Trabajo de Analisis (5)

7/21/2019 Trabajo de Analisis (5)

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PROBLEMAS

1. Descrbase el dominio de los siguientes campos

escalares:

a f(x , y ) ! 4x2y2

Df = 4x2y2 0

Df = x2+y2 4

Df = { (x , y )R2

/ x2+y2 4 }

b f(x , y )= =x+yxy

Df = R2

-{ (x , y )R2

/ xy 0 }

Df = R2 -{ (x , y )R2 / y x }

c f(x , y ) = arccosy

x

z = arccos y

x

cos z =yx

-1 cos z 1 -1 y

x 1 -1

y

x

y

x 1

x+y

x 0 yx

x 0


2/19

Df = { (x , y )R2

/x+y

x 0

yxx

0 }

d f(x , y ) = ln(4x24 y 2)

Df = 4x24y2 > 0

Df = { (x , y )R2

/ x2+4y2


3/19

i ln(4xy)

Df = 4xy > 0

Df = { (x , y )R2

/ xy


4/19

e g ) ()* , +)*,

g ( (x) , (x), 0 ) =

cosx

g ( (x) , (x), 0 ) = cos2x

" f(x , y , z )+g (x , y , z )

2

f(x , y , z)+g(x , y , z)

2 = 2x

2

2 = x

2. Descrbase la gr-ca de las siguientes "unciones:

a f(x , y ) ! 3

b g (x , y ) ! ax+by+c

c h (x , y ) ! x2+y2

d i (x , y ) ! r2x2y2


5/19

e m (x , y ) ! r2a x2b y 2

" n (x , y ) ! y2x2


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0. Describir las cur4as f(x , y ) ! 3 o las supercies

de ni4el f(x , y , z )= 3 , para los siguientes campos

" / los 4alores de 3 5ue se indican:

a f(x , y ) ! 25x2y2 3!,1,$,2,0,6

b f(x , y )= y2+x2 3!,$,0,7,8

c f(x , y )= xy

3!91, 9$, ... , 97


7/19

Para los positi4os

Para los negati4os

niendo graca de positi4os / negati4os:

d f(x , y )= 62x3y

3!,$,0,7,8,1


8/19

e f(x , y , z )= 4x+y+2z 3!0

" f(x , y , z )= x2+y2+z2 3!;


9/19

g f(x , y , z )= x2+y2z2 3!1

# f(x , y , z )= 4x2+4y2z2 3!

6. Determinar 5ue las deri4adas parciales cru'adas

de la siguiente "unci


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f(x , y )={

x3+yx y 3

x2+y2

si (x , y ) (0,0 )

0 si (x , y )=(0,0 )

7. Estudiar la continuidad / la di"erenciabilidad de

la siguiente "unci


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dlim

(x, y ) (0, 2 )sec x tany

lim

(x, y ) (0, 2 )sec 0tan

2

e lim(x, y ) (0,0 )

cos x

2+y2

x+y+1lim

(x, y ) (0,0 )cos0

1

"lim

(x , y ) (2, 2)xy+y2x2

x+1

lim(x , y ) (2, 2)

4+2+42

2+1

lim(x, y ) (2,2 )

0

0

glim

(x , y ) (1,0 )x sen y

x2

+1

lim(x , y ) (1,0 )

sen0

2


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# lim(x, y ) (0,2)(cosx1

x2 )( y2y24 )

lim(x, y ) (0,2)(

cosx1

x2 )( 1y+2 )

x+1cos

cos2x1

x2()(

1

y+2 )

lim(x , y ) ( 0,2)

x+1cos

cos

2x1

x2()(

1

y+2 )

lim(x , y ) ( 0,2)

x+1cos

sin2x

x2() (

1

y+2 )

lim(x , y ) (0,2 )

x+1cos

1

() ( 1

y+2 )

lim(x, y ) (0,2)

1

8

ilim

(x , y ) (1,1 )x

3y

31

x+1

lim(x , y ) (1,1 )

0

2


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@lim

(x , y ) (0,0 )xy

x+y

lim(y ) ( 0)

x0

x+0

=limx 0

x

xlim

(x ) (0 )

! 1

lim(x ) ( 0)

0y

0+y

= limy 0y

y =1lim

(y ) (0 )

3

lim(x , y ) (0,0 )

x

x2+y2

lim

(y ) (0 )

x

x2+0

=limx 0

x

x

lim(x ) ( 0)

! 1

lim(x ) (0)

0

0+y2

= limy 0

0

y

=0

lim(y ) (0)

y=x

lim(x , x ) (0,0)

x

2x2=

lim(x , x ) (0,0 )

x

x 2=2

2

EL LME CO ESE


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llim

(x , y ) (0,0 )xy

|xy|

m

lim(x , y ) (0,0 )

xy

x2

+y2

(

lim(y ) ( 0)

x 0

x2+02

)=limx 0

0=0

limx 0

(lim

(x ) (0 )0y

02+y2

)=limy 0

0=0

limy 0

!*

lim

(x , x ) (0,0)x

2

2x2 =

1

2

EL LME CO ESE

nlim

(x , y ) (0,0 )x y

3

x2+y6

(

lim(y ) (0)

x 03

x2+06

)=limx 0

0=0

limx 0

(lim

(x ) (0 )0y

3

02+y6

)=limy 0

0=0

limy 0

!*

lim(x , x ) (0,0)

x4

x2+x6 =

lim(x , x ) (0,0 )

0

1+0 =0


15/19

olim

(x , y ) (0,0 )x

3

x2+y2

(

lim(y ) ( 0)

x3

x2+02)=lim

x 0

x2=0

limx 0

(lim

(x ) (0)0

3

02+y2)=lim

y 0

0=0

limy 0

!*

lim

(x , x ) (0,0)x

3

2x2 =

lim(x , x ) (0,0 )

x2

2=0

plim

(x , y ) (0,0 )x

2+y2

x2+y2+11

r2=x2+y2

lim(x , y ) (0,0 )

r2

r2+11

lim(x , y ) (0,0 )

r2(r2+1+1)

r2

lim(x, y ) (0,0 )

r2+1+1

1F1!$


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alim

(x , y ) (0,0 )x

3sen (y24 )

(y+2 ) sen x

blim

(x , y ) (0,0 )e

xy1

sen x ln (1+y )

c

lim(x , y ) (0,0 )

y sen (xy )

1ex2+y2

dlim

(x, y ) (0,0)ln (1+y x2 )

tany .1cos (x2+y2 )

8. EstGdiese la continuidad de las siguientes

"unciones:

a{x2+y2 si (x , y ) (1,3)10 si (x , y )=(1,3)

b {xyx+y

si (x , y ) (0,0 )

0 si (x , y )=(0,0 )


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c { x

3

x2+y2si (x , y ) (0,0)

28si (x , y )= (0,0)

d {x

34y3

x24y2

si (x , y ) (0,0 )

0 si (x , y )=(0,0 )

e { xy

4x25y 2

si (x , y ) (0,0 )

0 si (x , y )=(0,0 )

" {x3

sen (y24 )(y+2 ) sinx

si (x , y ) (0 ,2)

0si (x , y )=(0 ,2 )

;. sar la di"erencial dz , para apro*imar la

4ariaci


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resultados de las medidas )en centmetros

apareen en la gura ad@unta. Estimar mediante

de dV el error propagado / el error relati4o al

calcular el 4olumen de la [email protected]. La altura de un cono circular mide 16cm.

aumenta en ra'


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Apro*imar el m-*imo porcenta@e de error posible

al calcular en las medidas de E / R son $H / 2H,

respecti4amente.

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