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Triangolo rettangolo
32
Triangolo rettangolo
Dato il triangolo rettangolo ∆
OPA sappiamo che:
ααα
αα
αα
adadiacentecateto
adoppostocateto
OA
PAtg
ipotenusa
adadiacentecateto
OP
OA
ipotenusa
adoppostocateto
OP
PAsen
==
==
==
cos
Possiamo perciò utilizzare αsen , αcos , αtg per determinare gli elementi del triangolo (lati ed
angoli).
a) Conoscendo l’ipotenusa OP e l’angolo α (cioè αsen , αcos , αtg )
cateto opposto ad α = =PA ipotenusa αsen⋅
cateto adiacente ad α = =OA ipotenusa αcos⋅
b) Conoscendo il cateto AP e l’angolo opposto α
c) Conoscendo il cateto OA e l’angolo adiacente α
ααα
α
cos⋅=
=
ipotenusaadadiacentecateto
sen
adoppostocatetoipotenusa
ααα
α
senipotenusaadoppostocateto
adadiacentecatetoipotenusa
⋅=
=cos
Triangolo rettangolo
33
d) Conoscendo il cateto PA e l’ipotenusa OP posso trovare
Per determinare OA posso utilizzare il teorema di Pitagora oppure αcos poiché αcos⋅= OPOA
e) Conoscendo il cateto OA e l’ipotenusa OP abbiamo
f) Conoscendo i due cateti PA e OA possiamo determinare
Possiamo determinare OP applicando il teorema di Pitagora oppure con la relazione αsen
PAOP =
Nota: naturalmente in tutti questi esempi dalla conoscenza di α si può ricavare anche
απ −=Λ
2OPA .
In conclusione, dalla conoscenza di 2 elementi di un triangolo rettangolo, che però non siano due
angoli, posso determinare tutti gli altri (si dice “risolvere” il triangolo).
Conoscere α equivale a conoscere αsen o αcos o αtg .
Osserviamo che si ha
OP
PAsen =α e quindi anche αcos e αtg
Dalla conoscenza di senα posso risalire all’angolo
α (tasto di “inversione” della calcolatrice).
αα =OP
OAcos
con il teorema di Pitagora oppure AP αsenOPAP ⋅=
αα =OA
PAtg
βα
ββαα
ββαα
tgtg
senipotenusa
aoppostocateto
ipotenusa
adadiacentecateto
ipotenusa
aadiacentecateto
ipotenusa
adoppostocatetosen
1
cos
cos
=
===
===
Triangolo rettangolo
34
Esempi
a) Nel triangolo rettangolo ∆
OPA sia l’ipotenusa 2=OP e 3
1=αsen
=Λ
POAα . Determinare
gli altri elementi del triangolo.
Per determinare OA posso anche utilizzare il teorema di Pitagora oppure ricavo
23
42
3
22cos2
3
2
9
11cos =⋅=⋅==−= αα OPOA
Se απβ −==Λ
2OPA abbiamo
αβαβ
sen
sen
==
cos
cos
Per avere un’idea della misura degli angoli α e β possiamo utilizzare la calcolatrice premendo,
per esempio, il tasto 1−SIN che permette di risalire all’angolo che ha come valore del seno il
numero indicato.
Prendendo
−
3
1sin 1 otteniamo °≅ 47,19α .
Infine ( )°≅−°= 53,7090 αβ
b)
Se 5
4cos =α abbiamo
5
3
25
161 =−=αsen
3
1
2
=
=
αsen
OP
3
2
3
12 =⋅=⋅= αsenOPAP
5
4cos
3
=
=
α
AP
Triangolo rettangolo
35
Quindi 53
53
5
3=⋅== AP
OP
e 45
45cos =⋅=⋅= αOPOA (oppure con il teorema di Pitagora)
Per ricavare α utilizzando per esempio il tasto 1cos− della calcolatrice abbiamo
( )°≅− 86,365
4cos 1
e quindi ( )°≅−°==Λ
14,5390 αβ OPA
c)
Se 4
2=αtg posso ricavare αsen e αcos dal sistema
=+
=
1cos
4
2
cos22 αα
αα
sen
sen
oppure ricordare che 12
22
+=
ααα
tg
tgsen e
αα
2
2 1cos
tg=
Si ottiene, in ogni caso, che 3
1=αsen e 3
22cos =α da cui
2
3
3
22
2
cos===
αOA
OP
e 2
2
2
1
3
1
2
3 ==⋅=⋅= αsenOPAP
Utilizzando la calcolatrice ( )°≅= − 47,194
21tgα e αβ −°= 90
Nota: il problema poteva essere risolto anche così
e OP si può trovare con il teorema di Pitagora.
4
2
2
=
=
αtg
OA
2
2
4
22 =⋅=⋅== αα tgOAAPtg
OA
AP
Triangolo rettangolo
36
d)
Posso determinare 8
5=αsen e con la calcolatrice ( )°≅ 68,38α e per determinare OA posso
utilizzare il teorema di Pitagora oppure calcolare 8
39
64
251cos =−=α e
398
398cos =⋅=⋅= αOPOA
e)
Determino 5
2
10
4cos ==α (con la calcolatrice ( )°≅ 42,66α ).
Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare AP , basterà calcolare
5
21
25
91 =−=αsen e avrò
f)
Posso determinare 15
1
152
2 ===OA
APtgα (con la calcolatrice ( )°≅ 47,14α ).
Se non voglio utilizzare il teorema di Pitagora per determinare OP basta ricavare αsen (o αcos )
da αtg .Risoluzione
Per esempio
.
5
8
=
=
AP
OP
4
10
=
=
OA
OP
152
2
=
=
OA
AP
8
4
1
2
4
1
16
1
16
15
15
1
115
115
1
12
22
===
==⋅=+
=+
=
α
αα
αα
sen
APOP
sentg
tgsen
2125
2110 =⋅=⋅= αsenOPAP
Triangolo rettangolo
37
Area di un triangolo
Supponiamo di conoscere due lati di un triangolo e l’angolo compreso: possiamo calcolare l’area?
Tracciamo l’altezza AH : γbsenAH =
e quindi area γsenbaABC ⋅⋅=∆
2
1)( .
Osserviamo che se anche γ fosse ottuso avremo:
e quindi ancora area γsenbaABC ⋅⋅=∆
2
1)( .
Se, come caso particolare, avessi 2
πγ = il triangolo sarebbe rettangolo in C e infatti:
( ) γγπ senbsenbAH ⋅=−⋅=
12
2
1)(
==
=∆
πγ sensen
abABCarea
Triangolo rettangolo
38
Lunghezza di una corda di una circonferenza
Consideriamo una corda AB in una circonferenza di raggio r: se conosciamo un angolo alla
circonferenza che insiste sulla corda possiamo trovare AB ?
Sappiamo che tutti gli angoli che insistono su AB sono uguali: disegniamo allora quello che ha un
lato passante per il centro della circonferenza.
Il triangolo ∆
ABC è rettangolo in B e quindi, essendo RAC 2= abbiamo:
αsenRAB ⋅= 2
Osserviamo che questa relazione vale anche considerando un angolo β come in figura: infatti
απβ −= (α e β sono angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza) e quindi
αβ sensen =
Quindi in generale quindi abbiamo il cosiddetto “teorema della corda”
senoRAB ⋅= 2 (angolo alla circonferenza che insiste sulla corda AB)
βsenRAB ⋅= 2
Triangolo rettangolo
39
NOTA
Utilizzando questo teorema possiamo ricavare facilmente il lato del triangolo equilatero, del
quadrato e dell’esagono regolare inscritti in una circonferenza di raggio r.
rrsenrl ⋅=⋅=
⋅= 32
32
323
π
rrsenrl ⋅=⋅=
⋅= 22
22
424
π
rrsenrl =⋅=
⋅=2
12
626
π
Triangolo rettangolo
40
Circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo
Dato un triangolo ∆
ABC come possiamo calcolare il raggio R della circonferenza circoscritta e il
raggio r della circonferenza inscritta?
Cominciamo con la circonferenza inscritta.
L’area del triangolo ∆
ABC è data dalla somma delle aree dei triangoli aventi base a, b, c e altezza r
e quindi:
( )cbarS
rcrbraS
++=
⋅+⋅+⋅=
2
1
2
1
2
1
2
1
ma ( )trosemiperimepcba =++
2
e quindi ⋅= prS p
Sr =
Quindi conoscendo l’area S e il semiperimetro possiamo calcolare il raggio r della circonferenza
inscritta nel triangolo.
Esempio: in un triangolo equilatero ∆
ABC di lato l abbiamo:
=
⋅
⋅= 323
1
23
13
22
1 l
l
llr
Triangolo rettangolo
41
Consideriamo ora la circonferenza circoscritta al triangolo
Ricordando che la corda αsendiametroBC ⋅=
⋅= αsenRa 2 αsen
aR
2= (1)
Naturalmente è anche γβ sen
c
sen
bR
22==
Possiamo anche scrivere, moltiplicando nella (1) per cb ⋅ numeratore e denominatore, e
ricordando che SABCareasenbc =
=⋅∆
α2
1
S
cba
cbsen
cba
sen
aR
422
⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅==αα
Quindi conoscendo i lati del triangolo e l’area posso determinare R.
Esempio: in un triangolo equilatero ∆
ABC di lato l abbiamo:
3322
14
l
ll
lllR =
⋅⋅
⋅⋅=
⋅= 323
2 l
Triangolo rettangolo
42
PROBLEMI TRIANGOLO RETTANGOLO
1. In un triangolo isoscele ABC la base aAB 2= e 5
3=αsen (∧
= ABCα ). Determina perimetro
e area del triangolo.
[2p = a2
9 ; A = 2
4
3a ]
2. In un triangolo isoscele ABC di base AB , il lato obliquo lCB = e 2=αtg (∧
= ABCα ).
Determina perimetro e area del triangolo ABC. Determina infine la misura dell’altezza AK
relativa al lato obliquo.
[ llp 255
22 += ; 2
5
2lA = ; lAK
5
4= ]
3. In un trapezio isoscele ABCD il lato obliquo e la base minore misurano a e 4
1cos =α dove
α è uno degli angoli adiacenti alla base maggiore. Determina perimetro e area del trapezio.
[ ap2
92 = ; 2
16
155aA = ]
4. In un trapezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC misura a , forma un angolo retto con
il lato obliquo BC e 5
3=αsen dove α è l’angolo acuto adiacente alla base maggiore.
Determina perimetro e area del trapezio.
[ ap5
222 = ; 2
75
68aA = ]
5. In un triangolo isoscele ABC di base AB il lato obliquo misura a2 e 5
1cos =α dove α è
l’angolo alla base. Determina la misura delle altezze CH e AK del triangolo.
[ aCH5
54= ; aAK5
8= ]
6. In un trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo BC misura 20 e la base minore DC misura 10.
Sapendo che 5
3cos −=α , dove α è l’angolo ottuso adiacente alla base minore, determina
perimetro e area del trapezio.
[ 682 =p ; 256=A ]
Triangolo rettangolo
43
7. In una semicirconferenza di diametro rAB 2= si prolunga il diametro dalla parte di B e si
considera un punto P tale che, tracciata da P la tangente t alla semicirconferenza e detto T il
punto di tangenza, si abbia 5
3)( =
∧APTsen . Tracciata la tangente t’ alla semicirconferenza in A
e detto Q il punto di intersezione tra t e t’, determina perimetro e area del triangolo ∆
APQ .
[ rp 82 = ; 2
3
8rA = ]
8. Dato un trapezio rettangolo ABCD avente l’altezza aAD = , 5
3)( =
∧BACsen (AB base
maggiore, AC diagonale minore), 2
3)cos( =
∧ABC , determina perimetro e area di ABCD.
[2p= aa 33
17 + ; 2
6
338aA
+= ]
9. In un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa aBC 2= si consideri il punto medio O di BC e si
tracci la perpendicolare a BC per O, indicando con M l’intersezione di questa con il cateto
AB. Sapendo che 4
3)( =
∧ABCtg , determinare il perimetro del quadrilatero ACOM.
[ ap10
332 = ]
10. In un trapezio rettangolo ABCD, la diagonale minore AC è perpendicolare al lato obliquo BC.
Sapendo che aAD = e che 4
3)( =
∧ABCtg , determina perimetro e area del trapezio.
[ ap2
112 = ; 2
12
17aA = ]
11. L’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura a e l’angolo che essa forma
con uno dei due cateti ha coseno uguale a 5
4. Calcola perimetro e area del triangolo.
[ ap 52 = ; 2
24
25aA = ]
Triangolo rettangolo
44
12. In un triangolo isoscele ∆
ABC di base AB, il raggio della circonferenza inscritta misura r e
3
1)cos( =
∧ABC . Determina i lati del triangolo.
[ rAB 22= ; rBC 23= ]
13. In un triangolo isoscele ∆
ABC di base AB, aACBC == e 3
1)cos( =
∧ABC . Determina
perimetro e area del triangolo e l’altezza AK relativa a BC.
[ ap3
82 = ; 2
9
22aA = ; aAK 2
9
4= ]
14. In un trapezio scaleno ABCD la base minore DC è uguale ad uno dei due lati obliqui e si ha
lADDC == . Sapendo che =∧
DAB4
π e che 2)( =
∧ABCtg , determina i lati del trapezio e le
funzioni goniometriche di ∧C e
∧D .
[ lAB
+=4
423; lBC
22
5= απ −=∧C ….;
∧D π
4
3= ]
15. Un trapezio isoscele di base maggiore AB è circoscritto ad una circonferenza di raggio r e,
indicato con α uno degli angoli alla base, si ha 25
24=αsen . Determina i lati del trapezio.
[ rAB3
8= ; rDC2
3= ; rADCB12
25== ]
16. In un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa aBC 3= si ha 2cot =
∧ABCg . Considera P su
BC tale che aBP = e traccia da P la perpendicolare all’ipotenusa che incontra il cateto AB in
Q. Determina l’area del quadrilatero AQPC.
2
20
31a