TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang...
Transcript of TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang...
![Page 1: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/1.jpg)
TRANSFORMASI LAPLACE
……Lanjutan
![Page 2: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/2.jpg)
Pemetaan Konformal
Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga
ukuran maupun pengertian sudut.
Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram
tempat kedudukan akar (root locus) dan kriteria kestabilan
Nyquist.
Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagai
pemetaan titik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z /
bidang F(s).
Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P’
pasangannya pada bidang F(s). P’ adalah bayangan dari P.
Untuk membuktikan bahwa pemetaan yang dinyatakan dengan
suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal, tinjau suatu kurva
halus s=s( ), yang melalui suatu titik ordiner.
![Page 3: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/3.jpg)
Jika kita tulis zo=F(so), maka:
)ss(ss
)s(F)s(Fzz o
o
oo
Dengan demikian,
oo
oo ss
ss
)s(F)s(Fzz
s - so adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor dari so ke s.
Jika s mendekati so sepanjang kurva halus s( ), maka s - so adalah sudut 1 antara sumbu nyata positif dan garis singgung kurva tersebut pada so.
Dengan cara sama, jika z mendekati zo, maka z - zo mendekati sudut 1 yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dan garis singgung dari F(s) pada z0. Dengan demikian diperoleh
1 - 1 = F’(so)
![Page 4: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/4.jpg)
Dengan kurva halus yang lain s=s2( ), yang melalui titik so, kita dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh
2 - 2 = F’(so)
Oleh karena itu
1 - 1 = 2 - 2
atau
2 - 1 = 2 - 1
Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetap dijaga.
Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal di setiap titik yang menyebabkan F(s) reguler dan F’(s) 0.
![Page 5: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/5.jpg)
Definisi Transformasi Laplace
Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai
0
dte )t(f)s(F)]t(f[L st
dengan:
f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0
s = variabel kompleks
![Page 6: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/6.jpg)
6
0
stdte)t(f)s(F)]t(f[L
1dte)t()]t([L0
st
0st
0
st0 edte)tt()]t(f[L
f(t)
t )t(
t
f(t)
)tt( 0
0t
Contoh fungsi Dirac
![Page 7: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh
•Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = A untuk t > 0
s
A
s
eAdtAe)}t(f{
stst
00
L
f(t)
t
A
Jawab:
![Page 8: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/8.jpg)
8
2
0
st
0
st
0
st
s
adte
s
a
s
atedtate)]t(r[L
0t untuk at)t(ff(t)
t
•Transformasi Laplace dari fungsi Ramp
![Page 9: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/9.jpg)
•Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = Ae-at untuk t > 0
Jawab:
00dteAdteAe}Ae{ t)as(statat
L
)as(
A
)as(
eA
t)as(
0
e-at
t
A
![Page 10: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/10.jpg)
•Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = A sin t untuk t > 0
Jawab:
0dte tsinA}tsinA{ st
L
02
dte)ee(j
A)}t(f{ sttjtj
L
ej t = cos t + j sin t e-jwt = cos t - j sin t
)ee(j
tsin tjtj
2
1
22
1
2
1
2 s
A
jsj
A
jsj
A
![Page 11: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/11.jpg)
f(t) F(s)
Step function, u(t)
e-at
te-at
sin( t )
cos( t )
t n
1/s
1/(s+a)
1/(s+a)2
/ ( s2 + 2)
/ ( s2 + 2)
n!/sn+1
)ee(ab
btat1
)bs)(as(
1
![Page 12: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/12.jpg)
f(t) F(s)=L[f(t)]
ntate
)t( 1
)t(u
t
)atsin(
)atcos(
)at(sh
)at(ch
)1n(s/!n
2s/1
)as/(1
)as/(a 22
)as/(s 22
)as/(a 22
)as/(s 22
s/1
)atsin(ebt]a)bs/[(a 22
)bs)(as/(1
]a)bs/[()bs( 22)atcos(ebt
ba)ab/()ee( atbt
ba)bs)(as/(s)ab/()aebe( atbt
![Page 13: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/13.jpg)
SIFAT LINIERITAS )]t(f[L)s(F 11
)]t(f[L)s(F 22
tstanConsc,c 21
)s(F.c)s(F.c
)]t(f[L.c)]t(f[L.c
)]t(f.c)t(f.c[L
2211
2211
2211
![Page 14: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/14.jpg)
SIFAT TRANSLASI
)as(F)]t(fe[L ata) Jika F(s)=L[f(t)]
)as(Fdte)t(fdte])t(fe[)]t(fe[L t)as(
0
st
0
atat
Contoh 4s
s)]t2(Cos[L
2
5s2s
1s
4)1s(
1s)]t2(Cose[L
22
t
![Page 15: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/15.jpg)
15
• Translasi [time]
b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a
= 0 for t<a
)s(Fe)]t(g[L as
due)u(fedue)u(fdte])at(f)]t(g[L su
0
as)au(s
0
st
0
a
t
f(t) g(t)
Contoh 44
3
s
6
s
!3]t[L
2t,0)t(g
2t,)2t()t(g 3
4
s2
s
e6)]t(g[L
![Page 16: TRANSFORMASI LAPLACE - … · Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052121/5b8e0ade09d3f2a8408cfe0d/html5/thumbnails/16.jpg)
16
•Perubahan skala waktu )a
s(F
a
1)]t.a(f[L
)a
s(F
a
1
a
due)u(fdte])t.a(f)]t.a(f[L a
su
0
st
0
Contoh
1s
1)]t(Sin[L
2 9s
3
13
s
1
3
1)]t3(Sin[L
2
2