Tópicos de macroeconomíaModelo de Solow sin cambio tecnológico La estructura básica del modelo...
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Tópicos de macroeconomía
Modelos de crecimiento económicoCarlos Rojas Quiroz
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Tópicos de macroeconomía
1. Modelo de Solow sin cambio tecnológico
2. Modelo de Solow con cambio tecnológico
3. Modelo de Ramsey sin cambio tecnológico
4. Modelo de Ramsey con cambio tecnológico
5. Crecimiento endógeno: modelo AK
6. Crecimiento endógeno: capital humano
7. Crecimiento endógeno: externalidades 1/158
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
• Economía cerrada, con un único bien final y habitada por unnúmero grande de hogares. Ellos (los hogares) ahorran unafracción exógena constante, s ∈ (0, 1), de su ingreso disponible.
• Los hogares son dueños de los factores de producción, por loque ofertan mano de obra (inelástica) a una tasa w y ofrecencapital a las empresas a una tasa de “alquiler” r.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
En la economía también hay firmas con acceso a una función deproducción Cobb-Douglas para el único bien final.
Y(t) = F (K(t), L(t),A(t))
Donde Y(t) es el bien final, K(t) es el stock de capital, L(t) es eltrabajo y A(t) es un índice tecnológico.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
Supuesto 1
La función de producciónF : R3+ → R+ es dos veces diferenciable
en K(t) y en L(t), y satisface:
FK(K(t),L(t),A)≡ ∂F (K(t),L(t),A)∂K(t) >0 FL(K(t),L(t),A)≡ ∂F (K(t),L(t),A)
∂L(t) >0
FKK(K(t),L(t),A)≡ ∂2F (K(t),L(t),A)∂K(t)2
<0 FLL(K(t),L(t),A)≡ ∂2F (K(t),L(t),A)∂L(t)2
<0
Además,F exhibe retornos constantes a escala en K(t) y en L(t).
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
Definición 1
Sea k ∈ N. La función G : Rk+2→ R es homogénea de gradom enx ∈ R e y ∈ R si:
G (λx, λy, z) = λmG (x, y, z) ∀ λ ∈ R, z ∈ Rk
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
Teorema 1
Suponga que G : Rk+2→ R es diferenciable en x ∈ R y en y ∈ R,con derivadas parciales denotadas por Gx y Gy, y es homogénea degradom en x e y. Entonces:
mG (x, y, z) = Gx(x, y, z)x+ Gy(x, y, z)y ∀ x ∈ R, y ∈ R, z ∈ Rk
Además, Gx(x, y, z) y Gy(x, y, z) son por sí mismas homogéneas degradom− 1 en x e y.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
Supuesto 2
F satisface las condiciones de Inada:
limK→0FK(K(t),L(t),A)=∞ y limK→∞FK(K(t),L(t),A)=0 ∀ L(t)>0 y A
limL→0FL(K(t),L(t),A)=∞ y limL→∞FL(K(t),L(t),A)=0 ∀ K(t)>0 y A
Además,F (0, L(t),A) = 0 ∀ L(t) y A.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoOptimización de la firma y equilibrio
• Los mercados son competitivos. Por tanto, el objetivo de lafirma es maximizar beneficios.
• No hay fricciones en el mercado del capital, por lo que la tasade alquiler del capital es igual a su retorno.
mxK(t)≥0,L(t)≥0
(t) = F (K(t), L(t),A) − R(t)K(t) − w(t)L(t)
Donde R(t) = r(t) + δ, es el costo de uso del capital.
Numerario
No hay un precio multiplicando la funciónF , dado que se asumeque P = 1.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoOptimización de la firma y equilibrio
Dadas las ofertas de capital y trabajo en el período t, K(t) y L(t), losprecios de factores deben satisfacer la siguiente condición:
w(t) = FL(K(t), L(t),A) (1)
R(t) = FK(K(t), L(t),A) (2)
Recordando el Teorema 1, podemos intuir que la firma genera cerobeneficios.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoOptimización de la firma y equilibrio
Proposición 1
Si el Supuesto 1 se mantiene, entonces en el equilibrio del modelo deSolow las firmas generan cero beneficios y, en particular:
Y(t) = w(t)L(t) + R(t)K(t) (3)
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa ecuación fundamental de Solow
El ahorro de los hogares es S(t) = sY(t), por lo que su consumo sedefine así
C(t) = (1− s)Y(t) (4)
Además, la población crece en el tiempo a una tasa n:
L(t) = nL(t) (5)
Realizamos cambios en la naturaleza de las variables. Expresamos elmodelo en términos per cápita:
k(t) ≡K(t)
L(t)11/158
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa ecuación fundamental de Solow
Hallamos la tasa de crecimiento del capital per cápita(k(t)k(t)
):
∂k(t)
∂t≡ k(t) =
∂K(t)
∂t
1
L(t)−
K(t)
L(t)
∂L(t)
∂t
1
L(t)
k(t) =K(t)
L(t)−
L(t)
L(t)
K(t)
L(t)=
K(t)
K(t)
K(t)
L(t)−
L(t)
L(t)
K(t)
L(t)
k(t)
k(t)=
K(t)
K(t)−
L(t)
L(t)
k(t)
k(t)=
K(t)
K(t)− n
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa ecuación fundamental de Solow
Definimos la ecuación de movimiento del capital
K(t) = sF (K(t), L(t),A) − δK(t) (6)
Modificando la ecuación 6, en términos per cápita:
k(t)
k(t)=
sF (K(t), L(t),A)
K− (δ+ n)
k(t)
k(t)=
sF (K(t), L(t),A)/L(t)
K(t)/L(t)− (δ+ n)
k(t)
k(t)=
sf(k(t))
k(t)− (δ+ n) (7)
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa ecuación fundamental de Solow
Definición 2
En el modelo básico de Solow, con crecimiento poblacional a la tasan, sin progreso tecnológico y con un capital inicial de K(0), la sendade equilibrio está dada por secuencias de capital, trabajo,producción, consumo, salarios y tasas de alquiler[K(t), L(t), Y(t),C(t),w(t),R(t)]∞t=0, tal que:
• L(t) satisface la ecuación 5
• k(t) ≡ K(t)L(t) satisface la ecuación 7
• Y(t) está dado por la ecuación 3
• C(t) está dado por la ecuación 4
• w(t) y R(t) estan determinadas por las ecuaciones 1 y 214/158
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
Cuando k(t)→ k∗:f(k∗)
k∗=
n+ δ
s(8)
En estado estacionario, la cantidad de inversión es usada parareponer el ratio capital-trabajo.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
k(t)
f(k(t))
k∗
sf(k(t))sf(k∗)
f(k(t))f(k∗)
(δ+ n)k(t)
consumo
inversión
Figura: Diagrama de Solow 16/158
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
Proposición 2
Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces existe un únicoequilibrio de estado estacionario cuando el ratio capital-trabajo seaigual a k∗ ∈ (0,∞) y satisface la ecuación 8. El PBI per cápita es:
y∗ = f(k∗)
Y el consumo per cápita es:
c∗ = (1− s)f(k∗)
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
Definición 3
Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, y además sabemos que el nivelde estado estacionario del ratio capital-trabajo k∗(A, s, δ, n), y elnivel de estado estacionario del producto per cápita y∗(A, s, δ, n),entonces:
∂k∗
∂A> 0,
∂y∗
∂A> 0,
∂k∗
∂s> 0,
∂y∗
∂s> 0,
∂k∗
∂δ< 0,
∂y∗
∂δ< 0,
∂k∗
∂n< 0;
∂y∗
∂n< 0.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
Proposición 3
Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces el modelo de Solowcon crecimiento poblacional y sin progreso técnico es global yasintóticamente estable, por lo que si se empieza desde el puntok(0) > 0, monotónicamente converge a k∗.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
k(t)
k(t)k(t)
k∗
Figura: Convergencia hacia el estado estacionario20/158
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoTrampa de pobreza
• Definición:Estado Estacionario estable con niveles bajos de capital yproducto per cápita.
¿Por qué es una trampa?
Si el capital aumenta, la misma dinámica del modelo moviliza elcapital hacia el valor de Estado Estacionario bajo.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoTrampa de pobreza
Un país tiene acceso a una función de producción “tradicional” y aotra “moderna”.
YA(t) = AK(t)αL1−α (9)
YB(t) = BK(t)αL1−α (10)
Donde B > A. Para explotar la mejor tecnología, el país paga un costode instalación, en cada momento del tiempo, que es proporcional ala población y está dado por bL, donde b > 0. No hay progresotecnológico.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoTrampa de pobreza
En términos per cápita
yA(t) = Ak(t)α (11)
yB(t) = Bk(t)α − b (12)
Donde B > A. Si el gobierno decide gastar en obtener la mejortecnología, entonces todos los productores usan la función deproducción “moderna”. Si no, todos usan la función de producción“tradicional”.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoTrampa de pobreza
k(t)
f(k(t))
b
k
A
B
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoTrampa de pobreza
Valor crítico (k):
k =[ b
(B− A)
] 1α
(13)
El gobierno paga el costo de instalación si k ≥ k y no lo hace si k < k.
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoTrampa de pobreza
Utilizando la ecuación fundamental de Solow (en términos percápita):
k(t)
k(t)= s
f(k(t))
k(t)− (δ+ n) (14)
Donde f(k(t)) = Ak(t)α si k(t) < k y f(k(t)) = Bk(t)α − b sik(t) ≥ k
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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoTrampa de pobreza
k(t)k(t)
k
n+ δ
s f(k(t))k(t)
k∗low k∗middle k∗high(stable) (unstable) (stable)
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Tópicos de macroeconomía
1. Modelo de Solow sin cambio tecnológico
2. Modelo de Solow con cambio tecnológico
3. Modelo de Ramsey sin cambio tecnológico
4. Modelo de Ramsey con cambio tecnológico
5. Crecimiento endógeno: modelo AK
6. Crecimiento endógeno: capital humano
7. Crecimiento endógeno: externalidades 28/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
A(t) = gA(t) (15)
Crecimiento balanceado
Se refiere a la situación donde el PBI crece a una tasa constante,mientras que el ratio capital/producto, la tasa de interés, y losporcentajes de los factores de producción se mantienen constantes.
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
Importante
Para que exista crecimiento balanceado se necesita que la función deproducción sea neutral en el sentido de Harrod (Usawa’s Theorem).
Y(t) = F (K(t),A(t)L(t))
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa ecuación fundamental de Solow
K(t) = sF (K(t),A(t)L(t)) − δK(t) (16)
“Normalizamos” las variables en términos “per cápita efectivos”.Definimos k(t):
k(t) ≡K(t)
A(t)L(t)(17)
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa ecuación fundamental de Solow
Tasa de crecimiento del capital per cápita efectivo(˙k(t)k(t)
):
∂k(t)
∂t≡ ˙k(t) =
K(t)
A(t)L(t)
K(t)
K(t)−
K(t)
A(t)L(t)
L(t)
L(t)−
K(t)
A(t)L(t)
A(t)
A(t)
˙k(t)
k(t)=
K(t)
K(t)−
L(t)
L(t)−
A(t)
A(t)
˙k(t)
k(t)=
K(t)
K(t)− n− g
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa ecuación fundamental de Solow
˙k(t)
k(t)=
sF (K(t),A(t)L(t))
K(t)− (δ+ g+ n)
˙k(t)
k(t)=
sF (K(t),A(t)L(t)) × 1A(t)L(t)
K(t) × 1A(t)L(t)
− (δ+ g+ n)
˙k(t)
k(t)=
sf(k(t))
k(t)− (δ+ g+ n) (18)
Donde:
• s f(k(t))k(t) : inversión media por unidad de trabajo efectivo.• (δ+ g+ n): tasa de reposición.• Restricción adicional: δ+ g+ n > 0. 33/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
Proposición 4
Considere el modelo de crecimiento de Solow con tecnología neutralen el sentido de Harrod, progreso técnico a una tasa g y crecimientopoblacional a tasa n. Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entoncesexiste una única senda de crecimiento balanceado, donde el ratiocapital-trabajo efectivo es igual a k∗ ∈ (0,∞), dado por:
f(k∗)
k∗=
δ+ g+ n
s(19)
Además, el PBI per cápita y el consumo crecen a una tasa g.
34/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
Definición 4
Si los supuestos 1 y 2 se mantienen y sea A(0) el nivel inicial detecnología, el nivel de estado estacionario del ratio capital-trabajoefectivo consistente con la senda balanceada k∗(A(0), s, δ, n) y elnivel de estado estacionario del producto per cápitay∗(A(0), s, δ, n, t), entonces:
∂k∗
∂A(0)= 0,
∂y∗
∂A(0)> 0,
∂k∗
∂s> 0,
∂y∗
∂s> 0,
∂k∗
∂δ< 0,
∂y∗
∂δ< 0,
∂k∗
∂n< 0;
∂y∗
∂n< 0 ∀ t.
35/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
k(t)
f(k(t))
k∗
sf(k(t))sf(k∗)
f(k(t))f(k∗)
(δ+ n+ g)k(t)
consumo
inversión
Figura: Diagrama de Solow 36/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
Proposición 5
Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces la senda decrecimiento balanceada del modelo de Solow con progresotecnológico a la Harrod y crecimiento poblacional es asintóticamenteestable, por lo que si se empieza de cualquier k(0) > 0, el ratio decapital trabajo efectivo converge a k∗ (k(t)→ k∗).
37/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoCambio en s (s2 > s1)
k(t)
f(k(t))
k∗1 k∗2
s1f(k(t))
s2f(k(t))
(δ+ n+ g)k(t)
Figura: Diagrama de Solow 38/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoCambio en s (s2 > s1)
k(t)
˙k(t)k(t)
k∗1 k∗2
s1 f(k(t))k(t)
− (δ+ g+ n)
s2 f(k(t))k(t)
− (δ+ g+ n)
Figura: Convergencia hacia el estado estacionario39/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoCambio en s (s2 > s1)
Tiempo
s
s1
s2
t0
Tiempo
˙k(t)
0
t040/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoCambio en s (s2 > s1)
Tiempo
y(t)y(t)
g
t0
Tiempo
log y(t)
t0 41/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoCambio en s (s2 > s1)
Tiempo
c(t)
?
t0
42/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoCambio en s (s2 > s1)
En estado estacionario c∗ = (1− s)f(k∗). Además, inversión(ahorro) en Estado Estacionario es sf(k∗) = (δ+ n+ g)k∗, luego:
c∗ = f(k∗) − (n+ g+ δ)k∗
De la definición 4 sabemos que k∗ = k∗(A(0), s, δ, n), entonces:
c∗ = f(k∗(A(0), s, δ, n)) − (n+ g+ δ)k∗(A(0), s, δ, n)
Encontrando la derivada de c∗ respecto de la tasa de ahorro s:
∂c∗
∂s= [f′(k∗(A(0), s, δ, n)) − (n+ g+ δ)]
∂k∗(A(0), s, δ, n)
∂s43/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoCambio en s (s2 > s1)
El efecto final de un movimiento en la tasa de ahorro sobre elconsumo per cápita eficiente de estado estacionario dependerá dedos factores:
• f′(k∗(A(0), s, δ, n)): producto marginal del capital. Por elsupuesto 1 sabemos que f′(k∗) > 0.
• (n+ g+ δ): tasa de reposición.
44/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa regla dorada
Un nivel de ingreso mayor no significa necesariamente un mayornivel de bienestar. ¿Cuál es el nivel de capital que maximiza dichavariable? Este nivel es conocido como capital de la “regla dorada”.
mxk∗≥0
c∗ = f(k∗) − (δ+ g+ n)k∗
La solución de este problema es:
f′(kRD) = δ+ g+ n
Donde kRD es el capital de la regla dorada.
45/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa regla dorada
Si Y = Kα(AL)1−α, por tanto f(k) = kα. Entonces:
kRD =[
α
δ+ g+ n
] 11−α
kRD es el nivel de capital que maximiza el consumo. Comparando conk∗:
kRD =[
α
δ+ g+ n
] 11−α
versus k∗ =[ s
δ+ g+ n
] 11−α
Por lo que si α = s, entonces el capital per cápita efectivo de estadoestacionario es aquél que maximiza el consumo per cápita efectivo.
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoIneficiencia dinámica
• Si kRD < k∗, el nivel actual de capital per cápita eficiente deestado estacionario no es el que maximiza el bienestar de losconsumidores. A largo plazo la economía podría obtener mayorbienestar reduciendo su stock de capital per cápita eficiente.
• “Sobreinversión” en estado estacionario, donde losconsumidores ahorran más de lo necesario para obtener unnivel máximo de bienestar en el largo plazo.
• El nivel de estado estacionario es ineficiente, porque podríaincrementarse el bienestar a largo plazo reduciendo el ahorro(s→ sRD).
47/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoIneficiencia dinámica
k(t)
f(k(t))
k∗kRD
sf(k(t))
sRDf(k(t))
f(k(t))
(δ+ n+ g)k(t)
consumo
inversión
Figura: Diagrama de Solow y regla dorada 48/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoIneficiencia dinámica
• Si kRD > k∗, no hablamos de ineficiencia dinámica. Paraincrementar el nivel de bienestar en el largo plazo, deberíamosincrementar la tasa de ahorro de la economía. “Subinversión”en estado estacionario.
• Consejo de política no es del todo claro y dependerá deapreciación intergeneracional. Si kRD > k∗, hoy se tendrá queaumentar el ahorro, y por tanto la inversión per cápita efectiva,para obtener un mayor nivel de consumo per cápita eficiente enel largo plazo. Sin embargo, ese aumento de la inversión hoy,significa una caída del consumo hoy.
• Por tanto, para alcanzar kRD, la sociedad tendría que valorarmás el bienestar futuro (de largo plazo) que el del períodoactual, que se vería afectado. 49/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoVelocidad de convergencia
Si la función de producción es y = kα, entonces la ecuaciónfundamental de Solow se reescribe así:
˙k(t)
k(t)= sk(t)α−1 − (δ+ g+ n) (20)
Aplicamos una aproximación de Taylor de primer orden alrededor dek∗:
˙k(t)
k(t)≈[sk∗α−1 − (δ+ g+ n)
]+ s(α − 1)k∗α−1
(k(t) − k∗
k∗
)(21)
50/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoVelocidad de convergencia
La expresión sk∗α−1 − (δ+ g+ n) es cero en estado estacionario.Además k(t)− k∗
k∗ ≈ log(k(t)k∗
). Luego:
˙k(t)
k(t)≈ s(α − 1)k∗α−1 log
(k(t)
k∗
)(22)
En estado estacionario s = δ+g+nk∗α−1 , por lo que incluyendo esta
igualdad se tiene:
˙k(t)
k(t)≈ −(δ+ g+ n)(1− α) log
(k(t)
k∗
)(23)
β∗k = (1− α)(δ+ g+ n) es la velocidad de convergencia de k(t). 51/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoVelocidad de convergencia
Además, se cumple:˙y(t)
y(t)= α
˙k(t)
k(t)
log
(y(t)
y∗
)= α log
(k(t)
k∗
)Utilizando ambas igualdades se tiene:
˙y(t)
y(t)≈ −α(δ+ g+ n)(1− α) log
(k(t)
k∗
)⏟ ⏞
1αlog
(y(t)y∗
)(24)
Por lo que β∗k = β∗y52/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoVelocidad de convergencia
Entonces:
˙y(t)
y(t)≈ −(δ+ g+ n)(1− α) log
(y(t)
y∗
)(25)
53/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoVelocidad de convergencia
Si α = 1/3, δ = 0,05, g = 0,02 y n = 0,01.¿Cuánto de la brecha entre el producto per cápita eficiente y su valorde estado estacionario se cierra en un año?
β∗ = (1− 1/3) × (0,05+ 0,02+ 0,01) ≈ 5,3%
En un año se cierra aproximadamente el 5,3% de la brecha existentedel producto per cápita eficiente respecto a su valor de EE.
54/158
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoVelocidad de convergencia
¿Cuál es el tiempo promedio en que se cerrará la mitad de la brecha?Resolvemos ecuación diferencial en log[ y(t)]:
log[ y(t)] = (1− exp−βt) log[ y∗] + exp−βt log[ y(0)]
El tiempo t para el que log[ y(t)] recorra la mitad del caminorespecto a log[ y∗] satisface la condición:
exp−βt = 1/2
Por tanto, resolviendo para t, se tiene:
t =log(2)
β∗≈ 13 (26)
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Modelo de Solow con cambio tecnológicoVelocidad de convergencia
¿Cuál es el tiempo promedio en que se cerrará 3/4 de la brecha?El tiempo t para el que log[ y(t)] recorra 3/4 del camino respecto alog[ y∗] satisface la condición:
exp−βt = 1/4
Por tanto, resolviendo para t, se tiene:
t =log(4)
β∗≈ 26 (27)
56/158
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Modelo de Solow con capital humanoLa estructura básica del modelo
Se plantea una función de producción del siguiente tipo:
Y(t) = F (K(t),H(t),A(t)L(t)) (28)
Donde H(t) es el stock de capital humano.
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Modelo de Solow con capital humanoLa estructura básica del modelo
Supuesto 1B
La función de producciónF : R3+ → R+ es dos veces diferenciable
en K(t), en H(t) y en L(t), y satisface:
FK(K(t),H(t),A(t)L(t))>0 FH(K(t),H(t),A(t)L(t))>0 FL(K(t),H(t),A(t)L(t))>0
FKK(K(t),H(t),A(t)L(t)))<0 FHH(K(t),H(t),A(t)L(t)))<0 FLL(K(t),H(t),A(t)L(t)))<0
Además,F exhibe retornos constantes a escala en sus tresargumentos.
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Modelo de Solow con capital humanoLa estructura básica del modelo
Supuesto 2B
F satisface las condiciones de Inada:
limK→0FK =∞ y limK→∞FK = 0 ∀ H(t) > 0 y A(t)L(t) > 0
limH→0FH =∞ y limH→∞FH = 0 ∀ K(t) > 0 y A(t)L(t) > 0
limL→0FL =∞ y limL→∞FL = 0 ∀ K(t),H(t),A(t) > 0
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 1: bienes sustitutos
Utilizaremos una función de producción Cobb-Douglas para hacermás directo el cálculo. Sea la función:
Y(t) = K(t)αH(t)η(A(t)L(t))1−α−η (29)
Donde H(t) es el capital humano y K(t) el capital físico. Además, enesta economía existe progreso tecnológico, a una tasa g, ycrecimiento poblacional, a una tasa n.
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 1: bienes sustitutos
En términos per cápita eficientes:
y(t) = k(t)αh(t)η (30)
Capital humano y físico son sustitutos perfectos. Luego, la ecuaciónfundamental de Solow es:
˙k(t) + ˙h(t) = sk(t)αh(t)η − (δ+ g+ n)(k(t) + h(t)) (31)
¿Cómo asignar eficiente los recursos entre capital humano y físico?
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 1: bienes sustitutos
Igualdad de productividades marginales:
fk = fh
Entonces:αk(t)α−1h(t)η = ηk(t)αh(t)η−1
h(t) =η
αk(t) (32)
Derivando respecto al tiempo:
˙h(t) =η
α
˙k(t) (33)
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 1: bienes sustitutos
Usando lo obtenido en 32 y 33, y reemplazando en la ecuación 31:
˙k(t) = sAk(t)α+η − (δ+ g+ n)k(t) (34)
Donde A ≡= ηηα1−η
α+η , es una constante.
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 1: bienes sustitutos
Estado Estacionario:
k∗ =
(sA
δ+ g+ n
) 11−α−η
(35)
h∗ =η
α
(sA
δ+ g+ n
) 11−α−η
(36)
Velocidad de convergencia:
β∗ = (1− α − η) × (δ+ g+ n) (37)
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 2: bienes complementarios
Ahora suponemos que la tasa de ahorro en capital físico y humano esdistinto (sk, sh) y las tasas de depreciación también (δk, δh). En esesentido, la forma de acumulación de ambos capitales se representapor ecuaciones distintas. Manteniendo la misma función deproducción que en la ecuación 29 se tiene:
˙k(t) = skk(t)αh(t)η − (δk + g+ n)k(t) (38)
˙h(t) = shk(t)αh(t)η − (δh + g+ n)h(t) (39)
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 2: bienes complementarios
En Estado Estacionario se tiene que ˙k(t) = 0 y ˙h(t) = 0.
• En la ecuación 38, cuando ˙k(t) = 0:
skk(t)αh(t)η = (δk + g+ n)k(t) (40)
• En la ecuación 39, cuando ˙h(t) = 0:
shk(t)αh(t)η = (δh + g+ n)h(t) (41)
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 2: bienes complementarios
Convertimos las ecuaciones 40 y 41 en una función h(t) = f(k(t)),respectivamente:
• Cuando ˙k(t) = 0:
h(t) =(δk + g+ n
sk
) 1η
k(t)1−αη (42)
• Cuando ˙h(t) = 0:
h(t) =( shδh + g+ n
) 11−η
k(t)α
1−η (43)
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 2: bienes complementarios
En Estado Estacionario, las ecuaciones 42 y 43 son iguales, tal queh = h∗, k = k∗, además de y = y∗ = k∗
αh∗
η:
k∗ =( skδk + g+ n
)( 1−η1−α−η
)( shδh + g+ n
)( η
1−α−η
)(44)
h∗ =( skδk + g+ n
)( α
1−α−η
)( shδh + g+ n
)( 1−α1−α−η
)(45)
y∗ =( skδk + g+ n
)( α
1−α−η
)( shδh + g+ n
)( η
1−α−η
)(46)
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 2: bienes complementarios
Note que en las ecuaciones 42 y 43 se tiene:
∂h
∂k|˙k=0>
∂h
∂k|˙h=0 (47)
Velocidad de convergencia:
β∗ = (1− α − η) × (δ+ g+ n) (48)
∀ δk = δH = δ.
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Modelo de Solow con capital humanoModelo 2: bienes complementarios
k(t)
h(t)˙k(t) = 0
˙h(t) = 0
k∗
h∗
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Tópicos de macroeconomía
1. Modelo de Solow sin cambio tecnológico
2. Modelo de Solow con cambio tecnológico
3. Modelo de Ramsey sin cambio tecnológico
4. Modelo de Ramsey con cambio tecnológico
5. Crecimiento endógeno: modelo AK
6. Crecimiento endógeno: capital humano
7. Crecimiento endógeno: externalidades 71/158
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
• Debilidad del modelo de Solow: tasa de ahorro exógena yconstante.
• Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans lidia con ello:1. Proceso de optimización del individuo. Ahorro es endógeno.2. Bienestar del consumidor.
• Pero modelo de Ramsey sigue considerando tasas decrecimiento exógenas para el trabajo y la tecnología.
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
Supuesto 3
La función de utilidad instantánea u(c(t)), está definida sobre R+ oR+\{0}. Es estrictamente creciente, cóncava y dos vecesdiferenciable, con derivadas u′(c(t)) > 0 y u′′(c(t)) < 0 para todoc(t) en el interior de su dominio.
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
La función de utilidad intertemporal del hogar es:
V(t) =∫ ∞
0exp−(ρ−n)t u(c(t))dt (49)
Donde ρ es la tasa de descuento subjetiva. También se asume queL(0) = 1. Tome en cuenta que L(t) = L(0)expnt.Ademásc(t) = C(t)/L(t).
Supuesto 4
ρ > n
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modeloRestricción presupuestaria del hogar:
A (t) =d(A (t))
dt= r(t) × A (t) + w(t)L(t) − C(t) (50)
A : activos del consumidor (A (0) > 0). En términos per cápita(a(t) =A (t)/L(t)):
d(A (t)/L(t))
dt=A (t)
L(t)−A (t)
L(t)
L(t)
L(t)(51)
a(t) =r(t) × A (t) + w(t)L(t) − C(t)
L(t)− a(t)n (52)
a(t) = (r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t) (53) 75/158
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoMaximización del consumidor
mxc(t)≥0,a(t)≥0
V(t) =∫ ∞
0exp−(ρ−n)t u(c(t))dt
Sujeto a:a(t) = (r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t)
Condición de No Ponzi
lımt→∞
{exp
[−∫ t
0(r(ν) − n)dν
]× a(t)
}≥ 0
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoMaximización del consumidor
H (t) = u[c(t)] + μ(t) [(r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t)] (54)
Siendo μ(t) = exp[(ρ− n)t] × λ(t). Además, las CPO’s son:
∂H (t)
∂c(t)= 0 ⇒ μ(t) = u′(c(t)) (55)
∂H (t)
∂a(t)= −μ(t)+(ρ−n)μ(t) ⇒ (r(t)−n)μ(t) = −μ(t)+(ρ−n)μ(t)
(56)∂H (t)
∂μ(t)= a(t) ⇒ a(t) = (r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t) (57)
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoMaximización del productor
mxK(t)≥0,L(t)≥0
π(t) = F (K(t), L(t)) − R(t)K(t) − w(t)L(t)
Que puede reescribirse así:
mxK(t)≥0,L(t)≥0
π(t) = [f(k(t)) − R(t)k(t) − w(t)] L(t)
Obteniendo las Condiciones de Primer Orden (CPO):
∂π(t)
∂k(t): R(t) = r(t) + δ = f′(k(t)) (58)
∂π(t)
∂L(t): w(t) = f(k(t)) − f′(k(t))k(t) (59)
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoCondiciones de equilibrio
Condición de transversalidad:
lımt→∞
{exp
[−∫ t
0(f′(k(ν)) − δ− n)dν
]× k(t)
}= 0 (60)
Ecuación de Euler:
c(t)
c(t)=
1
εu(c(t))(f′(k(t)) − δ− ρ) (61)
Restricción agregada de la economía:
k(t) = f(k(t)) − c(t) − (δ+ n)k(t) (62)
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoCondiciones de equilibrio
Definicion 5
Un equilibrio competitivo del modelo neoclásico de crecimientoconsiste de sendas de consumo per cápita, ratio capital-trabajo,salarios y tasas de alquiler de capital, [c(t), k(t),w(t),R(t)]∞t=0, talque los precios de los factores, [w(t),R(t)]∞t=0 son dados por lasecuaciones 27 y 28, y el hogar representativo maximiza la ecuación22 sujeto a la ecuación 26 y la condición de No Ponzi, dada unadotación inicial de capital per cápita (ratio capital-trabajo) k(0) > 0 yprecios de factores [w(t),R(t)]∞t=0.
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoSolución de planificador social
mxc(t)≥0,k(t)≥0
V(t) =∫ ∞
0exp[−(ρ− n)t]u(c(t))dt (63)
Sujeto a:k(t) = f(k(t)) − c(t) − (δ+ n)k(t) (64)
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoSolución de planificador social
H (t) = u[c(t)] + μ(t) [f(k(t)) − c(t) − (δ+ n)k(t)] (65)
Siendo μ(t) = exp[(ρ− n)t] × λ(t). Además, las CPO’s son:
∂H (t)
∂c(t)= 0 ⇒ μ(t) = u′(c(t)) (66)
∂H (t)
∂k(t)= −μ(t)+(ρ−n)μ(t)) ⇒ (f′(k(t))−δ−n)μ(t) = −μ(t)+(ρ−n)μ(t)
(67)∂H (t)
∂μ(t)= k(t) ⇒ k(t) = f(k(t)) − c(t) − (δ+ n)k(t) (68)
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoCondiciones de equilibrio
Condición de transversalidad:
lımt→∞
{exp
[−∫ t
0(f′(k(ν)) − δ− n)dν
]× k(t)
}= 0 (69)
Ecuación de Euler:
c(t)
c(t)=
1
εu(c(t))(f′(k(t)) − δ− ρ) (70)
Restricción agregada de la economía:
k(t) = f(k(t)) − c(t) − (δ+ n)k(t) (71)
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![Page 85: Tópicos de macroeconomíaModelo de Solow sin cambio tecnológico La estructura básica del modelo En la economía también hay ˝rmas con acceso a una función de producción Cobb-Douglas](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022042005/5e6f7b6f5077855059106a70/html5/thumbnails/85.jpg)
Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoBienestar social
El equilibrio competitivo es óptimo de Pareto, garantizando que elbienestar social es el máximo.
Teoremas del Bienestar
Si no existen distorsiones o externalidades:
• Primer Teorema del Bienestar: Todo equilibrio competitivo esun óptimo de Pareto.
• Segundo Teorema del Bienestar: Para cada óptimo de Paretoexiste un sistema de precios que lo hace un EquilibrioCompetitivo.
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoEquivalencia de soluciones
Proposición 6
En el modelo neoclásico de crecimiento con mercados competitivos,si se cumplen los supuestos 1, 2, 3 y 4, el equilibrio es óptimo dePareto y coincide con la senda de crecimiento óptima que maximizala utilidad del agente representativo.
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
El equilibrio de estado estacionario es definido como la senda deequilibrio en la que el ratio capital-trabajo, el consumo y laproducción son constantes.
• Si c(t) = 0:f′(k∗) = ρ+ δ (72)
• Si k(t) = 0:c∗ = f(k∗) − (n+ δ)k∗ (73)
• Si el supuesto 4 se mantiene y con un ratio capital-trabajoconstante en EE, entonces la condición de transversalidadtambién se satisface en EE.
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
Proposición 7
En el modelo neoclásico de crecimiento, con los supuestos 1, 2, 3 y 4,el ratio capital-trabajo en el equilibrio de estado estacionario, k∗,está únicamente determinado por la ecuación 72 y es independientede la función de utilidad instantánea. El consumo per cápita deestado estacionario está dado por la ecuación 73.
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
Proposición 8
En el modelo neoclásico de crecimiento, con los supuestos 1, 2, 3 y 4,si consideramos que f(k) = Af(k), el nivel de estado estacionario delratio capital-trabajo k∗(A, ρ, δ, n) y el nivel de estado estacionariodel consumo per cápita c∗(A, ρ, δ, n), entonces:
∂k∗
∂A> 0,
∂c∗
∂A> 0,
∂k∗
∂ρ< 0,
∂c∗
∂ρ< 0,
∂k∗
∂δ< 0,
∂c∗
∂δ< 0,
∂k∗
∂n= 0;
∂c∗
∂n< 0.
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoComportamiento del consumo
k(t)
c(t)
c(t) = 0
k∗
(c(t) > 0) (c(t) < 0)
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoComportamiento del consumo
k(t)
c(t)
k(t) = 0
(k(t) < 0)
(k(t) > 0)
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoDiagrama de fases
k(t)
c(t)
k(t) = 0
c(t) = 0
k∗
E
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoDiagrama de fases
k(t)
c(t)
k(t) = 0
c(t) = 0
k∗
E
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoDiagrama de fases
k(t)
c(t)
k(t) = 0
c(t) = 0
k∗k(0)
c′′(0)
c(0)
c′(0)
Ec∗
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoDiagrama de fases
Proposición 9
En el modelo neoclásico de crecimiento, con los supuestos 1, 2, 3 y 4,existe una única senda de equilibrio que inicia en k(0) > 0 yconverge monotónicamente a un único estado-estacionario(k∗, c∗), con k∗ dada por la ecuación 72. Además, si k(0) < k∗,entonces k(t) ↑ k∗ y c(t) ↑ c∗, mientras que, si k(0) > k∗,entonces k(t) ↓ k∗ y c(t) ↓ c∗. Esta senda de equilibrio esidéntica a la senda de crecimiento óptima.
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoLa regla dorada
k(t)
c(t)
k(t) = 0
c(t) = 0
k∗ kRD
E1
E2
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Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoLa regla dorada
mxk∗
c∗ = f(k∗) − (n+ δ)k∗ (74)
La solución es:f′(kRD) = n+ δ
Comparando con Estado Estacionario:
f′(k∗) = ρ+ δ
Por el supuesto 4 se tiene que ρ > n, por lo que kRD > k∗.
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Tópicos de macroeconomía
1. Modelo de Solow sin cambio tecnológico
2. Modelo de Solow con cambio tecnológico
3. Modelo de Ramsey sin cambio tecnológico
4. Modelo de Ramsey con cambio tecnológico
5. Crecimiento endógeno: modelo AK
6. Crecimiento endógeno: capital humano
7. Crecimiento endógeno: externalidades 97/158
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
Proposición 10
El crecimiento balanceado en el modelo neoclásico requiere queasintóticamente todo el cambio tecnológico sea sólo aumentador detrabajo y la elasticidad de sustitución intertemporal, 1/εu(c(t)), seaconstante εu.
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
c(t)
c(t)=
1
εu(c(t))(r(t) − ρ) (75)
Si r(t)→ r∗, entonces c(t)c(t) → gc sólo será posible si εu(c(t)) = εu.
Para ello se asumen preferencias CRRA:
u(c(t)) =c(t)1−θ − 1
1− θ(76)
Donde εu(c(t)) = θ.
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
mxc(t)≥0,a(t)≥0
V(t) =∫ ∞
0exp(−(ρ− n)t)
c(t)1−θ − 1
1− θdt (77)
Sujeto a:a(t) = (r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t)
DondeA (0) > 0. Ecuación de Euler:
c(t)
c(t)=
1
θ(r(t) − ρ) (78)
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
c(t) =C(t)
A(t)L(t)≡
c(t)
A(t)(79)
Aplicando logaritmos y derivando respecto al tiempo tenemos:
˙c(t)
c(t)=
c(t)
c(t)− g (80)
Ecuación de Euler con cambio tecnológico:
˙c(t)
c(t)=
1
θ(r(t) − ρ− θg) (81)
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo
Teniendo en cuenta k(t) = K(t)A(t)L(t) =
k(t)A(t) , aplicando logaritmos y
derivando respecto al tiempo se tiene:
˙k(t) = f(k(t)) − c(t) − (n+ g+ δ)k(t) (82)
Condición de transversalidad:
lımt→∞
[exp
(−∫ t
0[f′(k(t)) − δ− g− n]ds
)× k(t)
]= 0 (83)
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario
En estado estacionario ˙c(t) = 0, por tanto:
r = f′(k∗) − δ ⇒ f′(k∗) = ρ+ δ+ θg (84)
También se cumple que ˙k(t) = 0, entonces:
c∗ = f(k∗) − (n+ g+ δ)k∗ (85)
Cuando ˙c(t) = 0, se cumple:
c(t)
c(t)= g (86)
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoGobierno financiado con impuestos de suma alzada
• Gasto público total P(t), en términos per cápita es p(t). Sefinancia con impuestos de suma alzada per cápita, τ(t).
• Presupuesto balanceado, p(t) = τ(t).
• Con ello la restricción de los hogares per cápita es:
a(t) = (r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t) − τ(t) (87)
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoGobierno financiado con impuestos de suma alzada
El equilibrio en esta economía en términos per cápita eficientes es:
˙c(t)
c(t)=
1
θ(f′(k(t)) − δ− ρ− θg) (88)
˙k(t) = f(k(t)) − c(t) − (n+ δ+ g)k(t) − τ(t) (89)
Condición de transversalidad (incorporando ecuación 84):
lımt→∞
[exp
(−∫ t
0[ρ− (1− θ)g− n]ds
)× k(t)
]= 0 (90)
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoGobierno financiado con impuestos de suma alzada
k(t)
c(t)
˙k1(t) = 0
˙k2(t) = 0
˙c(t) = 0
k∗
E1
E2
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoChoque permanente
k(t)
c(t)
˙k1(t) = 0
˙k2(t) = 0
˙c(t) = 0
k∗
E1
E2
107/158
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Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoChoque temporal
k(t)
c(t)
˙k1(t) = 0
˙k2(t) = 0
˙c(t) = 0
k∗
E1
E2
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Tópicos de macroeconomía
1. Modelo de Solow sin cambio tecnológico
2. Modelo de Solow con cambio tecnológico
3. Modelo de Ramsey sin cambio tecnológico
4. Modelo de Ramsey con cambio tecnológico
5. Crecimiento endógeno: modelo AK
6. Crecimiento endógeno: capital humano
7. Crecimiento endógeno: externalidades 109/158
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Modelo AKLa estructura básica del modelo
Preferencias:
V(t) =∫ ∞
0exp−(ρ−n)t
c(t)(1−θ) − 1
1− θdt (91)
Restricción presupuestaria:
a(t) = (r(t) − n)a(t) − c(t) (92)
Condición de no Ponzi:
lımt→∞
[exp
(−∫ t
0(r(ν) − n)dν
)× a(t)
]≥ 0 (93)
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Modelo AKLa estructura básica del modelo
Condición de transversalidad:
lımt→∞
[exp
(−∫ t
0(r(ν) − n)dν
)× a(t)
]= 0 (94)
Ecuación de Euler:c(t)
c(t)=
1
θ(r(t) − ρ) (95)
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Modelo AKLa estructura básica del modelo
El sector de bienes finales no cumple con los supuestos 1 y 2 vistosanteriormente:
Y(t) = AK(t) (96)
Con A > 0 y K(0) > 0. Note que no hay L(t) en la función deproducción. Luego, no hay ganancias laborales en la ecuación 92. Entérminos per cápita, la ecuación 96 es:
y(t) ≡Y(t)
L(t)= Ak(t) (97)
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Modelo AKLa estructura básica del modelo
La ecuación 97 tiene una serie de propiedades:
• La producción es sólo una función del capital, por lo que no hayretornos decrecientes (no se cumple que f′′(·) < 0).
• Las condiciones de Inada no se cumplen. En particular:
lımk→0
f′(k) = A <∞
lımk→∞
f′(k) = A > 0
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Modelo AKLa estructura básica del modelo
La maximización de beneficios por el lado de las empresas sigue lamisma lógica de siempre. Por tanto, la ecuación de demanda decapital es:
r(t) = f′(k) − δ (98)
Reemplazando la productividad marginal del capital en la ecuación98, se tiene:
r = A− δ (99)
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Modelo AKEquilibrio
Definición 6
Un equilibrio competitivo es una senda de consumo per cápita, ratiocapital-trabajo, salario real y tasa de alquiler del capital,[c(t), k(t),w(t),R(t)]∞t=0, tal que el hogar representativo maximizala ecuación 91, sujeto a las ecuaciones 92 y 94, dado un ratio decapital-trabajo inicial, k(0), y precio de los factores [w(t), r(t)]∞t=0,tal que w(t) = 0 para todo t y r(t) está dada por la ecuación 99.
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Modelo AKEquilibrio
Asumimos equilibrio en el mercado de capital, a(t) = k(t), y seconsideran las ecuaciones 92, 95, 94 y 99, además de w(t) = 0. Conello se llega a:
k(t) = (A− δ− n)k(t) − c(t) (100)
c(t)
c(t)=
1
θ(A− δ− ρ) (101)
lımt→∞[exp (−(A− δ− n)t) × k(t)] = 0 (102)
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Modelo AKEquilibrio
• Note que el lado derecho de la ecuación 99 es constante, lo queimplica que la tasa de crecimiento del consumo per cápita(ecuación 101) también lo es. Habrá crecimiento positivo siA− δ− ρ > 0.
• El crecimiento del consumo per cápita es, por tanto,independiente del nivel de stock de capital per cápita, k(t).
• Ello implica que no hay dinámica transicional en el modelo: si seempieza en cualquier k(0) > 0, el consumo per cápitainmediatamente empieza a crecer a una tasa constante.
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Modelo AKEquilibrio
Integrando la ecuación 101 se tiene:
c(t) = c(0)exp( 1
θ(A− δ− ρ)t
)(103)
Para crecimiento de largo plazo:
A > ρ+ δ > (1− θ)(A− δ) + θn+ δ (104)
Se puede demostrar que:
k(t) = k(0)exp( 1
θ(A− δ− ρ)t
)(105)
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Modelo AKCaracterización del equilibrio
Hallando la tasa de ahorro del modelo:
s =K(t) + δK(t)
Y(t)=
kk + n+ δ
A= ...
... =A− ρ+ θn+ (θ− 1)δ
θA(106)
Tasa de ahorro
La tasa de ahorro sigue siendo constante, como en Solow, pero noexógena, sino dependiente de las preferencias y tecnología delmodelo.
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Modelo AKCaracterización del equilibrio
Proposición 11
Considere una economía AK con un hogar representativo conpreferencias dadas por la ecuación 91 y la tecnología de produccióndada por la ecuación 95. Suponga que la condición 104 se mantiene,entonces existe una única senda de equilibrio en la que c(t), k(t) ey(t) crecen a una misma tasa g∗ = (A− δ− ρ)/θ > 0, empezandodesde cualquier nivel de stock de capital per cápita k(0) > 0, conuna tasa de ahorro dada por la ecuación 106.
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Modelo AKCaracterización del equilibrio
Proposición 12
Considere una economía AK con un hogar representativo conpreferencias dadas por la ecuación 91 y una tecnología de produccióndada por la ecuación 95. Suponga que la condición 104 se mantiene.Entonces, el único equilibrio competitivo es Pareto-Óptimo.
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Tópicos de macroeconomía
1. Modelo de Solow sin cambio tecnológico
2. Modelo de Solow con cambio tecnológico
3. Modelo de Ramsey sin cambio tecnológico
4. Modelo de Ramsey con cambio tecnológico
5. Crecimiento endógeno: modelo AK
6. Crecimiento endógeno: capital humano
7. Crecimiento endógeno: externalidades 122/158
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Crecimiento endógeno: capital humanoLa estructura básica del modelo
Preferencias del hogar representativo:
V(t) =∫ ∞
0exp−ρt
c(t)(1−θ) − 1
1− θdt (107)
Para simplificar el análisis, no hay crecimiento poblacional, n = 0.
a(t) = r(t)a(t) + w(t)h(t) − c(t) − ih(t) (108)
Siendo ih(t) la inversión en capital humano. El capital humanoevoluciona así:
h(t) = ih(t) − δhh(t) (109)
Con δh siendo la depreciación del capital humano. 123/158
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Crecimiento endógeno: capital humanoLa estructura básica del modelo
La condición de No Ponzi es:
lımt→∞
[exp
(−∫ t
0(r(ν))dν
)× a(t)
]≥ 0 (110)
Ahora la función de producción es:
Y(t) = F (K(t),H(t)) (111)
Donde H(t) son las unidades de trabajo eficiente o capital humano.La funciónF sí satisface los supuestos 1 y 2.
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Crecimiento endógeno: capital humanoLa estructura básica del modelo
• Se considera el equilibrio del mercado de capital a(t) = k(t),donde δk es la tasa de depreciación del capital físico.
• El hogar elige sendas óptimas de consumo, inversión de capitalhumano y activos o ahorros.
• Las demandas de mano de obra y de trabajo son las mismas desiempre:
R(t) = r(t) + δk = f′(k(t)) (112)
w(t) = f(k(t)) − k(t)f′(k(t)) (113)
Siendo el ratio capital-trabajo efectivo calculado de la siguientemanera:
k(t) ≡K(t)
H(t)(114)
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Crecimiento endógeno: capital humanoLa estructura básica del modelo
Proposición 13
Un equilibrio competitivo en esta economía consiste en sendas deconsumo per cápita, ratio capital-trabajo efectivo, salario real y tasade alquiler de capital, [c(t), k(t),w(t),R(t)]∞t=0, tal que el hogarrepresentativo maximiza la ecuación 107 sujeto a las ecuaciones 108,109 y 110, dado un ratio inicial de capital-trabajo efectivo, k(0) > 0 yprecios de los factores [w(t),R(t)]∞t=0 que satisfacen las ecuaciones112 y 113.
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Crecimiento endógeno: capital humanoMaximización del consumidor
H (t) =c(t)1−θ − 1
1− θ+ μa(t)[r(t)a(t) + w(t)h(t) − c(t) − ih(t)]
+μh(t)[ ih(t) − δhh(t)] (115)
Tipos de variable
El problema contiene dos variables de control (c(t), ih(t)), dosvariables de estado (a(t), h(t)) y dos variables de coestado(μa(t), μh(t)).
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Crecimiento endógeno: capital humanoMaximización del consumidor
Condiciones de primer orden para variables de control:
∂H (t)
∂c(t)= 0 ⇒ μa(t) = u′(c(t)) (116)
∂H (t)
∂ih(t)= 0 ⇒ μa(t) = μh(t) (117)
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Crecimiento endógeno: capital humanoMaximización del consumidor
Condiciones de primer orden para variables de estado:
∂H (t)
∂a(t)= −μa(t)+ (ρ− n)μa(t)) ⇒ r(t)μa(t) = −μa(t)+ (ρ− n)μa(t) (118)
∂H (t)
∂h(t)= −μh(t)+(ρ−n)μh(t)) ⇒ w(t)μa(t)−δhμh(t) = −μh(t)+(ρ−n)μh(t)
(119)
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Crecimiento endógeno: capital humanoMaximización del consumidor
Condiciones de primer orden para variables de coestado:
∂H (t)
∂μa(t)= a(t) ⇒ a(t) = r(t)a(t)+w(t)h(t)−c(t)− ih(t) (120)
∂H (t)
∂μh(t)= h(t) ⇒ h(t) = ih(t) − δhh(t) (121)
130/158
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Crecimiento endógeno: capital humanoEstado estacionario
Combinando las CPO’s (ecuación 117, 118 y 119) con las demandas defactores (ecuaciones 112 y 113) se llega a lo siguiente:
f′(k(t)) − δk = f(k(t)) − k(t)f′(k(t)) − δh (122)
∀ t.
k de largo plazo
Habrá un k(t) = k∗ que satisface la ecuación 122.
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Crecimiento endógeno: capital humanoSenda de crecimiento balanceada
Proposición 14
Considere una economía con capital físico y humano, conpreferencias dadas por las ecuaciones 107 y la tecnología deproducción dada por 111. Sea un k∗ que satisface:
f′(k∗) − δk = f(k∗) − k∗f′(k∗) − δh (123)
Suponga que f′(k∗) > ρ+ δk > (1− θ)(f′(k∗) − δk) + δk. En estaeconomía existe una única senda de equilibrio en la que c(t), k(t),h(t) e y(t) crecen a una misma tasa constanteg∗ = (f′(k∗) − δk − ρ)/θ > 0, empezando desde cualquiercondición inicial. La participación del capital en el ingreso nacional esconstante y menor que 1 en todos los períodos. 132/158
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Crecimiento endógeno: capital humanoInterpretación como un modelo AK
Especificamos una forma funcional:
Y(t) = AK(t)αH(t)1−α (124)
Además, cuando k(t) = k∗, se satisface:
f′(k(t)) − δk = f(k(t)) − k(t)f′(k(t)) − δh (125)
133/158
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Crecimiento endógeno: capital humanoInterpretación como un modelo AK
La ecuación 124 en términos per cápita efectivos:
y(t) = f(k) = Akα (126)
Donde k(t) = K(t)H(t) . Incorporando la ecuación 126 en la ecuación 125,
y asumiendo que δk = δh, se tiene:
αAk(t)α−1 = Ak(t)α − αAk(t)
k(t) =K(t)
H(t)=
α
1− α(127)
En la senda de crecimiento balanceada, el ratio capital-trabajoefectivo debe ser constante. 134/158
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Crecimiento endógeno: capital humanoInterpretación como un modelo AK
Si incorporamos la ecuación 127, reemplazando para H(t), en laecuación 124 se llega a:
Y(t) = AK(t) (128)
Donde A = A(1−αα
)(1−α). El modelo es equivalente al modelo AK.
135/158
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Crecimiento endógeno: capital humanoInterpretación como un modelo AK
La ecuación de Euler es:
c(t)
c(t)=
1
θ
[α
(K
H
)−(1−α)− δ− ρ
](129)
Incorporando lo obtenido en 127:
c(t)
c(t)=
1
θ
[Aαα(1− α)1−α − δ− ρ
]= g∗ (130)
Se puede comprobar que g∗ es la tasa de crecimiento de c(t), k(t),h(t) e y(t).
136/158
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Crecimiento endógeno: capital humanoRestricción de no negatividad sobre la inversión
Si partimos deK(0)
H(0)=
α
1− α
Y suceden desvíos en algún capital (físico o humano), entonces unstock debe aumentar y el otro disminuir para que suma se mantenga(K + H).
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Crecimiento endógeno: capital humanoRestricción de no negatividad sobre la inversión
• Por tanto, se debe asumir que la inversión es reversible: unaunidad de capital físico puede ser convertida en capital humanoy viceversa. Supuesto no realista.
• Definimos inversión en capital humano (Ih) y físico (Ik):
K(t) = Ik(t) − δkK(t)
H(t) = Ih(t) − δhH(t)
• Si la inversión es no reversible, entonces:
Ik(t) ≥ 0
Ih(t) ≥ 0 138/158
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Crecimiento endógeno: capital humanoRestricción de no negatividad sobre la inversión
• Si:K(0)
H(0)<
α
1− α
H es inicialmente abundante respecto a K: ↓ H(t) y ↑ K(t).
• H(t) no puede desinvertirse, por lo que la restricción es activa:Ih(t) = 0.
• Esto implica que:
H(t) = H(0)exp−δt
• El stock de capital humano va a disminuir en el tiempo debido ala depreciación.
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Crecimiento endógeno: capital humanoRestricción de no negatividad sobre la inversión
• El stock de capital físico (y por tanto la producción) crece, peroesa tasa de crecimiento disminuye en el tiempo hasta llegar ag∗.
• Relación entre KH y la tasa de crecimiento del producto:
imbalance effect.
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Crecimiento endógeno: capital humanoRestricción de no negatividad sobre la inversión
• Si fuera al revés:K(0)
H(0)>
α
1− α
• En este caso la restricción activa es Ik(t) = 0 y es K el que crecea una tasa −δ.
• El stock de capital humano (y por tanto la producción) crecepara poder ajustar el ratio, aunque esta tasa de crecimientodisminuye hasta llegar a g∗.
• Acá también imbalance effect.
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Crecimiento endógeno: capital humanoRestricción de no negatividad sobre la inversión
k(t)/h(t)
y(t)/y(t)
K∗/H∗ = α/(1− α)
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Crecimiento endógeno: capital humanoRestricción de no negatividad sobre la inversión
k(t)/h(t)
y(t)/y(t)
K∗/H∗ = α/(1− α)
143/158
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Tópicos de macroeconomía
1. Modelo de Solow sin cambio tecnológico
2. Modelo de Solow con cambio tecnológico
3. Modelo de Ramsey sin cambio tecnológico
4. Modelo de Ramsey con cambio tecnológico
5. Crecimiento endógeno: modelo AK
6. Crecimiento endógeno: capital humano
7. Crecimiento endógeno: externalidades 144/158
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Crecimiento endógeno: externalidadesEstructura básica del modelo
• Economía sin crecimiento poblacional.
• El lado de la producción consiste de un conjunto heterogéneode firmas.
• La función de producción de cada firma i-ésima, i ∈ [0, 1], es:
Yi(t) = F (Ki(t),A(t)Li(t)) (131)
• Ki(t) y Li(t) son el capital y el trabajo alquilado por la firmai-ésima. A(t) es común para todas las firmas.
• F satisface los supuestos 1 y 2.
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Crecimiento endógeno: externalidadesEstructura básica del modelo
• ∫ 1
0Ki(t)di = K(t)
∫ 1
0Li(t)di = L
• Las firmas son competitivas en todos los mercados.
• Los precios de los factores productivos están dados por susproductividades marginales:
w(t) =∂F (K(t),A(t)L)
∂L
R(t) =∂F (K(t),A(t)L)
∂K(t)146/158
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Crecimiento endógeno: externalidadesEstructura básica del modelo
• Aunque la firma tome A(t) como dado, este stock deconocimientos se mueve endógenamente (spillovers).
A(t) = BK(t) (132)
• Supuesto motivado por learning-by-doing. Grandes inversionesincrementan la experiencia en el proceso de producción,haciendo el proceso productivo, en sí mismo, más productivo.
• Con 131 y 132, la función de producción agregada de estaeconomía cuenta con retornos crecientes a escala.
Y(t) = F (K(t),BK(t)L)147/158
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Crecimiento endógeno: externalidadesEstructura básica del modelo
El ratio producto-capital es:
Y(t)
K(t)= F (1,BL) ≡ f(L)
Luego, el producto per cápita se puede escribir de la siguientemanera:
y(t) ≡Y(t)
L=
Y(t)
K(t)
K(t)
L= k(t)f(L)
Donde k(t) ≡ K(t)/L.
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Crecimiento endógeno: externalidadesEstructura básica del modelo
El precio de los factores puede ser expresado en términos de estafunción f(·):
w(t) = K(t)f′(L) (133)
R(t) = R = f(L) − Lf′(L) = r+ δ (134)
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Crecimiento endógeno: externalidadesEquilibrio
Definición 7
Un equilibrio competitivo es definido como sendas de consumo ycapital de la economía, [C(t), K(t)]∞t=0, que maximiza la utilidad delhogar representativo; y salarios y tasa de alquiler, [w(t),R(t)]∞t=0,que equilibran los mercados.
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Crecimiento endógeno: externalidadesEquilibrio
La ecuación de Euler es:
g∗C =1
θ(f(L) − Lf′(L) − δ− ρ) (135)
Se asume que:f(L) − Lf′(L) − δ− ρ > 0 (136)
Para que el crecimiento sea positivo. Además:
(1− θ)(f(L) − Lf′(L) − δ) < ρ (137)
Para evitar violar la condición de transversalidad.151/158
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Crecimiento endógeno: externalidadesEquilibrio
Proposición 15
Considere un modelo a la Romer, con externalidades sobre el capitalfísico. Suponga que las condiciones 136 y 137 se satisfacen. Entonces,existe una única senda de equilibrio, dado un stock de capital inicialK(0) > 0. Además, el capital, la producción y el consumo crecen auna tasa constante dada por la ecuación 135.
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Crecimiento endógeno: externalidadesEquilibrio
• La tecnología de esta economía evoluciona endógenamente,como se ve en la ecuación 132.
• La tasa de crecimiento de la economía es endógena, aúncuando ninguna de las firmas invierta intencionalmente en I+Do adquiera nueva tecnología.
• Población debe ser constante debido al efecto escala. Si no lofuera, no se podría hablar de una senda de crecimientobalanceada y de una tasa de crecimiento constante.
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Crecimiento endógeno: externalidadesAsignación Pareto Óptima
Problema de planificador social consiste en maximizar la utilidad delconsumidor sujeto a la ecuación de evolución del capital per cápita:
k(t) = f(L)k(t) − c(t) − δk(t)
El Hamiltoniano es:
H =c(t)1−θ − 1
1− θ+ μ(t)[ f(L)k(t) − c(t) − δk(t)]
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Crecimiento endógeno: externalidadesAsignación Pareto Óptima
Con ello se obtienen las siguientes condiciones de primer orden:
∂H (t)
∂c(t)= 0 ⇒ μ(t) = u′(c(t)) (138)
∂H (t)
∂k(t)= −μ(t) + ρμ(t)) ⇒ μ(t)
(f(L) − δ
)= −μ(t) + ρμ(t) (139)
∂H (t)
∂μ(t)= k(t) ⇒ k(t) = f(L)k(t) − c(t) − δk(t) (140)
Condición de transversalidad:
lımt→∞[exp(−ρt) × k(t)] = 0
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Crecimiento endógeno: externalidadesAsignación Pareto Óptima
De aquí se obtiene la ecuación de Euler:
gsC =1
θ(f(L) − δ− ρ) (141)
Obsérvese que gsC > g∗C .
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Crecimiento endógeno: externalidadesAsignación Pareto Óptima
Proposición 16
En una economía a la Romer como la descrita, con externalidadessobre el capital físico, el equilibrio descentralizado es Paretosubóptimo y crece a una menor tasa que aquella asignación quemaximiza la utilidad del hogar representativo.
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