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 Unidad 3. Tarea 3. Solución.

1. Suponga que el número de accidentes semanales en un tramo de una

autopista se distr ibuye Poisson con media tres. Calcule la probabilidad de

que haya por lo menos un accidente esta semana.

Solución:

Sea X la variable aleatoria que denota el número de accidentes en una semana en eltramo de la autopista considerada. La probabilidad de que haya al menos un accidenteen la semana es

  1 1   0 1 30! 0.9502 

2. Considere que la probabilidad de que un artículo produc ido por una

máquina dada salga defectuoso es 0.1. Encuentre la probabilidad de que

en una muestra de 10 artículos haya cuando mucho un artículo

defectuoso. Suponga que la calidad de los artículos es independiente.

Solución:

Sea  X  la variable aleatoria que denota el número de artículos defectuosos en lamuestra de 10 artículos. Entonces  ∼ 10, 0.1. Entonces la probabilidad pedidaes:

  1   0   1 100 0.10.9 101 0.10.9 0.7361 

3. Si el promedio diario del número de demandas en una compañía deseguros es c inco, ¿cuál es la probabilidad de que haya cuatro demandas

en exactamente tres de los próximos cinco días? Suponga que el número

de demandas en días diferentes tienen distribución Poisson y las

reclamaciones entre los días son independientes.

Solución:

Sea  X  la variable aleatoria que representa el número de demandas en un díadeterminado, entonces la probabilidad de que se presenten exactamente 4 demandasen un día es:

  4 54! 0.1755 

Posteriormente puede clasificarse cada día en dos tipos: ocurrió exactamente cuatrodemandas o no ocurrió exactamente cuatro demandas. Se define Y como la variablealeatoria que representa el número de días en los que ocurrieron cuatro demandas,entonces ∼ 5, 0.1755. Así que la probabilidad de que exactamente haya cuatrodemandas en tres días es:

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  3 53 0.17551 0.1755 0.0367 

4. Los componentes de un sistema de 6 elementos se toman aleatoriamente

de un recipiente de 20 componentes usados. El sistema resultante

funcionará si por lo menos 4 de los 6 componentes están en condiciones

de funcionar. Si 15 de los 20 componentes en el recipiente están en

condiciones de funcionar. ¿cuál es la probabilidad de que el sistema

resultante funcione? ¿Cuál es el número esperado de componentes que

están en condiciones de func ionar de la muestra de seis?

Solución:Sea X  la variable aleatoria que representa el número de componentes que están encondiciones de funcionar de la muestra de seis, entonces  ∼ 20, 15, 6. Laprobabilidad pedida es:

  4   4   5   6

154

52206

155

51206

156

50206 0.8687 

 También el número esperado de componentes que están en condiciones de funcionares

  615

20 4.5 

5. Las mediciones de la corriente en una tira de alambre siguen una

distr ibución normal con una media de 10 miliamperes y una varianza de 4

(miliamperes)2. ¿Cuál es la probabilidad de que una medición exceda 13

miliamperes?

Solución:

Sea X  la variable aleatoria que denote la corriente en miliamperes. La probabilidadpedida puede representarse como 13. Se sabe que la media y la desviaciónestándar son 10 y 2, respectivamente. Entonces si se estandariza se obtiene que

  13   102 13 10

2 1.5 0.0668 

lo que indica que el 6.66% de las mediciones son superiores a 13 miliamperes.

6. La probabi lidad de que una oblea contenga una partícula de

contaminación grande es 0.01. Si se supone que las obleas son

independientes, ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar 

exactamente 25 obleas hasta detectar una partícula grande?¿Cuál es el

número esperado de obleas que se analizarán para encontrar la primera

que tenga una partícula grande?

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 Solución:Sea  X  la variable aleatoria que denota el número de muestras analizadas hastadetectar una partícula grande. Entonces  ∼ 0.01 por lo que la probabilidadpedida es:

  25 0.990.01 0.00786 

Por otro lado, la esperanza de X es

  1 1

0.01 100 

es decir, se espera que hasta la oblea 100 se tenga una partícula de contaminacióngrande.

7. El número de millas que puede recorrer un automóvil antes de que se

acabe la batería está distribuido exponencialmente con un valor promedio

de 10, 000 millas. Si una persona quiere realizar un viaje de 5, 000 millas,

¿cuál es la probabilidad de que llegue al final de su viaje sin tener que

cambiar la batería?

Solución:Sea  X  la variable aleatoria que mide el número de millas que puede recorrer unautomóvil antes de que se acabe la batería. Como   10000, entonces  ∼exp10,000. Por lo que la probabilidad de que el carro llegue al final de su viaje de5000 millas sin que la batería se agote es

  5000 110000

∞

0.6065 

lo anterior indica que el 60.65% de los automóviles que viajan 5000 millas llegarán asu destino sin que la batería se agote.

8. Los pesos de 800 estudiantes mascul inos están dist ribuidos

normalmente con media 140 lb y desviación estándar 10 lb. Encuentre el

número de estudiantes con peso:

a) Entre 138 y 148 libras,b) Más de 152 libras.

Solución:a) Estandarizando la variable X se tiene que

138 148 138 14010 148 140

10

0.2 0.8 1 0.8 0.2 1 0.2119 0.4207 0.3674 Entonces el número de estudiantes que están entre esos pesos es 0.3674800 294.

b) Haciendo el mismo análisis en a):

  152 152 14010 1.2 0.1151 

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Entonces el número de estudiantes con peso mayor a 152 lb es 8000.1151 92.

9. Cierto tipo de bombill a tiene un rendimiento con una distr ibución normal

con media 2000 bujías-pie finales y desviación estándar de 85 bujías-pie

finales. Determine el límite inferior de la especifi cación L, de manera que

sólo cinco por ciento de las bombillas produc idas estén defectuosas.

Solución:Se pide hallar el número L tal que   0.95. Estandarizando se tiene que

200085 0.95 

Sea .

El valor de k debe ser negativo para que sea 0.95. Entonces el número k  pedido debe estar en la posición que indica la figura

Por las características de la distribución normal, la figura anterior es equivalente a lafigura

Puede notarse que como k  es negativo, entonces  –k  es positivo. Además puedeobservarse que el área debajo de la curva para valores mayores que  –k  debe ser0.05. Entonces todo el caso se reduce a hallar un –k tal que 0.05, el cual

por la tabla es 1.65 de donde se obtiene que 1.65. Como  ,

entonces

0

k 

0‐k

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  2000

85 1.65 

Despejando el valor de L obtenemos que 1859.75, lo que quiere decir que si seestablece un límite de especificación de 1859.75 sólo el 5% de las bombillas estaránpor debajo de dicho valor.

10. El número de estudiantes que se inscriben a un curso de probabilidad en

línea es una variable aleatoria Poisson con media 100. El profesor a cargo

de la materia ha decidido que si el número de inscritos es mayor o igual a

120, los separará en dos grupos. Si los inscri tos son menos de 120, dará

la clase a todos los estudiantes como un solo grupo. ¿Cuál es la

probabilidad de que el profesor tenga que dividi r a los estudiantes en dos

grupos?

Solución:

Sea Y la variable aleatoria que denota el número de estudiantes que se inscribirán al

curso. Por hipótesis 100 y 100. Utilizando la aproximaciónnormal y la corrección por continuidad se tiene que

120 119.5 100

√ 100 119.5 100√ 100

1.95 0.0256