Universidad de Costa RicaSede Regional de Guanacaste

Informática EmpresarialIF-0323 Métodos Numéricos

Tipos especiales de matrices: Cholesky, Crout y Doolitle.

Profesor: Luis Eduardo Amaya Briceño

Estudiantes:Baltodano Guzmán Bismark A90736Villalobos Bogantes Carlos B 17658

Lunes 27 de enero 2014

Contenido

Introducción.....................................................................................................................3

Objetivos..........................................................................................................................4

Objetivo General..........................................................................................................4

Objetivos Específicos...................................................................................................4

Algoritmo de Cholesky.....................................................................................................5

Ejemplo........................................................................................................................5

Matrices de banda...........................................................................................................8

Lista de Ejercicios..........................................................................................................10

Conclusiones.................................................................................................................11

Bibliografía.....................................................................................................................12

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Introducción

En matemáticas, la factorización o descomposición de Cholesky

toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky, quien encontró que una

matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de

una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La

matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva

definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas

complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se

deriva de la factorización LU con una pequeña variación.

Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no nulos puede ser escrita

como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular

superior U; esto recibe el nombre de factorización LU. Sin embargo, si A es

simétrica y definida positiva, se pueden escoger los factores tales que U es la

transpuesta de L, y esto se llama la descomposición o factorización de

Cholesky. Tanto la descomposición LU como la descomposición de Cholesky

son usadas para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Cuando es

aplicable, la descomposición de Cholesky es dos veces más eficiente que la

descomposición LU.

La matriz de la descomposición de Crout es una descomposición de LU

que se descompone una matriz en una matriz triangular inferior (L), una matriz

triangular superior (U) y, aunque no siempre necesario, una matriz de

permutación (P).

La matriz de la descomposición Crout algoritmo difiere ligeramente del

método Doolittle . Método de Doolittle devuelve una matriz triangular unidad

inferior y una matriz triangular superior, mientras que el método de Crout

devuelve una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior unidad.

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Objetivos

Objetivo General

Investigar sobre los tipos especiales de matrices: Cholesky, Crout

y Doolitle, para luego ser presentados en exposición.

Objetivos Específicos

Analizar el algoritmo Cholesky, y todos los procedimientos que lo

forman.

Estudiar el algoritmo Crout, para así entender lo que contiene este

tema en sí.

Definir en qué consiste el algoritmo Doolitle, para poder ser

estudiado en clase.

Realizar lista de ejercicios de cada algoritmo, para fortalecer los

conocimientos aprendidos.

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Algoritmo de Cholesky

Factorizar la matriz definida positiva A de un X nen ¿', donde una matriz

triangular inferior.

ENTRADA la dimensión n; los elementos a i j, para 1≤i , j≤ nde A.

SALIDA los elementos lij , para 1≤ j≤n y 1≤i ≤n de L (Los elementos de

U=U n , uij=l ji, para i≤ j≤n y 1≤i ≤n.)

Pasó 1 Tome l11=√a11.

Paso 2 Para j=2 ,…,n , tome l j1=a j1/ l11.

Paso 3 Para i=2 ,…,n−1 , hagamos los pasos 4 y 5.

Paso 4 Tome lii=(ann−∑k=1

i−1

lik2 )1 /2

Pasó 5 Para j=i+1 ,…,n Tome l ji=(a ji−∑k=1

i−1

l jk lik) /lii

Paso 6 Tome lnn=(ann−∑k=1

n−1

lnk2 )

1/2

Paso 7 SALIDA (lij para j=1 ,…, i e i=1 ,…,n);

PARAR

Maple calcula la factorización de Cholesky de A Librería LinearAlgebra

con el enunciado.

Ejemplo

Determine la factorización ¿' de Cholesky de la matriz definida positiva.

A=[ 4 −1 1−1 4.25 2.271 2.75 3.5 ]

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SOLUCION: La factorización ¿' no necesariamente tiene números uno

en la diagonal de la matriz triangular inferior L, así que es necesario tener

A=[a11 a21 a31a21 a22 a32a31 a32 a33

]=[ l11 0 0l21 l22 0l31 l32 l33

] [ l11 l21 l310 l22 l320 0 l33

][ l

211 l11 l21 l11l31

l11l21 l221+l222 l21 l31+l22 l32

l11l31 l21 l31+l22 l32 l231+l232+l

233]

Por tanto

a11: 4=l211→l11=2,

a31 :1=l11 l31→l31=0.5 ,

a32 :2.75=l21 l31+l22 l32→l32=1.5 ,

a21 :−1=l11 l21→l21=−0.5 ,

a22 :4.25=l221+l

222→l32=2,

a33 :3.5=l231+l

232+l

233→l33=1,

Y tenemos

A=¿'=[ 2 0 0−0.5 2 00.5 1.5 1] [

2 −0.5 0.50 2 1.50 0 1 ]

La factorización LDL' que se describe en el algoritmo 6.5 requiere

16n3+n2−1

6n Multiplicaciones –divisiones y

16n3−1

6n sumas-restas.

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La factorización ¿' de Cholesky de una matriz definida positiva requiere

apenas 16n3+ 1

2n2−2

3n Multiplicaciones –divisiones y

16n3−1

6n sumas-restas.

Esta ventaja computacional de la factorización de Cholesky es

engañosa, porque hay que extraer n raíces cuadrados. Pero la cantidad de

operaciones necesarias para calcular las n raíces cuadradas es un factor lineal

de n y su importancia disminuirá al aumentar n.

El algoritmo 6.5 ofrece un método estable para factorizar una matriz

definida positiva en la forma A=LDL', pero hay que modificarlo para resolver el

sistema lineal A x=b. Si queremos hace eso, suprimimos la proposición

PARAR en el paso 5 del algoritmo y agregamos los siguientes pasos para

resolver el sistema triangular inferior Ly=b.

Pasó 6 Tome y1=b1.

Paso 7 Para i=2 ,…,n tome y i=b i−∑j=1

i−1

lij y i.

Entonces podemos resolver el sistema lineal Dz= y por medio de

Paso 8 Para i=1 ,…,n tome z i= y i/d i.

Finalmente, el sistema triangular superior L' x=z se resuelve con los

pasos dados por

Pasó 9 Tome xn=zn.

Paso 10 Para i=n−1 ,…,1 tome x i=zi− ∑j=i+1

i−1

l ji x j.

Paso 11 SALIDA (x i para i=1 ,…,n);

PARAR

En la tabla 6.4 se incluyen las operaciones adicionales necesarias para resolver el sistema lineal.

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Paso Multiplicaciones-divisiones Sumas-restas6 0 07 n(n−1)/2 n(n−1)/28 n 09 0 010 n(n−1)/2 n(n−1)/2

Total n2 n2−n

Si se prefiere al factorización de Cholesky dada en el algoritmo 6.6 para

resolver el sistema Ax=b se utiliza los siguientes pasos adicionales. Primero se

suprime la proposición PARAR en el paso 7. Después se agrega.

Pasó 8 Tome y1=b1/l11.

Paso 9 Para i=2 ,…,n tome y i=¿.

Pasó 10 Tome xn= yn/ lnn.

Paso 11 Para i=n−1 ,…,1 tome x i=¿.

Paso 12 SALIDA (x i para i=1 ,…,n);

PARAR

Los pasos 8-12 requieren n2+n multiplicaciones-divisiones y n2−n

sumas-restas.

Matrices de banda

La última clase de matrices consideradas se denominan matrices de

banda. En la generalidad de las aplicaciones estas matrices son estrictamente

diagonal dominantes o definidas positivas.

Una matriz de n x n recibe el nombre de matriz de banda si existen los

enteros p y q con 1< p ,q<n, que tienen la propiedad de que a i j=0 siempre que

p≤ j−i oq≤ i− j. El ancho de banda de este tipo de matrices se define como w=

p + q – 1.

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El numero p describe el número de diagonales arriba, incluyendo la

diagonal principal en la que pueden estar ubicados los elementos distintos de

cero. El numero q describe el número de diagonales abajo, incluyendo la

diagonal principal en donde pueden estar ubicados los elementos distintos de

cero. Por ejemplo, la matriz

A=[7 2 03 5 −10 −5 −6]

Es una matriz de banda con p = q = 2 y ancho de banda 2 + 2 – 1 = 3.

La definición de la matriz de banda hace que estas matrices concentren

todos sus elementos distintos de cero alrededor de la diagonal. Dos casos

especiales de matrices de banda que surgen a menudo en la práctica tienen p

= q = 2 y p = q = 4.

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Lista de Ejercicios.

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Conclusiones

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Bibliografía

Burden R, Faires J., Análisis Numérico. Internacional Thomson

Editores, sexta edición, 1998.

Chapra S, y Canale R., Métodos Numéricos para Ingenieros.

McGraw-Hill, México, cuarta edición, 2003.

http://en.wikipedia.org/wiki/Crout_matrix_decomposition , visitado

el 21/01/2014, 08:00am.

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_Cholesky,

visitado el 21/01/2014, 09:00am.

https://mat.caminos.upm.es/wiki/Factorizaci

%C3%B3n_de_Doolittle, visitado el 21/01/2014, 10:00am.

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