Trg123

§H- 1 -

Trêng ®¹i häc kiÕn tróc hµ néi

Bé m«n søc bÒn vËt liÖu – c¬ häc kÕt cÊu Ts ph¹m v¨n trung

Bµi gi¶ng phÇn I

æn ®Þnh c«ng tr×nh Dïng cho sinh viªn ngµnh XD DD&CN

Hà nôi, 2014

§H- 2 -

1. Më ®Çu

1.1 ý nghÜa cña viÖc nghiªn cøu æn ®Þnh c«ng tr×nh

Trong phÇn I vµ II cña c¬ häc kÕt cÊu chóng ta ®· nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh to¸n ®é

bÒn vµ ®é cóng cña hÖ kÕt cÊu c«ng tr×nh. Khi thiÕt kÕ kÕt cÊu c«ng tr×nh, nÕu chØ kiÓm tra ®iÒu

kiÖn bÒn vµ ®iÒu kiÖn cøng kh«ng th«i th× cha ®ñ ®Ó ph¸n ®o¸n kh¶ n¨ng lµm viÖc cña c«ng

tr×nh. Trong nhiÒu trêng hîp, ®Æc biÖt lµ c¸c kÕt cÊu chÞu nÐn hoÆc nÐn cïng víi uèn, tuy t¶i

träng cha ®¹t ®Õn gi¸ trÞ ph¸ ho¹i vµ cã khi cßn nhá h¬n gi¸ trÞ cho phÐp vÒ ®iÒu kiÖn bÒn vµ

®iÒu kiÖn cøng nhng kÕt cÊu vÉn cã thÓ mÊt kh¶ n¨ng b¶o toµn h×nh d¹ng ban ®Çu ë tr¹ng th¸i

biÕn d¹ng mµ chuyÓn sang d¹ng c©n b»ng kh¸c. Néi lùc trong d¹ng c©n b»ng míi ®ã sÏ ph¸t

triÓn rÊt nhanh vµ lµm cho c«ng tr×nh bÞ ph¸ ho¹i. §ã lµ hiÖn tîng kÕt cÊu bÞ mÊt æn ®Þnh.

Bµi to¸n æn ®Þnh ®· ®îc quan t©m tõ ®Çu thÕ kû XVIII, khëi ®Çu tõ c«ng tr×nh nghiªn cøu

b»ng thùc nghiÖm do Piter van Musschenbroek c«ng bè n¨m 1729, ®· ®i ®Õn kÕt luËn ®óng: "lùc

§H- 3 -

tíi h¹n tû lÖ nghÞch víi b×nh ph¬ng chiÒu dµi thanh". Ngêi ®Æt nÒn mãng cho viÖc nghiªn cøu

lý thuyÕt bµi to¸n æn ®Þnh lµ L. euler qua c«ng tr×nh c«ng bè ®Çu tiªn vµo n¨m 1744. Tuy nhiªn,

cho m·i ®Õn cuèi thÕ kû XIX vÊn ®Ò æn ®Þnh c«ng tr×nh míi ®îc ph¸t triÓn m¹nh mÏ qua

nh÷ng cèng hiÕn cña c¸c nhµ khoa häc nh: Gi¸o s F. S. iaxinski, ViÖn sü a. N. §innik, ViÖn

sü V. G. Galerkin... Cho ®Õn nay, ®· cã rÊt nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu vÒ lÜnh vùc nµy vµ ®·

gi¶i quyÕt tèt nh÷ng yªu cÇu c¬ b¶n cña thùc tÕ. Trong ph¹m vi bµi gi¶ng nµy ta sÏ nghiªn cøu

c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh æn ®Þnh cña nh÷ng hÖ thanh lµm viÖc trong giíi h¹n ®µn håi chÞu t¶i träng

t¸c dông tÜnh lµ chñ yÕu.

Trong gi¸o tr×nh søc bÒn vËt liÖu ®· ®Ò cËp tíi æn ®Þnh cña nh÷ng thanh ®¬n gi¶n chÞu nÐn

®óng t©m cßn ë ®©y chóng ta sÏ nghiªn cøu æn ®Þnh cña hÖ thanh lµm viÖc trong miÒn ®µn håi

chÞu t¶I träng t¸c dông tØnh.

§H- 4 -

1.2 Kh¸i ni£m vÒ æn ®Þnh vµ mÊt æn ®Þnh c«ng tr×nh

a. §Þnh nghÜa

§Þnh nghÜa to¸n häc cña a. M. Liapunov vÒ æn ®Þnh chuyÓn ®éng ®îc xem lµ tæng qu¸t vµ

bao trïm cho mäi lÜnh vùc.

Trong lÜnh vùc c«ng tr×nh, æn ®Þnh lµ tÝnh chÊt cña c«ng tr×nh cã kh¶ n¨ng gi÷ ®îc vÞ trÝ ban

®Çu hoÆc gi÷ ®îc d¹ng c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng t¬ng øng víi c¸c t¶i träng

t¸c dông.

TÝnh chÊt æn ®Þnh cña c«ng tr×nh thêng kh«ng ph¶i lµ v« h¹n khi t¨ng gi¸ trÞ cña c¸c t¶i

träng t¸c dông trªn c«ng tr×nh. Khi tÝnh chÊt ®ã mÊt ®i th× c«ng tr×nh kh«ng cßn kh¶ n¨ng chÞu

t¶i träng, lóc nµy c«ng tr×nh ®îc gäi lµ kh«ng æn ®Þnh. Nh vËy, vÞ trÝ cña c«ng tr×nh hoÆc d¹ng

c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña c«ng tr×nh cã kh¶ n¨ng æn ®Þnh hoÆc kh«ng æn

®Þnh.

VÞ trÝ cña c«ng tr×nh hay d¹ng c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña c«ng tr×nh

®îc gäi lµ æn ®Þnh díi t¸c dông cña t¶i träng nÕu nh sau khi g©y cho c«ng tr×nh mét ®é lÖch

rÊt nhá khái vÞ trÝ ban ®Çu hoÆc d¹ng c©n b»ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n bÊt kú nµo ®ã

§H- 5 -

ngoµi t¶i träng ®· cã (cßn ®îc gäi lµ nhiÔu) råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i th× c«ng tr×nh sÏ cã

khuynh híng quay trë vÒ tr¹ng th¸i ban ®Çu.

VÞ trÝ cña c«ng tr×nh hay d¹ng c©n b»ng ban ®Çu trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng cña c«ng tr×nh

®îc gäi lµ kh«ng æn ®Þnh díi t¸c dông cña t¶i träng nÕu nh sau khi g©y cho c«ng tr×nh mét

®é lÖch rÊt nhá khái vÞ trÝ ban ®Çu hoÆc d¹ng c©n b»ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n bÊt kú

nµo ®ã ngoµi t¶i träng ®· cã råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i th× c«ng tr×nh sÏ kh«ng quay trë vÒ tr¹ng

th¸i ban ®Çu. Lóc nµy, ®é lÖch cña c«ng tr×nh kh«ng cã khuynh híng gi¶m dÇn mµ cã thÓ tiÕp

tôc ph¸t triÓn cho ®Õn khi c«ng tr×nh cã vÞ trÝ míi hoÆc d¹ng c©n b»ng míi.

Bíc qu¸ ®é cña c«ng tr×nh tõ tr¹ng th¸i æn ®Þnh sang tr¹ng th¸i kh«ng æn ®Þnh gäi lµ mÊt æn

®Þnh. Giíi h¹n ®Çu cña bíc qu¸ ®é ®ã gäi lµ tr¹ng th¸i tíi h¹n cña c«ng tr×nh. T¶i träng t¬ng

øng víi tr¹ng th¸i tíi h¹n gäi lµ t¶i träng tíi h¹n.

Tõ kh¸i niÖm vÒ æn ®Þnh ta còng cÇn ph©n biÖt hai trêng hîp: mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ vµ mÊt

æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng ë tr¹ng th¸i biÕn d¹ng.

b. C¸c lo¹i mÊt æn ®Þnh

MÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ

§H- 6 -

HiÖn tîng mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ x¶y ra khi toµn bé c«ng tr×nh ®îc xem lµ tuyÖt ®èi cøng,

kh«ng gi÷ nguyªn ®îc vÞ trÝ ban ®Çu mµ buéc ph¶i chuyÓn sang vÞ trÝ kh¸c. §ã lµ trêng hîp

mÊt æn ®Þnh lËt hoÆc trît cña çc c«ng tr×nh têng ch¾n, mè cÇu, trô cÇu, th¸p níc... Trong

nh÷ng trêng hîp nµy, çc ngo¹i lùc t¸c dông trªn c«ng tr×nh kh«ng thÓ c©n b»ng ë vÞ trÝ ban

®Çu cña c«ng tr×nh mµ chØ cã thÓ c©n b»ng ë vÞ trÝ míi kh¸c vÞ trÝ ban ®Çu. VÞ trÝ cña çc vËt thÓ

tuyÖt ®èi cøng cã thÓ lµ æn ®Þnh, kh«ng æn ®Þnh hoÆc phiÕm ®Þnh.

Mét vÝ dô ®¬n gi¶n vÒ hiÖn tîng æn ®Þnh vµ mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ lµ trêng hîp viªn bi ë çc

vÞ trÝ kh¸c nhau nh trªn h×nh 1.

MÆc dï viªn bi ®Òu c©n b»ng ë c¶ ba vÞ trÝ, song cã sù kh¸c nhau c¬ b¶n gi÷a ba trêng hîp

nµy khi cã mét nguyªn nh©n nµo ®ã ®a viªn bi lÖch khái vÞ trÝ c©n b»ng ban ®Çu víi mét lîng

v« cïng bÐ råi th¶ ra, ta thÊy:

Trêng hîp thø nhÊt, viªn bi ®Æt trªn mÆt cÇu lâm: viªn bi dao ®éng quanh vÞ trÝ ban ®Çu

råi cuèi cïng trë vÒ vÞ trÝ cò. VÞ trÝ nµy lµ vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh. Khi lÖch khái vÞ trÝ c©n

b»ng æn ®Þnh, thÕ n¨ng cña viªn bi t¨ng lªn. Do ®ã, vÞ trÝ cña viªn bi ë díi ®¸y mÆt cÇu lâm

hay vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh t¬ng øng víi khi thÕ n¨ng cña viªn bi lµ cùc tiÓu.

§H- 7 -

Trêng hîp thø hai, viªn bi ®Æt trªn mÆt cÇu låi : viªn bi kh«ng trë vÒ vÞ trÝ ban ®Çu mµ tiÕp

tôc l¨n xuèng phÝa díi. VÞ trÝ nµy lµ vÞ trÝ c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh. Khi lÖch khái vÞ trÝ c©n

b»ng kh«ng æn ®Þnh, thÕ n¨ng cña viªn bi gi¶m. Do ®ã, vÞ trÝ c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh t¬ng øng

víi khi thÕ n¨ng cña viªn bi lµ cùc ®¹i.

H×nh 1.1 HiÖn tîng æn ®Þnh vµ mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ

Trêng hîp thø ba, viªn bi ®Æt trªn mÆt ph¼ng : viªn bi kh«ng quay vÒ vÞ trÝ ban ®Çu vµ

còng kh«ng chuyÓn ®éng tiÕp tôc. VÞ trÝ nµy lµ vÞ trÝ c©n b»ng phiÕm ®Þnh. VÞ trÝ c©n b»ng

phiÕm ®Þnh t¬ng øng víi khi thÕ n¨ng cña viªn bi kh«ng ®æi.

Trong c¬ häc vËt thÓ tuyÖt ®èi cøng, cã thÓ æn ®Þnh, mÊt æn ®Þnh hoÆc phiÕm ®Þnh.

MÊt æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng

HiÖn tîng mÊt æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng ë tr¹ng th¸i biÕn d¹ng x¶y ra khi d¹ng biÕn d¹ng

ban ®Çu cña vËt thÓ biÕn d¹ng t¬ng øng víi t¶i träng cßn nhá, buéc ph¶i chuyÓn sang d¹ng biÕn

§H- 8 -

d¹ng míi kh¸c tríc vÒ tÝnh chÊt nÕu t¶i träng ®¹t ®Õn mét gi¸ trÞ nµo ®ã hoÆc x¶y ra khi biÕn

d¹ng cña vËt thÓ ph¸t triÓn nhanh mµ kh«ng xuÊt hiÖn d¹ng biÕn d¹ng míi kh¸c tríc vÒ tÝnh

chÊt nÕu t¶i träng ®¹t ®Õn mét gi¸ trÞ nµo ®ã. Trong nh÷ng trêng hîp nµy, sù c©n b»ng gi÷a çc

ngo¹i lùc vµ néi lùc kh«ng thÓ thùc hiÖn ®îc t¬ng øng víi d¹ng biÕn d¹ng ban ®Çu mµ chØ cã

thÓ thùc hiÖn ®îc t¬ng øng víi d¹ng biÕn d¹ng míi kh¸c d¹ng ban ®Çu vÒ tÝnh chÊt hoÆc chØ

cã thÓ thùc hiÖn ®îc khi gi¶m t¶i träng. HiÖn tîng nµy kh¸c víi hiÖn tîng mÊt æn ®Þnh vÒ vÞ

trÝ ë çc ®iÓm sau: ®èi tîng nghiªn cøu lµ vËt thÓ biÕn d¹ng, kh«ng ph¶i tuyÖt ®èi cøng; sù c©n

b»ng cÇn ®îc xÐt víi c¶ ngo¹i lùc vµ néi lùc.

Bµi to¸n æn ®Þnh vÒ vÞ trÝ thêng ®¬n gi¶n, trªn c¬ së vËn dông çc ®iÒu kiÖn c©n b»ng ®·

biÕt trong C¬ häc c¬ së còng ®ñ ®Ó gi¶i bµi to¸n. Trong bµi gi¶ng nµy chØ xÐt bµi to¸n æn ®Þnh vÒ

d¹ng c©n b»ng ë tr¹ng th¸i biÕn d¹ng.

c. Ph©n lo¹i

XuÊt ph¸t tõ hai quan niÖm kh¸c nhau vÒ tr¹ng th¸i tíi h¹n cña euler vµ cña PoincarrÐ, cã thÓ

chia thµnh hai lo¹i mÊt æn ®Þnh víi çc ®Æc trng nh sau:

MÊt æn ®Þnh lo¹i mét

§H- 9 -

C¸c ®Æc trng cña hiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i mét hay mÊt æn ®Þnh euler:

D¹ng c©n b»ng cã kh¶ n¨ng ph©n nh¸nh.

Ph¸t sinh d¹ng c©n b»ng míi kh¸c d¹ng c©n b»ng ban ®Çu vÒ tÝnh chÊt.

Tríc tr¹ng th¸i tíi h¹n d¹ng c©n b»ng ban ®Çu lµ duy nhÊt vµ æn ®Þnh; sau tr¹ng th¸i tíi h¹n

d¹ng c©n b»ng ban ®Çu lµ kh«ng æn ®Þnh.

§Ó minh häa ta xÐt mét vÝ dô ®¬n gi¶n lµ trêng hîp thanh th¼ng chÞu nÐn ®óng t©m nh trªn

h×nh 2.

l

p

Pth

d

a

c

b

0

p pth p>pth

H×nh 1.2 HiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i 1

§H- 10 -

Khi lùc P cßn nhá, thanh vÉn th¼ng, tr¹ng th¸i chÞu nÐn cña thanh lµ tr¹ng th¸i ban ®Çu vµ duy

nhÊt. NÕu ®a hÖ ra khái d¹ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n nµo ®ã råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i

th× hÖ sÏ dao ®éng råi trë vÒ d¹ng ban ®Çu nh cò. Do ®ã, d¹ng c©n b»ng nµy lµ æn ®Þnh.

Tr¹ng th¸i c©n b»ng æn ®Þnh nµy ®îc m« t¶ bëi ®o¹n oa trªn ®å thÞ liªn hÖ gi÷a chuyÓn vÞ vµ

t¶i träng P.

Khi t¨ng lùc P ®Õn mét gi¸ trÞ gäi lµ lùc tíi h¹n Pth, thanh ë tr¹ng th¸i tíi h¹n. Lóc nµy, ngoµi

tr¹ng th¸i c©n b»ng chÞu nÐn cßn cã kh¶ n¨ng ph¸t sinh ®ång thêi tr¹ng th¸i c©n b»ng uèn däc,

nghÜa lµ thanh ë tr¹ng th¸i c©n b»ng phiÕm ®Þnh. Nh vËy, d¹ng c©n b»ng bÞ ph©n nh¸nh thµnh

hai d¹ng biÕn d¹ng. Tr¹ng th¸i nµy t¬ng øng víi ®iÓm ph©n nh¸nh a trªn ®å thÞ.

Khi P > Pth, tr¹ng th¸i c©n b»ng chÞu nÐn vÉn cã kh¶ n¨ng tiÕp tôc tån t¹i song kh«ng æn ®Þnh

v× nÕu ®a hÖ ra khái d¹ng ban ®Çu b»ng mét nguyªn nh©n nµo ®ã råi bá nguyªn nh©n ®ã ®i th×

hÖ sÏ kh«ng cã kh¶ n¨ng trë vÒ d¹ng th¼ng ban ®Çu. D¹ng c©n b»ng kh«ng æn ®Þnh nµy t¬ng

øng víi nh¸nh aB trªn ®å thÞ. Trong hÖ còng ph¸t sinh ®ång thêi tr¹ng th¸i c©n b»ng uèn däc

§H- 11 -

khi biÕn d¹ng cña thanh lµ h÷u h¹n. D¹ng c©n b»ng nµy lµ æn ®Þnh vµ ®îc m« t¶ bëi nh¸nh aC

hoÆc aD trªn ®å th .

NÕu tiÕp tôc t¨ng lùc P th× vÒ mÆt lý thuyÕt trong thanh sÏ ph¸t sinh nh÷ng d¹ng c©n b»ng

míi díi d¹ng uèn däc t¬ng øng víi nh÷ng lùc tíi h¹n bËc cao. Tuy nhiªn, ngoµi d¹ng c©n

b»ng thø nhÊt t¬ng øng víi lùc tíi h¹n nhá nhÊt, nh÷ng d¹ng c©n b»ng t¬ng øng víi lùc tíi

h¹n bËc cao ®Òu lµ kh«ng æn ®Þnh, hiÕm khi x¶y ra vµ kh«ng cã ý nghÜa thùc tÕ. Bëi vËy trong

thùc tÕ ta chØ cÇn t×m lùc tíi h¹n nhá nhÊt.

HiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i mét cã thÓ x¶y ra t¬ng øng víi c¸c d¹ng sau:

MÊt æn ®Þnh d¹ng nÐn ®óng t©m. Ngoµi vÝ dô võa xÐt, trªn h×nh 3 giíi thiÖu mét sè vÝ dô

kh¸c vÒ mÊt æn ®Þnh d¹ng nÐn ®óng t©m nh: vµnh trßn kÝn (h×nh 3a) chÞu ¸p lùc ph©n bè ®Òu

híng t©m (¸p lùc thñy tÜnh); vßm parabol chÞu t¶i träng ph©n bè ®Òu theo ph¬ng ngang (hinh

3b). §ã lµ nh÷ng hÖ chØ chÞu nÐn ®óng t©m nÕu bá qua ¶nh hëng cña biÕn d¹ng nÐn ®µn håi khi

hÖ cßn æn ®Þnh. NÕu t¶i träng q vît qu¸ gi¸ trÞ qth th× trong hÖ sÏ ph¸t sinh d¹ng c©n b»ng míi

theo ®êng ®øt nÐt. Trong trêng hîp khung chÞu t¶i träng nh trªn h×nh 3c: khi P < Pth, khung

§H- 12 -

cã d¹ng c©n b»ng chÞu nÐn; khi P > Pth, d¹ng c©n b»ng chÞu nÐn kh«ng æn ®Þnh vµ khung cã

d¹ng c©n b»ng míi chÞu nÐn cïng víi uèn theo ®êng ®øt nÐt trªn h×nh vÏ.

p pth p pth

qq

a) b) c)

H×nh 1.3 MÊt æn ®Þnh d¹ng nÐn ®óng t©m

MÊt æn ®Þnh d¹ng biÕn d¹ng ®èi xøng. VÝ dô, ta xÐt khung ®èi xøng chÞu t¶i träng t¸c

dông ®èi xøng nh trªn h×nh 4.

§H- 13 -

pth pth

p

pth

H×nh 1.4 MÊt æn ®Þnh d¹ng biÕn d¹ng

®èi xøng

H×nh 1.5 MÊt æn ®Þnh d¹ng uèn

ph¼ng

Khi P < Pth, khung cã d¹ng c©n b»ng æn ®Þnh lµ d¹ng ®èi xøng (®êng liÒn nÐt); khi P >

Pth, d¹ng c©n b»ng ®èi xøng kh«ng æn ®Þnh vµ khung cã d¹ng c©n b»ng míi kh«ng ®èi xøng

(®êng ®øt nÐt).

3. MÊt æn ®Þnh d¹ng uèn ph¼ng. VÝ dô, ta xÐt dÇm ch÷ i chÞu uèn ph¼ng do t¶i träng P

(h×nh 5). Khi P < Pth, dÇm cã d¹ng c©n b»ng æn ®Þnh lµ d¹ng uèn ph¼ng; khi P > Pth, d¹ng uèn

ph¼ng kh«ng æn ®Þnh vµ dÇm cã d¹ng c©n b»ng míi lµ d¹ng uèn cïng víi xo¾n (®êng ®øt nÐt).

§H- 14 -

MÊt æn ®Þnh lo¹i 2

BiÕn d¹ng vµ d¹ng c©n b»ng kh«ng kh¸c tríc vÒ tÝnh chÊt.

Kh«ng ph©n nh¸nh.

VÝ dô: vßm 3 khíp chÞu lùc P. NhiÖm vô chÝnh x¸c lµ x¸c ®Þnh Pth.

p k

pth

p

a c

b

n

n

n

n

f

h

Pth

h

f th

H×nh 1.6 HiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i 2

§H- 15 -

§Ó minh häa ta xÐt mét vÝ dô ®¬n gi¶n: trêng hîp dµn Mises cã ba khíp a, B, C chÞu lùc P

®Æt t¹i khíp C nh trªn h×nh 6a. §å thÞ liªn hÖ gi÷a lùc P vµ chuyÓn vÞ th¼ng ®øng f t¹i C nh

trªn h×nh 6b.

§Ó dùng ®å thÞ nµy ta cÇn t×m täa ®é cña çc ®iÓm trªn ®êng cong P = P(f), øng víi mçi

®iÓm ta thùc hiÖn nh sau: t¬ng øng víi mçi gi¸ trÞ chuyÓn vÞ f1 ta dÔ dµng t×m ®îc biÕn

d¹ng däc trôc cña çc thanh aC, BC; tiÕp ®ã tõ biÕn d¹ng ®· biÕt t×m ®îc gi¸ trÞ lùc däc N1

trong çc thanh vµ suy ra gi¸ trÞ P1 t¬ng øng theo tæng h×nh häc cña çc lùc N1. Ta nhËn thÊy

ë giai ®o¹n ®Çu lùc P t¨ng lªn cïng víi ®é vâng f nhng khi f = h tøc lµ khi ba khíp a, B, C n»m

trªn cïng ®êng th¼ng th× P = 0. Sù liªn hÖ gi÷a lùc P vµ chuyÓn vÞ f lµ liªn tôc nªn ®êng cong

P = P(f) ph¶i cã d¹ng nh trªn h×nh 6b.

Gi¸ trÞ cña lùc P t¬ng øng víi khi ®é vâng t¨ng mµ kh«ng cÇn t¨ng t¶i träng gäi lµ lùc tíi

h¹n. Khi P = Pth, sù c©n b»ng gi÷a néi lùc vµ ngo¹i lùc ®¹t ®Õn tr¹ng th¸i giíi h¹n. Khi P > Pth,

sù c©n b»ng chØ cã thÓ x¶y ra khi gi¶m t¶i träng P. Tr¹ng th¸i giíi h¹n ®îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu

kiÖn: dP/df = 0.

§H- 16 -

§ã lµ hiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i hai hay hiÖn tîng mÊt kh¶ n¨ng chÞu lùc theo tr¹ng th¸i

giíi h¹n thø nhÊt. Trong trêng hîp nµy ta thÊy biÕn d¹ng cña hÖ ph¸t triÓn nhng kh«ng thay

®æi vÒ tÝnh chÊt, kh«ng ph©n nh¸nh.

Trong thùc tÕ, çc cÊu kiÖn cña c«ng tr×nh thêng kh«ng ®¬n thuÇn chÞu nÐn mµ chÞu uèn

cïng víi nÐn nªn çc cÊu kiÖn nµy thêng bÞ mÊt æn ®Þnh lo¹i hai víi t¶i träng nhá h¬n t¶i träng

tíi h¹n lo¹i mét. Tuy vËy, khi x¸c ®Þnh kh¶ n¨ng chÞu lùc cña çc cÊu kiÖn chÞu uèn cïng víi

nÐn ta vÉn cÇn biÕt gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc däc trong çc cÊu kiÖn ®ã t¬ng øng víi sù mÊt æn

®Þnh lo¹i mét (xem môc 3.1, ch¬ng 3). Do ®ã, sù nghiªn cøu hiÖn tîng mÊt æn ®Þnh lo¹i mét

kh«ng nh÷ng chØ cã ý nghÜa lý thuyÕt mµ cßn cã ý nghÜa thùc tÕ.

c. NhiÖm vô cña m«n häc

Trong ph¹m vi tµi liÖu nµy ta chØ nghiªn cøu bµi to¸n æn ®Þnh vÒ d¹ng c©n b»ng trong tr¹ng

th¸i biÕn d¹ng cña çc lo¹i thanh vµ hÖ thanh lµm viÖc trong giíi h¹n ®µn håi chÞu t¶i träng t¸c

dông tÜnh. Cßn bµi to¸n án ®Þnh vÒ vÞ trÝ cña c«ng tr×nh ®· ®îc nghiªn cøu trong gi¸o tr×nh c¬

häc c¬ së. NhiÖm vô chÝnh lµ nghiªn cøu çc ph¬ng ph¸p x¸c ®Þnh t¶i träng tíi h¹n ®Ó ®¸nh gi¸

kh¶ n¨ng chÞu lùc cña c«ng tr×nh.

§H- 17 -

p3p1 p2 p4

H×nh 1.7 HÖ chÞu nhiÒu lùc t¸c dông ®ång thêi

Trong trêng hîp hÖ chÞu nhiÒu lùc t¸c dông ®ång thêi nh trªn h×nh 7, thay thÕ cho t¶i träng

tíi h¹n ta dïng kh¸i niÖm vÒ th«ng sè tíi h¹n ®Ó ®¸nh gi¸ kh¶ n¨ng æn ®Þnh. Th«ng sè tíi h¹n

lµ ®é an toµn vÒ mÆt æn ®Þnh cña c«ng tr×nh ®èi víi mét nhãm lùc nhÊt ®Þnh.

Ch¼ng h¹n, cÇn x¸c ®Þnh ®é an toµn cña khung trªn h×nh 7 ®èi víi ba lùc P1, P2 vµ P4 trong sè

bèn lùc t¸c dông trªn hÖ. Muèn vËy ta nh©n ba lùc nµy víi th«ng sè vµ t×m gi¸ trÞ tíi h¹n th

cña th«ng sè ®Ó sao cho khi hÖ chÞu t¸c dông ®ång thêi cña c¸c lùc thP1, thP2 , P3 vµ thP4

(nghÜa lµ t¨ng c¸c lùc P1, P2 vµ P4 lªn th lÇn cßn lùc P3 kh«ng t¨ng) th× khung sÏ ®¹t tíi tr¹ng

th¸i tíi h¹n.

§H- 18 -

1.3 Kh¸i niÖm vÒ bËc tù

BËc tù do cña hÖ lµ sè th«ng sè h×nh häc ®éc lËp ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña tÊt c¶ c¸c ®iÓm cña

hÖ khi hÖ mÊt æn ®Þnh.

VÝ dô, hÖ gåm hai thanh tuyÖt ®èi cøng ®îc liªn kÕt nh trªn h×nh 8 cã bËc tù do b»ng mét

v× toµn bé d¹ng mÊt æn ®Þnh (®êng ®øt nÐt) cña hÖ ®îc x¸c ®Þnh theo mét th«ng sè (chuyÓn vÞ

y1 cña khíp gi÷a hay gãc xoay 1 cña mét thanh nµo ®ã).

HÖ gåm bèn thanh tuyªt ®èi cøng ®îc liªn kÕt nh trªn h×nh 9 cã bËc tù do b»ng hai. ThËt

vËy, sau khi x¸c ®Þnh vÞ trÝ míi 1', 2' cña khíp 1 vµ 2 b»ng hai th«ng sè 1 vµ 2 ta dÔ dµng t×m

®îc vÞ trÝ míi 3' cña khíp 3 lµ giao ®iÓm cña ®êng trßn cã t©m 2' b¸n kÝnh l víi ®êng trßn cã

t©m b b¸n kÝnh h.

§H- 19 -

y1

p1,th p2,th p3,th

l

0,5l

0,5l

0,33

3l0,

333

l0,

333l

H×nh 1.8 H×nh 1.9 H×nh 1.10

Víi hÖ cã bËc tù do b»ng n ta cã n gi¸ trÞ lùc tíi h¹n. Ngoµi lùc tíi h¹n nhá nhÊt t¬ng øng

víi d¹ng c©n b»ng æn ®Þnh cßn c¸c lùc tíi h¹n kh¸c t¬ng øng víi d¹ng c©n b»ng kh«ng æn

®Þnh.

C¸c hÖ biÕn d¹ng ®µn håi cã bËc tù do b»ng v« cïng nªn cã v« sè gi¸ trÞ lùc tíi h¹n song chØ

cã lùc tíi h¹n nhá nhÊt lµ cã ý nghÜa thùc tÕ. VÝ dô víi thanh cã hai ®Çu khíp trªn h×nh 10a, tõ

Søc bÒn vËt liÖu ta ®· biÕt lùc tíi h¹n dîc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:

§H- 20 -

Pn,th = (n )2 2l

EI,

víi n - sè nguyªn.

LÇn lît cho n = 1, 2, 3, ta sÏ ®îc v« sè gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n: H×nh 10

P1,th = 2 2l

EI; P2,th = 42

2l

EI; P3,th = 92

2l

EI,…

Trªn h×nh 10 lµ çc d¹ng biÕn d¹ng t¬ng øng víi gi¸ trÞ thø nhÊt, thø hai vµ thø ba cña lùc

tíi h¹n. ChØ cã lùc tíi h¹n thø nhÊt t¬ng øng víi gi¸ trÞ nhá nhÊt míi cã ý nghÜa thùc tÕ. Çc

lùc tíi h¹n thø hai, thø ba... chØ cã ý nghÜa lý luËn vµ çc d¹ng biÕn d¹ng t¬ng øng kh«ng æn

®Þnh.

1.4. çc biÓu hiÖn vÒ sù c©n b»ng æn ®Þnh

a.BiÓu hiÖn tÜnh häc

Cho hÖ mét tr¹ng th¸i lÖch, x¸c ®Þnh t¶i träng t¬ng øng

NÕu: Pl > P – hÖ æn ®Þnh.

Pl < P – hÖ kh«ng æn ®Þnh.

§H- 21 -

Pl = P – hÖ phiÕm ®Þnh.

VÝ dô 1.1 : Cho hÖ nh h×nh vÏ, EJ = ngµm ®µn håi víi ®Êt ®é cøng lµ k.

p

l

H×nh 1.11

§H- 22 -

Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch. m = 0 P* - k = 0. P*lsin - k = 0. Cho sin = .

P* = l

k , vËy NÕu P <

l

k th× hÖ æn ®Þnh .

b.BiÓu hiÖn n¨ng lîng. Dïng nguyªn lý Dirichle: NÕu æn ®Þnh thÕ n¨ng cùc ®¹i. HÖ phiÕm

®Þnh thÕ n¨ng kh«ng ®æi. ThÕ n¨ng toµn phÇn gåm thÕ n¨ng biÕn d¹ng vµ thÕ n¨ng ngo¹i lùc

(tr¸i dÊu víi céng ngo¹i lùc). Khi ë tr¹ng th¸i lÖch sè gia thÕ n¨ng toµn phÇn :

U = V - T

Theo Dirichle : V > T – æn ®Þnh .

V < T – kh«ng æn ®Þnh .

V = T – phiÕm ®Þnh.

VÝ dô 1.2 : nh vÝ dô 1.1

§H- 23 -

p

l

H×nh 1.12

Sè gia c«ng ngo¹i lùc : T = .

§H- 24 -

T = Pl (1 - cos) = 2Pl sin2 2

=

2

2Pl

V = 2

1M , M lµ m« men ë ngµm ®µn håi: M = k

V = 2

1M2 , hÖ æn ®Þnh : V > T

2

2Pl <

2

1 M2 P <

l

k .

1.3. çc ph¬ng ph¸p tÝnh

a. Ph¬ng ph¸p tÜnh häc

Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch. X¸c ®inh gi¸ trÞ lùc tíi h¹n cã kh¶ n¨ng gi÷ hÖ ë tr¹ng th¸i c©n b»ng

míi tõ çc ph¬ng tr×nh ®Æc trng hay cßn gäi lµ ph¬ng tr×nh æn ®Þnh .

Ph¬ng ph¸p nµy cho phÐp x¸c ®Þnh çc bµi to¸n ®¬n gi¶n.

b. Ph¬ng ph¸p n¨ng lîng

Gi¶ thiÕt ®êng ®µn håi hay d¹ng biÕn d¹ng ë tr¹ng th¸i lÖch, tÝnh thÕ n¨ng vµ c«ng ngo¹i

lùc. Sau ®ã ding biÓu hiÖn ë §1.2. Sau ®©y lÇn lît tr×nh bµy mét sè ph¬ng ph¸p thêng gÆp.

§H- 25 -

1.4. ph¬ng ph¸p lËp vµ gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n

Thø tù nh sau:

- Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch lËp ph¬ng tr×nh vi ph©n.

- T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n.

- ThiÕt lËp c¸c pt x¸c ®Þnh h»ng sè tÝch ph©n vµ ph¶n lùc cha biÕt.

- Khi hÖ mÊt æn ®Þnh c¸c h»ng sè tÝch ph©n kh¸c kh«ng vµ D () = 0.

- Gi¶i ph¬ng tr×nh æn ®Þnh , t×m ®îc lùc tíi h¹n.

* VÝ dô 1.3 : X¸c ®Þnh lùc tíi h¹n nhá nhÊt cho EI = const.

§H- 26 -

y

pz

z

l

y

H×nh 1.13

Cho tr¹ng th¸i lÖch nh h×nh vÏ 1.13:

§H- 27 -

Dïng mÆt c¾t c¾t qua toa ®é z, xÐt c©n b»ng m« mem ph©n trªn toa ®é z ta cã:

Mz = - P( - y);

MÆt kh¸c do ®é lÖch nhá, ¸p dông liªn hÖ vi ph©n gi÷a m«men vµ chuyÓn vÞ nh Søc bÒn

vËt liÖu.

EIy,, = - M ;

Ta cã :

EIy,, = P( - y) ;

Chia hai vÕ cho EI, ®Æt = EI

P vµ chuyÓn vÕ ta ®îc ph¬ng tr×nh vi ph©n:

y,, + 2 y =2 ;

§©y lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 kh«ng thuÇn nhÊt. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n

cÊp hai kh«ng thuÇn nhÊt b»ng nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 thuÇn nhÊt y,, +

2 y =0; lµ y = Acosz + Bsinz céng víi mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2

kh«ng thuÇn nhÊt: y,, + 2 y =2 ; lµ y=.

§H- 28 -

Ta cã nghiÖm: y = Acosz + Bsinz + ;

Víi A, B lµ çc h»ng sè tÝch ph©n ®îc x¸c ®Þnh theo çc ®iÒu kiÖn biªn.

§iÒu kiÖn biªn:

T¹i z = 0: y = 0;

y, = 0;

T¹i z= l: y = ;

Ta suy ra

0.0.sin.cos

0.0..0

0.1.0.1

BlAl

BA

BA

Tõ ®iÒu kiÖn tån t¹i tr¹ng th¸i lÖch th× çc gi¸ trÞ cña A, B, ph¶I kh¸c kh«ng, mÆt kh¸c

hÖ ph¬ng tr×nh x¸c ®Þnh A, B, C l¹i lµ hÖ ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt chØ cã nghiÖm kh¸c kh«ng

khi ®Þnh thøc çc hÖ sè b»ng kh«ng. Tõ ®ã ta cã ph¬ng tr×nh æn ®Þnh lµ ®Þnh thøc çc hÖ sè

b»ng kh«ng:

§H- 29 -

D() =

0sincos

00

101

ll

=0;

cosl = 0. l = (2k – 1)2

víi k = 1. 2. 3. … Khi k = 1.

Tõ = EI

P P = EI2 Pth =

2

2

4l

EJ = 2,467

2l

EJ

KÕt qu¶ nµy trïng víi kÕt qu¶ tinh theo c«ng thøc ¥le.

1.5. thiÕt lËp vµ gi¶i ph¬ng tr×nh ®¹i sè

Thø tù tÝnh to¸n :

- Cho hÖ tr¹ng th¸i lÖch.

- LËp ph¬ng tr×nh ®¹i sè liªn hÖ çc chuyÓn vÞ t¹i çc ®iÓm kh¶o s¸

- Khi hÖ mÊt æn ®Þnh çc nghiÖm y 0 ®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh .

- Gi¶i vµ t×m ra lùc tíi h¹n.

§H- 30 -

* VÝ dô 1.4 : Cho hÖ nh vÝ dô 1.3.

lz

p

p=1

lp

p

H×nh 1.14

Cho hÖ mét tr¹ng th¸i lÖch nh h×nh vÏ 1.14a. §é lÖch t¹i ®Çu cét lµ .

§H- 31 -

Ta quan niÖm ®é lÖch nµy nh mét chuyÓn vÞ ngang t¹i ®Çu cét do t¶i träng P g©y ra vµ

¸p dông c¸ch tÝnh chuyÓn vÞ nµy nh trong c¬ häc kÕt cÊu.

Coi hÖ ®· cho lµ tr¹ng tr¹ng “m” vÏ biÓu ®å m« men Mm nh h×nh 1.14b.

T¹o tr¹ng th¸i “k” vµ vÏ biÓu ®å kM nh h×nh vÏ 1.14c.

TÝnh chuyÓn vÞ: ))(( MmkM

NÕu coi biÓu ®å Mm do lùc P g©y ra cã d¹ng tam gi¸c

= 2

1 lP

EI

l

2

3 ; (1 -

EI

Pl

3

2

) = 0.

Pth = 2

3

l

EI , sai sè 20%

NÕu coi biÓu ®å Mm do lùc P g©y ra cã d¹ng Parabol :

= lPEI

3

21

8

5l; (1 -

EI

Pl

12

5 2

) = 0

Pth = 2,42l

EI

Sai sè 2,8% ta cã thÓ chia thµnh nhiÒu ®iÓm.

§H- 32 -

1.6. Ph¬ng ph¸p n¨ng lîng ¸p dông trùc tiÕp nguyªn lý dirichle

Khi hÖ ë tr¹ng th¸i phiÕm ®Þnh ta cã : TV

V lµ thÕ n¨ng biÕn d¹ng cña hÖ díi t¸c dông cña néi lùc.

dsEJ

MV

2

2

1 ;

Lu ý r»ng yEIM

Thay vµo biÓu thøc trªn ta cã:

dsyEJV 2)(2

1 ;

T lµ c«ng cña ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ

Khi hÖ chØ chÞu c¸c lùc tËp trung:

§H- 33 -

pkkPT ; kl

pkpk

0

;

cos1cos. dsdsdspk

dsytgdsdsdsdspk

222

2

2

2

1.

2

1.

2

1

2.2.

2sin2

dsyPTlk

k 0

2

2

1

Tr×nh tù tÝnh to¸n.

- Cho hÖ mét tr¹ng th¸i lÖch.

- Chän hµm sè y biÓu diÔn ®êng ®µn håi cña hÖ ë tr¹ng th¸I lÖch, Hµm sè nµy ph¶i thâa m·m

c¸c ®iÒu kiÖn biªn

- TÝnh V vµ T

§H- 34 -

- Cho TV ta t×m ®îc lùc tíi h¹n.

* VÝ dô 1.6 : TiÕn hµnh cho vÝ dô 1.3.

y

pz

z

l

y

Chän hµm sè y = (1 - cosl

z

2

) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn :

§H- 35 -

y, = l2

sin

l

z

2

; y,, =

2

2

4l

cos

l

z

V = 2

1

l

l

EJdz

l

z

lEJ

0

3

422

2

2

642cos

4.

T = 2

1P

l

lPdz

l

z

l0

22

2

162sin

2

Cho V = T 3

4222

6416 l

EJ

l

P .

Pth = 2

2

4l

EJ. KÕt qu¶ chÝnh x¸c v× ®êng ®µn håi ®óng nh ®· chän.

1.7. Ph¬ng ph¸p ritz

Dùa trªn c¬ së nghiªn cøu thÕ n¨ng toµn phÇn :

U = U0 + V - T

§H- 36 -

V = 2

1 dsyEJ 2,, )( ; T =

2

1

kl

k dsyP0

2, )( .

Gi¶ thiÕt hµm díi d¹ng chuçi y = iif . (2)

ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn c¸c th«ng sè ®Ó thÕ n¨ng cùc tiÓu :

1f

U

= 0,

2f

U

= 0 …

nf

U

= 0.

LËp ph¬ng tr×nh ®Æc trng vµ t×m Pth.

* VÝ dô 1.9 : Chän hÖ nh vÝ dô 1.3.

Gi¶ thiÕt ®êng biÕn d¹ng

y = f1z2 + f2z

4;

y, = 2f1z + 4 f2z3;

y,, = 2f1 + 12 f2z2

V = dzyEJ 2,,

2 =

lEJ

02

(2f1 + 12 f2z2)2dz. = 2Ejl (f2

1 + 4 f1f2l2 +

5

36 f2

2l4).

§H- 37 -

T = l

dzyP

0

2,

2 =

lP

02

(2f1z + 4 f2z3)2dz. = 2Pl3(

2

1f2

1 + 5

4 f1f2l

2 + 7

4 f2

2l4)

VËy U = U0 + V - T ; cho 1f

U

= 0,

2f

U

= 0.

Ta cã :

0)7

2

5

18()

5(

0)5

22()

3(

242

1

2

222

12

flP

EJlfl

PEJ

flP

EJlflP

EJ

Khi mÊt æn ®Þnh f1, f2 kh¸c kh«ng, D = 0. §Æt P* = EJ

Pl 2

Khai triÓn ®Þnh thøc : P*2 – 45P* + 105 = 0 P* = 2,5

Pth = 2,52l

EJ. So s¸nh, sai sè b»ng 1,2%.

§H- 38 -

2. æn ®Þnh c¸c thanh th¼ng

2.1. Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t ®êng ®µn håi trong thanh chÞu uèn däc

XÐt thanh nh h×nh vÏ :

z

p

m0 y0

q0

y

y

z

p

m

q

p

m+dm

q

dy

dz

Trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng :

y,0

§H- 39 -

Mz = M0 + Q0z + P(y – y0) ; y,, = -

EJ

M

y,, = - EJ

yyPzQM )( 000 , gäi 2 =

EJ

P.

y,, + 2y = - EJ

PyzQM 000

NghiÖm tæng qu¸t :

y =Asinz + Bcosz - EJ

PyzQM2

000

y, = Acosz - Bsinz - EJ

Q2

0

§iÒu kiªn biªn z = 0 ;

y0 = B - EJ

PyM2

00

; y,

0 = A - EJ

Q2

0

.

A =

,0y +

EJ

Q3

0

; B =

EJ

M2

0

.

§H- 40 -

Ta cã : y = y0 +

,0y

sinz - EJ

M2

0

(1 - cosz) - EJ

Q3

0

(z - sinz)

Ph¬ng tr×nh gãc xoay vµ ®é vâng nh sau:

y, = y0,cosz -

EJ

M

0 sinz -

EJ

Q2

0

(z - cosz).

M = -EJy,, = EJ y0,sinz + M0 cosz +

0Q

sinz

Qz = dz

dM - Pdz

dy = Q0

§èi víi ®o¹n m +1 :

ym+1=ym+y+

y, sin(z–a)-

EJ

M2

(1–cos(z- a)) -

EJ

Q3

((z–a)-sin(z–a))

y,m+1 = y,

m + y, cos(z- a) - EJ

M

sin(z- a) -

EJ

Q2

(1- cos(z – a))

Mm+1 = Mm + EJy, sin(z- a) + M cos(z- a) +

Q sin(z- a)

Qm+1 = Qm + Q

§H- 41 -

2.2. æn ®Þnh thanh th¼ng cã liªn kÕt cøng ë hai ®Çu vµ liªn kÕt ®µn håi

a. Liªn kÕt cøng

Theo SBVL : Pth = 2

2

)( l

EJ

.

HÖ sè phô thuéc liªn kÕt ®Çu thanh : 2 ®Çu khíp = 1; Mét ®Çu khíp 1 ®Çu tù do : = 2 ;Mét

®Çu khíp 1 ®Çu ngµm : = 0,7 ;Hai ®Çu ngµm : = 0,5.

b. Liªn kÕt ®µn håi

1. Mét ®Çu tù do mét ®Çu ngµm ®µn håi :

§H- 42 -

p

y

y0

z

0

l

M0 = 0 ;

Q0 = 0

y = y0 +

,0y sinz.

§H- 43 -

y, = y,0cosz

Z = l yl = 0, y,l =

Gäi : lµ hÖ sè ®µn håi, tøc lµ gãc xoay ngµm ®µn håi khi chÞu m«men b»ng ®¬n vÞ th×

= - Py0. HoÆc : y0 + y,0

lsin = 0 y,

0 cosl = - Py0.

Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : D = lP

l

cos

sin1

= 0

HoÆc : ltgl = EJ

l

Gäi l = V ; EJ

l =

tg

1

Ta cã : ctgV = Vtg

Dïng ®å thÞ t×m ®îc Vth th vµ cã Pth.

Tõ h×nh vÏ ta thÊy Vth<2

nªn Pth nhá h¬n khi mét ®Çu tù do mét ®Çu ngµm.

§H- 44 -

VÝ dô 2.1 : T×m lôc tíi h¹n cho hÖ nh h×nh vÏ:

a b

p

c

l

2l

vtg

ctgv

v

vth

a b

p

c

l

2l

EJ = const

§H- 45 -

Xem thanh AC nh ngµm ®µn håi ë A.

HÖ sè ®µn håi ®îc t×m khi xÐt dÇm AB chÞu m«men t¹i A b»ng ®¬n vÞ :

= EJ

l

3

2 ; tg =

l

EJ =

l

EJ

3

2

EJ

l =

3

2.

HoÆc ctgV = 3

2VSuy ra : Vth = 1,01 ; Pth = 1,02

2l

EJ.

2. Mét ®Çu ngµm cøng mét ®Çu thanh ®µn håi:

Th«ng sè ban ®Çu M0 = 0 ; Q0 = R = y

y0

y : chuyÓn vÞ cña liªn kÕt ®µn håi do P = 1 g©y ra

Ph¬ng tr×nh ®êng ®µn håi cã d¹ng :

y = y0 +

,0y sinz -

EJy

y3

0

(z - sinz)

§H- 46 -

y

p

z

r=

y0

v

0

tgv

vth

Z = l ; y1 = 0 ; y,0 = 0.

Ta ®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :

§H- 47 -

D = l

EJy

l

l

EJy

ll

coscos1

sinsin1

2

3

= 0.

§Æt v = l Khai triÓn tgV = V – V3 y .3l

EJ

Gi¶i b»ng ®å thÞ : y = 0 tøc gèi cøng ph¬ng tr×nh æn ®Þnh tgV = V ;

V = 4,493. Pth = 2

2

)7,0( l

EJ t¬ng tù mét ®Çu ngµm mét ®Çu khíp.

* VÝ dô 2.2 : Cho khung nh h×nh vÏ, t×m Pth.

§H- 48 -

p

b c

da

ej=

jj

l

r

p

HÖ sè ®µn håi y chÝnh lµ chuyÓn vÞ ®Çu C cña thanh CD. Khi chÞu lùc P = 1, ta thếy

y = EJ

l

3

3

. Thay vµo : tgV = V – V3 y = V - 3

3V.

Gi¶i b»ng ®å thÞ : V = 2,16 ; Pth = 2

66,4

l

EJ

2.3. æn ®Þnh thanh cã lùc ®Æt däc theo chiÒu dµi thanh

1.Thanh 2 ®Çu tùa khíp

§H- 49 -

a

bqb

p

c

yc

p

qa y

z

b

a

l

§o¹n AC, gèi ë A, 0 < z1 < a.

y1 = 1

,0

ysinz -

EJ

QA

31

(1z1 - sin1z1)

§H- 50 -

y,1 = y0

,cos1z1 - EJ

QA

2(1 - cos1z1) ;

21

= EJ

P.

§o¹n BC, gèi ë B. ; 0 < z2 < b. V× kh«ng cã lùc nÐn nªn 2 = 0.

y2 = yB, z2 -

EJ

QB

6 z3

2 ; y,2 = y,

B - EJ

QB

2 z2

2 .

Tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng :

QA = QB = l

Pyc = 21

l

EJyc V× yc = y2(b) = y,

B.b - EJ

bQB

6

3

= EJ

lQB

21

.

Nªn QA = QB = y,B

l

b

61

321

21

b

l

EJ

§iÒu kiÖn chuyÓn tiÕp : y1a = y2b ; y1a, = - y2b

,.

Khi mÊt æn ®Þnh y,A vµ y,

B kh¸c kh«ng ®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :

D = a

b

b

la

aba

1

221

1

111

cos3

1(cos

)sin(sin

= 0

§H- 51 -

HoÆc : tg1a =

b

lb

b

13

221

1

Khi a = b = 2

l ®Æt V = 2l ; tg

2

V =

36

62 V

V; V = 4,32 vµ Pth = 18,66

2l

EJ

2. Thanh mét ®Çu tù do mét ®Çu ngµm

l

p1

p2

z

y

l1

l2

§H- 52 -

Chia thµnh 2 ®o¹n.

- §o¹n thø nhÊt : 0 < Z < l1

y1 = y0 + y,0

1

1sin

z; y,

1 = y,0 cos1z.; M1 = 1EJ y,

0 sin1z; Q, = M,1 – P1y

,1 = 0 ; 2

1

= EJ

P1.

- §o¹n thø 2 : gèi t¹i ®iÓm ®Æt lùc P2 0 < Z < l2; 22

= EJ

PP 21 .

y2(0) = y1l1 = y0 + y,0

1

11sin

l; y,

2(0) = y,1 (l1) = y,

0 cos1l1

M2(0) = M1 (l1) = P1 1

,0

ysin1l1 ; Q2(0) = Q(l1) = 0

Vµ y2 = [y0+ y,0

1

11sin

l]+y,

02

11cos

lsin2z-

21

1

PP

P

.

1

,0

ysin1l1(1 - cos2z).

y,2 = y,

0 cos1l1 cos2z - 21

1

PP

P

2

1

,0

y sin1l1 sin2z .

§H- 53 -

§iÒu kiÖn biªn ë ngµm : z = l2 ; y2(l2) = 0 ; y,2(l2) =

Ta ®îc ph¬ng tr×nh , ®Ó tån t¹i y0 ; y,0 ta cã ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :

cos1l1 cos2l2 [1 - 21

1

PP

P

.

1

2

tg1l1tg2l2 ] = 0

3 trêng hîp x¶y ra : cos1l1 = 0

cos2l2 = 0

tg1l1tg2l2 = 21

1

PP

P

.

2

1

=

1

2

.

VÝ dô 2.3 : Cho hÖ nh h×nh vÏ.

§H- 54 -

l/2

l/2

3p

p

§Æt 1= EJ

P = ; 2=

EJ

PP 3 = 2

EJ

P = 2.

Ta cã : tg2

VtgV = 2 víi V = l ; V = 1,23. Pth = 1,232

l

EJ =

2

513,1

l

EJ

§H- 55 -

NÕu theo cosl = 0 th× Pth = 2

2

4l

EJ = 2,46

2l

EJ

NÕu theo cos2

1 = 0 ; l = th× Pth = 2

2l

EJTa cã min

thP = 1,5132l

EJ.

2.4. æn ®Þnh thanh chÞu träng lîng b¶n th©n

z

q

dz

XuÊt ph¸t tõ ph¬ng tr×nh vi ph©n

§H- 56 -

EJy,,, = - Qz

Qz = qz.sin qz tg = qzy,

Vµ EJy,,, + qzy, = 0

§Æt a2 = EJ

ql 3

; l

z = t; u = y,

Tõ z = lt dz = ldt ; dz2 = l2dt2 , thay vµo 2

2

dt

ud + a2tu = 0

NghiÖm biÓu diÔn díi hµm sè Betxen hoÆc chuçi v« h¹n :

U = c0 + c1t + c2t2 + …cit

i

Thay vµo. §ång nhÊt thøc C2 = 8.

2.3C3 = -a2C0 ; 3.4C4 = -a2C1 ; 4.5C5 – a2C2 = 0 ; 5.6C6 = -a2C3 = a4 3.20C

Ta thÊy c¸c h»ng sè C mang chØ sè 2, 5, 8, 11, … ®Òu b»ng 0 tøc :

C2+3i = 0 víi i = 0, 1, 2.

§H- 57 -

Ci+2 = 21

2

ii

aCi – 1

§iÒu kiÖn biªn : z = 0 ; t = 0 ; M = -EJy,, = 0 dt

du = 0

Z = l. Tøc t = 1. y, = 0 suy ra u = 0.

LÊy ®¹o hµm u theo t, tõ ®iÒu kiÖn biªn thø nhÊt C1 = 0 ®Ó

dt

du = C0(-

2

2at2 +

5.3.2

4at5 - …) = 0 víi C0 tån t¹i.

1 - 3.2

2a +

6.5.3.2

4a -

9.8.6.5.3.2

6a - … + = 0

a = 2,799. Qlth = a2 2l

EJ = 7,84

2l

EJ

Chó ý ph¬ng tr×nh cña u lµ :

u = C0 (1 - 3.2

2at3 +

6.5.3.2

4at6 - … ) + C1 + (1 -

4.3

2at3 +

6.5.3.2

4at6 - … )

§H- 58 -

2.5. thanh tiÕt diÖn thay ®æi

a. Thay ®æi h×nh bËc thang

p

j1

j2

l1

l2

p

l

Ph¬ng tr×nh vi ph©n cho tõng ®o¹n.

EJ1y,,1 + Py1 = P EJ2y

,,2 + Py2 = P

NghiÖm cã d¹ng: y1 = A1sin1z + B1 cos1z +

§H- 59 -

y2 = A2sin2z + B2 cos2z + 1 = 1EJ

P ; 2 =

2EJ

P

§iÒu kiÖn biªn: z = 0 ; y,2 = 0 ; z = l ; y1 =

z = l2 ; y,1 = y,

2 y,,1 =

1

2

EJ

EJ; y,,

2 = 22

21

y,,

2

Ta cã : A2 = 0

A1sin1l + B1cos1l = 0

A11cos1l2 – B11sin1l2 + B22sin2l2 = 0

A1sin1l2 + B1cos1l2 – B2cos2l2 = 0

Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :

D =

222121

22

1

22121

11

coscossin

sinsincos

0cossin

lll

lll

ll

= 0

§H- 60 -

Khai triÓn : tg1l1tg2l2 = 2

1

Trêng hîp thanh chÞu t¶i träng tËp trung : lùc P1 ë ®Ønh, lùc P2 ë chç tiÕp gi¸p 2 ®o¹n. Ta

®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :

tg1l1tg2l2 = 2

1

1

21

P

PP

Trong ®ã : 1= 1

1

EJ

P ; 2=

2

21

EJ

PP

VÝ dô 2.5 : Cho EJ2 = 2

3EJ1 , t×m lùc tíi h¹n.

§H- 61 -

l/3

2l/3

j2

j1

p

5p

Trêng hîp nµy 1= 1EJ

P = ; 2=

2

5

EJ

PP =

13

2.6

EJ

P = 2

1l1 = 3

2l = V; 2l2 = 2.

3

1 = V


§H- 62 -

tg2V =

2 P

P6 = 3; tgV = 3 ; V =

3

;

3

2l

1EJ

P =

3

Ptb =

2

12

4l

EJ

Ngêi ta còng ®· lËp cho c¸c trêng hîp kh¸c thµnh b¶ng s½n víi Pth = K2EJ2/l2

b. Thay ®æi theo quy luËt luü thõa

z

0

az p

a

ViÖn sÜ A.N Dinnhich lµ ngêi ®Çu tiªn nghiªn cøu lo¹i thanh nµy. J(z) = J1

n

a

z

Trêng hîp thanh cã tiÕt diÖn ®Æc, h kh«ng ®æi b thay ®æi bËc nhÊt, th× n = 1.

§H- 63 -

Trêng hîp thanh tiÕt diÖn rçng, mçi c¹nh thay ®æi theo quy luËt bËc nhÊt n = 2.

Trêng hîp thanh ®Æc, thay ®æi theo d¹ng nãn côt,

Ta cã n = 4. Víi bµi to¸n nµy, chän trôc to¹ ®é nh h×nh vÏ.

Ph¬ng tr×nh vi ph©n : EJi n

a

z

2

2

dz

yd = -Py

Ta cã thÓ viÕt nghiÖm díi d¹ng chuçi v« h¹n.

Ngêi ta ®· lËp thµnh b¶ng víi Pth = k4 2

2

l

EJ

§H- 64 -

Bµi tËp

II.1. Cho hÖ chÞu lùc nÐn nh trªn h×nh II.1. T×m s¬ ®å tÝnh vµ lËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh.

II.2. Cho hÖ chÞu c¸c lùc nÐn nh trªn h×nh II.2. T×m lùc tíi h¹n.

Cho biÕt: l2 = 2l1/3; I2 = I1.

H×nh II.1 H×nh II.2 H×nh II.3

II.3. Cho hÖ chÞu lùc nÐn P nh trªn h×nh II.3. T×m lùc tíi h¹n.

§H- 65 -

II.4 - II.6. Cho hÖ chÞu lùc nÐn P nh trªn c¸c h×nh t¬ng øng. VËn dông c¸c ph¬ng tr×nh cña

ph¬ng ph¸p th«ng sè ban ®Çu, lËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh. T×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n khi : a = l/

2 ; EI = const.

II.7. VËn dông ph¬ng ph¸p gÇn ®óng cña K«r«b«v lËp c«ng thøc tÝnh æn ®Þnh cho thanh cã

khíp tùa ë hai ®Çu chÞu lùc nÐn P ®Æt ë trong nhÞp (h×nh 2.5 trong phÇn lý thuyÕt). T×m gi¸ trÞ

cña lùc tíi h¹n khi : a = b = l/ 2 .

§H- 66 -

H×nh II.4 H×nh II.5 H×nh II.6 H×nh II.8

II.8. VËn dông ph¬ng ph¸p gÇn ®óng, t×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n cho thanh chÞu lùc ph©n bè

nh trªn çc h×nh II.9a, b.

II.9. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nÐn P nh trªn h×nh II.9. VËn dông çc ph¬ng

tr×nh cña ph¬ng ph¸p th«ng sè ban ®Çu, lËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh. T×m gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n

khi :

a) a = 0,2 l ; I2 = I ; I1 = 0,4 I .

b) a = l : 6 ; I2 = I; I1 = 0,25 I.

II.10. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu çc lùc nÐn nh trªn h×nh II.10. VËn dông çc

ph¬ng tr×nh cña ph¬ng ph¸p th«ng sè ban ®Çu, lËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh. T×m gi¸ trÞ cña lùc

tíi h¹n khi: a = b = 0,5 l; I1 = I ; I2 = 2 I .

§H- 67 -

H×nh II.9 H×nh II.10 H×nh II.11 H×nh II.12 H×nh II.13

II.11. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nÐn P nh trªn h×nh II.11. T×m gi¸ trÞ cña lùc

tíi h¹n khi : h1 = h ; h2 = 2h ; h3 = 3h ; I1 = I ; I2 = 4I ; I3 = 9I .

II.12. Cho thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nÐn P nh trªn h×nh II.12. T×m lùc tíi h¹n. Cho

biÕt: I(z) = Io 4z(l -z) / l2, víi Io - m«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn ë gi÷a nhÞp.

§H- 68 -

ChØ dÉn: Sau khi lËp ph¬ng tr×nh vi ph©n cña ®êng ®µn håi sÏ ®îc ph¬ng tr×nh vi ph©n cã

hÖ sè thay ®æi. Ph¬ng tr×nh nµy sÏ ®îc tháa m·n nÕu ®Æt nghiÖm nh sau: y(z) = 4 f z(l -z) /

l2, víi f - chuyÓn vÞ t¹i tiÕt diÖn ë gi÷a nhÞp.

II.13. Cho thanh cã khíp tùa ë hai ®Çu, tiÕt diÖn thay ®æi, chÞu lùc nh trªn h×nh II.13. T×m

gi¸ trÞ cña lùc tíi h¹n khi :

a) M«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn thay ®æi theo luËt bËc bèn víi I1/I2 = 0,6.

b) M«men qu¸n tÝnh cña tiÕt diÖn thay ®æi theo luËt bËc hai víi I1/I2 = 0,6.

§H- 69 -

3. æn ®Þnh khung ph¼ng

3.1 Çc gi¶ thiÕt

1- VËt liÖu ®µn håi ;

2- Çc nót khung tuyÖt ®èi cøng, kho¶ng çch gi÷a çc nót tríc vµ sau khi biÕn d¹ng theo

ph¬ng ban ®Çu kh«ng ®æi ;

3- ChØ kÓ tíi M, N xuÊt hiÖn tríc biÕn d¹ng g©y ra ;

4- T¶i träng chØ ®Æt t¹i çc nót vµ chØ g©y ra kÐo hoÆc nÐn.

Tríc tiªn cÇn x¸c ®Þnh lùc däc çc thanh víi t¶i träng ®· cho b»ng çc ph¬ng ph¸p ë c¬

häc vµ kÕt cÊu. TiÕp ®ã, x¸c ®Þnh Pth hoÆc çc th«ng sè tíi h¹n. Trong bµi to¸n æn ®Þnh cña

khung cã thÓ ¸p dông nguyªn lý céng t¸c dông ®èi víi çc t¶i träng ngang, v× çc lùc ngang chØ

xuÊt hiÖn sau khi mÊt æn ®Þnh víi nh÷ng gi¸ trÞ rÊt nhá. MÆt kh¸c quy íc, xem lùc nÐn nh lµ

§H- 70 -

mét trong nh÷ng tÝnh chÊt cho biÕt cña hÖ. Cã nhiÒu ph¬ng ph¸p tÝnh æn ®Þnh nhng c¬ b¶n lµ

hai ph¬ng ph¸p lùc vµ chuyÓn vÞ.

3.2. x¸c ®Þnh chuyÓn vÞ trong nh÷ng thanh uèn cïng nÐn

XÐt hÖ ë 2 tr¹ng th¸i ,

km = kMEJ

dsMm

pk

kmp

a. Thanh ®Æt tù do trªn 2 gèi tùa khíp

BiÓu thøc:

Mm= EJy,0sinz+M0cosz+

0Q

sinz = EJy,0sinz + c. cosz +

l

cd

sinz

§H- 71 -

Khi z = l ; yl = 0.

y,0 =

EJ

c

tgVV

11+

EJ

d

VV

1

sin

1

p c d

dc

mm

mk

ab

Trong ®ã : V = l.

Thay gi¸ trÞ y,0 ta cã : Mm = c.cosz +

tgV

c

V

d

sin sinz

§H- 72 -

Cßn kM = a + l

ab .z

EJkm=c l

0

(a+l

ab .z)coszdz+

tgV

c

V

d

sin l

0

(a+l

ab .z) sinzdz

LÊy tÝch ph©n vµ biÕn ®æi ta cã :

EJkm = rbdlacl

33 + r

bcladl

66;

(V) = 2

3

r

tgV

V1 ;

(V) = 2

6

v

1

sinV

V Tra b¶ng

b. Thanh mét ®Çu ngµm mét ®Çu tù do

MB = c + el + PyA = d + PyA

e= l

cd v× el = d – c

§H- 73 -

Mm = c.cosz + [

vv

dvvc

cos

1sin ]sinz

ba

mk

mm

c d

bc

p

q = e

pyo

ya

Thay vµo c«ng thøc chuyÓn vÞ, tÝch ph©n vµ biÕn ®æi, ta cã :

EJkm = 3

bdl1(V) +

3

acl2(V) +

66

bcladl3(V)

1 = 2

3

v

1

v

tgv;

§H- 74 -

2 = 2

3

v

v

tgv

vvtgv

cos

21 ;

3 = 2

6

v

v

tgv

vcos

1

3.3. tÝnh æn ®Þnh theo ph¬ng ph¸p lùc

Cho khung siªu tÜnh nh h×nh (3.4), muèn t×m Pth ta tiÕn hµnh nh sau :

a d

c

bp x1

x2

x3

p

a. Chän hÖ c¬ b¶n :

§H- 75 -

Nh trong c¬ häc kÕt cÊu. Song, cÇn chó ý: víi thanh cã lùc nªn P ph¶i lµ phÇn tö 2 ®Çu khíp

hoÆc mét ®Çu ngµm mét ®Çu tù do v× ®· thiÕt lËp

chuyÓn vÞ theo 3.2.

b. Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:

V× biÓu ®å M0p kh«ng tån t¹i nªn c¸c sè h¹ng tù do ®Òu b»ng kh«ng. Ph¬ng tr×nh thø k sÏ

lµ:

k1 X1 + k2 X2 + km Xm + kn Xn = 0

§Ó x¸c ®Þnh hÖ sè víi thanh kh«ng cã lùc nÐn, ta nh©n b×nh thêng víi thanh cã lùc nÐn vµ

dïng kÕt qu¶ ë 3.2.

VÉn ¸p dông ®îc tÝnh t¬ng hç km = mk . Chó ý víi thanh CD ta chØ kÓ tíi lùc nÐn P ë nót

mµ kh«ng kÓ tíi ¶nh hëng X1 v× nã chØ xuÊt hiÖn sau khi bÞ mÊt æn ®Þnh.

c. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :

Tõ ®iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm xk ta cã ph¬ng tr×nh æn ®Þnh D = km = 0

§H- 76 -

* VÝ dô 3.1 : Cho khung nh h×nh vÏ (3.5), t×m lùc tíi h¹n.

p

ej=l

l

x1

x2

x2

x1

x2=1

m1

px1=1

l l

l

m2

x1=1x2=1

p


§H- 77 -

D = 2221

1211

= 0 ; V = l

EJ

P

EJ11 = 3

3l1(V) +

3

3l =

3

3l(1 + 1)

EJ22 = 3

4 3l ;

EJ12 = EJ21 = 2

3l

D = EJ

1

2

4

2

21

333

3

1

3

ll

ll

=

Khai triÓn 4(1 + 1) – 2,25 = 0; 1 = -0,4375,

tra b¶ng V = 2,79; Pth = 2

2

l

EJV = 7,78

2l

EJ

§H- 78 -

3.4. néi lùc trong thanh chÞu nÐn vµ chuyÓn vÞ cìng bøc

Ta thiÕt lËp c¸c phÇn tö mÉu nµy ®Ó dïng cho ph¬ng ph¸p chuyÓn vÞ.

zp

p

y

a

qb

mb

qa

ma

yb

l

Dïng y = 0; mb = 0

Qa = Qb = -l

PMM ba

C¸c th«ng sè ban ®Çu :

§H- 79 -

y0 = 0 ; y,o = a; M0 = Ma ; Q0 = Qa .

Thay vµo ph¬ng tr×nh ®· lËp ë §2.1 :

y =

a sinz - EJ

M a

2(1 - cosz) +

EJl

EJl

MM ba

3

2

(z - sinz)

y, = acosz - EJ

M

0 sinz + (

EJl

MM ba

2

+

l

)(1 - cosz)

Mz = EJ. a sinz + Mcosz - (l

MM ba

+ EJ

l

)sinz

ë ®©y Ma , Mb lµ c¸c ®¹i lîng cha biÕt vµ cã thÓ x¸c ®Þnh theo 2 ®iÒu kiÖn biªn ®Çu B. z =l

; yl = ; y,l = b vµ

=

a sinl - EJ

M2

0

(1 - cosl) + (

lEJ

MM ba

3

+

l

)(l - sinl)

b = a cosl - EJ

M

0 sinl + (

EJl

MM ba

2

+

l

)(1 - cosl)

§H- 80 -

Gi¶i ra ta cã : Ma = 2i[1a + 2b - (1 + 2) l

];

Mb = 2i[2a + 1b - (1 + 2) l

];

Qa = Qb = -l

i2[(1 + 2)( a + b) - 3

l

]

1 = tgv

v

2 vtgv

vtgv

2 ;

2 = v

v

sin2v

vtg

vv

22

sin;

1 + 2 = 2

1

vv

tg

vtgv

2

2

22

;

3 = 2

1

vv

tg

v

2

2

3

§H- 81 -

Ta dïng nã ®Ó lËp c¸c mÉu :

D¹ng s¬ ®å Ma Mb Qa = Qb

1

p = 1 b

l

3i1 0 -

l

i31

2 p

1

-l

i31 0 2

3

l

i1

3

= 1 p

4i2 2i2 -l

i63

4 p

-l

i64 -

l

i64 2

12

l

i2

5 p

a

itgv

v -i

v

v

sin 0

§H- 82 -

6 = 1 pba

itgv

v -i

v

v

sin 0

7

a z=1

+ivtgv 0 0

8 p

=1

- ivtgv 0 0

9 l

0 0 -2l

iv2

i = l

EJ ; 1 =

vtgv

tgvv

3

2

; 2 =

228

vvtgtgv

vtgvv ; 3 =

22sin4

sin

vvtgv

vvv

1 = vtgv

v

3

3

; 2 = 1

2

v = 4 -

12

2v ; 3 = 1

2

v = 4 ;

§H- 83 -

3.5. tÝnh æn ®Þnh b»ng ph¬ng ph¸p chuyÓn vÞ

a. Chän hÖ c¬ b¶n :

T¬ng tù khi tÝnh vÒ ®é bÒn, cã nghÜa lµ ®Æt thªm çc liªn kÕt ng¨n c¶n chuyÓn vÞ th¼ng vµ

xoay cña çc nót.

b. Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c :

V× t¶i träng chØ cã lùc nÐn nªn kh«ng xuÊt hiÖn m« men uèn ; Rkp = 0

Ph¬ng tr×nh thø k cã d¹ng :

rk1z1 + rk2z2 + … rkmzm + … rknzn = 0

Çc hÖ sè rkm = rmk – x¸c ®Þnh tõ çc biÓu ®å kM . §iÌu kh¸c biÖt víi khi tÝnh ®é bÒn lµ çc

hÖ sè rkm trong ph¬ng tr×nh æn ®Þnh phô thuéc vµo lùc nÐn P. Trong khi ®ã kkm khi tÝnh bÒn chØ

phô thuéc zk = 1.

c. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh.

§H- 84 -

HÖ ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt cã hai kh¶ n¨ng. Víi nghiÖm tÇm thêng zk = 0 – hÖ æn ®Þnh.

Khi tån t¹i zk 0 th× xuÊt hiÖn d¹ng c©n b»ng míi kh¸c tríc vÒ tÝnh chÊt – hÖ kh«ng æn ®Þnh.

Ta cã ph¬ng tr×nh D = rik = 0.

Tõ ph¬ng tr×nh æn ®Þnh t×m ®îc Pth , song ta cha t×m ®îc ®êng biÕn d¹ng bëi hÖ Zk 0

nhng v« ®Þnh. Cã thÓ cho Zk mét gi¸ trÞ nµo ®ã (vÝ dô zk = 1) råi t×m c¸c zk cßn l¹i theo hÖ

ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c.

* VÝ dô 3.2 : Cho khung nh h×nh vÏ (3 – 7) , t×m Pth ?

Gäi i = l

EJ . C¸c biÓu ®å ®¬n vÞ nh h×nh vÏ. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh:

D = 2221

1211

rr

rr = r11r22 – r2

12 = 0

r11 = 7,5i ; r12 = r21 = 1,5l

i ; r22 =

2l

i(1,5 – v2 )

7,5V2 – 9 = 0 V2 = 1,2 ; Pth = 1,22l

EJ

§H- 85 -

m2

z1=1p

m1

l

l

p

2j

j j/2

p z1

z2

6i

1,5i

z2=1

z1p 1,5i/l

* VÝ dô 3.3: Cho hÖ nh h×nh vÏ (3.8), t×m Pth ?

§H- 86 -

4 i0

l

z1 z2

z2=1z1=1 p3i0 0,8p

4i0

8j0

2i0

4 i0

3

2(v2)

m 1 m 2

32 i0

2(v1)4 i0

8i0

pb

c

d

a0,8p

j

j j

j

e

l l

Gäi i0 = l

EJ ;

- Thanh biÕn d¹ng v2 = lEJ

P8,0 = v0

§H- 87 -

- Thanh CE v1 = lEJ

P = V0

= 8,0 = 0,894

Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : D = 2221

1211

rr

rr = 0

r11 = 11i0 + 4i0 2 (v0) ;

r22 = 8i0 + 4i0 2 (v0) ;

r12 = r21 4i0

HoÆc :

4i02 [42 (v0) + 11] [2 (v0) + 2] = 16i0

2

T×m nghiÖm b»ng c¸ch thö dÇn :

v, < v0 < v,,

T×m v, tõ cho v1 = v2 = v0 , suy ra v, = 5,46

T×m v,, tõ cho v1 = v2 = v0 , ta cã v0 – 5,46

§H- 88 -

Vµ v,, =

46,5 = 6,1 nªn 5,46 < v0 < 6,1.

Khai triÓn ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :

2 (v0) .2 (v0) + 22 (v0) + 2,752 (v0) + 4,5 = 0

gäi vÕ tr¸i lµ , nÕu v0 = 5,46 th× > 0

v0 = 6,1 th× < 0

Chän v0 = 5,8 ; 1 = -2,54 ta l¹i chän 5,46 < v0 < 5,8

Uèi cïng ta cã : V0 = 5,56

Pth = 30,92l

EJ

§H- 89 -

Bµi tËp

III.1. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.1.

III.2. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.2. Cho biÕt: EI = const

H×nh III.1 h×nh III.2.

§H- 90 -

III.3. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ trªn h×nh III.3. Cho biÕt: EI = const

III.4. Cho hÖ chÞu lùc P nh trªn H×nh III.1

H×nh III.3 H×nh III.4

T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña P t¬ng øng víi hai trêng hîp:

a) khi k = 1;

b) khi k = .

§H- 91 -

III.5. Cho hÖ chÞu c¸c lùc P nh trªn h×nh III.5. T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P.

H×nh III.5

III.6. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.6, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt: EI = const.

III.7. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.7, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P.


§H- 92 -

III.8. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.8, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt c¸c thanh ngang

cã ®é cøng EA = .

III.9. Cho hÖ chÞu lùc nh trªn h×nh III.9, t×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña lùc P. Cho biÕt c¸c thanh xiªn

AB vµ CD cã ®é cøng E1A1 = 2

2

40

h

EI .

H×nh III.8

III.10. Cho hÖ chÞu lùc t¸c dông ®èi xøng nh trªn h×nh III.10. LËp ph¬ng tr×nh æn ®Þnh vµ t×m

gi¸ trÞ tíi h¹n cña P khi k = 2 ; l = 2h.

§H- 93 -


III.11. Cho çc dÇm liªn tôc chÞu lùc nh trªn çc h×nh III.11a, b, c, d. T×m gi¸ trÞ tíi h¹n cña P.

Cho biÕt çc nhÞp dÇm cã chiÒu dµi nh nhau vµ b»ng l ; EI = const .

H×nh III.11

§H- 94 -

III.12. T×m lùc tíi h¹n cho hÖ chÞu lùc P nh trªn h×nh III.12. Cho biÕt: EI = const ; thanh ngang

CD cã ®é cøng EA = .

§H- 95 -

4. æn ®Þnh dÇm vµ dµn

4.1. æn ®Þnh dÇm liªn tôc

a. Dïng ph¬ng tr×nh 3 m« men

Dïng ph¬ng ph¸p lùc ®· tr×nh bµy trong ch¬ng 3.

pki-1

li+1li

ki p pki+1

i-1m m i i+1m

p

p

Ph¬ng tr×nh 3 m« men cho gèi i :

i(i-1)Mi-1 + iiMi + i(i+1)Mi+1 = 0

§H- 96 -

XÐt ®o¹n dÇm :

li li+1

p

i-1m =1

i( i-1)

m i

p

p

i+1m

=1 p

i i+1

i(i+1)=1

ii= i+1 i

m i+1imm i-1

i(i-1) = i

vii

EJ

l

6

)(; i(i+1) =

1

1

6

i

i

EJ

l(vi+1) ii =

i

i

EJ

l

3(vi) +

1

1

3

i

i

EJ

l(vi+1)

vi = lii

i

EJ

Pk;i = li

iJ

J 0

§H- 97 -

Ta cã : (vi)Mi-1 + 2[i(vi) + i+1(vi+1)]Mi + i+1(vi+1)Mi+1 = 0

ViÕt ph¬ng tr×nh 3 m« men cho gèi tùa trung gian vµ suy ra ph¬ng tr×nh æn ®Þnh tõ Mi 0.

* VÝ dô 4.1: T×m Pth cho dÇm sau :

e j = c o n s t0

l

p32

l l

1

Lóc nµy = l ; v = lEJ

P. ViÕt ph¬ng tr×nh 3 m« men cho hai gèi 1 vµ 2. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh

: D = )()(

)()(

4

4

vv

vv

= 0.

Khai triÓn 4(v) + (v) = 0 mÊt æn ®Þnh ®èi xøng.

V = 5,14 ; Pth = 26,422l

EJ

Khi 4(v) - (v) = 0 mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph©n xøng.

§H- 98 -

V = 3,88 ; Pth = 15,052l

EJ

VÒ vËt lý dÇm còng cã thÓ mÊt æn ®Þnh nh h×nh vÏ :

M1 = M2 = 0. T¬ng tô thanh 2 ®Çu tùa khíp :

V = ; Pth = 22l

EJ : ®©y lµ Pth nhá nhÊt.

b. Dïng ph¬ng ph¸p chuyÓn vÞ.

T¬ng tù nh trong phÇn khung

k + 1k1 p0

pz 1 z k z k+ 1

n

Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c thø K :

rk1x1 + … rkmxm + … rknxn = 0.

§H- 99 -

Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh D = rkm= 0.

Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh cã ®îc tõ ®iÒu kiÖn zk 0.

Víi dÇm liªn tôc cßn x¶y ra trêng hîp mÊt æn ®Þnh khi zk = 0.

* VÝ dô 4.2 : T×m Pth cho dÇm sau :

Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c :

r11z1 = 0

Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : r11 = 0 r11 = 1

13

l

EJ(v1) +

2

23

l

EJ1(v2)

6

2p p

j 1,5j1

9

p2p z1=1

§H- 100 -

v1 = l11

2

EJ

P ; v2 = l2

15,1.

3

JE

P = 1,5l1

1

2

EJ

P = 1,5v1

Vµ ph¬ng tr×nh æn ®Þnh 1(v1) + 1(1,5v1) = 0.

B»ng thö dÇn : v1 = 2,355 Pth = 2

55,5 2

26

EJ (v× P1 = 2P)

4.2. æn ®Þnh çc thanh chÞu nÐn trong dµn

Víi çc thanh dµn kh«ng c¾t qua thanh nµo, ta tÝnh æn ®Þnh nh thanh 2 ®Çu tùa khíp; víi

thanh dµn c¾t cÇu qua 1 thanh hoÆc 2 thanh, ta tÝnh nh thanh ®Æt trªn gèi tùa ®µn håi; NÕu c¾t

sè thanh lín h¬n, ta coi nh çc thanh n»m trªn nÒn ®µn håi vµ sÏ nghiªn cøu sau ®©y.

l/3l/3l/3

j p

p

l/2 l/2

j j

j j

§H- 101 -

a. DÇm 2 nhÞp cã gèi tùa trung gian ®µn håi

Dïng ph¬ng ph¸p chuyÓn vÞ. Ph©n tÝch thµnh 2 trêng hîp ®èi xøng vµ ph¶n xøng.

l1l1=l/2

p

* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng : z1 0 cßn z2 = 0.

§H- 102 -

pz2

1(v)3i/li

3i1(v)

z2=1

1(v)3i

m1

m2

Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh r11 = 0; Lùc c¾t ®Çu thanh : 2

1

3

l

i1(v)

§é cøng liªn kÕt ®µn håi lµ C th× : r11 = 2. 2

1

3

l

i1(v) + C = 0.

Víi v = l1EJ

P =

2

l

EJ

P ; 1(v) = -

EJ

cl

48

3

.

§H- 103 -

Chó ý : i = 1l

EJ = 2.

l

EJ. Cã C ta sÏ t×m ®îc v vµ suy ra Pth.

* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng.

Lóc nµy z1 = 0 ; z2 0. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh : r22 = 0. hoÆc 2.3i1(v) = 0.

Ta cã 1(v) = 0 vµ V = ; Pth = 22

1l

EJ = 42

2l

EJ.

BiÓu ®å quan hÖ gi÷a ®é cøng gäi ®µn håi C vµ tØ sè lùc tíi h¹n vµ lùc ¥le nh h×nh vÏ

Khi C <1622l

EJ ; Pth = 4P¬le thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng kh«ng phô thuéc C.

Khi C > 1622l

EJ thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng.

Gäi EJ lµ ®é cøng thanh chÞu nÐn, EJ1 lµ ®é cøng thanh c¾t ngang. HÖ sè C chÝnh lµ lùc

cÇn t¸c dông t¹i gi÷a nhÞp thanh c¾t sao cho t¹i ®ã cã chuyÓn vÞ b»ng 1.

HoÆc = 1

3

48EJ

cl = 1. Suy ra C =

3

148

l

EJ

§H- 104 -

Thay vµo 1(v) = - J

J1 cã tØ sè J

J1 suy ra v vµ Pth = 22)( l

EJ

.

HÖ sè theo b¶ng.

J

J1 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1 2 3 2/3

0,95 0,912 0,845 0,818 0,793 0,75 0,71 0,58 0,516 0,50

Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng :

Pth = 422l

EJ tøc = 0,5 hay

J

J1 = 3

2.

Tøc J

J1 < 3

2 thanh mÊt æn ®Þnh ®èi xøng ;

Cßn J

J1 >3

2 thanh mÊt æn ®Þnh ph¶n xøng.

= 0,5 kh«ng ®æi dï ta t¨ng ®é cøng thanh c¾

b. Thanh liªn tôc 3 nhÞp 2 gèi ®µn håi

§H- 105 -

Dïng khi thanh dµn c¾t qua hai thanh.

* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng hÖ c¬ b¶n nh h×nh 4 – 10.

l0

l

p

1= 1

1

p z2=1

p

p

l0 l0 l0

z2

l0/2

§H- 106 -


D = 2221

1211

rr

rr = 0; v = l0

EJ

P =

3

l

EJ

P.

§Æt f = 5Cl03/6EJ =

EJ

cl

162

5 3

r11 = 30

3

l

EJ1(v) + C =

30

3

l

EJ[1(v) +

5

2f]

r22 = 0

3

l

EJ1(v) +

0

2

l

EJ

2

2v

tg

v

= 0

3

l

EJ[1(v) +

3

2

2

2v

tg

v

]

r12 = r21 = 20

3

l

EJ1(v) thay vµo D vµ khai triÓn

§H- 107 -

f = 2

5

2

3

1

]

2

3

1[

)(1

)(1)(12

)(1

vtg

v

vtg

v

v

vvv

Khi cã C, tøc cã f, sÏ suy ra v ; Pth = 9v22l

EJ = 2

2)( l

EJ

; =

v3

.

Chó ý : l0 = 3

l.

* Khi mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng. Ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :

D = 2221

1211

rr

rr = 0

§H- 108 -

z2=1p

1

= 11

p

l0 l0/2

z2p

m 2

m 1

r22 = 0

3

l

EJ[1(v) + 21(

2

v) ] r12 = r21 =

20

3

l

EJ[1(v) - 41(

2

v) ]

r11 = 30

3

l

EJ1(v) +

30

24

l

EJ1(

2

v) + C =

30

3

l

EJ[1(v) + 81(

2

v) +

5

2f] thay vµo D khai triÓn :

f = 2

5

)2

(2

)]2

(2)].[2

(8[)]2

(4[

1)(1

1)(11)(12

1)(1

v

vvv

v

vvv

§H- 109 -

Cã C suy ra f vµ t×m v vµ lùc Pth.

Gi¶ sö thanh c¾t qua cã chiÒu dµi l1 vµ ®é cøng EJ1 c¾t qua 2 ®iÓm. §é cøng C t×m tõ C =

1 trong ®ã lµ chuyÓn vÞ ®¬n vÞ.

EJ1* = EJ12 =

81

5 31l ; =

1

31

162

5

EJ

l ; C =

31

1

5

162

l

EJ;f =

162

5

1

3

EJ

cl =

J

J1

31

3

l

l.

l1l1/3l1/3l1/3

p=1 p=1

m1

§H- 110 -

Tuú theo f ta cã theo biÓu ®å quan hÖ nh h×nh vÏ 4.13. = v3

.

§êng cong I – khi thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ®èi xøng ; ®êng II – t¬ng øng khi

thanh mÊt æn ®Þnh theo d¹ng ph¶n xøng.

§Æc biÖt khi J1 = J ; l1 = l ; f = 1 vµ = 0,7.Pth = 22)7,0( l

EJ.

§H- 111 -

5. æn ®Þnh dÇm chÞu uèn ph¼ng

5.1. DÇm tiÕt diÖn ch÷ nhËt hÑp uèn thuÇn tuý

m m

z

n

n

l

x

z1

m2m

mz1

znz1

my1

mx1

z1

y

x

x1

y1

t

nz1

my1

a

v

§H- 112 -

2

2

dz

vd = -

xEJ

Mx1 ; 2

2

dz

ud = -

yEJ

My1 ; dz

d =

zGJ

Mz1 ; Jz = 3

3hb(1 – 0,03

h

b)

Tõ h×nh vÏ Mx1 = Mcos M

My1 = Msin M ; Mz1 = Msin Mdz

d.

Thay vµ dz

d =

zGJ

Mz1 .dz

du ;

2

2

dz

ud = -

yEJ

M

Cuèi cïng 2

2

dz

d + k2 = 0 k = M

zyGJEJ

1

NghiÖm : = Asinkz + Bcoskz. Thay biªn

z = 0 ; = 0 ; z = l ; = 0.

Ta ®îc : Mth = l

zyGJEJ

§H- 113 -

Chó ý : ®é vâng v trong mÆt ph¼ng uèn nhá bá qua nªn chØ ®óng víi tiÕt diÖn ch÷ nhËt bÑp.

Víi dÇm ng¨n 2 ®Çu : Mth = l

2zyGJEJ .

5.2. thanh ch÷ nhËt hÑp chÞu nÐn lÖch t©m

Mx1 = P(e + v) Pe = M; My1 = M + Pu

Mz1 = Mdz

du. Khi mÊt æn ®Þnh, chó ý tíi hai ph¬ng tr×nh :

l

z

ppe

EJy 2

2

dz

ud = - M - Pu ; GJz

dz

d = M

dz

du.

§H- 114 -

Vµ GJz. = Mu + C

Tõ ®iÒu kiÖn biªn : u = 0, = 0. Khi z = 0.

= zGJ

M.u’ ta ®îc ph¬ng tr×nh vi ph©n : u’’ + k2u = 0.

k2 = zy

z

GJEJ

PGJM 2

.

NghiÖm u = Asinkz + Bcoskz Vµ Mth2 + Pth.GJz = 2

2l

EJ y GJz.

NhËn xÐt : NÕu e = 0 ; Mth = 0 Pth = 22l

EJ y .

Pth = 0 ; Mth = l

zyGJEJ .

NÕu e 0 Pth2l2 + Pth.GJz =

2

2

l

EJy.GJz.

§H- 115 -

5.3. thanh ch÷ nhËt hÑp chÞu uèn ngang ph¼ng

a. DÇm trªn hai gèi tùa

Ph¶n lùc ®øng 2

P; ph¶n lùc m« men xo¾n

2

Pz.

Mx1 = 2

Pz ; My1 = Mx =

2

Pz.;

Mz1 = Mx dz

du +

2

P( - u) =

2

Pz.

dz

du +

2

P( - u)

EJy. 2

2

dz

ud = -

2

Pz.

GJz. dz

d =

2

Pz.

dz

du +

2

P( - u)

BiÕn ®æi ta ®îc : 2

2

dz

d + k2z2 = 0. k2 =

yz

th

EJGJ

P

4

2

nghiÖm dïng chuçi v« h¹n.

§H- 116 -

= C0 + C1z + C2z2 + . . . + Cnzn

n

z

l/2 l/2

ux

z

Thay vµo ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ s¾p xÕp sè h¹ng, ta cã :

= C0[1-4.3

2kz4+

8.7.4.3

4kz8-

12.11.8.7.4.3

6kz12+. . .]+C1z[1-

5.4

2kz4 +

9.8.5.4

4kz8 – -

13.12.9.8.5.4

6kz12 + . . .]

§iÒu kiÖn biªn : z = 0 ; = 0 suy ra C0 = 0.

z = l/2 ; u = ; dz

du = 0 ;

dz

d = 0.

§H- 117 -

Cho C1 0 ta ®îc ph¬ng tr×nh æn ®Þnh :

(1 – a + 10

2a -

270

3a + . . .) = 0 ; a =

64

42lk =

zy

th

GJEJ

lP

256

42

NghiÖm nhá nhÊt : a = 1,126 ; Pth = 2

94,16

lzyGJEJ .

Gi¸ trÞ lùc tíi h¹n cßn phô thuéc vÞ trÝ lùc P theo chiÒu cao h cña dÇm. D cµng cao Pth

cµng gi¶m.

Khi P kh«ng ®Æt gi÷a dÇm ta còng lËp thµnh b¼ng :

Pth = 2l

KzyGJEJ .

b. §Çu ngµm ®Çu tù do

Mx1 = Mx = - Pz My1 = Mx = - Pz.

§H- 118 -

Mz1 = Mx dz

du - P( - u) = - Pz - P( - u)

HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n :

zu

y1

x1

x

y

EJy. 2

2

dz

ud = Pz

§H- 119 -

GJz. dz

d = - Pz.

dz

du - P( - u), hoÆc

2

2

dz

d + k2z2 = 0 ; k2 =

yz

th

EJGJ

P 2

.

Ta còng cã nghiÖm nh tríc víi ®iÒu kiÖn biªn

z = 0 ; u = nªn dz

d = 0.

Cã C1 = 0 ; khi z = l ; = 0. §Ó C0 0

Ta cã : 1 – a + 14

3a2 -

154

3a3 + … = 0.

a = 12

42lk =

zy

th

GJEJ

lP

12

42

. NghiÖm nhá nhÊt : a = 1,342 ;

Pth = 2

013,4

lzyGJEJ .

Khi dÇm chÞu t¶i ph©n bè ®Òu, ta còng tiÕn hµnh t¬ng tù:

§H- 120 -

(ql)th= 2

85,12

lzyGJEJ .

Cho dÇm 1 ®Çu ngµm 1 ®Çu tù do víi dÇm 2 ®Çu khíp chÞu t¶i ph©n bè ®Òu :

(ql)th= 2

3,28

lzyGJEJ .

DÇm 2 ®Çu ngµm chÞu lùc tËp trung ë gi÷a nhÞp : Pth = 2

6,26

lzyGJEJ .

5.4. DÇm tiÕt diÖn ch÷ i

Víi tiÕt diÖn dÇm ch÷ I ta cÇn ph©n biÖt xo¾n tù do khi kh«ng cã liªn kÕt vµ xo¾n kiÒm

chÕ khi cã liªn kÕt ng¨n c¶n. Khi xo¾n kiÒm chÕ :

Mz1 = M1 + M2

§H- 121 -

z

m z

q

lx

yy 1

x 1

x

q

q

- M1 do øng suÊt tiÕp M1 = GJ2dz

d ;

Mz1 = M1 + M2; J2 = 3

2bt3 +

3

1ht1

3

- M2 do lùc c¾t trong b¶n ®Õ 1 = 2

b.

- Gäi Jy* lµ m« men qu¸n tÝnh 1 b¶n ®Õ ®èi víi trôc y :

§H- 122 -

Jy*

2

yJ; Q = - EJy

*.3

13

dz

d = - EJy

*.2

h3

3

dz

d

a. DÇm uèn thuÇn tuý

Sau khi khö

4

4

dz

d -

2

1

a 2

2

dz

d -

4

1

d = 0

a2 = z

y

GJ

EJh

2

*2

d4 = 2

2*

2 th

yy

M

hEJEJ

NghiÖm = C1sinmz + C2cosmz + C3enz + C4e

-nz

b. Uèn ngang ph¼ng.

Mth = l

2GJEJ y 2

221l

a

1 – Khi ®Æt trªn 2 gèi tùa, P ë gi÷a nhÞp :

§H- 123 -

Mx1 = 2

Pz ; My1 =

2

Pz..

Mz1 = 2

Pz.

dz

du +

2

P( - u)

Ta cã hÖ: EJy. 2

2

dz

ud = -

2

Pz.; GJz.

dz

d - EJy

*.2

h3

3

dz

d =

2

Pz.

dz

du +

2

P( - u)

Khö u ; t×m nghiÖm díi d¹ng chuçi v« h¹n, vµ

Pth = 2l

KzyGJEJ ; K phô thuéc

a

1 tra b¶ng

2 – Thanh ®Çu ngµm ®Çu tù do : P ®Æt ë träng t©m tiÕt diÖn ®Çu tù do.

Còng lý luËn t¬ng tù ta cã :

Pth = 2l

KzyGJEJ ;

K phô thuéc 2

2

a

l. Chó ý lµ a2 =

z

y

GJ

EJh

2

*2

§H- 124 -

Trêng ®¹i häc kiÕn tróc hµ néi

Bé m«n søc bÒn vËt liÖu – c¬ häc kÕt cÊu Ts ph¹m v¨n trung

Bµi gi¶ng phÇn II

®éng häc c«ng tr×nh

Dïng cho sinh viªn ngµnh XD DD&CN

Hà nôi, 2014

§H- 125 -

1 . Më ®Çu

1.1. Khái niệm.

Các bài toán đầu tiên về dao động trong lĩnh vực cơ học kết cấu xuất hiện từ nữa thế kỹ

XIX. Tuy vậy sau thời kỳ đó các bài toán tĩnh vẫn thu hút được sự quan tâm của các nhà nghiên

cứu hơn so với các bài toán động. Cho đến nhũng năm 30 của thế kỷ XX môn Động lực học

công trình mới được coi như một phần riêng biệt của Cơ học kết cấu. Hiện nay, với tốc độ phát

triển mạnh của ngành xây dựng và công cụ tính toán hiện đại, đã thúc đẩy rất mạnh việc nghiên

cứu dao động của các công trình cũng như cơ học kết cấu nói chung. Trong khuôn khổ của tài

liệu này, tác giả chỉ đề cập đến những vấn đề rất cơ bản của lý thuyết dao động công trình: Dao

động của hệ có hữu hạn bậc tự do, dao động của hệ có vô số bậc tự do, sau đó vận dụng để tính

toán một số loại kết cấu thường gặp như: dầm, khung, dàn, vom,... Toàn bộ cuốn sách này trình

bày hạn chế trong phạm vi của lý thuyết dao động tuyến tính: Vật liệu làm việc trong miền đàn

hồi và tuân theo định luật Húc và tính toán theo sơ đồ không biến dạng.

§H- 126 -

1.2. Tác dụng tỉnh và tác dụng động.

Trong thực tế, hầu hết các tác động tác dụng lên công trình điều mang đặc tính động: ví dụ

như: gió, sóng, động đất, người, máy móc, phương tiện, công cụ …

Dưới tác dụng của các nguyên nhân này công trình sẽ bị chuyển động. Mặc dù các chuyển vị

phát sinh trong hệ kết cấu là không lớn, nhưng vận tốc và chủ yếu là gia tốc chuyển động có thể

đạt đến giá trị đáng kể, gây nên lực quán tính tác động lên công trình. Đây cũng chính là sự

khác nhau giữa tác dụng tỉnh và tác dụng động.

Tác dụng tỉnh là tác dụng không kèm theo lực quán tính.

Tác dụng động là tác dụng có kèm theo lực quán tính.

1.3. Dao động và cộng hưởng.

Tác dụng động vào công trình, làm có công trình dao động. Nếu tác dụng động lặp có tính

chất chu kỳ thì trong những điều kiện xác định dẫn đến việc bổ sung nặng lượng cho hệ kết cấu,

Biên độ dao động sẽ tăng dần cùng với việc tăng cường độ của lực quán tính gây phá hoại công

trình. Đó là hiện tượng cộng hưởng.

§H- 127 -

Với mỗi hệ kết cấu công trình hiện tượng cộng hưởng phụ thược vào chu kỳ dao động T của

lực tác động chứ không phải tải trọng tác dụng trung bình Ptb.của tác động P(t).

t

P

Ptb

Hình 1.1 1.4. Dao động và các ứng dụng.

Khắc phục hiện tượng cộng hưởng, giảm rung, giảm chất cho công trình.

Ứng dụng hiện tượng rung do lệch tâm để chế tạo các thiết bị, công cụ phục vụ lao động sản

xuất và cuộc sống: đầm rung, sàng tuyển vật liệu rời, khoan búa, dụng cụ thẻ thao, chữa bệnh

Động lực học công trình là một phần của môn cơ học kết cấu nghiên cứu về các loại tải

trọng động tác dụng lên công trình và các phản ứng của công trình dưới tác dụng của tải trọng

đó.

§H- 128 -

1.5. Dạng tải trọng.

Như trong giáo trình cơ học lú thuyết và sức bền vật liệu ta đã biết: Tải trọng động là tải

trọng khi tác dụng kèm theo lực quán tính. Trong thực tế ta thường gặp một số dạng tải trọng

động sau:

1.5.1. Tải trọng có vị trí không đổi và trị số thay đổi theo thời gian.

Tải điều hòa: khi mô tơ đặt trên dầm khi hoạt động sẽ tác dụng lên dầm một lực

0 sin rtt

P P P .

pt

Hình 1.2

§H- 129 -

Tải va chạm: 0

0

:

0 :t

P khi t tP

khi t t

Tải không đổi đặt tức thời: 0

0

0 :

:t

khi t tP

P khi t t

1.5.2. Tải trọng thay đổi theo thời gian và một biến không gian.

Tải trọng di động có trị số không đổi: ,z tP P .

Tải trọng di động có trị số thay đổi: ,sin rt

z t zP P P .

1.5.3. Tải trọng do gió động (Khí động)

Áp lực của dòng khí quyển chuyển động tác dụng lên bề mặt công trình:

Áp lực tỉnh:

Áp lực động:

1.5.4. Tải trọng do dòng chảy( thủy động).

Áp lực của dòng nước chuyển động tác dụng lên bề mặt công trình:

Áp lực tỉnh:do áp lực của chiều cao cột nước

§H- 130 -

Áp lực động: do tác dụng của sóng

1.5.5. Tải trọng động đất.

Tải trọng do bề mặt quả đất chuyển động dưới tác dụng của sóng địa chấn.

1.6. Dạng dao động, phân loại dao động.

1.6.1. Phân loại dao động theo dạng dao động.

Dao động hình sin.

Dao động phức tạp có chu kỳ.

Dao động có cản (giảm dần)

Dao động tăng dần.

Dao động nhiễu loạn.

§H- 131 -

t

y

AA

t

y T

Hình 1.3 Hình 1.4

t

y

t

y

Hình 1.5 Hình 1.6

1.6.2. Phân loại theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao động

Dao động tự do.

Dao động cưỡng bức.

§H- 132 -

Tự dao động.

Dao động ngẫu nhiên.

1.6.3. Phân theo sự tồn tại hay không tồn tại lực cản.

Dao động không cản.

Dao động có cản

1.6.4. Phân theo bậc tự do của hệ.

Dao động của hệ có một bậc tự do.

Dao động của hệ có một số bậc tự do.

Dao động của hệ có vô hạn bậc tự do.

1.6.5. Phân theo biến dạng khi dao động.

Dao động ngang.

Dao động dọc.

1.6.6. Phân theo dạng phương trình vi phân mô tả dao động.

Dao động tuyến tính.

§H- 133 -

Dao động phi tuyến.

1.6.7. Phân theo khả năng thay đổi các thông số của hệ.

Dao động không có thông số.

Dao động có thông số.

1.7. Các phương pháp tính toán

1.7.1. Phương pháp chính xác.

Phương pháp này dựa trên cở sở những nguyên tắc cân bằng của lực tỉnh học có bổ sung

thêm lực quán tính viết theo nguyên lý D’alămpe. Như vậy các phương trình cân bằng tỉnh học

trở thành các phương trình cân bằng động học. Đối với hệ phẳng các phương trình cân bằng

động học có dạng:

2 2 2

2 2 20; 0; 0;u

U

d X t d Y t d tX m Y m M m

dt dt dt

§H- 134 -

1.7.2. Phương pháp gần dúng. Bao gồm các phương pháp:

Phương pháp năng lượng. Phương pháp này được xây dựng trên cơ sở định luật bảo

toàn năng lượng của hệ đó. Tổng thế năng và động năng của hệtrong quá trình dao động là

không đổi:

constK U

Các phương pháp số.

Phương pháp hạ số bặc tự do.

Phương pháp chuyển về hệ một bậc tự do.

1.7.3. Phương pháp đúng dần.

1.8. Nhiệm vụ nghiên cứu của môn học.

Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng của các công trình chịu tải trọng động, tránh các khả

năng xãy ra hiện tượng cộng hưởng làm hư hỏng công trình.

§H- 135 -

Kiểm tra độ bền: Xác định nội lực động do tải trọng động gây ra để căn cứ vào đó kiểm

tra độ bền của hệ kết cấu. đảm bảo ứng suất lớn nhất xuất hiện trong hệ kết cấu công

trình không lớn hơn giá trị cho phép.

Kiểm tra độ cứng: Xác định chuyển vị động để từ đó kiểm tra độ cứng của hệ kết cấu

công trình đảm bảo công trình không có chuyển vị lớn hơn chuyển vị cho phép, mặt khác

còn tìm các biện pháp xử lý đối với công trình bị rung động. nghiên cứu cách giảm rung

hiệu quả nhất.

Lập mô hình nghiên cứu dao động.

Xử lý phản ứng.

1.9. Bậc tự do của hệ đàn hồi.

Bậc tự do của hệ đàn hồi là số thông số độc lập cần thiết để xác định được vị trí của tất cả

các khối lượng trên hệ đó: Hệ một bậc tự do ( Hình 1.6), Hệ hữu hạn bậc tự do (Hình 1.7), Hệ

vô số bậc tự do (hình 1.8)

§H- 136 -

m

m

m

Hình 1.6

m

mmm

Hình 1.7

m

m

Hình 1.8

§H- 137 -

2 . Dao ®éng cña hÖ mét bËc tù do

2.1 Xây dựng phương trình vi phân dao động tổng quát hệ một bậc tự do.

2.2.1. Các lực tác động và các tham số cơ bản của hệ động học.

Xét một mô hình đơn giản cho trên hình 1.1. Hệ gồm một khối lượng M chịu tác dụng của

tải trọng động thay đổi theo thời gian P(t). Hệ được gắn với vật bất động bằng một lò xo đàn

hồi không trọng lượng với độ cứng k và một bộ giảm chấn (Cản nhớt) c biểu thị sự tiêu hao

năng lượng trong quá trình dao động. Khối lượng M được đặt trên các con lăn để đảm chỉ

chuyển động theo phương ngang.

Các tham số vật lý cơ bản của hệ động học cho ở hình trên cũng như mọi hệ kết cấu bất kỳ

dao động tuyến tính bao gồm: khối lượng của hệ, các tính chất đàn hồi của hệ như: độ cứng, độ

mềm, có đặc trung tiêu hao năng lượng trong quá trình dao động và các nguồn kích động cũng

như các tác động từ bên ngoài.

§H- 138 -

2.2.2. Dao động riêng.

Xét hệ một bậc tự do dạng một khối lượng tập trung m như hình vẽ.

Lực tập trung tP tác dụng theo phương thẳng đứng.

Lực quán tính là my ;

Lực cản của môi trường là cy ;

psinrt

y (t) m

EI

Hình 2.1

Phương trình cân bằng động:

0;t

cy my P (2.1)

§H- 139 -

Khi xét dao động riêng ta chưa kể đến tải trọng ngoài tP ta có:

0;cy my (2.2)

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất dạng:

1 2sin cos ;t

y C t C t (2.3)

Trong đó: ;c

m

11 11

1;

t

g g

P y

là tần số dao động góc.

p=1

EI 1

1

M1

Hình 2.2

1 2;C C là các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện ban đầu:

§H- 140 -

Chuyển cị ban đầu: 00;

ty y

Vận tốc ban đầu: 00

;t

y y

Chu kỳ dao động là khoảng thời gian thực hiện 1 dao động: 2

;T

Tần số dao động là số dao động thực hiện trong 1 đơn vị thời gian:1

;fT

Nghiệm của 2 có thể viết dưới dạng:

sin ;t

y A t (2.4)

Trong đó: 2 2

1 2 ;A C C là biên độ dao động.

2

1

;C

artgC

Pha ban đầu của dao động.

2 0, 2 ;t n pha của dao động.

Thật vậy: sin sin cos sin cos ;t

y A t A t A t

§H- 141 -

2 2 2

1 2 1 2

1

cos ; sin ; ;C

A C A C A C C artgC

Dùng điều kiện ban đầu ta tìm được: 0

1 2 0; ;y

C C y

nên:

2

200 ;

yA y

và

00sin cos ;

t

yy t y t

(a)

Lấy đạo hàm và chia hai vế cho ta được:

00cos sin ;

ty y

t y t

(b)

Lấy bình phương hai vế của (a) và (b) và cộng theo vế và rút gọn ta có

2 22 20

0 const;t

t

y yy y

§H- 142 -

yyo

yo

y

t

y

AA

T

Hình 2.3

2.2 Dao động cưỡng bức

2.2.1. Xét trường hợp tải trọng điều hòa: 0 sin ;t

P P t

Phương trình vi phân chuyển động có dạng:

0 sin ;my cy P t (2.5)

§H- 143 -

Đây là phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất nên nghiệm tổng quát của phương

trình (5) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất cộng với một nghiệm riêng của

phương trình không thuần nhất.

Tìm nghiệm riêng của (5) dưới dạng:

2sin sin ;

ty Y t y Y t (2.6)

Thay (2.6) vào (5) và giản lược sin t ta có:

2 2

0 0sin sin sin ;mY t cY t P t mY cY P (2.7)

Ta có : 0 02 2 2

;P P

Ym c m

(2.8)

Thay (8) vào (6) ta được:

0

2 2sin sin ;

t

Py t A t

m

(2.9)

Khi ;y Đây là hiện tượng cộng hưởng

§H- 144 -

Miền cộng hưởng là khu vực từ 2

đến

3

2

như hình vẽ:

y

Hình 2.4

2.2.2. Hiện tượng cộng hưởng.

Xét phương trình (5) trong trường hợp có dạng:

0 sin ;my cy P t (2.9)

Tìm nghiệm riêng của (2.9) dưới dạng:

§H- 145 -

sin ;t

y kt t (2.10)

Thay (2.10) vào (2.9) ta có:

20sin 2 sin sin sin ;mk t t t ckt t P t

Với: 2

02 sin sin ;c m mk t P t

Ta có: 0 0 ;

2 2

P Pk

m mc

Do đó: 0 sin sin ;

2t

Py t t at t

mc (2.11)

§H- 146 -

t

y

Hình 2.5

Đồ thị có dạng tăng theo thời gian không giới hạn.

Nghiệm tổng quát của (5) có dạng:

0

1 22 2sin sin cos ;

t

Py t C t C t

m

(2.12)

Dùng điều kiện ban đầu khối lượng m ở vị trí cân bằng không có độ lệch:

§H- 147 -

0 0 00; 0; 0;t y y

Ta tìm được hai hằng số tích phân :

0

1 22 2; 0;

PC C

m

Nghiệm (2.12) có dạng:

0

2 2sin sin ;

t

Py t t

m

Biến đổi biểu thức trong ngoặc đơn:

sin sin 2 cos sin sin ;2 2

t t t t t

§H- 148 -

Khi ta bỏ qua số hạng sin t và xem2

hàm sin

2t

biến

đổi chậm so với cos cos2

t t

Ví dụ: 7; 8; Biên độ dao động thay đổi theo chu kỳ, Hiện tượng phách điều hòa của dao

động.

t

y

14sin(0,5t)

14sin(0,5t)

14cos(7,5t)sin(0,5t)

Hình 2.6

§H- 149 -

2.2.3. Dao động dưới tác dụng của xung tức thời.

Xung đặt tức thời vào khối lượng có cường độ I (va chạm)

Giả thiết rằng khoảng thời gian tác dụng của lực nhỏ đến mức hệ kết cấu công trình không

kịp phản ứng, nghĩa là xem 0.I m y

Nếu tại thời gian 0t khối lượng m ở trạng thái tỉnh thì điều kiện ban đầu sẽ là:

0 0; 0 ;I

y ym

Sử dụng nghiệm của trường hợp dao động riêng: 1 2sin cos ;t

y C t C t

Với điều kiện ban đầu trên ta có: 2 10; ;I I

C Cm mc

Phương trình dao động có dạng sin sin ;I

y t t A tmc

(2.13)

§H- 150 -

t

y

Hình 2.7

Lực không đổi đặt tức thời có cường độ P

Xét trường hợp lực không đổi có cường độ const;P đặt tức thời;

Ta tìm nghiệm dưới dạng: 1 2sin cos ;t

Py C t C t

c (2.14)

Từ điều kiện ban đầu: 0 0; 0 0;y y

§H- 151 -

Ta có: 2 10; ;P

C Cc

Do đó 1 cos ;P

y t tc

(2.15)

t

y

P/c

P/c

Hình 2.8

Chuyển vị lớn nhất bằng 2P

c gấp hai lần trường hợp tác dụng tỉnh tuyến tính. Trong bài

toán tuyến tính ứng suất và biến dạng gấp hai lần so với tác dụng tỉnh.

§H- 152 -

2.2.4. Dao động dưới tác dụng của lực thay đổi theo quy luật bất kỳ.

Trong trường hợp tổng quát dó tải trong tP tác dụng, nghiệm riêng của phương trình

chọn dưới dạng:

*

0

1y sin ;

t

P t dm

(2.16)

Có thể tìm nghiệm theo phương pháp biến thiên hằng số Lagrang, ở đây ta đặt (2.16) vào

phương trình tổng quát:

tmy cy P (a)

*

0

*

0

1cos ;

1sin ;

t

t

y P t dm

y P t dm m

(b)

Thay (b) vào (a) thõa mãn sự cân bằng:

§H- 153 -

0 0

1sin ( ) cos ( )

t tc

m P t d m P t P t d P tm m m

nghiệm riêng *y có tính chất sau * *y 0 y 0

Nghiệm toàn phần phương trình dao động của hệ đàn hồi một bậc tự do chịu tải trọng có

quy luật bất kỳ có dạng:

0

1cos sin cos

t

oo

yy t y t t P t d

m

(2.17)

§H- 154 -

3 . hÖ cã h÷u h¹n bËc tù do 3.1 . Hệ phương trình dao động.

Xét hệ có n bậc tự do có n khối lượng tập trung im ; i=1, 2, 3, …,n. tương ứng với nó là n

chuyển vị độc lập cần xác định i ty . Chịu n lực tập trung vào khối lượng i t

P tác dụng theo

phương của chuyển vị. Và n lực quán tính i im y tương ứng với chuyển vị i ty như hình vẽ. Nếu

thêm số chuyển vị là góc xoay quanh một điểm thì tương ứng với nó ta thay khối lượng bằng

mômen quán tính khối lượng đối với điểm đó.

p sinrt

mEI

p sinrt

m1 2

1 2 p sinrt

m i

i p sinrt

mn

n

y1

y2 y i

yn

Hình 3.1

§H- 155 -

Do đó ngoại lực tại điểm i là :

;i i ii tR P m y i=1, 2, 3, …,n. (3.1)

Biểu diễn dưới dạng véc tơ ta có:

;R P my

(3.2)

Trong đó:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

...

...

...

...

n

n

n

n

R R R R R

P P P P P

m m m m m

y y y y y

(3.3)

Phương trình cân bằng giữa nội lực và ngoại lực theo có học có dạng:

0;AN R

(3.4)

Trong đó: , ;i jA a là ma trận hệ số; i=1, 2, 3, …,n.

J=1, 2, 3,…, m. m số lượng nội lực trong các phần tử.

1 2 3 ... nN N N N N

véc tơ nội lực (3.5)

Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng

§H- 156 -

0; ;T TA U A U

(3.6)

Trong đó: 1 2 3 ... nU y y y y

véc tơ chuyển vị.

1 2 3 ... n

véc tơ biến dạng.

TA ma trận chuyển vị của A

Quan hệ giữa nội lực và biến dạng:

;N C

với C là ma trận độ cứng. (3.7)

Thay (3.7) vào (3.6) rồi vào (3.4) ta được:

;TACA U R

(3.8)

Chú ý thêm đến lực quán tính ta có:

;TACA U my R

(3.9)

Gọi: , ;Ti jACA

i,j=1, 2, 3, …, n.

Khai triển (3.9) ta có:

§H- 157 -

11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2

... ...

... ...

... ...

...

... ...

...

j j n n

j j n n

j j n n

i i i ij j in n i i i

n n n

y y y y y m y P

y y y y y m y P

y y y y y m y P

y y y y y m y P

y y

3 3 ... ...nj j nn n n n ny y y m y P

(3.10)

Mặt khác ta có thể thiết lập (3.10) theo trình tự như phương pháp chuyển vị.

Coi mỗi khối lượng tập trung như một nút có chuyển vị thẳng theo phương của lực tác

dụng và đặt một liên kết thanh cản trở chuyển động này ta có hệ cơ bản của phương pháp

chuyển vị. Nếu kể đến chuyển vị xoay thì ta tăng thêm ẩn số là chuyển vị xoay của nút.

Hệ phương trình chính tắc với ẩn số là các chuyển vị i ty có dạng

§H- 158 -

11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2

... ...

... ...

... ...

...

... ...

...

j j n n

j j n n

j j n n


n n n

y y y y y P m y

y y y y y P m y

y y y y y P m y

y y y y y P m y

y y

3 3 ... ...nj j nn n n n ny y y P m y

Cho 1i t

y và vẽ các biểu đồ iM ta xác định ,i j như các hệ số ,i jr

3.2 Giải hệ phương trình.

Nghiệm tổng quát của (3.10) là tổng của hai nghiệm: nghiệm tổng quát của hệ phương

trình thuần nhất (vế phải bằng 0: 0iP ) và nghiệm riêng của hệ phương trình không thuần nhất

(vế phải khác không: 0iP ).

Tìm nghiệm tổng quát dưới dạng:

§H- 159 -

2sin ; sin ;i i i i it i ty A t y A t (3.11)

Thay (3.11) vào (3.10) với 0iP , và sin 0it ta có:

211 1 12 2 13 3 1 1 1 1

221 1 22 2 23 3 2 2 2 2

231 1 32 2 33 3 3 3 3 3

21 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

... ... 0

... ... 0

... ... 0

...

... ... 0

...

.

j j n n

j j n n

j j n n

i i i ij j in n i i

n n n

A A A A A m A

A A A A A m A

A A A A A m A

A A A A A m A

A A A

2.. ... 0nj j nn n n nA A m A

(3.12)

§H- 160 -

211 1 1 12 2 13 3 1 1

221 1 22 2 2 23 3 2 2

231 1 32 2 33 3 3 3 3

21 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

... ... 0

... ... 0

... ... 0

...

... ... 0

...

...

j j n n

j j n n

j j n n

i i i ij i j in n

n n n nj j

m A A A A A

A m A A A A

A A m A A A

A A A m A A

A A A A

2... 0nn n nm A

Điều kiện để tồn tại dao động là:

211 1 12 13 1 1

221 22 2 23 2 2

231 32 33 3 3 3

21 2 3

21 2 3

j n

j n

j n

i i i ij i in

n n n nj nn n

m

m

m

D

m

m

(3.13)

§H- 161 -

Do ý nghĩa vật lý của bài toán, phương trình tần số (3.13) có n nghiệm thực.

1 2 3 ... ...i n

Tần số nhỏ nhất gọi là tần só dao động cơ bản của hệ.

Mọi tổ hợp tần số dao động riêng của hệ được gọi là phổ các tần số của hệ.

3.3 Dao động riêng chính.

Dạng dao động riêng có tính chất trực giao. Tại thời điểm t bất kỳ dạng (chuyển vị) của

kết cấu được xác định theo vị trí của các khối lượng im .

Nếu hệ có n bậc tự do, khi dao động chuyển vị của các khối lượng im phụ thuộc vào phổ

tần số.

Dao động quy ước của hệ ứng với tần số dao động riêng k nào đó gọi là dạng chính thứ k

của dao động.

Xét hai dạng chính thứ k và l ứng với k và l

Phương trình (3.12) ương với k có dạng:

§H- 162 -

211 1 12 2 13 3 1 1 1

221 1 22 2 23 3 2 2 2

231 1 32 2 33 3 3 3 3

21 1 2 2 3 3

21 1 2 2 3 3

...

...

...

...

...

...

...

k k k k kn n

k k k k kn n

k k k k kn n

k k k k ki i i in n i i

k k k k kn n n nn n n n

A A A A m A

A A A A m A

A A A A m A

A A A A m A

A A A A m A

(3.14)

Phương trình (3.12) ương với l có dạng:

§H- 163 -

211 1 12 2 13 3 1 1 1

221 1 22 2 23 3 2 2 2

231 1 32 2 33 3 3 3 3

21 1 2 2 3 3

21 1 2 2 3 3

...

...

...

...

...

...

...

l l l l ln n

l l l l ln n

l l l l ln n

l l l l li i i in n i i

l l l l ln n n nn n n n

A A A A m A

A A A A m A

A A A A m A

A A A A m A

A A A A m A

(3.15)

Trong hệ phương trình (3.14) ta nhân phương trình 1 với 1lA , phương trình 2 với 2

lA ,…

Trong hệ phương trình (3.15) ta nhân phương trình 1 với 1kA , phương trình 2 với 2

kA ,…

Chú ý đến ik k i ta thấy tổng vế tái của (3.14) và (3.15) sau khi đã nhân với các số trên là

bằng nhau. Vì vậy tổng các vế phải củng bằng nhau:

§H- 164 -

2 2

1 1

n nk l l k

k i i i l i i ii i

m A A m A A

(3.16)

Hay: 2 2

1

0n

k lk l i i i

i

m A A

Vì k l nên ta có: 1

0n

k li i i

i

m A A

Ta nói các dạng dao động riêng chính có tính chất trực giao.

3.4 Dao động cưỡng bức và cộng hưởng.

Giả sử tải trọng cưỡng bức có dạng điều hòa:

sin ;ii tP P t (3.17)

Thay (3.17) vào (3.10) và tìm nghiệm dạng

sin ;ii ty B t (3.18)

§H- 165 -

Thay (3.17) và (3.18) vào (3.10) và giản ước hai vế cho sin t ta có hệ phương trình xác

định iB

211 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1

221 1 22 2 23 3 2 2 2 2 2

231 1 32 2 33 3 3 3 3 3 3

21 1 2 2 3 3

1 1 2 2

... ...

... ...

... ...

...

... ...

...

j j n n

j j n n

j j n n


n n n

B B B B B m B P

B B B B B m B P

B B B B B m B P

B B B B B m B P

B B

23 3 ... ...nj j nn n n n nB B B m B P

Giải hệ phương trình này ta tìm được iB

Ta nhận thấy khi i là nghiệm của (3.12) thì 0D và biên độ tăng vô hạn xuất hiện hiện

tượng cộng hưởng

§H- 166 -

Ví dụ 1: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng cộng

hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ.

p sinrt

mEI

l/3 l/3 l/3

p sinrt

m1 2

1 2

41 22

2,1.10 ; 6 ; 6 ; 12

11 2 1,02 ; 50

KNE l m P KN P KN

cm

KNm m m r

m s

§H- 167 -

p sinrt

mEI

l/3 l/3 l/3

p sinrt

m1 2

1 2

y y1 2

1 2

l/3 l/3 l/3

y =11

3EIl 2

6EIl 2

6EIl 2

y =12

6EIl2

3EIl 26EI

l 2

§H- 168 -

3EIl 3

-12EIl 3

-12EIl 3

1121

12EIl 3

-3EIl 3

-12EIl 3

2212

1 2

1 2

8 8

11 3 3 3 3

8 8

12 213 3

8 8

22 3 3 3 3

3 12 15 15.2,1.10 .8880.1034965

2

12 12.2,1.10 .8880.1027972

2

3 12 15 15.2,1.10 .8880.1034965

2

EI EI EI

l l l

EI

l

EI EI EI

l l l

§H- 169 -

211 1 12

221 22 2

0;m

Dm

22 2

2 2

34965 1,02 27972 0

(6993 1,02 )(62937 1,02 ) 0

1

2

699382,8

1,02

62937248,4

1,02

Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng:

Tần số lực kích thích r=50;

Biên độ miền cộng hưỡng:

§H- 170 -

Lân cân

11

55, 282,782,8

110,41 3n

Lân cân

12

220,882,7248, 4

276,01 3n

y

r=5

0

Vẽ dạng dao động riêng từ hệ phương trình biên độ:

211 1 1 12 2

221 1 22 2 2

0

0

m A A

A m A

§H- 171 -

Cho A1=1 ta tính được A2

211 1

2

12

mA

Dạng 1;

2

1 2

34965 82,8 1,0282,8 1

27972A

mEI

m1 21 1

Dạng 2;

2

1 2

34965 248.4 1,02248.4 1

27972A

m

EI

m1 21

-1

§H- 172 -

Vẽ biểu đồ mômen động

11

12 12

22

2 2

34965

27972

34965

1,02*50 2550mr

Hệ phương trình xác định biên độ dao động

1 2

1 2

34965 2550 * 27972* 6

27972* 34965 2550 * 12

B B

B B

Giải phương trình ta có:

3 31 1

3 32 2

1,976*10 1,976*10 *sin

2,075*10 2,075*10 *sin

B y t

B y t

Tải trọng động tác dụng lên hệ kết cấu:

§H- 173 -

3 21

3 22

1 1 1

2 2 2

1,976*10 * *sin 4,94*sin

2,075*10 * *sin 5,19*sin

* 6 1,02*4,94*1 11,039

* 12 1,02*5,19*1 17, 294

y r rt rt

y r rt rt

R P m y KN

R P m y KN


26,248 30,418

26,248 30,418

§H- 174 -

Ví dụ 2: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng cộng

hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ.

p sinrt

m

EI

l l l

p sinrt

m1 2

1 2

4 41 22

2 2

1 2

2,1.10 ; 8880 ; 2 ; 6 ; 12

11,02 ; 2,04 ; 50 ;

KNE I cm l m P KN P KN

cm

KNs KNsm m r

m m s

§H- 175 -

l l ly y1 2

1 2

y =11

6EIl 2

6EIl 2

6EIl2 l 2

6EI

y =12

6EIl2

3EIl 26EI

l 2

§H- 176 -

6EIl 3

-12EIl 3

-12EIl 3

1121

3EIl 3

-12EIl 3

-12EIl 3

2212

1 2 1 2

8 8

11 3 3 3 3

3 12 24 24.2,1.10 .8880.1055944

2

EI EI EI

l l l

8 8

12 123 3

12 12.2,1.10 .8880.1027972

2

EI

l

8 8

22 3 3 3 3

3 12 15 15.2,1.10 .8880.1034965

2

EI EI EI

l l l

211 1 12

221 22 2

0;m

Dm

2 211 1 22 2 21 12

2 2 2

22 2

0

55944 34965 2 27972 0

2 146853 1173649176=0

m m

m m

m m

§H- 177 -

1

2

9126.3394,59

1,02

64300251,08

1,02

Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng:

Tần số lực kích thích r=50; Biên độ miền cộng hưỡng:

Lân cân 1

1

55, 282,782,8

110, 41 3n

Lân cân 1

2

220,882,7248, 4

276,01 3n

§H- 178 -

y

r=50

Vẽ dạng dao động riêng từ hệ phương trình biên độ:

211 1 1 12 2

221 1 22 2 2

0

0

m A A

A m A

Cho A1=1 ta tính được A2

211 1

2

12

mA

§H- 179 -

Dạng 1;

2

1 2

55944 94,59 1,0294,59 1,67

27972A

mEI

m1 2

1 1,6

7

Dạng 2;

2

1 2

55944 251,08 1,02251,08 0,30

27972A

m

EI

m1 2

1 -0,3

0


§H- 180 -

11

12 12

22

2 2

55944

27972

34965

1,02*50 2550mr

Hệ phương trình xác định biên độ dao động

1 2

1 2

55944 2550 * 27972* 6

27972* 34965 2*2550 * 12

B B

B B

Giải phương trình ta có:

3 31 1

3 32 2

0,634*10 0,634*10 *sin

0,996*10 0,996*10 *sin

B y t

B y t

Tải trọng động tác dụng lên hệ kết cấu:

§H- 181 -

3 21

3 22

1 1 1 1

2 2 2 2

0,634*10 * *sin 1,585*sin

0,996*10 * *sin 2, 490*sin

* 6 1,02*1,585*1 7,617

* 12 2,04*2, 490*1 17,080

y r rt rt

y r rt rt

R P m y KN

R P m y KN


§H- 182 -

8,4

63

4,5

14

2,2

57

15,1

82

1,2

65

17,7

13

R1

R2

19,9

70

5,7

79

23,6

45

§H- 183 -

3.5 Ph¬ng tr×nh vi ph©n tæng qu¸t x©y dùng trªn c¬ s¬ ph¬ng ph¸p lùc.

XÐt hÖ cã n bËc tù do nh h×nh vÏ.

p sinrt

m

EI

p sinrt

m1 2

1 2 p sinrt

m i

i p sinrt

mn

n

y1

y2 y i

yn

T¬ng tù hÖ mét bËc tù do viÕt cho khèi lîng thø k

1 1 1 2 2 2 ...kt k k kn n n kPy Z R Z R Z R

Thay Zk = -mky’’k lµ lùc qu¸n tÝnh.

1 1 1 1 2 2 2 2 ... 0kt k k kn n n n kPy m y R m y R m y R

§H- 184 -

3.5.1 Dao ®éng riªng khi kh«ng lùc c¶n.

Ph¬ng tr×nh vi ph©n lóc nµy sÏ lµ :

1 1 1 2 2 2 ... 0kt k k kn n n kPy m y m y m y

NghiÖm riªng :

2

sin ;

sin ;

kt k

kt k

y y t

y y t

Thay vµo ®¬n gi¶n cho sin t

2 2 21 11 1 2 12 2 1

2 2 21 21 1 2 22 2 2

2 2 21 1 1 2 2 2

1 ... 0

1 ... 0

.....

... 1 0

n n n

n n n

n n n nn n

m y m y m y

m y m y m y

m y m y m y

§H- 185 -

Chia hai vÕ cho 2 vµ ®Æt 2

1u

ta cã hÖ ph¬ng tr×nh c¬ b¶n

1 11 1 2 12 2 1

1 21 1 2 22 2 2

1 1 1 2 2 2

... 0

... 0

.....

... 0

n n n

n n n

n n n nn n

m u y m y m y

m y m u y m y

m y m y m u y

Khi hÖ dao ®éng 0ky nªn 0D gäi lµ ph¬ng tr×nh tÇn sè hoÆc ph¬ng tr×nh thÕ

kû.

Gi¶i ra ta cã 1 2 3; ; ; ... ;n

1 : gäi lµ tÇn sè c¬ b¶n. øng víi tÇn sè 1 : ta cã mét d¹ng chÝnh cña dao ®éng. T¬ng

tù trong c¬ häc kÕt cÊu ta cã thÓ ph©n tÝch thµnh d¹ng ®èi xøng hoÆc ph¶n xøng khi dao ®éng.

§H- 186 -

VÝ dô 3 :Cho dÇm nh h×nh vÏ víi m1= m2 = m. T×m c¸c tÇn sè dao ®éng riªng?

l l lm1 m2

Ph¬ng tr×nh tÇn sè cho bµi to¸n 2 khèi lîng lµ:

1 11 2 12

1 21 2 22

0m u m

Dm m u

Khai triÓn ta ®îc:

211 1 22 2 1 2 11 22 12 21 0u u m m m m

§H- 188 -

3 2 62

2

8 50

9 324

ml m lu u

EI EI

NghiÖm:

3 3

1 2

5 5; ;

6 18

ml mlu u

EI EI

1 13 3

6 18; ;

5

EI EI

ml ml

Hai d¹ng dao ®éng nh h×nh vÏ.

m1 m2

m1 m2

§H- 189 -

3.5.2 D¹ng chÝnh cña dao ®éng riªng

XuÊt ph¸t tõ ph¬ng tr×nh tæng qu¸t

sink k itt ty y

ChuyÓn vÞ tõng khèi lîng phô thuéc vµo tõng i kh¸c nhau nªn

k t

i t

y

y thay ®æi theo

t. Ta cã thÓ biÓu thÞ k ty chØ theo i .

D¹ng dao ®éng t¬ng øng víi mét tÇn sè i nµo ®ã gäi lµ d¹ng chÝnh thø i lóc ®ã :

sink k itt ty y (kh«ng cã dÊu tæng)

z1i

y1i

zki

yki

§H- 190 -

Vµ :

onstk t kt

iti t

y yc

Ta x¸c ®Þnh d¹ng chÝnh theo ®êng ®µn håi cña biªn ®é lùc qu¸n tÝnh.

2

K K KiZ m y

i t¬ng øng lµ :

2

1 1 1 2 2 2 ...

K t

i

K i K i n Kn ni

y

m y m y m y

§©y lµ c«ng thøc t×m i t¬ng øng mét d¹ng chÝnh ®· biÕt. C¸c d¹ng chÝnh cã mét tÝnh

chÊt quan träng lµ tÝnh chÊt trùc giao : C«ng ngo¹i lùc hay néi lùc ë d¹ng chÝnh nµy trªn chuyÓn

vÞ hoÆc biÕn d¹ng ë d¹ng chÝnh kh¸c b»ng kh«ng

§H- 191 -

3.5.3 Dao ®éng cìng bøc sint

P P rt

§a sè trêng hîp hay gÆp trong kü thuËt, ngêi ta ®a t¶i träng tP vÒ d¹ng gÇn ®óng

lµ hµm ®iÒu hoµ. Do vËy, viÖc nghiªn cøu dao ®éng víi lùc kÝch thÝch sinP rt lµ mét bµi to¸n

c¬ b¶n. ë ®©y ta xÐt trêng hîp c¸c lùc kÝch thÝch ®Òu thay ®æi theo mét chu kú.

sin ; sin ; sint t t

P P rt M M rt q q rt

vµ néi lùc, øng suÊt còng lµ hµm cña thêi gian :

; ; ;t t t t

M M N N Q Q

Víi hÖ sè nhiÒu bËc tù do khi tÇn sè r b»ng mét trong nh÷ng gi¸ trÞ nµo ®ã cña tÇn sè

dao ®éng riªng ®Òu ph¸t sinh hiÖn tîng céng hëng, khi r < ta chØ quan t©m tÇn sè c¬ b¶n

1. .

§H- 192 -

Khi hÖ sè æn ®Þnh do c¸c lùc c¶n nªn dao ®éng tù do mÊt vµ chØ cßn dao ®éng kÝch thÝch

.

Lùc t¸c dông trªn hÖ gåm : Lùc kÝch thÝch ;

Lùc qu¸n tÝnh K tZ .

Theo §alambe

1 21 2...k k k knt t n t kP t

S S Z S Z S Z S

Lóc æn ®Þnh c¸c yÕu tè ®Òu thay ®æi theo chu kú

Sk(t) = Sksinrt.

Lóc t¶i träng cùc ®¹i néi lùc còng ®¹t cùc trÞ

Sk = SkP + k1Z1 + k2Z2 +…+ knZn.

Skn néi lùc t¹i K do zn = 1 t¸c dông tÜnh g©y ra. Do kh«ng cã lùc c¶n ph¬ng tr×nh

thø k ®Ó x¸c ®Þnh lùc qu¸n tÝnh sÏ lµ :

§H- 193 -

1 1 2 2 2

1... ... 0k k kk k kn n kP

k

Z Z Z Zm r

Khi hÖ æn ®Þnh

2

sin .

sin .

.

kk t

kk t

k k k

y y rt

Z Z rt

Z m y r

Theo Crame .kk

DZ

D khi r = ®Þnh thøc D. ChÝnh lµ ph¬ng tr×nh tÇn sè D= 0 nªn zk=

, ta cã hiÖn tîng céng hëng.

VÝ dô 3: Cho P = 5 KN, n = 450 V/F, G = 10 KN, J = 8880 cm4, l = 6 m, g = 981cm/s2. Yªu

cÇu vÏ biÓu ®å m« men uèn ®éng. 2

5060

n lrs

§H- 194 -

pt=Psin rt

2 2 2mm1 m2

Theo thÝ dô 2.1.

8 8

1 3 3

8 8

2 3 3

6 6 2,1 10 8880 1052,37

5 5 1,02 2

18 18 2,1 10 8880 10202,82

1,02 2

EI

ml

EI

ml

2

2

109,8 ; 1,02

9,8m kNsg m

ms

HÖ ph¬ng tr×nh t×m biªn ®é lùc qu¸n tÝnh

§H- 195 -

*11 1 12 2 1

*21 1 22 2 2

0

0

P

P

Z Z

Z Z

3 34

11 22 8 8

3 34

12 21 8 8

8 8 21,907 10 ;

18 18 2,1 10 8880 10

7 7 21,668 10 ;

18 18 2,1 10 8880 10

l

EI

l

EI

* * 4 411 22 11 2 2

4 41 11

4 42 21

1 11,907 10 2,015 10 ;

1,02 50

5 1,907 10 9,535 10 ;

5 1,668 10 8,340 10 ;

P

P

mr

P

P

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta cã : z1 = 25.92 KN

§H- 196 -

z2 = 25.59 KN

54,233

58,287

p+z1=30,92

z2=25,59

41,227

20,113

34,12017,060

§H- 197 -

BiÓu ®å m« men ®éng

M® = 1Z1 + 2Z2+

Cã d¹ng nh h×nh vÏ

Khi kiÓm tra bÒn víi lµ biÓu ®å m« men do träng lîng cña khèi

lîng g©y ra.

3.6. Bài tập: Xác định tần số dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, Kiểm tra hiện tượng

cộng hưởng và vẽ biểu đồ mômen động cho hệ.

41 22

1 2

2,1.10 ; 2,4 ; 6 ; 12

11,02 ; 1,53 ; 50

KNE l m P P KN P KN

cm

KN KNm m m r

m m s

§H- 198 -

a.

p sinrt

m

EI

l l l

p sinrt

m1 2

1 2

b.

p sinrt

m

l l

p sinrt

m1 2

1 2

c.

p sinrt

m

EI

l l l

p sinrt

m1 2

1 2 p sinrt

m3

3

§H- 199 -

d.

l

l

p sinrt

m

§H- 200 -

4 Dao ®éng cña hÖ v« h¹n btd

4.1 Dang động ngang của dầm đàn hồi.

Xét nột dầm đàn hồi chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng phân bố theo thời gian như hình

vẽ:

EI

y(z,t)

z

y

m

Hình 4.1

Phương trình vi phân của dầm chịu uốn có dạng:

. ;IVEI y q (4.1)

Khi dầm chịu tải trọng động ta bổ sung thêm lực quán tính my :

. ;IVEI y my q t (4.2)

§H- 201 -

Khi nghiên cứu dao động riêng (không có tải trọng) ta cho q bằng không:

. 0;IVEI y my (4.3)

Sử dụng phương pháp tách biến ta tìm nghiệm (4.3) dưới dạng:

.y Y T (4.4)

Trong đó: ;Y Y z T T t

Thay (4.4) vào (4.3) ta được:

. . . 0; . . .IV IVEI Y T mY T EI Y T mY T (4.5)

Chia hai vế cho . .mY T ta nhận thấy hai hàm số theo hai biến khác nhau là không gian và

thời gian nhưng luôn bằng nhau vậy bằng hằng số C:

;IVEI Y T

C constm Y T

(4.6)

Do đó ta có:

( ). 0

( )0

IV aEI Y mCY

bT CT

(4.7)

§H- 202 -

Nghiệm của pt (b) tìm được sin ;T A t với C (4.8)

Phương trình (a) có dạng:

2. 0;IVEI Y m Y (4.9)

Trong trường hợp ; ;EI const m const Nghiệm của (3.8) có dạng

4

1

i zi

i

Y C e

(4.10)

Trong đó i là nghiệm của phương trình đặc tính:

2. 0;IVEI m

nhận các giá trị: 1,2 3,4; ;k k trong đó:2

4m

kEI

Ví vậy có thể đưa nghiệm của (4.10) về dạng

. . .sin .cos ;y A sh kz B ch kz C kz D kz (4.11)

Các hằng số A,B,C,D được xác định bốn điều kiện biên ở hai đầu dầm.

§H- 203 -

Để thuận tiện tính toán ta ký hiệu:

1 3 1 3 3 42 4; ; ; ;2 2 2 2

C C C C C CC CA B C D

(4.12)

Và đặt:

cos sin; ;

2 2

cos sin; ;

2 2

kz kz

kz kz

ch kz kz sh kz kzA B

ch kz kz sh kz kzC D

(4.13)

Khi đó (4.11) có dạng:

1 2 3 4kz kz kz kzy C A C B C C C D (4.14)

Thay vì phải xác định A, B, C, D trong (4.11) tác xác định C1, C2, C3, C4 trong(4.14) theo

điều kiện biên, các hàm , , ,kz kz kz kzA B C D được lập thành bảng.

Các điều kiện biên để xác định Ci, i=1-4.

0 00; ; ' ; ;o oM Qz y z y y z y y z y z

EI EI

§H- 204 -

Chú ý đến tính chất đặc biệt của các hàm , , ,kz kz kz kzA B C D

0 00 00; 0; 0; , 0;

' , ' , ' , ' ,kz kz kz kz kz kz kz kz

A B C D

A kD B kA C kB D kC

Tìm được

01 0 2 2 3

'; ; ;o oy M Q

C y C y z y zk k EI k EI

Thay Ci, i=1-4. vào (4.14) và lấy đạo hàm ta có:

2

00 2 3

0 0 2

20 0

30 0

'

' '

'' '

''' '

o okz kz kz kz

o okz kz kz kz

okz kz o kz kz

kz kz o kz o kz

y M Qy z y A B C D

k k EI k EI

M Qy z y kD y A B C

k EI k EI

QEIy z M z EIy k C EYky D M A B

k

EIy z Q z EIy k B EYk y C M kD Q A

(4.15)

§H- 205 -

Căn cứ vào điều kiện biên về chuyển vị và lực của các dầm cụ thể, ta lây được các phương

trình đại số tuyến tính thuần nhất chứa hai trong bốn thông số ban đầu 0 0; ' ; ;o oy y M Q . Từ

điều kiện tồn tại dao động ta có định thức của hệ phương trình tuyến tính bằng không tìm được

thông số dao động k ta tính ra được tần số dao động riêng:

2 ;

EIk

m (4.16)

Do phương trình xác định thông số dao động k có dạng siêu việt và có vô số nghiệm nên

có vô số dạng dao động riêng.

0 00; 0; ' 0;

; 0; ' 0;l l

z y y

z l y y

2 3

2

0

0

o okl kl

o okl kl

M QC D

k EI k EI

M QB C

k EI k EI

§H- 206 -

2 3

2

0;

kl kl

kl kl

C D

k EI k EID

B C

k EI k EI

2

. 0kl kl klC B D

2

cos sin sin0

2 2 2

ch kl kl sh kl kl sh kl kl

cos 1ch kl kl

1 2 3

4,730 7,853 10,496; ; ;k k k

l l l

1 2 32 2 2

22, 4 61,6 121,0; ; ;

EI EI EI

l m l m l m

§H- 207 -

m

m

m

……………………………………………………………………

Trg123

Education

Transcript of Trg123