Topics in Algorithmic Game Theory

נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

28 NOV 2012

Ahuva Mu’alem

בעית חלוקת העוגה נטולת הקנאהENVY FREE CAKE CUTTING

הגדרות

העוגה תיוצג על ידי הקטע ●

שחקנים n > 2יש ●

לתת הקטע k של שחקן הממשי הוא הערך ●

חלוקה נטולת קנאה

תת קטעים זרים המוכלים n ל- I(1), I(2), …, I(n) חלוקה של העוגה ● מתקיים:k, j אם לכל נטולת קנאהבקטע נקראת

vk(I(k)) > vk(I( j))

כלומר, בחלוקה נטולת קנאה כל שחקן מרוצה מהחלק שהוא קיבל ●ואינו מעוניין להחליף את החלק שלו עם אף שחקן אחר.

חלוקה נטולת קנאה, שני שחקנים

:”("(Divide and Chooseחלק ובחר אלגוריתם ●

שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו●

השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים●

חלוקה נטולת קנאה, שני שחקנים

:חלק ובחראלגוריתם ●

שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו●

השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים.●

היא רציפה ואדיטיבית, כלומר k נניח כי העדפת כל שחקן הערה:●הם תת קטעים זרים אז = + I, J אם

v1 (I) = v1 (J)

max (v2 (I1), v2 (I

I J

max (v2(I), v2(J)) > min (v2(I), v2(J))

חלוקה נטולת קנאה, המקרה הכללי

שיעזור לנו נראה כעת כלי טכני )המבוסס על הלמה של שפרנר(●לחלק את העוגה "ללא קנאה" בין מספר סופי כלשהו של שחקנים

n > 2.

'חלק ובחר' בנוסח צ'ארלי צ'אפלין, הבהלה לזהב

https://www.youtube.com/watch?v=mtZTIwSIuGw

SPERNER’S LEMMA הלמה של שפרנר

רקע והגדרות

שילושאו טריאנגולציה

שפרנר צביעת

שפרנר צביעת

דוגמא

שפרנר צביעת

דוגמא נצבעו ובה

המשולשונים כל- ב 3שצבועים

צבעים

שפרנר צביעת

דוגמא נצבעו ובה

המשולשונים כל- ב 3שצבועים

צבעים

מספר 1 <איזוגי

משולשונים שלכרומטים- טרי

SPERNER’S LEMMA הלמה של שפרנר

הוכחה

, שפרנר ) יש :(1928למה שפרנר צביעת בכל. - - כרומטיים טרי משולשונים של זוגי אי מספר

בעית חלוקת העוגה נטולת הקנאההמקרה הכללי, המשך

The standard simplex in R3

Rental Harmony Problem

הגדרת הבעיה

שחקנים שרוצים n > 2 יש :בעית חלוקת השכירות בהרמוניה● דולר, 1000 חדרים. דמי השכירות על הדירה הם nלשכור דירה של

והשאלה היא האם ניתן לקבוע מחיר עבור כל חדר כך שסכום דולר וכך שכל שוכר ישכור את החדר שהוא 1000המחירים יהיה

הכי רוצה במחירים האלו.

'Rental Harmony בנוסח צ'ארלי צ'אפלין, הבהלה לזהב '

https://www.youtube.com/watch?v=lAop4Su5Uag

Sperner + Simmons + Su How to Solve the Envy Free Cake Cutting and Rental Harmony Problems

בעית החלוקה הפרופורציונלית

הגדרות

העוגה תיוצג על ידי הקטע ●

שחקנים n > 2יש ●

לתת הקטע k הוא הערך של שחקן ●

I, J העדפת השחקן היא אי-שלילית, רציפה ואדיטיבית, כלומר אם ●הם תת קטעים זרים אז = +

חלוקה פרופורציונלית

תת קטעים זרים המוכלים n ל- I1, I2, …, In חלוקה של העוגה ●k לכל א vk(Ik) אם פרופורציונליתבקטע נקראת

כלומר בחלוקה פרופורציונלית כל שחקן מקבל חלק שערכו הוא ●מנקודת מבטו מערך העוגה n/1לפחות

בעית החלוקה הפרופורציונלית, שני שחקנים

חלוקה פרופורציונלית, שני שחקנים

:חלק ובחראלגוריתם ●

שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו●

השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים.●

חלוקה פרופורציונלית, שני שחקנים

:חלק ובחראלגוריתם ●

שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו●

השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים.●

חלוקה פרופורציונלית, שני שחקנים

:חלק ובחראלגוריתם ●

שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו●

השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים.●

v1 (I1) = v1 (I2)

max (v2 (I1), v2 (I

1 2

max (v2(I1), v2(I2)) > 0.5) · v2(I1) + v2(I2) = ( 0.5 · v2(I1 I2)

בעית החלוקה הפרופורציונלית, מספר סופי של שחקנים

n > 2חלוקה פרופורציונלית,

:Dubins-Spanier] הסכין הנעה ]אלגוריתם●

● A knife is slowly moved at constant speed parallel. At each instant the knife is poised so that it could cut a unique slice of the cake. At time goes by the potential slice increases monotonely from nothing until it becomes the entire cake. The first person to indicate satisfaction with the slice then determined by the position of the knife receives that slice and is eliminated from further distribution of the cake. (If two or more participants simultaneously indicate satisfaction with the slice, it is given to any of them.)

● The process is repeated with the other n − 1 participants and with what remains of the cake. The last player gets the remainder of the cake.

n > 2חלוקה פרופורציונלית,

:Dubins-Spanier]אלגוריתם הסכין הנעה ]●

● The knife is passed over the cake from the left end to the right.

● A player says stop when he thinks 1/n of the cake is to the left of the knife, the cake is cut and he get that piece.

● Repeat with the remaining cake and players.

● The last player gets the remainder of the cake.

●

קיבלו כל i, ..., 2, 1השחקנים נכונות: מערך העוגה מנקודת מבטם. n/1אחד

מייחס לחלק i+1, i+2, ..., nכל שחקן מערך n(/n-iהעוגה שנשאר לפחות )

העוגה הכולל, מנקודת מבטו.

Bibliography

Francis Edward Su. Rental harmony: Sperner's lemma in fair division. Amer. Math. Monthly, 106(10):930–942, 1999

Chandra Chekuri, CS 573: Algorithmic Game Theory, 2008Lecture Notes ,

מתמטיקה צבעונית – הלמה של שפרנרעמוס אלטשולר,

Wikipedia