Transport – Einfü · PDF fileUniversität Stuttgart Institut für...
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Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/deckblatt.tex Seite 1 von 24
Transport – Einführung
. – p.1/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/inhalt_8.tex Seite 2 von 24
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung
2. Transportgleichung
3. Analytische Lösung
4. Diskretisierung der Transportgleichung
Es wird die folgende Annahme getroffen: ρ = const, d.h. allebetrachteten Fluide werden als inkompressibel behandelt.
A. Herleitung der analytischen Lösung der Transportgleichung
B. Stabilitätsanalyse des zentralen Differenzenschemas für dieTransportgleichung
. – p.2/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/subst_beschl.tex Seite 3 von 24
Materielle / Substantielle Ableitung
Du
Dt︸︷︷︸
1©
=∂u
∂t︸︷︷︸
2©
+∇ · (vu)︸ ︷︷ ︸
3©
=∂u
∂t+ v · ∇u +�
��
�:= 0 (Konti-Gleichung)
u · ∇v
1© : substantielle Beschleunigung2© : lokale Beschleunigung3© : konvektive Beschleunigung
mitv 6= 0 −→ Eulersche Betrachtungsweisev = 0 −→ Lagrangesche Betrachtungsweise
(Bewegung relativ zum System)
. – p.3/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/navier_stokes.tex Seite 4 von 24
Navier-Stokes Gleichung (u = v)
Die Navier-Stokes Gleichung kann als Transportgleichung fürGeschwindigkeiten interpretiert werden.
L(v, p) := ρ∂v
∂t+ ρv · ∇v −∇ · σ + f = 0.
Die Oberflächenkräfte σ setzen sich aus dem hydrostatischenDruck p und den viskosen Spannungen τ zusammen. Letzteresind bei den newtonischen Fluiden proportional zum Gradientender Geschwindigkeit und der Viskosität.
σ = τ − pI τxx = 2µ∂vx
∂x.
f sind die Volumenkräfte, d.h hier die Schwerkraft.
. – p.4/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/transp_eqn.tex Seite 5 von 24
Transport Gleichung (u = c)
Die klassische Transportgleichung ist ein skalare Gleichung fürbeispielsweise eine Konzentration
L(c) :=∂c
∂t+ v · ∇c
︸ ︷︷ ︸
Advektion
−∇ · (D · ∇ c)︸ ︷︷ ︸
Diffusion
+ r = 0.
Die dimensionlose Zahl die das Verhältnis von Advektion zu Dif-fusion beschreibt ist die Pecletzahl.
Pe =AdvektionDiffusion
Pe =v · LD
[−] (Pecletzahl)
L =̂ charakteristische Länge, z.B. Länge des Gebiets
. – p.5/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/comparison.tex Seite 6 von 24
Transporteigenschaften
Typische Transporteigenschaften in diversen Hydrosystemen
V DM ,DL Pe = vlD
[-] Xs [m] t
Fluss 1 [m/s] 25 [m2/s] 2 50 50 [s]
Ästuar 0.05 [m/s] 10 [m2/s] 0.25 6.25 125 [s]
Grundwasser 1 [m/d] 50 [m2/d] 1 25 70 [d]
V =̂ Typische TransportgeschwindigkeitDM =̂ Typischer longitudinaler DiffusionskoefficientPe =̂ Konvection-DiffusionsverhältnisXs =̂ Verteilungsbreitet =̂ Zeit bis zur vollständigen Durchmischung
. – p.6/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/1D_transp_eqn.tex Seite 7 von 24
1D - TransportgleichungWir betrachten eine repräsentative Modellgleichung, hier die in-stationäre Advektions-Diffusionsgleichung
∂u
∂t︸︷︷︸
1©
+ v∂u
∂x︸︷︷︸
2©
− ∂
∂xD
∂u
∂x︸ ︷︷ ︸
3©
= 0
1© : Speicherterm2© : Advektionsterm3© : Diffusionsterm
u ist eine Funktion von (x, t), v ist die Geschwindigkeit und D derhydrodynamische Dispersionstensor.
. – p.7/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/analyt_sol.tex Seite 8 von 24
Analytische Lösung
Die Pecletzahl ist Pe = vhD
Die analytische Lösung für eine stationäre Transportgleichungd.h. ∂u
∂t= 0 ist
u − ui
uj − ui=
exp(Pe · xh) − 1
exp(Pe) − 1,
{
u = ui for xi = 0
u = uj for xj = h
Die Lösung dieser Gleichung ist auf der nächsten Folie für ver-schiedene Pecletzahlen grafisch dargestellt. Wie man auf dieseLösung kommt wird im Anhang gezeigt.
. – p.8/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/analyt_sol_2.tex Seite 9 von 24
Analytische Lösung II
Pe <<−1
Pe = −1
Pe =0 Pe = 1
i j
i j
Pe >> −1
x
h
ui
uiui uj
uj
uj
xi = 0 xj = hv v = 0
v+
Pe = 0
Pe = ∞
. – p.9/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/discr_transp_1.tex Seite 10 von 24
Diskretisierung der Transportgleichung
∂c
∂t+ ∇ · {vc − D · ∇c} − q = 0
Eine Möglichkeit, diese Gleichung zu diskretisieren, besteht dar-in, den Advektions- und den Diffusionsterm zu separieren.
∂c
∂t+ v · ∇c + c∇ · v −∇ · (D · ∇c) − q = 0.
Der dritte Term ist null; er stellt die Kontinuitätsgleichung dar.
∂c
∂t+ v · ∇c −∇ · (D · ∇c) − q = 0.
Bemerkung: Diese Art der Diskretisierung ist nicht sehr gut fürIFDM/FVM geeignet.
. – p.10/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/discr_transp_2.tex Seite 11 von 24
Diskretisierung der Transportgleichung
∂c
∂t+ ∇ · {vc − D · ∇c} − q = 0
Die zweite Möglichkeit besteht darin die Gleichung in einer inte-gralen Form zu schreiben
∫
G
∂c
∂tdG +
∫
G
∇ · {vc − D · ∇c} dG −∫
G
q dG = 0,
und dann den Satz von Gauss anzuwenden
∫
G
∂c
∂tdG +
∫
Γ
(vc − D · ∇c) · n dΓ −∫
G
q dG = 0.
Bemerkung: Dies ist die konservative Form der Bilanzgleichung.
. – p.11/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/discr_transp_3.tex Seite 12 von 24
Diskretisierung der Transportgleichung
Die erste Art der Diskretisierung ist sehr gut für die FiniteDifferenzen Methode geeignet, weil die Differentialgleichungdirekt in eine Differenzengleichung überführt werden kann.
Zum Beispiel: implizite Zeitdiskretisierung und ein zentrales Dif-ferenzenverfahren im Ort
cn+1i − cn
i
∆t+ v
cn+1i+1 − cn+1
i−1
2∆x− D
cn+1i+1 − 2cn+1
i + cn+1i−1
∆x2− qi = 0.
Bemerkung: In diesem Fall kann es zu Instabilitäten kommen,wenn der Prozess advektionsdominiert ist (siehe Erläuterung undHerleitung im Anhang B).
. – p.12/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/discr_transp_4.tex Seite 13 von 24
Diskretisierung der Transportgleichung
Die zweite Art der Diskretisierung ist sehr gut für IFDM und FVMgeeignet, da hier die Flüsse über die Grenzflächen approximiertwerden.
∫
G
cn+1i − cn
i
∆tdG
+
∫
Γ
(
vcn+1i−1 − D
cn+1i+1 − cn+1
i−1
2∆x
)
dΓ −∫
qi dG = 0.
Bemerkung: In diesem Fall wird der advektive Term nicht mehrals Konzentrationsgradient approxomiert. Die richtige Konzentra-tion muss nun, abhängig von der Fließrichtung ausgewählt wer-den. (Annahme hier: Fluss von links nach rechts.)
. – p.13/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/diff_adv_flux.tex Seite 14 von 24
Diffusive and advektive Flüsse
Diffusive Flüsse
führen zu diagonal dominierten Matrizen mit positivenEinträgen−→ Das resultierende Gleichungssystem kann ohne Stabili-tätsprobleme gelöst werden (Beispiel: Laplace-Gleichung).
Advektive Flüsse
müssen durch die Wahl der richtigenDiskretisierungsmethode “korrekt” beschrieben werden.
Der Differentialoperator, der die Konvektion beschreibt istnicht symmetrisch und z.B. bei der Navier-Stokes-Gleichungauch nicht linear.
. – p.14/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/anhang_a.tex Seite 15 von 24
Anhang A
Herleitung der analytischen Lösung der
stationären Transportgleichung
. – p.15/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/derivation.tex Seite 16 von 24
Herleitung der analytischen Lösung
Betrachten wir die stationäre Transportgleichung
vdu
dx− D
d2u
dx2= 0.
Zur Lösung wählen wir den folgenden Ansatz u = eλx. Eingesetztergibt sich
vλeλx − Dλ2eλx = 0.
Wir lösen nun das Eigenwertproblem
(vλ − Dλ2)eλx = 0
λ0 = 0 λ1 =v
D.
. – p.16/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/derivation2.tex Seite 17 von 24
Herleitung der analytischen Lösung
Die allgemeine Lösung lautet: u(x) = M1eλ0x + M2e
λ1x
= M1 + M2ev
Dx
Mit Hilfe der Randbedingungen können M1 und M2 bestimmt wer-den.
u(0) = ui → M1 + M2 = ui
u(L) = uj → M1 + M2ev
DL = uj
→ M1 = ui − M2
→ ui − M2 + M2ev
DL = uj
M2 =uj − ui
ev
DL − 1
M1 = ui − uj − ui
ev
DL − 1
. – p.17/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/derivation3.tex Seite 18 von 24
Herleitung der analytischen Lösung
Damit erhalten wir die folgende Lösung
u(x) = ui −uj − ui
ev
DL − 1
+uj − ui
ev
DL − 1
ev
Dx.
Durch Umformung erhalten wir dann die vorgestellte Lösung
u − uiuj − ui
= − 1
ev
DL − 1
+ ev
Dx
ev
DL − 1
= ev
Dx − 1
ev
DL − 1
= ePe x
L − 1ePe − 1
.
. – p.18/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/anhang_b.tex Seite 19 von 24
Anhang B
Erläuterungen zur Stabilität des zentralen
Differenzenschemas bei der stationären
Transportgleichung
. – p.19/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/stability.tex Seite 20 von 24
Stabilität
Wir betrachten den stationärer Transport
vci+1 − ci−1
2∆x− D
ci+1 − 2ci + ci−1
∆x2= 0
v∆x
D(ci+1 − ci−1) − 2(ci+1 − 2ci + ci−1) = 0
mitv∆x
D= Pe
(Pe − 2)ci+1 + 4ci − (Pe + 2)ci−1 = 0
Randbedingungen: c0 = 1; cNx= 0, (wobei Nx die Anzahl der
Knoten ist.)
. – p.20/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/stability2.tex Seite 21 von 24
Stabilität
Wir ersetzen nun ci mit dem exponentiellen Ansatz eλih
(Pe − 2)eλ(i+1)h + 4eλih − (Pe + 2)eλ(i−1)h = 0 : eλ(i−1)h
(Pe − 2)e2λh + 4eλh − (Pe + 2) = 0
(Pe − 2)(eλh
)2+ 4eλh − (Pe + 2) = 0 ; eλh = β
(Pe − 2)β2 + 4β − (Pe + 2) = 0
und lösen die quadratische Gleichung für β mit der Mitternachts-formel.
. – p.21/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/stability3.tex Seite 22 von 24
Stabilität
β1/2 =−b±
√b2 − 4ac
2a
=−4±
√
16 + 4(Pe − 2)(Pe + 2)
2Pe − 4
=−4±
√16 + 4Pe2 − 16
2Pe − 4
=−4±2Pe
2Pe − 4=
−2±Pe
Pe − 2
β1 = −2−PePe−2
β2 = −2+PePe−2
β1 = − (Pe+2)Pe−2
β2 = 1
. – p.22/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/stability4.tex Seite 23 von 24
Stabilität
Wir berechnen nun M1 und M2 in der allgemeinen Lösung ci =M1β
i1 + M2 mit den Randbedingungen.
ci(x = 0) = 1 = M1 + M2 → M2 = 1 − M1
ci(Nx) = 0 = M1βNx
1 + M2
Löse nach M1: 0 = M1βNx
1 + 1 − M1
−1 = M1(βNx
1 − 1)
M1 = − 1
βNx
1−1
und M2: M2 = 1 + 1
βNx
1−1
=βNx
1
βNx
1−1
. – p.23/24
Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydromechanik und Hydrosystemmodellierunghome/lehre/VL-MHS-1/INHALT/FOLIEN/VORLESUNG/8_TRANSPORT/stability4.tex Seite 24 von 24
Stabilität
Daraus ergibt sich die Lösung
ci = − βi1
βNx
1 − 1+
βNx
1
βNx
1 − 1
=βNx
1 − βi1
βNx
1 − 1=
1 − βi−Nx
1
1 − β−Nx
1
=1 − β
−(Nx−i)1
1 − β−Nx
1
.
Betrachten wir nun die Lösung, dann stellen wir fest, dass β1 ne-gativ wird, wenn die Pecletzahlen größer als 2 sind. Da der Ex-ponent Nx − i abwechselnd gerade und ungerade sein wird, wirdder Beitrag des Wertes abwechselnd positiv und negativ sein.Dies führt zu Oszillationen, das System wird instabil. Nur wenndie Pecletzahl kleiner als zwei ist, wird es eine stabile Lösunggeben.
. – p.24/24