Trabajo de Analisis (2)
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DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICASLa derivacin de las funciones trigonomtricas es el proceso matemtico de encontrar el ritmo al cual una funcin trigonomtrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la funcin. Las funciones trigonomtricas ms habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x).A continuacin se demostrara cada una de ellas: DERIVADA DE LA FUNCION SENO
Esta funcin se define :
La funcin seno tiene las siguientes caractersticas: Es peridica y su periodo es 2
Ahora para saber cmo es esta funcin en tenemos que aplicar los cinco pasos (R5P) que se desarrolla de la siguiente manera:
1. Si f(x) =Sen x , entonces2. f(x+h)=sen(x+h)=senx.cosh+senh.cosx
3. f(x+h)-f(x)=Senx.cosh+senh.cosx-senx =cosx.senh-(1-cosh)senx
4.
5.
Encontrando puntos de inflexion :
(aplicando R5P )
Construccin de la tabla :
x- 0/4/23/45/43/2
y=senx-1-0.70700.70710.7070-0.707-1
y=cosx0+++0---0
y=-senx++0---0++
Analizando la tabla: en x = tiene un mnimo relativo es y cncava en en tiene un punto de inflexin es y cncava en en tiene un mximo relativo es y cncava en en tiene un punto de inflexin es y cncava en en tiene un mnimo relativo
DERIVADA DE LA FUNCIN COSENO
Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Es peridica y su periodo es 2
Ahora para saber cmo es esta funcin en tenemos que aplicar los cinco pasos (R5P) que se desarrolla de la siguiente manera:
i. ii. iii.
iv.
v.
Por definicin de la derivada tenemos:
Encontrando puntos de inflexin (aplicando R5P )
Construccin de la tabla :
x- 0/4/23/45/43/2
y=cosx00.70710.7070-0.707-1-0.7070
y=-senx++0---0++
y=-cosx0---0+++0
Analizando : en tiene punto de inflexin es y cncava en en tiene mximo relativo es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en en tiene mnimo relativo es y cncava en en tiene punto de inflexin
DERIVADA DE LA FUNCION TANGENTE
Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Es peridica y su periodo es Tiene asntotas verticales
Ahora para saber cmo es esta funcin en tenemos que aplicar los cinco pasos (R5P) que se desarrolla de la siguiente manera:
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla
x- 0/4/23/45/43/2
y=tanx-101-101
y=++++++
y=2 tanx-0+-0+
Analizando
en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto de inflexin es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto de inflexin es y cncava en en tiene asntota
DERIVADA DE LA FUNCION CONTANGENTE
Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Su periodo es Tiene asntota vertical
Ahora para saber cmo es esta funcin en tenemos que aplicar los cinco pasos (R5P) que se desarrolla de la siguiente manera:
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla :x- 0/4/23/45/43/2
y=ctgx0-110-110
y=-------
y=2 ctgx0-+0-+0
Analizando : en tiene punto de inflexin es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene punto de inflexin
DERIVADA DE LA FUNCION SECANTE
Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Su periodo es 2 Tiene asntota vertical
Ahora para saber cmo es esta funcin en tenemos que aplicar los cinco pasos (R5P) que se desarrolla de la siguiente manera:
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla x- 0/4/23/45/43/2
y=secx1.4111.41-1.41-1-1.41
y=secxtgx-0++0-
y=secx() +++---
Analizando : en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto mnimo es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto mximo es y cncava en en tiene asntota
DERIVADA DE LA FUNCION COSECANTE
Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Su periodo es 2 Tiene asntota vertical Ahora para saber cmo es esta funcin en tenemos que aplicar los cinco pasos (R5P) que se desarrolla de la siguiente manera:
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla:x- 0/4/23/45/43/2
y=cscx-1-1.411.4101.41-1.41-1
y=0--0++0
y=cscx +x)--+++--
Analizando:
en tiene un punto mximo relativo es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto mnimo relativo es y cncava en en tiene asntota es y cncava en en tiene un punto mximo relativo
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS F. ARCO SENO
es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:
Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada ; pero
Adems:
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla
x-1-0.5-0.200.20.51
y=-90-30-11.5011.53090
y'= +++++
y''= --0++
Analizando :
es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en
F. ARCO COSENO
es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:
Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada : Se tiene ; pero
Adems:
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla:
x-1-0.5-0.300.30.51
y=180120107.49072.54600
y'= -----
y''= ++0--
Analizando :
es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en
F. ARCO TANGENTE:
es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:
Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada :
Como: ;
Entonces: Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla:
x-1-0.5-0.300.30.51
y=-45-26.56-16.69016.6926.5645
y'= +++++++
y''= +++0---
Analizando: es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en
F. ARCO COTANGENTE :
es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as: Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:
Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada :
Como: ;
Entonces: Se tiene :
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla:
x-1-0.5-0.300.30.51
y=13511097.59082.57045
y'= -------
y''= ---0+++
Analizando:
es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en
F. ARCO SECANTE :
es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as: Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:
Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada : Como: Entonces:
Se tiene:
Si
Si
Es decir: , si
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla:x-3-1-0.5-0.200.20.513
y= -180135112.532.545060
y'= -+
y''=++++----
Analizando:
es y cncava en en tiene asntota es y cncava en
F. ARCO COSECANTE :
es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:
Para encontrar la funcin en debemos encontrar su derivada : Como: Entonces: se tiene
Si
Si Es decir: , si
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla:
x-1-0.5-0.200.20.51
y= -90-4597.582.54590
y'= ------
y''=---+++
Analizando:
es y cncava en en tiene asntota es y cncava en
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBLICAS
F. SENO HIPERBLICO :
Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:
Para hallar esta funcin en tenemos que :Esta funcin resulta de la combinacin de las funciones: Es decir:
Derivamos f(x) y obtenemos = 1/2 ex+ 1/2 e-x= ( ex+ e-x)/2 =cosh(x)
= 0 = 0
Hallamos los puntos de inflexin
Construccin de la tabla:x-3-1013
Y=senhx-10.01-1.1701.1710.01
Y=coshx+++++
Y=senhx--0++
Analizando:
es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en
F. COSENO HIPERBLICO
Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Para hallar esta funcin en tenemos que :Esta funcin resulta de la combinacin de las funciones: Esto es: Derivamos: = 1/2 ex- 1/2 e-x= ( ex- e-x)/2 =sinh(x) = 0 = 0
Encontrando puntos de inflexin Construccin de la tabla:
x-3-1013
Y=coshx10.061.5411.5410.06
Y=senhx--0++
Y=coshx+++++
Analizando:
es y cncava en en tiene mnimo relativo es y cncava en
F.TANGENTE HIPERBLICO :
Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:
Para hallar esta funcin en tenemos que :
Debemos encontrar aplicando la derivada de un cociente para todo se tiene:
Encontrando puntos de inflexin Construccin de la tabla:
x-3-1013
Y=tanhx-099-0.7600.760.99
Y=x+++++
Y=tanhx++0--
Analizando: es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en
F. COTANGENTE HIPERBLICA: Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Para hallar esta funcin en tenemos que :Encontrar aplicando la derivada de un cociente para todo se tiene:
Encontrando puntos de inflexin Construccin de la tabla:x-3-1013
Y=cotanhx-1.00-1.311.311.00
Y=x----
Y=cotanhx--++
Analizando: es y cncava en en tiene asntota es y cncava en
F. SECANTE HIPERBLICA:
Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas: Para hallar esta funcin en tenemos que :Debemos encontrar aplicando la derivada de un cociente para todo se tiene:
sech(x)=1/cosh(x)= ( cosh(x)1 - 1cosh(x))/cosh2(x) = -sinh(x)/cosh2(x)= -tanh(x)sech(x)
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla:x-3-1013
Y=sechx0.090.640.640.09
Y=-tanhxsechx++0--
Y=-sech(x-hx)+-0-+
Analizando: es y cncava en es y cncava en en tiene mximo relativo es y cncava en es y cncava en
F. COSECANTE HIPERBLICO : Esta funcin se define as:
Esta funcin tiene las siguientes caractersticas:
Para hallar esta funcin en tenemos que :Encontrar aplicando la derivada de un cociente para todo se tiene:csch(x)=1/sinh(x)= ( sinh(x)1 - 1sinh(x))/sinh2(x)= -cosh(x)/sinh2(x)= -coth(x)csch(x)
Encontrando puntos de inflexin Construccin de la tabla:x-3-1013
Y=cosechx-0.09-0.850.850.09
Y=-cschxctghx----
Y=cosech(x-hx)--++
Analizando: es y cncava en en tiene asntota es y cncava en
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBLICAS INVERSAS
F. ARCO SENO H. :
es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as: Para hallar la funcin en necesitamos : ebemos encontrar
Encontrando puntos de inflexin
Construccin de la tabla:
x-3-2-10123
y=-1.8-1.4-0.8800.881.41.8
y'= +++++++
y''= +++0---
Analizando : es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en
F. ARCO COSENO HIPERBLICO :
es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as:
Para hallar la funcin en necesitamos derivar lo siguiente:
Tomando
De = 0 =0 x
Encontrando puntos de inflexin :
X=0 punto de inflexin.Si x=0 f(0)=arccosh(0)=
Construccin de la tabla:
01234
01.311.72.06
+++
---
Analizando: en tiene asntota es y cncava en
F. ARCO TANGENTE HIPERBLICO :
es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as: Para hallar la funcin en necesitamos derivar lo siguiente: Tomando:
De =0 =0 x
Encontrando puntos de inflexin
X=0 punto de inflexin; Si x=0 f(0)=arcotanh(0)=0
Construccin de la tabla:x-1-0.7-0.200.20.71
y=-0.86-0.200.20.86
y'= +++++
y''= --0++
Analizando: es y cncava en en tiene punto de inflexin es y cncava en
F. ARCO COTANGENTE HIPERBLICO :
es una funcin inyectiva por lo tanto admite inversa y se llama y se define as:
Para hallar la funcin en necesitamos derivar lo siguiente:
Tomando
De =0 =0 x Encontrando puntos de inflexin
X=0 punto de inflexin; Si x=0 f(0)=arcoctgh(0)=
-4-2-10124
-0.25-0.540.540.255
Y= --
+--
--
0++
Construccin de la tabla :
Analizando :
en es y cncavo
en x=0
en es y cncavo
F. ARCO SECANTE HIPERBLICO :
Para hallar la funcin en necesitamos derivar lo siguiente:
Tomando
De =0 =0 x Encontrando puntos de inflexin :
=0 =0 x=
Construccin de la tabla:
-100.20.50.71
2.291.310
Y=---
++++-
Analizando:
en es y cncavo
F. ARCO COSECANTE HIPERBLICO :
Para hallar la funcin en necesitamos derivar lo siguiente:
Tomamos:
De =0 =0 x Hallando los puntos de inflexin :
=0 =0 x
Construccin de la tabla:
-100.20.50.71
Y=-0.882.311.441.150.88
Y=-----
++++
Anlisis:
en el es y cncavo
x=0
en el es y cncavo