Étude des contraintes et des déformations induites ...

ÉTUDE DES CONTRAINTES ET DES DÉFORMATIONS INDUITES THERMIQUEMENT DANS DES TUBES EN

MATÉRIAU COMPOSITE

Mémoire

Nicolas Verreault

Maîtrise en génie mécanique

Maître ès sciences (M.Sc.)

Québec, Canada © Nicolas Verreault, 2015

III

Résumé

Le principal objectif des présents travaux était d’étudier le phénomène de torsion

thermique dans des tubes en matériau composite, plus précisément en pré-

imprégné de carbone-époxyde. Un modèle d’analyse par éléments finis capable de

prédire ces déformations a été développé et a démontré l’importance d’utiliser des

éléments en trois dimensions plutôt que des éléments coques dans ce type

d’application. Une analyse de l’influence des paramètres géométriques sur le

phénomène de torsion thermique sur différents types de stratifiés a été réalisée. Des

tubes échantillons ont été fabriqués et soumis à un changement de température

dans une chambre environnementale. Les déformations ont été mesurées à l’aide

d’un système de corrélation d’images en trois dimensions et également par l’aide de

rosettes de déformation. Les résultats obtenus avec les méthodes de mesure

sélectionnées ont montré qu’il était possible de capturer le phénomène de torsion

mais qu’il était difficile de le mesurer avec précision.

V

Table des matières Résumé .................................................................................................................................. III

Table des matières ................................................................................................................. V

Liste des tableaux .................................................................................................................. IX

Listes des figures .................................................................................................................... XI

Remerciements .................................................................................................................... XV

Chapitre 1 Introduction ...................................................................................................... 1

1.1 Mise en situation ...................................................................................................... 1

1.2 Revue de littérature ................................................................................................. 4

1.3 Objectifs et plan du mémoire .................................................................................. 7

Chapitre 2 Modèle d’analyse par éléments finis ................................................................ 9

2.1 Résumé du modèle analytique de Rousseau et al. .................................................. 9

2.2 Définition de la configuration des tubes et des propriétés du matériau .............. 10

2.3 Conditions aux frontières et chargement .............................................................. 12

2.4 Choix du type d’éléments ...................................................................................... 13

2.4.1 Éléments coques ............................................................................................. 13

2.4.2 Éléments 3D solides ........................................................................................ 16

2.5 Résultats d’intérêt et raffinement des maillages ................................................... 19

2.5.1 Résultats d’intérêt .......................................................................................... 19

2.5.2 Raffinement des maillages .............................................................................. 21

2.6 Résultats finaux et comparaison avec la littérature .............................................. 25

2.6.1 Déplacements circonférentiels ....................................................................... 25

2.6.2 Contraintes ...................................................................................................... 27

2.7 Conclusions ............................................................................................................ 33

Chapitre 3 Étude paramétrique ........................................................................................ 35

3.1 Définition de la configuration des tubes et des propriétés du matériau .............. 35

3.2 Étude de l’orientation des plis ............................................................................... 37

3.2.1 Déplacements circonférentiels ....................................................................... 37

3.2.2 Contraintes ...................................................................................................... 39

3.2.3 Conclusions ..................................................................................................... 46

3.3 Étude du ratio du rayon intérieur sur l’épaisseur (ri/t) .......................................... 46

VI

3.3.1 Déplacements circonférentiels ...................................................................... 47

3.3.2 Contraintes ..................................................................................................... 49

3.3.3 Conclusions ..................................................................................................... 54

Chapitre 4 Aspects expérimentaux .................................................................................. 55

4.1 Procédé de moulage sous vide et fabrication des tubes ....................................... 55

4.1.1 Procédé de moulage sous vide ....................................................................... 55

4.1.2 Fabrication des tubes ..................................................................................... 57

4.2 Équipements utilisés .............................................................................................. 58

4.2.1 Chambre environnementale .......................................................................... 58

4.2.2 Système de corrélation d’images ................................................................... 59

4.2.3 Support de montage ...................................................................................... 62

4.3 Procédure des essais ............................................................................................. 63

4.3.1 Calibration d’Aramis ....................................................................................... 63

4.3.2 Préparation des échantillons ......................................................................... 64

4.3.3 Réalisation des essais de mesure de déformation thermique ....................... 67

4.4 Traitement des résultats par le système Aramis ................................................... 68

4.4.1 Interpolation des résultats ............................................................................. 68

4.4.2 Création des primitives et positionnement du système de coordonnées ..... 69

4.4.3 Création des primitives pour la prise de mesures ......................................... 73

4.5 Traitements des résultats des rosettes de déformation ....................................... 76

Chapitre 5 Analyse des résultats ...................................................................................... 79

5.1 Présentation des résultats ..................................................................................... 79

5.1.1 Déformations axiales ...................................................................................... 79

5.1.2 Déformations circonférentielles .................................................................... 83

5.1.3 Angle de torsion ............................................................................................. 85

5.2 Conclusions ............................................................................................................ 88

Chapitre 6 Conclusion et recommandations ................................................................... 91

Bibliographie ........................................................................................................................ 95

Annexe A. Caractérisation des propriétés du matériau .................................................. 97

A.1. Propriétés mécaniques .......................................................................................... 97

A.2. Coefficients d’expansion thermique ................................................................... 100

Annexe B. Développement et validation de la méthode de mesure de l’angle de torsion 105

VII

B.1. Essai de rotation libre .......................................................................................... 105

B.2. Validation de la méthode de mesure de la rotation ............................................ 106

Annexe C. Présentation des résultats pour les contraintes induites thermiquement .. 111

C.1. Contraintes dans la direction des fibres .............................................................. 111

C.2. Contraintes dans la direction transverse ............................................................. 113

C.3. Contraintes dans la direction radiale ................................................................... 115

C.4. Contraintes de cisaillement dans le plan 12 ........................................................ 117

IX

Liste des tableaux Tableau 2.1 : Propriétés du matériau carbone/époxyde T300/934 ..................................... 11

Tableau 2.2 : Géométrie et stratifiés du modèle de Rousseau et al. [8] .............................. 12

Tableau 2.3 : Résultats de l’étude de convergence du maillage avec des éléments S4R pour

le stratifié 1 ........................................................................................................................... 22

Tableau 2.4 : Résultats de l’étude de convergence du maillage avec des éléments S8R pour

le stratifié 1 ........................................................................................................................... 22

Tableau 2.5 : Résultats de l’étude de convergence du maillage avec des éléments C3D20R

pour le stratifié 1 .................................................................................................................. 23

Tableau 3.1 : Paramètres géométriques du modèle ............................................................ 35

Tableau 3.2 : Propriétés du matériau RS-1/Panex 33 ........................................................... 37

Tableau 4.1 : Dimensions et séquence de plis des tubes ..................................................... 57

Tableau A.1 : Propriétés mécanique du RS-1/Panex 33 [10] ................................................ 98

Tableau A.2 : Dimensions des éprouvettes testées .............................................................. 98

Tableau A.3 : Modules de rigidité expérimentaux et théorique .......................................... 99

Tableau A.4 : Déformations thermiques mesurées sur une plaque unidirectionnelle ...... 101

XI

Listes des figures Figure 1.1 : Différence de positions radiales des couches d’un stratifié ............................ 3

Figure 2.1 : Conditions aux frontières du modèle ............................................................ 13

Figure 2.2 : Notation utilisée pour les éléments de type coque dans ABAQUS ............... 14

Figure 2.3 : Élément de type S8R ...................................................................................... 15

Figure 2.4 : Maillage préliminaire pour les modèles avec des éléments coques ............. 16

Figure 2.5 : Nomenclature pour les éléments solides de type brique ............................. 17

Figure 2.6 : Élément de type C3D20R ............................................................................... 18

Figure 2.7 : Maillage préliminaire pour le modèle avec des éléments solides C3D20R ... 19

Figure 2.8 : Identification des variables pour le calcul de l’angle de torsion normalisé .. 20

Figure 2.9 : Maillages sélectionnés pour les modèles coques .......................................... 23

Figure 2.10 : Maillage du modèle pour les stratifiés 1 et 2 en éléments C3D20R ........... 24

Figure 2.11 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du changement de température appliqué ΔT pour le stratifié 1. .................................................................... 26

Figure 2.12 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du changement de température appliqué ΔT pour le stratifié 2. .................................................................... 26

Figure 2.13 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l’épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334°C. ........................... 28

Figure 2.14 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers l’épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334°C. .... 28

Figure 2.15 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l’épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334°C. .... 29

Figure 2.16 : Prédictions des contraintes radiales à travers l’épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334°C. ................................................ 29

Figure 2.17 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l’épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334°C. ........................... 31

Figure 2.18 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers l’épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334°C. .... 32

Figure 2.19 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l’épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334°C. .... 32

Figure 2.20 : Prédictions des contraintes radiales à travers l’épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334°C. ................................................ 33

Figure 3.1 : Prédictions de la torsion thermique du stratifié de type 1 d’épaisseur variable en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe. .................................................... 38

Figure 3.2 : Prédictions de la torsion thermique du stratifié type 2 d’épaisseur variable en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe. ......................................................... 38

Figure 3.3 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube stratifié de type 1. .................................................................................................... 40

XII

Figure 3.4 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube stratifié de type 1. ...................................................................................... 41

Figure 3.5 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube stratifié de type 1. ............................................................................................. 41

Figure 3.6 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-Z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube stratifié de type 1. ............................................................................................. 42

Figure 3.7 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube stratifié de type 2. ..................................................................................................... 43

Figure 3.8 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube stratifié de type 2. ...................................................................................... 44

Figure 3.9 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube stratifié de type 2. ............................................................................................. 44

Figure 3.10 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-Z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube stratifié de type 2. ............................................................................................. 45

Figure 3.11 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du rayon intérieur et de l’épaisseur du tube pour un stratifié de type 1 [ -75 / -75 / 0n / 75 / 75 ] et un changement de température de 100°C. ................................................................................................. 47

Figure 3.12 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du rayon intérieur et de l’épaisseur du tube pour un stratifié de type 2 [ -75n / 02n / 75n ] et un changement de température de 100°C. ...................................................................................................... 48

Figure 3.13 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 1 ............................ 49

Figure 3.14 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 1 .......... 50

Figure 3.15 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 1 ................. 50

Figure 3.16 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-Z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 1 ................. 51

Figure 3.17 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 2 ............................ 52

Figure 3.18 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 2 .......... 52

Figure 3.19 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 2 ................. 53

Figure 3.20 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-Z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 2 ................. 53

Figure 4.1 : Tubes fabriqués .............................................................................................. 57

XIII

Figure 4.2 : Chambre environnementale avec le système Aramis ................................... 59

Figure 4.3 : Paramètres de calibration et composantes du système Aramis [9] ............. 60

Figure 4.4 : Exemple de trame stochastique .................................................................... 61

Figure 4.5 : Support de montage des essais expérimentaux ............................................ 62

Figure 4.6 : Positionnement des rosettes de déformations et des thermocouples ......... 65

Figure 4.7 : Trame stochastique peinte sur l’un des échantillons testés ......................... 66

Figure 4.8 : Comparaison de la surface générée avant et après interpolation ................ 68

Figure 4.9 : Primitive cylindrique ...................................................................................... 69

Figure 4.10 : Création du cercle à l’encastrement ............................................................ 70

Figure 4.11 : Création du cercle à l’extrémité libre .......................................................... 70

Figure 4.12 : Création de la primitive plan ....................................................................... 71

Figure 4.13 : Élimination des mouvements de corps rigide ............................................. 72

Figure 4.14 : Positionnement du système de coordonnées ............................................. 73

Figure 4.15 : Création de la primitive ligne servant à la mesure de la déformation axiale74

Figure 4.16 : Création de la primitive ligne pour la mesure de la torsion thermique ...... 75

Figure 4.17 : Création de l’angle de mesure de rotation .................................................. 76

Figure 4.19 : Orientation des jauges d’une rosette rectangulaire ................................... 77

Figure 5.1 : Comparaison des déformations axiales théoriques et expérimentales du tube 1 .......................................................................................................................................... 80



Figure 5.4 : Comparaison des déformations circonférentielles théoriques et expérimentales du tube 1 ........................................................................................................................... 83



Figure 5.7 : Comparaison des déformations en torsion théoriques et expérimentales du tube 1 ........................................................................................................................................ 86



Figure A.1 : Contraintes axiales en fonction des déformations (Éprouvette 1) ............... 99

Figure A.2 : Déformations thermiques dans la direction des fibres (ε1) en fonction de ΔT ........................................................................................................................................ 102

Figure A.3 : Déformations thermiques dans la direction transverse (ε2) en fonction de ΔT ........................................................................................................................................ 102

Figure A.4 : Déformations thermiques d'un échantillon quasi-isotrope en fonction de ΔT ........................................................................................................................................ 104

Figure B.1 : Montage de l’essai de rotation libre ........................................................... 106

Figure B.2 : Primitive plan utilisée pour la mesure de la rotation .................................. 107

XIV

Figure B.3 : Angle de rotation mesuré ............................................................................ 108

Figure B.4 : Mesures de rotation réelles et mesurées de l’essai de rotation libre ......... 109

Figure C.1 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l’épaisseur du tube 1 pour un changement de température de 60°C. .................................................. 111



Figure C.4 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers l’épaisseur du tube 1 pour un changement de température de 60°C. ........................... 113

Figure C.5 : Prédictions des contraintes transverses à travers l’épaisseur du tube 2 pour un changement de température de 60°C. ........................................................................... 114

Figure C.6 : Prédictions des contraintes transverses à travers l’épaisseur du tube 3 pour un changement de température de 60°C. ........................................................................... 114

Figure C.7 : Prédictions des contraintes radiales à travers l’épaisseur du tube 1 pour un changement de température de 60°C. ........................................................................... 116



Figure C.10 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l’épaisseur du tube 1 pour un changement de température de 60°C. ........................... 118



XV

Remerciements

Je tiens premièrement à remercier Mme Marie-Laure Dano pour avoir dirigé les

travaux de la présente recherche. Ce fut long et ardu, entrecoupé d’une longue

pause, mais nous en voyons finalement l’accomplissement.

Je veux également remercier ma copine Joëlle, qui m’a épaulé et donné la

motivation nécessaire lorsqu’elle était chancelante durant les derniers milles.

J’aimerais également remercier toute l’équipe du département de génie mécanique

pour l’aide qu’elle m’a fournie durant les dernières années.

Finalement, j’aimerais remercier l’Agence Spatiale Canadienne pour avoir

gracieusement fourni le support à tube utilisé pour les essais expérimentaux.

1

Chapitre 1 Introduction

1.1 Mise en situation

L’utilisation des matériaux composites de type stratifié a connu une croissance

remarquable au cours des dernières années. La principale raison de cette

croissance est que les matériaux composites offrent beaucoup d’avantages avec

lesquels les matériaux compétiteurs, tels l’acier et l’aluminium, ne peuvent rivaliser.

Entres autres, les matériaux composites de type stratifié sont inoxydables et ils se

comportent bien en fatigue. Toutefois, la caractéristique les rendant si attrayants est

leur rapport résistance/masse volumique très élevé. En effet, dans plusieurs

domaines d’ingénierie où la masse est un facteur à minimiser sans concéder de

résistance, les matériaux composites sont tout désignés pour remplacer peu à peu

les matériaux métalliques conventionnels. L’un de ces domaines est l’aérospatial,

où la légèreté des matériaux peut faire économiser beaucoup, étant donné les coûts

de mise en orbite des satellites, sondes et autres appareils.

Les matériaux composites de type stratifié sont un alliage de deux constituants

remplissant chacun des rôles très spécifiques : la matrice et le renfort. La matrice

est un milieu continu dont le rôle est de protéger et transmettre la charge au renfort,

un milieu discontinu à l’intérieur de la matrice. La matrice peut être de différents

types : polymérique, métallique, céramique ou en carbone. Le renfort est composé

de fibres ou de particules de matière aux propriétés mécaniques élevées, tel le

carbone, le verre, le kevlar et la céramique. Le matériau à l’étude dans le présent

travail de recherche est un composite stratifié constitué de fibres longues de carbone

pré imprégnées d’une matrice polymérique époxyde. Le terme stratifié implique que

le matériau est composé de plusieurs couches de fibres orientées dans différentes

directions et liées ensemble par la matrice. Les termes les plus utilisés pour qualifier

les stratifiés sont symétrique et équilibré. Un stratifié symétrique signifie que les

2

couches de part et d’autres du plan moyen du stratifié sont symétriques, tandis

qu’équilibré signifie que pour chaque couche d’orientation définie, une autre couche

possède une orientation opposée. Il est possible pour un stratifié d’être à la fois

symétrique et équilibré.

L’utilisation première des matériaux composites dans le domaine de l’aérospatial est

de nature structurelle, servant par exemple de support pour les antennes et

satellites. Dans ce type d’application, la rigidité structurelle est bien entendu très

importante, mais la stabilité thermique l’est tout autant, puisque les écarts de

température dans l’espace sont très importants. Un des types de poutre

fréquemment utilisé est tubulaire à section circulaire en raison de leur bonne

résistance au flambage et à la traction ainsi qu’à leur procédé de fabrication

relativement simple comparé à d’autres types de poutres. La majorité des couches

du stratifié ont les fibres orientées axialement, donnant au tube la rigidité axiale

voulue, et quelques couches ont leurs fibres légèrement désaxées à ±θ, assurant

ainsi une certaine solidité circonférentielle. Cependant, un problème découle d’une

telle configuration : sous chargement thermique, des contraintes sont générées dans

les couches du stratifié. Des contraintes de cisaillement se développent notamment

dans les couches orientées à ±θ. Dans le cas de stratifiés symétriques, équilibrés et

plans, ces contraintes de cisaillement, étant de même grandeur et de direction

opposée, s’équilibrent et ne causent pas de déformations en cisaillement. Par

contre, dans le cas d’un tube, malgré le fait que les contraintes résiduelles soient

toujours égales et de direction opposée, les couches orientées à ±θ n’occupent pas

la même position radiale par rapport au centre du tube. Cette particularité fait que,

bien que l’équilibre des forces soit conservé, celui des moments autour du centre du

tube ne l’est pas, puisque les bras de levier des forces ne sont pas égaux. Une

torsion thermique est ainsi induite dans le tube. Les stratifiés symétriques et

équilibrés sont beaucoup moins enclins à la torsion thermique, puisque la différence

entre les rayons moyens des plis inverses est beaucoup plus petite que pour les

stratifiés non symétriques et équilibrés, donc le moment de torsion généré est

beaucoup plus faible. Ce phénomène est démontré à la Figure 1.1 avec un stratifié

3

non-symétrique et équilibré de type [-θ / -θ / 0x / θ / θ ]. Comme on le voit sur la

figure, la paroi du tube est constituée d’un empilement de deux plis orientés à -θ,

plusieurs plis à 0° par rapport à l’axe Z, et deux plis à +θ. Les deux plis situés sur le

rayon intérieur du tube, orientés à -θ, créent un couple de torsion inférieur à celui

des deux plis au rayon externe, orientés à θ, en raison de la différence de rayon.

Cette différence de couple se traduit en déformation en cisaillement du tube et

génère ce que l’on appelle de la torsion thermique.

Figure 1.1 : Différence de positions radiales des couches d’un stratifié

4

Cette torsion thermique peut être préjudiciable à la résistance et à la tenue en fatigue

du tube. En effet, les tubes utilisés comme support dans la structure d’un satellite

sont habituellement retenus à leurs deux extrémités, empêchant ainsi les

déplacements et créant des contraintes de cisaillement à travers la paroi du tube.

Les déformations engendrées par la torsion thermique étant très petites, les

contraintes subies par le tube sont également faibles, mais la résistance limitée du

stratifié en cisaillement et la combinaison possible avec d’autres chargements

peuvent créer un état de contraintes risquant de causer de l’endommagement. De

plus, un phénomène de fatigue thermique sera observé si le tube est soumis à un

changement de température cyclique, comme le sont souvent les satellites ou

sondes en orbite.

1.2 Revue de littérature

Au cours des vingt dernières années, plusieurs travaux de recherche ont été réalisés

sur les déformations thermiques dans les tubes de matériaux composites ainsi que

les contraintes qu’elles engendrent. Cependant, peu de chercheurs se sont penchés

sur le phénomène de la torsion thermique dans les tubes de matériaux composites.

Whitney [1] a montré dans ses travaux théoriques que, sous chargement thermique,

la valeur élevée du coefficient d’expansion thermique à travers l’épaisseur a un effet

sur le calcul des contraintes. Cet effet devient très important pour les tubes à paroi

épaisse (ratio rayon intérieur sur l’épaisseur inférieur à 10). Il propose de modifier la

théorie classique des coques pour tenir compte des déformations normales

transverses. Whitney n’a toutefois pas étudié le phénomène de torsion thermique.

Rousseau et al. [8], ainsi que Hyer et al. [2] ont observé expérimentalement que,

contrairement à ce qu’avance la théorie classique des stratifiés, les tubes en

matériaux composites symétriques et équilibrés se déforment en torsion lorsque

soumis à un changement de température. Ce phénomène est dû aux positions

radiales différentes des plis hors-axe. Ils ont alors développé une analyse élastique

prenant en compte les trois dimensions prédisant ce comportement dans les tubes

épais. Le modèle étudie également l’influence de l’utilisation des propriétés du

5

matériau dépendantes ou indépendantes de la température sur les résultats. Ils ont

démontré que les propriétés étaient effectivement dépendantes de la température.

Cependant, l’influence sur les résultats de torsion n’est observée que pour des

températures très basses, de l’ordre de -50°C. Tutuncu et Winckler [3] ont montré

dans leurs travaux théoriques qu’il est possible de créer de la torsion thermique dans

des tubes en matériaux composites à section non-circulaire en utilisant des stratifiés

hybrides constitués de couches en kevlar/époxyde et en verre/époxyde. Ils ont aussi

montré que modifier l’épaisseur du tube ne changeait pas la magnitude de la torsion

thermique induite. Ils ont également démontré, dans un autre article [4], en utilisant

un modèle d’élasticité linéaire, que pour un tube composé de plis unidirectionnels,

l’angle maximisant la torsion thermique est de 45 degrés pour les tubes minces,

comme le prédit la théorie classique des stratifiés. Par contre, dans le cas des tubes

épais, cet angle dépend de l’épaisseur et du rayon moyen du tube. Milburn [5] s’est

basé sur les résultats de Tutuncu et Winckler et a développé un modèle analytique

simple pour prédire la torsion thermique dans des tubes stratifiés. Il l’a utilisé pour

étudier la possibilité de concevoir des tubes qui ne génèrent pas de torsion

thermique. Ses résultats ont démontré qu’en modifiant l’angle de certains plis du

stratifié, il était possible d’équilibrer les forces d’expansion thermique et ainsi obtenir

un tube ayant une torsion thermique pratiquement nulle. Kaddour et al. [6] ont

également observé physiquement le phénomène de torsion thermique dans leur

étude des contraintes résiduelles induites lors de la mise en œuvre de tubes

verre/époxyde. Ces contraintes sont évaluées expérimentalement en mesurant le

changement de géométrie quand les tubes sont coupés le long de leur axe

longitudinal. Ces mesures mettent également en évidence le phénomène de torsion

thermique. En ce qui a trait aux éléments finis, Holstein et al. [7] ont montré que des

éléments en trois dimensions étaient plus appropriés pour la modélisation des tubes

épais, et que les éléments coques ne devraient être utilisés qu’avec des tubes

minces.

Plusieurs méthodes de mesures expérimentales ont été utilisées dans les différents

travaux afin de mesurer les distorsions induites thermiquement dans les tubes en

6

matériau composite. Hyer et al. [2] ont utilisé une méthode consistant à induire un

changement de température aux tubes à l’aide d’une chambre environnementale.

La torsion thermique a été déterminée en fixant des bras radiaux au tube et en

mesurant les déplacements tangentiels à l’extrémité des bras à l’aide de capteurs

de déplacement linéaire et de jauges de déformations. Finalement, Milburn [5] a

utilisé un système de corrélation d’images en trois dimensions appelé ARAMIS. Le

système permet, à l’aide de deux caméras, de mesurer des déplacements sans

contact sur des échantillons et propose un système d’analyse des résultats.

Cependant, les essais de Milburn ont mesuré la torsion thermique induite par un

changement de température à seulement deux températures. Le nombre limité de

mesures ne permet pas de bien évaluer la précision de la méthode de mesure. La

méthode de corrélation d’image sera également employée dans les présents

travaux, mais la torsion thermique induite par un changement de température sera

mesurée en plusieurs incréments afin de pouvoir juger de l’aptitude de mesure de

cette méthode.

Les travaux présentés dans cette revue de littérature montrent que les effets

thermiques à travers l’épaisseur doivent être pris en compte dans le calcul des

contraintes pour les tubes épais (ri/t inférieur à 10). Pour les tubes minces, il semble

que ces effets diminuent et que la théorie classique des coques soit suffisante. Au

niveau expérimental, la méthode de corrélation d’images en trois dimensions semble

prometteuse pour évaluer la torsion mais doit être validée.

7

1.3 Objectifs et plan du mémoire

Les objectifs des présents travaux sont les suivants :

Étudier le phénomène de torsion thermique dans les tubes en matériau

composite, plus spécifiquement de pré-imprégné carbone-époxyde.

Développer un modèle par éléments finis prédisant avec précision les

déplacements et déformations induits par un changement thermique dans les

tubes en matériau composite.

Étudier l’influence des paramètres géométriques du tube sur la torsion

thermique.

Déterminer la possibilité de mesurer le phénomène de torsion thermique à

l’aide d’un système de corrélation d’image.

Le Chapitre 2 sera consacré à l’élaboration du modèle par éléments finis. La

géométrie, les propriétés mécaniques, les conditions aux frontières et le type de

chargement appliqués, le type d’éléments choisis, le type d’analyse effectuée ainsi

que les résultats étudiés y seront expliqués en détail. Une comparaison des résultats

du modèle avec ceux de la littérature permettra également de choisir le type

d’éléments le plus approprié pour cette application.

Ensuite, les résultats d’une étude paramétrique permettant d’étudier l’influence de

différents paramètres sur la torsion thermique seront présentés au Chapitre 3. Les

paramètres étudiés sont : l’épaisseur du tube, le rayon de courbure ainsi que

l’orientation des fibres par rapport à l’axe longitudinal du tube.

Le Chapitre 4 couvrira les aspects expérimentaux du projet. Une brève revue du

procédé général de moulage sous vide des matériaux composites ainsi que les

étapes de fabrication des échantillons testés seront présentés. Les problèmes

rencontrés et les solutions apportées seront discutés. De plus, l’équipement utilisé,

la méthode de prise de mesures, une brève explication du principe de corrélation

d’images ainsi qu’une description du système ARAMIS et de la chambre

environnementale utilisées seront présentés.

Le Chapitre 5 présentera les résultats expérimentaux ainsi que la comparaison de

ceux-ci avec les résultats du modèle d’éléments finis. L’analyse de ces résultats sera

aussi couverte dans ce chapitre. Finalement, une conclusion et des

recommandations seront présentées au Chapitre 6.

9

Chapitre 2 Modèle d’analyse par éléments finis

Afin d’étudier le comportement mécanique de tubes soumis à un chargement

thermique, un modèle de prédiction est conçu avec la méthode d’analyse par

éléments finis. Ce chapitre explique le processus de création de ce modèle

développé à l’aide du logiciel ABAQUS. Afin de valider le modèle, les prédictions

sont comparées aux résultats obtenus par Rousseau et al. [8] qui ont développé un

modèle d’analyse élastique en trois dimensions pour prédire le comportement de

tubes en matériau composite sous chargement thermique et mécanique.

2.1 Résumé du modèle analytique de Rousseau et al.

Le modèle analytique proposé par Rousseau et al. [8] utilise la théorie de l’élasticité

plane. Comme les cylindres étudiés ont un ratio rayon sur épaisseur plus petit que

10, le modèle tient compte des effets d’expansion thermique dans l’épaisseur. Le

modèle est développé dans un système de coordonnées polaires. Le modèle définit,

pour chaque couche, les équations gouvernant les déplacements (et donc les

déformations et contraintes) en fonction des propriétés du matériau et de constantes

d’intégration. Pour ce faire, Rousseau et al. définissent d’abord les relations

déplacements-déformations, les équations d’équilibre ainsi que les équations de

compatibilité, qui peuvent ensuite être simplifiées en posant certaines hypothèses.

En effet, puisque le problème est axisymétrique, aucune composante de

déplacement ne dépend de la coordonnée circonférentielle θ. De plus, les

contraintes et déformations loin des bouts du tube sont supposées uniformes et donc

indépendantes de la coordonnée Z. Après la simplification des équations,

l’expression des trois composantes de déplacement (u, v et w) peut donc être

obtenue à partir de ce système d’équations. Ces expressions de déplacements

comportent plusieurs constantes d’intégration inconnues.

10

Afin de déterminer la valeur de ces inconnues, les conditions aux frontières sont

appliquées afin de fournir les équations nécessaires à la résolution du système

d’équations. Les premières conditions aux frontières sont les états de contraintes

aux parois internes et externes du tube, qui sont égales à zéro. Ensuite, les règles

de continuité des contraintes et des déplacements entre les couches sont

appliquées. Finalement, Rousseau et al. imposent que la force axiale et le couple

de torsion appliqués au tube sont égales à zéro. Les équations obtenues sont

utilisées pour déterminer les valeurs des contraintes et des déformations pour des

tubes ayant différentes séquences de plis soumis à un changement de température.

L’influence de tenir compte ou pas de la dépendance des propriétés des matériaux

à la température est étudiée.

2.2 Définition de la configuration des tubes et des propriétés du matériau

La géométrie, les propriétés du matériau et les stratifiés utilisés sont les mêmes que

dans les travaux de Rousseau et al. [8]. Cependant, il faut noter que les propriétés

du matériau ont été supposées indépendantes de la température dans les présents

travaux. Cette hypothèse est basée sur les résultats du modèle analytique de

Rousseau et al. [8]. Ils montrent en effet que la torsion thermique prédite en utilisant

des propriétés dépendantes de la température est sensiblement la même celle

prédite en utilisant des propriétés constantes dans un intervalle allant

d’approximativement -70°C à 180°C.

Le matériau carbone-époxyde utilisé est du T300/934, dont les propriétés

mécaniques sont présentées dans le Tableau 2.1.

11

Tableau 2.1 : Propriétés du matériau carbone/époxyde T300/934

E1 (GPa) 130

E2 (GPa) 9,52

E3 (GPa) 8,55

ν12 0,31

ν13 0,31

ν23 0,49

G12 (GPa) 4,76

G13 (GPa) 4,76

G23 (GPa) 3,2

α1 (/°C) 0

α2 (/°C) 1,89 10-5-

α3 (/°C) 1,89 10-5

Les dimensions importantes à respecter par rapport aux travaux de Rousseau et al.

[8] sont le rayon intérieur et l’épaisseur du tube. La longueur peut être modifiée,

puisque les résultats pour la rotation sont normalisés en unité de rotation par unité

de longueur [rad/mm], et ne tiennent donc pas compte de la longueur. Ainsi, une

longueur de 50 mm sera utilisée dans le modèle. Les tubes étudiés dans [8] sont

considérés comme minces, puisque leur ratio ri/t est d’une valeur de 14, donc

supérieure à la valeur limite de 10 [4]. Les dimensions ainsi que l’empilement de plis

des tubes sont présentés au Tableau 2.2. L’empilement des stratifiés est donné à

partir du rayon intérieur vers le rayon extérieur (voir Erreur ! Source du renvoi

ntrouvable.). L’ordre de grandeur des déformations dues à la torsion thermique

dans les deux types de stratifiés est différent. En effet, la torsion dans le stratifié de

type 1 est plus importante, ce qui a été vérifié expérimentalement par Rousseau et

al. à l’aide de rosettes de déformations et de transducteurs de déplacement.

12

Tableau 2.2 : Géométrie et stratifiés du modèle de Rousseau et al. [8]

Longueur (mm) 50

Rayon intérieur (mm) 25,4

Épaisseur (mm) 1,778

Stratifié 1 [ -202 / 010 / 202 ]T

Stratifié 2 [ -20 / 20 / 010 / 20 / -20 ]T

Deux types d’éléments seront utilisés pour modéliser le problème : des éléments

coques et des éléments solides. Dans le cas des éléments coques, seule la surface

au rayon moyen du tube est modélisée, et les propriétés de section (l’épaisseur et

l’empilement des plis) lui sont attribuées. En ce qui concerne les éléments solides,

le tube est modélisé en trois dimensions selon les dimensions indiquées dans le

Tableau 2.2 et les propriétés de section sont attribuées en fonction du nombre

d’éléments à travers l’épaisseur et du stratifié à modéliser. Si plusieurs éléments

sont modélisés à travers l’épaisseur, l’empilement de plis devra être divisé

également parmi les éléments.

2.3 Conditions aux frontières et chargement

Dans le logiciel d’analyse par éléments finis ABAQUS, les conditions aux frontières

sont appliquées sur la géométrie et non sur le maillage. Dans le cas présent, afin

d’étudier le comportement du tube sous chargement thermique, il suffit d’empêcher

la rotation d’une des extrémités du tube autour de l’axe Z tout en laissant l’autre

extrémité libre. Pour ce faire, les déplacements circonférentiels et axiaux seront

bloqués à la position Z=0. Les déplacements radiaux sont laissés libres afin de

permettre l’expansion radiale. La Figure 2.1 montre, à titre d’exemple, les conditions

aux frontières appliquées sur un modèle coque. Le chargement appliqué, quant à

lui, est tout simplement un changement de température uniforme dans tout le tube.

13

Figure 2.1 : Conditions aux frontières du modèle

2.4 Choix du type d’éléments

Il existe plusieurs types d’éléments dans ABAQUS, certains sont d’usage général,

et d’autres d’usage plus spécifique. Ainsi, il est important de bien choisir un type

d’éléments approprié pour l’application étudiée, sans quoi les résultats obtenus

peuvent être erronés. Dans le cas présent, l’étude porte sur des tubes minces et

épais soumis à un changement de température. Avec la méthode des éléments finis,

les tubes sont généralement modélisés soit en éléments coques ou soit en éléments

solides.

2.4.1 Éléments coques

Les éléments coques, comme leur nom l’indique, sont désignés spécialement pour

les applications comportant des coques ou des pièces à paroi mince. Les éléments

étudiés dans le cadre des présents travaux sont les suivants : S4R, S4R5, S8R et

S8R5. La signification de la notation utilisée dans ABAQUS est illustrée sur la Figure

2.2.

Z=0 Z=L

R

Z

Uz = 0Libre

14

Figure 2.2 : Notation utilisée pour les éléments de type coque dans ABAQUS

L’élément S4R5 est donc un élément coque à quatre nœuds à intégration réduite et

a cinq degrés de liberté par nœud. Les éléments S4R et S8R sont tous deux à

intégration réduite, possèdent respectivement quatre et huit nœuds et ont six degrés

de liberté par nœud : trois translations et trois rotations selon X, Y et Z en repère

cartésien ou R, θ et Z en repère cylindrique. La Figure 2.3 illustre un élément de

type S8R. Les nœuds sont numérotés selon la connectivité de l’élément. De plus,

les degrés de liberté des nœuds sont illustrés. Les points d’intégration sont identifiés

par les astérisques. Les éléments S4R5 et S8R5 ont les mêmes degrés de liberté

que ceux illustrés sur la Figure 2.3 excepté la rotation selon Z. Contrairement aux

éléments S8R et S8R5, les éléments S4R et S4R5 ne comptent que quatre nœuds,

un à chaque coin.

15

Figure 2.3 : Élément de type S8R

Les éléments S4R et S8R sont plus appropriés pour modéliser les coques épaisses,

puisqu’ils tiennent compte des déformations de cisaillement transverse. Les

éléments S4R5 et S8R5 sont utilisés en général pour les applications de coques

minces, pour lesquelles le cisaillement transverse est négligeable. Dans tous les

cas, les contraintes et les déformations normales à travers l’épaisseur sont

négligées. La différence principale entre les éléments coques à quatre et huit nœuds

est dans le type d’interpolation utilisé lors de la résolution du modèle : les éléments

à quatre nœuds utilisent une interpolation linéaire et ceux à huit nœuds utilisent une

interpolation quadratique. Les éléments à huit nœuds donnent donc généralement

une meilleure approximation de la solution. La Figure 2.4 illustre le maillage

préliminaire utilisé pour les éléments coques. Une étude de convergence sur le

maillage sera effectuée à la section 2.5.

yz

x

u2

u1

u3

u4

u5

u6

31

2

4

56

78

*

*

*

*

1

2

3

4

16

Figure 2.4 : Maillage préliminaire pour les modèles avec des éléments coques

2.4.2 Éléments 3D solides

Il existe beaucoup d’éléments solides en trois dimensions convenant à différentes

applications. Pour une application telle que l’analyse linéaire de déplacements-

contraintes, comme dans le cas présent, un élément recommandé est l’élément

brique C3D20R. La nomenclature de cet élément est illustrée sur la Figure 2.5.

17

Figure 2.5 : Nomenclature pour les éléments solides de type brique

L’élément de type C3D20R, illustré à la Figure 2.6, est donc constitué de 20 nœuds,

dont chacun a trois degrés de liberté, étant les trois translations dans les directions

X, Y et Z. L’intégration réduite permet de n’avoir que huit points d’intégration au lieu

de 27, ce qui réduit grandement le temps de calcul. Le type d’interpolation entre les

nœuds d’une même arête utilisé pour cet élément est quadratique. Ce type

d’élément permet de tenir compte des contraintes et des déformations normales dan

l’épaisseur.

18

Figure 2.6 : Élément de type C3D20R

En utilisant ce type d’élément, le tube peut être modélisé avec un ou plusieurs

éléments à travers l’épaisseur. Le maillage préliminaire, avec un seul élément à

travers l’épaisseur, est illustré à la Figure 2.7. Une étude de convergence sur le

maillage sera effectuée dans la section suivante.

yz

x

u2

u1

u3

1

3

5

7

17

19

2

4

6

8

910

1112

1314

1516

18

20

19

Figure 2.7 : Maillage préliminaire pour le modèle avec des éléments solides C3D20R

2.5 Résultats d’intérêt et raffinement des maillages

2.5.1 Résultats d’intérêt

ABAQUS permet l’étude de plusieurs variables résultant d’une analyse de

chargement thermique, dont les déplacements, les déformations, les contraintes, les

forces résultantes et plusieurs autres. La principale variable d’intérêt dans le cas

présent est la composante circonférentielle du vecteur de déplacement, qui

représente la torsion thermique subie par le tube. Ce déplacement peut être affiché

lors du traitement de données dans ABAQUS/CAE, selon le système de

coordonnées cylindriques utilisé dans les présents travaux. Cependant, afin de

comparer les résultats de la méthode par éléments finis aux résultats obtenus

analytiquement par Rousseau et al. [8], quelques opérations doivent être réalisées

20

sur la valeur de déplacement calculée par ABAQUS. En effet, la valeur calculée par

ABAQUS est simplement le déplacement circonférentiel en millimètre, tandis que

les résultats de Rousseau et al. [8] sont donnés en angle de torsion par unité de

longueur [rad/mm]. La transformation à effectuer est donnée par:

�̅� [𝑟𝑎𝑑

𝑚𝑚] =

𝑈𝜃[𝑚𝑚]

𝑟𝑒[𝑚𝑚]

𝑙[𝑚𝑚] (2.1)

où �̅� représente l’angle de torsion normalisé par la longueur, Uθ est le déplacement

circonférentiel déterminé à une distance l, re est le rayon extérieur, où le

déplacement est déterminé et l correspond à la distance dans la direction Z entre le

point où le déplacement est obtenu et l’encastrement. Les paramètres sont identifiés

à la Figure 2.8.

Figure 2.8 : Identification des variables pour le calcul de l’angle de torsion normalisé

À des fins de design, les contraintes engendrées par le changement de température

sont également étudiées. Les composantes du champ de contraintes étudiées sont

l

Z

re

Up

p’

ri

21

celles dans la direction des fibres, σ1, dans la direction transverse aux fibres, σ2,

dans la direction radiale, σ3, ainsi que la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2,

τ12. Les contraintes sont uniformes sur toute la longueur du cylindre, sauf au niveau

de l’extrémité libre du tube (effet de bord libre). Elles seront donc observées dans

un élément situé loin des extrémités du tube. De plus, dû à l’axisymétrie du tube, les

contraintes sont indépendantes de θ.

2.5.2 Raffinement des maillages

Afin d’obtenir un bon compromis entre la précision des résultats et le temps de

calcul pour une analyse, une étude de convergence est effectuée pour chaque type

d’élément. L’étude de convergence est faite sur la variable primaire qu’est le

déplacement circonférentiel. Elle consiste à raffiner le maillage progressivement et

calculer l’erreur, en pourcentage, entre les valeurs du déplacement prédit d’un

maillage à l’autre. Généralement, lorsque le modèle est bon, l’erreur diminue à

chaque raffinement, démontrant ainsi la convergence de l’approximation. Lorsque

l’erreur atteint un seuil appelé le critère de convergence, le maillage est jugé

adéquat. Étant donné les temps de calcul faibles de cette analyse, un critère de

convergence relativement sévère de 1% est utilisé afin d’obtenir des résultats plus

précis. Les études de convergence ont été effectuée avec le stratifié 1 [ -202 / 010 /

202 ]T et pour un changement de température uniforme de 334°C.

2.5.2.1 Maillage d’éléments coques

Dans le modèle avec éléments coques, la pièce est maillée en spécifiant le nombre

d’éléments souhaité selon la circonférence et selon la longueur du tube. Puisque ce

sont des éléments coques, par défaut il n’y a qu’un seul élément à travers

l’épaisseur. Le maillage peut donc être raffiné en augmentant le nombre d’éléments

dans ces deux directions. Chaque raffinement de maillage quadruple le nombre

d’éléments du modèle. Le Tableau 2.3 présente les résultats de l’étude de

convergence pour le maillage avec des éléments S4R et le Tableau 2.4 présente

22

celle pour le maillage avec des éléments S8R. Les maillages des éléments de type

S4R5 et S8R5 utilisés seront identiques à ceux utilisés pour les S4R et S8R

respectivement.

Tableau 2.3 : Résultats de l’étude de convergence du maillage avec des éléments S4R pour le stratifié 1

Nbre éléments circonférence

Nbre éléments longueur

Nbre éléments total

Torsion thermique [µrad/mm]

% erreur absolu

12 5 60 2,657 N/D

24 10 240 2,5066 5,661

48 20 960 2,4953 0,451

96 40 3840 2,4922 0,124

Tableau 2.4 : Résultats de l’étude de convergence du maillage avec des éléments S8R pour le stratifié 1



Nbre éléments total


% erreur absolu

12 5 60 2,5034 N/D

24 10 240 2,5141 0,427

48 20 960 2,515 0,036

Les résultats de l’étude montre qu’avec les éléments S4R, deux raffinements sont

nécessaires afin d’obtenir la convergence, tandis qu’un seul raffinement est

nécessaire pour les éléments S8R. De plus, le maillage convergé des éléments S4R

comporte quatre fois plus d’éléments que celui des éléments S8R. Les maillages

sélectionnés pour les analyses subséquentes sont indiqués en italique dans les

tableaux et présentés à la Figure 2.9.

23

Figure 2.9 : Maillages sélectionnés pour les modèles coques

2.5.2.2 Maillage d’éléments solides

Le modèle en éléments C3D20R est maillé de la même façon que pour les éléments

coques, mais avec la possibilité d’avoir plusieurs éléments à travers l’épaisseur. Le

raffinement du maillage se fera donc en deux étapes. La première est identique aux

éléments coques, c’est-à-dire qu’elle consiste à quadrupler le nombre d’éléments et

observer l’influence sur la précision des résultats. Lorsque la convergence est

atteinte, l’influence du nombre d’éléments à travers l’épaisseur totale est ensuite

observée. Le Tableau 2.5 montre les résultats de cette étude.

Tableau 2.5 : Résultats de l’étude de convergence du maillage avec des éléments C3D20R pour le stratifié 1



Nbre éléments épaisseur

Nbre éléments

total


% erreur absolu

12 5 1 60 -3,5537 N/D

24 10 1 240 -3,2325 9,04

48 20 1 960 -3,2297 0,086

48 20 2 1920 -3,2242 0,17

48 20 7 6720 -3,2312 0,217

48 20 14 13440 -3,2305 0,021

24

Les résultats montrent qu’en ce qui concerne la prédiction de la torsion thermique,

le nombre d’éléments à travers l’épaisseur importe peu, car l’erreur entre les

résultats des modèles à un élément et ceux à plusieurs éléments est très faible.

Cependant, l’étude des contraintes radiales a montré que le tube doit être modélisé

avec sept éléments à travers l’épaisseur afin d’obtenir des résultats précis. Ce

phénomène sera discuté plus en détails dans la section 2.6.2. Le maillage de 48

éléments sur la circonférence, 20 éléments sur la longueur et sept éléments dans

l’épaisseur sera donc utilisé pour les deux stratifiés. La Figure 2.10 illustre ce

maillage.

Figure 2.10 : Maillage du modèle pour les stratifiés 1 et 2 en éléments C3D20R

25

2.6 Résultats finaux et comparaison avec la littérature

La dernière étape de validation du modèle consiste à comparer les résultats obtenus

par éléments finis à ceux obtenus analytiquement par Rousseau et al. [8]. Les

résultats observés sont la torsion thermique et les contraintes dans le repère local

des différents plis. Les déplacements sont observés sur un intervalle de température

allant de 177°C, qui correspond à la température de cuisson, à -157°C, qui est la

température d’utilisation la plus froide dans l’espace. Les contraintes, quant à elles,

sont observées pour le changement de température maximum ΔT = -334°C.

2.6.1 Déplacements circonférentiels

L’étude des déplacements circonférentiels a été faite pour les deux stratifiés et les

résultats sont présentés aux Figures 2.11 et 2.12. Dû à l’utilisation d’un système de

coordonnées cylindriques différents dans le modèle analytique [8] par rapport au

modèle par éléments finis, les résultats obtenus avec le modèle d’éléments finis sont

de signe inverse aux résultats obtenus avec le modèle de Rousseau et al. [8].

Toutefois, la torsion thermique induite dans les tubes est physiquement dans la

même direction dans les deux cas. À des fins de visualisation, les graphiques ont

été tracés en prenant la valeur absolue des résultats. Finalement, il est à noter que

les unités des résultats des deux stratifiés ne sont pas les mêmes; les résultats du

stratifié 1 sont en µrad/mm, tandis que ceux du stratifié 2 sont en nrad/mm. Cette

différence est expliquée par les séquences de plis différentes des stratifiés.

26

Figure 2.11 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du changement de température

appliqué ΔT pour le stratifié 1.

Figure 2.12 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du changement de température

appliqué ΔT pour le stratifié 2.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

Tors

ion

th

erm

iqu

e [

µra

d/m

m]

Δ T [°C]

Modèle analytique [ref]Éléments finis (C3D20R)Éléments finis (S4R)Éléments finis (S4R5)Éléments finis (S8R)Éléments finis (S8R5)

[ 8 ]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

Tors

ion

th

erm

iqu

e [

nra

d/m

m]

Δ T [°C]

Modèle analytique []Éléments finis (C3D20R)Éléments finis (S4R)Éléments finis (S4R5)Éléments finis (S8R)Éléments finis (S8R5)

[ 8 ]

27

Comme on peut le voir à la Figure 2.11, les quatre types d’éléments coques testés

donnent des résultats similaires, mais inférieurs par rapport à la prédiction du

modèle analytique. Dans le cas du stratifié 2, dont les résultats sont présentés à la

Figure 2.12, tous les modèles qui utilisent des éléments coques prédisent une

torsion thermique nulle, tandis que le modèle qui utilise des éléments solides prédit

une torsion thermique non-nulle, mais toutefois très petite. Ainsi, les résultats

montrent que les éléments coques ne sont pas appropriés pour l’analyse de torsion

thermique par éléments finis, et ce, même en cas de tubes minces, tel que le cas

présentement étudié. Il semble que la prise en compte des déformations thermiques

à travers l’épaisseur soit nécessaire pour prédire la torsion thermique dans les tubes,

même lorsque ceux-ci sont minces.

Dans le cas des éléments C3D20R, la corrélation obtenue entre les résultats par

éléments finis et le modèle analytique est excellente pour les deux stratifiés. Le

modèle en trois dimensions avec les éléments C3D20R est donc le plus apte à

prédire précisément les déplacements engendrés par la torsion thermique dans les

tubes minces.

2.6.2 Contraintes

La répartition à travers l’épaisseur des contraintes σ1, σ2, τ12 et σ3 du stratifié 1 sont

tracées respectivement aux Figures 2.13, 2.14, 2.15 et 2.16. Chaque figure,

exceptée la Figure 2.16, comporte la courbe des contraintes obtenues avec le

modèle analytique et la courbe des contraintes obtenues pour chaque type

d’éléments utilisé dans le modèle éléments finis. La Figure 2.16 ne comporte pas de

courbes pour les éléments coques puisque ces derniers ne tiennent pas compte des

effets à travers l’épaisseur, et ne peuvent donc pas prédire de contraintes radiales.

Cependant, elle montre la convergence de la contrainte radiale avec l’augmentation

du nombre d’éléments à travers l’épaisseur afin de justifier le choix de sept éléments

C3D20R à travers l’épaisseur pour le modèle éléments finis en solide 3D.

28

Figure 2.13 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l’épaisseur du tube

pour le stratifié 1 et un changement de température de -334°C.

Figure 2.14 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers

l’épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334°C.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

-80 -60 -40 -20 0 20 40

Épai

sse

ur

[mm

]

Contrainte σ1 [MPa]


Couches à +20°

Couches à 0°

Couches à -20°

[ 8 ]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

4 5 6 7 8 9 10

Épai

sse

ur

[mm

]


Modèle analytique [ref]

Éléments finis (C3D20R)

Éléments finis (S4R)

Éléments finis (S4R5)

Éléments finis (S8R)

Éléments finis (S8R5)

Couches à +20°

Couches à 0°

Couches à -20°

[ 8 ]

29

Figure 2.15 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l’épaisseur du

tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334°C.

Figure 2.16 : Prédictions des contraintes radiales à travers l’épaisseur du tube pour le stratifié 1 et

un changement de température de -334°C.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Épai

sse

ur

[mm

]

Contrainte τ12 [Mpa]


Couches à +20°

Couches à 0°

Couches à -20°

[ 8 ]

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6

Épai

sse

ur

[mm

]


Modèle analytique [ref]

EF (7 éléments)

EF (2 éléments)

EF (1 élément)

Couches à +20°

Couches à 0°

Couches à -20°

[ 8 ]

30

Les Figures 2.13, 2.14 et 2.15 montrent que tous les types d’éléments testés offrent

un niveau acceptable de précision dans le calcul des contraintes dans le plan.

Toutefois, les éléments coques sont légèrement moins précis que les éléments

solides C3D20R, spécialement pour les contraintes dans la direction transverse σ2.

En effet, pour toutes les contraintes observées, les prédictions obtenues avec le

modèle EF solide sont semblables à celles obtenues avec le modèle analytique,

alors que les prédictions obtenues avec les éléments coques montrent quelques

disparités. Sur la Figure 2.15, les contraintes obtenues avec les éléments C3D20R

sont inverses aux autres. Cela est encore une conséquence du système de

coordonnées du modèle 3D différent. Ces résultats concordent avec ceux de

Whitney [1]. Celui-ci avait observé que l’effet des déformations thermiques à travers

l’épaisseur devrait être pris en compte dans le calcul de contraintes dans le plan

pour un ratio ri/t égal à 10.5. Cependant, lorsque ri/t augmente, ce qui est le cas des

tubes minces, cet effet se dissipe.

La Figure 2.16 montre la courbe des contraintes radiales dans l’épaisseur pour le

modèle analytique ainsi que pour les modèles EF comportant un, deux ou sept

éléments C3D20R à travers l’épaisseur. L’ordre de grandeur des contraintes

radiales est tellement petit que ces dernières sont négligeables. Cependant, on

constate que les modèles comportant seulement un ou deux éléments solides dans

l’épaisseur prédisent deux comportements totalement différents du comportement

prédit par le modèle analytique. Par contre, le modèle comportant sept éléments à

travers l’épaisseur prédit les contraintes radiales avec la même précision que le

modèle analytique. Ainsi, il s’avère nécessaire d’utiliser plusieurs éléments solides

à travers l’épaisseur pour bien prédire les contraintes radiales.

La répartition à travers l’épaisseur des contraintes σ1, σ2, τ12 et σ3 du stratifié 2 sont

tracées respectivement aux Figures 2.17, 2.18, 2.19 et 2.20. Chaque figure

comporte la courbe des contraintes obtenues avec le modèle analytique et la courbe

des contraintes obtenues avec les éléments solides C3D20R avec sept éléments à

travers l’épaisseur. Les éléments coques n’ont pas été considérés dans l’analyse

31

des contraintes pour le stratifié 2 puisque ces derniers ne prédisent aucun

déplacement en torsion et il a été vu que les éléments coques ne sont pas adéquats

pour cette application en raison de leur inhabilité à prédire les contraintes radiales.

Figure 2.17 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l’épaisseur du tube

pour le stratifié 2 et un changement de température de -334°C.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Épai

sse

ur

[mm

]


Modèle analytique [8]


32

Figure 2.18 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers

l’épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334°C.

Figure 2.19 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l’épaisseur du

tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334°C.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

4 5 6 7 8 9 10

Épai

sse

ur

[mm

]




0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Épai

sse

ur

[mm

]

Contrainte τ12 [MPa]



33

Figure 2.20 : Prédictions des contraintes radiales à travers l’épaisseur du tube pour le stratifié 2 et

un changement de température de -334°C.

Les Figures 2.17, 2.18, 2.19 et 2.20 montrent que le modèle développé offre

également une très bonne corrélation dans le cas d’un stratifié équilibré et

symétrique. Sur la Figure 2.19, la courbe pour les éléments C3D20R est, comme

pour le stratifié 1, inverse à celle du modèle analytique. Cela est encore une

conséquence du système de coordonnées du modèle 3D différent.

2.7 Conclusions

À la lumière des résultats obtenus, les éléments coques offrent une prédiction

acceptable des contraintes dans la direction des fibres et la direction transverse aux

fibres, mais leur inhabilité à prédire correctement les déplacements circonférentiels

et les contraintes radiales, et ce même pour les tubes catégorisés à paroi mince, en

font un choix inapproprié pour ce type de modélisation. Cependant, le modèle en

trois dimensions avec les éléments C3D20R prédit avec précision les déplacements

et les contraintes, en plus de permettre l’observation des contraintes radiales. Le

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15

Épai

sse

ur

[mm

]




34

modèle choisi pour la suite de cette étude sera donc constitué d’éléments C3D20R

avec un maillage de 48 éléments sur la circonférence, 20 éléments par tranche de

50 mm de longueur et un élément par groupe de deux plis à travers l’épaisseur.

Il est donc recommandé d’utiliser les éléments C3D20R lors de modélisation

d’applications de tubes en matériaux composites soumis à un chargement

thermique, même si le tube a une paroi mince.

35

Chapitre 3 Étude paramétrique

L’objectif de ce chapitre est d’étudier l’influence des différents paramètres

géométriques du tube sur les déplacements circonférentiels et les contraintes

résultants d’un chargement thermique. Les paramètres étudiés sont l’orientation des

plis, le rayon intérieur ainsi que l’épaisseur du tube. Le modèle développé au

chapitre 2 est utilisé afin de prédire les valeurs théoriques. Les résultats de cette

étude influenceront le choix de certains paramètres des tubes à fabriquer pour les

essais expérimentaux.

3.1 Définition de la configuration des tubes et des propriétés du matériau

La géométrie des tubes étudiés a été établie en fonction des essais expérimentaux

à venir. Ainsi, les dimensions choisies pour les tubes n’excèdent pas celles du

volume de mesure sélectionné pour les essais expérimentaux avec le système de

mesure par corrélation d’images Aramis. Le volume de mesure utilisé est

d’approximativement 135 mm x 108 mm x 120 mm. De plus, l’étude s’est portée sur

deux types de stratifiés choisis en raison de leur utilisation fréquente dans le

domaine aérospatial, soit les stratifiés [ -θ2 / 0n / θ2 ] et [ -θn / 02n / θn ]. Les dimensions

fixes du modèle et les types de stratifiés étudiés sont présentés dans le Tableau 3.1.

Tableau 3.1 : Paramètres géométriques du modèle

Longueur (mm) 100

Épaisseur d’un pli (mm) 0.165

Stratifié de type 1 [ -θ2 / 0n / θ2 ]

Stratifié de type 2 [ -θn / 02n / θn ]

Puisque l’influence du rayon intérieur et de l’épaisseur totale du tube sur les

déplacements et contraintes est étudiée, ces paramètres géométriques restent

36

variables. La variation de l’épaisseur du tube se fait en utilisant deux méthodes

différentes. La première consiste à modifier le nombre de plis à 0° au centre du

stratifié de type 1. Donc pour cette méthode, le tube le plus mince possible est un

tube ne comportant aucune couche à 0°. La deuxième méthode consiste à ajouter

des couches de façon à garder la même proportion entre le nombre de couches à

0° et le nombre de couches à ±θ du stratifié de type 2. Par exemple, le stratifié [ -θ2

/ 04 / θ2 ] peut être utilisé pour épaissir le stratifié [ -θ / 02 / θ ]. La deuxième méthode

présente l’avantage de pouvoir observer seulement l’influence du changement

d’épaisseur, puisque le stratifié conserve les mêmes propriétés mécaniques et

thermomécaniques effectives, contrairement à la première méthode, pour laquelle

l’ajout de couches à 0° influence ces propriétés. Également, la deuxième méthode

permet d’étudier des tubes plus minces en amincissant l’épaisseur des couches,

tant que la proportion des couches dans l’épaisseur totale du tube reste respectée.

Basé sur le maillage final établi à la section 2.6, le modèle sera donc maillé avec

des éléments solide C3D20R au nombre de 48 sur la circonférence, 40 sur la

longueur et un nombre variable à travers l’épaisseur à raison d’un élément par

groupe de deux plis. Le matériau carbone-époxyde utilisé pour la fabrication des

tubes expérimentaux est le RS-1/Panex 33. Ses propriétés sont présentées dans le

Tableau 3.2. Elles ont été mesurées expérimentalement par des essais de

caractérisation décrits à l’Annexe A. Les conditions aux frontières du modèle sont

les mêmes que celles sur la Figure 2.1. Le chargement appliqué est un changement

de température uniforme de 100°C.

37

Tableau 3.2 : Propriétés du matériau RS-1/Panex 33

E1 (GPa) 101,7

E2 (GPa) 7,91

E3 (GPa) 7,91

ν12 0,318

ν13 0,318

ν23 0,458

G12 (GPa) 3,02

G13 (GPa) 3,02

G23 (GPa) 2,71

α1 (/°C) 2,2 10-6

α2 (/°C) 3,645 10-5

α3 (/°C) 3,645 10-5

3.2 Étude de l’orientation des plis

L’étude de l’orientation des plis vise à observer l’influence de l’angle θ du stratifié

sur les déplacements circonférentiels et les différentes contraintes subis par le

stratifié lorsque soumis à un intervalle de température. Elle a été réalisée, pour

différentes épaisseurs de tube à un rayon intérieur constant de 12.7 mm, en faisant

varier l’angle d’orientation θ des couches désaxées des deux types de stratifiés. Une

variation de l’angle θ de 0 à 90 degrés a été étudiée.


Les Figure 3.1 et 3.2 présentent respectivement les prédictions de la variation de la

torsion thermique en fonction de l’angle θ des couches des stratifiés de types 1 et 2

pour différentes épaisseurs de tubes. Tel que mentionné précédemment, l’épaisseur

varie en modifiant le nombre de plis à 0° du stratifié de type 1 et pour le type 2, elle

varie en ajoutant des couches de façon à garder la même proportion entre le nombre

de couches à 0° et le nombre de couches à ±θ.

38

Figure 3.1 : Prédictions de la torsion thermique du stratifié de type 1 d’épaisseur variable en

fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe.

Figure 3.2 : Prédictions de la torsion thermique du stratifié type 2 d’épaisseur variable en fonction

de l’angle d’orientation des plis hors axe.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Tors

ion

th

erm

iqu

e [

µra

d/m

m]

Angle θ (deg)

[-θ/-θ/θ/θ]

[-θ/-θ/0/0/θ/θ]

[-θ/-θ/06/θ/θ]

[-θ/-θ/010/θ/θ]

[-θ/-θ/θ/θ][-θ/-θ/02/θ/θ][-θ/-θ/06/θ/θ][-θ/-θ/010/θ/θ]

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Tors

ion

th

erm

iqu

e [

μra

d/m

m]

Angle θ (deg)

[-θ/0/0/θ][-θ2/04/θ2][-θ3/06/θ3][-θ4/08/θ4]

[-θ/0/0/θ][-θ2/02/θ2][-θ3/06/θ3][-θ4/08/θ4]

39

La Figure 3.1 montre que l’angle θ qui maximise la torsion thermique tend à diminuer

en épaississant le tube par l’ajout de couches à 0°. En effet, cet angle est de 79°

pour le stratifié [-θ/-θ/θ/θ], de 78° pour le stratifié [-θ/-θ/0/0/θ/θ], de 75° pour le

stratifié [-θ/-θ/06/θ/θ] et finalement de 73° pour le stratifié [-θ/-θ/010/θ/θ],

considérablement plus épais. La Figure 3.2, quant à elle, montre que l’angle θ qui

maximise la torsion thermique ne change pas lorsque l’épaisseur varie en modifiant

le nombre de couches de façon à garder constante la proportion de couches à 0°

par rapport aux couches à ±θ. En effet, cet angle est constant à 79° pour toutes les

épaisseurs étudiées. Ce phénomène était attendu, puisque cette méthode

d’augmentation de l’épaisseur ne change pas les propriétés effectives du stratifié.

Dans les deux cas, les figures montrent que l’angle θ qui maximise la torsion

thermique est entre 70° et 80°. Ces résultats sont très intéressants car ils montrent

que lorsqu’un tube a plus qu’une couche hors-axe, l’angle qui maximise la torsion

n’est plus 45o comme l’avait montré Tutuncu et Winckler pour un tube comportant

une seule couche [4]. De plus, ces résultats semblent indiquer que le modèle

proposé par Milburn [5] serait basé sur une hypothèse erronée.

Un angle de 75° est donc sélectionné comme orientation des plis hors-axe lors de

la fabrication des échantillons d’essai afin de maximiser la torsion thermique.

Finalement, la torsion thermique est nulle lorsque θ est à 0° ou 90°, donc lorsque

l’orientation des plis coïncide avec l’axe du cylindre ou sa direction circonférentielle.

3.2.2 Contraintes

Les Figures 3.3, 3.4, 3.5 et 3.6 montrent respectivement l’évolution des contraintes

σ1, σ2, τ12 et τθZ dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction de l’angle

d’orientation des plis hors axe pour un tube stratifié de type 1. Les contraintes ont

été observées dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur puisque, tel que vu

au chapitre 2, c’est à cet endroit qu’elles sont les plus élevées pour ce type de

chargement. De plus, les contraintes varient très peu à travers l’épaisseur d’une

couche, il est donc inutile de chercher le maximum absolu dans une couche. Les

40

contraintes radiales ne sont pas analysées puisqu’elles sont très faibles en général

et elles sont nulles sur le rayon intérieur, tel que vu au chapitre 2.

Figure 3.3 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube stratifié

de type 1.

-20

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Co

ntr

ain

te σ

1[M

Pa]

Angle θ (deg)

[-θ/-θ/θ/θ][-θ/-θ/0/0/θ/θ][-θ/-θ/06/θ/θ][-θ/-θ/010/θ/θ]


41

Figure 3.4 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un

tube stratifié de type 1.

Figure 3.5 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube

stratifié de type 1.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Co

ntr

ain

te σ

2[M

Pa]

Angle θ (deg)

[-θ/-θ/θ/θ]

[-θ/-θ/0/0/θ/θ]

[-θ/-θ/06/θ/θ]

[-θ/-θ/010/θ/θ]


-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Co

ntr

ain

te τ

12

[MP

a]

Angle θ (deg)

[-θ/-θ/θ/θ]

[-θ/-θ/0/0/θ/θ]

[-θ/-θ/06/θ/θ]

[-θ/-θ/010/θ/θ]


42

Figure 3.6 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-Z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube


De façon générale, les courbes montrent que l’amplitude des contraintes augmente

avec l’épaisseur, surtout la contrainte dans la direction des fibres. Également, le

stratifié sans couches à 0° montre généralement une tendance différente des autres

stratifiés, puisque le comportement des couches à 0° est différent des couches à ±θ,

ce qui augmente les contraintes; les comparaisons avec ce tube seront donc évitées.

La contrainte dans la direction des fibres (Figure 3.3) montre un maximum en tension

lorsque l’angle θ est d’approximativement 40° et ne montre pas de compression,

excepté pour le tube [ -θ / -θ / 02 / θ / θ ], pour lequel une légère compression est

observée à un angle de 90°. La contrainte est nulle lorsque les fibres sont à 0°. La

contrainte dans la direction transverse (Figure 3.4) est nulle lorsque les fibres sont

à 0° et est maximale pour un angle allant de 50° à 70°, dépendamment du stratifié.

La contrainte est très faible pour un angle θ de 0° à 20°. Finalement, les contraintes

de cisaillement dans le plan 1-2 (Figure 3.5) et dans le plan θ-Z (Figure 3.6) sont

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Co

ntr

ain

te τ

θZ

[MP

a]

Angle θ (deg)

[-θ/-θ/θ/θ]

[-θ/-θ/0/0/θ/θ]

[-θ/-θ/06/θ/θ]

[-θ/-θ/010/θ/θ]


43

toutes deux nulles pour des angles de 0° et 90°, puisque les courbes à 0° et à 90°

ne montrent pas de couplage extension-cisaillement. Comme le montre la Figure

3.5, la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 est maximal pour un angle θ

d’environ 30°, ce qui, contre intuitivement, ne correspond pas à l’angle engendrant

le déplacement de torsion thermique maximal. Cependant, ce résultat concorde

avec les résultats de Rousseau et al. [8] qui montrent aussi que la contrainte de

cisaillement dans un tube [+/0n/-] est maximum quand l’angle des fibres est

d’environ 30°. Comme le montre la Figure 3.6, la contrainte de cisaillement dans le

plan θ-Z est maximale pour un angle θ d’environ 45°, ce qui ne correspond

également pas à l’angle engendrant le déplacement de torsion thermique maximal.

Les Figures 3.7, 3.8, 3.9 et 3.10 montrent respectivement l’évolution des contraintes

σ1, σ2, τ12 et τθZ dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction de l’angle

d’orientation des plis hors axe pour un tube stratifié de type 2.

Figure 3.7 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube stratifié

de type 2.

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Co

ntr

ain

te σ

1[M

Pa]

Angle θ (deg)

[-θ/0/0/θ]

[-θ2/04/θ2]

[-θ3/06/θ3]

[-θ4/08/θ4]

44

Figure 3.8 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un

tube stratifié de type 2.

Figure 3.9 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Co

ntr

ain

te σ

2[M

Pa]

Angle θ (deg)

[-θ/0/0/θ][-θ2/04/θ2][-θ3/06/θ3][-θ4/08/θ4]

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Co

ntr

ain

te τ

12

[MP

a]

Angle θ (deg)

[-θ/0/0/θ][-θ2/04/θ2][-θ3/06/θ3][-θ4/08/θ4]

45

Figure 3.10 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-Z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l’angle d’orientation des plis hors axe d’un tube


La contrainte dans la direction des fibres (Figure 3.7) montre un faible maximum en

tension lorsque l’angle θ est d’approximativement 40° et un maximum en

compression pour un angle de 90°. La contrainte est nulle lorsque les fibres sont à

0°, et très faible lorsque l’angle est d’approximativement 50° à 70°, dépendamment

du stratifié. La contrainte dans la direction transverse aux fibres (Figure 3.8) est nulle

lorsque les fibres sont à 0° et 90° et est maximale pour un angle de 45°. La contrainte

σ2 est très faible pour un angle θ de 0° à 20° et de 70° à 90°. Les contraintes de

cisaillement dans le plan 1-2 (Figure 3.9) et dans le plan θ-Z (Figure 3.10) sont toutes

deux nulles pour des angles de 0° et 90°. L’angle maximisant la contrainte de

cisaillement dans le plan 1-2 est d’environ 30° pour τ12>0 et d’environ 60° pour τ12<0

pour le tube le plus mince. L’angle maximisant la contrainte de cisaillement dans le

plan θ-Z (Figure 3.10) est de 45° pour le tube le plus mince, mais il diminue

légèrement pour les tubes plus épais.

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Co

ntr

ain

te τ

θZ

[MP

a]

Angle θ (deg)

[-θ/0/0/θ][-θ2/04/θ2][-θ3/06/θ3][-θ4/08/θ4]

46

Comme ce qui a été vu pour la stratifié de type 1, les courbes montrent que

l’amplitude des contraintes augmente légèrement avec l’épaisseur. De façon

générale, les contraintes dans la direction des fibres et de cisaillement dans le plan

θ-Z du stratifié de type 2 sont moins élevées que dans le stratifié de type 1, mais les

contraintes dans la direction transverse aux fibres et de cisaillement dans le plan 1-

2 sont plus élevées dans le stratifié de type 2.

3.2.3 Conclusions

D’un point de vue de conception d’un tube stratifié sous chargement thermique, une

orientation de faible angle (de l’ordre de 10° à 20°) semble à privilégier, car le

phénomène de torsion thermique et les contraintes thermiques sont moindres, pour

les deux types de stratifié. Une légère augmentation de l’angle des couches hors

axe accroît rapidement les contraintes, surtout celles de cisaillement.

3.3 Étude du ratio du rayon intérieur sur l’épaisseur (ri/t)

L’étude vise à observer l’influence du ratio ri/t sur les déplacements et contraintes

dans le tube sous chargement thermique. L’étude est réalisée pour une orientation

des plis hors-axe du stratifié constante de ±75°, car cet angle maximise la torsion

thermique, tel qu’observé à la section précédente. Puisque le ratio est dépendant de

deux paramètres, le rayon intérieur et l’épaisseur, l’influence de la variation de ces

deux paramètres est observée. Les deux méthodes de variation de l’épaisseur

seront testées. Quatre rayons intérieurs différents de 6 mm, 12.7 mm, 19 mm et 25.4

mm sont testés. Pour chaque rayon, l’épaisseur est variée de façon à obtenir des

valeurs de ratio ri/t allant d’approximativement 5 à 40.

47


Les Figures 3.11 et 3.12 présentent les résultats de l’étude de l’influence du ratio ri/t

sur les déplacements circonférentiels pour les stratifiés de types 1 et 2

respectivement. Pour le stratifié de type 2, le graphique comporte quatre courbes,

une pour chaque rayon testé, mais le graphique du stratifié de type 1 n’en comporte

que trois. En effet, pour ce type de stratifié, le rayon de 6 mm ne permettait qu’une

variation du ratio jusqu’à 9, puisque le tube le plus mince pour ce stratifié est de [ -

75 / -75 / +75 / +75 ], tel qu’expliqué à la section 3.1.

Figure 3.11 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du rayon intérieur et de l’épaisseur

du tube pour un stratifié de type 1 [ -75 / -75 / 0n / 75 / 75 ] et un changement de température de 100°C.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tors

ion

th

erm

iqu

e [

µra

d/m

m]

Ratio ri/t

Ri=12.7mmRi=19mmRi=25,4mm

48

Figure 3.12 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du rayon intérieur et de l’épaisseur

du tube pour un stratifié de type 2 [ -75n / 02n / 75n ] et un changement de température de 100°C.

À la lumière des résultats présentés aux Figures 3.11 et 3.12, plusieurs conclusions

peuvent être portées sur l’influence du ratio ri/t sur le phénomène de torsion

thermique. Premièrement, les deux figures montrent clairement que pour un ratio

constant, une diminution du rayon intérieur entraîne une augmentation de la torsion

thermique. En effet, pour le stratifié de type 2, une diminution d’un rayon de 25.4

mm à un rayon intérieur de 6 mm entraîne une augmentation de plus de 400% de la

torsion thermique. Deuxièmement, dans les deux cas, plus le tube est épais, donc

plus le ratio diminue, plus la torsion thermique prédite par le modèle éléments finis

est importante. Cet effet est particulièrement intéressant dans le cas du stratifié de

type 2 (Figure 3.12), puisqu’on peut observer l’effet direct de la variation du ratio ri/t,

car pour ce type de stratifié, les propriétés mécaniques et thermomécaniques

effectives du tube ne changent pas en épaississant le tube. Les courbes ont une

allure exponentielle, donc si le ratio est divisé en deux, la torsion thermique double.

Ce phénomène est dû à l’augmentation de la distance entre les plis à –θ et +θ plus

le tube est épais.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tors

ion

th

erm

iqu

e [

µra

d/m

m]

Ratio ri/t

Ri=6mmRi=12.7mmRi=19mmRi=25.4mm

49

3.3.2 Contraintes

Les Figures 3.13, 3.14, 3.15 et 3.16 montrent l’évolution des contraintes σ1, σ2, τ12

et τθZ respectivement en fonction du ratio ri/t pour un stratifié de type 1.

Figure 3.13 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le

rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 1

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Co

ntr

ain

te σ

1[M

Pa]

Ratio ri/t

Ri=12.7mm

Ri=19mm

Ri=25,4mm

50

Figure 3.14 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ

située sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 1

Figure 3.15 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située

sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 1

-26

-25,8

-25,6

-25,4

-25,2

-25

-24,8

-24,6

-24,4

0 5 10 15 20 25

Co

ntr

ain

te σ

2 [M

Pa]

Ratio ri/t

Ri=12.7mm

Ri=19mm

Ri=25,4mm

-1,4

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0 5 10 15 20

Co

ntr

ain

te τ

12

[M

Pa]

Ratio ri/t

Ri=12.7mmRi=19mmRi=25,4mm

51

Figure 3.16 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-Z dans la couche à -θ située


Dans le cas des contraintes dans la direction des fibres (Figure 3.13), l’augmentation

du ratio ri/t diminue aussi les contraintes en tension. Par contre, à ratio constant, le

fait d’augmenter le rayon intérieur du tube se traduit en une augmentation des

contraintes en tension dans les fibres. Les contraintes dans la direction transverse

aux fibres (Figure 3.14) ne montrent pas de tendance claire selon le changement de

rayon et de ratio ri/t. En effet, l’ordre de grandeur est le même peu importe le rayon

et la valeur du ratio. Dans le cas de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2

(Figure 3.15), l’augmentation du ratio ri/t augmente les valeurs négatives et

l’augmentation du rayon les diminue. Finalement, l’accroissement du ratio ri/t réduit

l’amplitude des contraintes de cisaillement dans le plan θ-Z (Figure 3.16).

Également, l’augmentation du rayon intérieur du tube augmente ces contraintes.

Les Figures 3.17, 3.18, 3.19 et 3.20 montrent l’évolution des contraintes σ1, σ2, τ12

et τθZ respectivement, en fonction du ratio ri/t pour un stratifié de type 2.

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20

Co

ntr

ain

te τ

θZ

[MP

a]

Ratio ri/t

Ri=12.7mm

Ri=19mm

Ri=25,4mm

52

Figure 3.17 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le

rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 2

Figure 3.18 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ

située sur le rayon intérieur en fonction du ratio ri/t d’un stratifié de type 2

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Co

ntr

ain

te σ

1[M

pa]

Ratio ri/t

Ri=6mm

Ri=12.7mm

Ri=19mm

Ri=25.4mm

-26,2

-26,0

-25,8

-25,6

-25,4

-25,2

-25,0

-24,8

-24,6

-24,4

0 10 20 30 40 50

Co

ntr

ain

te σ

2[M

Pa]

Ratio ri/t

Ri=6mm

Ri=12.7mm

Ri=19mm

Ri=25.4mm

53

Figure 3.19 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située


Figure 3.20 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-Z dans la couche à -θ située


-2,0

-1,8

-1,6

-1,4

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0 10 20 30 40 50

Co

ntr

ain

te τ

12

[MP

a]

Ratio ri/t

Ri=6mm

Ri=12.7mm

Ri=19mm

Ri=25.4mm

9,0

9,5

10,0

10,5

11,0

11,5

12,0

12,5

13,0

0 10 20 30 40 50

Co

ntr

ain

te τ

θZ

[MP

a]

Ratio ri/t

Ri=6mm

Ri=12.7mm

Ri=19mm

Ri=25.4mm

54

Tel qu’anticipé, pour chaque contrainte, les courbes sont tous très similaires peu

importe le rayon du tube. Ceci est encore une fois dû au fait qu’avec cette méthode

d’épaississement du tube, les propriétés mécaniques et thermomécaniques

effectives ne changent pas, donc on retrouve les mêmes contraintes d’un rayon à

l’autre. Également, on remarque que les courbes ont la même allure exponentielle

que celle des courbes de déplacement de torsion thermique (Figure 3.12). Les

contraintes augmentent très vite jusqu’à un ratio d’environ 15 pour ensuite continuer

d’augmenter, mais avec une pente moindre.

3.3.3 Conclusions

Les deux types de stratifiés ont montré un comportement similaire en torsion lorsque le

ratio rayon sur épaisseur augmente. Dans les deux cas, plus le tube est épais, donc plus le

ratio diminue, plus la torsion thermique prédite par le modèle éléments finis est

importante.

Par contre, les deux types de stratifiés ont montré des réactions opposées lorsque le ratio

du rayon sur épaisseur est modifié. En effet, dans le cas du stratifié de type 1,

l’amincissement du tube a provoqué une diminution notable des contraintes dans les fibres

et de cisaillement dans le plan θ-Z et une augmentation négligeable des contraintes de

cisaillement dans le plan 1-2; ce type de stratifié semble donc plus approprié pour des

applications de tube à paroi mince. Tandis que pour le stratifié de type 2, l’amincissement

du tube a provoqué une augmentation notable des contraintes dans les fibres et de

cisaillement dans le plan θ-Z et une diminution négligeable des contraintes transverses et

de cisaillement dans le plan 1-2; ce type de stratifié est donc plus approprié pour des

applications de tube à paroi épaisse.

55

Chapitre 4 Aspects expérimentaux

Les aspects expérimentaux du projet sont présentés dans ce chapitre. Il présente

une brève introduction au procédé de moulage sous vide de matériaux composites

ainsi que les étapes de fabrication des échantillons testés. De plus, l’équipement de

mesure utilisé et la procédure des essais expérimentaux y sont détaillés.

Finalement, les méthodes d’obtention des résultats d’intérêt sont présentées.

4.1 Procédé de moulage sous vide et fabrication des tubes

4.1.1 Procédé de moulage sous vide

La fabrication des tubes a été effectuée avec du pré-imprégné carbone-époxyde de

type RS-1/Panex 33 par le procédé de moulage sous vide. Ce procédé consiste à

appliquer les couches de pré-imprégné voulues sur un moule, habituellement fait de

métal, puis de créer un vide sur le moule. Ce vide permet à la fois d’éliminer les

bulles d’air du stratifié et de retirer le surplus de résine. Le vide est maintenu pendant

toute la cuisson du matériau, qui consiste à chauffer le stratifié à une certaine

température pour une période déterminée afin d’obtenir la polymérisation de la

résine. La température et le temps de polymérisation varient selon le matériau utilisé.

Dans le cas du RS-1/Panex 33, la cuisson se fait à 80°C pendant 12 heures.

Le moule utilisé pour la fabrication des tubes échantillons est un cylindre d’acier de

diamètre de 25.4 mm. Préalablement à la fabrication, la surface de ce moule est

traitée avec un agent de démoulage afin de faciliter le démoulage des tubes après

la cuisson.

56

Les premiers échantillons fabriqués comportaient des défauts visibles et plusieurs

itérations ont été nécessaires afin de développer le procédé de fabrication générant

des tubes de qualité. Ce procédé consiste en les étapes suivantes :

1. Il faut premièrement découper les couches dans le pré-imprégné. Afin de

minimiser les erreurs d’orientation, une seule découpe est utilisée pour

enrouler chaque paire de couches ayant la même orientation. Par exemple,

trois découpes seront faites pour fabriquer un stratifié [–θ/–θ/ 0 / 0 / θ / θ], une

pour chaque orientation. Les découpes sont de forme rectangulaire et ont des

dimensions correspondant à la longueur du tube par le double de la

circonférence du tube, ce qui permet d’enrouler deux couches à la fois.

Comme le diamètre du tube augmente à mesure que des couches sont

appliquées, la circonférence du tube augmente également. Cette dimension

doit donc être minutieusement calculée pour chaque découpe afin d’obtenir

un joint le plus étroit possible. Lorsque les dimensions sont connues, il faut

procéder à la découpe en portant attention à bien l’orienter de façon à ce que

les fibres aient l’angle voulu par rapport à l’axe du tube.

2. Lorsque les découpes sont faites, il faut les enrouler à tour de rôle de façon

très serrée autour du moule. Pour chaque découpe enroulée, il faut appliquer

une couche de ruban thermo rétractable autour du tube, puis le chauffer à

l’aide d’un séchoir à cheveux et laisser reposer pendant environ 30 minutes.

Cette étape sert à appliquer une légère compression sur le pré-imprégné, le

forçant à épouser la forme cylindrique. Lorsque les 30 minutes sont écoulées,

le ruban est enlevé et la prochaine couche est enroulée à son tour.

3. Lorsque toutes les couches sont appliquées et comprimées sur le moule, on

applique le vide à l’aide d’un sac à vide autour du moule. Il faut enlever les

bulles d’air le plus possible au niveau du sac afin d’arriver au vide le plus

uniforme possible. Puis le tout est placé dans un four pour être chauffé et

maintenu à la température de cuisson du matériau pendant le temps requis.

57

4.1.2 Fabrication des tubes

En suivant ces étapes, trois tubes ont été fabriqués en utilisant un stratifié différent

pour chacun tel qu’indiqué dans le Tableau 4.1. Les trois stratifiés sont de type [ -θ

/ -θ / 0n / θ / θ ]. Dans le but d’étudier la variation de l’épaisseur sur les déformations,

les trois tubes ont un nombre de couches orientées à 0° différent. L’angle θ a été

choisi de façon à maximiser la torsion induite thermiquement. En effet, un des

objectifs des essais est de valider l’utilisation d’un système de corrélation d’image

pour déterminer l’angle de torsion. Il était donc souhaitable d’avoir assez de torsion

pour étudier la précision de la méthode de mesure. Comme observé précédemment

sur les Figures 3.1 et 3.2, un angle de 75° permet de maximiser la torsion induite

thermiquement. Cette valeur a donc été choisie pour θ.

Tableau 4.1 : Dimensions et séquence de plis des tubes

Tube Séquence Longueur

(mm) Rayon

interne (mm) Épaisseur

(mm) Ratio ri/t

Type de

paroi

1 [ -75 / -75 / 75 / 75 ] 125 12.7 0.66 19.25 Mince

2 [ -752 / 02 / 752] 125 12.7 0.99 12.8 Mince

3 [ -752 / 06 / 752] 125 12.7 1.65 7.7 Épaisse

La Figure 4.1 montre les trois tubes qui ont été fabriqués.

Figure 4.1 : Tubes fabriqués

58

4.2 Équipements utilisés

4.2.1 Chambre environnementale

La chambre environnementale est l’équipement utilisé afin d’induire un changement

de température uniforme aux échantillons. La chambre, de marque Cincinnati Sub-

Zero et de modèle Z Plus 32, est montrée à la Figure 4.2. Ce type de chambre

environnementale permet de contrôler à la fois l’humidité et la température à

l’intérieur de la chambre. Cependant, l’absorption de l’humidité des matériaux

composites se faisant très lentement, seule la température a été contrôlée dans les

essais effectués. La chambre est équipée de ventilateurs faisant circuler l’air à

l’intérieur et utilise la modulation entre un système de refroidissement par liquide

réfrigérant et un système de chauffage par éléments chauffants afin d’atteindre et

maintenir la température visée. L’intervalle de température possible est de -73°C à

190°C. L’intérieur de la chambre, de forme cubique, mesure 97 cm par côté, pour

un volume de 0,91m3. La chambre possède deux fenêtres permettant de voir à

l’intérieur, l’une, très épaisse, sur la porte et l’autre, beaucoup plus mince, sur le côté

gauche. La fenêtre sur la gauche a été ajoutée spécialement par le fabriquant afin

d’avoir la possibilité de prendre des mesures à travers la vitre avec un système de

corrélation d’images.

59

Figure 4.2 : Chambre environnementale avec le système Aramis

4.2.2 Système de corrélation d’images

Le système de corrélation d’image utilisé est appelé Aramis, de la compagnie GOM.

Le système Aramis est un système de mesure optique de déformations en trois

dimensions sans contact. Le système est composé de deux caméras à 5 mégapixels

d’une distance focale de 50 mm disposées sur un trépied, d’un senseur, d’un

ordinateur à haute performance équipé du logiciel d’application Aramis et de

panneaux de calibration. Le système permet la mesure de déformations aussi

petites que 0.02%. Le système est montré à la Figure 4.2.

Le système Aramis permet l’analyse de plusieurs tailles d’échantillon. Il suffit de

calibrer le système en fonction du volume de mesure approximatif nécessaire. La

calibration s’effectue à l’aide des panneaux de calibration fournis avec le système.

Il est important de choisir un panneau de calibration de taille appropriée à

60

l’échantillon à mesurer afin d’obtenir la plus grande précision possible.

Effectivement, plus le volume de mesure est petit, meilleure est la précision des

mesures. Avant la calibration, trois paramètres doivent être ajustés : la distance

entre le milieu du volume de mesure et la barre de montage des caméras, la distance

entre les deux caméras et l’angle entre les deux caméras. Ces paramètres, illustrés

sur la Figure 4.3, varient selon le panneau de calibration choisi. Le processus de

calibration du système consiste à placer le panneau de calibration dans différentes

positions données par le logiciel et, pour chacune de ces positions, une photo est

prise par les caméras. À partir de ces photos, le logiciel calcule le volume de mesure.

Dans le cas présent, le panneau de calibration utilisé est de 135 mm par 108 mm.

Les caméras utilisées ayant une résolution de 2448 X 2050 pixels, le système offre

une précision d’environ 0.05 mm. Cela est légèrement supérieur aux déformations

attendues, de l’ordre de 0.03 mm pour le tube épais. Cependant, le volume de

calibration choisi est le plus petit volume disponible permettant de capturer le

comportement du tube entier.

Figure 4.3 : Paramètres de calibration et composantes du système Aramis [9]

Hauteur (volume de mesure)

Largeur (volume de mesure)

Longueur (volume de mesure)

Angle de caméra

Lentille caméra gauche

Glissière gauche

Distance de glissières

Centre du volume de mesure

Distance de mesure

Lentille caméra droite

Support

Glissière droite

Distance de caméras

61

Le principe du système Aramis est le suivant : les caméras prennent simultanément

une photo de l’échantillon. Les deux caméras ayant une prise de vue différente de

l’échantillon, le logiciel peut ainsi faire la corrélation entre les deux images afin de

générer un modèle 3D de la surface de l’échantillon. La première image de

l’échantillon non déformé sert de stade de référence. Par la suite, une ou plusieurs

autres images peuvent être prises pendant le chargement de l’échantillon dans le

cas d’une déformation progressive, ou après le chargement dans le cas d’une

déformation subite. Le système Aramis corrèle ensuite les images entre elles et

calcule les déplacements engendrés par le chargement entre chaque stade de

déformation et le stade de référence.

Afin de permettre au système de faire la corrélation entre les deux images, la surface

de l’échantillon doit être apprêtée de façon à ce que chaque pixel détecté par la

première caméra soit facilement associable au pixel correspondant sur l’image de la

deuxième caméra. Pour ce faire, une trame stochastique est appliquée sur la surface

de l’échantillon par projection de peinture. La trame stochastique permet d’obtenir

un agencement aléatoire de points blancs sur un fond noir (ou l’inverse), rendant

ainsi chaque pixel d’une image différent des autres pixels de cette image. Un

exemple de trame stochastique est montré à la Figure 4.4.

Figure 4.4 : Exemple de trame stochastique

62

4.2.3 Support de montage

Le support de montage utilisé est gracieusement fourni par l’Agence Spatiale

Canadienne. Il permet le montage vertical simultané de plusieurs tubes. Un

maximum de quatre tubes peut être installé sur le support. Il s’agit d’une plaque

d’aluminium à laquelle sont vissées quatre courtes tiges cylindriques d’un diamètre

extérieur correspondant au diamètre intérieur des tubes testés, c’est-à-dire de 25.4

mm. Les tiges ont une longueur de 25.4 mm et sont positionnées en ligne droite,

séparées par une distance centre en centre de 50.8 mm. Les tubes sont donc

installés sur ces tiges, puis maintenus en place par deux mors. Le serrage est assuré

par cinq vis placées de part et d’autre des tubes sur les mors. La Figure 4.5 montre

le support avec un tube installé.

Figure 4.5 : Support de montage des essais expérimentaux

63

4.3 Procédure des essais

Tel que mentionné précédemment, trois tubes ont été fabriqués au total. Afin de

tester l’influence des différentes variables en jeu, chaque tube est fait d’une

séquence de plis différente. De plus, dans le but d’obtenir le plus petit volume de

calibration possible et ainsi obtenir une précision accrue, les essais de torsion

thermique ont été effectués sur un tube à la fois. La procédure des essais est décrite

dans la présente section.

4.3.1 Calibration d’Aramis

Avant de commencer les essais, il est important de calibrer le système Aramis.

Puisque l’échantillon se trouve à l’intérieur de la chambre, les caméras devront

prendre les images à travers la vitre de la chambre et, par conséquent, la calibration

doit être également faite à travers la vitre. Le panneau de calibration utilisé mesure

135 mm par 108 mm. Pour ce panneau, les caméras doivent être séparées l’une de

l’autre par une distance de 369 mm. La distance entre le milieu du volume de mesure

(correspondant à la position initiale du panneau de calibration) et la barre de support

des caméras doit être de 920 mm. Afin d’éviter que la chaleur, émise par la chambre

à travers la vitre, n’affecte la précision des caméras, il est recommandé d’avoir une

distance minimale de 300 mm entre les caméras et la vitre. Pour les présents essais,

les caméras ont été placées à 370 mm de la vitre. L’épaisseur de la vitre étant

approximativement de 5 mm, le panneau de calibration est donc placé initialement

à 550 mm de l’intérieur de la vitre, pour obtenir la distance totale de 920 mm. En

respectant ces distances, l’angle entre les caméras se trouve automatiquement

ajusté à 25°.

Après avoir effectué la calibration avant les essais, le volume de mesure final était

d’approximativement 140 mm par 115 mm par 140 mm. Donc, tant que le système

reste bien calibré, il peut mesurer les déformations d’une pièce à l’intérieur de ce

64

volume. Le système reste calibré tant que la position des caméras ne change pas

l’une par rapport à l’autre.

4.3.2 Préparation des échantillons

Tel que mentionné précédemment, les tubes ont besoin de quelques préparations

avant d’être testés. Tout d’abord, ils doivent être coupés à une longueur de 150 mm.

Une telle longueur permet d’avoir la totalité du tube ainsi que l’encastrement à

l’intérieur du volume de mesure. L’encastrement doit être visible sur les images afin

de pouvoir appliquer la correction de mouvement de corps rigide, une opération faite

pendant le traitement de données qui permet d’annuler les mouvements de corps

rigide pouvant fausser les déformations calculées par le système Aramis.

Également, dans le but d’avoir une méthode alternative de mesure de la torsion et

des autres déformations, trois rosettes rectangulaires de déformations ont été

collées sur chaque tube. La Figure 4.6 montre la position de ces rosettes. Deux

rosettes ont été positionnées le long du tube : la première au tiers de la longueur et

la deuxième aux deux tiers, dans le but d’étudier l’uniformité des déformations le

long du tube. La dernière rosette a été collée à l’opposé de la deuxième rosette afin

de pouvoir évaluer si de la flexion était présente dans le tube.

65

Figure 4.6 : Positionnement des rosettes de déformations et des thermocouples

Ensuite, une trame stochastique doit être peinte sur la surface des tubes. La peinture

appliquée doit être le plus mat possible afin d’éviter la réflexion de lumière, puisque

cette dernière empêche le logiciel de calculer correctement le modèle 3D de la

surface. Les tubes sont d’abord peints en blanc, puis un moucheté de peinture noire

est appliqué. La proportion de points noirs couvrant le fond blanc doit être

d’approximativement 50% de la surface et ceux-ci doivent être très uniformes, tant

dans leur répartition que dans leur taille. La taille des points à obtenir dépend du

volume de mesure utilisé. Plus celui-ci est grand, plus la taille des points est grande.

La Figure 4.7 montre un exemple de trame stochastique appliquée sur un des

échantillons testés.

66

Figure 4.7 : Trame stochastique peinte sur l’un des échantillons testés

Finalement, deux thermocouples ont été collés à l’arrière de chaque tube afin de

mesurer la température. Un est fixé au bas du tube près de l’encastrement et l’autre

à l’autre bout, tel qu’illustré à la Figure 4.6. Comme on peut le remarquer sur la

Figure 4.6, les thermocouples et les jauges de déformations ont été placés de façon

à ne pas apparaître sur les images prises par le système Aramis afin de ne pas

perturber les mesures.

67

4.3.3 Réalisation des essais de mesure de déformation thermique

La première étape est de placer le tube sur son support dans la chambre et de

brancher les thermocouples et les jauges de déformation. Il faut également placer

un morceau de silice sur lequel une jauge de déformation a été collée. En effet, la

silice étant un matériau isotrope avec un coefficient d’expansion thermique

négligeable, cette étape permet de mesurer les déformations thermiques propres à

la jauge pour chaque incrément de température pour ensuite soustraire ces valeurs

à celles mesurées par les autres jauges et ainsi obtenir les déformations du tube

uniquement. Ensuite, alors que la chambre est à température ambiante, les jauges

sont mises à zéro et les premières images sont prises. Cette température servira de

température de référence, pour laquelle les déformations sont nulles. Ensuite, le

chargement thermique est appliqué en commençant par la température inférieure

de -30°C, puis en augmentant par incréments de 10°C, jusqu’au maximum de 80°C.

Pour chaque incrément de température, deux photos sont prises successivement

avec le système Aramis et la lecture de déformation de chaque jauge est notée. Les

images et lectures sont prises lorsque la température indiquée par les

thermocouples est stable à plus ou moins 0,5°C de la cible.

Bien que la chambre environnementale puisse refroidir jusqu’à -70°C, la limite

inférieure a été fixée à seulement -30°C afin d’éviter la formation de glace sur la vitre

d’observation de la chambre environnementale. En effet, lorsque l’on refroidit à une

température inférieure à -30°C, de la glace se forme sur la vitre, ce qui obstrue la

vision des caméras et rend impossible la prise de photos. La limite supérieure est

fixée à 80°C pour ne pas dépasser la température de cuisson du matériau. Afin

d’éviter que les vibrations causées par la chambre environnementale n’influencent

les résultats, cette dernière est temporairement arrêtée pendant la prise de photo.

L’arrêt de la chambre cause un changement de température, mais puisque le temps

d’arrêt est très court, ce changement de température est minime et donc négligé.

68

4.4 Traitement des résultats par le système Aramis

Les photos prises par les caméras doivent être traitées afin d’obtenir des résultats

exploitables. La présente section présente les étapes à exécuter pour le traitement

des données.

4.4.1 Interpolation des résultats

Étant donné la nature aléatoire de la trame stochastique, le système Aramis n’arrive

pas toujours à générer 100 % de la surface à l’étude. En effet, lorsque la trame

stochastique n’est pas assez uniforme sur certaines régions de la surface préparée,

le logiciel ne peut générer de facettes de calcul pour ces régions. Cela crée donc

des vides sur la surface. Il est possible de remplir ces vides en utilisant la fonction

d’interpolation des résultats d’Aramis. La Figure 4.8 montre la surface avant et après

interpolation.

Figure 4.8 : Comparaison de la surface générée avant et après interpolation

69

4.4.2 Création des primitives et positionnement du système de coordonnées

Tel qu’illustré à la Figure 4.8, le système de coordonnées n’est pas placé

adéquatement initialement par Aramis. Il est donc important de le repositionner à un

endroit pertinent sur l’échantillon étudié. Dans le cas présent, il s’agit du centre du

tube à l’encastrement. Dans Aramis, le positionnement du système de coordonnées

se fait par rapport à des entités géométriques appelées primitives.

La première primitive à créer est un cylindre pour représenter le tube. La fonction

utilisée crée, pour chaque étape, un cylindre à partir de la surface générée. Le

cylindre est de type « Best-Fit », ce qui signifie que c’est un cylindre qui offre la

meilleure corrélation avec la surface du tube. La Figure 4.9 illustre le cylindre créé.

Figure 4.9 : Primitive cylindrique

70

Ensuite, deux cercles sont créés sur le cylindre primitif, un à l’encastrement et l’autre

à l’extrémité libre. Les Figures 4.10 et 4.11 montrent ces opérations.

Figure 4.10 : Création du cercle à l’encastrement

Figure 4.11 : Création du cercle à l’extrémité libre

71

La dernière primitive à créer avant de repositionner le système de coordonnées est

un plan passant par le centre des deux cercles ainsi qu’un point sur la surface du

tube, tel qu’illustré à la Figure 4.12.

Figure 4.12 : Création de la primitive plan

Contrairement aux primitives, qui sont générées pour chaque étape du projet, le

système de coordonnées dans Aramis est le même pour toutes les étapes.

Effectivement, il est essentiel que le système de coordonnées soit immobile entre

deux images afin d’être en mesure d’évaluer les déplacements relatifs entre ces

deux images. Pour cette raison, Aramis propose une fonction permettant d’éliminer

les mouvements de corps rigide pouvant avoir eu lieu pendant l’essai. Cette fonction

permet à l’utilisateur d’identifier des points sur la surface n’ayant pas subi de

déformations (ou très peu) durant tout l’essai. Puis, le logiciel pose l’hypothèse que

ces points sont fixes pour la totalité de l’essai et élimine donc tous les déplacements

entre ces points d’une étape à l’autre.

Dans le cas présent, les vibrations de la chambre ont causé des mouvements de

corps rigide de l’échantillon. Pour les retirer, les points à l’encastrement ont été

72

choisis comme étant fixes durant tout l’essai. La Figure 4.13 montre l’exécution de

la fonction. Les points ombragés sont ceux identifiés comme fixes, à l’encastrement.

Figure 4.13 : Élimination des mouvements de corps rigide

Les primitives étant créées et les mouvements de corps rigide éliminés, le système

de coordonnées peut maintenant être repositionné au centre du tube à

l’encastrement. Cette opération s’effectue en indiquant premièrement trois points sur

le cercle à l’encastrement pour définir le plan XY. Ensuite, deux autres points sur la

primitive plan créée précédemment définissent le plan YZ et finalement un dernier

point, le centre du cercle à l’encastrement, défini le plan XZ. La Figure 4.14 montre

le positionnement du système de coordonnées.

73

Figure 4.14 : Positionnement du système de coordonnées

4.4.3 Création des primitives pour la prise de mesures

Dans les présents essais de chargement thermique, trois types de déformations sont

étudiés : les déformations circonférentielles, les déformations axiales et finalement,

la rotation due à la torsion thermique. Pour calculer ces déformations, il faut extraire

d’Aramis les valeurs de déplacement d’intérêt : l’élongation axiale, la variation du

rayon ainsi que le déplacement circonférentiel des tubes.

Ces déplacements sont obtenus à l’aide de primitives. En effet, puisque ces

dernières sont générées pour chaque étape d’un essai, elles permettent de suivre

l’évolution à travers l’essai de la valeur qu’elles représentent.

L’élongation axiale du tube sera mesurée en traçant une primitive ligne partant de la

base du tube jusqu’à son extrémité libre. Comme cette ligne relie toujours les deux

mêmes points sur la surface, elle changera de dimension en même temps que le

tube et ce changement de dimension dans la direction Z servira à calculer la

déformation axiale. Il sera donc possible de calculer les déformations axiales pour

74

chaque écart de température en divisant le changement de longueur de cette ligne

par sa longueur initiale. La Figure 4.15 illustre cette primitive ligne.

Figure 4.15 : Création de la primitive ligne servant à la mesure de la déformation axiale

La déformation circonférentielle se calcule à partir du changement de rayon. Ce

dernier est donné par le cylindre primitif créé précédemment, dont le rayon

représente le rayon moyen du tube pour chaque incrément de température. En

divisant le changement de rayon par le rayon initial, il sera possible de calculer les

déformations circonférentielles.

Finalement, l’angle de rotation des tubes sera évalué par une méthode développée

dans le cadre des présents travaux. Des essais de rotation de corps rigides ont été

effectués dans le but de valider cette méthode. Les résultats peuvent être consultés

75

à l’Annexe B. La méthode développée pour mesurer la rotation d’un tube avec le

système Aramis est la suivante. Après avoir positionné le système de coordonnées

au centre du tube et à l’extrémité encastrée, il faut créer une primitive ligne reliant le

centre du tube près de l’extrémité libre à un point sur son pourtour, tel qu’illustré à

la Figure 4.16. Cette ligne subira la même rotation que le tube, puisque le point

sélectionné sur le pourtour du cercle changera de position tandis que le point au

centre du cercle restera immobile.

Figure 4.16 : Création de la primitive ligne pour la mesure de la torsion thermique

Il suffit maintenant de mesurer, pour chaque incrément de température, l’ampleur de

cette rotation en mesurant l’angle entre cette ligne et la primitive plan créée

précédemment. La Figure 4.17 montre la mesure de cet angle.

76

Figure 4.17 : Création de l’angle de mesure de rotation

Puisque l’angle initial n’est pas exactement zéro, il faut soustraire cet angle à la

valeur mesurée pour chaque incrément afin d’obtenir l’angle de rotation absolu.

4.5 Traitements des résultats des rosettes de déformation

Les mesures prises par les rosettes doivent être traitées afin de représenter les

vraies valeurs des déformations subies par le tube. En effet, les jauges se déforment

elles-mêmes sous le chargement thermique; il faut donc soustraire ces déformations

thermiques des jauges aux valeurs mesurées afin d’obtenir les déformations seules

du tube. Ces valeurs ont été obtenues en mesurant la déformation d’une jauge collée

sur un morceau de silice pour chaque incrément de température. En soustrayant ces

valeurs à celles mesurées par les jauges collées sur le tube, les déformations du

tube seulement ont été obtenues.

Par la suite, quelques opérations mathématiques ont dû être effectuées sur les

valeurs brutes afin de les transformer en déformations pertinentes pour le tube,

c’est-à-dire les déformations axiales, circonférentielles et de cisaillement. Pour une

77

rosette de déformation, les déformations des jauges (εa, εb et εc) sont reliées aux

déformations axiales (εz), circonférentielles (εθ) et de cisaillement (γθZ) par :

𝜀𝑎 =𝜀𝑧+𝜀𝜃

2+

𝜀𝑧−𝜀𝜃

2cos 2𝜃𝑎 +

𝛾𝜃𝑍

2sin 2𝜃𝑎 (4.1)

𝜀𝑏 =𝜀𝑧+𝜀𝜃

2+

𝜀𝑧−𝜀𝜃

2𝑐𝑜𝑠 2(𝜃𝑏) +

𝛾𝜃𝑍

2𝑠𝑖𝑛 2(𝜃𝑏) (4.2)

𝜀𝑐 =𝜀𝑧+𝜀𝜃

2+

𝜀𝑧−𝜀𝜃

2cos 2(𝜃𝑐) +

𝛾𝜃𝑍

2sin 2(𝜃𝑐) (4.3)

où a, b, c sont les angles entre la direction circonférentielle et les axes des jauges

a, b et c, respectivement tel que le montre la Figure 4.18.

Figure 4.18 : Orientation des jauges d’une rosette rectangulaire

Comme la rosette est rectangulaire, l’angle entre chaque jauge est de 45°. Sachant

également que la jauge b est collée le long de l’axe Z, il est possible de définir les

angles θa à 45°, θb à 90° et θc à 135°. Le système d’équation peut donc être résolu

et simplifié pour obtenir les déformations εz, εθ et γθZ :

𝜀𝑧 = 𝜀𝑏 (4.4)

𝜀𝜃 = 𝜀𝑎 − 𝜀𝑏 + 𝜀𝑐 (4.5)

𝛾𝜃𝑍 = 𝜀𝑎 − 𝜀𝑐 (4.6)

78

Ensuite, l’angle de torsion peut être calculé selon les étapes suivantes.

Premièrement, le déplacement circonférentiel au bout du tube est calculé selon :

𝑈𝜃[𝑚𝑚] = 𝛾𝜃𝑍 ∙ 𝑙[𝑚𝑚] (4.7)

Puis, l’angle de rotation au bout du tube est calculé avec :

𝜃[𝑟𝑎𝑑] =𝑈𝜃[𝑚𝑚]

𝑟𝑒[𝑚𝑚] (4.8)

Finalement, l’angle de rotation normalisé sur la longueur est obtenu avec :

�̅� [𝑟𝑎𝑑

𝑚𝑚] =

𝜃[𝑟𝑎𝑑]

𝑙[𝑚𝑚] (4.9)

79

Chapitre 5 Analyse des résultats

5.1 Présentation des résultats

Cette section présente et analyse les résultats obtenus lors des essais

expérimentaux sur les tubes fabriqués. Les résultats expérimentaux sont également

comparés aux résultats du modèle théorique. Les déformations circonférentielles et

axiales obtenues pour les trois tubes sont présentées ainsi que l’angle de torsion en

fonction du changement de température appliqué. Afin de pouvoir comparer les

résultats, le chargement thermique appliqué au modèle théorique est égal à celui

appliqué expérimentalement, c’est-à-dire à la température mesurée des

thermocouples. Les contraintes ont également été calculées pour un changement

de température de 60°C : les résultats sont présentés à l’Annexe C.

5.1.1 Déformations axiales

Les Figures 5.1, 5.2 et 5.3 présentent les déformations axiales mesurées

expérimentalement en fonction du changement de température appliqué ΔT. Pour

ΔT = 0, la température est égale à la température initiale de 24°C. Sur les figures,

les déformations axiales calculées avec le modèle éléments finis sont aussi

représentées pour fin de comparaison.

80

Figure 5.1 : Comparaison des déformations axiales théoriques et expérimentales du tube 1


-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

Dé

form

atio

ns

axia

les

(µd

ef)

ΔT (°C)

AramisRosette 1Rosette 2Rosette 3Théorique (MEF)

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

Dé

form

atio

ns

axia

les

(µd

ef)

ΔT (°C)


81


Premièrement, la corrélation entre les valeurs théoriques et expérimentales

obtenues avec Aramis est excellente pour le tube 1, tel qu’illustré à la Figure 5.1.

Cependant, la corrélation déprécie dans le cas des deux autres tubes, comme le

montrent les Figures 5.2 et 5.3. Dans le cas du tube 2, la courbe obtenue avec

Aramis est relativement constante, à l’exception d’une valeur égarée à un ΔT

d’environ -40°C, mais montre une erreur relative égale durant la quasi-totalité de

l’essai. Pour le tube 3, la courbe obtenue avec Aramis est plus erratique, mais

représente malgré tout de façon acceptable la tendance linéaire des déformations

axiales.

Deuxièmement, en ce qui concerne les valeurs obtenues avec les rosettes de

déformation, un comportement similaire aux valeurs obtenues avec Aramis est

observable : la corrélation est excellente pour le tube 1 (Figure 5.1), mais l’erreur

relative s’agrandit de pair avec l’épaisseur du tube testé. Cette erreur grandissante

des valeurs expérimentales par rapport aux valeurs théoriques semble liée à la

décroissance des déformations axiales mesurées. En effet, plus les valeurs

-300

-200

-100

0

100

200

300

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

Dé

form

atio

ns

axia

les

(µd

ef)

ΔT (°C)


82

mesurées sont faibles, plus la précision d’une méthode de mesure est exposée. En

outre, la fabrication de stratifiés épais augmente le risque d’erreurs de fabrication,

tel qu’un alignement des fibres imparfait et la présence de bulles d’air, puisque le

nombre de couches à appliquer est plus élevé. Ces erreurs de fabrication ont

également pu contribuer à l’imprécision des mesures observées aux Figures 5.2 et

5.3. Pour les tubes 2 et 3, les déformations lues par les rosettes 1 et 2 divergent

légèrement de celles mesurées par la rosette 3 lorsqu’un changement de

température positif est appliqué. Tel qu’illustré à la Figure 4.6, les rosettes 1 et 2 ne

sont pas du même côté du tube que la rosette 3; la divergence est donc peut-être le

résultat d’une légère flexion dans le tube du côté de ces rosettes, diminuant ainsi

leur élongation axiale. Cette légère flexion pourrait être causée par un manque

d’uniformité de la température à travers le tube. Par contre, les déplacements

mesurés par le système Aramis ne semblaient pas montrer de flexion.

Dernièrement, l’effet de l’ajout du nombre de couche à 0° dans les tubes 2 et 3 est

facilement observable dans la diminution des déformations axiales d’un tube à

l’autre. Effectivement, le coefficient d’expansion thermique dans la direction des

fibres du pré-imprégné carbone-époxyde est beaucoup plus faible que celui dans la

direction transverse. Les couches à 0° font donc diminuer le coefficient d’expansion

thermique global du tube dans la direction axiale. La différence entre les tubes 1 et

2, qui est de seulement deux couches à 0°, réduit considérablement l’ampleur des

déformations axiales, passant de l’ordre de 2000 µdef pour le tube 1 à 400 µdef pour

le tube 2.

83

5.1.2 Déformations circonférentielles

Les Figures 5.4, 5.5 et 5.6 présentent la comparaison des déformations

circonférentielles obtenues théoriquement et expérimentalement pour chacun des

trois tubes testés. Les valeurs mesurées par Aramis pour ces déformations ne sont

pas tracées sur les figures, puisqu’elles étaient trop erronées. Il est à noter que la

méthode de calcul employée pour ces déformations n’est pas valable si le tube subit

de la flexion, ce qui peut expliquer pourquoi les valeurs sont si erronées.

Figure 5.4 : Comparaison des déformations circonférentielles théoriques et expérimentales du

tube 1

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

Dé

form

atio

ns

circ

on

fére

nti

elle

s (µ

de

f)

ΔT (°C)

Rosette 1Rosette 2Rosette 3Théorique (MEF)

84


tube 2


tube 3

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

Dé

form

atio

ns

circ

on

fére

nti

elle

s (µ

de

f)

ΔT (°C)


-600

-400

-200

0

200

400

600

800

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

Dé

form

atio

ns

circ

on

fére

nti

elle

s (µ

de

f)

ΔT (°C)


85

La précision des déformations circonférentielles mesurées à l’aide des rosettes de

déformation par rapport aux résultats théoriques suit le comportement inverse à ce

qui a été observé pour les déformations axiales, c’est-à-dire que la précision

augmente de pair avec l’épaisseur du tube testé. En effet, la corrélation du tube 1

(Figure 5.4) est médiocre, tandis qu’elle s’améliore pour le tube 2 (Figure 5.5), pour

finalement devenir excellente pour le tube 3 (Figure 5.6). Encore une fois, l’ordre de

grandeur des déformations mesurées semble jouer un rôle dans la précision de la

mesure des déformations.

Dans le cas des déformations circonférentielles, l’ajout de couches à 0° a un impact

totalement à l’opposé de ce qui est observable pour les déformations axiales. L’ajout

des couches à 0° fait augmenter le coefficient d’expansion thermique dans la

direction circonférentielle (transverse aux fibres). Cela démontre bien la versatilité

des matériaux composites et l’importance de concevoir un stratifié en fonction de

son utilisation.

5.1.3 Angle de torsion

Finalement, les Figures 5.7, 5.8 et 5.9 présentent la comparaison des angles de

rotation obtenus théoriquement et expérimentalement pour chacun des trois tubes

testés.

86

Figure 5.7 : Comparaison des déformations en torsion théoriques et expérimentales du tube 1


-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

Tors

ion

th

erm

iqu

e (

µra

d/m

m)

ΔT (°C)


-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

Tors

ion

th

erm

iqu

e (

µra

d/m

m)

ΔT (°C)


87


La corrélation entre les valeurs théoriques et les valeurs expérimentales obtenues

avec Aramis est médiocre dans le cas du tube 1, tel qu’illustré à la Figure 5.7. La

courbe oscille autour de zéro et laisse présager qu’uniquement du bruit a été

mesuré. Ceci était anticipé, puisque le tube 1 a un ratio du rayon moyen par rapport

à l’épaisseur élevé, ce qui, tel que démontré au Chapitre 3, signifie de faibles

déformations de torsion thermique. L’imprécision des méthodes de mesures s’en est

donc trouvée amplifiée. Encore une fois, la corrélation s’améliore pour les tubes 2 et

3, qui présentent des déformations plus importantes, mais elle reste néanmoins

moyenne. La corrélation ambivalente des résultats obtenus avec Aramis peut

provenir en partie d’erreurs de fabrication des tubes, notamment au niveau de

l’alignement des couches à ±75°. En effet, tel que démontré par les Figures 3.1 et

3.2, l’angle d’enroulement des fibres par rapport à l’axe du tube influence

grandement la torsion thermique. Ainsi, une erreur dans l’alignement de l’angle peut

induire une diminution importante de la torsion, particulièrement lorsque l’angle tend

vers 90°. Néanmoins, ces résultats démontrent qu’Aramis réussit à établir une

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

Tors

ion

th

erm

iqu

e (

µra

d/m

m)

ΔT (°C)


88

tendance pour le comportement en torsion des tubes, mais que sa capacité à

mesurer précisément l’angle de torsion est limitée.

Des conclusions similaires peuvent être tirées pour la méthode de mesure par

rosettes de déformation, dont les résultats ne montrent pas de meilleure corrélation

avec les résultats théoriques. En effet, pour le tube 1, la corrélation n’est pas

excellente, mais elle s’améliore pour les tubes 2 et 3, particulièrement pour les

rosettes 1 et 3, dont les résultats sont semblables et assez près de ceux théoriques.

Donc de façon similaire aux données mesurées avec Aramis, les rosettes de

déformation démontrent que le phénomène de torsion thermique dans les tubes de

stratifiés équilibrés est présent, mais la précision des mesures n’est pas excellente.

Finalement, malgré leur précision moyenne, les résultats obtenus démontrent bien

l’influence de l’épaisseur du tube sur la torsion thermique. En effet, l’ordre de

grandeur des déformations maximales mesurées expérimentalement est

d’approximativement 10 µrad/mm pour le tube 1, 15 µrad/mm pour le tube 2 et 20

µrad/mm pour le tube 3.

5.2 Conclusions

Les résultats des essais expérimentaux montrent que les méthodes de mesures

testées donnent des résultats plus ou moins précis en fonction de l’ordre de

grandeur des déformations mesurées. Cependant, les essais ont bel et bien

démontré le phénomène de torsion thermique et les méthodes de mesures peuvent

être employées pour estimer l’ordre de grandeur des déformations. Le

comportement global du tube est bien capturé. Quelques sources d’erreur ont pu

influencer les résultats :

erreur dans l’alignement des fibres pendant la fabrication des tubes;

erreur d’alignement lors du collage des jauges;

89

les propriétés du matériau sont dépendantes de la température, ce qui a été

négligé dans les présents travaux;

erreur dans la détermination des propriétés du matériau entrées dans le

modèle;

variation de la température dans les tubes lors des essais.

Il est à noter que Rousseau et al. [8] ont également constaté beaucoup de variation

dans les mesures prises par les rosettes de déformation.

91

Chapitre 6 Conclusion et recommandations

Le phénomène de torsion dans les tubes de matériaux composites soumis à un

chargement thermique a été étudié. Les objectifs de l’étude étaient de proposer un

modèle par éléments finis prédisant avec précision les déformations de torsion

thermique, d’étudier l’influence des paramètres géométriques du tube sur la torsion

thermique et les contraintes engendrées et finalement, d’évaluer la capacité de

mesurer la torsion thermique à l’aide d’un système de corrélation d’image en trois

dimensions.

En premier lieu, le modèle par éléments finis dans Abaqus a été construit en utilisant

quatre types d’éléments coques (S4R, S4R5, S8R, S8R5) et un type d’élément

solide (C3D20R) afin de valider l’élément le plus approprié pour cette application.

Pour chaque type d’élément, une étude de convergence a été faite. Les résultats du

modèle ont été validés en utilisant les résultats d’une analyse élastique de Rousseau

et al. [8] prenant en compte les trois dimensions. Il a été démontré par le modèle

que les éléments coques sous-estimaient la torsion thermique et ce, même dans

une application de coque mince. De plus, les éléments coques ne prédisent aucune

contrainte radiale, puisqu’ils ne tiennent pas compte des effets à travers l’épaisseur.

À l’opposé, les éléments solides C3D20R prédisent très précisément les

déplacements et les contraintes, quoique plusieurs éléments doivent être utilisés à

travers l’épaisseur pour prédire correctement les contraintes radiales. Il est donc

recommandé d’utiliser des éléments solides 3D pour modéliser adéquatement le

comportement en torsion de tubes en matériau composite, même si ceux-ci sont à

paroi mince.

L’étude paramétrique a démontré que pour des applications de chargement

thermique, l’angle d’orientation des plis hors axes qui offrait la meilleure réaction à

ce type de chargement en termes de déplacements et de contraintes était compris

92

entre 10° et 20°. Un angle plus faible ne donne pas assez de résistance

circonférentielle et un angle plus élevé augmente drastiquement les déplacements

et contraintes. Il a également été démontré que l’angle maximisant la torsion n’est

pas de 45° pour des stratifiés asymétriques et équilibrés (même en cas de tube

mince). En effet, pour les deux types de stratifiés étudiés, cet angle se tient plutôt

autour de 75° et est fonction du rayon et de l’épaisseur. Ce résultat peut sembler

contre-intuitif car les contraintes de cisaillement dans les couches hors-axe sont

maximum pour une valeur de θ autour de 45°. D’ailleurs, l’hypothèse que la torsion

est maximum pour θ = 45° a été utilisé par Milburn [5] pour développer un modèle

analytique. Il pourrait alors s’avérer que les résultats de ce modèle soient erronés.

Quant à la variation du ratio ri/t, l’étude a donné des résultats différents selon le type

de stratifié étudié. En effet, le stratifié [ -θ2 / 0n / θ2 ] (type 1) a montré une diminution

notable des contraintes σ1 et τθz et une légère augmentation de τ12 pour des tubes

plus minces, tandis que le stratifié [ -θn / 02n / θn ] (type 2) a montré l’opposé : une

augmentation notable des contraintes σ1 et τθz et une légère diminution de τ12. Cela

indique donc que le stratifié de type 1 est plus approprié pour les applications de

tubes à paroi mince et le stratifié type 2 pour les tubes à paroi épaisse.

Les deux méthodes de mesure ont donné des résultats qui corrèlent assez bien avec

les résultats théoriques. La méthode de calcul proposée pour déterminer l’angle de

torsion avec le système par corrélation d’images donne des résultats satisfaisants.

Elles ont démontré l’existence du phénomène et malgré le manque de précision, les

déplacements mesurés ont le même ordre de grandeur que les résultats théoriques.

Les différences entre les résultats expérimentaux et théoriques peuvent provenir de

différentes sources :

erreur dans l’alignement des fibres pendant la fabrication des tubes;

erreur d’alignement lors du collage des jauges;

les propriétés du matériau sont dépendantes de la température, ce qui a été

négligé dans les présents travaux;

93

erreur dans la détermination des propriétés du matériau entrées dans le

modèle;

variation de la température dans les tubes lors des essais.

Dans le cadre de futurs travaux de recherche, il serait intéressant d’utiliser d’autres

types d’éléments, comme les éléments solides axisymétriques CGAX (dans

Abaqus) pour modéliser le comportement en torsion thermique de tubes stratifiés.

La précision de ces éléments ainsi que le temps de calcul pourraient être comparés

aux éléments solides C3D20R. En outre, l’effet de la torsion thermique sur la fatigue

du matériau en situation de cyclage thermique pourrait être étudié. Également, il

serait intéressant d’observer la torsion thermique conjointement à d’autres types de

chargement de nature mécanique, hydrique ou autres.

95

Bibliographie 1. J. M. Whitney, On the Use of Shell Theory for Determining Stresses in

Composite Cylinders, J.Compos. Mater., vol. 5, pp. 340-353, 1971. 2. M. W. Hyer, C. Q. Rousseau and S. S. Tompkins, Thermally Induced Twist in

Graphite-Epoxy Tubes, J. Eng. Mater. Technol., 110(2), pp. 88-98, 1988. 3. N. Tutuncu and S. J. Winckler, Thermally Induced Twist in Composites Tubes

and Their Applications to Helicopter Rotor Blades with Controllable Twist, Journal of the Helicopter Society, vol. 39, n°1, pp. 41-49, 1994.

4. N. Tutuncu and S. J. Winckler, Stresses and Deformations in Thick-Walled Cylinders Subjected to Combined Loading and a Temperature Gradient, Journal of Reinforced Plastics and Composites, vol 12, n°2, pp. 198-209, 1993.

5. G. Milburn, Torsion Behaviour of Composite Tubes under Thermal Loading, Division of Graduate Studies of the Royal Military College of Canada, 2009.

6. A. S. Kaddour, S. T. S. Al-Hassani and M. J. Hinton, Residual Stress Assessment in Thin Angle Ply Tubes, Applied Composite Materials 10, pp. 169-188, 2003.

7. D. Holstein, P. Aswendt, R. Höfling, C. D. Schmidt and W. Jüptner, Experimental and Numerical Analysis of the Thermal Deformation of Composite Tubes, SPIE, vol. 3407, pp. 429-436, 1998.

8. C. Q. Rousseau, M. W. Hyer, S. S. Tompkins, Stresses and Deformations in Angle-Ply Composite Tubes, Virginia Tech Center for Composite Materials and Structures Report, CCMS-87-04, 1987.

9. GOM Optical Measuring Techniques, ARAMIS User Manual – Software (Version 6.3 and higher), 23 mai 2011.

10. M. Gakwaya, Compensation des Déformations Induites Thermiquement dans les Matériaux Composites à l’aide d’un Piezocomposite, Faculté des Études Supérieures de l’Univertisé Laval, 2006.

11. M. W. Hyer, D. E. Cooper and D. Cohen, Stresses and Deformations in Cross-Ply Composite Tubes Subjected to a Uniform Temperature Change, Journal of Thermal Stresses, 9: 2, pp. 97-117, 1986.

12. Dassault Systèmes, Abaqus, (Version 6.10) [Logiciel]. (2010, 1er juin) 13. M.W. Hyer, Stress Analysis of fiber-reinforced composites materials,

WCB/McGraw-Hill, New York (1998).

97

Annexe A. Caractérisation des propriétés du matériau

Afin d’obtenir les résultats théoriques les plus précis, il est impératif de bien

caractériser le matériau à l’étude. Dans le cas présent, les propriétés importantes

se classent dans deux catégories : les propriétés mécaniques et les propriétés

thermomécaniques. Les propriétés hygromécaniques n’ont pas été prises en

compte, étant donné que les tubes n’ont pas eu assez de temps pour absorber

l’humidité entre le moment de leur fabrication et le moment des essais effectués.

Cependant, les propriétés hygromécaniques devraient être incluses au modèle si ce

dernier est utilisé pour prédire le comportement de pièces à utilisation prolongée,

car dans ce cas, l’humidité devient un facteur important dans le comportement du

matériau.

A.1. Propriétés mécaniques

Les propriétés mécaniques du matériau utilisé dans le cadre des travaux de

recherche présents ont déjà été caractérisées par Gakwaya [10]. Toutefois, puisque

le pré-imprégné de carbone-époxyde avait vieilli, des essais de traction sur des

éprouvettes quasi-isotropes ont été effectués afin de confirmer la validité des

propriétés trouvées dans les travaux de Gakwaya.

Pour ce faire, une plaque stratifiée de huit couches de matériau composite pré-

imprégné a été fabriquée en utilisant le procédé de moulage sous vide, puis a été

découpée en quatre éprouvettes de dimensions respectant les normes ASTM

D3039 et D3518. L’orientation des couches est définie par [0/90/+45/-45]S, où s en

indice après le crochet signifie que le stratifié est symétrique. Grâce à cette

séquence de plis, la plaque a les mêmes propriétés mécaniques dans le plan X-Y,

d’où le terme quasi-isotrope. En utilisant la théorie classique des stratifiés, il a été

possible de prédire le module de rigidité de l’éprouvette quasi-isotrope à partir des

98

propriétés mécaniques d’une seule couche trouvées par Gakwaya. Ce module de

rigidité théorique a pu être comparé avec celui déterminé par les essais de traction.

Le Tableau A.1 présente les propriétés mécaniques d’une couche du matériau RS-

1/Panex 33 trouvées dans [10].

Tableau A.1 : Propriétés mécanique du RS-1/Panex 33 [10]

Le Tableau A.2 présente la géométrie des éprouvettes testées. Trois mesures ont

été prises à différents endroits sur les éprouvettes pour chaque dimension et la

moyenne arithmétique de chacune a été utilisée pour calculer l’aire.

Tableau A.2 : Dimensions des éprouvettes testées

Les essais de traction ont été effectués à l’aide d’une machine à traction MTS Insight

100 KN. Les déformations axiales ont été mesurées à l’aide d’un vidéo-

extensomètre. La force développée par la machine à traction et les déformations

mesurées par le vidéo-extensomètre sont traitées par le logiciel d’acquisition de

données Testworks. La contrainte axiale est calculée en divisant la force exercée

sur l’éprouvette par son aire. Afin d’obtenir le module de rigidité axial EX, il suffit de

tracer le graphique de la contrainte axiale en fonction de la déformation axiale et la

pente de ce graphe correspond au module recherché. À titre d’exemple, la Figure

A.1 montre la courbe obtenue pour l’éprouvette numéro 1. Sur le graphique, une

E1 (GPa) E2 (GPa) E3 (GPa) ν12 ν13 ν23 G12 (GPa) G13 (GPa) G23 (GPa)

101,7 7,91 7,91 0,318 0,318 0,458 3,02 3,02 2,71

Épaisseur

(mm)

Largeur

(mm)

Épaisseur

(mm)

Largeur

(mm)

Épaisseur

(mm)

Largeur

(mm)

Épaisseur

(mm)

Largeur

(mm)

Lecture 1 1,374 19,989 1,323 20,178 1,388 20,000 1,391 20,106

Lecture 2 1,333 20,051 1,328 20,066 1,350 19,958 1,331 20,060

Lecture 3 1,303 19,828 1,344 19,628 1,315 19,941 1,336 19,779

Moyenne 1,337 19,956 1,332 19,957 1,351 19,966 1,353 19,982

Aire (mm2) 26,675 26,577 26,975 27,029

Éprouvette 1 Éprouvette 2 Éprouvette 3 Éprouvette 4

[0/90/45/-45]S

99

courbe de tendance linéaire de la courbe contrainte-déformation a également été

tracée. L’équation de cette courbe de tendance linéaire est affichée, et tel que

mentionné ci-dessus, la pente représente le module de rigidité axial, qui pour cette

éprouvette est de 38.7 GPa.

Figure A.1 : Contraintes axiales en fonction des déformations (Éprouvette 1)

Le Tableau A.3 présente les modules de rigidité obtenus pour chacune des

éprouvettes, la moyenne des quatre valeurs ainsi qu’une comparaison entre le

module expérimental moyen et le module théorique prédit par la théorie classique

des stratifiés en utilisant les propriétés indiquées dans le Tableau A.1.

Tableau A.3 : Modules de rigidité expérimentaux et théorique

Les modules de chaque éprouvette sont assez similaires, la plus grande différence

étant entre les éprouvettes 3 et 4 et est de l’ordre de 2.5 GPa. Cette différence est

expliquée par le fait qu’il est difficile d’avoir une orientation parfaite des fibres lors de

y = 38702x + 8,411R² = 0,9997

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012

Co

ntr

ain

te a

xial

e [

MP

a]

Déformation axiale [mm/mm]

Éprouvette 1

Linéaire (Éprouvette 1)

EX1 (GPa) EX2 (GPa) EX3 (GPa) EX4 (GPa) EXmoy (GPa) EXth (GPa) % erreur Écart Type

38,702 40,121 37,966 40,438 39,30675 38,912 1,014469 1,170

100

la fabrication des éprouvettes. En effet, si certaines couches dévient légèrement par

rapport à leur orientation théorique, cela entraîne un effet direct sur la valeur du

module de rigidité axial. Cependant, malgré ces petites différences, la moyenne du

module des quatre éprouvettes a une très bonne corrélation avec le module

théorique prédit par la CLT. Les propriétés élastiques trouvées dans les travaux de

Gakwaya sont donc toujours valides et seront les propriétés utilisées dans les

présents travaux de recherche.

A.2. Coefficients d’expansion thermique

L’objet de la présente étude étant l’étude des déformations thermiques dans les

tubes de matériau composite, la détermination des coefficients d’expansion

thermique est d’importance primordiale. Afin de déterminer ces propriétés, des

essais d’expansion thermique ont été effectués. Tout d’abord, un essai a été fait sur

un matériau composite unidirectionnel pour mesurer les coefficients d’expansion

thermique dans les directions des fibres (α1) et transverse (α2) du matériau. À cette

fin, une plaque [ 0 / 0 / 0 / 0 ]T de 50.8 mm par 76.2 mm a été fabriquée et quatre

jauges de déformations, deux dans le sens des fibres et deux transversalement, ont

été collées de part et d’autre de la plaque.

Sachant que les jauges de déformation subissent elles-mêmes une déformation

sous un chargement thermique, une jauge additionnelle a été collée sur un morceau

de silice afin de mesurer uniquement la déformation thermique de la jauge. En effet,

le coefficient d’expansion thermique de la silice étant négligeable, cette méthode

permet de soustraire les déformations thermiques de la jauge elle-même aux

déformations mesurées par les autres jauges collées sur l’échantillon, obtenant ainsi

uniquement les déformations thermiques de ce dernier. Une chambre

environnementale Cincinnati Sub-Zero a été utilisée afin d’appliquer le changement

de température et pour contrôler la température des échantillons, des

thermocouples ont étés collés sur la plaque et le morceau de silice. L’intervalle de

température théorique de l’essai est de -40°C à 60°C. Les jauges de déformations

101

sont mises à zéro à -40°C, puis la température est augmentée par incrément de

10°C, en assurant la stabilisation à l’aide des thermocouples et une lecture de toutes

les jauges a été prise pour chaque incrément. Pour chaque direction, la moyenne

arithmétique des deux jauges a été calculée, puis la valeur de la jauge sur la silice

a été soustraire à cette moyenne. Le Tableau A.4 présente les résultats obtenus.

Tableau A.4 : Déformations thermiques mesurées sur une plaque unidirectionnelle

Avec ces résultats, il est possible de tracer les graphiques de la variation des

déformations thermiques dans les directions des fibres et transverse en fonction du

changement de température. Ces courbes sont présentées sur les Figures A.2 et

A.3. La pente de chaque graphique représente le coefficient d’expansion thermique

dans leur direction respective.

Tthéorique (°C) Tthermocouple (°C) ΔT (°C) ε1 ε2

-40 -40,3 0 0 0

-30 -30,27 10,03 370,5 35

-20 -19,79 20,51 729 61

-10 -9,78 30,52 1086,5 87

0 -0,35 39,95 1444,5 123

10 9,69 49,99 1800,5 128,5

20 20,05 60,35 2171,5 150,5

30 30,07 70,37 2538,5 172,5

40 39,65 79,95 2890 190,5

50 49,5 89,8 3266,5 211,5

60 60,15 100,45 3687,5 231,5

Déformations

thermiques (µdef)

102

Figure A.2 : Déformations thermiques dans la direction des fibres (ε1) en fonction de ΔT

Figure A.3 : Déformations thermiques dans la direction transverse (ε2) en fonction de ΔT

y = 2,2282x + 14,654R² = 0,9876

0

50

100

150

200

250

300

0 20 40 60 80 100

Dé

form

atio

n t

he

rmiq

ue

ε1

[µd

ef]

ΔT [°C]

Direction fibresLinéaire (Direction fibres)

y = 36,495x - 14,288R² = 0,9998

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 20 40 60 80 100

Dé

form

atio

n t

he

rmiq

ue

ε2

[µd

ef]

ΔT [°C]

Direction transverse

Linéaire (Direction transverse)

103

Dans le cas de la Figure A.2, la courbe de déformations est généralement linéaire,

tel qu’illustré par la courbe de tendance. En effet, une grande partie de la courbe a

la même pente que la courbe de tendance. Les quelques écarts peuvent être

expliqués par le fait que dans la direction des fibres, les déformations sont très

faibles, donc les légères fluctuations de la jauge lors de la lecture sont plus

apparentes. Dans le cas des déformations thermiques dans la direction transverse,

à la Figure A.3 les résultats sont très satisfaisants. La courbe obtenue démontre

fortement la linéarité de l’expansion thermique. Les coefficients d’expansion

thermique mesurés sont de 2.2282 10-6/°C dans la direction des fibres et de 36.495

10-6/°C dans la direction transverse. Ces valeurs seront utilisées dans les calculs

ultérieurs de ce projet.

Afin de vérifier la validité de ces valeurs, un essai d’expansion thermique a

également été fait sur un échantillon quasi-isotrope dans le but de comparer le

coefficient d’expansion thermique obtenu avec celui prédit par la théorie classique

des stratifiés. Deux jauges ont étés collées dans la direction 0° de part et d’autre de

la plaque. Le reste du test a été effectué de la même façon que les essais

précédents. La Figure A.4 montre les déformations thermiques mesurées en

fonction du changement de température ΔT. La pente de la droite de tendance

tracée représente le coefficient d’expansion thermique.

104

Figure A.4 : Déformations thermiques d'un échantillon quasi-isotrope en fonction de ΔT

Comme dans le cas des déformations mécaniques, les résultats de cet essai sont

très linéaires. Le coefficient d’expansion thermique mesuré est de 4.2715 10-6/°C,

ce qui donne un écart de -19.25% avec la valeur théorique de la théorie classique

des stratifiés, de 5.29 10-6/°C. Cela représente une erreur considérable qui peut être

attribuée aux erreurs de mesure dans la détermination de α1 et α2. Ces erreurs

proviennent de la fabrication du stratifié, par exemple de l’imprécision de la direction

des fibres des différentes couches ou la présente de bulles d’air dans le stratifié.

y = 4,2715x + 0,8324R² = 0,9999

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 20 40 60 80 100

Dé

form

atio

ns

the

rmiq

ue

s αx

[µd

ef]

ΔT [°C]

Série1

Linéaire (Série1)

105

Annexe B. Développement et validation de la méthode de mesure de l’angle de torsion

Le module d’analyse des résultats d’Aramis permet l’affichage direct de certains

résultats, comme par exemple les déplacements selon les axes X, Y et Z du système

de coordonnées établi. Cependant, la rotation autour d’un axe n’en fait pas partie.

Par conséquent, une méthode de mesure de la torsion thermique a été développée.

Afin de valider la précision de cette méthode, un essai simple de rotation d’un corps

rigide a été réalisé et mesuré avec le système Aramis.

B.1. Essai de rotation libre

L’essai consiste à monter une tige d’aluminium dans le mandrin d’un tour numérique

afin de lui induire une rotation connue, puis prendre des images pour chaque angle.

La rotation du mandrin étant précise au millième de degré, il est donc possible de

connaître très précisément l’angle induit à la tige et comparer cette valeur à celle

mesurée par Aramis. Une rotation totale de 2° a été appliquée par incréments de

0,25°, puis ramenée à 0° avec le même incrément. Afin d’évaluer la répétabilité et

la stabilité des données d’Aramis, trois photos ont été prises pour chaque incrément.

L’essai a été réalisé avec le même volume de mesure que les essais de déformation

thermique. La Figure B.1 illustre le montage de l’essai.

106

Figure B.1 : Montage de l’essai de rotation libre

B.2. Validation de la méthode de mesure de la rotation

La méthode développée pour mesurer la rotation d’un tube dans Aramis est la

suivante. Après avoir positionné le système de coordonnées au centre du tube et à

l’extrémité encastrée, il faut créer une primitive plan correspondant au plan YZ du

système de coordonnées. Rappelons que puisque le système de coordonnées ne

change pas de position d’une étape à l’autre, le plan sera aussi immobile d’une étape

à l’autre. La Figure B.2 illustre ce plan.

107

Figure B.2 : Primitive plan utilisée pour la mesure de la rotation

Ensuite, une primitive ligne reliant le centre du tube à un point sur son pourtour est

créée pour chaque étape. Cette ligne reflétera donc la rotation du tube, puisque le

point sélectionné sur le pourtour du cercle changera de position tandis que le point

au centre du cercle restera immobile. Il ne suffit maintenant qu’à mesurer l’ampleur

de cette rotation en mesurant l’angle entre cette ligne mobile et le plan immobile

précédemment créé. La Figure B.3 montre la mesure de cet angle.

108

Figure B.3 : Angle de rotation mesuré

Puisque l’angle initial n’est pas exactement zéro, il faut soustraire cet angle à la

valeur mesurée pour chaque étape afin d’obtenir la rotation absolue.

La Figure B.4 montre l’angle de rotation appliqué ainsi que l’angle déterminé par

cette méthode de mesure.

109

Figure B.4 : Mesures de rotation réelles et mesurées de l’essai de rotation libre

La rotation mesurée à l’aide de la méthode développée a une valeur très proche de

la rotation réelle induite par le tour numérique. En effet, il y a une légère erreur de

l’ordre de 2% sur la rotation finale de 2°. Cette erreur provient de la première mesure

de rotation de l’essai, les autres incréments étant très précis. À la lumière de ces

résultats, et sachant que l’ordre de grandeur de l’angle de torsion attendu pendant

les essais expérimentaux est de 0.25°, la méthode développée pour mesurer la

rotation d’un tube autour de son axe dans Aramis démontre une précision

satisfaisante et sera donc utilisée pour mesurer la torsion thermique lors des essais

expérimentaux.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 10 20 30 40 50 60

An

gle

de

ro

tati

on

[°]

Numéro étape

Angle tour numérique [°]

Angle Aramis [°]

111

Annexe C. Présentation des résultats pour les contraintes induites thermiquement

Les contraintes ont été calculées avec le modèle par éléments finis pour un

chargement de température de ΔT = 60°C appliqué sur des tubes stratifiés [ -75 / -

75 / 75 / 75 ] (tube 1), [ -752 / 02 / 752] (tube 2) et [ -752 / 06 / 752] (tube 3).

C.1. Contraintes dans la direction des fibres

Les Figures C.1, C.2 et C.3 présentent les résultats de contraintes dans le sens des

fibres pour les tubes 1, 2 et 3 respectivement, pour un changement de température

positif de 60°C.

Figure C.1 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l’épaisseur du tube 1

pour un changement de température de 60°C.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Épai

sse

ur

[mm

]

Contraintes σ1 [MPa]

Couches à +75°

Couches à -75°

112





0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 5 10 15 20 25

Épai

sse

ur

[mm

]

Contraintes σ1 [MPa]

Couches à +75°

Couches à 0°

Couches à -75°

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 5 10 15 20 25 30 35

Épai

sse

ur

[mm

]


Couches à +75°

Couches à 0°

Couches à -75°

113

En ce qui concerne les contraintes dans la direction des fibres (Figure C.1), elles

sont très faibles dans le cas du tube 1, mais plus l’épaisseur du tube augmente, plus

elles sont élevées dans les plis à ±75°. De façon générale, les contraintes dans les

plis hors-axe situés sur le rayon extérieur sont les plus élevées. Les contraintes dans

les plis à 0° sont constantes à travers l’épaisseur. Dans le cas du tube 2 (Figure

C.2), les contraintes les plus élevées sont dans les plis à 0°, tandis que dans le tube

3 (Figure C.3), les contraintes dans les plis à 0° sont grandement diminuées et la

contrainte maximale est dans les plis désaxés.

C.2. Contraintes dans la direction transverse

Les Figures C.4, C.5 et C.6 présentent les résultats de contraintes transverses aux

fibres pour les tubes 1, 2 et 3 respectivement, pour un changement de température

positif de 60°C.

Figure C.4 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers l’épaisseur

du tube 1 pour un changement de température de 60°C.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-2,1 -2 -1,9 -1,8 -1,7 -1,6 -1,5 -1,4

Épai

sse

ur

[mm

]


Couches à +75°

Couches à -75°

114

Figure C.5 : Prédictions des contraintes transverses à travers l’épaisseur du tube 2 pour un

changement de température de 60°C.

Figure C.6 : Prédictions des contraintes transverses à travers l’épaisseur du tube 3 pour un


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-14,6 -14,4 -14,2 -14 -13,8 -13,6 -13,4 -13,2 -13 -12,8

Épai

sse

ur

[mm

]


Couches à +75°

Couches à 0°

Couches à -75°

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

-15,5 -15 -14,5 -14 -13,5 -13 -12,5

Épai

sse

ur

[mm

]


Couches à +75°

Couches à 0°

Couches à -75°

115

Encore une fois, les contraintes sont très faibles dans le tube 1 (Figure C.4), et

augmentent drastiquement avec l’ajout de deux couches axiales (Figure C.5), puis

augmentent légèrement encore pour le tube 3 (Figure C.6). Pour les trois tubes, les

contraintes les plus élevées dans les plis désaxés sont situées au rayon intérieur du

tube. De façon générale, les contraintes transverses décroissent linéairement avec

l’épaisseur à travers les plis d’une même orientation. De la même façon que pour

les contraintes dans les fibres, les contraintes transverses les plus grandes pour le

tube 2 sont dans les plis axiaux, tandis que pour le tube 3, les plis axiaux additionnels

semblent diminuer la contrainte transverse dans ces derniers et l’augmenter dans

les plis désaxés.

C.3. Contraintes dans la direction radiale

Les Figures C.7, C.8 et C.9 présentent les résultats de contraintes radiales pour les

tubes 1, 2 et 3 respectivement, pour un changement de température positif de 60°C.

116

Figure C.7 : Prédictions des contraintes radiales à travers l’épaisseur du tube 1 pour un




0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-0,035 -0,03 -0,025 -0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0

Épai

sse

ur

[mm

]


Couches à +75°

Couches à -75°

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-0,3 -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15

Épai

sse

ur

[mm

]


Couches à +75°

Couches à 0°

Couches à -75°

117



Les contraintes radiales sont très faibles pour les trois tubes. Elles augmentent

également avec l’épaisseur du tube, mais l’ordre de grandeur de moins de 1 MPa

fait qu’elles sont négligeables. Tel qu’attendu, les contraintes sont pratiquement

nulles aux rayons intérieur et extérieur et évoluent linéairement avec l’épaisseur à

travers les plis de même orientation. Ceci était attendu, vu les résultats obtenus dans

le Chapitre 2. Cependant, il est à noter qu’il faut utiliser des éléments 3D pour bien

prédire ces contraintes.

C.4. Contraintes de cisaillement dans le plan 12

Les Figures C.10, C.11 et C.12 présentent les résultats de contraintes de

cisaillement dans le plan 1-2 pour les tubes 1, 2 et 3 respectivement, pour un

changement de température positif de 60°C.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

Épai

sse

ur

[mm

]


Couches à +75°

Couches à 0°

Couches à -75°

118

Figure C.10 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l’épaisseur du

tube 1 pour un changement de température de 60°C.



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Épai

sse

ur

[mm

]


Couches à +75°

Couches à -75°

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

Épai

sse

ur

[mm

]


Couches à +75°

Couches à 0°

Couches à -75°

119



Contrairement aux autres contraintes étudiées, les contraintes de cisaillement sont

plus élevées dans le tube 1 que dans les deux autres tubes. En effet, l’ajout de

couches à 0° semble avoir aidé à réduire les contraintes en cisaillement, malgré le

fait d’accroître la torsion thermique. L’ordre de grandeur des contraintes des tubes

2 et 3, aux Figures C.11 et C.12, est similaire. Le nombre additionnel de plis axiaux

du tube 3 ne semble donc pas avoir d’effet notable sur l’ordre de grandeur des

contraintes de cisaillement dans le plan 1-2. La contrainte est la plus élevée au rayon

intérieur pour les tubes 1 et 2, tandis que pour le tube 3, elle est plus élevée au rayon

extérieur.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1

Épai

sse

ur

[mm

]


Couches à +75°

Couches à 0°

Couches à -75°

Étude des contraintes et des déformations induites ...

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