BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HUỲNH VINH

PHÂN TÍCH TĨNH

TẤM CHỊU UỐN LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp Mã số: 60.58.20

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Đà Nẵng – Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TRẦN MINH TÚ

Phản biện 1: TS. Trần Quang Hưng

Phản biện 2: TS. Nguyễn Xuân Toản

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Kỹ thuật họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 9 năm 2013

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu - Đại học Đà Nẵng - Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết và ý nghĩa thực tiễn của đề tài

FGM là loại vật liệu mới ứng dụng tại Việt Nam. Các nghiên

cứu về vật liệu FGM cũng như ứng xử cơ học của kết cấu chế tạo

bằng vật liệu FGM có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.

(a): Vật liệu FGM (b): Vật liệu composite nhiều lớp

Hình Cấu trúc vật liệu composite

2. Mục đích nghiên cứu

Xây dựng lời giải giải tích tính toán độ võng và trường ứng suất

trong tấm chữ nhật FGM bốn biên tựa khớp chịu tác dụng của tải

trọng phân bố vuông góc với mặt trung bình dựa trên lý thuyết tấm

của Reissner - Mindlin.

Khảo sát ảnh hưởng của các tham số hình học, tham số vật liệu

đến độ võng, ứng suất, biến dạng của tấm. Từ đó, tác giả đưa ra những

nhận xét, kết luận bổ ích đối với công việc thiết kế tính toán các kết

cấu bằng vật liệu có cơ tính biến thiên.

3. Đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu

- Đối tượng: Tấm chữ nhật, bốn biên tựa khớp, vật liệu có cơ

tính biến thiên

- Phạm vi nghiên cứu: Khảo sát trường ứng suất, biến dạng và

chuyển vị dưới tác dụng của tải trọng uốn

- Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp giải tích

4. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:

2

Chương 1- Vật liệu có cơ tính biến thiên – các hệ thức cơ bản

theo lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff - Love

Chương 2 - Phân tích tĩnh tấm chịu uốn làm bằng vật liệu có cơ

tính biến thiên

Chương 3 - Kết quả số và bình luận

CHƯƠNG 1

VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN - CÁC HỆ THỨC

CƠ BẢN THEO LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN

KIRCHHOFF-LOVE

1.1. VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN - TÍNH CHẤT VẬT LIỆU

1.1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên

Luận văn nghiên cứu vật liệu có cơ tính biến thiên hai thành phần

(ceramic và kim loại)

Bảng 1.1 Tính chất của một số vật liệu thành phần sử dụng làm tấm

vật liệu có cơ tính biến thiên FGM

Vật liệuCác tính chất

E Pa[G ] µ 1o Cα − 3/kg mρ [ ]

Kim loại: Al 70 0,3 23.10-6 2702

Ceramic: Al2O3 380 0,3 7,2.10-6 3800

1.1.2. Tấm bằng vật liệu P-FGM

Mô đun đàn hồi kéo - nén được định nghĩa dưới dạng:

1( ) ( )

2

p

c m m

zE z E E E

h

= − + + (1.3)

Trong đó:

cE : mô đun đàn hồi kéo (nén) của vật liệu mặt dưới

mE : mô đun đàn hồi kéo (nén) của vật liệu mặt trên

3

p: tham số vật liệu (chỉ số tỷ lệ thể tích)

h: chiều dày tấm

Hình 1.1. Mô hình tấm làm từ vật liệu có cơ tính biến thiên FGM.

1.2. LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN KIRCHHOFF - LOVE

1.2.1. Các giả thiết

Đoạn thẳng pháp tuyến trước biến dạng là thẳng và vuông góc

với mặt trung bình. Sau biến dạng vẫn thẳng, vuông góc với mặt trung

bình và có chiều dài là không đổi.

1.2.2. Chuyển vị và quan hệ biến dạng – độ cong

a. Trường chuyển vị

0( , , )w

u x y z zx

∂= −

∂(1.4a)

0( , , )w

v x y z zy

∂= −

∂(1.4b)

0( , , ) ( , )w x y z w x y= (1.4c)

b. Quan hệ giữa biến dạng – độ cong

2

xx x

yy y

xy xy

z

ε χε χγ χ

=

(1.6)

4

Trong đó:2 2 2

0 0 0

2 2; ;x y xy

w w w

x y x yχ χ χ∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂ ∂

1.2.3. Trường ứng suất – các thành phần ứng lựca. Trường ứng suất

2 20 0

2 2 21xx

w wzE

x yσ µ

µ ∂ ∂

= − + − ∂ ∂ (1.8a)

2 20 0

2 2 21yy

w wzE

y xσ µ

µ ∂ ∂

= − + − ∂ ∂ (1.8b)

20

1xy

wzE

x yσ

µ∂

= −+ ∂ ∂

(1.8c)

b. Các thành phần ứng lực

/2

/ 2

xx xxh

yy yy

hxy xy

M

M zdz

M

σσσ−

=

∫ (1.9a)

/2

/ 2

0

0

0

xx xxh

yy yy

hxy xy

N

N dz

N

σσσ−

= =

∫ (1.9b)

/2

/2

hx xz

y yzh

Qdz

Q

σσ

−

=

∫ (1.9c)

c. Quan hệ giữa các thành phần ứng lực với độ võng

( )

( )

( ) ( )

2 20 0

2 2

2 20 0

2 2

201 1

xx x y

yy y x

xy yx xy

w wM D D

x y

w wM D D

y x

wM M D D

x y

χ µχ µ

χ µχ µ

µ χ µ

∂ ∂= + = − + ∂ ∂

∂ ∂= + = − + ∂ ∂

∂= = − = − −

∂ ∂

(1.10)

5

( )

( )

2 220 0

02 2

2 220 0

02 2

x

y

w wQ D D w

x x y x

w wQ D D w

y x y y

∂ ∂∂ ∂= − + = − ∇ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂= − + = − ∇ ∂ ∂ ∂ ∂

(1.11)

Trong đó:2 2

2 0 00 2 2

w ww

x y

∂ ∂∇ = + ∂ ∂

; ( )3

212 1

EhD

µ=

−: độ cứng trụ.

1.2.4. Các phương trình cân bằng - phương trình vi phân

mặt đàn hồiKhi tấm chịu tải trọng phân bố đều q vuông góc với mặt trung

bình, ta có:4 4 4

0 0 0

4 2 2 42

w w w q

x x y y D

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∂(1.17)

Giải phương trình (1.17) với các điều kiện biên, nhận được 0w . Từ đó

tính được các trường chuyển vị, ứng suất, ứng lực.

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương 1, tác giả luận văn đã hệ thống hóa các hệ

thức, phương trình cơ bản, hệ phương trình cân bằng cho tấm chịu

uốn theo lý thuyết cổ điển Kirchhoff – Love (CPT). Các hệ thức cơ

bản này xây dựng trong trường hợp vật liệu đồng nhất và đẳng hướng.

Trong chương 2, các hệ thức cơ bản này được áp dụng để xây dựng lý

thuyết tấm bậc nhất của Reissner – Mindlin đối với tấm làm từ vật liệu

có cơ tính biến thiên.

6

CHƯƠNG 2

PHÂN TÍCH TĨNH TẤM CHỊU UỐN LÀM BẰNG VẬT LIỆU

CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

2.1. LÝ THUYẾT TẤM BẬC NHẤT THEO REISSNER - MINDLIN

2.1.1. Giả thiết tấm theo Reissner - Mindlin

Pháp tuyến sau biến dạng vẫn thẳng có chiều dài không đổi, có

thể không còn vuông góc mặt trung bình.

2.1.2. Các thành phần chuyển vị

Reissner - Mindlin giả thiết trường chuyển vị bậc nhất dưới

dạng sau [1]:

0( , , ) ( , ) ( , )xu x y z u x y z x yθ= + (2.1)

0( , , ) ( , ) ( , )yv x y z v x y z x yθ= + (2.2)

0( , , ) ( , ) ( , )w x y z w x y w x y= = (2.3)

2.1.3. Các thành phần biến dạng0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

00

00

uxx xx xx xxx

uyy yy yy yyy

uxy xy xy xyxy

xz xz xz

yz yz yz

z

ε ε ε κεε ε ε κεγ γ γ κγγ γ γγ γ γ

= + = +

(2.12)

2.1.4. Các thành phần ứng suất - ứng lực trong tấm FGM

a. Các thành phần ứng suất

[ ]

11 12

12 11

66

66

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

xx xx xx

yy yy yy

xy xy xy

xz xz xz

yz yz yz

C C

C C

C C

C

C

σ ε εσ ε εσ γ γσ γ γσ γ γ

= =

(2.18)

Trong đó: 11 2

( )

1 ( )

E zC

zµ=

−; 12 2

( ) ( )

1 ( )

z E zC

z

µµ

=−

; [ ]66

( )

2 1 ( )

E zC

zµ=

+

7

b. Các thành phần ứng lực

Hình 2.8. Nội lực và ngoại lực trên phân tố tấm FGM

011 12 11 12

012 11 12 11

066 66

11 12 11 12

12 11 12 11

66 66

44

55

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

xx xx

yy yy

xy xy

xx x

yy y

xy

x

y

N A A B B

N A A B B

N A B

M B B D D

M B B D D

M B D

Q A

Q A

εεγκκκ

=

0

0

xy

xz

yz

γγ

(2.26)

Trong đó:

2 2

11 122 2

2 2

( ) ( ) ( );

1 ( ) 1 ( )

h h

h h

E z z E zA dz A dz

z z

µµ µ

− −

= =− −∫ ∫ ; [ ]

2

66

2

( )

2 1 ( )

h

h

E zA dz

zµ−

=+∫

x

xxxx

NN dx

x

∂+

∂

h

xx

QQ dx

x

∂+

∂

xy

xy

NN dx

x

∂+

∂

xxxx

MM dx

x

∂+

∂

xy

xy

MM dx

x

∂+

∂xy

xy

MM dy

y

∂+

∂

xy

xy

NN dy

y

∂+

∂

y

y

QQ dy

y

∂+

∂

yy

yy

NN dy

y

∂+

∂

yy

yy

MM dy

y

∂+

∂

xxN

xxM

xQ

xyM

xyN

yQ

yyN

xyM

xyN

yyM

y

z

( , )q x y

8

2

11 2

2

( )

1 ( )

h

h

zE zB dz

zµ−

=−∫ [ ]

2 2

12 662

2 2

( ) ( ) ( );

1 ( ) 2 1 ( )

h h

h h

z zE z zE zB dz B dz

z z

µµ µ

− −

= =− +∫ ∫ ;

22

11 2

2

( )

1 ( )

h

h

z E zD dz

zµ−

=−∫ ;

22

12 2

2

( ) ( )

1 ( )

h

h

z z E zD dz

z

µµ

−

=−∫ ; [ ]

22

66

2

( )

2 1 ( )

h

h

z E zD dz

zµ−

=+∫

[ ]2 2

44 55 66

2 2

1( )

2 1 ( )

h h

h h

A A k C dz k E z dzzµ

− −

= = =+∫ ∫

k: hệ số hiệu chỉnh cắtVới vật liệu đẳng hướng thường lấy k = 5/6

Với vật liệu FGM lấy 5 5

6 5k

µµ

+=

+(theo [17])

2.1.5. Hệ phương trình cân bằng theo 0 0 0, , , ,x yu v w θ θ .

Xét sự cân bằng của phân tố tấm FGM chịu tải phân bố vuônggóc với mặt tấm có quy luật bất kỳ ( , )q x y .

Phương trình cân bằng là:

( ) ( )

( ) ( )

22 2 2 2 20 0 0

11 66 12 66 11 66 12 662 2 2 2

2 22 2 2 20 0 0

11 66 12 66 11 66 12 662 2 2 2

2 20 0

44 552 2

0

0

yx x

y y x

yx

u u vA A A A B B B B

x y x y x y x y

v v uA A A A B B B B

y x x y y x x y

w wA A

x x y y

θθ θ

θ θ θ

θθ

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + ∂ ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

2 2 2 20 0 0

11 66 12 66 112 2 2

220

66 44 12 66 442

22 2 20 0 0

11 66 12 66 112 2 2

2

66 55 12 62

( , ) 0

0

x

yxx

y

y

y

q x y

u u vB B B B D

x y x y x

wD A D D A

y x y x

v v uB B B B D

y x x y y

D A D Dx

θ

θθ θ

θ

θθ

=

∂ ∂ ∂ ∂+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂+ − + + − =

∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂ ∂

+ + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂+ − + +

∂( )

20

6 55 0x wA

x y y

θ

∂ ∂

− = ∂ ∂ ∂(2.37)

9

2.2. LỜI GIẢI NAVIER CHO TẤM CHỮ NHẬT FGM

CHỊU UỐN, TỰA KHỚP TRÊN CHU VI, CHỊU TẢI TRỌNG

PHÂN BỐ ( , )q x y

2.2.1. Giả thiết các hàm chuyển vị, góc xoay và tải trọngtheo Navier

0 01 1

( , ) cos sinmnm n

u x y u x yα β∞ ∞

= =

= ∑∑ (2.38a)

0 01 1

( , ) sin cosmnm n

v x y v x yα β∞ ∞

= =

= ∑∑(2.38b)

0 01 1

( , ) sin sinmnm n

w x y w x yα β∞ ∞

= =

= ∑∑ (2.38c)

01 1

( , ) cos sinx xmnm n

x y x yθ θ α β∞ ∞

= =

= ∑∑ (2.38d)

01 1

( , ) sin cosy ymnm n

x y x yθ θ α β∞ ∞

= =

= ∑∑ (2.38e)

1 1

( , ) sin sinmnm n

q x y q x yα β∞ ∞

= =

= ∑∑ (2.38f)

Với ;m na b

π πα β= = và

0 0

4( , )sin sin

a b

mnq q x y x ydxdyab

α β= ∫ ∫2.2.2. Hệ phương trình cân bằng tĩnh học theo các ẩn số là

các hệ số của hàm chuyển vị: 0 0 0 0 0, , , ,mn mn mn xmn ymnu v w θ θ

011 12 14 15

021 22 24 25

033 34 35

041 42 43 44 45

051 52 53 54 55

0 0

0 0

0 0

0

0

mn

mn

mn mn

xmn

ymn

uS S S S

vS S S S

wS S S q

S S S S S

S S S S S

θθ

=

(2.40)

Gọi , , , ,x yu v wL L L L Lθ θ thỏa mãn hệ phương trình:

10

11 12 14 15

21 22 24 25

33 34 35

41 42 43 44 45

51 52 53 54 55

0 0

0 0

0 0 1

0

0

x

y

u

v

w

LS S S S

LS S S S

LS S S

LS S S S S

LS S S S S

θ

θ

=

(2.41)

Thế thì:

0

0

0

0

0

x

y

umn

vmn

wmn mn

xmn

ymn

Lu

Lv

Lw q

L

L

θ

θ

θθ

=

(2.42)

2.2.3. Trường chuyển vị

( )1 1

( , , ) cos sinxu mn

m n

u x y z L zL q x yθ α β∞ ∞

= =

= +∑∑ (2.44a)

( )1 1

( , , ) sin cosyv mn

m n

v x y z L zL q x yθ α β∞ ∞

= =

= +∑∑(2.44b)

1 1

( , , ) sin sinw mnm n

w x y z L q x yα β∞ ∞

= =

= ∑∑ (2.44c)

2.2.4. Trường biến dạng

( )

( )( ) ( )

( )

( )

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

sin sin

sin sin

cos cos

cos sin

sin cos

x

y

x y

x

y

u mnm n

xx v mnm n

yy

xy u v mnm n

xz

yz w mnm n

w mnm n

L zL q x y

L zL q x y

L zL L zL q x y

L L q x y

L L q x y

θ

θ

θ θ

θ

θ

α α β

ε β α βεγ β α α βγγ α α β

β α β

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

∞

= =

− +

− + = + + +

+

+

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑∞

∑(2.48)

11

2.2.5. Trường ứng suất

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

11 1 21 1

12 111 1

6 61 1

6 6

sin s in

sin s in

co s co s

cos

x y

x y

x y

x

u v m nm n

xx u v m nm n

yy

xy u v m nm n

xz

yz w m n

C L zL C L zL q x y

C L zL C L zL q x y

C L zL L zL q x y

C L L q

θ θ

θ θ

θ θ

θ

α β α β

σ α β α βσσ β α α βσσ α α

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

− + + +

− + + + = + + +

+

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

( )1 1

6 61 1

s in

s in cosy

m n

w m nm n

x y

C L L q x yθ

β

β α β

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

+

∑ ∑

∑ ∑(2.50)

2.3. LỜI GIẢI NAVIER CHO TẤM CHỮ NHẬT FGM CHỊU UỐN, TỰA KHỚP TRÊN CHU VI, CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ 0( , )q x y q= :

Khi 0( , )q x y q= thì:0

2

16( , 1,3,5,...)

0 ( , 2,4,6,...)mn

qm n

q mn

m n

π == =

khi

khi

2.3.1. Trường chuyển vị: (theo 2.44a-c)

2.3.2. Trường biến dạng: (theo 2.45, 2.47, 2.50 )

2.3.3. Trường ứng suất: (theo 2.50)

2.3.4. Trường ứng lực: (theo 2.51)

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Trong chương 2, tác giả luận văn đã dựa vào lý thuyết tấm bậc

nhất (FSDT) theo Reissner – Mindlin để xây dựng hệ năm phương

trình cân bằng tĩnh học của tấm FGM. Với tấm chữ nhật, tựa khớp

trên chu vi, chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt trung bình, dạng

nghiệm Navier được áp dụng để tìm trường chuyển vị, ứng suất, biến

dạng…Với trợ giúp của phần mềm Mathematica, tác giả luận văn đã

viết đoạn chương trình để tính toán số các lớp bài toán. Chương tiếp

theo, luận văn sẽ tiến hành khảo sát ảnh hưởng của các thông số về

vật liệu, kích thước tấm và giá trị tải trọng đến trường chuyển vị và

ứng suất của tấm FGM.

12

CHƯƠNG 3

KẾT QUẢ SỐ VÀ BÌNH LUẬN

Trên cơ sở nghiệm giải tích chuyển vị, ứng suất, biến dạng đã

xây dựng trong chương 2, tác giả luận văn đã lập code chương trình

bằng Mathematica để khảo sát số các lớp bài toán nhằm đánh giá ảnh

hưởng của các thông số vật liệu, kích thước tấm,…đến ứng xử cơ học

của tấm FGM.

Xét tấm chữ nhật bốn biên tựa khớp, làm bằng vật liệu P - FGM

chịu uốn, có chiều dày h, kích thước các cạnh a b× . Tải trọng 0q

phân bố đều, vuông góc với mặt trung bình của tấm.

- Vật liệu P- FGM với tính chất các vật liệu thành phần:

Mặt trên: nhôm ô xit – ceramic (Al2O3):

380 ( ), 0,3cE GPa µ= =Mặt dưới: nhôm – kim loại (Al):

70 ( ), 0,3mE GPa µ= =

3.1. VÍ DỤ 3.1: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ LỆ THỂ TÍCH p ĐẾN PHÂN

BỐ CỦA MÔ ĐUN ĐÀN HỒI ( )E z THEO CHIỀU DÀY TẤM

1( ) ( )

2

p

c m m

zE z E E E

h

= − + + (3.1)

Hình 3.2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo – nén trong tấm P-FGM

13

Mô đun đàn hồi tăng nhanh tại vị trí gần bề mặt ceramic của tấm

khi p >1 và gần bề mặt kim loại khi p < 1. Khi p = 0: vật liệu đồng nhất đẳng hướng làm từ vật liệu ceramic. Khi p = 1: thành phần ceramic và kim loại phân bố tuyến tính qua chiều dày thành kết cấu. Khi p tăng thì tỷ lệ thể tích của thành phần kim loại trong kết cấu tăng. Khi p = +∞ : vật liệu đồng nhất đẳng hướng làm từ vật liệu kim loại.

3.2. VÍ DỤ 3.2: KIỂM CHỨNG KẾT QUẢ - SO SÁNH VỚI CÁC

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA MỘT SỐ TÁC GIẢ

Xét tấm vuông , / 10a b a h= = . Hệ số hiệu chỉnh cắt 5

6k = .

Giá trị độ võng lớn nhất và ứng suất không thứ nguyên tính theo: 3

40 00

0 0 0

10( , ); ( ) ( , , ); ( ) ( , , );2 2 2 2 2 2

( ) (0,0, ); ( ) (0, , ); ( ) ( ,0, )2 2

cxx yyxx yy

xy xz yzxy xz yz

h E a b h a b h a bw w z z z z

q a q aq a

h h b h az z z z z z

q a q a q a

σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

= = =

= = =

Bảng 3.1. Độ võng lớn nhất, ứng suất không thứ nguyên của tấm vuông

FGM chịu uốn bởi tải trọng phân bố đều phân bố vuông góc với mặt tấm

14

Nhận xét: Từ bảng kết quả bảng 3.1 có thể thấy rằng kết quả tính theo

mô hình bậc nhất của luận văn so với kết quả theo mô hình bậc nhất

(FSDT) của Thái Hữu Tài [11] là trùng khớp với sai số rất nhỏ. Như

vậy có thể nói rằng nghiệm giải tích mà luận văn đã xây dựng cũng

như chương trình tính là tin cậy (sai số giữa mô hình bậc nhất và mô

hình bậc cao (SSDT) là do tỷ số a/h = 10 – tấm có chiều dày trung

bình).

3.3. VÍ DỤ 3.3: KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA CHỈ SỐ TỶ LỆ

THỂ TÍCH p ĐẾN ĐỘ VÕNG VÀ ỨNG SUẤT

Kích thước tấm / 2; / 10a b a h= = . Chỉ số tỷ lệ thể tích

0; 1; 2; 6; 10p =3.3.1. Độ võng

Hình 3.4. Độ võng không thứ nguyên tại mặt cắt y = b/2 biến thiên

theo p

Nhận xét: Từ hình 3.4 có thể thấy rằng khi tỷ số tỷ lệ thể tích

tăng thì độ cứng của tấm giảm làm cho độ võng tăng lên.

15

3.3.2. Các thành phần ứng suất

Hình 3.5. Ứng suất xxσ biến thiên theo chiều dày của tấm theo p

Nhận xét: Từ hình 3.5, ta nhận thấy:

+ Khi p = 0 (vật liệuceramic): xxσ trên mặt trung bình của tấm

bằng không. Mặt trung bình chính là mặt trung hòa. Ứng suất kéo và

ứng suất nén phân bố tuyến tính theo chiều dày tấm, ứng suất đạt cực

trị tại mặt trên và mặt dưới.

+ Khi p ≠ 0: Các điểm có xxσ bằng 0 không nằm trên mặt trung

bình nữa, mặt trung bình không phải là mặt trung hòa. Luật phân bố

ứng suất theo bề dày của tấm không còn tuyến tính. Ứng suất pháp

cực trị không còn ở mặt trên và dưới, mà có thể ở vị trí bất kỳ.

Hình 3.7. Ứng suất xyσ biến thiên theo chiều dày của tấm theo p

16

Nhận xét: Từ hình 3.7, ta nhận thấy:

+ Khi p = 0: xyσ phân bố bậc nhất, giá trị ứng suất tại điểm

thuộc mặt trung bình bằng 0. Giá trị ứng suất tại mặt trên là lớn nhất

so với các trường hợp khác của p, giá ứng suất tại mặt dưới là bé nhất

so với các trường hợp khác của p.

+ Khi p tăng, ứng suất tại mặt dưới lớn dần.

Hình 3.8. Ứng suất xzσ biến thiên theo chiều dày của tấm theo p

Nhận xét: Từ hình 3.8, nhận thấy:

Khi p = 0, +∞ – vật liệu đẳng hướng, thành phần ứng suất

xzσ là hằng số. Với p = 0, các giá trị ứng suất là: 0, 2121xzσ = . Tại

mặt trên và mặt dưới ứng suất cắt ngang là cực trị so với các trường

hợp p ≠ 0. Khi p ≠ (0; 1) các thành phần ứng suất này biến thiên phi

tuyến, bậc phi tuyến phụ thuộc vào p.

Khi p = 1, luật phân bố của xzσ là bậc nhất, các giá trị ứng

suất tại vị trí thuộc mặt trung bình là 0, 2121xzσ = .

+ Tại vị trí thuộc mặt trên, ( ) 0,06602

xz

hσ − = là giá trị bé nhất

so với các trường hợp khác của p. Tại vị trí thuộc mặt dưới, giá trị ứng

17

suất là ( ) 0,35832

xz

hσ =

Khi p tăng, các giá trị ứng suất lớn nhất tăng dần. Các thành

phần ứng suất cắt ngang này là nhỏ so với các thành phần ứng suất

pháp.

3.4. VÍ DỤ 3.4: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ a/ h ĐẾN ĐỘ

VÕNG VÀ ỨNG SUẤTKích thước tấm: / 2, / (5; 10; 20; 50; 100)a b a h= = . Chỉ số tỷ

lệ thể tích 2p = .

3.4.1. Độ võng

Hình 3.10. Độ võng lớn nhất không thứ nguyên w biến thiên theo tỷ

số a/h

Nhận xét: So sánh kết quả tính theo mô hình tấm bậc nhất của

luận văn với mô hình tấm bậc nhất của Thái Hữu Tài và bậc cao của

Zenkour: Từ hình vẽ 3.10: Khi tấm mỏng (a/h lớn), kết quả tính độ

võng có sai lệch rất bé. Sai lệch tăng khi chiều dày tấm tăng lên (a/h

giảm). Vì vậy, khi tính toán tấm dày nên tính theo mô hình bậc cao.

18

3.4.2. Các thành phần ứng suất

Hình 3.14. Ứng suất xxσ biến thiên theo chiều dày của tấm với các tỷ số a/h

Nhận xét: Từ hình 3.14, ta có nhận xét: Khi tỷ số a/h tăng, xxσ

tăng theo. Mối quan hệ giữa xxσ với tỷ số a/h là bậc nhất. Khảo sát chỉ

ra vị trí mặt trung hòa không phụ thuộc vào quan hệ kích thước hình

học của tấm, chỉ phụ thuộc vào tính chất của vật liệu. Trường hợp vật

liệu hai bề mặt của tấm như đã xét, với chỉ số tỷ lệ thể tích p = 2, mặt

trung hòa xác định ở độ dày tấm là z = + 0,149h.

Hình 3.15. Ứng suất xyσ biến thiên theo chiều dày của tấm với các

tỷ số a/h

19

Nhận xét: Từ hình 3.15, ta có nhận xét: Khi tỷ số a/h tăng, ứng

suất màng xyσ cực trị tăng. Thành phần ứng suất xyσ tăng theo quy

luật bậc nhất của tỷ số a/h.

Hình 3.16. Ứng suất xzσ biến thiên theo chiều dày của tấm với cáctỷ số a/h

Nhận xét: Từ hình 3.16, ta có nhận xét: Thành phần ứng suất

xzσ không phụ thuộc vào tỷ số a/h. Theo chiều dày tấm từ trên xuống

dưới, độ lớn các thành phần ứng suất này lớn dần.

3.5. VÍ DỤ 3.5: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ KÍCH THƯỚC CÁC

CẠNH a/bKích thước tấm a/h = 10, a/b = 1; 2; 3; 4. Các chỉ số tỷ lệ thể tích

p =0; 1; 2; 6; 10; +∞.

3.5.1. Độ võng

Hình 3.18. Độ võng không thứ nguyên tại mặt cắt y = b/2 biến thiên

theo a/b

20

Nhận xét: Từ hình 3.18, ta có nhận xét: Khi tỷ số a/b càng lớn,

độ võng không thứ nguyên càng nhỏ. Tỷ số a/b càng nhỏ, tốc độ tăng

độ võng không thứ nguyên càng lớn.

3.5.2. Các thành phần ứng suất

Hình 3.22. Ứng suất xxσ biến thiên theo chiều dày của tấm với các

tỷ số a/b khi p =2

Hình 3.23. Ứng suất xyσ biến thiên theo chiều dày của tấm với các

tỷ số a/b, khi p=2

21

Hình 3.24. Ứng suất xzσ biến thiên theo chiều dày tấm với các tỷ số

a/b, khi p=2Nhận xét: Từ các hình vẽ 3.22, 3.23, 3.24, ta có nhận xét:

Thành phần xxσ : Cùng một tỷ số a/b, ứng suất cực trị nằm ở

mặt trên và mặt dưới của tấm. Khi tỷ số a/b giảm, các ứng suất cực trị

có độ lớn lớn dần. Vị trí mặt trung hòa không phụ thuộc vào tỷ số a/b,

xác định ở độ dày tấm là z = + 0,149h.

Thành phần xyσ : Cùng một tỷ số a/b, mặt dưới có ứng suất

là lớn nhất. Khi tỷ số a/b càng nhỏ, ứng suất mặt dưới càng lớn dần.

Thành phần xzσ : Cùng một tỷ số a/b, mặt dưới có giá trị ứng

suất là lớn nhất. Khi tỷ số a/b càng nhỏ, ứng suất càng lớn dần.

3.6. VÍ DỤ 3.6: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ 1 2/E E ĐẾN ĐỘ

VÕNG VÀ ỨNG SUẤT.Trong đó:

1E , 2E lần lượt là mô đun đàn hồi khi kéo – nén ở mặt

trên và mặt dưới của tấm

Hệ số Poisson của vật liêu hai mặt: 0,3µ =Kích thước tấm: / 10a h = , / (1; 2; 3; 4)a b =Chỉ số tỷ lệ thể tích: 1; 2; 6; 10p =

22

3.6.1. Độ võng

Hình 3.27. Độ võng không thứ nguyên tại tại mặt cắt y =b/2 theo

các tỷ số E1/E2 khi a/b=2, p=2Nhận xét: Từ hình vẽ 3.27, nhận thấy: Khi tỷ số E1/E2 càng bé thì độ

võng không thứ nguyên càng lớn do độ cứng bé.

3.6.2. Các thành phần ứng suất

Hình 3.28. Ứng suất xxσ biến thiên theo chiều dày của tấm với các

tỷ số 1 2/E E khi a/b=2, p=2

Nhận xét: Từ hình vẽ 3.28, nhận thấy:

+ Khi E1/E2 = 1: Ứng suất phân bố bậc nhất theo chiều dày tấm.

+ Khi tỷ số E1/E2 ≠ 1: Biến thiên của ứng suất là phi tuyến. Ứng

suất mặt dưới là lớn nhất, ứng suất tăng dần khi E1/E2 giảm dần.

+ Khảo sát tìm được 2 vị trí trên chiều dày tấm mà tại đó ứng

suất không thứ nguyên không phụ thuộc vào tỷ số E1/E2 cũng như

quan hệ kích thước của tấm, chỉ phụ thuộc vào p. Trường hợp p = 2,

các vị trí được xác định như sau:

23

* Tại 0,2445 , 0,3268xyz h σ= − = . *Tại 0,3164 , 0,499xyz h σ= + = −

Hình 3.29. Ứng suất xyσ biến thiên theo chiều dày của tấm với các

tỷ số 1 2/E E khi a/b=2, p=2

Nhận xét: Từ hình vẽ 3.29, nhận thấy: Khi E1/E2 = 1: Ứng suất

phân bố đều, giá trị là 0,2121xzσ = .

+ Khi E1/E2 ≠ 1: Ứng suất phân bố phi tuyến, đạt lớn nhất tại

mặt dưới. Giá trị ứng suất lớn nhất này càng lớn khi E1/E2 càng nhỏ.

+ Khảo sát tìm được 1 vị trí trên chiều dày tấm mà tại đó ứng

suất không thứ nguyên không phụ thuộc vào tỷ số E1/E2 và quan hệ

kích thước hình học của tấm, chỉ phụ thuộc vào chỉ số tỷ lệ thể tích p.

Trường hợp p = 2, vị trí đó được xác định tại z = + 0,0773h;

0,2121xzσ = .

Hình 3.30. Ứng suất xzσ biến thiên theo chiều dày của tấm với các

tỷ số E1/E2 khi a/b =2, p=2

24

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3

- Với sự hỗ trợ của phần mềm Mathematica, tác giả luận văn đã

khảo sát số các lớp bài toán. Kết quả tính theo nghiệm giải tích mà

luận văn xây dựng được so sánh kiểm chứng với kết quả của một số

tác giả đã công bố trong các tài liệu tham khảo cho thấy độ tin cậy của

lời giải.

- Tác giả luận văn đã khảo sát ảnh hưởng các thông số đầu vào

như chỉ số thể tích p, tỷ số kích thước hình học của tấm (a/h,a/b), tính

dị hướng của vật liệu (E1/E2) đến độ võng và trường ứng suất trong

tấm FGM.

KẾT LUẬN

Từ các nội dung đã thực hiện, có thể tóm tắt những kết quả mà

luận văn đã đạt dược như sau:

- Đã tìm hiểu về một loại vật liệu mới có tiềm năng ứng dụng –

vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Materials): tổng

quan nghiên cứu và ứng dụng, tính chất cơ học của vật liệu.

- Dựa vào lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner – Mindlin, áp

dụng lời giải Navier, luận văn đã xây dựng nghiệm giải tích về chuyển

vị, biến dạng, ứng suất cho tấm chữ nhật làm bằng vật liệu có cơ tính

biến thiên chịu uốn, bốn biên tựa khớp.

- Đã viết chương trình tính toán số bằng phần mềm

Mathematica nhằm khảo sát số các bài toán để đánh giá ảnh hưởng

của chỉ số tỷ lệ thể tích p, tỷ số kích thước hình học của tấm (a/h, a/b),

tính dị hướng của vật liệu (E1/E2) đến độ võng và trường ứng suất

trong tấm FGM.

- Kết quả số cũng như các nhận xét, bình luận mà luận văn đưa

ra là nguồn tham khảo đáng tin cậy cho những ai quan tấm đến lĩnh

vực nghiên cứu phân tích ứng xử cơ học của kết cấu làm bằng vật liệu

FGM.