InzMatET Laplace

Inženjerska matematika ETLaplaceova transformacija

Sveučilišni preddiplomski studij elektrotehnikeakad. god. 2008./2009.

N. Črnjarić-Žic

Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci

Rijeka, 2008.

N. Črnjarić-Žic | Inženjerska matematika ET - Laplaceova trannsformacija 1/15

Ishodi učenja - predavanja

Na kraju ovog poglavlja moći ćete:definirati Laplaceovu transformaciju i inverznu Laplaceovu transformaciju ,iskazati svojstva Laplaceove transformacije i pravilno ih primijenitikod računanja slika nekih funkcija,opisati rješavanje diferencijalnih i integralnih jednadžbi pomoćuLaplaceovih transformacija.


Ishodi učenja - vježbe

Na kraju pripadnih vježbi moći ćete:izračunati Laplaceove transformacije tj. slike nekih funkcija,izračunati inverzne Laplaceove transformacije tj. originale nekihfunkcija,riješiti diferencijalne i integralne jednadžbe primjenom Laplaceovihtransformacija.


Laplaceova transformacija - definicija

Laplaceova transformacija funkcije f (t), koja je definirana za t > 0 jefunkcija F (s) definirana s

F (s) =

∫ ∞0

e−st f (t)dt. (1)

Funkcija f naziva se original, a funkcija F slika. Navedenu integralnutransformaciju koja funkciji f pridružuje funkciju F označavat ćemo s L:

F = L(f ).

Obratna veza, koja slici F pridružuje original f , naziva se inverznaLaplaceova transformacija i označava s L−1:

f = L−1(F ) =

∫ ∞0

estF (s)ds.

Laplaceova transformacija funkcije f (t) postoji ako integral (1)konvergira. Prema tome, Laplaceova transformacija sigurno postoji za podijelovima neprekidne funkcije koje imaju konačno mnogo prekida prvevrste i za koje postoje konstante a i M takve da je |f (t)| < Meat zat > 0.


Svojstva Laplaceove transformacije

LinearnostL(af (t) + bg(t)) = aF (s) + bG (s)

Teorem sličnostiL(f (ωt)) =

1ω

F (sω

)

Teorem o slici derivacije

L(f ′(t)) = sF (s)− f (0)

L(f (n)(t)) = snF (s)− [sn−1f (0) + sn−2f ′(0) + . . .+ f (n−1)(0)]

Teorem o derivaciji slike

L(tnf (t)) = (−1)n dn

dsn F (s)

nastavak


Svojstva Laplaceove transformacije

Teorem o slici integrala

L(

∫ t

0f (τ)dτ) =

F (s)s

=⇒ L−1(F (s)

s) =

∫ t

0f (τ)dτ

Teorem o integralu slike

L(f (t)t

) =

∫ ∞s

F (s)ds =⇒ L−1(

∫ ∞s

F (s)ds) =f (t)t

Teorem o pomaku slike (Teorem o prigušenju)

L(eat f (t)) = F (s − a) =⇒ L−1(F (s − a)) = eat f (t)

nastavak


Laplaceova transformacija - motivacija

�� Diferencijalna (ili integralna) jednadžba

�� Odgovarajuća algebarska jednadžba�� Rješenje algebarske jednadžbe

�� Rješenje diferencijalne (ili integralne) jednadžbe

?-

6

L L−1


Rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe

Neka je zadana diferencijalna jednadžba n-tog reda s konstantnimkoeficijentima

y (n) + an−1y (n−1) + . . .+ a1y ′ + a0y = f (t),

uz zadane početne uvjete y(0) = K0, y ′(0) = K1, . . . , y (n−1)(0) = Kn−1.Primjenom Laplaceove transformacije dobijemo jednadžbu oblika

Pn(s)Y (s) = Qn−1(s) + F (s),

pa je rješenje algebarske jednadžbe, koje predstavlja sliku rješenjazadanog početnog problema, jednako

Y (s) =Qn−1(s) + F (s)

Pn(s).

Ovdje je Pn(s) karakteristični polinom diferencijalne jednadžbe, Qn−1(s)je polinom koji ovisi o početnim uvjetima, a F (s) je Laplaceovatransformacija ulazne (input) funkcije.


Tablica Laplaceovih transformacija

Osnovne Laplaceove transformacije

( )f t ( )F s ( )f t ( )F s

0, 0( )

1, 0t

H tt<⎧

= ⎨ ≥⎩

1s

tte α− 2

1( )s α+

2 22

( )s

ste α±

1s α∓

sint tω 2ωω+

sin tω 2 2sωω+

cost tω

2 2

2 2( )ss 2

ωω−+

cos tω 2 2s

s ω+ )(tft n ( 1) ( ( ))

nn

nd F sds

−

sh tω 2 2sωω−

1 2

0

( ) ( )t

f f t dτ τ τ−∫ 1 2( ) ( )F s F s

ch tω 2 2s

s ω− y′ ( ) (0)sY s y−

sinte tα ω± 2 2( )s

ωα ω+∓

y′′ 2 ( ) (0) (0)s Y s sy y′− −

coste tα ω± 2 2( )

ss

αα ω+∓

∓( )tδ 1

1!

nn

s +( )t aδ −nt ase−

nastavakN. Črnjarić-Žic | Inženjerska matematika ET - Laplaceova trannsformacija 9/15

Step funkcija

Jedinična step funkcija (Heavisideova funkcija) definirana je s

Step function and delta functionStep function and delta functionStep function and delta functionStep function and delta function

There are two common functions which are used to represent very rapidly changing quantities. The first of these is the step function u(t) defined by:first of these is the step function, u(t), defined by:

⎧ > 01 t

⎩⎨⎧

<>

=0001

)(tt

tu

u(t)

Slide number 40t

Laplaceova transformacija step funkcije jednaka je L(u(t)) = 1s .

Pomaknuta step funkcija je jednaka

Step function and delta functionStep function and delta functionStep function and delta function Step function and delta function

If the step function ‘switches on’ at t = a it is defined by:

⎩⎨⎧

<>

=−atat

atu01

)(⎩ < at0

u(t-a)( )

Slide number 41

t =a t


Svojstva Laplaceove transformacije - pomak originala

Za zadanu funkciju f (t) definiramo pomaknutu funkciju

g(t) =

{0 , t < 0

f (t − a) , t ≥ a = f (t − a)u(t − a)

Shift inShift in ttShift in Shift in tt

⎧Define a shifted function by:

⎩⎨⎧

≥−<

=atatfat

tg)(

0)(

⎩ f )(

f(t-a) f(t)

t

Slide number 51

t t = a

Teorem o pomaku originala

L(f (t−a)u(t−a)) = e−asF (s) =⇒ L−1(e−asF (s)) = f (t−a)u(t−a)


Diracova funkcija (1/2)

Diracova δ funkcija je funkcija kojom se modeliraju kratki impulsi.Definirana je s

δ(t) = limb→∞fb(t), gdje je fb(t) =

{ 12b , |t| < b0 , |t| > 0 .

Step function and delta functionStep function and delta functionStep function and delta function Step function and delta function

The delta function can be considered as a limiting case as shown below:

δ(t)1/2b δ(t)

0lim →b2b t

Slide number 44Iako nije funkcija u standardnom smislu, najčešće se smatra funkcijom tese piše

δ(t) =

{∞ , t = 00 , t 6= 0 i δ(t − a) =

{∞ , t = a0 , t 6= a .


Diracova funkcija (2/2)

Također vrijedi∫ a+ε

a−ε

δ(t − a)dt = 1 i∫ a+ε

a−ε

δ(t − a)f (t)dt = f (a).

Laplaceova transformacija jednaka je

L(δ(t)) = 1.

Iz teorema pomaka potom slijedi da je

L(δ(t − a)) = e−as .


Periodična funkcija

Laplaceova transformacija periodične funkcije Neka je f (t)periodična funkcija s perodom duljine T . Tada se Laplaceovatransformacija može izračunati po formuli

L(f (t)) =1

1− e−sT

∫ T

0e−st f (t)dt.


Konvolucija

Konvolucija funkcija f1(t) i f2(t) definira se s

(f1 ∗ f2)(t) :=

∫ ∞−∞

f1(τ)f2(t − τ)dτ.

Tako dobivena funkcija ima Laplaceovu transformaciju, ako postojeLaplaceove transformacije funkcija f1(t) i f2(t). Opazimo da se funkcijaponištava izvan intervala [0, t] ako su f1(t) i f2(t) definirane samo zat > 0.Laplaceova transformacija konvolucije jednaka je

L((f1 ∗ f2)(t)) = F1(s)F2(s),

pa vrijediL−1(F1(s)F2(s)) = (f1 ∗ f2)(t).


InzMatET Laplace

Documents

Transcript of InzMatET Laplace