עונשים, פילטרים, שינויים אלגוריתמיים וכל מה שמפחיד בעלי אתרים בשנה האחרונה
Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים
description
Transcript of Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים
![Page 1: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/1.jpg)
Topics in Algorithmic Game Theory
נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים
![Page 2: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/2.jpg)
תזכורת: משחקי פוטנציאל
![Page 3: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/3.jpg)
“E” 0 , 0
“R” “E”
4 , 4
5- , 1
-1 , 5“R”
2
0
1
1
![Page 4: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/4.jpg)
:הגדרה
שמשחק משחק נאמר קיימת פוטנציאלהוא אםפונקציה
Φ: A1 x A2 x A3 ··· x An R
:כך שלכל מתקיים
Φ(ai, a-i) – Φ(a’i, a-i) = ui(ai, a-i) – ui(a’i, a-i)
cvb
𝑎𝑖 ,𝑎𝑖′
![Page 5: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/5.jpg)
פונקצית פוטנציאל
“E” 0 , 0
“R” “E”
4 , 4
5- , 1
-1 , 5“R”
2
0
1
1
משקל :טענה שיווי יש סופי פוטנציאל למשחקטהור.
![Page 6: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/6.jpg)
לא כל משחק הוא משחק פוטנציאל●למשל, במשחק זוג או פרט אין שיווי משקל נאש ●
באסטרטגיות טהורות, ובפרט זה אינו משחק פוטנציאל
● 10
● 8 K 2+K
● 2-K ? ?
![Page 7: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/8.jpg)
PRICE OFיציבות מחיר הSTABILITY
(POS) PRICE OF אנרכיהמחיר ה
ANARCHY (POA)
![Page 9: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/9.jpg)
מוטיבציה
מחיר היציבות ומחיר האנרכיה הם מדדים של חוסר פסימיתו אופטימיתשימושיים להערכה
יעילות של מערכת במקרה הגרוע )למשל, במקרים של ריבוי שיוויי משקל(
![Page 10: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/10.jpg)
“E” 0 ,0
“R” “E”
4 ,4
5- ,1
-1 ,5“R”
⋯
![Page 11: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/11.jpg)
“E” 0 ,0
“R” “E”
4 ,4
5- ,1
-1 ,5“R”
“E” 0 ,0
“R” “E”
90 ,90
99- ,1
-1 ,99“R”
⋯
![Page 12: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/12.jpg)
מוטיבציה
הרווחה החברתית נתעניין במחלקות של משחקים בהם המתקבלת היא "סבירה" בהשוואה לזו המתקבלת במצבים
בהם השחקנים אינם פועלים באופן אסטרטגי.
![Page 13: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/13.jpg)
NE
PNE
![Page 14: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/14.jpg)
PNE
NE
![Page 15: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/15.jpg)
מוטיבציה
הרווחה החברתית נתעניין במחלקות של משחקים בהם המתקבלת היא "סבירה" בהשוואה לזו המתקבלת במצבים
בהם השחקנים אינם פועלים באופן אסטרטגי.
עלות החברתית וכנ"ל עבור ה
![Page 16: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/17.jpg)
משחק בניית רשת
G(V, E)נתון גרף מכוון ●
c(e)עולה G בגרף eבניית קשת ●
שחקניםk > 2יש ●
ti וקודקוד מטרה si יש קודקוד התחלה iלכל שחקן ●
Gבגרף ti אל siמקודקוד piכל שחקן צריך לבחור מסלול ●
כל שחקן ישלם עבור המסלול שהוא בחר באופן הבא: ●
ci (pi, p-i) = ∑ c(e)/ l(e, p)
l(e, p) הוא מספר השחקנים שהקשתe שייכת למסלול שלהם באוסףp( = pi, p-iהמסלולים )
epi
![Page 18: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/18.jpg)
עלות חברתית
היא העלות p1, p2, …, pk של אוסף מסלולים החברתיתהעלות ●הכוללת של כל השחקנים:
∑i ci (pi, p-i) = p1, p2, …, pk) cost(
![Page 19: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/19.jpg)
דוגמא k, 1+ε, 0עלויות הקשתות הן ●
שחקניםk > 2יש ●
יש iלכל שחקן ●
ti וקודקוד מטרה siקודקוד התחלה
![Page 20: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/20.jpg)
k, 1+ε, 0עלויות הקשתות הן ●
שחקניםk > 2יש ●
יש iלכל שחקן ●
ti וקודקוד מטרה siקודקוד התחלה
אם כל השחקנים ישתמשו בקשת השמאלית לבניית המסלול, ●
ci = = 1 ישלם iאז כל שחקן
kהעלות החברתית היא
דוגמא
![Page 21: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/21.jpg)
k, 1+ε, 0עלויות הקשתות הן ●
שחקניםk > 2יש ●
יש iלכל שחקן ●
ti וקודקוד מטרה siקודקוד התחלה
ישתמש בקשת הימנית לבניית המסלול שלו, אז הוא 1אם שחקן ● וכל השאר ישלמו כל אחדישלם
העלות החברתית הכוללת היא
דוגמא
![Page 22: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/22.jpg)
עם שיווידוגמא משקל יחיד
t אל siמעוניין במסלול מ-i שחקן ●
ε+1היא עלות חברתית אופטימלית●
כדאי לסטותkכי לשחקן לא שיווי משקל אבל, זהו ●
כדאי לסטות וכו' k-1ובאופן אינדוקטיבי: גם לשחקן ●
היא:עלות חברתית של שיווי המשקל●
Θ(log k) = =
![Page 23: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/23.jpg)
: משחק בניית רשת הוא משחק פוטנציאל )ולכן תמיד קיים שיווי משפטמשקל טהור(.
:הוכחה
בהמשך
![Page 24: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/25.jpg)
PRICE OF אנרכיהמחיר הANARCHY
(POA)
![Page 26: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/26.jpg)
הגדרה
יוגדר להיות היחס Price of Anarchy (PoA)מחיר האנרכיה : הגדרההבא:
המכסימליתהעלות של שיווי משקל טהור עם העלות החברתית
העלות החברתית המינימלית
הערות:
ככל שהיחס קטן יותר כך מחיר האנרכיה נמוך יותר. ●
עבור רווחה חברתית נתעניין ברווחה האופטימלית חלקי הרווחה של ●שיווי המשקל עם העלות המינימלית.
![Page 27: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/27.jpg)
הוא k, כאשר k >: מחיר האנרכיה של משחק בניית רשת משפט.PoA k= מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו
חסם הדוק(k)כלומר הוא
: הוכחה
( )Q1, Q2, …, Qk( ) שיווי משקל נאש טהור, ויהי P*1, P*2, …, P*kיהי
הפתרון שעלותו החברתית מינימלית. נסמן
OPT= Q1, Q2, …, Qk) cost(
.Pi לכל > cost (Pi) costi (P*i, P*-i)בשיווי משקל מתקיים:
ולכן: , Pi היה בונה לבד את המסלול iאחרת, שחקן
OPT < min cost (Pi) costi (P*i, P*-i) <
tiל- si מכסה עלות של מסלול כלשהו מ-OPTכי
![Page 28: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/28.jpg)
הוא מספר k, כאשר k >: מחיר האנרכיה של משחק בניית רשת משפט.PoA k= השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו
: הוכחה
( ) שיווי משקל נאש טהור.q1, q2, …, qkיהי
( )הפתרון שעלותו החברתית מינימלית. p*1, p*2, …, p*kיהי
).OPT= p*1, p*2, …, p*k) cost נסמן:
.pi לכל > cost (pi) costi (qi, q-i) < costi (pi, q-i)בשיווי משקל מתקיים:
. pi היה בונה לבד את המסלול iאחרת, שחקן
> cost (pi) min costi (qi, q-i)בפרט:
OPT < min cost (pi)בנוסף:
. tiל- si מכסה עלות של מסלול כלשהו מ-OPTכי
∑. k · OPT < costi (qi, q-i) נקבל:
![Page 29: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/29.jpg)
k= האנרכיה מחיר
נסתכל על המשחק שבדוגמא
: kשיווי משקל עם עלות חברתית ●
כל השחקנים בונים את הקשת השמאלית
פתרון עם עלות מינימלית: ●
כל השחקנים בונים את הקשת הימניתהערה: זהו גם שיווי משקל●
PoA = = kכאשר אפסילון שואף לאפס: ● ע"פ מה שהוכח קודם kהערה: לא ייתכן שיווי משקל עם עלות חברתית < ●
![Page 30: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/31.jpg)
PRICE OFיציבות מחיר הSTABILITY
(POS)
![Page 32: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/32.jpg)
הגדרות
יוגדר להיות היחס Price of Anarchy (PoA)מחיר האנרכיה : הגדרההבא:
מכסימליתהעלות של שיווי משקל טהור עם העלות החברתית ה
העלות המינימלית
יוגדר להיות היחס Price of Stability (PoS)מחיר היציבות : הגדרההבא:
המינימליתהעלות של שיווי משקל טהור עם העלות החברתית
העלות המינימלית
![Page 33: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/34.jpg)
היציבות דוגמא, מחיר
נסתכל על המשחק שבדוגמא.
שיווי משקל:●
כל השחקנים בונים את הקשת השמאלית
פתרון עם עלות מינימלית: ●
כל השחקנים בונים את הקשת הימניתהערה: זהו גם שיווי משקל●
PoS = = 1כאשר אפסילון שואף לאפס: ●
![Page 35: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/36.jpg)
: משחק בניית רשת הוא משחק פוטנציאל )ולכן תמיד קיים שיווי משפטמשקל טהור(.
:הוכחה
נגדיר תחילה את פונקצית הפוטנציאל המתאימה למשחק.●
![Page 37: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/40.jpg)
![Page 41: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/42.jpg)
הוא מספר k , כאשר >: מחיר היציבות של משחק בניית רשת משפט .PoS= השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו
: הוכחה
![Page 43: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/43.jpg)
הוא מספר k , כאשר >: מחיר היציבות של משחק בניית רשת משפט .PoS= השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו
: הוכחה
![Page 44: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/44.jpg)
הוא מספר k , כאשר >: מחיר היציבות של משחק בניית רשת משפט .PoS= השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו
: הוכחה
![Page 45: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/45.jpg)
הוא מספר k , כאשר >: מחיר היציבות של משחק בניית רשת משפט .PoS= השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו
: הוכחה
![Page 46: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/46.jpg)
הוא מספר k , כאשר >: מחיר היציבות של משחק בניית רשת משפט .PoS= השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו
: הוכחה
![Page 47: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/47.jpg)
דוגמא שעבורה: PoS
t אל siמעוניין במסלול מ-i שחקן ●
ε+1היא עלות חברתית אופטימלית●
כדאי לסטותkכי לשחקן לא שיווי משקל אבל, זהו ●
כדאי לסטות וכו' k-1ובאופן אינדוקטיבי: גם לשחקן ●
היא:עלות חברתית של שיווי המשקל●
Θ(log k) = =
![Page 48: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/48.jpg)
לסיכום, עבור משחק בניית רשת:
k = אנרכיהמחיר ה
יציבות = מחיר ה
![Page 49: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/49.jpg)
![Page 50: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/50.jpg)
כמה הערות נוספות אנרכיהעל מחיר ה
![Page 51: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/51.jpg)
מחיר היציבות ומחיר האנרכיה הם מדדים של פסימית ואופטימית שימושיים להערכה
ביצועי מערכת במקרה הגרוע )למשל, במקרים של ריבוי שיוויי משקל(
: המצב הרצוי ביותר הוא כשמחיר הערה "להתערב, אז אין צורך "1האנרכיה קרוב ל-
במערכת
![Page 52: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/52.jpg)
ניתן להגדיר את מחיר האנרכיה גם עבור שיווי משקל כללי )לא ● בהכרח טהור(
ניתן באופן דומה להגדיר מחיר אנרכיה לרווחה חברתית●)רווחה חברתית מכסימלית חלקי הרווחה החברתית של שיווי המשקל עם הרווחה ●
המינימלית(.
![Page 53: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/53.jpg)
![Page 54: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/54.jpg)
Knapsack Problemבעית התרמיל –
![Page 55: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/55.jpg)
אלגוריתמים לבעית התרמיל
לא ידוע אלגוריתם יעיל לפתרון בעית התרמיל.בעיה:●
-קירוב בזמן פולינומי לבעיה.2בשבוע שעבר ראינו ●
O(nC)היום נראה אלגוריתם בסיבוכיות ●
)"פסאודו-פולינומי"(
![Page 56: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/56.jpg)
אלגוריתמים תכנון דינמי
●
// A[i, k] will be the maximum value that can be attained with total size less than or equal to k using items 1, 2, …, i
For c = 0, 1, 2, …, C
do A[0, c] := 0
For i = 1, 2, …, n
For k = 0, 1, …, C
if k > si
A[i, k] := max(A[i-1, k], A[i-1, k- si] + vi)
else A[i, k] := A[i-1, k]
![Page 57: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/57.jpg)
אלגוריתמים תכנון דינמי
A[i, k] will be the maximum value that can be attained with total size less than or equal to k using items 1, 2, …, i
For k = 0, 1, 2, …, C
do A[0, k] := 0
For i = 1, 2, …, n
For k = 0, 1, …, C
if k > si
A[i, k] := max (A[i-1, k], A[i-1, k- si] + vi)
else A[i, k] := A[i-1, k]
![Page 58: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/58.jpg)
אלגוריתמים תכנון דינמי
A[i, k] will be the maximum value that can be attained with total size less than or equal to k using items 1, 2, …, i
For k = 0, 1, 2, …, C
do A[0, k] := 0
For i = 1, 2, …, n
For k = 0, 1, …, C
if k > si
A[i, k] := max (A[i-1, k], A[i-1, k- si] + vi)
else A[i, k] := A[i-1, k]
![Page 59: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/59.jpg)
O(nC)סיבוכיות אלגוריתם תכנון דינמי ●
נכונות?●
![Page 60: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/60.jpg)
![Page 61: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/61.jpg)
Bibliography
Chandra Chekuri, CS 573: Algorithmic Game Theory, 2008Lecture Notes ,
Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, and Vijay Vazirani, Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007.
David Easley and Jon Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010
Wikipedia
![Page 62: Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062722/56813b1f550346895da3d415/html5/thumbnails/62.jpg)