(Toán cao c§p 2 - Gi£i tích) Lê Phươngdocgate.com/phuongle/teaching/GT/handout/C5.pdfPhương...

5. Phương trình vi phân(Toán cao cấp 2 - Giải tích)

Lê Phương

Bộ môn Toán kinh tếĐại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh

Homepage: http://docgate.com/phuongle

Nội dung

1 Khái niệmPhương trình vi phânBài toán Cauchy

2 Phương trình vi phân cấp 1Phương trình vi phân với biến số phân li (tách biến)

Phương trình vi phân với biến số phân liPhương trình đẳng cấpPhương trình dạng y ′ = f (ax + by)

Phương trình dạng y ′ = f(

ax + by + ca1x + b1y + c1

)Phương trình vi phân tuyến tính

3 Phương trình vi phân cấp 2Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

4 Bài tập

Phương trình vi phânĐịnh nghĩa phương trình vi phânPhương trình vi phân là phương trình chứa biến độc lập, hàm phải tìmvà các đạo hàm của nó.Ví dụ. xy ′(x)− y(x) = 0, phương trình này có thể viết ở dạng ngắn

gọn xy ′ − y = 0 hoặc dạng vi phân xdy − ydx = 0 (do y ′ = dydx ).

Một số khái niệm

1 Cấp (bậc) của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàmtrong phương trình. Dạng tổng quát của phương trình vi phâncấp n là

F (x , y(x), y ′(x), y ′′(x), . . . , y (n)(x)) = 0

trong đó F là một hàm số n + 1 biến số cho trước và y là hàm sốcần tìm.

2 Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số thỏa mãnphương trình đó.

Ví dụ. Phương trình xy ′ − y = 0 có nghiệm y = Cx với C bất kì.

Phương trình vi phân

Các loại nghiệm của phương trình vi phânCho phương trình vi phân cấp n:

F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0.

1 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là nghiệm phụ thuộcvào một hoặc một số tham số. Nghiệm tổng quát của phươngtrình vi phân cấp n thường phụ thuộc n tham số C1,C2, . . . ,Cn.

2 Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát bằng cáchcho các tham số nhận các giá trị cụ thể.

3 Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quátcho dù các tham số lấy bất kỳ giá trị nào.

Ví dụ. Phương trình vi phân (y − 1)(xy ′ − y) = 0 có nghiệm tổng quátlà y = Cx , một nghiệm riêng là y = 2x (ứng với C = 2), nghiệm kì dịlà y = 1.

Bài toán Cauchy

Khái niệmBài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phânthỏa một hoặc nhiều điều kiện đầu (điều kiện biên).

1 Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp 1:{F (x , y , y ′) = 0y(x0) = y0

2 Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp 2: F (x , y , y ′, y ′′) = 0y(x0) = y0y ′(x0) = y1

trong đó x0, y0, y1 là các số thực cho trước.

Bài toán Cauchy

Ví dụ. Cho bài toán Cauchy{xy ′ − y = 0y(1) = 3

Các nghiệm của phương trình xy ′ − y = 0 là y = Cx với C là hằng sốbất kì.

Để nghiệm này thỏa y(1) = 3 ta cần có C = 3.

Vậy bài toán Cauchy trên có nghiệm là hàm số y = 3x .

PTVP với biến số phân liPhương trình vi phân với biến số phân liDạng 1:

f (x)dx + g(y)dy = 0.

Cách giải: Lấy tích phân 2 vế∫f (x)dx +

∫g(y)dy = C.

Dạng 2 (dạng tổng quát):

f1(x)g1(y)dx + f2(x)g2(y)dy = 0.

Cách giải:1 Nếu g1(b) = 0 với b ∈ R thì y = b là một nghiệm kì dị.2 Nếu f2(a) = 0 với a ∈ R thì x = a là một nghiệm kì dị.3 Xét trường hợp f2(x)g1(y) 6= 0. Chia cả 2 vế cho f2(x)g1(y) để

đưa phương trình về dạng 1:f1(x)f2(x)

dx +g2(y)g1(y)

dy = 0.

PTVP với biến số phân liVí dụ 1. Giải phương trình

dx1 + x2 +

dy1 + y2 = 0.

Giải. ∫ dx1 + x2 +

∫ dy1 + y2 = C.

Nghiệm của phương trình: arctan x + arctan y = C.

Ví dụ 2. Giải phương trình x(1 + x2)dy − (1 + y2)dx = 0.

Giải. x = 0 là một nghiệm kì dị của phương trình.

dy1 + y2 −

dxx(1 + x2)

= 0⇒∫ dy

1 + y2 −∫ dx

x(1 + x2)= C.

Ta có∫ dx

x(1 + x2)=∫ dx

x −∫ xdx

1 + x2 = ln |x | − 12ln(1 + x2) + C.

Nghiệm tổng quát:

arctan y − ln |x |+ 12ln(1 + x2) = C.

PTVP với biến số phân li

Ví dụ 3. Giải phương trình (√xy +

√x)y ′ − y = 0.

Giải. Phương trình trên được viết lại

√x(√

y + 1)dydx − y = 0⇒

√y + 1y dy − dx√

x= 0.

Ta có y = 0 là một nghiệm kì dị của phương trình.

Lấy tích phân 2 vế ∫ √y + 1y dy −

∫ dx√x= C.

Nghiệm tổng quát:

2√

y + ln |y | − 2√

x = C.

PTVP đưa về biến số phân li

Phương trình đẳng cấpDạng phương trình:

y ′ = f(y

x

).

Cách giải: Đặt u =yx ta có y = xu, suy ra y ′ = u + xu′. Do đó:

u + xu′ = f (u)

⇐⇒ xdu = (f (u)− u)dx .

Đây là phương trình vi phân với biến số phân li dạng 2.


Ví dụ 1. Giải phương trình y − xy ′ = −y lnxy .

Giải.y ′ = y

x +yx ln

yx

Đặt u =yx ⇒ y ′ = u + xu′. Do đó

u + u lnu = u + xu′ ⇒ xu′ = u lnu ⇒∫ du

u lnu =

∫ dxx

⇒ ln | ln |u|| = ln |x |+ C ⇒ ln |u| = C|x | ⇒ u = eC′x .

Thay u =yx ta có nghiệm tổng quát y = xeC′x .


Ví dụ 2. Giải phương trình (x2 + y2)dx − 2xydy = 0.Giải.

y ′ = dydx =

x2 + y2

2xy =1 + (y/x)2

2(y/x) .

Đặt u =yx ⇒ y ′ = u + xu′. Do đó

1 + u2

2u = u + xu′ ⇒ xu′ = 1− u2

2u ⇒∫

2u1− u2 du =

∫ dxx

⇒ − ln |1− u2| = ln |x |+ C ⇒ x(1− u2) = C.

Thay u =yx ta có nghiệm tổng quát x − y2

x = C.Ta có 1− u2 = 0⇐⇒ u = ±1⇐⇒ y = ±x là 2 nghiệm kì dị.

PTVP đưa về biến số phân liPhương trình dạng y ′ = f (ax + by)Cách giải: Đặt u = ax + by ta có u′ = a + by ′. Do đó:

u′ = a + bf (u)

⇐⇒ du = (a + bf (u))dx .

Đây là phương trình vi phân với biến số phân li dạng 2.Ví dụ. Giải phương trình y ′ = 1− 2x − 3y .Giải. Đặt u = 2x + 3y , ta có u′ = 2 + 3y ′ = 2 + 3(1− u) = 5− 3u.

du = (5− 3u)dx

Ta có 5− 3u = 0⇐⇒ u =53⇐⇒ 2x + 3y =

53

là một nghiệm kì dị.

Xét 5− 3u 6= 0,

du5− 3u = dx ⇒

∫ du5− 3u =

∫dx ⇒ −1

3ln |5− 3u| = x + C.

Nghiệm tổng quát: −13ln |5− 6x − 9y | = x + C.




)Cách giải: Xét 2 trường hợp

Trường hợp 1: ab1 = a1b. Khi đóa1

a =b1

b = k nên ta có:

y ′ = f(

ax + by + ck(ax + by) + c1

).

Đây là phương trình có dạng y ′ = g(ax + by) mà ta đã biết cách giải

trong phần trước, trong đó g(u) = f(

u + cku + c1

).




)Trường hợp 2: ab1 6= a1b. Khi đó hệ phương trình{

ax + by + c = 0a1x + b1y + c1 = 0

là hệ Cramer nên có nghiệm duy nhất (x0, y0). Đặt u = x − x0 vàv = y − y0 ta có

v ′ = f(

au + bva1u + b1v

)= f

a + b vu

a1 + b1vu

= g(v

u

),

trong đó g(t) = f(

a + bta1 + b1t

). Đây là phương trình vi phân đẳng cấp

mà ta đã biết cách giải.


Ví dụ 1. Giải phương trình y ′ = 1− 2x − 3y4x + 6y − 5

.

Giải. Đặt u = 2x + 3y , ta có

u′ = 2 + 3y ′ = 2 + 31− u2u − 5

=u − 72u − 5

.

2u − 5u − 7

du = dx ⇒∫

2u − 5u − 7

du =

∫dx ⇒

∫2 +

9u − 7

du =

∫dx

⇒ 2u + 9 ln |u − 7| = x + C

Thay u = 2x + 3y , ta có nghiệm tổng quát là

3x + 6y + 9 ln |2x + 3y − 7| = C.

PTVP đưa về biến số phân liVí dụ 2. Giải phương trình (1− x + y)dy − (x + y − 3)dx = 0.Giải.

y ′ = x + y − 31− x + y .

Hệ phương trình {x + y − 3 = 01− x + y = 0

có nghiệm duy nhất (2,1). Đặt u = x − 2, v = y − 1, ta có

v ′ = (u + 2) + (v + 1)− 31− (u + 2) + (v + 1)

=u + v−u + v =

1 + v/u−1 + v/u .

Đây là phương trình đẳng cấp, ta giải tiếp bằng cách đặt w = v/u thìv = wu nên

w + w ′u = v ′ = 1 + w−1 + w .

w ′u =1 + w−1 + w − w =

1 + 2w − w2

−1 + w ⇒ −1 + w1 + 2w − w2 dw =

duu


Tích phân 2 vế để được∫−1 + w

1 + 2w − w2 dw =

∫ duu

⇐⇒ −12ln |1 + 2w − w2| = ln |u|+ C

⇐⇒ u2(1 + 2w − w2) = C′

Thay u = x − 2, w = (y − 1)/(x − 2) ta được nghiệm tổng quát

(x − 2)2 + 2(x − 2)(y − 1)− (y − 1)2 = C′

Phương trình vi phân tuyến tính

Phương trình vi phân tuyến tínhDạng phương trình:

y ′ + p(x)y = q(x).

Cách giải: Nhân 2 vế với e∫

p(x) dx ta có

y ′e∫

p(x) dx + p(x)e∫

p(x) dxy = q(x)e∫

p(x) dx

⇐⇒(

ye∫

p(x) dx)′

= q(x)e∫

p(x) dx

⇐⇒ ye∫

p(x) dx =

∫q(x)e

∫p(x) dx dx + C

⇐⇒ y = e−∫

p(x) dx(∫

q(x)e∫

p(x) dx dx + C).

Chú ý: Chỉ lấy một nguyên hàm của p(x) khi áp dụng công thức trên.

Phương trình vi phân tuyến tính

Ví dụ 1. Giải phương trình y ′ − y cot x = sin x .

Giải. Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với p(x) = − cot x ,q(x) = sin x .∫

p(x)dx = −∫

cot x dx = −∫

cos xsin x dx = −

∫ d(sin x)sin x = − ln(sin x).

Nghiệm tổng quát

y = e−∫

p(x) dx(∫

q(x)e∫

p(x) dx dx + C)

= sin x(∫

sin xsin x dx + C

)= (x + C) sin x .

Phương trình vi phân tuyến tínhVí dụ 2. Giải phương trình (1− x)(y ′ + y) = e−x , y(2) = 1.

Giải. y ′ + y =e−x

1− x là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với

p(x) = 1, q(x) = e−x

1− x ,∫p(x)dx =

∫dx = x .

Nghiệm tổng quát

y = e−∫

p(x) dx(∫

q(x)e∫

p(x) dx dx + C)

= e−x(∫ e−x

1− x ex dx + C)

= e−x(∫ dx

1− x + C)

= e−x (− ln |1− x |+ C) .

Với điều kiện y(2) = 1⇐⇒ 1 = e−2 (− ln |1− 2|+ C)⇐⇒ C = e2.Vậy nghiệm của bài toán là y = e−x (− ln |1− x |+ e2

).

PTVP tuyến tính với hệ số hằngPhương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

1 Dạng thuần nhất:y ′′ + py ′ + qy = 0.

2 Dạng không thuần nhất:

y ′′ + py ′ + qy = f (x).

Trong đó p, q là các số thực và f là một hàm số cho trước.Ta gọi phương trình đại số k2 + pk + q = 0 là phương trình đặc trưngcủa 2 phương trình vi phân trên.

Định lí về nghiệm của phương trình không thuần nhấtNếu• y0: nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất• yr : một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

thì nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là

y = y0 + yr .

PTVP tuyến tính với hệ số hằngGiải phương trình thuần nhất y ′′ + py ′ + qy = 0Giải phương trình đặc trưng: k2 + pk + q = 0. Có 3 trường hợp:

1 Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt k1 và k2:Nghiệm tổng quát:

y0 = C1ek1x + C2ek2x .

2 Phương trình đặc trưng có nghiệm kép k0:Nghiệm tổng quát:

y0 = C1ek0x + C2xek0x .

3 Phương trình đặc trưng không có nghiệm thực. Khi đó phươngtrình đặc trưng sẽ có nghiệm phức k = a ± bi :Nghiệm tổng quát:

y0 = eax(C1 cosbx + C2 sinbx).

PTVP tuyến tính với hệ số hằng

Tìm một nghiệm riêng của y ′′ + py ′ + qy = eαxPn(x)Với α ∈ R và Pn(x) là một đa thức bậc n, ta có thể tìm một nghiệmriêng yr của phương trình không thuần nhất dưới dạng

yr = xseαxQn(x),

trong đó Qn(x) là một đa thức bậc n (cùng bậc với Pn(x)) và s là bộicủa nghiệm α của phương trình đặc trưng k2 + pk + q = 0, nghĩa là

1 s = 0 nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng,2 s = 1 nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng,3 s = 2 nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng.


Các bước giải phương trình y ′′ + py ′ + qy = eαxPn(x)1 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm tổng quát y0 của

phương trình thuần nhất y ′′ + py ′ + qy = 0.2 Tìm một nghiệm riêng yr của bài toán.3 Kết luận: nghiệm tổng quát của bài toán là y = y0 + yr .

Các bước giải phương trình y ′′ + py ′ + qy = f1(x) + f2(x)1 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm tổng quát y0 của

phương trình thuần nhất y ′′ + py ′ + qy = 0.2 Tìm một nghiệm riêng yr của bài toán dưới dạng yr = yr1 + yr2 ,

trong đó:1 yr1 là một nghiệm riêng của: y ′′ + py ′ + qy = f1(x).2 yr2 là một nghiệm riêng của: y ′′ + py ′ + qy = f2(x).

3 Kết luận: nghiệm tổng quát của bài toán là y = y0 + yr .

PTVP tuyến tính với hệ số hằngVí dụ. Giải phương trình y ′′ − 5y ′ + 6y = e−x .

Giải.Phương trình đặc trưng k2 − 5k + 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệtk1 = 2, k2 = 3 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất lày0 = C1e2x + C2e3x .

Ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng yr = xseαxQn(x) trong đóα = −1, Qn(x) = A (vì Pn(x) = 1 là đa thức bậc 0) và s = 0 (vìα = −1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng).

yr = x0e−xA = Ae−x ,y ′r = −Ae−x ,y ′′r = Ae−x .

y ′′r −5y ′r +6yr = e−x ⇐⇒ Ae−x +5Ae−x +6Ae−x = e−x ⇐⇒ A =1

12.

Vậy yr =e−x

12.

Phương trình đã cho có nghiệm tổng quát: y = C1e2x + C2e3x +e−x

12.

PTVP tuyến tính với hệ số hằngVí dụ. Giải phương trình y ′′ + 4y = x2.

Giải.Phương trình đặc trưng k2 + 4 = 0 có nghiệm phức k = ±2i nênnghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất lày0 = C1 cos2x + C2 sin2x .

Ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng yr = xseαxQn(x) trong đó α = 0,Qn(x) = Ax2 + Bx + C (vì Pn(x) = x2 là đa thức bậc 2) và s = 0 (vìα = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng).

yr = Ax2 + Bx + C,y ′r = 2Ax + B,y ′′r = 2A.

y ′′r + 4yr = x2 ⇐⇒ 2A + 4(Ax2 + Bx + C) = x2 ⇐⇒ A =14,B =

0,C = −18

.

Nghiệm tổng quát: y = C1 cos2x + C2 sin2x +x2

4− 1

8.


Ví dụ. Giải phương trình y ′′ + 2y ′ = 3x .

Giải.Phương trình đặc trưng k2 + 2k = 0 có 2 nghiệm phân biệtk1 = 0, k2 = −2 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất lày0 = C1 + C2e−2x .

Ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng yr = xseαxQn(x) trong đó α = 0,Qn(x) = Ax + B (vì Pn(x) = 3x là đa thức bậc 1) và s = 1 (vì α = 0 lànghiệm đơn của phương trình đặc trưng).

yr = x(Ax + B) = Ax2 + Bx ,y ′r = 2Ax + B,y ′′r = 2A.

y ′′r + 2y ′r = 3x ⇐⇒ 2A + 2(2Ax + B) = 3x ⇐⇒ A =34,B = −3

4.

Nghiệm tổng quát: y = C1 + C2e−2x +34

x − 34

.


Ví dụ. Giải phương trình y ′′ − 2y ′ + y = 2ex .

Giải.Phương trình đặc trưng k2 − 2k + 1 = 0 có nghiệm kép k = 1 nênnghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y0 = C1ex + C2xex .

Ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng yr = xseαxQn(x) trong đó α = 1,Qn(x) = A (vì Pn(x) = 2 là đa thức bậc 0) và s = 2 (vì α = 1 lànghiệm kép của phương trình đặc trưng).

yr = Ax2ex ,y ′r = (Ax2 + 2Ax)ex ,y ′′r = (Ax2 + 4Ax + 2A)ex .y ′′r − 2y ′r + yr = 2ex ⇐⇒ 2Aex = 2ex ⇐⇒ A = 1. Vậy yr = x2ex .

Nghiệm tổng quát: y = C1ex + C2xex + x2ex .


Ví dụ. Giải phương trình y ′′ − 4y ′ + 4y = x + e2x .

Giải.Phương trình đặc trưng k2 − 4k + 4 = 0 có nghiệm kép k = 2 nênnghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất lày0 = C1e2x + C2xe2x .

Ta tìm một nghiệm riêng của y ′′ − 4y ′ + 4y = x dưới dạngyr1 = xseαxQn(x) trong đó α = 0, Qn(x) = Ax + B (vì Pn(x) = x là đathức bậc 1) và s = 0 (vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặctrưng).

yr1 = Ax + B,y ′r1

= A,y ′′r1

= 0.

y ′′r1− 4yr1 + 4yr1 = x ⇐⇒ A = B =

14

. Vậy yr1 =x + 1

4.


Ta tìm một nghiệm riêng của y ′′ − 4y ′ + 4y = e2x dưới dạngyr2 = xseαxQn(x) trong đó α = 2, Qn(x) = A (vì Pn(x) = 1 là đa thứcbậc 0) và s = 2 (vì α = 2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng).

yr2 = Ax2e2x ,y ′r2

= A(2x2 + 2x)e2x ,y ′′r2

= A(4x2 + 8x + 2)e2x .

y ′′r2− 4yr2 + 4yr2 = e2x ⇐⇒ A =

12

. Vậy yr2 =x2e2x

2.

Một nghiệm riêng của đề bài là yr = yr1 + yr2 .

Nghiệm tổng quát của đề bài là y = C1e2x + C2xe2x +x + 1

4+

x2e2x

2.

Dạng 1: Phương trình vi phân cấp 1Giải các phương trình vi phân sau:

1 xyy ′ = 3x2 − y2

2(x2 + 1

)yy ′ = ey

3 y ′ = xy −

yx

4 y ′ − 2x y = x3

5yy ′

x + ey = 0 thỏa mãn điều kiện y(0) = 1

6 (x + y)dx + (x − y)dy = 0 thỏa y(1) = 1

7 y ′ − yx = tan

yx

8 y ′ = y2 + 2xyxy

9 y ′ + y = ex thỏa y(0) = 1

10 y ′ = y − xy + x

Dạng 2: Phương trình vi phân cấp 2

Giải các phương trình vi phân sau:1 y ′′ − 9y ′ + 14y = e4x

2 y ′′ + 2y ′ + 10y = 10x2 + 24x + 1

3 y ′′ − 6y ′ + 9y = x , thỏa y(0) = 13

và y ′(0) = 1

4 y ′′ + 6y ′ + 8y = xe−3x

5 y ′′ − 4y ′ = −12x2 + 6x − 46 y ′′ − 5y ′ + 4y = xe2x

7 y ′′ + y = 2xex

8 y ′′ − 6y ′ + 9y = 4e3x

9 y ′′ + y = 4xex

10 y ′′ + y = x2ex

(Toán cao c§p 2 - Gi£i tích) Lê Phươngdocgate.com/phuongle/teaching/GT/handout/C5.pdfPhương...

Documents

Transcript of (Toán cao c§p 2 - Gi£i tích) Lê Phươngdocgate.com/phuongle/teaching/GT/handout/C5.pdfPhương...