Caso 1.3

Un taller de maquinado dedicado a trabajar piezas metálicas, tiene dos máquinas igualmente útiles para el trabajo que realiza.

Con el objeto de definir cómo se utilizará las máquinas cada día, se ha establecido que la máquina A no debe utilizarse más que la máquina B. Por otro lado, el costo por hora de la operación es de $20 para la máquina A y $25 para la máquina B disponiéndose de un total de $400 para cubrir esos costos diariamente.

La máquina A es capaz de procesar una pieza en 20 minutos mientras que la máquina B lo hace en 30 minutos y se sabe que el taller debe procesar en total un mínimo de 30 piezas diariamente. Asimismo, se sabe que cada pieza que se trabaja en la máquina A produce 0.5 Kg. de material de desperdicio y la máquina B produce sólo 0.3 Kg. de dicho material por pieza que procesa. Se desearía minimizar la cantidad de ese material de desecho.

Tenga en cuenta que el taller trabaja sólo 8 horas diariamente y que no es necesario que las máquinas trabajen todo el día.

a. Identifique las variables de decisión del modelo y formule el modelo de programación lineal respectivo. Mediante el método gráfico, encuentre la región factible, señale la solución óptima.

b. Utilizando su gráfica, en cada una de las situaciones siguientes ,indique si la solución óptima sin calcular valores.. la cantidad de piezas que deben procesar se diariamente 20 unidades.. el jefe del taller consigue una asignación total de 450 soles para cubrir los costos de operación diarios.

Caso 2.1

En la máquina cortadora de prendas de un taller de confecciones pueden procesarse un máximo de 1500 prendas por semana. Esta semana el taller de confecciones ha recibido la solicitud de 7 clientes por el servicio de corte de prendas con las siguientes características:

Es posible brindarle el servicio de corte a cada cliente por una cierta cantidad de prendas, no necesariamente por el máximo de forma obligatoria. El valor de dificultad de corte para cada prenda de cada pedido que se señala en la tabla indica la cantidad de esfuerzo que deben hacer los operarios al cortar cada prenda. Un valor más alto de dificultad indica mayor esfuerzo para los operarios (valor máximo: 10, valor mínimo: 0). Con la finalidad de que el trabajo no les demande un esfuerzo muy grande se desea que el trabajo total a realizar tenga un valor de dificultad promedio por prenda no mayor a 5.Defina las variables de decisión para este caso y presente el modelo de programación lineal que permita al taller dar una respuesta a los clientes en la forma extendida y en la forma compacta.

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La compañía ZINGERLE se dedica a la producción de módulos (bancos y mesas) especialmente destinadas para bares, restaurantes, clubes campestres, etc. El Gerente de Producción se encuentra actualmente planificando la producción de los siguientes tipos módulos: MA6, MA8, MB8 y MB10. Los mencionados tipos de módulos requieren para su producción de ángulos de acero y tablas de madera; la información mencionada, así como los requerimientos de mano de obra (horas – hombre: HH) necesarias para la producción de los diferentes tipos de módulos y la disponibilidad semanal de los recursos se presentan en la siguiente tabla:

El limitante de la producción es la capacidad productiva semanal; la programación de la producción además debe tomar en cuenta la demanda mínima semanal de los diferentes tipos de módulo.La información sobre la capacidad productiva y la demanda mínima semanal, así como el precio de venta por cada tipo de módulo se presentan en la siguiente tabla:

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Caso 2.3

Juanito se dedica a la elaboración de tres tipos de cebiche en bolsa para las playas de Lima, los cuales gozan de gran aceptación por parte de sus clientes. Los ingredientes principales son: pescado, conchas negras, calamar, cebolla y camote. La siguiente tabla muestra la composición de los ingredientes que se utilizan por cada bolsa:

La demanda de cebiche para este fin de semana no constituye un factor limitante; no obstanteJuanito debe vender como mínimo 500, 200 y 300 bolsas de cebiche tradicional, especial y mixto respectivamente, para asegurar la rentabilidad de su negocio. El precio de venta de cada tipo de cebiche se muestra a continuación:

Los costos de los ingredientes y su disponibilidad son:

Caso 2.4

Debido a la gran aceptación del cebiche en bolsa, ahora Juanito está planificando para el próximo verano la venta de sopa en botellón. Las sopas de mayor demanda son: Especial de pollo, marítima de mariscos y tradicional de habas. Los ingredientes principales son: Pollo, mariscos, habas y alverjas. La siguiente tabla muestra el requerimiento de los ingredientes que se utilizan por cada botellón de 3 litros:

Juanito debe vender como mínimo 250, 100 y 300 botellones de sopa Especial de Pollo,Marítima de mariscos y tradicional de habas, respectivamente para asegurar la rentabilidad de su negocio. El precio de venta de cada tipo de sopa se muestra a continuación:

El costo y la disponibilidad de cada ingrediente con que Juanito cuenta para que él mismo prepare sus sopas son los siguientes:

Juanito, además de preparar él mismo sus sopas, puede comprar sopas en botellón ya preparadas a sus tías Julia y Bertha, con la siguiente restricción: “Para cada tipo de sopa, la cantidad de botellones que Juanito compre a sus tías en total de ese tipo, no debe ser superior a la cantidad de botellones de sopa de ese tipo que Juanito prepare”. Los costos de compra por cada tipo de sopa y por cada tía se muestran a continuación:

Defina las variables de decisión y plantee el modelo de programación lineal correspondiente en forma compacta.

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Caso 3.1Un contratista puede suministrar arena a tres construcciones ubicadas en Surco, La Molina y San Borja. La arena se puede obtener de dos canteras ubicadas en Cieneguilla y Lurín. La cantidad máxima que puede comprar en Cieneguilla es 18 toneladas y en Lurín 14 toneladas. Los costos de transporte y obtención de la arena se muestran en el cuadro siguiente:

La cantidad de arena que podría entregar a cada construcción es la siguiente:

DE ESTA SOLO FALTA LA FORMA EXTENSA.

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Sunco Oil tiene refinería en Los Ángeles y Chicago. La refinería de Los Ángeles puede procesar hasta 2 millones de barrilles de crudo por año y la refinería de Chicago refina hasta 3 millones de crudo por año. Una vez refinado, el crudo se embarca hacia dos puntos de distribución: Houston y Nueva York. Sunco estima que cada punto de distribución puede vender hasta 5 millones de barriles por año. Debido a las diferencias en los costos de embarque y refinación, la utilidad unitaria (en $/millón de barriles) depende de dónde se refinó el crudo y del punto de distribución.

Asimismo, Sunco planea ampliar la capacidad de cada refinería. Cada millón de barriles de capacidad de refinación anual que se amplíe costará $1200 en el caso de la refinería de Los Ángeles y $1500 en el caso de la refinería de Chicago, respectivamente. Defina las variables de

SURCO MOLINA SAN BORJA

30 60 50 100

60 30 40 120

COSTO DE TRASNPORTE

CANTERA

CIENEGUILLA

LURIN

COSTO

SURCO LA MOLINA SAN BORJA10 toneladas 5 toneladas 10 toneladas

decisión y plantee el modelo de programación lineal correspondiente, en la forma compacta, que permita a Sunco optimizar sus operaciones en un año. (Respuesta: Z* = 115500)

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Un productor y distribuidor de materiales para iluminación de exteriores, opera tres plantas para fabricar estos materiales y distribuirlos en cinco centros de distribución (almacenes). El pronóstico de la demanda semanal para el año próximo es el siguiente:

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La empresa Ryan Electronics tiene un problema de trasbordo. La producción de sus artículos electrónicos los realiza en las plantas que están ubicadas en Denver y Atlanta, con una capacidad de 600 y 700 unidades respectivamente. La producción de cada planta es enviada a dos almacenes ubicadas en Kansas City y Louisville, que tienen una capacidad de almacén de 600 unidades cada una, de los almacenes son enviados a 4 clientes que están ubicados en las ciudades de: Detroit, Miami, Dallas y New Orleáns, que tiene una demanda mínima de: 200, 200, 400 y 300

unidades respectivamente. Los costos (en dólares por unidad) de transporte son: (fo: 5600)

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Caso 4.4/lo tengo planteado

La ciudad 1 produce 500 toneladas de basura por día y la ciudad 2 produce 400 toneladas por día. La basura debe ser incinerada en los incineradores 1 ó 2, y cada incinerador puede procesar hasta 500 toneladas de basura por día. El costo de incinerar la basura es US$ 40/ton en el incinerador 1 y US$ 30/ton en el incinerador 2. La incineración reduce cada tonelada de basura a 0.2 toneladas de cenizas, las cuales deben ser llevadas a uno de dos depósitos. Cada

depósito puede recibir a lo más 200 toneladas de cenizas por día. El costo es de US$ 30/milla para transportar una tonelada de material (ya sea ceniza o basura). Las distancias en millas se muestran en la tabla.

Formule el problema de programación lineal que se puede usar para minimizar los costos.

Incinerador 1 Incinerador 2

Ciudad 1 30 5

Ciudad 2 36 42

Relleno sanitario 1 relleno sanitario 2

Incinerador 1 5 8

Incinerador 2 9 6

Xij : cantidad de basura en toneladas transportada desde la ciudad “i” hasta el incinerador “j”, así, i=1..2 y j=1..2.

Yij : cantidad de ceniza en toneladas transportada desde el incinerador “i” hasta el botadero “j” así, i=1..2 y j=1..2.

Función objetivo

Z=3⋅[30X11+5X 12+36X21+42X22 ]+3⋅[5Y11+8Y12+9Y21+6Y22]⏟

costo de transporte

+40⋅[X 11+X21 ]+30⋅[X12+X22 ]⏟costo de incineración

=130X11+45X12+148X21+156X22+15Y11+24Y12+27Y21+18Y22

0 .2⋅(X 11+X21 )=Y 11+Y 12⇒0. 2 X11+0 .2 X21−Y 11−Y 12=00 .2⋅(X 12+X 22)=Y 21+Y 22⇒0.2 X12+0 .2 X22−Y 21−Y 22=0

X11+X21≤500Capacidadmáxima del incinerador 1X12+X22≤500 Capacidad máxima del incinerador 2X11+X12=500 Producción de basura de la ciudad 1X21+X22=400 Producción de basura de la ciudad 2Y 11+Y 21≤200 Recepción máxima del botadero 1Y 12+Y 22≤200 Recepción máxima del botadero 2

……………….Chandler Oil Company dispone de 5000 barriles de crudo 1 y de 10000 barriles de crudo 2. Lacompañía produce y vende dos productos: gasolina y aceite combustible. Ambos productos se

elaboran combinando el crudo 1 y el crudo 2. La calidad del crudo 1 es 10 y la calidad del crudo2 es 5. La gasolina debe tener una calidad promedio de por lo menos 7 y el aceite una calidadpromedio de por lo menos 6. La demanda de cada producto debe ser creada por la publicidad.Cada dólar gastado en anunciar a la gasolina crea una demanda de 5 barriles de gasolina; cadadólar gastado en anunciar al aceite combustible origina una demanda de 10 barriles del aceite.La gasolina se vende a 25 dólares por barril y el aceite combustible se vende a 20 dólares porbarril. Formule un modelo de programación lineal para ayudar a Chandler a maximizar susutilidades. (Respuesta: Z* = 347500)

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Eli Daisy utiliza los productos químicos 1 y 2 para elaborar dos fármacos. Por lo menos el 70%de la composición del fármaco 1 debe ser del producto químico 1, y por lo menos 60% de lacomposición del fármaco 2 debe ser del producto químico 2. Se pueden vender hasta 40 onzasdel fármaco 1 a 6 dólares la onza; se pueden vender hasta 30 onzas del fármaco 2 a 5 dólares laonza. Es posible comprar hasta 45 onzas del producto químico 1 a 6 dólares la onza, y hasta 40onzas del producto químico 2 a 4 dólares la onza. Formule un modelo de programación linealque maximice las utilidades de Eli Daisy. (Respuesta: Z* = 52)

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SumcoOil produce 3 tipos de gasolina (1,2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando 3 tipos de petróleo crudo (1,2 y 3). La siguiente tabla presenta los precios de venta por barril de las gasolinas y los precios de compra por barril del petróleo crudo diariamente.

Los 3 tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tienen que tener un índice de octano promedio de por lo menos 10 y a lo mas 1% de azufre. La mezcla de petroleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 2 tienen que tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo mas 2% de azufre.

La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tienen que tener un índice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo mas 1% de azufre.

El índice de octano y el contenido de azufre de los 3 tipos de petróleo se dan en la siguiente tabla :

Los clientes de Sunco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina: gasolina 1, 3000 barriles, gasolina 2, 2000 barriles, gasolina 3, 1000 barriles. La compañía se siente comprometida a cumplir con estas demandas. Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda de sus productos mediante la publicidad. Cada dólar invertido diariamente en el publicidad para cierto tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de este tipo de gasolina den 10 barriles. Por ejemplo, si Sunco decide gastar diariamente 20 dólares para promover la gasolina 2, la demanda diaria de la gasolina 2 se incrementara en 20(10)=200 barriles. Formule un PL que permita a Sunco a maximizar sus ganancias diarias (ganancias = ingreso – costos).

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Manufacturera Acme recibió un contrato para entregar ventanas de vivienda durante los 6 meses siguientes. Las demandas sucesivas para los seis periodos son 100, 250, 190, 140, 220 y 110, respectivamente. El costo de producción por ventana varía de un mes a otro, dependiendo de los costos de mano de obra, materiales y servicios. Acme estima que el costo de producción por ventana, durante los 6 meses siguientes, será $50, $45, $55, $48, $52 y $50, respectivamente. Para aprovechar las fluctuaciones en el costo de manufactura, Acme podría optar por producir más de lo necesario en determinado mes, y guardar las unidades excedentes para entregar en meses posteriores. Sin embargo, eso le ocasionará un costo de almacenamiento de $8 por ventana y por mes, evaluado con el inventario levantado en el fin de mes.

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:

Respuesta:464.5

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Priceler fabrica vehículos tipo sedán y camionetas. La cantidad de vehículos que como máximo se pueden vender en cada uno de los próximos tres meses se presenta a continuación:

Cada sedán se vende en $8000 y cada camioneta se vende en $9000. Para producir un sedán se requieren $6000 y para producir una camioneta se requiere $7500. Mantener por un mes en inventario un sedán y una camioneta cuesta $150 y $200 respectivamente. Se pueden producir durante cada mes a lo más 1500 vehículos en total. Además, por lo menos dos tercios de la producción en el mes 1 deben ser sedanes. El inventario al inicio del mes 1 es de 200 sedanes y 100 camionetas. Defina las variables de decisión y formule el modelo de programación lineal correspondiente en notación compacta. (Respuesta: Z* = 0.11035 x 10 8)

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Gandhi Co. fabrica camisas y pantalones. La demanda en los próximos 3 meses, la cual se debe cumplir a tiempo, es la siguiente:

Durante cada mes, cuesta $4 elaborar una prenda cualquiera en turno normal y cuesta $8 en turno extra. La capacidad mensual de producción en turno normal es 25 prendas y la capacidad mensual de producción en turno extra es ilimitada. Es posible almacenar prendas, a un costo de inventario mensual de $3 por prenda. Al inicio del mes 1, en el almacén hay una camisa y 2 pantalones. Cada camisa requiere 2 yardas2 de tela y cada pantalón requiere 3 yardas2 de tela. Lo máximo de tela que se puede comprar y el costo de compra se muestran a continuación:

Es posible almacenar tela en cada mes, con un costo de almacenamiento despreciable. Defina las variables de decisión y elabore el modelo de programación lineal correspondiente en forma compacta. (Respuesta: Z* = 647.6)

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En una cierta línea de producción se está programando la producción de un solo producto, el producto A. La demanda para la siguiente semana tiene un pronóstico de 50 000 unidades, el cual se estima se desagregará en los seis días útiles correspondientes de la siguiente forma: