1

V. Transformacije kvantitativnih podataka Originalne (sirove) podatke koje dobijamo posmatranjem ili merenjem vrednosti koje jedinice posmatranja imaju u pogledu nekog kvantitativnog obeleja esto je neophodno iskazati na drugaiji nain, tj. transformisati ih. Transformisanje kvantitativnih podataka je veoma esto potrebno iz nekoliko razloga:

a) radi boljeg razumevanja i lakeg tumaenja znaenja rezultata; b) radi promene oblika raspodele rezultata kako bi se ispunili uslovi za primenu

odreenih statistikih postupaka; c) radi pojednostavljenja statistike analize podataka.

Tako, na primer, sirovi rezultat na nekom upitniku linosti predstavlja prosto broj

poena koje je ispitanik postigao na tom upitniku koji se izraunava u skladu sa kljuem za dati upitnik. Meutim, sirovi broj poena sam po sebi ne daje nikakvu informaciju o izraenosti crte linosti kod datog ispitanika u odnosu na ostale lanove populacije. Ukoliko, pak, rezultat ispitanika iskaemo kao odstupanje rezultata od aritmetike sredine populacije (koja se ocenjuje na osnovu tzv. normativnog uzorka koji dobro predstavlja populaciju) samim tim emo bolje razumeti taj rezultat. Naime, ukoliko je ovo odstupanje pozitivno to znai da ispitanik ima nadproseno izraenu ovu crtu linosti. Ukoliko je odstupanje sirovog rezultata od ocenjene aritmetike sredine populacije negativno onda ve znamo da ispitanik ima ispodproseno izraenu datu crtu linosti, a ako je odstupanje jednako nuli to znai da ispitanik ima proseno izraenu datu crtu linosti. Transformacija koju smo naveli u ovom primeru naziva se centriranjem rezultata. U nastavku teksta ova transformacija e biti podrobnije razmotrena. Ukoliko u navedenom primeru rezultat ispitanika iskaemo u obliku percentilnog ranga, takva transformacija e nam pomoi da odmah uoimo od kolikog procenta ispitanika dati ispitanik ima vei rezultat.

Mnogi statistiki postupci podrazumevaju da su ispunjeni odreeni uslovi (izmeu ostalog i u pogledu oblika distribucije rezultata) za njihovu adekvatnu primenu. Na primer, za primenu odreenih statistikih postupaka neophodno je da distribucija rezultata bude simetrina (ili, ak, normalna).1 Ukoliko je distribucija sirovih podataka asimetrina (ili odstupa od normalne) mogue je primenom odreenih transformacija distribuciju simetrizovati ili normalizovati.

U statistikoj analizi veza meu varijablama mogu se koristiti linearni i nelinearni statistiki modeli. Linearni statistiki modeli su znatno jednostavniji od nelinearnih, ali zahtevaju da se veze meu varijablama mogu dobro aproksimirati pravom linijom. Ukoliko to nije sluaj, umesto korienja sloenijih nelinearnih statistikih modela mogue je varijable transformisati tako da je upotreba jednostavnijih linearnih modela opravdana.

1 O normalnoj raspodeli ili funkciji gustine moe se proitati u Priruniku na strani 19 Dodatka 2.

2

Dakle, transformacije sirovih, izvornih rezultata omoguuju da se ti podaci izraze u obliku koji u izvesnom smislu predstavlja poboljanje u odnosu na izvorni oblik rezultata.2

Transformacije kvantitativnih podataka moemo svrstati u dve osnovne grupe: algebarske i povrinske transformacije (cf. Horst, 1966, str. 70).

1. Algebarske transformacije

Ove se transformacije izvode primenom odreene matematike funkcije f: xiT(xi)

pri emu je xi oriiginalni, sirovi rezultat za i-tu jedinicu posmatranja, T(xi) je transformisani rezultat, a f je funkcija koja slui za transformaciju. Zavisno od prirode funkcije f algebarske transformacije mogu biti nelinearne i linearne.

1.1. Nelinearne transformacije Nelinearne transformacije su one u kojima se kao funkcija za transformisanje

koristi neka nelinearna funkcija. Najea familija ovih transformacija su tzv. stepene transformacije:

0)(p d xlog c0)(p bax

)x(Tp

pi

ii

pri emu a, b, c, d R . Pored toga, za p > 0 treba da bude i a > 0, a za p < 0, treba da bude i a < 0. Ovaj uslov je neophodan da bi transformacija imala odreena poeljna svojstva, a pre svega da ouva redosled podataka, tj. da bude ispunjen sledei uslov:

xr > xs Tp(xr) > Tp(xs).

U drugom pogledu a, b, c i d su arbitrarni, a p se odreuje tako da to vie olaka analizu podataka. Za odreene vrednosti a, b i p nelinearne transformacije dobijaju odreeni oblik. Najee koriene nelinearne transfrmacije su sledee:

a) Reciprona transformacija (a = 1, b = 0, p = -1):

ix1)x(T )1p( i

Ovom transformacijom se esto vreme reagovanja ispitanika u eksperimentima zamenjuje brzinom reagovanja.

2 U transformacije rezultata o kojima e biti rei u ovom delu teksta ne spada kategorizacija kvantitativnih podataka. Na primer, iskazivanje uzrasta ispitanika u vidu kategorija (kategorija 1= od 0 do 4 godine, kategorija 2 = od 5 do 9 godina, kategorija 3 = od 10 do 14 godina, itd.) ne spada u transformacije kvantitativnih podataka o kojima e biti rei u ovom odeljku teksta.

3

b) Kvadratna transformacija (a = 1, b = 0, p = 2): 2

)2p( x)x(T ii c) Kvadratnokorenska transformacija (a = 1, b = 0, p = 1/2):

iii xx)x(T2/1

)2/1p( Ova transformacija pogodna je za transformaciju retkih uestalosti (na primer broj greaka u eksperimentima). d) Logaritamska (a = 1, b = 0, p = 0):

ii x log)x(T )0p( ili ii x ln)x(T )0p(

Logaritamska transformacija se koristi kao zamena za stepenu jer kada bi se za p = 0 koristila stepena transformacija svi rezultati bi bili zamenjeni jedinicom. S druge strane opravdanje za ovu zamenu je i sledea propozicija: kada p tei nuli tada je

ii x lnp

1x p

Stepene transformacije podrazumevaju da su originalni podaci pozitivni i da nemaju ogranienje na gornjem (desnom) kraju raspodele.

Jedna od veoma estih nelinearnih transformacija u psihologiji je i arkussinusna transformacija sledeeg oblika:3

3 O osnovnom obliku ove funkcije smo ve pisali u delu teksta o osnovnim matematikim pojmovima. f (x) = arcsin x je funkcija za koju je sin f (x) = x. Definicioni skup funkcije je [-1, 1], a skup vrednosti segment [-/2, /2]. Funkcija je monotono rastua.

Zapamtite: Stepene transformacije mogu se korisno upotrebiti za simetrizovanje

asimetrinih distribucija. Da bi se negativno asimetrina distribucija (tj. distribucija na ijem levom kraju je znatno manje rezultata, a veina rezultata su zbijeni u desnom kraju raspodele) simetrizovala potrebno je koristiti stepene transformacije u kojima je p > 1. Radi simetrizovanja pozitivno asimetrine raspodele (raspodele u kojoj su nii rezultati mnogo brojniji od viih) mogu se koristiti stepene transformacije u kojima je p < 1.

Stepene transformacije najkorisnije su za podatke u kojima je kolinik maksimalne i minimalne vrednosti 10 i vie od toga.

4

ii xarcsin2)x(T Ova transformacija se najee koristi za transformaciju proporcije tanih odgovora na nekom testu znanja.

1.2. Linearne transformacije

Kao to im i samo ime kae linearne transformacije su transformacije u kojima je f linearna funkcija. U optem obliku ove transformacije mogu se zapisati na sledei nain:

T(xi) = a + bxi

pri emu je a aditivna konstanta (konstanta koja menja poetnu, nultu taku) a b multiplikativna (skalirajua) konstanta (konstanta koja menja skalu). Linearne transformacije se daleko ee koriste u analizi podataka u psihologiji od nelinearnih. U psihologiji je esto potrebno izvorne rezultate linearno transformisati na skalu koja ima odreenu vrednost aritmetike sredine i standardne devijacije. Na primer, rezultati sa testa inteligencije ponekad se, radi lake interpretacije i poreenja, prevode u skalu ija je aritmetika sredina 100, a standardna devijacija 10. Isto tako, veoma se esto rezultati sa upitnika linosti prevode u skalu T-skorova, tj. u skalu ija je aritmetika sredina 50, a standardna devijacija 10. Za reavanje problema transformisanja izvornih rezultata u takav oblik, kojim se postie to da rezultati u novom, transformisanom obliku imaju odredjenu eljenju vrednost aritmetike sredine i standardne devijacije potrebno je odrediti samo vrednosti aditivne (a) i multiplikativne (b) konstante u linearnoj transformaciji. Jednostavan nain da se ovaj problem rei u optem sluaju je da se postave dve nezavisne jednaine koje govore o tome kako aditivna i multiplikativna konstanta linearne transformacije menjaju aritmetiku sredinu i standardnu devijaciju (kao to je objanjeno u poglavlju IV Prirunika, str 26 i 30):

(1) Mt = a + b*M (2) St = b* S

U ovim jednainama M i S predstavljaju aritmetiku sredinu i standardnu devijaciju izvornih rezultata, a Mt i St oznaavaju aritmetiku sredinu i standardnu devijaciju rezultata koji su iz izvornih dobijeni linearnom transformacijom. Budui da su nam u gornjim dvema jednainama poznate aritmetika sredina i standardna devijacija izvornih

Zapamtite: Nelinearne transformacije rezultata menjaju oblik distribucije rezultata.

5

rezultata, a znamo i kakve treba da budu aritmetika sredina i standardna devijacija transformisanih rezultata, imamo dve nepoznate: a (aditivna konstanta) i b (multiplikativna konstanta). Iz jednaine (2) moemo odrediti reenje za multiplikativnu konstantu:

SS

b t

a, zatim, ako u jednaini (1) konstantu b zamenimo izrazomSS

t , moemo dobiti reenje

za aditivnu konstantu:

M*SS

M a tt

(prema Stockburger, 2000).

Ako elimo da, primenjujui dobijeno reenje, rezultate na nekoj varijabli linearno transformiemo tako da aritmetika sredina transformisanih rezultata bude jednaka nuli, a da standardna devijacija ostane ista, primenili bismo linearnu transformaciju u kojoj bi multiplikativna konstanta b bila jednaka 1, dok bi aditivna konstanta a bila jednaka aritmetikoj sredini izvornih rezultata sa negativnim predznakom, tj. a = 0 -1*M = -M. Zamenom ovih konstanti u linearnoj funkciji za transformaciju izvorne varijable x u transformisanu varijablu d dobijamo: d = x - M. Na taj nain postiemo tzv. centriranje varijable. Centriranje rezultata Centriranje rezultata na varijabli sastoji se, dakle, u tome da se svaki rezultat iskae kao odstupanje od aritmetike sredine svih rezultata:

di= xi - M Devijaciona mera ili centrirani skor (di) je, dakle, rezultat iskazan kao odstupanje izvornog, netransformisanog ili sirovog skora od aritmetike sredine niza kojem skor pripada.

Ukoliko aritmetika sredina transformisanih rezultata treba da bude jednaka nuli,

a standardna devijacija jednaka jedinici, tada su neophodne vrednosti konstanti za transformaciju sledee:

SM - M*

S1 0 a

Zapamtite: Centrirani rezultati imaju aritmetiku sredinu jednaku 0 a standardnu devijaciju (odnosno varijansu) jednaku standardnoj devijaciji (odnosno varijansi) izvornih rezultata.

6

S1 b

Zamenom ovih konstanti u linearnoj funkciji za transformaciju izvorne varijable x u transformisanu varijablu z dobijamo:

SM-x x

S1

SM - z

Na taj nain napravili smo transformaciju koja se uobiajeno zove standardizacija varijable x. Standardizacija Standardizacija je transformacija rezultata u oblik u kojem podaci ne zavise od mernih jedinica:

SM-x

z ii

Za standardizovane mere vae sledee osobine:

1.

n

1ii 0z jer je

n

1ii 0 M) -(x

2. 1n

zn

1i

2i

n

1i

2i nz

Transformacija rezultata u standardni normalni oblik: Standardni normalni oblik rezultata dobija se deljenjem standardizovanih rezultata kvadratnim korenom veliine uzorka, tj. broja rezultata:

nz

z n ii

Zbir kvadriranih rezultata koji su transformisani u standardni normalni oblik, tj.

Zapamtite: Standardizovani rezultati imaju aritmetiku sredinu jednaku 0, a varijansu (pa i standardnu devijaciju) jednaku 1.

7

duina vektora varijable u kojoj su ovakvi rezultati jednaka je jedinici:4

n

1i

2n 1z i

************************************************************************ Centriranje, standardizovanje varijable i transformacija u standardni normalni oblik u SPSS programu se mogu izvesti naredbom Compute (meni Transform), a standardizacija se osim na taj nain moe automatski napraviti i ukljuivanjem opcije Save standardized values as variables (klikom na kvadrati ispred te opcije) u proceduri Descriptives menija Descriptive statistics. Na kraju ispisa iz procedure Descriptives (ako je ukljucena opcija Save standardized values as variables ) program obavetava korisnika o imenima standardizovanih varijabli koje su upisane na kraju aktivnog fajla sa podacima. ************************************************************************ Na kraju, veoma est sluaj u psihologiji je takav postupak linearnog transformisanja kojim se postie da aritmetika sredina transformisanih rezultata bude 50, a standardna devijacija 10. U tom sluaju vrednosti konstanti za transformisanje su sledee:

M*S

10 50 a

S10 b

Na ovaj nain dobijamo obrazac za pretvaranje izvornih rezultata na varijabli x u takozvane T-vrednosti:

x S

10 ) M*S

10 (50 T

4 Duina vektora je kvadratni koren zbira kvardriranih elemenata tog vektora. Budui da je u ovom sluaju zbir kvadriranih elemenata vektora jednak jedinici, to je i njegova duina jednaka jedinici.

Zapamtite: Rezultati u standardnom normalnom obliku imaju aritmetiku sredinu jednaku 0, a varijansu jednaku 1/n.

8

************************************************************************ Algebarske transformacije se u programu SPSS mogu izvesti korienjem komande Compute (koja je objanjena u Priruniku u odeljku IV.3. na strani 23). U polje Target Variable ove komande upisuje se ime (Name) nove varijable u kojoj e biti sauvane transformisane vrednosti, dok se transformacija definie u polju Numeric Expression. Primeri: 1. Izvorna varijabla EPQN sadri broj poena, tj. skor na varijabli ekstraverzija. Izraunali smo aritmetiku sredinu i standardnu devijaciju izvornih rezultata i one iznose 15 i 5. U novoj varijabli C_EPQN treba da budu centrirani rezultati ili devijacioni skorovi ispitanika. U polje Target Variable upisaemo C_EPQN, a u polje Numeric Expression upisaemo EPQN-15 Kada kliknemo na dugme OK, program e napraviti novu varijablu na kraju (tj. "desnom kraju") aktivnog fajla sa podacima. 2. elimo da standardizujemo rezultate na varijabli EPQN. U polje Target Variable upisaemo Z_EPQN, a u polje Numeric Expression upisaemo (EPQN-15)/5 3. elimo da pretvorimo izvorne podatke iz varijable BRGR koja sadre broj greaka u eksperimentu korienjem kvadratno-korenske transformacije. U polje Target Variable upisaemo KK_BRGR, a u polje Numeric Expression ubaciemo iz spiska Functions funkciju SQRT( ? ) i zameniti znak pitanja imenom izvorne varijable, u ovom sluaju BRGR. 4. elimo da pretvorimo izvorne podatke iz varijable VR koja sadri vremena reagovanja ispitanika u eksperimentu korienjem logaritamske transformacije. U polje Target Variable upisaemo L_VR, a u polje Numeric Expression ubaciemo iz spiska Functions funkciju LN( ? ) i zameniti znak pitanja imenom izvorne varijable, u ovom sluaju VR.

Zapamtite: Linearne transformacije ne menjaju oblik distribucije rezultata. One, takodje, ne

menjaju nivo merne skale sa koje potiu podaci. Na primer, ako izvorni podaci potiu sa intervalne merne skale i podaci koji su linearno transformisani zadravaju svojstva intervalne skale.

I aditivna i multiplikativna konstanta linearne transformacije utiu na promenu aritmetike sredine, dok na promenu standardne devijacije ili varijanse utie samo multiplikativna, skalirajua konstanta.

9

5. elimo da podatke na varijabli EPQE, koja sadri izvorne rezultate sa upitnika za varijablu ekstraverzija, pretvorimo u skalu ija e aritmetika sredina biti 50, a standardna devijacija 10. Izraunali smo prethodno da je aritmetika sredina izvorne varijable EPQE jednaka 14, a standardna devijacija jednaka 2. U polje Target Variable upisaemo T_EPQE, a u polje Numeric Expression upisaemo (10/2)*EPQE + (50 - 10*14/2) ili, jednostavnije, 5*EPQE -20. ************************************************************************ 2. Povrinske transformacije

Povrinske transformacije sastoje se u prevodjenju sirovih rezultata u transformisane vrednosti koje govore o tome koliki deo od ukupne "povrine" distribucije (kada se distribucija grafiki prikae) je ispod ili iznat date vrednosti, tj. koliki procenat rezultata u distribuciji lei ispod ili iznad tako dobijene vrednosti. Najpoznatije povrinske transformacije u psihologiji su prevodjenje sirovih rezultata u percentile, percentilne rangove i normalizovane vrednosti.5 (Percentili i percentilni rangovi su definisani u Priruniku, odeljak IV.6. Percentili i percentilni rangovi). Normalizovane vrednosti koje odgovaraju odreenom izvornom rezultatu dobijaju se tako to se izraunaju kumulativne relativne frekvence (kumulativne frekvence u procentima ili kumulativne proporcije) za svaki sirovi rezultat i zatim se sirovom rezultatu pridruuje onaj normalizovani rezultat koji na normalnoj raspodeli odgovara njegovoj kumulativnoj relativnoj frekvenci.. Pri prevodjenju izvornih rezultata u normalizovane vrednosti treba imati na umu da ovakva transformacija ima smisla samo ako se moe pretpostaviti da se varijabla iji su to rezultati normalno ditribuira u populaciji i ako moemo biti uvereni da su aritmetika sredina i standardna devijacija koje smo dobili na uzorku dobra ocena populacijske aritmetike sredine i standardne devijacije (ocenjivanje parametara objanjeno je u Priruniku u odeljku VI.1. Statistiko ocenjivanje parametara, str. 49 do 55) ***********************************************************************

Raunanje percentilnih rangova u SPSS programu moe se izvesti tako to se rezultati na varijabli ranguju (procedura Transform/Rank Cases), a zatim se na osnovu varijable sa rangovima (ije ime se dobija tako to program dodaje slovo r ispred imena izvorne varijable) raunaju percentilni rangovi komandom Transform/Compute. To se radi tako to se od ranga koji odgovara odreenoj meri oduzme 0.5, i zatim ova razlika podeli ukupnim brojem rezultata, tj. ispitanika ije rezultate imamo. Dobijenu vrednost mogue je pomnoiti sa 100 da bi se percentilni rang mere iskazao procentom. Na primer, ako su u varijabli REXTRA iz prethodnog primera rangovi za varijablu ekstroverzija, komandom

COMPUTE PR_EXTR = [100*(REXTRA - 0.5)]/302 dobili bismo percentilne rangove za sve rezultate (ispitanike) koji bi bili upisani u varijabli PREKSTRA na kraju aktivnog fajla sa podacima..

5 Normalizacija rezultata je transformacija koja se koristi za prevoenje distribucije rezultata u normalnu raspodelu.

10

Pretvaranje izvornih rezultata u normalizovane skorove moe se izvesti korienjem procedure Transform/Rank Cases. U polje Variable(s) prozora za dijalog Rank Cases ubaci se ime varijable koja sadri izvorne podatke, zatim klikne na dugme Rank Types. U novom prozoru Rank Cases: Types treba kliknuti na dugme More i ukljuiti opciju Normal Scores. Uobiajenu opciju (koja je automatski ukljuena u okviru Proportion Estimation Formula) treba menjati samo kada smo sigurni da Blumov postupak elimo da zamenimo nekim od preostalih naina ocene kumulativne proporcije u distribuciji koja odgovara nekom rangu. Program e automatski napraviti novu varijablu koja e u svom imenu imati ispred imena izvorne varijable slovo n ili, pak, slova nor ispred nekog broja (zavisno od toga koliko takvih varijabli ve ima u aktivnom fajlu) i u takvu varijablu upisae normalizovane vrednosti. ************************************************************************ Reference koje su koriene u pisanju ovog teksta

Emerson, J. D., & Stoto, M. A. (1983). Transforming data. In D. C. Hoaglin, F. Mosteller, & J. W. Tukey (Eds.), Understanding robust and exploratory data analysis (pp.97-128). New York: Wiley.

Horst, P. (1966). Psychological measurement and prediction. Belmont, CA: Wadswortth publishing company, inc.

Stockburger, D.W. (2000). Linear transformations, WWW dokument, Skinuto 18.2. 2001. sa adrese http://www.psychstat.smsu.edu/introbook/sbk15m.htm. Copyright, Lazar Tenjovi, novembar 2013.