Trend wykładniczy
description
Transcript of Trend wykładniczy
Trend wykładniczy
dr Małgorzata Radziukiewicz
Funkcja wykładnicza
• Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci:
• gdzie a>0 jest ustaloną liczbą
)1(xaY
Funkcja wykładnicza
• Funkcja ta znajduje najczęściej zastosowanie jako model ekonometryczny, w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca X:
• Rys.1a. Funkcja wykładnicza
• parametr α0 interpretowany jest jako poziom zmiennej Y, gdy zmienna objaśniająca X przyjmie wartość zero
• α1 nazywane jest stopą wzrostu, tzn. wzrost wartości zmiennej objaśniającej X o jednostkę powoduje zmianę poziomu zmiennej objaśnianej Y o (α1 – 1) 100%.
Y
X
α0
0<α1<1
α1>1α1=1
)2(0, 110 dlaY X
Funkcja wykładnicza
● Większe od jedności wartości parametru α1 oznaczają wzrost wartości zmiennej objaśnianej Ynp. gdy α1 =1,15, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (1,15 - 1) 100% = 15%
● Mniejsze od jedności (ale zawsze większe od zera) wartości parametru α1 świadczą o spadku wartości zmiennej objaśnianej Ynp. dla α1 =0,94, wzrost X o jednostkę spowoduje wzrost Y o (0,94 - 1) 100% = -6%, zatem spadek
Model wykładniczy
● Model wykładniczy:
● Aby oszacować parametry modelu wykładniczego MNK model musi być sprowadzony do postaci liniowej;
● Model wykładniczy (nieliniowy ze względu na zmienną) sprowadza się do postaci liniowej poprzez logarytmowanie;
● Logarytmujemy obie strony równania (3), w wyniku czego otrzymujemy:
)3(10 eY X
)4(lnlnln 10 XYYYe lnln gdzie: logarytm naturalny, którego podstawa e=2.71828…
Trend wykładniczy
●Funkcja wykładnicza znajduje najczęściej zastosowanie jako model tendencji rozwojowej (w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca – zmienna czasowa t):
● parametr α0 interpretowany jest jako średni poziom zmiennej Y w roku poprzedzającym badanie (t=0)
● α1 nazywane jest średnioroczną stopą wzrostu (spadku) badanego zjawiska w przedziale czasu [1, n], tzn. co roku wartość Y wzrasta (spada) średnio o (α1 – 1) 100%.
)5(0, 110 dlaeY t
Trend wykładniczy
0e )10(10 10 cY t
)11(logloglog 10 XY
▪ model musi być sprowadzony do postaci liniowej poprzez logarytmowanie;
▪ otrzymujemy wówczas:
▪ przy sprowadzeniu do postaci liniowej została przekształcona jedynie zmienna Y, (nie została przekształcona zmienna t) a więc
)6(lnlnln 10 tY
Trend wykładniczy
0e )10(10 10 cY t
)11(logloglog 10 XY
▪ dane niezbędne do obliczeń:
X – macierz wartości zmiennej czasowej;- wektor zaobserwowanych wartości zmiennej Y po przekształceniu
)8(
1
..
..
1
1
)7(
ln
.
.
ln
ln
~2
1
2
1
nn t
t
t
X
y
y
y
y
y~
Trend wykładniczy
0e )10(10 10 cY t
)11(logloglog 10 XY
▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej)
obliczamy ze wzoru:
)10(~)(~ 1 yXXXa TT
)9(ln
ln~
~~
1
0
1
0
a
a
a
aa
Trend wykładniczy
• Mamy wówczas:
• Po wykonaniu obliczeń model ma postać liniową (6);
• Dla modelu w postaci liniowej obliczamy parametry struktury stochastycznej;
• Pozytywna weryfikacja modelu pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie:
czyli
)11(ln
ln~2
t
tTT
yt
yyXoraz
tt
tnXX
)12(1
0
~
~
1
0
a
a
e
ea
aa
)13(ˆ10taaY
Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
• Sposób obliczenia prognozy punktowej:
• stąd
)14(lnlnln
ln]1[~]1[~
101
0 Taaa
aTaTy PT
)14()~(exp ayy PT
PT
Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
• Ocena ex ante średniego błędu prognozy logarytmu zmiennej Y:
• oznaczenia:• jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po
transformacji prognozowanej zmiennej • Średni błąd ex ante prognozy dla zmiennej Y (pierwotnej):
)(~eS
n
t
n
t
n
t
T
tntttoraz
tt
tT
neSVgdzie
1 1
222
1
2
2
)()(:
)15(
)(
)(11)(
~~:
)15()~
(exp aVV TT
Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
• Przykład 3.
Wartość produkcji (Yt w mld zł) w pewnym przedsiębiorstwie w latach 1993 – 2002 kształtowała się następująco:
• a) oszacować parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej funkcji trendu;
• b) wyznaczyć prognozę kształtowania się wartości produkcji w kolejnych latach 2003, 2004 i 2005;
• c) ocenić dokładność dokonanej predykcji.
lataProdukcja w mld zł
1993199419951996199719981999200020012002
4,53,54,15,07,611,016,115,521,026,4
wartość produkcji w latach 1993-2002 (w mld zł)
4,5 3,5 4,1 57,6
11
16,1 15,5
21
26,4
0
5
10
15
20
25
30
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
mld
zł
Postać modelu trendu wykładniczego
●na podstawie analizy graficznej (a także na podstawie analizy przyrostów) dla danych produkcji najbardziej odpowiednia będzie funkcja wykładnicza postaci:
gdzie:
t - zmienna czasowa (t=1,2,…10)
▪ Parametry tej funkcji można oszacować MNK po uprzednim sprowadzeniu jej do postaci liniowej poprzez logarytmowanie:
)5(0, 110 dlaeY t
)6(lnlnln 10 tY
Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego
0e )10(10 10 cY t
)11(logloglog 10 XY
▪ wektor ocen parametrów modelu trendu wykładniczego (modelu sprowadzonego do postaci liniowej) obliczamy ze wzoru:
lub ze wzorów:
)10(~)(~ 1 yXXXa TT
)10(~ln~~~
lnln~~
~
110
1
22
1
1
22
11
ataytaya
tnt
ytnyt
tnt
ytnyt
a
t
n
t
n
ttt
n
t
n
tt
Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu wykładniczego
Tablica 1. Obliczenia pomocnicze
lata Nakład (Y)
ln Y t lnY· t t2
1993 4,5 1,504077 1 1,504077 1
1994 3,5 1,252763 2 2,505526 4
1995 4,1 1,410987 3 4,232961 9
1996 5 1,609438 4 6,437752 16
1997 7,6 2,028148 5 10,14074 25
1998 11,0 2,397895 6 14,38737 36
1999 16,1 2,778819 7 19,45173 49
2000 15,5 2,740840 8 21,92672 64
2001 21,0 3,044522 9 27,40070 81
2002 26,4 3,273364 10 32,73364 100
∑ 114,7 22,04085
55 140,7212
385
Estymacja parametrów strukturalnych modelu trendu
wykładniczego
taya
tnt
ytnyt
an
t
n
tt
10
1
22
11
~
lnln~
904317,05,5236322,020408,2~
236322,05,82
49653,19
)5,5(10385
20408,25,5107212,140~
0
21
a
a
20408,210
04085,22ln
ln
5,510
55
1
1
n
y
y
n
t
t
n
tt
t
n
t
Weryfikacja modelu trendu wykładniczego
• Parametry struktury stochastycznej obliczamy dla modelu w postaci liniowej.
• Całość wyników (obliczenia w Excel) można zapisać następująco:
• Model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych (parametry strukturalne są statystycznie istotne, współczynniki φ2 i V przyjmują wartości stosunkowo małe).
• Stwierdzenie to pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej przez odlogarytmowanie.
%.9,8;937,0
;96,10;76,6
195838,0)(~
236322,0904317,0ˆln
2
lnln
)02156,0()13378,0(
10
VR
tt
eS
tY
aa
t
Postać modelu trendu wykładniczego
● otrzymamy wówczas:
▪ czyli funkcję wykładniczą postaci:
Interpretacja:Można zatem stwierdzić, iż średni poziom produkcji w badanym przedsiębiorstwie w 1992 roku (t=0) wynosił 2,47 mld zł, a w rozpatrywanym okresie średnioroczna stopa wzrostu wynosiła 1,266;czyli co roku wartość produkcji wzrastała średnio o 26,6%.
)5(266,1470,2ˆ tY
266,1
470,2
)9(236322,0
904317,0
ln
ln~
~~
236322,0
904317,0
~
~
1
0
1
0
1
0
1
0
e
e
e
ea
aa
a
a
a
aa
a
a
Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
• Sposób obliczenia prognozy punktowej:
• Stąd
• Produkcja w latach 2003 -2005 będzie wynosiła kolejno 33,2, 42,1 oraz 53,3 mld zł .
976497,3ln
740175,312236322,0904317,0236322,0
904317,0]121[~
)14(503854,311236322,0904317,0236322,0
904317,0]111[~
lnlnln
ln]1[~]1[~
13
12
11
101
0
P
P
P
PT
y
y
y
Taaa
aTaTy
329,53
105,42
)14(243,33
976497,32005
740175,312
503854,311
~
ey
ey
aey
ey
P
P
P
yPT
PT
Prognozowanie na podstawie trendu wykładniczego
• Ocena ex ante średniego błędu logarytmu zmiennej Y:
• oznaczenia:• jest wariancją resztową z modelu liniowego otrzymanego po transformacji
prognozowanej zmiennej.
• Średni błąd prognozy dla zmiennej Y:
)(~eS
.298,1
;282,1
)15(267,1
13
12
237172,011
V
V
aeV
.261414,0~
;248654,0~
)15(237172,0211,1195838,05,82
)5,511(
10
11195838,0
~
)(
)(11)(
~~
13
12
2
11
1
2
2
V
V
V
tt
tT
neSV
n
t
T
Prognozy produkcji
20,7
26,2
33,2
42,1
53,3
0
10
20
30
40
50
60
mld
zł
produkcja prognoza