vezu izmedju Poissonovog procesa i procesa obnavljanja.

U nastavku ce biti dokazano da svaki homogen Poissonov proces N sa intenzite-tom λ > 0 ima reprezentaciju

N(t) = Cardi ≥ 1 : Ti ≤ t, t ≥ 0, (1.1)

pri cemu je T0 = 0 i

Tn = W1 +W2 + . . .+Wn, n ≥ 1, (1.2)

gde je Wi, i ≥ 1 niz iid slucajnih promenljivih sa E(λ) raspodelom.U tom smislu je od znacaja gama raspodela, koja je poznata i kao Erlangova

raspodela. Slucajna promenljiva X ima Γ(n, λ) raspodelu sa parametrima n ∈ N iλ > 0, ako je njena gustina raspodele oblika

g(x) =λn

(n− 1)!xn−1e−λx, x > 0.

Odgovarajuca funkcija raspodele je F (x) = 0, x ≤ 0, dok je, za x > 0,

F (x) = 1− e−λx

n−1∑

k=0

(λx)k

k!.

Sledeci rezultat predstavlja poznati rezultat teorije verovatnoce koji ce biti eksplic-itno koriscen u dokazu teoreme o Poissonovom procesu kao procesu obnavljanja.

Neka je Wi, i ≥ 1 niz iid slucajnih promenljivih sa E(λ) raspodelom i Tn =W1 +W2 + . . .+Wn, n ≥ 1. Tada Tn ima Γ(n, λ) raspodelu.

Jos jedno tvrdjenje koje ce biti vise puta korisceno u daljem radu, dato jesledecom teoremom.


Teorema 1.1.1 Neka je X integrabilna slucajna promenljiva na prostoru verova-tnoca (Ω,F , P ) i G ⊆ F proizvoljna σ-algebra. Tada za uslovno matematickoocekivanje vazi

E[E(X|G)] = EX.

Teorema koja sledi je poznata kao teorema o homogenom Poissonovom procesukao procesu obnavljanja.

Teorema 1.1.2 (Teorema o homogenom Poissonovom procesu kao pro-cesu obnavljanja)(i) Slucajan proces N, odredjen izrazima (1.1) i (1.2), gde je Wi, i ≥ 1 niz iidslucajnih promenljivih sa E(λ) raspodelom, predstavlja homogen Poissonov proces saintenzitetom λ > 0.

(ii) Neka je N homogen Poissonov proces sa intenzitetom λ > 0 i neka su 0 =T0 < T1 ≤ T2 ≤ . . . dolazna vremena. Tada proces N ima reprezentaciju (1.1), a nizTi, i ≥ 1 ima reprezentaciju (1.2), gde je Wi, i ≥ 1 niz iid slucajnih promenljivihsa E(λ) raspodelom.

Dokaz. (i) Prvo ce biti dokazano da je proces N, odredjen izrazima (1.1) i (1.2),po definiciji, homogen Poissonov proces sa intenzitetom λ > 0.

• Po definiciji niza obnavljanja Ti, i ≥ 0, vazi da je T1 > T0 = 0, tj. prvimedju dogadjajima koje prebrojava proces N se desio u nekom trenutku poslenultog. Dakle, N(0) = 0.

• Po konstrukciji procesa N, svaka njegova trajektorija ima vrednost i na inter-valu [Ti, Ti+1) i u tackama Ti+1 ima jedinicni skok do vrednosti i + 1. Prematome, svaka trajektorija je neprekidna s desna i ima konacan limes s leve strane,tj. trajektorije procesa N imaju cadlag osobinu.

• Osnovna relacija za dokazivanje osobine N(t) : P(λt) je

N(t) = n = Tn ≤ t < Tn+1, n ≥ 0. (1.3)

Prema pretpostavci teoreme niz Wi, i ≥ 1 je iid niz slucajnih promenljivihsa E(λ) raspodelom, i otuda vazi da je Tn : Γ(n, λ), n ≥ 1. Tada je za svakox > 0,

PTn ≤ x = 1− e−λx

n−1∑

k=0

(λx)k

k!. (1.4)

Na osnovu (1.3) i (1.4) se dobija da je, za svako n ≥ 0,

PN(t) = n = PTn ≤ t < Tn+1 = PTn ≤ t − PTn+1 ≤ t

= 1− e−λt

n−1∑

k=0

(λt)k

k!− 1 + e−λt

n∑

k=0

(λt)k

k!= e−λt (λt)

n

n!,

tj. N(t) : P(λt).


• Za dokazivanje nezavisnosti i stacionarnosti prirastaja procesa N dovoljno jedokazati ovu osobinu za prirastaje N(t) = N(0, t] i N(t, t + h] = N(t + h) −N(t), t, h > 0. Preciznije, potrebno je dokazati da, za svako k, l ∈ N0, vazi

qk,k+l(t, t+ h) = PN(t) = k,N(t, t+ h] = l (1.5)

= PN(t) = kPN(t, t+ h] = l (1.6)

= PN(t) = kPN(h) = l (1.7)

= e−λ(t+h) (λt)k(λh)l

k!l!. (1.8)

Jednakost izraza (1.5) i (1.6) se odnosi na nezavisnost prirastaja, dok se jednakostizraza (1.6) i (1.7) odnosi na stacionarnost. Ocigledno, jednakost izraza (1.7) i (1.8)vazi na osnovu dokazane osobine o raspodeli slucajnih promenljivih N(t), t ≥ 0.

Prvo ce biti dokazana jednakost izraza (1.5) i (1.8). U tom smislu se razlikujusledeca tri slucaja.

Slucaj 1: Neka je k = 0, l = 0. Tada je

q0,0(t, t+ h) = PN(t) = 0, N(t, t+ h] = 0 = PN(0, t+ h] = 0 = e−λ(t+h).

Slucaj 2: Neka je k ≥ 1, l = 0. U tom slucaju je neophodno uociti da vazi relacija

N(t) = k,N(t, t+ h] = l = N(t) = k,N(t+ h) = l + k.Na osnovu (1.3) i poslednje relacije, s obzirom da je l = 0, sledi

qk,k+l(t, t+ h) = PN(t) = k,N(t+ h) = k= PTk ≤ t < Tk+1, Tk ≤ t+ h < Tk+1= PTk ≤ t, t+ h < Tk+1 = PTk ≤ t, t+ h < Tk +Wk+1.

Imajuci u vidu da je Tk : Γ(k, λ) i da su Tk i Wk+1 : E(λ) nezavisne slucajnepromenljive, poslednji izraz se izracunava na sledeci nacin

qk,k+l(t, t+ h) =

∫ t

0

dtk

∫ +∞

t+h−tk

e−λtkλktk−1

k

(k − 1)!λe−λwk+1dwk+1

=λk+1

(k − 1)!

∫ t

0

e−λtktk−1k

∫ +∞

t+h−tk

e−λwk+1dwk+1dtk

= e−λ(t+h) (λt)k

k!.

Slucaj 3: Neka je l ≥ 1, k ≥ 1. Kako je Tk+l ≤ t + h ⊆ Tk+1 ≤ t + h, to je naosnovu Teoreme 1.1.1,

qk,k+l(t, t+ h) = PTk ≤ t < Tk+1, Tk+l ≤ t+ h < Tk+l+1= PTk ≤ t < Tk+1 ≤ t+ h, Tk+l ≤ t+ h < Tk+l+1= E

[

ITk≤t<Tk+1≤t+hITk+l≤t+h<Tk+l+1

]

= E

E[

ITk≤t<Tk+1≤t+hITk+l≤t+h<Tk+l+1|Tk, Tk+1

]

.


Uocimo da je slucajna promenljiva ITk≤t<Tk+1≤t+h merljiva u odnosu na σ-algebrugenerisanu slucajnim promenljivama Tk i Tk+1. Zbog toga je

qk,k+l(t, t+ h)

= E

ITk≤t<Tk+1≤t+hPTk+l ≤ t+ h < Tk+l+1|Tk, Tk+1

= E

ITk≤t<Tk+1≤t+hPTk+l − Tk+1 ≤ t+ h− Tk+1 < Tk+l+1 − Tk+1|Tk, Tk+1

.

Neka je N ′ nezavisna kopija procesa N, takva da je N ′ (r)= N. Na osnovu relacije (1.3),

nezavisnosti slucajne promenljive Tk+1 = W1 +W2 + ...+Wk+1 i slucajnog vektora(Tk+l−Tk+1, Tk+l+1−Tk+1) ≡ (Wk+2+Wk+3+ ...+Wk+l,Wk+2+Wk+3+ ...+Wk+l+1)

i uocavajuci da je Tk+l − Tk+1(r)= Tl−1, Tk+l+1 − Tk+1

(r)= Tl, dobija se

qk,k+l(t, t+ h)

=E

ITk≤t<Tk+1≤t+hPN ′(t+ h− Tk+1) = l − 1|Tk+1

=E

ITk≤t<Tk+Wk+1≤t+hPN ′(t+ h− Tk −Wk+1) = l − 1|Tk+1

=

∫ t

0

dtk

∫ t+h−tk

t−tk

e−λtkλk

(k − 1)!tk−1k λe−λwk+1PN(t+ h− tk − wk+1) = l − 1dwk+1

=λk+1

(k−1)!

∫ t

0

e−λtktk−1k

∫ t+h−tk

t−tk

λe−λwk+1e−λ(t+h−tk−wk+1)[λ(t+ h− tk− wk+1)]

l−1

(l − 1)!dwk+1dtk

= e−λ(t+h) (λt)k(λh)l

k!l!,

gde je uvedena smena u = t + h − tk − wk+1. Na ovaj nacin je dokazana jednakostizraza (1.5) i (1.8), odnosno, jednakost izraza (1.5) i (1.7). Sada ce biti dokazanoda na osnovu toga sledi stacionarnost prirastaja procesa N , tj. da vazi jednakostizraza (1.6) i (1.7). Za proizvoljno l ≥ 0, na osnovu prethodno dokazane jednakosti,vazi

PN(t, t+ h] = l = PN(t, t+ h] = l ∩ Ω

=∞∑

k=0

PN(t) = k,N(t, t+ h] = l

=∞∑

k=0

qk,k+l(t, t+ h) =∞∑

k=0

e−λ(t+h) (λt)k(λh)l

k!l!

= e−λh (λh)l

l!= PN(h) = l.

Sada se, na osnovu jednakosti izraza (1.5) i (1.7) i jednakosti izraza (1.6) i (1.7), za-kljucuje da vazi jednakost izraza (1.5) i (1.6), tj. vazi nezavisnost prirastaja procesaN .


(ii) Neka je N homogen Poissonov proces sa intenzitetom λ > 0 i dolaznimvremenima 0 = T0 < T1 ≤ T2 ≤ . . . . Potrebno je dokazati da N ima reprezentaciju

N(t) = Cardi ≥ 1;Ti ≤ t, t ≥ 0

i da postoji niz iid slucajnih promenljivih Wi, i ≥ 1 sa E(λ) raspodelom, takav daje Tn = W1 +W2 + . . .Wn, n ≥ 1.

Dokaz se izvodi indukcijom.Za n = 1, bice dokazano da W1 = T1 − T0 ima E(λ) raspodelu. Kako je T1

trenutak realizacije prvog medju dogadjajima ciji broj opisuje Poissonov proces N ,vazi da je

PW1 > t = PT1 − T0 > t = PT1 > t = PN(t) = 0 = e−λt ⇒ W1 : E(λ).

Za n = 2 jePW2 > t|W1 = s = PT2 − T1 > t|T1 = s.

Na desnoj strani poslednje jednakosti je verovatnoca da od trenutka realizacije prvogdogadjaja do trenutka realizacije drugog dogadjaja protekne bar period duzine t, poduslovom da se prvi dogadjaj realizovao u trenutku s. Dakle, radi se o verovatnoci dase u periodu (s, s+ t] nije realizovao nijedan dogodjaj. Zbog toga je, imajuci u vidustacionarnost procesa N,

PW2 > t|W1 = s = PN(t+ s)−N(s) = 0 = PN(t) = 0 = e−λt.

Ocigledno, posmatrana uslovna verovatnoca ne zavisi od dogadjaja W1 = s, tj. W2

i W1 su nezavisne slucajne promenljive, pri cemu je

PW2 > t|W1 = s = PW2 > t = e−λt ⇒ W2 : E(λ).

Neka je Tk = W1+W2+ . . .+Wk, pri cemu su Wi, 1 ≤ i ≤ k iid slucajne promenljivesa E(λ) raspodelom. Tada je

PWk+1 > t|W1 = s1,W2 = s2, . . .Wk = sk= PTk+1 − Tk > t|Tk = s1 + s2 + . . .+ sk = s= PN(t+ s)−N(s) = 0 = e−λt,

tj. Wk+1 ne zavisi od Wi, 1 ≤ i ≤ k, i ima istu raspodelu kao te slucajne promenljive.

Osnovna motivacija za razmatranje brojackih procesa obnavljanja jeste ta sto(homogen) Poissonov proces ne opisuje uvek na adekvatan nacin dospeca steta.Mogu postojati velike distance izmedju dospeca steta. Na primer, mala je verovat-noca da se stete nastale olujom modeliraju Poissonovim procesom, jer se javljajuponekad i sa razmakom od nekoliko godina. U ovom slucaju prirodnije je pret-postaviti da medjudolazna vremena imaju raspodelu za koju je karakteristicno dase velike vrednosti javljaju sa velikom verovatnocom. Na primer, log-normalna ili


Pareto raspodela dolaze u obzir, jer su njihovi repovi mnogo tezi nego kod ekspo-nencijalne raspodele.

Sa druge strane, kada se izostave pretpostavke Poissonovog procesa, gube semnoge pogodne osobine koje su u vezi sa eksponencijalnom raspodelom medju-dolaznih vremenaWi. Na primer, u opstem slucaju nije poznato koju tacno raspodeluima N(t) i koje su vrednosti matematickog ocekivanja EN(t) i disperzije DN(t).Nadalje ce biti pokazano da procesi obnavljanja i homogen Poissonov proces imajuzajednicka mnoga asimptotska svojstva.

Na pocetku ovog poglavlja bilo je reci o procesu ukupne stete definisanom kao

SN(t) =

N(t)∑

i=1

Xi, t ≥ 0, S0 = 0, (1.9)

gde je N proces broja steta, nezavisan od iid niza iznosa steta Xi, i ≥ 1. Vazi ipretpostavka da je Xi > 0 skoro izvesno.

U zavisnosti od izbora procesa N , postoje razni modeli procesa ukupne steteS. Osim vec pomenutog Cramer-Lundbergovog modela, kod koga je N homogenPoissonov proces sa parametrom λ > 0, jos jedan bitniji model je Sparre-Andersonovmodel obnavljanja kod koga je N brojacki proces obnavljanja.

Za odredjeni model procesa ukupne stete, jedno od najbitnijih pitanja u kompa-niji osiguranja je odredjivanje reda velicine SN(t). Ova informacija je potrebna kakobi se utvrdila premija koja pokriva gubitak modeliran sa SN(t).

Najpovoljnije bi bilo odrediti raspodelu slucajne promenljive SN(t), za proizvoljnot > 0. Ovo je, medjutim, u opstem slucaju komplikovan problem, i zato postoje nu-mericki ili simulacioni metodi u cilju aproksimacije raspodele za SN(t). U ovom radubice razmatrane neke karakteristike slucajne promenljive SN(t) u cilju grube procenevelicine ukupne stete u portfoliju nezivotnog osiguranja. Takve karakteristike su,pre svega, ocekivanje i disperzija slucajne promenljive SN(t), strogi zakon velikihbrojeva i centralna granicna teorema za SN(t), kada t → ∞.

1.2 Relevantni pojmovi teorije verovatnoce

U ovoj glavi su navedene osnovne definicije i teoreme koje ce biti koriscene u daljemradu.

U teoriji verovatnoce i njenim primenama, znacajno mesto zauzimaju granicneteoreme. Na pocetku ovog poglavlja bice definisane osnovne vrste konvergencije nizaslucajnih promenljivih Xn, n ∈ N.

Postoje cetiri osnovne vrste konvergencije niza slucajnih promenljivih:

(i) konvergencija u verovatnoci;

(ii) skoro izvesna (skoro sigurna) konvergencija;

(iii) srednje-kvadratna konvergencija (konvergencija u srednjem reda ν > 0),


(iv) konvergencija u raspodeli.

Definicija 1.2.1 Niz Xn, n ∈ N slucajnih promenljivih konvergira u verovatno-ci ka slucajnoj promenljivoj X, kad n → ∞, u oznaci Xn

v−→ X, n → ∞, ako

(∀ǫ > 0) Pω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ ǫ→0, n → ∞.

Definicija 1.2.2 Niz Xn, n ∈ N slucajnih promenljivih skoro izvesno (skorosigurno, sa verovatnocom 1) konvergira ka slucajnoj promenljivoj X, kad n →∞, u oznaci Xn

s.i.−→ X, n → ∞ ako je

Pω : Xn(ω)→X(ω), n → ∞ = 1.

Definicija 1.2.3 Niz Xn, n ∈ N slucajnih promenljivih srednje kvadratno kon-

vergira ka slucajnoj promenljivoj X kad n → ∞, u oznaci Xns.k.−→ X, n → ∞,

ako jeEX2

n < ∞ ∧ E|Xn −X|2 → 0, n → ∞.

Za ν > 0, niz Xn, n ∈ N konvergira u srednjem reda ν, ka slucajnoj prome-nljivoj X kad n → ∞, u oznaci Xn

ν−→ X, ako je

EXνn < ∞ ∧ E|Xn −X|ν → 0, n → ∞.

Definicija 1.2.4 Niz Xn, n ∈ N slucajnih promenljivih konvergira u raspodelika slucajnoj promenljivoj X, kad n → ∞, u oznaci Xn

r−→ X, ako i samo ako je

limn→∞

Fn(x) = F (x), ∀x∈C(F )

gde je Fn funkcija raspodele slucajne promenljive Xn, F funkcija raspodele slucajnepromenljive X i C(F ) skup tacaka neprekidnosti funkcije raspodele F .

U teoriji osiguranja od posebnog znacaja su zakoni velikih brojeva i centralnagranicna teorema.

Zakoni velikih brojeva se odnose na niz slucajnih promenljivih X1, X2, ... za kojeje EXn < ∞, n ∈ N. Ukoliko za dati niz vazi

1

n

n∑

k=1

(Xk − EXk)v−→ 0, n → ∞,

tada se kaze da za njega vazi slabi zakon velikih brojeva. Ako je

1

n

n∑

k=1

(Xk − EXk)s.i.−→ 0, n → ∞,

tada za dati niz vazi strogi zakon velikih brojeva.


U osiguranju, primena zakona velikih brojeva omogucava da se naprave dugorocneprognoze iznosa odstetnih zahteva, pod pretpostavkom da je portfolio osiguranja ho-mogen. Ako se podrazumeva da su svi osigurani slucajevi izlozeni jednakom riziku,tada, sto je veci njihov broj, manji je uticaj nepozeljnih slucajnih faktora na svakiod njih.

Homogenost portfolija osiguranja se matematicki opisuje tako sto se pretpostavljada se odstetni zahtevi modeliraju slucajnim promenljivim sa istom raspodelom.

U nastavku ce eksplicitno biti koriscena sledeca teorema koja se odnosi na niznezavisnih slucajnih promenljivih sa istom raspodelom i konacnim matematickimocekivanjem.

Teorema 1.2.1 (Drugi zakon velikih brojeva Kolmogorova) Neka su Xk, k ≥1 nezavisne slucajne promenljive sa istom raspodelom i ocekivanjem EX1 = a. Tadavazi

1

n

n∑

k=1

Xks.i.−→ a.

Dokaz ove teoreme se moze naci u [1].

Centralna granicna teorema predstavlja vazan rezultat u teoriji verovatnoce.Teorema tvrdi da standardizovana suma nezavisnih i identicki raspodeljenih slucajnihpromenljivih tezi ka slucajnoj promenljivoj sa normalnom normiranom raspodelom,kad n → ∞. To je jedan od razloga zbog kojeg normalna raspodela ima veliki znacaju teoriji verovatnoce i njenim primenama.

Teorema 1.2.2 (Centralna granicna teorema) Neka je Sn =∑n

k=1 Xk, pricemu su X1, X2, ... nezavisne slucajne promenljive sa istom raspodelom. Ako jeD(Xk) = σ2 < ∞ i E(Xk) = m, k = 1, 2, ..., tada vazi

P

Sn − nm√nσ2

≤ x

→ 1√2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt, n → ∞, x ∈ R,

odnosno,

S∗n =

Sn − nm√nσ2

r−→ Z : N (0, 1).

Dokaz Centralne granicne teoreme se moze naci u [1].

Sledeca teorema se odnosi na preciznost normalne aproksimacije iz Teoreme 1.2.2.U tom smislu je od znacaja kolicnik Ljapunova, koji je oblika

L1 =E|X −m|3(DX)3/2

. (1.10)

gde X ima istu raspodelu kao Xi, i ∈ N.


Neka je F ∗n(x) = P (S∗

n ≤ x), gde je

S∗n =

Sn − nm√nσ2

, n ∈ N.

Sledeca teorema ce biti navedena bez dokaza. Dokaz se moze naci u [5].

Teorema 1.2.3 Postoji konstanta C1 tako da, za svako n ∈ N, vazi

|F ∗n(x)− Φ(x)| ≤ C1 ·

L1√n,

gde je Φ funkcija raspodele slucajne promenljive sa normalnom normiranom raspode-lom i L1 je kolicnik Ljapunova definisan sa (1.10).

U [5] je dokazano da konstanta C1 zadovoljava nejednakost

C1 ≤ 0, 792. (1.11)

Pri odredjivanju razlike izmedju Φ i raspodele slucajne promenljive Sn, primen-juje se Berry-Esseenova nejednakost,

supx

(1 + |x|3)∣

∣

∣

∣

P

(

Sn − nm√nσ2

≤ x

)

− Φ(x)

∣

∣

∣

∣

≤ cL1√n. (1.12)

Pritom vazi da je c univerzalna konstanta pri cemu je c = 0.7655+8(1+ e) = 30.51.Ako se na levoj strani nejednakosti (1.12) izostavi izraz 1 + |x|3, konstanta c mozebiti zamenjena sa 0.7655.

Nejednakost (1.12) pokazuje da se prilikom primene centralne granicne teorememora uzeti u obzir greska koja se javlja kada se raspodela slucajne promenljive Sn

zamenjuje normalnom raspodelom. Ova cinjenica ukazuje da je potrebno raditisa slucajnim uzorkom dovoljno velikog obima n da bi se omogucio rad sa norma-lnom raspodelom. Takodje treba uzeti u obzir kolicnik L1, koji zavisi od raspodeleslucajnih promenljivih Xk.

Jos jedan od pojmova koji ce biti od velikog znacaja u daljem radu je uslovnomatematicko ocekivanje. Osobine uslovnog matematickog ocekivanja, koje ce bitieksplicitno koriscene u nastavku, date su u sledecoj teoremi.

Teorema 1.2.4 Neka je X integrabilna slucajna promenljiva na prostoru verovat-noca (Ω,F , P ) i G ⊆ F proizvoljna σ-algebra. Tada uslovno matematicko ocekivanjeE(X|G) ima sledece osobine:

(i) DX = D[E(X|G)] + E[D(X|G)].(ii) (Jensenova nejednakost): Neka je φ : R → R i φ(X) integrabilna slucajna

promenljiva. Ako je φ konveksna funkcija, tada je

φ(E(X|G)) ≤ E(φ(X)|G) s.i.

Ako je φ konkavna funkcija, tada je

E(φ(X)|G) ≤ φ(E(X|G)) s.i.

Glava 2

Normalna aproksimacija raspodele

ukupne stete

U Poglavlju 1.2 je bilo reci o parcijalnim sumama∑n

i=1 Xi, n ∈ N, niza slucajnihpromenljivih Xn, n ∈ N, gde je broj clanova parcijalne sume neslucajan. Medju-tim, sa aspekta osiguranja su od znacaja slucajne promenljive oblika SN =

∑Ni=1 Xi,

gde je Xi, i ∈ N niz iznosa steta (odstetnih zahteva) i N slucajan broj stetadospelih za naplatu u odredjenom periodu. Kao sto je vec pomenuto u prethodnojglavi, slucajna promenljiva SN predstavlja ukupnu stetu u okviru portfolija osigu-ranja u odredjenom periodu. Zbog toga ce u ovom poglavlju predmet razmatranjabiti sume slucajnih promenljivih sa slucajnim brojem sabiraka.

2.1 Granicne teoreme

Neka je SN =∑N

i=1 Xi i neka su slucajni sabirci Xi nezavisne i jednako raspodeljeneslucajne promenljive (iid). Na osnovu Teoreme 1.2.2 sledi da, kada je broj sabirakaN fiksiran i veliki broj, raspodela date sume se moze aproksimirati normalnomraspodelom. Postavlja se pitanje da li ovo vazi i kada je N slucajna, velika vrednostsa velikom verovatnocom. Na primer, da li je normalna aproksimacija moguca akoje N Poissonova slucajna promenljiva sa velikom ocekivanom vrednoscu? Odgovorna ovo pitanje je potvrdan, sto ce biti dokazano Teoremom 2.1.1. Stavise, slicanrezultat ce biti dokazan i u opstem slucaju bez pretpostavke o raspodeli slucajnepromenljive N .

Najpre ce biti naveden Poissonov slucaj.Neka je N=Nλ slucajna promenljiva, nezavisna od niza Xn, n ∈ N, koja ima

Poissonovu raspodelu sa parametrom λ i neka je

S(λ) = X1 + ...+XNλ.

Raspodela za S(λ) se naziva slozena Poissonova raspodela. Kako je Nλ slucajnapromenljiva sa Poissonovom raspodelom sa parametrom λ, to je

ENλ = λ, DNλ = λ.

16

Normalna aproksimacija raspodele ukupne stete 17

Neka je m = EXi i σ2 = DXi, i ∈ N. Tada je, prema Teoremi 1.1.1,

ES(λ) = E[

E[

Nλ∑

i=1

Xi

∣

∣

∣Nλ

]]

= E[Nλ·EX1] = EX1·ENλ = m · λ. (2.1)

Na osnovu Teoreme 1.2.4 (i), disperzija sume S(λ) je

DS(λ) = D[E[S(λ)|Nλ]] + E[D[S(λ)|Nλ]] (2.2)

= D[Nλ·EX1] + E[

D(

Nλ∑

i=1

Xi

)∣

∣

∣Nλ

]

= (EX1)2·DNλ + E[Nλ·DX1]

= (EX1)2·DNλ +DX1·ENλ

= (m2 + σ2)λ.

Neka je S∗(λ) slucajna promenljiva koja se dobija standardizacijom slucajne promenljive

S(λ). Tada je, na osnovu (2.1) i (2.2),

S∗(λ) =

S(λ) − ES(λ)√

DS(λ)

=S(λ) −mλ√

(σ2 +m2)λ,

pri cemu vazi da je ES∗(λ) = 0, DS∗

(λ) = 1.Ostatak ovog poglavlja posvecen je razmatranju granicnog ponasanja standar-

dizovane sume S∗(λ) u opstem slucaju i nekim posebnim slucajevima drugacijim od

Poissonove seme.Neka je Nλ proizvoljna celobrojna nenegativna slucajna promenljiva, koja zavisi

od parametra λ, pri cemu je nλ = ENλ i ν2λ = DNλ. U nastavku ce biti navedena

cetiri modela broja steta Nλ koje ce pretrpeti osiguravajuca kompanija u nekomperiodu.

1. Slucaj ogranicene disperzije: U ovom slucaju neka nλ neograniceno raste kadaλ raste i neka je νλ ≤ d, za neki broj d nezavisan od λ. Na primer, Nλ moze bitioblika Nλ = λ+Kλ, gde je λ ceo broj, Kλ je celobrojna slucajna promenjljiva. Pritom neka je −s ≤ Kλ ≤ s za neki fiksirani broj s. Uz pretpostavku da je EKλ = 0,sledi da je nλ = λ, ν2

λ = DKλ = EK2λ ≤ s2, tj. disperzija slucajne promenljive Nλ

je ogranicena.

2. Slucaj Poissonove raspodele: Nλ je Poissonova slucajna promenljiva sa parame-trom λ. Tada je nλ = ν2

λ = λ.

3. Slucaj negativne binomne raspodele: Nλ ima negativnu binomnu raspodelu saparametrima p i λ, ako je

P (Nλ = k) =

(

λ+ k − 1

k

)

pλ(1− p)k =

(−λ

k

)

pλ(p− 1)k, k = 0, 1, 2, ...


U ovom slucaju je nλ = λ(1− p)/p, ν2λ = λ(1− p)/p2.

4. Slucaj geometrijske raspodele: Nλ ima geometrijsku raspodelu sa parametromp = 1/λ, ako je P (Nλ = k) = (1 − p)k·p, k = 0, 1, 2, .... U ovom slucaju jenλ = (1 − p)/p = λ − 1 i ν2

λ = (1 − p)/p2 = λ(λ − 1). (Geometrijska raspodela jespecijalan slucaj negativne binomne raspodele, za λ = 1).

Neka su S(λ), m, i σ2 definisani kao ranije. Na slican nacin kao sto su dobijenejednakosti (2.1) i (2.2), moze se dobiti

ES(λ) = mnλ, DS(λ) = σ2nλ +m2ν2λ. (2.3)

Neka je d2λ = σ2nλ + m2ν2λ, i neka se standardizacijom slucajne promenljive S(λ)

dobija slucajna promenljiva

S∗(λ) =

S(λ) − ES(λ)√

DS(λ)

=S(λ) −mnλ

dλ.

U ovom poglavlju cilj je odredjivanje uslova pod kojima slucajna promenljivaS∗(λ) ima asimptotski normalnu raspodelu. U tom smislu je potrebno standardizovati

slucajnu promenljivu Nλ, pri cemu se dobija

N∗λ =

Nλ − nλ

νλ,

gde je EN∗λ = 0 i DN∗

λ = 1.Potrebno je naglasiti da se dalje razmatranje odnosi na opsti slucaj, kada Nλ

nema nuzno Poissonovu raspodelu.Sledeca teorema predstavlja uopstenje CGT (Teorema 1.2.2), za slucaj kada je

broj sabiraka slucajna promenljiva.

Teorema 2.1.1 Neka su zadovoljeni sledeci uslovi, kada λ → ∞:

nλ → ∞, (2.4)

νλ√nλ

→c, (2.5)

gde je c konacan broj, i

νλ√nλ

N∗λ

r−→cZ, (2.6)

gde je Z : N (0, 1). Tada je

S∗(λ)

r−→ Z, λ → ∞. (2.7)


Dokaz. Razmatraju se najpre uslovi (2.5) i (2.6). Kako je νλ ≥ 0, broj c u (2.5)je nenegativan. Slucajevi c = 0 i c > 0 se, u sustini, razlikuju. Ako je c = 0, tada(2.6) direktno sledi iz (2.5). Da bi se to dokazalo uvodi se oznaka

Yλ =νλ√nλ

N∗λ .

Kako je EN∗λ = 0 i DN∗

λ = 1, na osnovu (2.5) sledi da je DYλ = (ν2λ/nλ) → 0, a

otuda sledi da Yλ → 0 u verovatnoci i u raspodeli. Sa druge strane, ako je c = 0desna strana u (2.6) je jednaka nuli, pa (2.6) zaista vazi.

Sada sledi dokaz teoreme. Najpre ce biti dokazano da, pod uslovima teoreme,vazi

Nλ

d2λ

v−→ k =1

σ2 +m2c2, λ → ∞, (2.8)

gde je d2λ = σ2nλ +m2ν2λ.

Zaista,

Nλ

d2λ=

νλd2λ

Nλ − nλ

νλ+

nλ

d2λ=

νλd2λ

N∗λ +

nλ

d2λ. (2.9)

Prema uslovima (2.4) i (2.5), vazi

νλd2λ

=νλ

σ2nλ +m2ν2λ

=1√nλ

· νλ/√nλ

σ2 +m2(ν2λ/nλ)

→0· c

σ2 +m2c2= 0, λ → ∞, (2.10)

nλ

d2λ=

nλ

σ2nλ +m2ν2λ

=1

σ2 +m2(ν2λ/nλ)

→ 1

σ2 +m2c2= k, λ → ∞. (2.11)

Kako je EN∗λ = 0 i DN∗

λ = 1, na osnovu Cebisevljeve nejednakosti i relacije (2.10)sledi da, za svako ǫ > 0, vazi

P

(

νλd2λ

N∗λ > ǫ

)

= P

(

N∗λ >

ǫd2λνλ

)

≤ E(N∗λ)

2/(ǫd2λνλ

)2

=

(

νλd2λ

)2

· 1

ǫ2

→ 0, λ → ∞,

odnosno,νλd2λ

N∗λ

v−→ 0.

Poslednja konvergencija u verovatnoci, zajedno sa (2.9) i (2.11), implicira (2.8).


Dalje, vazi da je

S∗(λ) =

1

dλ(S(λ) −mnλ)

=1

dλ

(

Nλ∑

i=1

Xi −mnλ

)

=1

dλ

(

Nλ∑

i=1

(Xi −m) +m(Nλ − nλ)

)

,

odnosno

S∗(λ) =

1

dλ

Nλ∑

i=1

(Xi −m) +m

dλ(Nλ − nλ). (2.12)

Na osnovu (2.8) sledi da Nλ asimptotski raste ka kd2λ. Ideja za ostatak dokazaje da se Nλ u prvom sabirku na desnoj strani jednakosti (2.12) zameni neslucajnimbrojem tλ = [kd2λ], koji predstavlja ceo deo od kd2λ. Drugi sabirak na desnoj stranijednakosti (2.12) ce ostati nepromenjen. Ova zamena dovodi do slucajne promenljive

Yλ1 =1

dλ

tλ∑

i=1

(Xi −m) +m

dλ(Nλ − nλ),

i greska koja proizilazi zamenom slucajne promenljive S∗(λ) sa Yλ1 je slucajna prome-

nljiva

Yλ2 =1

dλ

(

Nλ∑

i=1

(Xi −m)−tλ∑

i=1

(Xi −m)

)

. (2.13)

Za dokaz tvrdjenja (2.7) je dovoljno dokazati da je Yλ1 asimptotski standardna nor-malna slucajna promenljiva i da za gresku Yλ2 vazi da Yλ2

v−→ 0, λ → ∞.Ako se sa Stλ oznaci suma

Stλ =

tλ∑

i=1

Xi,

tada je

Yλ1 =σ√tλ

dλ· 1

σ√tλ

tλ∑

i=1

(Xi −m) +mνλdλ

·Nλ − nλ

νλ

=σ√tλ

dλ·S∗

tλ+

mνλdλ

·N∗λ . (2.14)

Bitna cinjenica je da, kako u S∗tλne figurise N∗

λ , slucajne promenljive S∗tλi N∗

λ sunezavisne. U nastavku ce biti dokazano da slucajna promenljiva Yλ1 ima asimptotskistandardnu normalnu raspodelu, kada λ → ∞.


Prema uslovu (2.4) teoreme, vazi da dλ =√

DS(λ) =√

σ2nλ +m2ν2λ → ∞,

λ → ∞. Koristeci simbol aλ ∼ bλ ako (aλ/bλ) → 1, λ → ∞, dobija se

σ√tλ

dλ=

σ√

[kd2λ]

dλ∼σ

√kdλdλ

=σ√

σ2 +m2c2. (2.15)

Sa druge strane je,

mνλdλ

·N∗λ =

mνλ√

σ2nλ +m2ν2λ

·N∗λ =

m√

σ2 +m2(ν2λ/nλ)

· νλ√nλ

N∗λ . (2.16)

Kako vazi (2.15) i CGT (Teorema 1.2.2), dobija se

σ√tλ

dλ·S∗

tλ

r−→ σ√σ2 +m2c2

Z1, λ → ∞, (2.17)

gde je Z1 : N (0, 1).Imajuci u vidu uslove (2.5) i (2.6), kao i relaciju (2.16), sledi da

mνλdλ

·N∗λ

r−→ mc√σ2 +m2c2

Z2, (2.18)

gde je Z2 : N (0, 1) slucajna promenljiva nezavisna od Z1.Sada ce biti razmatrana suma granicnih slucajnih promenljivih, koja predstavlja

linearnu kombinaciju slucajnih promenljivih Z1, Z2 : N (0, 1). Lako se zakljucuje daje matematicko ocekivanje te sume jednako 0, kao i da je njena disperzija jednaka1. Dakle, ta suma je standardna normalna slucajna promenljiva i otuda sledi da jeYλ1

r−→ Z, λ → ∞.U nastavku se razmatra slucajna promenljiva Yλ2, koja je definisana sa (2.13).

Kako je EYλ2 = 0, da bi se dokazalo da vazi Yλ2v−→ 0, λ → ∞, dovoljno je pokazati

da DYλ2→0, λ → ∞. U tom smislu potrebno je uociti da vazi

DYλ2 = EY 2λ2 =

∞∑

n=0

E(Y 2λ2|Nλ = n)P (Nλ = n).

Ako je nλ > tλ, tada je

E(Y 2λ2|Nλ = n) =

1

d2λE

(

n∑

i=tλ+1

(Xi −m)

)2

=1

d2λD

n∑

i=tλ+1

(Xi −m)

=1

d2λσ2(n− tλ) ≥ 0.


Ako je n < tλ, tada je

E(Y 2λ2|Nλ = n) =

1

d2λE

(

tλ∑

i=n+1

(Xi −m)

)2

=1

d2λD

tλ∑

i=n+1

(Xi −m)

=1

d2λσ2(tλ − n) ≥ 0,

dok je E(Y 2λ2|Nλ = tλ) = 0. Tada, za bilo koje n, vazi

E(Y 2λ2|Nλ = n) =

1

d2λσ2|n− tλ|.

Otuda je, na osnovu Jensenove nejednakosti (Teorema 1.2.4 (ii)),

DYλ2 =σ2

d2λ

∞∑

n=0

|n− tλ|P (Nλ = n)

=σ2

d2λE|Nλ − tλ|

≤ σ2

d2λ

√

E(Nλ − tλ)2

= σ2

(

E(Nλ − tλ)2

d4λ

)1/2

. (2.19)

Koristeci identitet E(X − a)2 = DX + (a− EX)2, dobija se

E(Nλ − tλ)2 = DNλ + (nλ − tλ)

2 = ν2λ + (nλ − tλ)

2.

Otuda je

E(Nλ − tλ)2

d4λ=

ν2λ + (nλ − [kd2λ])

2

d4λ

=

(

νλd2λ

)2

+

(

nλ

d2λ− [kd2λ]

d2λ

)2

. (2.20)

Kako ([kd2λ]/d2λ)→k, λ → ∞, na osnovu (2.10) i (2.11) sledi da izraz (2.20) tezi

ka 0. Tada, na osnovu (2.19) sledi da DYλ2 → 0, λ→∞.

Primer 2.1.1 U slucaju kada slucajna promenljiva Nλ ima ogranicenu disperzijuν2λ ≤ d2, na osnovu (2.4) vazi (2.5) za c = 0.


Jasno je da nije neophodno da vrednost ν2λ bude ogranicena da bi bilo c=0. Dovoljno

je pretpostaviti da je

ν2λ = o(nλ), λ → ∞. (2.21)

Takva situacija je ilustrovana sledecim primerom.

Primer 2.1.2 Neka je Nλ = λ +Kλ, gde je λ ceo broj i Kλ slucajna promenljivakoja uzima celobrojne vrednosti iz intervala [−λ1/4, λ1/4]. Tada je nλ ≥ λ − λ1/4,ν2λ ≤ EK2

λ ≤√λ, i (ν2

λ/nλ) ≤ [√λ/(λ− λ1/4)] → 0, λ → ∞.

Sledece tvrdjenje predstavlja posledicu Teoreme 2.1.1.

Posledica 2.1.1 Ako su zadovoljeni uslovi (2.4) i (2.21), tada vazi (2.7).

Slucaj (2.21) ne treba posebno razmatrati, jer u mnogim primenama disperzija ν2λ

ima slicno asimptotsko ponasanje kao matematicko ocekivanje nλ. Klasican primerje Poissonova raspodela za koju je ν2

λ = nλ = λ. U tom slucaju je νλ/√nλ = 1

i c=1. Da bi bilo moguce primeniti Teoremu 2.1.1 u ovom slucaju, potrebno jeispuniti uslov (2.6), koji je u Poissonovom slucaju, ekvivalentan sa

N∗λ

r→ Z, λ → ∞.

Poslednja relacija se jednostavno moze dokazati metodom karakteristicnih funkcija,zbog cega vazi sledece tvrdjenje.

Posledica 2.1.2 U slucaju kada je Nλ slucajna promenljiva sa Poissonovom raspode-lom, vazi (2.7).

Sada ce biti razmatran slucaj kada slucajna promenljiva Nλ ima negativnu bi-nomnu raspodelu. U ovom slucaju je ν2

λ/nλ = 1/p, pa je c = 1/√p, i potrebno je

ponovo proveriti da li vazi uslov (2.6) Teoreme 2.1.1. Zbog jednostavnosti, neka jeλ ceo broj. Slucajna promenljiva Nλ u ovom slucaju moze biti predstavljena kaosuma Y1+...+Yλ, gde su Yi nezavisne, iid slucajne promenljive, koje imaju geometri-jsku raspodelu sa parametrom p. Otuda, prema CGT (Teorema 1.2.2), N∗

λr−→ Z,

λ → ∞. Time je uslov (2.6) ispunjen, sto implicira naredno tvrdjenje.

Posledica 2.1.3 U slucaju kada slucajna promenljiva Nλ ima negativnu binomnuraspodelu, vazi (2.7).

Dakle, klasicna CGT (Teorema 1.2.2) podrazumeva da suma Sn sa neslucajnimvelikim brojem sabiraka ima asimptotski normalnu raspodelu. Teorema 2.1.1 utvrd-juje uslove pod kojima je ovo tacno za slucajan broj sabiraka.

Ako je ν2λ = o(nλ), λ → ∞, uslov (2.5) je ocigledno ispunjen i (2.6) automatski

sledi na osnovu (2.5).


Ako je c 6= 0, standardizovana suma S∗(λ) ima asimptotski normalnu raspodelu ako

slucajna promenljiva Nλ ima asimptotski normalnu raspodelu. Ovo je tacno ako seNλ moze predstaviti, na primer, kao suma velikog broja iid sabiraka i zanemarljivogostatka. Kao sto je pokazano, to je moguce u slucajevima kada Nλ ima Poissonovuraspodelu ili negativnu binomnu raspodelu.

Sada ce biti razmatran primer koji je slozeniji u odnosu na slucaj kada Nλ imanegativnu binomnu raspodelu.

Primer 2.1.3 NekaNλ ima Poissonovu-Poissonovu raspodelu sa parametrima λ1=λi λ2, tj. neka je

Nλ = Y1 + ...+ YK , (2.22)

gde jeK Poissonova slucajna promenljiva sa parametrom λ i Yi su nezavisne slucajnepromenljive koje imaju Poissonovu raspodelu sa parametrom λ2.Na slican nacin kao sto su dobijene relacije (2.1) i (2.2), dobija se da je nλ = ENλ =λλ2 i ν2

λ = DNλ = λ(λ2 + λ22). Otuda, uslov (2.5) Teoreme 2.1.1 je ispunjen za

c =√1 + λ2.

Kako jeK Poissonova slucajna promenljiva, uslov (2.6) Teoreme 2.1.1 je ispunjen,sto se moze pokazati metodom karakteristicnih funkcija. Tada, (2.7) sledi na osnovuPosledice 2.1.2.

U sledecem primeru, uslovi Teoreme 2.1.1 nisu zadovoljeni i samim tim, tvrdjenjeteoreme ne vazi.

Primer 2.1.4 Razmatra se slucaj geometrijske raspodele. U ovom slucaju je nλ =λ − 1, ν2

λ = λ(λ − 1), pa ν2λ/nλ = λ→∞ i odatle sledi da uslov (2.5) nije ispunjen.

Vazi da standardna devijacija νλ =√

λ(λ− 1) ima slicno asimptotsko ponasanjekao ocekivana vrednost nλ = λ − 1. Ovo znaci da, sa velikom verovatnocom, sumaSλ nije veliki broj. Zbog toga ne treba ocekivati da Sλ ima asimptotski normalnuraspodelu.

Sledeca teorema, koja ce biti navedena bez dokaza, daje odgovor na pitanje asimpto-tskog ponasanja slucajne sume sa brojem sabiraka koji ima geometrijsku raspodelu.

Teorema 2.1.2 (Renyi). Ako Nλ ima geometrijsku raspodelu sa parametrom p =1/λ, tada

1

mλS(λ)

r−→ ξ, λ → ∞,

gde je ξ slucajna promenljiva sa eksponencijalnom raspodelom, sa parametrom 1.

Dokaze ove teoreme se mose naci u [9].


2.2 Ocena premija nezivotnog osiguranja

U ovom poglavlju ce biti primenjeni rezultati iz prethodnog poglavlja, u kontekstunezivotnog osiguranja. U tom smislu, iid niz Xn, n ∈ N ce biti interpretiran kaoniz iznosa steta datog portfolija osiguranja, Nλ kao broj steta koje su se realizovaleu fiksiranom periodu i

S(λ) =

Nλ∑

i=1

Xi

kao ukupan iznos steta u datom periodu. Pritom vazi pretpostavka da je slucajnapromenljiva Nλ nezavisna od niza Xn, n ∈ N i EXn = m, DXn = σ2, n ∈ N.

Formalno, posmatrani model ne uzima u obzir premije osiguranja, vec samocinjenicu da se Nλ odstetnih zahteva realizuje u okviru portfolija kao celine. Medju-tim, sa aspekta osiguravajuce kompanije je veoma bitno odrediti iznos novca c = cλ,dovoljan da pokrije potrazivanja njenih klijenata sa datom verovatnocom β, odnosnoiznos c za koji vazi P (S(λ) ≤ c) ≥ β. Iznos c se moze shvatiti kao ukupna pre-mija osiguranja koju je osiguravajuca kompanija prihodovala na ime svih polisa uokviru datog portfolija, u odredjenom periodu. Za odredjivanje premije c je odznacaja stopa rezerve θ > 0, koju osiguravajuca kompanija odredjuje na osnovuprocene sopstvene izlozenosti riziku. Tada se ukupna premija c odredjuje iz uslovac = (1 + θ)ES(λ). Ocigledno, osiguravajuca kompanija je konkurentnija ukoliko jestopa θ manja. Zbog toga je vazno odrediti minimalnu stopu θ koja ce garantovati dace kompanija moci da nadoknadi ukupnu stetu u portfoliju sa datom verovatnocomβ. U tom smislu se zahteva da vazi

β = P (S(λ) ≤ c) = P (S(λ) − ES(λ) ≤ θES(λ))

= P

(

S(λ) − ES(λ)√

DS(λ)

≤ θES(λ)√

DS(λ)

)

= P

(

S∗(λ) ≤

θES(λ)√

DS(λ)

)

. (2.23)

Ako je normalna aproksimacija slucajne promenljive S∗(λ) prihvatljiva, tada je

P

(

S∗(λ) ≤

θES(λ)√

DS(λ)

)

≈ Φ

(

θES(λ)√

DS(λ)

)

,

sto implicira da je

Φ

(

θES(λ)√

DS(λ)

)

≈ β.

Odavde sledi da je

θ ≈ qβs√

DS(λ)

ES(λ)

(2.24)


gde qβs oznacava β-kvantil standardne normalne raspodele, sto znaci da je Φ(qβs) =β.

U slucaju kada je Nλ Poissonova slucajna promenljiva sa parametrom λ, posled-nja formula se moze napisati kao

θ ≈ qβs√m2λ

mλ=

qβs√

(m2 + σ2)λ

mλ=

qβs√λ

√1 + k2, (2.25)

gde je m2 = E(X2j ) i k = σ/m je koeficijent varijacije slucajnih promenljivih Xj.

Sva tri predstavljanja navedena iznad mogu biti korisna u zavisnosti od problemakoji se razmatra.

U nastavku ce biti navedeni primeri koji ilustruju odredjivanje stope rezervi θprimenom CGT.

Primer 2.2.1 Neka su iznosi stetaXj slucajne promenljive sa lognormalnom raspode-lom i Nλ Poissonova slucajna promenljiva sa parametrom λ. Da bi se, u ovomslucaju, ocenila stopa θ, potrebno je zadati λ, verovatnocu β i odrediti D(ln(Xj)).

Kako Xj ima log-normalnu raspodelu, ona se moze predstaviti u obliku

Xj = ea+bηj0 ,

gde su a i b realni parametri i ηj0, j ∈ N su iid slucajne promenljive sa N (0,1)raspodelom.

Ako je Zj = e−a·Xj, tada je koeficijent varijacije slucajne promenljive Zj istikao u slucaju slucajne promenljive Xj, a samim tim se ni predstavljanje (2.25) nemenja. Zaista, za Zj = ebηj0 , ηj0 : N (0, 1), vazi da je

mZj= EZj =

∫ ∞

−∞ebx

1√2π

·e−x2

2 dx

=1√2π

∫ ∞

−∞e−

12(x2−2bx+b2)·e b2

2 dx

=1√2π

eb2

2

∫ ∞

−∞e−

12(x−b)2dx

= eb2

2 ,

a takodje je i

EZ2j = Ee2bηj0 =

∫ ∞

−∞e2bx· 1√

2πe−

x2

2 dx

=1√2π

∫ ∞

−∞e−

12(x2−4bx+4b2)·e2b2dx

=1√

2πe2b2

∫ ∞

−∞e−

12(x−2b)2dx

= e2b2

.


Sada se dobija da je disperzija slucajne promenljive Zj = ebηj0 jednaka

DZj = EZ2j − (EZj)

2 = e2b2 − eb

2

= eb2

(eb2 − 1),

pa je koeficijent varijacije slucajnih promenljivih Zj jednak

kZj=

σZj

mZj

=

√

eb2(eb2 − 1)

eb2

2

=e

b2

2

√eb2 − 1

eb2

2

=√

eb2 − 1.

Kako je Xj = ea·Zj, vazi da je

EXj = ea·EZj = ea·e b2

2 ,

DXj = e2a·DZj = e2a·eb2(eb2 − 1),

pa je koeficijent varijacije slucajnih promenljivih Xj jednak

kXj=

σXj

mXj

=ea·e b2

2

√eb2 − 1

ea·e b2

2

=√

eb2 − 1.

Dakle, vazikXj

= kZj.

Tako se, bez gubljenja opstosti, moze staviti da je a = 0. U ovom slucaju jem = eb

2/2, m2 = e2b2, i otuda

√m2

m= eb

2/2. Iz b2 = D(ln(Xj)), dobija se dakoeficijent

√m2/m zavisi samo od D(ln(Xj)).

Tako je,

θ ≈ qβs√λeb

2/2. (2.26)

Na primer, ako je β=0.9, b2=0.2, i λ=400, tada je stopa rezerve θ ≈ 1.28220

e0.1 ≈0.071.

Medjutim, za potrebe ocenjivanja premije c, treba da bude ukljucen u razma-tranje i parametar a. Srednja vrednost ukupne stete koju treba nadoknaditi osigu-ravajuca kompanija je ES(λ) = λm = λea+b2/2 i odgovarajuca premija je

c = (1 + θ)λea+b2/2 = ea+b2/2[λ+ qβs√λ√1 + k2].


Primer 2.2.2 Neka iznosi steta Xi imaju uniformnu raspodelu na segmentu [0, a] ineka Nλ ima negativnu binomnu raspodelu sa parametrima p = 1/2 i ν = λ. Iz istograzloga kao u Primeru 2.2.1, koeficijent θ ne zavisi od a, pa se moze pretpostavitibez gubljenja opstosti da je a = 1 (ako je a 6= 1 mogu se podeliti svi Xi sa a, stonece promeniti θ). U ovom slucaju je EXi = 1/2 i DXi = 1/12. Na osnovu (2.3)sledi da je

ES(λ) =nλ

2=

λ(1− p)

2p,

DS(λ) =1

12nλ +

1

4ν2λ =

λ(1− p)

4p

(

1

3+

1

p

)

.

Sada je, imajuci u vidu (2.24), lako izracunati da je

θ ≈ qβs√λ

√

3 + p

3(1− p).

Na primer, za β = 0.8, vazi da je θ ≈ 1.286/√λ.

2.3 Preciznost normalne aproksimacije

Nadalje ce biti razmatrana slozena Poissonova suma S(λ) =∑Nλ

i=1 Xi, gde je Nλ

Poissonova slucajna promenljiva sa parametrom λ.Neka je

L =E|X|3

(E|X|2)3/2 . (2.27)

Desna strana jednakosti (2.27) ne zavisi od i jer Xi imaju istu raspodelu. Za razlikuod kolicnika Ljapunova (1.10), momenti koji figurisu u (2.27) nisu centrirani.

Sledecom teoremom se odredjuje preciznost normalne aproksimacije sume S∗(λ),

koja predstavlja standardizovanu sumu S(λ).

Teorema 2.3.1 Neka je F ∗λ (x) funkcija raspodele slucajne promenljive S∗

(λ). Tadapostoji konstanta C1 takva da, za svako x vazi,

|F ∗λ (x)− Φ(x)| ≤ C1

L√λ. (2.28)

Dokaz ove teoreme se moze naci u [6].Moze se pokazati da, kao i u klasicnom slucaju, vazi (1.11), a dokaz je naveden

u [7] i [8].Primenom Teoreme 2.3.1 moze se odrediti donja granica za stopu rezerve θ. Neka

je ∆λ = C1L√λi neka je c ukupna premija, definisana kao c = (1 + θ)ES(λ). Granice


za θ ce biti odredjene iz uslova da verovatnoca P (S(λ) ≤ c) bude manja od zadatevrednosti β. Na osnovu Teoreme 2.3.1 sledi da je

P (S(λ) ≤ c) = P

(

S∗(λ) ≤

θES(λ)√

DS(λ)

)

= F ∗λ

(

θES(λ)√

DS(λ)

)

≥ Φ

(

θES(λ)√

DS(λ)

)

−∆λ. (2.29)

Neka je stopa θ izabrana tako da je

Φ

(

θES(λ)√

DS(λ)

)

≥ β +∆λ. (2.30)

Tada iz (2.29) sledi da je P (S(λ) ≤ c) ≥ β +∆λ −∆λ = β. Onda, za stopu θ kojazadovoljava uslov (2.30), vazi

P (S(λ) ≤ c) ≥ β.

Za resenje θ nejednacine (2.30) vazi

θES(λ)√

DS(λ)

≥ qβ+∆λ,s,

odnosno,

θ ≥ qβ+∆λ,s

√

DS(λ)

ES(λ)

. (2.31)

Uporedjivanjem (2.24) i (2.31) se moze zakljuciti da je kvantil qβs zamenjen vecimkvantilom qβ+∆λ,s. Dakle, stopa θ koja zadovoljava uslov (2.31) je veca od pribliznestope iz (2.24), pa je u tom slucaju i ukupna premija c veca nego sto je ona koja bise dobila na osnovu (2.24).

Neka je m2 = EX2. Kako je u ovom slucaju ES(λ) = mλ i DS(λ) = m2λ,nejednakost (2.31) se ekvivalentno moze zapisati u obliku

θ ≥ qβ+∆λ,s√m2

m√λ

. (2.32)

Sledecim primerom se ilustruje prethodno razmatranje.

Primer 2.3.1 Posmatra se situacija iz Primera 2.2.1, pri cemu je a = 0, jer kolicnik√m2/m ne zavisi od a. Kao sto je ranije izracunato, vazi da je

√m2/m = eb

2/2.


Sada je EX3j = Ee3bηj0 = e9b

2/2 i, kako je m2 = e2b2, na osnovu (2.27) se dobija

da je

L =e9b

2/2

(e2b2)3/2.

Ako je u Primeru 2.2.1, b2 = D(ln(Xj)) = 0.2, tada je L ≈ 1.350 i ∆λ ≈ 0.792 ·1.350 1√

λ≈ 1.069 1√

λ, gde je konstanta C1 zamenjena svojom gornjom granicom, u

skladu sa (1.11).Neka je β = 0.9 i λ = 400. Tada je ∆λ ≈ 0053 i qβ+∆λ,s ≈ 1.675, cime se dobija

θ ≥ 1.676e0.1

20≈ 0.093.

Treba naglasiti da je gruba aproksimacija stope θ u Primeru 2.2.1, bila jednaka0.071.

Glava 3

Granicne teoreme za slucajna

kretanja

Klasicne granicne teoreme kao sto su zakoni velikih brojeva i centralna granicna teo-rema su tvrdjenja koja se odnose na sume nezavisnih i jednakoraspodeljnih slucajnihpromenljivih. Kao takva to su tvrdjenja koja su u vezi sa slucajnim kretanjem.Stavise, cesto se razmatraju slucajna kretanja posle slucajnog broja koraka. U ana-lizi serija, na primer, od znacaja su slucajni trenuci kada slucajno kretanje napustaneki zadati konacni interval. U teoriji obnavljanja se razmatraju slucajni trenucikada dolazi do promene u slucajnom kretanju. Za slucajna kretanja na realnojpravoj proucava se vreme prvog dostizanja nekog nivoa i tako dalje.

Napred spomenute granicne teoreme mogu se prosiriti na slucajna kretanja sa

slucajnim indeksima. Cinjenica da je ukupna steta SN upravo takvo slucajno kre-tanje je osnovna motivacija za razmatranja u okviru ove glave. Cesto takve granicneteoreme obezbedjuju granicne relacije koje se odnose na niz sa slucajnim indeksima,kao i za slucajan indeks. Ako je moguce odrediti preciznu ocenu za jedan od ta dvapojma, na osnovu nje se moze dobiti granicna teorema za drugi.

3.1 Konvergencije slucajnog niza sa slucajnim

indeksima

Pre prezentacije granicnih teorema za slucajna kretanja, razmatra se sledeci opstiproblem koji se odnosi na niz slucajnih promenljivih sa slucajnim indeksima.

Neka je Xn, n ≥ 1 niz slucajnih promenljivih i neka je N(t), t ≥ 1 familijapozitivnih slucajnih promenljivih sa celobrojnim vrednostima.Neka vazi

Xn→X, n→∞ (3.1)

i

N(t)→+∞, t→∞. (3.2)

31

Granicne teoreme za slucajna kretanja 32

Postavlja se pitanje pod kojim uslovima iz (3.1) i (3.2) sledi da

XN(t)→X, t→∞. (3.3)

U izrazima (3.1)-(3.3), konvergencije mogu biti nekog od cetiri tipa koja su opisanadefinicijama 1.1-1.4.

Prvi elementarni rezultat, koji se odnosi na dati problem je predstavljen sledecomteoremom.

Teorema 3.1.1 Neka je

Xnr−→X, n→∞ (3.4)

i neka je familija slucajnih promenljivih N(t), t ≥ 0 nezavisna od niza Xn, n ≥ 1,pri cemu vazi

N(t)v−→ +∞, t→∞. (3.5)

Tada je

XN(t)r−→ X, t → ∞. (3.6)

Dokaz. Neka ϕU oznacava karakteristicnu funkciju slucajne promenljive U. Zbogpretpostavke o nezavisnosti vazi da je

ϕXN(t)(u) =

∞∑

k=1

E(eiuXk |N(t) = k)·P (N(t) = k)

=∞∑

k=1

ϕXk(u)·P (N(t) = k).

Neka je k0 dovoljno veliko tako da je |ϕXk(u)− ϕX(u)| ≤ ǫ, za proizvoljno ǫ > 0

i k > k0, i neka je t0 dovoljno veliko tako da je P (N(t) ≤ k0) < ǫ, za t > t0. Tadaje, za t > t0,

|ϕXN(t)(u)− ϕX(u)| =

∣

∣

∣

∣

∣

∞∑

k=1

(ϕXk(u)− ϕX(u))·P (N(t) = k)

∣

∣

∣

∣

∣

≤k0∑

k=1

|ϕXk(u)− ϕX(u)|·P (N(t) = k)

+∞∑

k=k0+1

|ϕXk(u)− ϕX(u)|·P (N(t) = k)

≤ 2·P (N(t) ≤ k0) + ǫ·P (N(t) > k0)

≤ 2·ǫ+ ǫ·1 = 3ǫ,


cime je dokazano tvrdjenje, jer je ǫ proizvoljno.Dakle problem opisan pomocu (3.4)-(3.6) je resen pod minimalnim uslovima, a

to je uslov nezavisnosti Xn, n ≥ 1 i N(t), t ≥ 0. Medjutim, u preostalom deluovog poglavlja nece biti ove pretpostavke.

Najpre se razmatra najjednostavniji slucaj, kada familije slucajnih promenljivih,za koje vaze uslovi (3.1) i (3.2), skoro izvesno konvergiraju.

Teorema 3.1.2 Neka vazi da

Xns.i.−→ X, n → ∞, N(t)

s.i.−→ +∞, t → ∞. (3.7)

Tada

XN(t)s.i.−→ X, t → ∞. (3.8)

Dokaz. Neka je A = ω : Xn(ω) 6→X(ω), B = ω : N(t, ω) 6→+∞ i C = ω :XN(t,ω)(ω) 6→X(ω). Tada je C ⊂ A ∪ B, sto implicira da je 0 ≤ P (C) ≤ P (A∪B).Na osnovu uslova (3.7) sledi da je

P (A ∪ B) = 1− P (AC ∩BC) = 0,

sto zajedno sa prethodnom relacijom dovodi do zakljucka da je P (C) = 0. Dakle,P (CC) = 1 i time je (3.8) dokazano.

Problem koji se javlja kada jedan od nizova Xn, n≥ 1 i N(t), t≥ 0 konvergirau verovatnoci, a drugi skoro izvesno, je malo slozeniji. Sledece rezultate dokazao jeRichter u svom radu [10].

Za dokaz naredne teoreme, neophodno je dokazati sledece tvrdjenje.

Lema 3.1.1 Ako za niz nezavisnih slucajnih promenljivih Xn, n ∈ N vazi

Xnv−→ X, n → ∞, (3.9)

tada postoji podniz datog niza Xnk, k ∈ N za koji vazi

Xnk

s.i.−→ X, k → ∞.

Dokaz. Neka je nk, k ∈ N ⊂ N. Na osnovu (3.9), za dovoljno veliko k0 ∈ N

vazi

P

(

|Xnk−X| ≥ 1

k

)

<1

k2, k ≥ k0

odakle sledi da je

∞∑

k=k0

P

(

|Xnk−X| ≥ 1

k

)

<∞∑

k=k0

1

k2< ∞.

Tada, na osnovu Borel-Kantelijeve leme sledi da se sa verovatnocom 1 realizuje samokonacno mnogo dogadjaja ω : |Xnk

(ω)−X(ω)| ≥ 1k. Dakle,

Xnk

s.i.−→ X, k → ∞.


Teorema 3.1.3 Neka vazi

Xns.i.−→ X, n → ∞, N(t)

v−→ +∞, t → ∞. (3.10)

Tada

XN(t)v−→ X, t → ∞. (3.11)

Dokaz. Treba pokazati da svaki podniz od XN(t) sadrzi podniz koji konvergira skoroizvesno, a samim tim i u verovatnoci prema X sto dokazuje teoremu.

Kako N(t)v−→ +∞, onda N(tk)

v−→ +∞ za svaki podniz tk, k ≥ 1 ⊂ [0,+∞).Sada se, na osnovu Leme 3.1.1, za ovaj podniz moze uvek izabrati podniz tkj , j ≥ 1tako da N(tkj)

s.i.−→ +∞, j → ∞. Na kraju, kako Xns.i.−→ X, n → ∞, na osnovu

Teoreme 3.1.2 sledi da XN(tkj )s.i.−→ X, a otuda i da XN(tkj )

v−→ X, j → ∞.

Neka je xn, n ≥ 1 niz realnih brojeva. Iz analize je poznato da xn→x, n → ∞ako i samo ako svaki podniz od xn sadrzi podniz koji konvergira ka x. U dokazuTeoreme 3.1.3 korisceni su odgovarajuci rezultati za konvergenciju u verovatnoci.Zapravo, dokazano je i vise-da svaki podniz od XN(t) sadrzi podniz koji skoro izvesnokonvergira. Medjutim, zakljucak je bio da XN(t) konvergira u slabijem smislu, tj. uverovatnoci.

Da bi ovo dalje bilo pojasnjeno, treba primetiti prvo da je Xnv−→ X, n → ∞,

ekvivalentno sa

E|Xn −X|

1 + |Xn −X| → 0, n → ∞.

sto je dokazano u [14], odakle sledi da Xnv−→ X, n → ∞ ako i samo ako za svaki

podniz od Xn postoji podniz koji konvergira u verovatnoci ka X.Medjutim, odgovarajuci rezultati nisu tacni za skoro izvesnu konvergenciju, kao

sto se i vidi iz sledeceg primera, koji je dao Svante Janson.

Primer 3.1.1 Neka je Xn, n ≥ 1 niz nezavisnih slucajnih promenljivih takav daje P (Xn = 1) = 1/n i P (Xn = 0) = 1− 1/n. Jasno je da Xn → 0 u verovatnoci, aline i skoro izvesno, kada n → ∞. Ipak, za svaki podniz moze se izabrati podniz kojikonvergira skoro izvesno ka 0.

Jos uvek se postavlja pitanje da li zakljucak (3.11) Teoreme 3.1.3 moze bitizamenjen skoro izvesnom konvergencijom. Sledeci primer pokazuje da to, u opstemslucaju, nije moguce.

Primer 3.1.2 Neka je Ω=[0,1], F σ-algebra merljivih podskupova od Ω i P Lebe-gova mera. Neka je

Xn(ω) =

1m+1

, j2m

≤ ω < j+12m

,

0, u suprotnom,

gde je n = 2m + j, 0 ≤ j ≤ 2m − 1, i neka je

N(t, ω) =

1, s2r

≤ ω ≤ s+12r

,mink : k ≥ 2t, Xk(ω) > 0, u suprotnom,


gde je t = 2r + s, 0 ≤ s ≤ 2r − 1.

Tada je Xns.i.−→ 0, n → ∞ i N(t)

v−→ ∞, t → ∞ i

XN(t,ω)(ω) =

1, s2r

≤ ω < s+12r

,1

t+1, u suprotnom,

gde je t = 2r + s, 0 ≤ s ≤ 2r − 1.Sada je lako zakljuciti da XN(t) konvergira u verovatnoci prema 0. Medjutim,

kako je verovatnoca da ce vaziti XN(t) = 1 za skoro svako t, jednaka 1, XN(t) nekonvergira ka 0 skoro izvesno kada t → ∞.

Prethodni primer dao je Richter (1965), i spomenut je ovde zato sto je u bliskojvezi sa Primerom 3.1.4 koji ce biti razmatran u nastavku. Sledeci, jednostavnijiprimer sa istim zakljuckom kao i Primer 3.1.2 je razmatrao Svante Janson.

Primer 3.1.3 Neka je P (Xn = 1/n) = 1. Jasno je da vazi Xns.i.−→ 0, n → ∞. Za

proizvoljnu familiju N(t), t ≥ 0 pozitivnih, celobrojnih slucajnih promenljivih vazida XN(t) = 1/N(t) konvergira skoro izvesno (u verovatnoci) prema 0, kada n → ∞,ako i samo ako N(t) → +∞ skoro izvesno (u verovatnoci), kada t → ∞.

Ovi primeri pokazuju da se u Teoremi 3.1.3 zakljucak (3.11) ne moze zamenitizakljuckom koji je strozi. U slucaju koji je preostao, a to je kada Xn

r−→ X, n → ∞i N(t)

s.i.−→ +∞, t → ∞, ne postoji opsta teorema koja se odnosi na konvergencijuniza XN(t), sto pokazuje sledeci primer.

Primer 3.1.4 Razmatra se isti prostor verovatnoca kao u Primeru 1.2. Neka je

Xn =

1, j2m

≤ ω < j+12m

,0, u suprotnom,

gde je n = 2m + j, 0 ≤ j ≤ 2m − 1, i neka je

N(t) = mink : k ≥ 2t, Xk > 0.

Slicno kao u Primeru 3.1.2, zakljucuje se daXn konvergira prema 0 u verovatnoci,

ali ne i skoro izvesno kada, n → ∞. Takodje, N(t)s.i.−→ +∞ kada t → ∞.

Pored toga vazi da je XN(t) = 1 skoro izvesno za svako t, tj. nije moguceformulisati granicnu teoremu analognu Teoremi 3.1.3.

U sledecoj teoremi bice predstavljene neke primene Teoreme 3.1.2, sto ce bitikorisceno u predstojecem razmatranju. Za dokaz naredne teoreme koristi se Marcinki-ewicz-Zygmundov strogi zakon velikih brojeva, koji ce biti naveden bez dokaza.Dokaz se moze naci u [14].


Teorema 3.1.4 (Marcinkiewicz-Zygmundov strogi zakon velikih brojeva)Neka je 0 < r < 2 i neka su X1, X2, ... nezavisne, jednako raspodeljene slucajnepromenljive. Ako je E|X1|r < ∞, i EX1 = 0 u slucaju kada je 1 ≤ r < 2, tadaza niz parcijalnih suma Sn =

∑nk=1 Xk, n ≥ 1, vazi

Sn

n1/r

s.i.−→ 0, n → ∞.

Obratno, ako je prethodna skoro izvesna konvergencija zadovoljena, tada vazi E|X1|r<∞, i E|X1| = 0 kada je 1 ≤ r < 2.

Teorema koja sledi je posebno znacajna jer se odnosi ne samo na slucajan niz saslucajnim indeksima, vec i na slucajno kretanje koje je generisano tim nizom.

Teorema 3.1.5 Neka je Xk, k ≥ 1 niz iid slucajnih promenljivih i Sn, n ≥ 1niz njihovih parcijalnih suma. Takodje, neka vazi da N(t)

s.i.−→ +∞ kada t → ∞.

(i) Ako je E|X1|r < ∞, r > 0, tada

XN(t)

(N(t))1/rs.i.−→ 0, t → ∞. (3.12)

Osim toga, ako

N(t)

t

s.i.−→ θ (0 < θ < ∞), t → ∞, (3.13)

tada

XN(t)

t1/rs.i.−→ 0, t → ∞. (3.14)

(ii) Ako je E|X1|r < ∞ (0 < r < 2) i EX1 = 0, kada je 1 ≤ r < 2, tada

SN(t)

(N(t))1/rs.i.−→ 0, t → ∞. (3.15)

Osim toga, ako vazi i (3.13), tada

SN(t)

t1/rs.i.−→ 0, t → ∞. (3.16)

(iii) Ako je E|X1| < ∞ i EX1 = µ, tada

SN(t)

N(t)

s.i.−→ µ, t → ∞. (3.17)

Osim toga, ako vazi i (3.13), tada

SN(t)

t

s.i.−→ µ · θ, t → ∞. (3.18)


Dokaz.

(i) Po pretpostavci vazi da je, za svako ǫ > 0,

∞∑

n=1

P (|X1| > ǫn1/r) < ∞, (3.19)

sto je, imajuci u vidu da Xn, n ≥ 1, imaju istu raspodelu, ekvivalentno sa

∞∑

n=1

P (|Xn| > ǫn1/r) < ∞, ǫ > 0. (3.20)

Imajuci u vidu nezavisnost slucajnih promenljivih Xn, n ≥ 1, na osnovuBorel-Kantelijeve leme relacija (3.20) je ekvivalentna sa

Xn

n1/r

s.i.−→ 0, n → ∞. (3.21)

Primenom Teoreme 3.1.2 zakljucuje se da vazi (3.12). Za dokaz tvrdjenja(3.14), potrebno je uociti da je

XN(t)

t1/r=

XN(t)

(N(t))1/r·(

N(t)

t

)1/r

.

Tada (3.14) sledi direktno na osnovu (3.12) i (3.13).

(ii) Prema Marcinkiewicz-Zygmundovom strogom zakonu velikih brojeva (Teo-rema 3.1.4), vazi da je

Sn

n1/r

s.i.−→ 0, n → ∞, (3.22)

sto zajedno se Teoremom 3.1.2 implicira (3.15). Analognim postupkom kao udokazu tvrdjenja (3.14), dobija se (3.16).

(iii) Strogi zakon velikih brojeva i Teorema 3.1.2 zajedno impliciraju (3.17). Zadokazivanje relacije (3.18), treba uociti da na osnovu (3.13) i (3.16), specijalnoza r = 1, vazi

SN(t)

t=

SN(t) − µN(t)

t+

µN(t)

t

s.i.−→ 0 + µθ = µθ, t → ∞. (3.23)

Poslednji rezultat u ovom poglavlju je varijanta Teoreme 3.1.2. U tom smisluvazi pretpostavka da N(t) konvergira skoro izvesno prema skoro izvesno konacnojslucajnoj promenljivoj, kada t → ∞.


Teorema 3.1.6 Neka vazi da

N(t)s.i.−→ N, t → ∞, (3.24)

gde je N skoro izvesno konacna slucajna promenljiva. Tada, za svaki niz Xn, n ≥ 1,vazi

XN(t)s.i.−→ XN , t → ∞. (3.25)

Dokaz. Neka je A = ω : N(t, ω)→N(ω) i neka je ω ∈ A, gde je ω proizvoljan,ali fiksiran elementarni dogadjaj. Kako indeksi N(t) i N uzimaju samo celobrojnevrednosti sledi da za dato ω ∈ A, postoji t0(ω), tako da vazi

N(t, ω) = N(ω), t > t0(ω). (3.26)

Na osnovu toga sledi da je, za svako t > t0(ω),

XN(t,ω)(ω) = XN(ω)(ω), (3.27)

cime je tvrdjenje dokazano.

3.2 Konvergencija momenata u strogom zakonu i

centralnoj granicnoj teoremi

Dobro je poznato da, na primer, skoro izvesna konvergencija i konvergencija uraspodeli ne impliciraju konvergenciju momenata. Da bi ovo vazilo neophodno jeda niz slucajnih promenljivih bude uniformno integrabilan.

Definicija 3.2.1 Niz slucajnih promenljivih Xn, n ∈ N je uniformno integrabi-lan ako i samo ako je

limα→∞

E|Xn|I|Xn| > α = 0 (3.28)

uniformno po n ∈ N.

U ovom delu bice dokazana konvergencija momenata u strogom zakonu velikihbrojeva i centralnoj granicnoj teoremi.

Strogi zakon

U okviru naredne teoreme bice koriscena oznaka Lr za konvergenciju u srednjemreda r. Pre teoreme o konvergenciji momenata u strogom zakonu velikih brojevabice navedena tvrdjenja koja su neophodna za njeno dokazivanje. U nastavku cenekoliko puta biti primenjena elementarna nejednakost

(

n∑

i=1

xi

)r

≤ maxnr−1, 1·n∑

i=1

xir, xi > 0, r > 0. (3.29)

Sledecom lemom je predstavljen kriterijum za utvrdjivanje uniformne integrabi-lnosti niza slucajnih promenljivih.


Lema 3.2.1 Niz Xn, n ≥ 1 je uniformno integrabilan ako i samo ako je:

(i) supn≥1 E|Xn| < ∞,

(ii) za svako ǫ > 0 postoji δ > 0, tako da za svaki dogadjaj A, za koji je P (A) < δi svako n ≥ 1, vazi:

E|Xn|IA < ǫ.

Sledece tvrdjenje se odnosi na vezu izmedju uniformne integrabilnosti i konve-rgencije momenata.

Teorema 3.2.1 Neka je 0 < r < ∞ i E|Xn|r < ∞, n ≥ 1 i Xnv−→ X, n → ∞.

Sledeci uslovi su ekvivalentni:

(i) XnLr

−→ X, n → ∞;

(ii) E|Xn|r→EXr < ∞, n → ∞;

(iii) Niz |Xn|r, n ≥ 1 je uniformno integrabilan.

Stavise, ako Xnv−→ X i vazi jedan od uslova (i)-(iii), tada

(iv) E|Xn|p→E|X|p, n → ∞, za svako p, pri cemu je 0 < p ≤ r.

Dokazi prethodnih tvrdjenja se mogu naci u [11] i [14].

Primedba 3.2.1 Teorema 3.2.1, ocigledno, i dalje vazi ako se pretpostavi da je upitanju skoro izvesna konvergencija, umesto konvergencije u verovatnoci. Stavise,u [12, 13, 14] je dokazan slucaj kada se (osim u uslovu (i)) radi o konvergenciji uraspodeli.

Primedba 3.2.2 Implikacije (iii) ⇒ (i), (ii), (iv) ce vaziti za familije slucajnihpromenljivih.

Teorema 3.2.2 Neka su Xk, k ≥ 1 iid slucajne promenljive takve da je E|X1|r <∞ za neko r ≥ 1 i neka je Sn =

∑nk=1 Xk, n ≥ 1. Tada vazi

Sn

n

s.i.,Lr

−→ EX1, n → ∞. (3.30)

Dokaz. Skoro izvesna konvergencija u (3.30) predstavlja strogi zakon velikihbrojeva (Teorema 1.2.1). Za dokaz Lr-konvergencije koristi se Lema 3.2.1 da bi sedokazalo da je niz

∣

∣

∣

∣

Sn

n

∣

∣

∣

∣

r

, n ≥ 1

(3.31)


uniformno integrabilan, iz cega zakljucak sledi prema Teoremi 3.2.1. Na osnovuelementarne nejednakosti (3.29), vazi da je

E

∣

∣

∣

∣

Sn

n

∣

∣

∣

∣

r

≤ E

(

1

n

n∑

k=1

|Xk|)r

≤ E1

n

n∑

k=1

|Xk|r = E|X1|r < ∞, (3.32)

sto dokazuje uniformnu ogranicenost niza E|Sn/n|r, n ≥ 1, tako da je uslov (i) uLemi 3.2.1 zadovoljen.

Za dokaz dela (ii) Leme 3.2.1, potrebno je uociti na osnovu (3.32) da, za svakoǫ > 0, postoji δ > 0 tako da je E|X1|rIA < ǫ, za svako A za koje je P (A) < δ.Neka je A proizvoljan dogadjaj sa datom osobinom. Tada je

E

∣

∣

∣

∣

Sn

n

∣

∣

∣

∣

r

IA ≤ E1

n

n∑

k=1

|Xk|rIA = E|X1|rIA < ǫ, (3.33)

nezavisno od n. Tako je zadovoljen i uslov (ii) Leme 3.2.1. Time je dokazano daje niz (3.31) uniformno integrabilan, odakle na osnovu Teoreme 3.2.1 sledi (3.30) uLr-smislu.

Centralna granicna teorema

Glavni rezultat u ovom delu se odnosi na Lr konvergenciju niza Sn√n, n ≥ 1.

Pre formulacije tog tvrdjenja bice navedeni rezultati koji se eksplicitno koriste unjegovom dokazu.

Teorema 3.2.3 (Nejednakost Marcinkiewicz-Zygmund): Neka je Xk, k ≥ 1niz nezavisnih slucajnih promenljivih, takav da je EXk = 0 i E|Xk|r < ∞, k ≥ 1,za neko r ≥ 1, i neka su Sn, n ≥ 1 njihove parcijalne sume. Tada postoje konstanteAr i Br, koje zavise od r, takve da je

ArE

(

n∑

k=1

X2k

)r/2

≤ E|Sn|r ≤ BrE

(

n∑

k=1

X2k

)r/2

.

Specijalno, ako su slucajne promenljive Xk nezavisne i jednako raspodeljene, tadavazi

E|Sn|r ≤

BrnE|X1|r, 1 ≤ r < 2Brn

r/2E|X1|r, r ≥ 2.

Dokaz ove teoreme se moze naci u [15].

Lema 3.2.2 Neka su U i V pozitivne slucajne promenljive, takve da vazi EU r < ∞i EV r < ∞ za neko r > 0. Tada je, za svako α > 0,

E(U + V )rIU + V > α ≤ 2rEU rIU >α

2+ 2rEV rIV >

α

2.


Dokaz. Na osnovu uslova leme se direktno dobija

E(U + V )rIU + V > α ≤ E(max2U, 2V )rImax2U, 2V > α≤ 2rEU rIU >

α

2+ 2rEV rIV >

α

2

Naredna teorema predstavlja centralni rezultat u ovom odeljku.

Teorema 3.2.4 Neka su Xk, k ≥ 1 iid slucajne promenljive i neka je Sn =∑n

k=1 Xk, n ≥ 1. Ako je EX1 = 0, DX1 = σ2 < ∞ i E|X1|r < ∞ za nekor ≥ 2, tada je, za svako p, 0 < p ≤ r,

E

∣

∣

∣

∣

Sn√n

∣

∣

∣

∣

p

→ E|Z|p, n → ∞, (3.34)

gde je Z : N (0, σ2).

Dokaz. Na osnovu CGT (Teorema 1.2.2), niz Sn/√n, n ∈ N, konvergira prema

Z u raspodeli. Dakle, imajuci u vidu Teoremu 3.2.1 i Primedbu 3.2.1, dovoljno jedokazati da je niz

∣

∣

∣

∣

Sn√n

∣

∣

∣

∣

r

, n ≥ 1

uniformno integrabilan.Neka je ǫ > 0 proizvoljno i M > 0 dovoljno veliko, tako da je E|X1|rI|X1| >

M < ǫ. Neka je za k ≥ 1 i n ≥ 1,

X′

k = XkI|Xk|≤M − EXkI|Xk|≤M, X′′

k = Xk −X′

k,

S′

n =n∑

k=1

X′

k, S′′

n =n∑

k=1

X′′

k . (3.35)

Treba imati u vidu da je EX′

k = EX′′

k = 0. Dokaz ce, zbog pojednostavljenja, bitipodeljen u tri koraka.

(i) Potrebno je najpre dokazati da, za svako α > 0, postoji konstanta B2r tako davazi

E

∣

∣

∣

∣

S′

n√n

∣

∣

∣

∣

r

I

∣

∣

∣

∣

S′

n√n

∣

∣

∣

∣

> α

≤ B2r(2M)2r

αr. (3.36)

U tom smislu treba uociti da za pozitivnu slucajnu promenljivu U vazi

EU rIU > α =

∫ ∞

α

urdFU(u) ≤ α−r

∫ ∞

α

u2rdFU(u) ≤ α−rEU2r. (3.37)


Na taj nacin se zakljucuje da je

E

∣

∣

∣

∣

S′

n√n

∣

∣

∣

∣

r

I

∣

∣

∣

∣

S′

n√n

∣

∣

∣

∣

> α

≤ α−rE

∣

∣

∣

∣

S′

n√n

∣

∣

∣

∣

2r

= (αn)−rE|S ′

n|2r. (3.38)

Sada, kako su S ′

n, n ≥ 1 sume uniformno ogranicenih, jednakoraspodeljenihslucajnih promenljivih sa ocekivanjem 0, moze se primeniti Teorema 3.2.3 (neje-dnakost Marcinkiewicz-Zygmunda), za moment reda 2r slucajne promenljive S

′

n. Iztoga sledi da je

E|S ′

n|2r ≤ B2rnrE|X ′

1|2r ≤ B2rnr(2M)2r, (3.39)

sto zajedno sa (3.38) daje (3.36).

(ii) U drugom delu dokaza pokazuje se da, za svako α > 0 i svako ǫ > 0, vazi

E

∣

∣

∣

∣

S′′

n√n

∣

∣

∣

∣

r

I

∣

∣

∣

∣

S′′

n√n

∣

∣

∣

∣

> α

< Br · 2rǫ. (3.40)

Primenom Teoreme 3.2.3 (nejednakost Marcinkiewicz-Zygmunda) za momentreda r ≥ 2, dobija se

E

∣

∣

∣

∣

S′′

n√n

∣

∣

∣

∣

r

I

∣

∣

∣

∣

S′′

n√n

∣

∣

∣

∣

> α

≤ E

∣

∣

∣

∣

S′′

n√n

∣

∣

∣

∣

r

≤ n−r/2·Br·E|X ′′

1 |r·nr/2. (3.41)

Kako je EXk = 0, sledi da je

X′′

k = Xk·I|Xk| > M − EXkI|Xk| > M.

Dalje se, na osnovu elementarne nejednakosti (3.29), Jensenove nejednakosti i pre-tpostavke E|Xk|rI|Xk| > M < ǫ, dobija

E|X ′′

k |r ≤ E(|Xk|I|Xk| > M+ E|Xk|I|Xk| > M)r≤ 2r−1·(E|Xk|rI|Xk| > M+ (E|Xk|I|Xk| > M)r)≤ 2r−1·(E|Xk|rI|Xk| > M+ E|Xk|rI|Xk| > M)< 2r·ǫ.

Zamenom poslednje nejednakosti u (3.41), dobija se (3.40).

(iii) Treba dokazati da za svako δ > 0, postoji α0(δ), tako da je za svako α > α0(δ),

E

∣

∣

∣

∣

Sn√n

∣

∣

∣

∣

r

I

∣

∣

∣

∣

Sn√n

∣

∣

∣

∣

> 2α

< δ. (3.42)

Da bi se ovo dokazalo, fiksira se proizvoljno δ > 0. Zatim se bira dovoljno maloǫ za koje vazi 22rǫBr < δ/2 i dovoljno veliko α0 tako da je (2/α0)

rB2r(2M)2r < δ/2.


Na osnovu nejednakosti trougla, Leme 3.2.2, i koraka (i) i (ii) ovog dokaza, dobijase

E

∣

∣

∣

∣

Sn√n

∣

∣

∣

∣

r

I

∣

∣

∣

∣

Sn√n

∣

∣

∣

∣

> 2α

≤ E

(∣

∣

∣

∣

S′

n√n

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

S′′

n√n

∣

∣

∣

∣

)r

I

∣

∣

∣

∣

Sn′

√n

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

S′′

n√n

∣

∣

∣

∣

> 2α

≤ 2rE

∣

∣

∣

∣

S′

n√n

∣

∣

∣

∣

r

I

∣

∣

∣

∣

S′

n√n

∣

∣

∣

∣

> α

+ 2rE

∣

∣

∣

∣

S′′

n√n

∣

∣

∣

∣

r

I

∣

∣

∣

∣

S′

n√n

∣

∣

∣

∣

> α

<

(

2

α

)r

·B2r(2M)2r + 22rǫBr < δ.

Glava 4

Procesi obnavljanja i slucajna

kretanja u nezivotnom osiguranju

U ovom poglavlju ce biti razmatrana klasa slucajnih kretanja, koja ima znacajnuulogu u nezivotnom osiguranju, a to je klasa procesa obnavljanja. Njihova posebnaodlika je da su im koraci nenegativne slucajne promenljive.

Neka je Tn, n ≥ 0 slucajno kretanje sa nenegativnim koracima Wk, k ≥ 1, iT0 = 0. Ekvivalentno, Wk, k ≥ 1 je niz iid slucajnih promenljivih sa parcijalnimsumama Tn =

∑nk=1 Wk, n ≥ 0. Neka je sa F oznacena funkcija raspodele koraka

Wk, k ≥ 1. Da bi se izbegli trivijalni slucajevi, neka vazi da je P (W1 6= 0) > 0.U zavisnosti od skupa vrednosti slucajnih promenljivih Wk, k ≥ 1 razlikuju

se dve vrste slucajnih kretanja, a samim tim i procesa obnavljanja. Kaze se daje slucajno kretanje (proces obnavljanja) aritmeticki ako Wk uzimaju vrednosti izskupa 0,±d,±2d, ... (0, d, 2d, ...), za neko d > 0. Najvece d sa ovom osobinomse naziva raspon. Slucajno kretanje ili proces obnavljanja koji je aritmeticki sarasponom d se takodje naziva i d-aritmeticki. Ako slucajne promenljive Wk nemajuprethodnu osobinu ni za jedno d, kaze se da je slucajno kretanje ili proces obnavljanjanearitmeticki.

U ovoj glavi predstavljeno je asimptotsko ponasanje procesa broja nastalih stetau portfoliju nezivotnog osiguranja, kao i ukupne sume isplacenih odstetnih zahteva.Na osnovu dobijenih rezultata odredjeni su osnovni principi izracunavanja premijai prikazana je aproksimacija raspodele ukupne stete primenom centralne granicneteoreme.

4.1 Procesi obnavljanja. Uvodni primeri

Motivacija za proucavanje procesa obnavljanja je proistekla iz prakse, sto ce bitiislustrovano sledecim primerima.

Primer 4.1.1 Posmatra se neki elektronski uredjaj, preciznije, odredjena njegovakomponenta. Kada komponenta otkaze, ona se odmah zamenjuje drugom identicnomkomponentom, koja se takodje, kada otkaze, zamenjuje itd. Neka Wk, k ≥ 1

44

Procesi obnavljanja i slucajna kretanja u nezivotnom osiguranju 45

oznacava niz vremena trajanja komponenata i neka je Tn =∑n

k=1 Wk, n ≥ 0. TadaTn predstavlja (slucajno) ukupno vreme trajanja prvih n komponenata. Ako je, npr,Wk, k ≥ 1 niz iid slucajnih promenljivih sa eksponencijalnom raspodelom, tadaTn ima Gama raspodelu.

U praksi je, medjutim, veca verovatnoca da je neko zainteresovan za slucajnibroj komponenata potrebnih za funkcionisanje uredjaja tokom fiksiranog vremenskogintervala, nego za slucajno vreme trajanja fiksiranog broja komponenata.

U slucaju kada vremena trajanja komponenata imaju eksponencijalnu raspodelu,stohasticki proces koji opisuje promenu broja komponenata tokom vremena je Poi-ssonov proces.

Primer 4.1.2 Kretanje molekula neke hemijske supstance se takodje moze modeli-rati pomocu slucajnog kretanja. Naime, imajuci u vidu da, pod uticajem razlicitihfaktora, molekul menja svoj polozaj u slucajnim trenucima, njegova putanja se mozeshvatiti kao slucajno kretanje. Analogno prethodnom primeru, umesto proucavanjana kojoj lokaciji se nalazi molekul posle fiksiranog broja premestaja, prirodnije jerazmatrati broj slucajnih pomeraja do fiksiranog trenutka.

Primer 4.1.3 (Bernulijevo slucajno kretanje). Neka su Wk, k ≥ 1 iid slucajnepromenljive sa Bernulijevom raspodelom sa parametrom p (Be(p)), pri cemu jeP (Wk = 1) = 1−P (Wk = 0) = p. Tada slucajna promenljiva Tn =

∑nk=1 Wk, n ≥ 0

ima Binomnu raspodelu. Ona se moze interpretirati kao broj realizacija nekog do-gadjaja A u n nezavisnih ponavljanja eksperimenta, pri cemu je P (A) = p. Ako seumesto toga posmatra slucajan broj nezavisnih izvodjenja eksperimenata neopho-dnih za postizanje odredjenog broja realizacija dogadjaja A, onda se radi o nega-tivnoj binomnoj raspodeli.

U tom smislu, neka je W redni broj ponavljanja eksperimenta kada se dogadjajrealizuje ν-ti put. Tada je

P (W = k) =

(

k − 1

ν − 1

)

pν(1− p)k−ν , k = ν, ν + 1, ...

tj. W ima negativnu binomnu raspodelu sa parametrima ν i p (NB(ν, p)).Medjutim, cesto se kaze da slucajna promenljiva Y=W -ν ima NB(ν, p) raspodelu.

Ona predstavlja broj ponavljanja eksperimenta kada se realizovao dogadjaj AC preν-te realizacije dogadjaja A, pri cemu je

P (Y = k) =

(

ν + k − 1

k

)

pν(1− p)k, k = 0, 1, 2, ...

Zajednicka odlika ovih primera je ta da se umesto proucavanja slucajnih vre-dnosti sume fiksiranog broja slucajnih promenljivih, proucava slucajni broj sabirakapotrebnih da bi suma dostigla odredjenu (neslucajnu) vrednost. U slucaju kada susabirci nenegativni, prelazi se na oblast teorije verovatnoce koja se naziva teorija


obnavljanja i niz Tn, n ≥ 0 se naziva niz obnavljanja. Primeri 4.1.1 i 4.1.3 suupravo ovog tipa, a uz odgovarajuce dodatne pretpostavke, takav je i Primer 4.1.2.

U nastavku je data stroga definicija i predstavljena su istrazivanja u vezi sanajbitnijim rezultatima za procese obnavljanja.

Osnovne radove u teoriji obnavljanja dali su Feller (1949), Doob (1948) i Smith(1954,1958).

4.2 Procesi obnavljanja. Definicija i opste

cinjenice

Neka je Wk, k ≥ 1 niz iid nenegativnih slucajnih promenljivih i neka je Tn, n ≥ 0niz njegovih parcijalnih suma. Tada, na osnovu Definicije 1.1.5, niz Tn, n ≥ 0predstavlja niz obnavljanja, koji generise odgovarajuci proces obnavljanja.

Nadalje ce sa F biti oznacena funkcija raspodele sabiraka Wk, k ≥ 1, a sa Fn

funkcija raspodele za Tn, n ≥ 0. Tada je,

F0(x) =

0, x < 0,1, x ≥ 0,

(4.1)

F1(x) = F (x), (4.2)

Fn(x) = F n∗(x), n ≥ 1, (4.3)

gde Fn predstavlja n-tu konvoluciju funkcije F .Jedan od glavnih predmeta proucavanja u teoriji obnavljanja je brojacki proces

obnavljanja, o kome je bilo reci u Poglavlju 1.1 ovog rada. U skladu sa Definicijom1.1.5, brojacki proces obnavljanja N(t), t ≥ 0 se definise na sledeci nacin

N(t) = Cardn ≥ 1 : Tn ≤ t. (4.4)

Ekvivalentna definicija ovog procesa je

N(t) = maxn : Tn ≤ t.

Primedba 4.2.1 Slucaj koji je od posebnog znacaja je slucaj kada vazi da jeF (x) = 1 − e−λx, x ≥ 0, tj. kada sabirci Wk, k ≥ 1 imaju eksponencijalnuraspodelu sa parametrom λ. U ovom slucaju N(t), t ≥ 0 je Poissonov processa intenzitetom λ, kao sto je dokazano u Poglavlju 1.1. Treba napomenuti josda je proces obnavljanja, definisan u Primeru 4.1.2, nearitmeticki, dok je procesobnavljanja definisan u Primeru 4.1.3 aritmeticki sa rasponom 1 (1-aritmeticki).

Primedba 4.2.2 Definicija (4.4) nije jedina postojeca definicija brojackog procesaobnavljanja. Neki autori koriste definiciju

N(t) = Cardn ≥ 0 : Tn ≤ t, (4.5)

pri cemu se pri prebrojavanju uzima u obzir i n = 0.


Sledeca teorema se odnosi na osnovne osobine brojackog procesa obnavljanja.

Teorema 4.2.1 Neka je N(t), t ≥ 0 brojacki proces obnavljanja, definisan sa(4.4). Tada vazi

(i) P (N(t) < ∞) = 1;

(ii) E(N(t))r < ∞, za svako r > 0;

(iii) Postoji s0 > 0 tako da je EesN(t) < ∞, za svako s < s0.

Dokaz. Po pretpostavci, postoji x0 > 0 takvo da je P (W1 ≥ x0) > 0. Moze se,bez gubljenja opstosti, pretpostaviti da je x0 = 1. Za k ≥ 1, neka je

W k =

0, Wk < 1,1, Wk ≥ 1.

(4.6)

Takodje neka je T n =∑n

k=1 W k, n ≥ 1 i N(t) = maxn : T n ≤ t.Ocigledno je tadaW k ≤Wk, k ≥ 1 i T n ≤ Tn, n ≥ 0, a otuda je iN(t) ≥ N(t), t ≥ 0.

Neka je p = P (W k = 1), k ≥ 1 i q = 1 − p. Takodje, neka je [t] oznaka za ceo

deo broja t. Kako slucajne promenljive T n, po definiciji, uzimaju samo nenegativnecelobrojne vrednosti, proces N se moze ekvivalentno predstaviti u obliku

N(t) = maxn : T n ≤ [t] t ≥ 0.

Tada je, za svako k = [t], [t] + 1, ...,

P (N(t) = k) = P (T k−1 = [t]− 1,W k = 1) =

(

k-1[t]-1

)

p[t]qk−[t].

Na osnovu Primera 4.1.3 se zakljucuje da N(t) ima negativnu binomnu raspodelusa parametrima [t] i p, za svako t ≥ 0. U [19] je pokazano da je karakteristicnafunkcija slucajne promenljive N(t)

fN(t)(h) =

(

p

1− (1− p)eih

)[t]

, h ∈ R.

Takodje, vazi da je

EesN(t) =

(

p

1− (1− p)eh

)[t]

, h < − ln(1− p).

Dakle, tvrdjenja teoreme vaze za proces N(t). Zbog toga, na osnovu N(t) ≥ N(t),t ≥ 0, tvrdjenja vaze i za polazni proces obnavljanja N(t), t ≥ 0.

Vazna relacija na kojoj su zasnovani dokazi nekoliko narednih tvrdjenja je

N(t) ≥ n = Tn ≤ t. (4.7)


Na taj nacin se dobija da je srednja vrednost brojackog procesa obnavljanja

EN(t) =∞∑

n=1

P (N(t) ≥ n) =∞∑

n=1

P (Tn ≤ t) =∞∑

n=1

Fn(t). (4.8)

Funkcija obnavljanja se definise kao

U(t) =∞∑

n=1

Fn(t)

i moze se zakljuciti, imajuci u vidu jednakost (4.8), da vazi

U(t) =∞∑

n=1

Fn(t) = EN(t). (4.9)

Primedba 4.2.3 U skladu sa Primedbom 4.2.2, ne postoji jedinstven nacin za defi-nisanje brojackog procesa N(t). Isto vazi i za funkciju obnavljanja. Ako se brojackiproces definise kao u (4.5), onda je prirodnije definisati funkciju obnavljanja saU(t) =

∑∞n=0 Fn(t). Zapravo, neki autori prvo definisu funkciju obnavljanja U(t)

na ovaj nacin, a zatim definisu N(t) tako da vazi U(t) = EN(t), tj. tako da vaziN(t) = Cardn ≥ 0 : Tn ≤ t.

Koristeci prvu jednakost iz (4.9) dva puta, dobija se

U(t) = F1(t) +∞∑

n=1

Fn+1(t) = F (t) +∞∑

n=1

(Fn ∗ F )(t)

= F (t) + (U ∗ F )(t).

Prethodna relacija predstavlja jedan deo tvrdjenja sledece teoreme, koja ce bitinavedena bez dokaza.

Teorema 4.2.2 (Integralna jednacina za procese obnavljanja) Funkcija ob-navljanja U(t) zadovoljava integralnu jednacinu

U(t) = F (t) + (U ∗ F )(t) (4.10)

ili, ekvivalentno

U(t) = F (t) +

∫ t

0

U(t− s)dF (s). (4.11)

Stavise, U(t) je jedinstveno resenje jednacine (4.11), koje je ograniceno na konacnimintervalima.


Primedba 4.2.4 Ako je proces obnavljanja d -aritmeticki, tada je, na osnovu (4.8)i (4.9),

U(nd) = EN(nd) =∞∑

j=1

P (Tj ≤ nd) =∞∑

j=1

[P (Tj = 0)+P (Tj = d)+...+P (Tj = nd)].

Dakle, vazi da je

U(nd) = u0 + u1 + ...+ un, n ≥ 0, (4.12)

gde je

uk =∞∑

j=1

P (Tj = kd), k = 0, n. (4.13)

Stavise, ako je fk = P (W1 = kd), k ≥ 0, dobija se formula diskretne konvolucije

un = fn +n∑

k=0

un−kfk. (4.14)

Da bi se dokazala jednakost (4.14), uvodi se slucajna promenljiva T′

j za koju vazi da

je T′

j = Tj+1 −W1r= Tj, pri cemu je T

′

j nezavisna od W1. Tada je

un =∞∑

j=1

P (Tj = nd) = P (T1 = nd) +∞∑

j=2

P (Tj = nd)

= P (W1 = nd) +∞∑

j=1

P (Tj+1 = nd)

= fn +∞∑

j=1

P (W1 + (Tj+1 −W1) = nd)

= fn +∞∑

j=1

P (W1 + T′

j = nd)

= fn +n∑

k=0

un−kfk.

Primedba 4.2.5 Definisanjem niza indikatora Ij, j ≥ 1 sa

Ij = ITj = kd,

dobija se da je suma∑∞

j=1 ITj = kd jednaka broju parcijalnih suma jednakih sakd. U tom slucaju, uk predstavlja ocekivani broj parcijalnih suma koje su jednakekd, k ≥ 0. Treba napomenuti da T0 nije uzeto u obzir pri prebrojavanju.


Neka je F0 = Ø,Ω i Fn = σWk, k ≤ n, n ≥ 1 potok dogadjaja. Za daljerazmatranje je bitan pojam vremena zaustavljanja.

Definicija 4.2.1 Neka je Ω,F ,F, P stohasticki bazis sa filtracijom F = Fn, n ≥0. Slucajna promenljiva τ : Ω → [0,∞] je Markovski moment u odnosu na fi-ltraciju F, ako je dogadjaj ω : τ(ω) = n ∈ Fn za svako n ≥ 0.Ako je P (τ(ω) < ∞) = 1, Markovski moment τ se naziva vreme zaustavljanja(moment zaustavljanja).

Kako je

N(t) = n = Tn ≤ t < Tn+1= W1 +W2 + ...+Wn ≤ t < W1 +W2 + ...+Wn+1 ∈ Fn+1,

zakljucuje se da N(t) nije vreme zaustavljanja u odnosu na dati potok dogadjaja.U tom smislu se uvodi vreme prvog prolaza ν(t), t ≥ 0, definisano kao

ν(t) = minn : Tn > t. (4.15)

Kako je

ν(t) = N(t) + 1, (4.16)

sledi da je

ν(t) = n = N(t) = n−1 = W1+W2+...+Wn−1 ≤ t < W1+W2+...+Wn ∈ Fn,

pa je ν(t) vreme zaustavljanja za svako t > 0. Pored toga, u kontekstu teorijeobnavljanja za slucajna kretanja, ovako definisan proces je potpuno prirodan sto cebiti potvrdjeno u daljem razmatranju.

Na osnovu (4.16) sledi da Teorema 4.2.1 takodje vazi i za vreme prvog prolaza.Dobija se i sledeca relacija, koja odgovara jednakosti (4.9), tj.

Eν(t) = 1 + EN(t) = 1 +∞∑

n=1

Fn(t) =∞∑

n=0

Fn(t). (4.17)

Medjutim, ako je 0 ≤ TN(t) ≤ t, tada TN(t) ima konacne momente svakog reda, aline moze se tvrditi da Tν(t) ima momente bilo kog reda bez dodatnih pretpostavki.Sledece dve teoreme su potrebne za izvodjenje zakljucka o postojanju momenataslucajne promenljive Tν(t), a dokazi ovih teorema se mogu naci u [15].

Teorema 4.2.3 Neka vazi da je E|W1|r < ∞ za neko r (0 < r < ∞) i EW1 = 0kada je r ≥ 1. Pored toga, neka je τ vreme zaustavljanja u odnosu na filtracijuF = Fn, n ≥ 0. Tada vazi

(i) E|Tτ |r ≤ E|W1|r·Eτ, 0 < r ≤ 1;

(ii) E|Tτ |r ≤ Br·E|W1|r·Eτ, 1 ≤ r ≤ 2;


(iii) E|Tτ |r ≤ Br·((EW 21 )

r/2·Eτ r/2 + E|W1|r·Eτ) ≤ 2Br·E|W1|r·Eτ r/2, r ≥ 2,

gde je Br konstanta koja zavisi samo od r.

Teorema 4.2.4 Neka je E|W1|r < ∞ za neko r (1 ≤ r < ∞) i τ vreme zaustavlja-nja u odnosu na filtraciju F = Fn, n ≥ 0. Tada postoji konstanta B

′

r zavisnasamo od r, takva da je

E|Tτ |r ≤ B′

r·E|W1|r·Eτ r.

Sada, na osnovu Teorema 4.2.1, 4.2.3 i 4.2.4, moze se zakljuciti da vazi

E(Tν(t))r < ∞ ⇔ E(W1)

r < ∞, r > 0. (4.18)

4.3 Teoreme obnavljanja

U ovom poglavlju ce biti predstavljeni neki asimptotski rezultati za brojacke proceseobnavljanja, takozvane teoreme obnavljanja. One, zbog svoje prirode i imajuci uvidu jednakost (4.16), takodje vaze i za vreme prvog prolaza. Zapravo, dokazi nekihod tih teorema su prvo izvedeni za vreme prvog prolaza zbog osobine vremenazaustavljanja. Zatim, odgovarajuci zakljucci slede na osnovu (4.16).

Znacajan deo u teoriji obnavljanja posvecen je proucavanju funkcije obnavljanjaU(t), posebno njenom asimptotskom ponasanju. U ovom poglavlju predstavljene suneke od tih granicnih teorema.

Sledeca teorema ce biti koriscena u dokazu Osnovne teoreme obnavljanja. Dokazove teoreme dat je u [15].

Teorema 4.3.1 Neka je Tn, n ≥ 1, T0 = 0, slucajno kretanje sa iid koracimaWk, k ≥ 1 i τ vreme zaustavljanja u odnosu na filtraciju F = Fn, n ≥ 0.Tada vazi:

(i) Ako je EW1 = µ i Eτ < ∞, tada je

ETτ = µ·Eτ.

(ii) Ako, pored toga, vazi σ2 = DW1 < ∞, tada je

E(Tτ − τµ)2 = σ2·Eτ.

Teorema 4.3.2 (Osnovna teorema obnavljanja) Neka je 0 < µ = EW1 ≤ ∞.Tada

U(t)

t→ 1

µ, t → ∞, (4.19)

pri cemu granicna vrednost postaje 0 kada je µ = +∞.


Dokaz. Neka je najpre 0 < µ < ∞. Kako N(t) nije vreme zaustavljanja,razmatra se ν(t) u cilju primene Teoreme 4.3.1. Tada je

U(t) = EN(t) = Eν(t)− 1 =1

µETν(t) − 1

=t

µ+

1

µE(Tν(t) − t)− 1,

odakle sledi da je

U(t)

t=

1

µ+

E(Tν(t) − t)

µt− 1

t. (4.20)

Kako je Tν(t) − t > 0, dobija se da je

lim inft→∞

U(t)

t≥ 1

µ. (4.21)

Treba napomenuti da je

Tν(t) − t ≤ Tν(t) − TN(t) = Wν(t). (4.22)

Neka je P (Wk ≤ M) = 1 za neko M > 0, k ≥ 1. Tada jednakost (4.20) inejednakost (4.22) zajedno daju

U(t)

t≤ 1

µ+

M

t, (4.23)

tako da je

lim supt→∞

U(t)

t≤ 1

µ, (4.24)

sto zajedno sa (4.21), dokazuje (4.19) za taj slucaj.Za proizvoljne Wk, k ≥ 1, zakljucak se izvodi primenom metode secenja,

definisuci W′

k = WkIWk ≤ M, k ≥ 1. Na taj nacin se dobija novi niz obnavljanjaT ′

n, n ≥ 0, gde je T ′

n =∑n

k=1 W′

k, a N′

(t) t > 0 je proces obnavljanja generisanovim nizom. Kako je W

′

k ≤ Wk, k ≥ 1 i T′

n ≤ Tn, n ≥ 0, dobija se da jeU(t) ≤ U

′

(t). Tada, na osnovu (4.24), vazi da je

lim supt→∞

U(t)

t≤ 1

µ′=

1

EW1IW1 ≤ M . (4.25)

Zakljucak sledi na osnovu (4.25), kada M → ∞.Na kraju, ako je µ = +∞, takodje se primenjuje metoda secenja, a zatim se

zahteva da M → ∞.

Sledeci rezultat je posledica Teoreme 4.3.2. Dokaz u slucaju kada je procesobnavljanja aritmeticki su izveli Kolmogorov (1936) i Erdos, Feller i Pollard (1949),i moze se naci u [16, 17]. Nearitmeticki slucaj dokazao je Blackwell u svom radu[18].


Teorema 4.3.3

(i) Za nearitmeticki proces obnavljanja vazi da je

U(t)− U(t− h) → h

µ, t → ∞. (4.26)

(ii) Za d-aritmeticki proces obnavljanja vazi

un =∞∑

k=1

P (Tk = nd) → d

µ, n → ∞. (4.27)

Granicne vrednosti u (4.26) i (4.27) su jednake 0 kada je µ = +∞.

Teorema 4.3.3 je usko povezana sa integralnom jednacinom (4.10). Sledeca teo-rema takodje daje povezanost.

Teorema 4.3.4 (Kljucna teorema obnavljanja)

(i) Neka vazi da je proces obnavljanja nearitmeticki. Ako je G(t), t ≥ 0, ogranicena,nenegativna, nerastuca funkcija, takva da je

∫∞0

G(t)dt < ∞, tada∫ t

0

G(t− s)dU(s) → 1

µ

∫ ∞

0

G(s)ds, t → ∞. (4.28)

(ii) Neka vazi da je proces obnavljanja d-aritmeticki. Ako je G(t), t ≥ 0, nenega-tivna funkcija i

∑∞n=0 G(nd) < ∞, tada

n∑

k=0

G(nd− kd)ukd → d

µ

∞∑

k=0

G(kd), n → ∞. (4.29)

Ako je µ = +∞ granicne vrednosti u (i) i (ii) su jednake 0.

Posebno, ako su Wk, k ≥ 1 eksponencijalno raspodeljene sa ocekivanjem µ =λ−1, tj. ako je N(t), t ≥ 0 Poissonov proces sa intenzitetom λ, tada je

U(t) = EN(t) = λt = t/µ,

iU(t)− U(t− h) = h/µ.

U ovom slucaju, za svako t, vaze jednakosti u (4.26) i (4.28), umesto konvergencija.Proces obnavljanja u Primeru 4.1.3 (koji je aritmeticki sa rasponom 1) se moze

interpretirati na sledeci nacin: broj nula pre prve pojave jedinice je slucajna prome-nljiva X koja ima geometrijsku raspodelu sa parametrom p (Γ(p)), pri cemu jeEX = (1 − p)/p. Posle pojave prve jedinice sledi ponovo X nula, nakon cega sepojavljuje druga jedinica, itd. Na taj nacin se dobija iid niz slucajnih promenljivihkoje imaju istu raspodelu kao X. Broj parcijalnih suma tog niza koje su jednake n jeX+1. Da bi se ovo uocilo, treba najpre primetiti da je prva parcijalna suma, koja jejednaka n, Sk gde je k takvo da je Sk−1 = n−1 iXk = 1. Nakon toga postojiX : Γ(p)nula pre nego sto se pojavi sledeca jedinica (kojom se dobija da je suma n+1). Tadase, na osnovu Primedbe 4.2.5, dobija da je un = 1+(q/p) = 1/p = 1/µ (jer je µ = p).Dakle, u ovom slucaju, u (4.27) vazi jednakost za svako n.


4.4 Granicne teoreme

U ovom delu predstavljeni su strogi zakon velikih brojeva i centralna granicna teo-rema za brojacke procese obnavljanja. Strogi zakon su dokazali Doob (1948) (skoroizvesna konvergencija), Feller (1941), Doob (1948) (konvergencija u srednjem) iHatori (1959) (konvergencija u smislu momenata reda veceg od 1). Centralnugranicnu teoremu dokazao je Feller (1949) u aritmetickom slucaju, i Takacs (1956) unearitmetickom slucaju. Ovde je predstavljen dokaz zasnovan na teoremi Anscombea.

Najpre treba uociti da, na osnovu (4.7), vazi da

N(t) → +∞, t → ∞. (4.30)

Tada se iz (4.16) i (4.30) dobija da ν(t) → ∞, t → ∞.

Teorema 4.4.1 (Strogi zakon velikih brojeva za procese obnavljanja) Nekaje 0 < µ = EW1 ≤ ∞. Tada je

(i)

N(t)

t

s.i.−→ 1

µ, t → ∞,

(ii)

E

(

N(t)

t

)r

→ 1

µr, t → ∞, r > 0.

Za µ = +∞ granicne vrednosti u (i) i (ii) su jednake 0.

Dokaz. Neka je 0 < µ < ∞.(i) Relacija

TN(t) ≤ t < Tν(t) (4.31)

i jednakost (4.16) zajedno daju

TN(t)

N(t)≤ t

N(t)≤ Tν(t)

ν(t)· N(t) + 1

N(t). (4.32)

Na osnovu Teoreme 3.1.5 sledi da clanoviTN(t)

N(t)iTν(t)

ν(t)· N(t)+1

N(t)u nejednakosti (4.32)

konvergiraju skoro izvesno prema µ kada t −→ ∞. Na taj nacin se zakljucuje da

t

N(t)

s.i.−→ µ, t → ∞, (4.33)

i odatle sledi da vazi (i).(ii) Treba pokazati da je proces

(

N(t)

t

)r

, t ≥ 1

(4.34)


uniformno integrabilan za svako r > 0, odakle se dobija da (ii) sledi iz (i) i Teoreme3.2.1

Imajuci u vidu (4.16), najpre ce biti dokazana ekvivalentna cinjenica, tj. da jeproces

(

ν(t)

t

)r

, t ≥ 1

(4.35)

uniformno integrabilan za svako r > 0. Ovaj rezultat je, u sustini, posledica suba-ditivnosti vremena prvog prolaza. Naime, neka su t, s > 0. Za razmatranje ν(t+ s),treba uociti da je, za dostizanje nivoa t+ s, potrebno prvo dostici nivo t. Kada je touradjeno proces pocinje iznova. Kako je Tν(t) > t, preostalo rastojanje koje procestreba da predje je najvise s. Tada se potreban broj koraka za dostizanje ovog nivoamoze majorirati slucajnom promenljivom ν1(s), raspodeljenom kao ν(s). Formalno,vazi da je

ν(t+ s) ≤ ν(t) +mink − ν(t) : Tk − Tν(t) > s= ν(t) + ν1(s). (4.36)

Neka je sada n ≥ 1 ceo broj. Indukcijom se dobija da je

ν(n) ≤ ν1(1) + · · · + νn(1), (4.37)

gde su νk(1), k ≥ 1 raspodeljene kao ν(1). Ovo, zajedno sa nejednakoscu Minkovskogi Teoremom 4.2.1 (ii), pokazuje da je

‖ν(n)‖r ≤ n ‖ν(1)‖r < ∞, (4.38)

gde je ‖A‖r = (E|A|r)1/r. Na kraju, kako je ν(t) ≤ ν([t] + 1) dobija se da je, zasvako t ≥ 1,

ν(t)

t≤ 2

ν([t] + 1)

[t] + 1, (4.39)

odakle se, imajuci u vidu (4.38), dobija da je

‖ν(t)/t‖r ≤ 2 ‖ν([t] + 1)/([t] + 1)‖r ≤ 2 ‖ν(1)‖r < ∞. (4.40)

Kako (4.40) vazi uniformno po t, sledi da je proces (ν(t)/t)p, t ≥ 1 uniformnointegrabilan za svako p < r. Kako je r proizvoljno, sledi da vazi uniformnaintegrabilnost procesa (4.35), a samim tim i proces (4.34) ima istu osobinu.

Ovim je izveden dokaz za slucaj 0 < µ < ∞. Za µ = +∞, zakljucak sledi naosnovu primene metode secenja, kao u dokazu Teoreme 4.3.2

Primedba 4.4.1 Tvrdjenja Teoreme 4.4.1 takodje vaze za proces ν(t), t ≥ 0.Ovo direktno sledi iz Teoreme 4.4.1, (4.16) i uniformne integrabilnosti procesa (4.35).


Za dokaz Centralne granicne teoreme za procese prebrojavanja potrebno je dokazatiTeoremu Anscombea, zbog cega je neophodno primeniti nejednakost Kolmogorova,koja ce biti navedena bez dokaza. Dokaz Teoreme 4.4.2 (nejednakost Kolmogorova)se moze naci u [14].

Teorema 4.4.2 (Nejednakost Kolmogorova) Neka je Xn, n ≥ 1 niz nezavisnihslucajnih promenljivih sa ocekivanjem 0, konacnom disperzijom DXk < ∞ za svakok ≥ 1 i parcijalnim sumama Sn =

∑nk=1 Xk, n ≥ 1. Tada, za svako x > 0, vazi

P

(

max1≤k≤n

|Sk| > x

)

≤∑n

k=1 DXk

x2.

Posebno, ako su slucajne promenljive Xk, k ≥ 1 jednako raspodeljene, tada vazi

P

(

max1≤k≤n

|Sk| > x

)

≤ nDX1

x2.

Teorema 4.4.3 (Teorema Anscombea) Neka je Wk, k≥1 niz iid slucajnihpromenljivih sa ocekivanjem 0 i disperzijom σ2 (0 < σ2 < ∞), i neka je Tn, n ≥ 1niz odgovarajucih parcijalnih suma. Dalje, neka vazi da

N(t)

t

v−→ θ, 0 < θ < ∞, t → ∞. (4.41)

Tada

(i)

TN(t)

σ√

N(t)

r−→ Z, t → ∞,

(ii)

TN(t)

σ√tθ

r−→ Z, t → ∞.

gde je Z slucajna promenljiva sa normalnom normiranom raspodelom.

Dokaz. Moze se pretpostaviti, bez smanjenja opstosti, da je σ2 = 1. Neka jen0 = [θt]. Tada

TN(t)√

N(t)=

(

Tn0√n0

+TN(t) − Tn0√

n0

)

·√

n0

N(t). (4.42)

Kako, na osnovu Teoreme 1.2.2 (CGT), vazi

Tn0√n0

r−→ Z,


dok, na osnovu (4.41) sledi da

√

n0/N(t)v−→ 1, t → ∞,

ostaje da se pokaze da

TN(t) − Tn0√n0

v−→ 0, t → ∞. (4.43)

Za fiksirano ǫ, (0 < ǫ < 1/3), neka je n1 = [n0(1− ǫ3)] + 1 i n2 = [n0(1 + ǫ3)]. Sadaje,

P (|TN(t) − Tn0 | > ǫ√n0)

= P (|TN(t) − Tn0 | > ǫ√n0, N(t) ∈ [n1, n2])

+ P (|TN(t) − Tn0 | > ǫ√n0, N(t) /∈ [n1, n2])

≤ P

(

maxn1≤n≤n0

|Tn − Tn0 | > ǫ√n0

)

+ P

(

maxn0≤n≤n2

|Tn − Tn0 | > ǫ√n0

)

+ P (N(t) /∈ [n1, n2]). (4.44)

Na osnovu uslova (4.41), postoji t0 > 0, tako da je

P (N(t) /∈ [n1, n2]) < ǫ, t > t0.

Imajuci u vidu poslednju nejednakost, primenom Teoreme 4.4.2 (nejednakost Ko-lmogorova) na (4.44), se dobija

P (|TN(t) − Tn0 | > ǫ√n0) ≤ n0 − n1

ǫ2n0

+n2 − n0

ǫ2n0

+ ǫ,

=[n0(1 + ǫ2)]− [n0(1− ǫ2)]− 1

ǫ2n0

+ ǫ

≤ n0(1 + ǫ2)− n0(1− ǫ2)

ǫ2n0

+ ǫ

= 3ǫ, t > t0, (4.45)

cime je dokazan deo (i) teoreme. Kako (ii) sledi iz (i), teorema Anscombea jedokazana.

Teorema 4.4.4 (Centralna granicna teorema za procese obnavljanja) Nekaje Wk, k ≥ 1 niz iid slucajnih promenljivih za koje je 0 < µ = EW1 < ∞ iσ2 = DW1 < ∞. Tada vazi:

N(t)− t/µ√

σ2tµ3

r−→ Z, t → ∞.

gde slucajna promenljiva Z ima normalnu normiranu raspodelu.


Dokaz. Najpre treba uociti da, na osnovu relacija (4.16) i (4.31), vazi

TN(t) −N(t)µ

σ√

t/µ≤ t−N(t)µ

σ√

t/µ<

Tν(t) − ν(t)µ

σ√

t/µ+

µ

σ

√

µ

t. (4.46)

Izraz TN(t)−N(t)·µ predstavlja sumuN(t) iid slucajnih promenljivih cije je ocekivanjejednako nuli, sto vazi i za Tν(t)−ν(t)·µ. Imajuci u vidu Teoremu 4.4.1 (i) i Primedbu4.4.1, moze se primeniti teorema Anscombea (Teorema 4.4.3(ii)), na prvi i poslednjiclan u (4.46) za θ = µ−1. Ovim se zakljucuje da oba ova clana konvergiraju uraspodeli prema slucajnoj promenljivoj sa N (0, 1) raspodelom. Tada vazi

t−N(t)µ

σ√

t/µ

r−→ Z, t → ∞, (4.47)

odakle, na osnovu simetricnosti normalne raspodele, sledi (i).

Primedba 4.4.2 Teorema 4.4.4 (sa ociglednim izmenama) takodje vazi i za procesν(t), t ≥ 0, jer vazi jednakost (4.16).

Primedba 4.4.3 Dokaz konvergencije momenta pod uslovima Teoreme 4.4.1 izvodise na osnovu uniformne integrabilnosti, Teoreme 3.2.1 i odgovarajucih primedbi.Dokaz Teoreme 4.4.4 je zasnovan na direktnom izracunavanju. Sada se, na osnovuTeoreme 4.4.4, moze zakljuciti da je proces

(

N(t)− t/µ√t

)2

, t ≥ 1

(4.48)

uniformno integrabilan. Treba primetiti da ovo ne sledi direktno na osnovu Teoreme3.2.1, jer se radi o familiji slucajnih promenljivih (treba se potsetiti Primedbe 3.2.2).Odatle, medjutim, sledi na osnovu Primedbe 3.2.1, da je niz

(

N(n)− n/µ√n

)2

, n ≥ 1

(4.49)

uniformno integrabilan. Ta cinjenica, zajedno sa monotonoscu procesa N(t), t ≥0, dokazuje da je proces (4.48) uniformno integrabilan.Stavise, jednakost (4.16) i cinjenica da je (4.48) uniformno integrabilan, zajednopodrazumevaju da isto vazi za vreme prvog prolaza, odnosno da je proces

(

ν(t)− t/µ√t

)2

, t ≥ 1

(4.50)

uniformno integrabilan.U nastavku se razmatra Poissonov proces. U ovom slucaju vazi µ = λ−1, σ2 =

λ−2, EN(t) = λt i DN(t) = λt. Dakle, Centralna granicna teorema (Teorama 4.4.4)ocigledno vazi.


Na kraju ovog poglavlja ce biti navedena propozicija koja se odnosi na asimpto-tsko ponasanje disperzije procesa obnavljanja.

Propozicija 4.4.1 (Asimptotsko ponasanje disperzije procesa obnavljanja)Ako je disperzija medjudolaznih vremena konacna, DW1 < ∞, tada je

limt→∞

DN(t)

t=

DW1

(EW1)3.

4.5 Ocekivanje i disperzija ukupne stete u modelu

obnavljanja

Matematicko ocekivanje slucajne promenljive je polazna tacka u njenom razma-tranju. Za ukupnu stetu koju ce pretrpeti osiguravajuca kompanija ocekivanje senajlakse izracunava koriscenjem nezavisnosti niza iznosa steta Xi, i ≥ 1 i procesabroja steta N(t), pod uslovom da su EN(t) i EX1 konacne vrednosti. Na taj nacinse dobija

ESN(t) = E

[

E

( N(t)∑

i=1

Xi

∣

∣

∣

∣

N(t)

)]

= E(N(t)EX1) = EN(t)EX1. (4.51)

Primer 4.5.1 U Cramer-Lunbergovom modelu vazi da je ocekivani broj steta dotrenutka t, EN(t) = λt, gde je λ intenzitet homogenog Poissonovog procesa N .Otuda je

ESN(t) = λtEX1.

Ovako pogodna formula ne postoji u opstem modelu obnavljanja. Medjutim, ako jeEW1 = λ−1 < ∞, tada na osnovu Osnovne teoreme obnavljanja (Teorema 4.3.2),sledi da je EN(t)/t → λ. Dakle,

ESN(t) = λtEX1(1 + o(1)), t → ∞.

Ova informacija je manje precizna od one u Cramer-Lundbergovom modelu. Me-djutim, za veliko t ova formula ukazuje na to da se ocekivana vrednost ukupne steteponasa priblizno kao linearna funkcija po t. Kao u Cramer-Lundbergovom slucaju,koeficijent pravca linearne funkcije se odredjuje kao proizvod reciprocne vrednostiocekivanja medjudolaznih vremena EW1 i ocekivanja iznosa stete EX1.

Ocekivanje ne obezbedjuje dovoljno informacija o raspodeli slucajne promenljiveSN(t). Vise ce se znati o opsegu slucajne promenljive SN(t), ako se kombinuju info-rmacije o ocekivanju ESN(t), sa informacijama o disperziji DSN(t).

Disperzija DSN(t) se izracunava koriscenjem istih argumenata kao sto je bioslucaj u (4.51). U tom smislu, prvo treba uociti da je E(SN(t)|N(t)) = N(t)EX1.

Takodje se primecuje da su N(t)−EN(t) i∑N(t)

i=1 (Xi −EXi) nekorelirane slucajne


promenljive. U nastavku, ako vazi pretpostavka da su disperzije DN(t) i DX1

konacne, tada je

DSN(t) = E

(

E

[( N(t)∑

i=1

(Xi − EX1) + (N(t)− EN(t))EX1

)2∣∣

∣

∣

N(t)

])

= E

(

D

[ N(t)∑

i=1

(Xi − EX1)∣

∣

∣N(t)

])

+DN(t)(EX1)2

+2cov

( N(t)∑

i=1

(Xi − EX1), N(t)− EN(t)

)

= E(N(t)DX1) +DN(t)(EX1)2 + 0

= EN(t)DX1 +DN(t)(EX1)2. (4.52)

Primer 4.5.2 U Cramer-Lundbergovom modelu N(t) ima Poissonovu raspodelu,odakle sledi da je EN(t) = DN(t) = λt. Odatle sledi da je

DSN(t) = λt(DX1 + (EX1)2) = λtE(X1)

2.

U modelu obnavljanja, na osnovu Teoreme 4.3.2 i Propozicije 4.4.1, dobijaju seasimptotske formule za EN(t) i DN(t), odavde sledi da je

DSN(t) = [λtDX1 +DW1λ3t(EX1)

2](1 + o(1))

= λt[DX1 +DW1λ2(EX1)

2](1 + o(1)).

Neka je S = SN(t), t ≥ 0 proces ukupne stete u modelu obnavljanja. Naosnovu Teoreme 3.1.5 (iii) sledi da za proces ukupne stete vazi strogi zakon velikihbrojeva. Preciznije, ako medjudolazna vremena Wi i iznosi steta Xi imaju konacnaocekivanja tada vazi:

limt→∞

SN(t)

t=

EX1

EW1

s.i.

Sledece tvrdjenje predstavlja centralnu granicnu teoremu za proces ukupne steteu modelu obnavljanja.

Teorema 4.5.1 Ako medjudolazna vremena Wi i iznosi steta Xi imaju konacnedisperzije, tada za S vazi centralna granicna teorema, tj. vazi:

supx∈R

∣

∣

∣

∣

P

(

SN(t) − ESN(t)√

DSN(t)

≤ x

)

− Φ(x)

∣

∣

∣

∣

→ 0, (4.53)

gde je Φ funkcija raspodele slucajne promenljive sa normalnom normiranomraspodelom N (0, 1).


Dokaz se moze naci u [20].Sledeca propozicija se takodje odnosi na granicne slucajeve u modelu obnavljanja.

Propozicija 4.5.1 (Ocekivanje i disperzija ukupne stete u modelu obnavljanja)Ako u modelu obnavljanja vazi da su EW1 = λ−1 i EX1 konacni, tada je

limt→∞

ESN(t)

t= λEX1,

Ako je DW1 < ∞ i DX1 < ∞ tada je

limt→∞

DSN(t)

t= λ[DX1 +DW1λ

2(EX1)2].

Dokaz. Na osnovu Osnovne teoreme obnavljanja (Teorema 4.3.2) vazi da je

limt→∞

EN(t)

t= λ.

Sada, na osnovu ovoga i (4.51), sledi da vazi

limt→∞

ESN(t)

t= lim

t→∞

EN(t)·EX1

t= EX1·λ, (4.54)

cime je dokazan prvi deo teoreme. Sada sledi dokaz drugog dela. Na osnovu propozi-cije o disperziji procesa obnavljanja (Propozicije 4.4.1) i jednakosti (4.52) vazi daje

limt→∞

DSN(t)

t= lim

t→∞

(EX1)2DN(t) +DX1EN(t)

t

= (EX1)2· DW1

(EW1)3+DX1·λ

= λ[DX1 +DW1λ2(EX1)

2].

U Cramer-Lundbergovom modelu umesto granicnih relacija vaze jednakosti zasvako t > 0, tj.

ESN(t) = λtEX1, DSN(t) = λtE(X1)2.

Iz ovih rezultata sledi da se, za dati model obnavljanja, i ocekivanje i disperzijaukupne stete ponasaju priblizno kao linearna funkcija vremena. Ova bitna cinjenicaukazuje na to da premija koju bi trebalo odrediti kako bi se pokrila ukupna stetaSN(t), treba da bude linearna funkcija po t, sa koeficijentom pravca koji je veci ilijednak λEX1.

Teorema 4.5.1 je od znacaja za predstojece razmatranje razlicitih nacina odredji-vanja premija nezivotnog osiguranja, posebno za opravdanost koriscenja tih nacina.


4.6 Klasicni principi izracunavanja premija

Jedno od osnovnih pitanja u osiguranju jeste kako odrediti adekvatnu premiju ucilju pokrivanja gubitaka, opisanih pomocu procesa ukupne stete SN(t), t ≥ 0.Neka vazi pretpostavka da je prihod na ime premija u toku vremena opisan dete-rministickom funkcijom p(t), t ≥ 0.

Gruba, ali korisna aproksimacija slucajne vrednosti SN(t) je njena ocekivana vred-nost ESN(t). Na osnovu rezultata iz prethodnih poglavlja za modele obnavljanja,osiguravajuca kompanija ocekuje gubitak ako je p(t) < ESN(t), odnosno ocekujedobitak ako je p(t) ≥ ESN(t), za veliko t. Kako je polazna tacka za odredjivanjepremije ocekivana vrednost ukupne stete (koja moze znacajno odstupati od pravevrednosti ukupne stete), premija bi trebalo da bude nesto veca od ESN(t). Zbogtoga se u razmatranje uvodi stopa rezerve θ > 0, o kojoj je bilo reci ranije.

Na primer, na osnovu Propozicije 4.5.1 vazi da je

ESN(t) = λEX1t(1 + o(1)), t → ∞.

Zato bi trebalo da premija p(t) bude oblika

p(t) = (1 + θ)ESN(t) ili p(t) = (1 + θ)λEX1t. (4.55)

Kao sto je u Glavi 2 vec pomenuto, za osiguravajucu kompaniju je povoljnije da θbude sto vece kako bi se smanjila verovatnoca propasti. Sa druge strane sto je vecapremija kompanija je manje konkurentna, tj. broj polisa te kompanije bi se smanjiona racun povecanja broja polisa drugih kompanija koje nude nize premije. Uspehposlovanja kompanije se bazira na strogom zakonu velikih brojeva, pa je potrebanveliki broj polisa da bi se obezbedio balans izmedju ukupne stete i prihoda na imepremija. Postoji nekoliko principa za izracunavanje premija. Ovde ce biti navedenineki od njih.

(i) Princip neto premije ili princip ekvivalencije: Prema ovom principu premijap(t) u trenutku t treba da bude jednaka ocekivanoj vrednosti ukupne steteESN(t), tj.

pNet(t) = ESN(t).

Ovo je ”fer trzisna premija”, tj. osiguravajuca kompanija koja na ovaj nacinodredjuje premiju je u srednjem na nuli. Na osnovu centralne granicne teo-reme u modelu obnavljanja sledi da se odstupanje SN(t) od ESN(t) povecavasa povecanjem standardne devijacije

√

DSN(t), i ovo odstupanje moze bitipozitivno ili negativno sa pozitivnim verovatnocama. Zato bi bilo potpunobesmisleno da se premija izracunava po ovom principu. Znacaj ovog principaje iskljucivo teorijski.

(ii) Princip ocekivane vrednosti : Prema ovom principu je

pEV (t) = (1 + θ)ESN(t),

gde je θ > 0 stopa rezerve. Opravdanost ovog principa proizilazi iz zakonavelikih brojeva.


(iii) Princip disperzije: U skladu sa ovim principom, premija zavisi od disperzijeukupne stete, a ne samo od njene ocekivane vrednosti. U tom slucaju je

pV ar(t) = ESN(t) + αDSN(t),

za neku pozitivnu konstantu α. Za veliko t princip disperzije i princip ocekivanevrednosti su ekvivalentni, tj. primenom Propozicije 4.5.1 se pokazuje da vazi

limt→∞

pV ar(t)

pEV (t)= 1.

Zaista,

limt→∞

pV ar(t)

pEV (t)= lim

t→∞

ESN(t) + αDSN(t)

(1 + θ)ESN(t)

=1

1 + θ+

α

1 + θlimt→∞

DSN(t)

tESN(t)

t

=1

1 + θ+

α

1 + θ· λ[DX1 + λ2DW1(EX1)

2]

λEX1

=1 + α · DX1+λ2DW1(EX1)2

EX1

1 + θ.

Ako je α = θ · EX1

DX1+λ2DW1(EX1)2onda su princip disperzije i princip ocekivane

vrednosti ekvivalentni.

(iv) Princip standardne devijacije: Ovaj princip se odnosi na zavisnost premije odstandardne devijacije ukupne stete. Tako je,

pSD(t) = ESN(t) + α√

DSN(t), α > 0.

Opravdanost ovog principa proizilazi iz centralne granicne teoreme. Posmatrase verovatnoca

P (SN(t) − pSD(t) ≤ x) = P(

SN(t) − ESN(t) − α√

DSN(t) ≤ x)

= P

(

SN(t) − ESN(t)√

DSN(t)

≤ α +x

√

DSN(t)

)

= P

(

SN(t) − ESN(t)√

DSN(t)

≤ α +x

√

DSN(t)/t· 1√

t

)

CGT−→ Φ(α), x,∈ R

gde je Φ funkcija raspodele slucajne promenljive sa N (0, 1) raspodelom.U modelu obnavljanja princip neto premije i princip standardne devijacije su


ekvivalentni.

limt→∞

pSD(t)

pNET (t)= lim

t→∞

ESN(t) + α√

DSN(t)

ESN(t)

= 1 + α · limt→∞

√

DSN(t)

t·√t

ESN(t)

t·t

= 1.

4.7 Aproksimacija raspodele ukupne stete

pomocu centralne granicne teoreme

U ovom poglavlju se razmatraju neke aproksimacije ukupne stete zasnovane na cen-tralnoj granicnoj teoremi (Teorema 4.5.1).

Posmatra se proces ukupne stete S = SN(t), t ≥ 0 u modelu obnavljanja, kojije definisan kao i ranije:

SN(t) =

N(t)∑

i=1

Xi, t ≥ 0,

gde je Xi, i ∈ N iid niz pozitivnih iznosa steta, nezavisan od procesa obnavljanjaN = N(t), t ≥ 0, sa dolaznim vremenima 0 < T1 < T2 < .... Tada su iidmedjudolazna vremena definisana sa Wn = Tn − Tn−1, gde je T0 = 0. Na osnovucentralne granicne teoreme (Teorema 4.5.1) poznato je da, pod uslovom DW1 < ∞i DX1 < ∞, vazi

supx∈R

∣

∣

∣

∣

P

(

SN(t) − ESN(t)√

DSN(t)

≤ x

)

− Φ(x)

∣

∣

∣

∣

(4.56)

= supy∈R

∣

∣

∣P (SN(t) ≤ y)− Φ((y − ESN(t))/

√

DSN(t))∣

∣

∣→ 0, t → ∞,(4.57)

gde je Φ funkcija raspodele slucajne promenljive sa normalnom normiranom raspode-lom. Kao i u klasicnoj statistici, gde se asimptotske ocene koriste prilikom testi-ranja hipoteza, ovde se (4.57) moze iskoristiti kao opravdanje za zamenu raspodeleslucajne promenljive SN(t) normalnom raspodelom sa ocekivanjem ESN(t) i dispe-rzijom DSN(t). Tada je, za veliko t,

P (SN(t) ≤ y) ≈ Φ((y − ESN(t))/√

DSN(t)). (4.58)

Na taj nacin se dobija da je, na primer, 95% interval poverenja za matematickoocekivanje slucajne promenljive SN(t),

P(

SN(t) ∈ [ESN(t) − 1.96√

DSN(t), ESN(t) + 1.96√

DSN(t)])

≈ 0.95.

Iako je relacija (4.56) rezultat uniformne konvergencije, to ne govori nista o gresciaproksimacije u (4.58). Pored toga, ako se govori o raspodelama sa teskim repovima,


verovatnoca P (SN(t) > y) ne moze biti zanemarljiva cak i za velike vrednosti y ifiksirano t. Normalna aproksimacija verovatnoca P (SN(t) > y) i P (SN(t) < −y), zavelike vrednosti y, nije zadovoljavajuca cak ni u slucaju raspodela sa lakim repovima.

O preciznosti normalne aproksimacije u modelu obnavljanja se ne moze mnogozakljuciti na osnovu razmatranja iz Poglavlja 1.2 i 2.3, jer je model obnavljanjaopstiji. Medjutim, ocena (1.12) se moze iskoristiti za uporedjivanje standardizovanesume SN(t) i Φ(x) pod uslovom da je N(t) = n(t), gde je n(t) realizacija slucajnepromenljive N(t). Na taj nacin se, za svako x ∈ R, dobija da vazi

∣

∣

∣

∣

∣

P

(

SN(t) − n(t)EX1√

n(t)DX1

≤ x

∣

∣

∣

∣

N(t) = n(t)

)

− Φ(x)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ c1

1 + |x|3L1

√

n(t), (4.59)

gde je L1 konstanta definisana sa (1.10).

Kako n(t)s.i.−→ N(t, ω) u modelu obnavljanja, ova greska moze dati opravdanje

za primenu centralne granicne teoreme za raspodelu slucajne promenljive SN(t), poduslovom N(t). Medjutim, to ne resava problem za bezuslovnu raspodelu slucajnepromenljive SN(t). U portfoliju sa velikim brojem steta n(t), relacija (4.59) pokazujeda centralna granicna teorema daje dobru aproksimaciju, ali i to kako je opasnokoristiti centralnu granicnu teoremu kada se razmatraju verovatnoce oblika

P (SN(t) > y | N(t) = n(t)) = P

(

SN(t) − n(t)EX1√

n(t)DX1

>y − n(t)EX1√

n(t)DX1

)

,

za veliko y. Tada je normalna aproksimacija slaba ako je

x = (y − n(t)EX1)/√

n(t)DX1

suvise veliko. Moze se desiti da je gornja granica greske normalne aproksimacijeveca nego aproksimirana verovatnoca 1− Φ(x).

Definicija 4.7.1 Za slucajnu promenljivu X i njenu raspodelu kaze se da su sube-ksponencijalne, ako za niz Xi, i ∈ N iid slucajnih promenljivih, pri cemu jeXi

r= X, vazi

P (Sn > x) = P (Mn > x) · (1 + o(1)) = nF (x)(1 + o(x)), x → ∞, n ≥ 2,

gde je Mn = maxX1, ..., Xn i F (x) = 1− F (x), pri cemu je F funkcija raspodeleslucajne promenljive X.

Sledeca lema je od znacaja za naredni primer. Lema je navedena bez dokaza, adokaz se moze naci u [19].

Lema 4.7.1 (Neka osnovna svojstva subeksponencijalnih raspodela)


(i) Ako je F subeksponencijalna raspodela, tada za svako y > 0, vazi

limx→∞

F (x− y)

F (x)= 1. (4.60)

(ii) Ako vazi relacija (4.60), tada za svako ǫ > 0, vazi

eǫx · F (x) → ∞, x → ∞.

(iii) Ako je F subeksponencijalna raspodela, tada za svako ǫ > 0, postoji konacnakonstanta K, tako da za svako n ≥ 2, vazi

P (Sn ≥ x)

F (x)≤ K · (1 + ǫ)n, x ≥ 0.

Sledecim primerom je ilustrovan slucaj kada centralna granicna teorema dajegrubu aproksimaciju.

Primer 4.7.1 (Rep subeksponencijalne raspodele ukupne stete)U ovom primeru bice aproksimirano P (SN(t) > x) kada t → ∞, za fiksirano x, uCramer-Lundbergovommodelu kada iznosi steta imaju subeksponecijalnu raspodelu.Neka je S0 = 0, Sn = X1 + ... + Xn, n ∈ N, niz parcijalnih suma i Mn =maxX1, ..., Xn parcijalni maksimum iid niza iznosa steta Xn, n ≥ 0. Slucajnapromenljiva X1 i njena funkcija raspodele FX1 su subeksponencijalne, sto premaDefiniciji 4.7.1, znaci da, za svako n ≥ 2, vazi

P (Sn > x) = P (Mn > x) · (1 + o(1)) = nFX1(x)(1 + o(x)), x → ∞.

Bice pokazano da slicna relacija vazi kada se parcijalna suma Sn zameni slucajnompromenljivom SN(t).

U tom smislu je

P (SN(t) > x)

FX1(x)=

∑∞n=0(P (SN(t) > x|N(t) = n))·P (N(t) = n)

FX1(x)

=∞∑

n=0

P (N(t) = n)P (Sn > x)

FX1(x)

=∞∑

n=0

e−λt (λt)n

n!

P (Sn > x)

FX1(x).

Na osnovu Leme 4.7.1 (iii), granicna vrednost, kada x → ∞, i beskonacna sumana desnoj strani poslednje jednakosti mogu zameniti mesta. Tada se, iz osobinesubeksponencijalne funkcije raspodele FX1 , dobija

limx→∞

P (SN(t) > x)

FX1(x)=

∞∑

n=0

e−λt (λt)n

n!limx→∞

P (Sn > x)

FX1(x)=

∞∑

n=0

e−λt (λt)n

n!n =

= EN(t) = λt.


Prethodna relacija opisuje osobinu slucajne sume SN(t), koja je analogna subekspo-nencijalnoj osobini. To pokazuje da centralna granicna teorema ne daje dobru ocenurepa raspodele slucajne promenljive SN(t). Razlog tome je sto teski repovi iznosasteta uzrokuju opadanje funkcije P (SN(t) > x), sa povecanjem vrednosti x, koje jemnogo sporije od opadanja funkcije Φ(x).

Zakljucak

Poslednjih godina u svetu su zabelezene velike materijalne stete kao posledice za-gadjenja zivotne sredine, zemljotresa, terorizma itd. Zbog toga su se osiguravajucekompanije susrele sa velikim izdacima. Iz tog razloga za kompanije je jako bitno dana adekvatan nacin modeliraju broj nastalih steta i ukupan iznos isplacenih odstetau portfoliju nezivotnog osiguranja. S obzirom da postoje razliciti tipovi osiguranja,ne postoji jedinstven model za proces prebrojavanja steta. Model je neophodnoprilagoditi ucestalosti nastanka steta koja moze varirati pod uticajem razlicitih de-terministickih i slucajnih faktora. U zavisnosti od izbora modela broja steta, nastajeodgovarajuci model ukupnog iznosa steta.

U ovom radu je akcenat na modelu obnavljanja gde je proces broja nastalih stetamodeliran procesom obnavljanja. Cilj ovog rada je bio da se predstave razne granicneteoreme teorije verovatnoce koje su od velikog znacaja u oblasti nezivotnog osigu-ranja, kao i njihova primena. U tom smislu su predstavljene razlicite asimptotskeocene koje se, u specijalnom slucaju, mogu primeniti na proces broja nastalih stetai na proces ukupne stete u portfoliju osiguranja. Razmatrana je gruba procenavelicine ukupne stete pomocu strogog zakona velikih brojeva i centralne granicneteoteme, sa ciljem odredjivanja adekvatne premije.

Uspeh poslovanja osiguravajuceg drustva se zasniva na primeni zakona velikihbrojeva i centralne granicne teoreme. Naime, potrebno je da broj polisa osiguranjabude dovoljno veliki da bi se uspostavio balans izmedju ukupne stete i prihodana ime premija. U radu su predstavljeni neki principi izracunavanja premija, cijeopravdanje proizilazi iz centralne granicne teoreme.

68

Literatura

[1] S. Jankovic, Uvod u verovatnocu, Univerzitet u Nisu, Prirodno-matematicki fakultet, Nis, 2009.

[2] Sv. Jankovic, Teorija verovatnoca, autorizovana predavanja, Univerzitetu Nisu, Prirodno-matematicki fakultet, Nis.

[3] Sv. Jankovic, Stohasticki procesi, autorizovana predavanja, Univerzitet uNisu, Prirodno-matematicki fakultet, Nis.

[4] M. Milosevic, Teorija rizika, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nisu,Prirodno-matematicki fakultet, Nis.

[5] V.I. Rotar, Actuarial Models The Mathematics of Insurance, Taylor& Francis Group, LLC, 2007.

[6] Y.S. Chow, H. Teicher, Probability theory, Independence, Inter-

changeability, Martingales, Springer-Verlag, New York, 1987.

[7] V.V. Senatov, Normal Approximation: New Results, Methods and

Problems, VSP, Utrecht, Boston, 1998.

[8] I.S. Shiganov, Refinement of the upper bound of the constant in

the central limit theorem, J. Soviet Mathematics, 35,3, (1986), 2545.

[9] A. Renyi, Foundations of Probability, Holden-Day, San Francisco, 1970.

[10] W. Richter, Limit theorems for sequences of random variables with

sequences of random indice, Theory Probab. Appl. (1965), 74-84.

[11] M. Loeve, Probability Theory, 4th ed. Springer-Verlag, New York, (1977).

[12] P. Billingsley, Convergence of Probability Measures. John Wiley, New York,(1968).

[13] P. Billingsley, Convergence of Probability Measures, 2nd ed. JohnWiley, NewYork, (1999).

[14] A. Gut, Probability: A Graduate Course, Department of Mathematics,University of Uppsala, SE-751 06 Uppsala, Sweden, (2007).

69

70

[15] A. Gut, Stopped Random Walks Limit Theorems and Applications,Department of Mathematics, Uppsala University SE-751 06 Uppsala, Sweden,Second Edition, (2009).

[16] A.N. Kolmogorov : Anfangsgrunde der Theorie der Markoffschen Ketten mitunendlich vielen moglichen Zustanden. Mat. Sb. (N.S.) 1, (1936), 607-610.

[17] P. Erdos, W. Feller and H. Pollard : A theorem on power series. Bull. Amer.Math. Soc. 55, (1949), 201-204.

[18] D. Blackwell : A renewal theorem. Duke Math. J. 15, (1948), 145-150.

[19] T. Mickosch, Non-Life Insurance Mathematics A Primer, Laboratoryof Actuarial Mathematics, University of Copenhagen, Copenhagen (2003).

[20] P.Embrechts, C. Klupperlberg, T. Mickosch, Modelling Extremal Events forInsurance and Finance, Springer, Heidelberg, 1997.

Biografija

Gorana Petkovic je rodjena 08.03.1988. godine u Nisu, Republika Srbija. Osno-vnu skolu ”Vuk Karadzic” u Doljevcu zavrsila je 2003. godine, kao nosilac Vukovediplome. Gimnaziju ”Svetozar Markovic” u Nisu, smer za ucenike sa posebnimsklonostima ka matematici, zavrsila je 2007. godine.

Prirodno-matematicki fakultet u Nisu, Odsek za matematiku i informatiku upi-sala je skolske 2007/2008. godine. Osnovne akademske studije na smeru matematikazavrsila je u septembru 2010. godine. Iste godine upisuje master akademske studijena Prirodno-matematickom fakultetu u Nisu, smer Primenjena matematika u finan-sijama.

71

Прилог 5/1

ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА

Редни број, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: монографска

Тип записа, ТЗ: текстуални

Врста рада, ВР: мастер рад

Аутор, АУ: Горана Петковић

Ментор, МН: Марија Милошевић

Наслов рада, НР: Примена граничних теорема теорије вероватноће у

неживотном осигурању

Језик публикације, ЈП: српски

Језик извода, ЈИ: енглески

Земља публиковања, ЗП: Р. Србија

Уже географско подручје, УГП: Р. Србија

Година, ГО: 2014.

Издавач, ИЗ: ауторски репринт

Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.

Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)

71 стр.

Научна област, НО: математика

Научна дисциплина, НД: примењена математика

Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Граничне теореме, процеси обнављања, неживотно осигурање

УДК 519.21 : 368.1

Чува се, ЧУ: библиотека

Важна напомена, ВН:

Q4.16.01 - Izdawe 1

Извод, ИЗ: Успех пословања осигуравајућег друштва зависи од односа укупне штете над осигураним предметима и укупног прихода на име премија осигурања. Због тога граничне теореме теорије вероватноће, пре свега закон великих бројева и централна гранична теорема, имају значајну улогу у моделима неживотног осигурања. У овом раду се разматрају неки модели броја насталих штета у портфолију неживотног осигурања, као и одговарајући модели укупне штете у датом портфолију. У том смислу су представљени резултати који се односе на процесе обнављања. Ти резултати су на адекватан начин интерпретирани у контексту неживотног осигурања и оправдавају примену одређених принципа израчунавања премија осигурања.

Датум прихватања теме, ДП:

Датум одбране, ДО: Чланови комисије, КО: Председник: Светлана Јанковић

Члан: Миљана Јовановић

Члан, ментор: Марија Милошевић

Образац Q4.09.13 - Издање 1

Прилог 5/2

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number, ANO:

Identification number, INO:

Document type, DT: monograph

Type of record, TR: textual

Contents code, CC: university degree thesis

Author, AU: Gorana Petković

Mentor, MN: Marija Milošević

Title, TI: Application of the limit theorems within the probability theory in non-life insurance

Language of text, LT: Serbian

Language of abstract, LA: English

Country of publication, CP: Republic of Serbia

Locality of publication, LP: Serbia

Publication year, PY: 2014

Publisher, PB: author’s reprint

Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.

Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)

71 p.

Scientific field, SF: mathematics

Scientific discipline, SD: applied mathematics

Subject/Key words, S/KW: Limit theorems, renewal processes, non-life insurance

UC 519.21 : 368.1

Holding data, HD: library

Note, N:

Q4.16.01 - Izdawe 1

Abstract, AB: Success of the insurance business depends on the

difference between the total claim amount and total

premium income in the non-life insurance portfolio.

Because of that limit theorems within the probability

theory, particularly low of large numbers and central

limit theorem, have significant role in models of non-

life insurance. In this thesis, some models of the

number of claims in the insurance portfolio are

considered, as well as corresponding models of the

total claim amount in the portfolio. In that sense,

results related to random walks with random indices

and also to renewal processes are presented. These

results are interpreted adequately in the context of the

non-life insurance and they represent the motivation

for the application of certain premium principles.

Accepted by the Scientific Board on, ASB:

Defended on, DE:

Defended Board, DB: President: Svetlana Janković

Member: Miljana Jovanović

Member, Mentor: Marija Milošević

Образац Q4.09.13 - Издање 1

UIVERZITET U NIŠU - pmf.ni.ac.rs · Cetvrti deo rada se odnosi naklasu sluˇcajnih procesa koji su...

Documents

Transcript of UIVERZITET U NIŠU - pmf.ni.ac.rs · Cetvrti deo rada se odnosi naklasu sluˇcajnih procesa koji su...