TOÁN CAO C P C - AGU Staff Zone · · 2014-09-21+ Gi s X là m t t p h p s th c sao cho v i m i...

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH AN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

��

TOÁN CAO CẤP C

Giảng viên: Bùi Đức Thắng

NĂM HỌC 2013 – 2014

MỤC LỤC

CHƯƠNG ---------------------------------------------------------------TRANG

CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM MỘT BIẾN ----- 1

CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN ----------------- 30

CHƯƠNG 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN -------------------------------------- 46

CHƯƠNG 4: ĐẠO HÀM VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ----------------- 78

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ----------------------------------- 95

CHƯƠNG 6: CHUỖI SỐ --------------------------------------------------------- 121

CHƯƠNG 7: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC -------------------------------------- 134

CHƯƠNG 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ------------------------ 152

1

CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

§ 1 BỔ TÚC VỀ TẬP HƠP SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ

1.1 Một số tính chất của tập hợp số thực R

Trong ℝ có các tính chất quy ước sau ñây:

) ,i x x−∞< <+∞ ∀ ∈ℝ

) ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) .ii x x x x+ +∞ =+∞ + −∞ = −∞ − +∞ = −∞ − −∞ = +∞

.( ) , .( ) , 0.

.( ) , .( ) , 0.

0, .)

0, .

x x khi x

x x khi x

xxiii

xx

+∞ = +∞ −∞ =−∞ > +∞ = −∞ −∞ =+∞ < = ∀ ∈ +∞ = ∀ ∈ −∞

i

i

i ℝ

i ℝ

2

1.2 Các khoảng trong R

Khoảng ñóng trong R. Khoảng mở trong R. Khoảng nửa mở (nửa

khoảng) trong R.

{ }[ , ]a b x a x b= ∈ ≤ ≤ℝ

{ }{ }{ }

( , )

( , )

( , )

a b x a x b

a x a x

b x x b

⋅ = ∈ < <

⋅ +∞ = ∈ <

⋅ −∞ = ∈ <

ℝ

ℝ

ℝ

{ }[ , )a b x a x b= ∈ ≤ <ℝ

{ }( , ]a b x a x b= ∈ < ≤ℝ

{ }[ , )a x a x+ ∞ = ∈ ≤ℝ

{ }( , ]b x x b− ∞ = ∈ ≤ℝ

▼ Chú ý 1

Nhiều khi người ta còn dùng một chữ in hoa nào ñó ñể chỉ một khoảng ñóng, khoảng mở hay khoảng nửa mở (nửa khoảng), chẳng hạn : , , , ...I A B C

1.3 Tập hợp bị chặn, không bị chặn 1.3.1 Cận trên

♦ Định nghĩa 1 Số thực a gọi là một cận trên (hay là một số chặn trên) của tập hợp X ⊂ ℝ nếu

x X x a∀ ∈ ⇒ ≤ . Khi ñó ta cũng bảo X bị chặn trên bởi a. NếuX không có cận trên nào thì X gọi là không bị chặn trên.

1.3.2 Cận dưới

♦ Định nghĩa 2 Số thực a gọi là một cận dưới (hay là một số chặn dưới) của tập hợp X ⊂ ℝ nếu x X a x∀ ∈ ⇒ ≤ . Khi ñó ta cũng bảo X bị chặn dưới bởi a . NếuX không có cận dưới

nào thì ta gọi X không bị chặn dưới.

2 1.3.3 Tập hợp bị chặn Tập hợp X ⊂ ℝ gọi là bị chặn, nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

1. 4 Ánh xạ và hàm số 1.4.1 Khái niệm về ánh xạ và hàm số ♦ Định nghĩa 3 • Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý. Nếu có một quy tắc f cho tương ứng mỗi phần tử x X∈ với một phần tử y Y∈ thì ta nói f là một ánh xạ từ X vào Y và ký hiệu:

:

( )

f X Y

x y f x

→

=֏

• Nếu X và Y là các tập hợp số thì f ñược gọi là hàm số. Trong tài liệu này chúng ta xét các hàm số thực của các biến số thực nghĩa là & .X Y⊂ ⊂ℝ ℝ

• X ñược gọi là tập hợp xác ñịnh (hoặc miền xác ñịnh) của hàm số .f Số thực x X∈ ñược gọi là biến số ñộc lập (gọi tắt là biến số hoặc ñối số ). • Số thực ( )y f x Y= ∈ ñược gọi là giá trị của hàm số tại ñiểm x . Tập hợp tất cả các

giá trị ( )f x khi x lấy mọi số thực thuộc tập hợpX gọi là tập hợp các giá trị (hoặc miền

giá trị) của hàm số f và ñược ký hiệu là ( )f X . Như vậy:

{ }( ) : ( )f X y Y x X f x y= ∈ ∃ ∈ =

1.4.2 Các phép toán trên các hàm số Giả sử , :f g X →ℝ là hai hàm số thực xác ñịnh trên tập hợp X . Các hàm số :

a) ( )( ) ( ) ( )

:x f g x f x g x

f g X

+ = +

+ →֏

ℝ

b) ( )( ) ( ) ( )

:x f g x f x g x

f g X

− = −

− →֏

ℝ

c) ( . )( ) ( ). ( )

:x f g x f x g x

fg X Y

=

→֏

theo thứ tự , gọi là tổng, hiệu, tích của hai hàm số &f g .

d) Ngoài ra nếu ( ) 0g x ≠ với mọi x X∈ thì hàm số

(( )( )

)

:

f xfg g x

x x

fX Y

g

=

→

֏

gọi là thương của hai hàm số &f g .

▼ Chú ý 2

Trong nhiều trường hợp người ta cho hai hàm số thực f vàg mà không nói rõ tập xác ñịnh của chúng. Khi ñó, tập xác ñịnh của hàm số f g+ ñược hiểu là giao của các tập xác ñịnh của hai hàm số f vàg . � Ví dụ 1

Cho hai hàm số 2 1( ) 1 ( ) .f x x g x

x= − = & Tập xác ñịnh của hàm số

2 1( ) ( ) 1f x g x x

x+ = − + là [ 1, 1] \ {0} [ 1, 0) (0, 1]− ∩ = − ∪ℝ

3 1.4. 3 Các loại hàm số ñặc biệt a) Hàm bị chặn, hàm không bị chặn - Ta gọi hàm số ( )y f x= là bị chặn trên trong tậpD ⊂ℝ nếu tồn tại số M ∈ ℝ sao

cho ( )f x M≤ với mọi x D∈ .

- Ta gọi hàm số ( )y f x= là bị chặn dưới trong tậpD ⊂ℝ nếu tồn tại số N ∈ ℝ sao cho

( )f x N≥ với mọi x D∈ .

- Hàm số ( )y f x= ñược gọi là bị chặn trong tậpD ⊂ℝ nếu nó vừa bị chặn trên và vừa

bị chặn dưới, tức là tồn tại số 0 ( )M sao cho f x M< ∈ ≤ℝ với mọix D∈ .

� Ví dụ 2

Các hàm số sin , cosy x y x= = là các hàm số bị chặn vì 1∃ ∈ℝ mà sin 1,x ≤

cos 1, .x x≤ ∀ ∈ ℝ

- Còn hàm số 1

yx

= là hàm số không bị chặn trong khoảng (0, )+∞ .

b) Hàm chẵn, hàm lẻ + Giả sử X là một tập hợp số thực sao cho x X− ∈ với mọi x X∈ và :f X → ℝ là một

hàm số xác ñịnh trên X . Ta gọi: i f là một hàm số chẵn nếu: ( ) ( )f x f x− = với mọi x X∈ .

i f là một hàm số lẻ nếu: ( ) ( )f x f x− = − với mọi x X∈ .

+ Dễ dàng thấy rằng ñồ thị của một hàm số chẵn ñối xứng qua trục tung và ñồ thị của

một hàm số lẻ ñối xứng qua gốc tọa ñộ. � Ví dụ 3

Hàm số 2y x= là một hàm số chẵn, còn hàm số 3y x= là một hàm số lẻ.

c) Hàm tuần hoàn i Giả sử hàm số :f X → ℝ xác ñịnh trên tập hợp số thực X . Nếu tồn tại một số dương

T sao cho với mọi x X∈ ta ñều có: & ( ) ( )x T X f x T f x+ ∈ + = (1) thì f gọi là

một hàm số tuần hoàn. Từ ñẳng thức trên suy ra: Với mọi x X∈ thì ( ) ( ) ( 2 ) ...f x f x T f x T= + = + =

i Nếu trong tập hợp các số 0T > thỏa mãn ñẳng thức (1) có số nhỏ nhất thì số ñó ñược

gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn .f � Ví dụ 4

Các hàm số ( )3( ) sin & ( ) 2 cosf x x g x x π= = + là những hàm số tuần hoàn có chu kì

2π, hàm số ( )5( ) 2 sin 2h x x π= + có chu kì π.

▼ Chú ý 3

Nếu f là một hàm tuần hoàn có chu kỳ T thì ta chỉ cần xét hàm số trên một ñoạn có ñộ

dài bằng chu kỳ :0

[ , ]x x T+ và vẽ ñồ thị trên ñoạn ñó. Ta sẽ nhận ñược toàn bộ ñồ thị

của hàm số từ phần của ñồ thị ñã biết nhờ phép tịnh tiến theo các véc tơ ( , 0),kT

k ∈ ℤ . Điểm 0

x thường ñược chọn sao cho có thể tận dụng ñược ñặc ñiểm (nếu có)

của hàm số (chẳng hạn tính chẵn , lẻ của hàm số ).

4 d) Hàm ñơn ñiệu ♦ Định nghĩa 4 Giả sử X và Y là hai tập hợp số thực. 1. Hàm số :f X Y→ gọi là tăng nếu :

1 2 1 2 1 2( ) ( ), ,x x f x f x x x X< ⇒ ≤ ∀ ∈

2. Hàm số :f X Y→ gọi là tăng nghiêm ngặt nếu :1 2 1 2

( ) ( ),x x f x f x< ⇒ <

1 2,x x X∀ ∈

3. Hàm số :f X Y→ gọi là giảm nếu :1 2 1 2 1 2

( ) ( ), ,x x f x f x x x X< ⇒ ≥ ∀ ∈

4. Hàm số :f X Y→ gọi là giảm nghiêm ngặt nếu: 1 2 1 2

( ) ( ),x x f x f x< ⇒ >

1 2,x x X∀ ∈

5. Hàm số f: X ®®®® Y tăng hoặc giảm gọi là hàm ñơn ñiệu. Hàm số tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt gọi là hàm ñơn ñiệu nghiêm ngặt. � Ví dụ 5

Hàm số 3( ) 5f x x= − là tăng nghiêm ngặt trên ℝ . Hàm số 2( ) 2 1g x x= − là giảm

nghiêm ngặt trên khoảng ( , 0]−∞ và tăng nghiêm ngặt trên khoảng [0, )+∞

e) Hàm số hợp Cho ba tập hợp , ,X Y Z ⊂ℝ . Giả sử : & :f X Y g Y Z→ → là hai hàm số.

Với mỗi , ( ) , ( ) [ ( )]x X y f x Y g y g f x∈ = ∈ =

Hàm số ( ) ( )

:x h x g f x

h X Z

=→

֏ gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và g , ký

hiệu là h g f= � . Như vậy ( )( ) [ ( )]g f x g f x=�

h) Hàm số ngược ♦ Định nghĩa 5 Giả sử X và Y là hai tập hợp bất kì và :f X Y→ là một song ánh từ X lên Y . Khi

ñó với mỗi y Y∈ , tồn tại một phần tử duy nhất x X∈ sao cho ( )f x y= .

Ánh xạ ( )

:y g y x

g Y X=

→֏

gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f , kí hiệu 1f − .

▼ Chú ý 4

Nếu :g Y X→ là ánh xạ ngược của song ánh :f X Y→ thì: [ ( )] ,g f x x x X= ∀ ∈

& [ ( )] , .f g y y y Y= ∀ ∈

� Định lý 1 Giả sử hàm số :f X →ℝ là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên tập hợp số thựcX .

Khi ñó f là một song ánh từ tập hợpX lên tập hợp ( )Y f X= và hàm số ngược

1 :f Y X− → của f là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên .Y

1.4.4 Hàm số sơ cấp

a) Hàm số mũ ,xy a= với 1 0.a≠ >

Hàm mũ có miền xác ñịnh là ℝ , miền giá trị là (0, )+ ∞ . Nếu 1a > thì hàm ñồng biến,

0 1a< < thì hàm nghịch biến.

5 b) Hàm số lôgarit log ,

ay x= với 1 0.a≠ >

Hàm lôgarit có miền xác ñịnh là (0, )+∞ , miền giá trị là ℝ . Nếu 1a > thì hàm

ñồng biến 0 1a< < thì hàm nghịch biến. Hàm lôgarit loga

y x= là hàm số ngược của

hàm số mũ xy a= .

c) Hàm số lũy thừa: ,y xα= với .α ∈ ℝ

i Nếu α - là số hữu tỷ thì miền xác ñịnh của hàm lũy thừa phụ thuộc vào α . Chẳng

hạn 12y x= có miền xác ñịnh là (0, )+∞ ; nhưng hàm số

1

3y x−

= có miền xác ñịnh lại

là: \ {0}ℝ .

i Nếu α - là số vô tỷ dương thì ta quy ước miền xác ñịnh là [0, ].+∞

i Nếu α - là số vô tỷ âm thì ta quy ước miền xác ñịnh của nó là (0, ).+∞

1.4.5 Các hàm số lượng giác. i siny x= có miền xác ñịnh ,ℝ miền giá trị [ 1, 1]− , là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ

2π . i cosy x= có miền xác ñịnh ℝ , miền giá trị [ 1, 1]− là hàm chẵn, tuần hoàn với chu

kỳ 2π.

i tany x= có miền xác ñịnh: 2

(2 1) ,x k kπ≠ + ∈ℤ , miền giá trị ℝ , là hàm lẻ, tuần

hoàn với chu kỳ .π i coty x= có miền xác ñịnh: ,x k kπ≠ ∈ℤ miền giá trị ,ℝ là hàm lẻ, tuần hoàn

với chu kỳ π . 1.4.6 Các hàm số lượng giác ngược. • Hàm arcsiny x= là hàm ngược của hàm số siny x=

• Hàm arccosy x= là hàm ngược của hàm số cosy x=

• Hàm arctany x= là hàm ngược của hàm số tany x=

• Hàm arc coty x= là hàm ngược của hàm số coty x=

Tóm tắt ñịnh nghĩa của các hàm số ngược:

Hàm số lượng giác ngược Miền xác ñịnh Miền giá trị arcsin siny x x y= ⇔ = 1 1x− ≤ ≤

2 2yπ π− ≤ ≤

arccos cosy x x y= ⇔ = 1 1x− ≤ ≤ 0 y π≤ ≤

arctan siny x x y= ⇔ = x−∞ ≤ ≤+∞ 2 2

yπ π− ≤ ≤

arc cot siny x x y= ⇔ = x−∞ ≤ ≤+∞ 0 y π≤ ≤

§ 2 GIỚI HẠN HÀM SỐ. 2.1 Giới hạn hàm số. 2.1.1 Các ñịnh nghĩa ♦Định nghĩa 6 (Lân cận của một ñiểm)

Ta gọi lân cận δ của ñiểm 0

x ( 0δ > ) là tập hợp { }0 0( ) .V x x x xδ

δ= ∈ − <ℝ

6 ♦Định nghĩa 7 (Định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε δ− )

Giả sử I là một khoảng chứa ñiểm 0

x và ( )f x là một hàm số xác ñịnh trên tập

0\ { }I x . Ta nói rằng số thực L là giới hạn của hàm số ( )f x khi x dần tới

0x và viết

00

lim ( ) ( ) ,x x

f x L hay f x L khi x x→

= → → nếu 0, 0, :x Iε δ∀ > ∃ > ∀ ∈

00 ( ) .x x f x Lδ ε< − < ⇒ − <

▼ Chú ý 6

Không ñược quên ñiều kiện 0

0x x− > , tức là 0

x x≠ . Hàm số ( )f x có thể xác ñịnh

hay không xác ñịnh tại 0

x . Trong trường hợp ( )f x xác ñịnh tại 0

x , giới hạn L của hàm

số ( )f x không có quan hệ gì với 0

( )f x .

♦Định nghĩa 8 (Định nghĩa giới hạn hàm số theo dãy) Giả sử I là một khoảng chứa ñiểm

0x và ( )f x là một hàm số xác ñịnh trên tập

{ }0\I x .Ta nói rằng số thực L là giới hạn của hàm số ( )f x khi x dần tới 0

x và

viết0

0lim ( ) ( ) ,x x

f x L hay f x L khi x x→

= → → nếu ( )0{ } \{ }

nx I x∀ ⊂ mà

0lim

nn

x x→∞

=

lim ( ) .n

nf x L

→∞⇒ =

2.1.2 Các giới hạn một phía

Nếu 0

x x< mà 0

x x→ thì ta quy ước viết 0

x x−→ và nếu 0

x x> mà 0

x x→ thì ta

quy ước ta viết 0

x x+→ .

♦ Định nghĩa 9 (Giới hạn bên trái)

Số L ñược gọi là giới hạn trái của hàm số ( )f x khi 0

x x−→ nếu 0, 0 :ε δ∀ > ∃ >

00 ( ) .x x f x Lδ ε−< − < ⇒ − < Khi ñó viết

0

0lim ( ) ( ).x x

L f x f x−

−

→

= =

♦ Định nghĩa 10 (Giới hạn phải)

Số L ñược gọi là giới hạn phải của hàm số ( )f x khi 0,x x+→ nếu 0, 0ε δ∀ > ∃ >

00 ( ) .x x f x Lδ ε+< − < ⇒ − < Khi ñó viết

0

0lim ( ) ( ).x x

L f x f x+

+

→

= =

� Định lý 2 Điều kiện cần và ñủ ñể

0

lim ( )x x

f x L→

= là0 0

lim ( ) lim ( ) .x x x x

f x f x L− +→ →

= =

2.1.3 Giới hạn hàm số khi x → + ∞ và x → -∞

♦ Định nghĩa 11 a) Giả sử X là một tập hợp số thực không bị chặn trên và ( )f x là một hàm số xác ñịnh

trên X . Ta gọi số thực L là giới hạn của hàm số ( )f x khi x → +∞ và viết

lim ( )x

f x L→+∞

= nếu cho trước số dương ε nhỏ tùy ý, có thể chỉ ra một số thực M sao

cho ( ), ( ) .x X x M f x L ε∀ ∈ > ⇒ − <

7 b) Giả sử X là một tập hợp số thực không bị chặn dưới và ( )f x là một hàm số xác ñịnh

trên X . Ta gọi số thực L là giới hạn của hàm số ( )f x khi x → −∞ và viết

lim ( )x

f x L→−∞

= nếu cho trước số dương ε nhỏ tùy ý, có thể chỉ ra một số thực M sao

cho ( ), ( ) .x X x M f x L ε∀ ∈ < ⇒ − <

2.1.4 Giới hạn vô cực bằng ∞

♦ Định nghĩa 12 Giả sử số thực

0x là một ñiểm thuộc khoảng I và ( )f x là một hàm số xác ñịnh trên

tập hợp { }0\I x .

a) Ta gọi +∞ là giới hạn của hàm số ( )f x khi 0

x x→ và viết 0

limx x→

=+∞ hay

( )f x →+∞ khi 0

x x→ , nếu với một số thực A cho trước bất kì, tồn tại một số 0δ >

sao cho 0( ) 0 ( ) .x I x x f x Aδ∀ ∈ < − < ⇒ >

b) Ta gọi −∞ là giới hạn của hàm số ( )f x khi 0

x x→ và viết0

limx x→

=−∞ hay

( )f x →−∞ khi 0

x x→ , nếu với một số thực A cho trước bất kì, tồn tại một số 0δ >

sao cho 0( ) 0 ( ) .x I x x f x Aδ∀ ∈ < − < ⇒ <

2.1.5 Giới hạn khi .x → ∞ ♦ Định nghĩa 13 Giả sửX là một tập hợp số thực không bị chặn trên và ( )f x là một hàm số xác ñịnh

trên X . Ta viết : a) lim ( ) ( )

xf x f x khi x

→+∞=+ ∞ ∨ →+∞ →+∞ nếu với một số thực A cho trước bất

kì, tồn tại một số thực B sao cho ( ) ( ) .x X x B f x A∀ ∈ > ⇒ >

) lim ( ) ( )x

b f x f x khi x→+∞

= −∞ ∨ →−∞ →+∞ nếu với một số thực A cho trước bất kì,

tồn tại một số thực B sao cho ( ) ( ) .x X x B f x A∀ ∈ > ⇒ <

⋇ Các ñẳng thức:0 0

lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , ...xx x x x

f x f x f x+ − →−∞→ →

=+∞ =−∞ = +∞ ñược ñịnh

nghĩa tương tự. 2.1.6 Một số ñịnh lý về giới hạn của hàm số 1) Nếu tồn tại các giới hạn:

0 0

lim ( ) & lim ( ) ; , .x x x x

f x A g x B A B→ →

= = ∈ ℝ Khi ñó:

( )0 0 0

) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) .x x x x x x

a f x g x f x g x A B→ → →

± = ± = ±

( )0 0 0

) lim ( ). ( ) lim ( ) . lim ( ) . .x x x x x x

b f x g x f x g x A B→ → →

= =

c) Nếu 0

0

0

lim ( )( )

0 lim .( ) lim ( )

x x

x xx x

f xf x A

Bg x g x B

→

→→

≠ ⇒ = =

8

( ) 0

0 0

lim ( )( )

) lim ( ) lim ( ) .x x

x x x x

g xg x Bd f x f x A

→

→ →

= =

e) Từ 0 0

lim ( ) lim ( ) .x x x x

f x A f x A→ →

= ⇒ =

f) Nếu0

0lim ( ) & ( )x x

u x u f u→

= xác ñịnh tại

0u và trong lân cận của

0u thì:

0 00

lim ( ) lim ( ) ( ).x x x x

f u x f u x f u→ →

= =

2) Nếu ( ) ( )f x g x≤ trong một lân cận nào ñó của ñiểm 0

x thì 0 0

lim ( ) lim ( ).x x x x

f x g x→ →

≤

3) Nếu 0 0 0

0( ) ( ) ( ) ( )& lim ( ) lim ( ) lim ( ) .

x x x x x xf x g x h x x V x f x g x L g x L

δ → → →≤ ≤ ∀ ∈ = = ⇒ =

2.2 Một số giới hạn ñáng nhớ

1 0

sinlim 1x

x

x→= 2

0

sinlim 1x

x

xα

α

α→= 3

0

arcsinlim 1x

x

x→=

4 0 0lim 1 lim 1x x

tgx tg x

x xα

α

α→ →= ⇒ =

5

2

limx

tgxπ→+

= +∞ 6 2

limx

tgxπ→−

= −∞

7 lim2x

arctgxπ

→+∞= 8 lim

2xarctgx

π

→−∞=− 9 lim 0

xarccotgx

→+∞=

10 lim cotx

arc gx π→−∞

= 11 lim ,

( 1)

x

xa

a

→+∞= +∞

> 12 lim 0, ( 1)x

xa a

→−∞= >

13 lim 0

( 0 1)

;x

xa

a

→+∞=

< < 14

lim ;

( 0 1)

x

xa

a

→−∞= +∞

< < 15

lim log ,

( 1)

xax

a

→+∞= +∞

>

16 0

lim log ,

( 1)

xax

a

+→

= −∞

> 17

lim log

(0 1)

xax

a

→+∞= −∞

< < 18 0

lim log

(0 1)

xax

a

+→

= +∞

< <

19 0

1lim 1

x

x

e

x→

−= 20

0

1lim ln

x

x

aa

x→

−= 21

0

(1 ) 1limx

x

x

α

α→

+ −=

22 1

lim 0( 0)x xα

α→+∞

= > 23 lim 0p

xx

x

e→+∞= 24

0

ln(1 )lim 1x

x

x→

+=

25 ( )1

0lim 1 x

xx e

→+ = 26 1

lim 1

x

xe

x→∞

+ = 27 1 1

lim 1 .

x

x x e→∞

− =

2.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn. 2.3.1 Định nghĩa vô cùng bé, vô cùng lớn ♦ Định nghĩa 14 Giả sử

0x là một ñiểm trên khoảng (a, b) và ( )f x là một hàm số xác ñịnh trên

tập hợp0

( , ) \ { }a b x

9 1. Hàm số ( )f x gọi là một vô cùng bé (VCB) khi

0x x→ nếu

0

lim ( ) 0x x

f x→

= . Hàm

số ( )f x gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi 0

x x→ nếu 0

lim ( )x x

f x→

= +∞ .

(Vô cùng bé và vô cùng lớn khi 0 0, ,x x x x x x+ −→ → → +∞ ∨ → −∞ ñược

ñịnh nghĩa tương tự )

▼ Chú ý:

1) Cần phân biệt khái niệm “vô cùng bé” với khái niệm “rất bé” : Một hằng số c dù có giá trị tuyệt ñối bé ñến mấy cũng chỉ là một số rất bé mà không thể xem là một vô cùng bé. Chẳng hạn c = 0,000.000.001 thì nó không thể bé hơn 0,000.000.0001 ñược. Như vậy các số 0,000.000.001 ; 0,000.000.0001 chỉ là các số rất bé mà không phải là các ñại lương VCB. Riêng số 0 có thể xem VCB vì hàm ( ) 0f x = dần tới giới hạn 0 (trong mọi quá trình). 2) Cần phân biệt khái niệm “vô cùng lớn” với khái niệm “ không bị chặn ” : Một hàm số nếu là vô cùng lớn thì không bị chặn vì nó có giá trị tuyệt ñối lớn hơn mọi số dương k cho trước, kể từ một lúc nào ñó của quá trình. Nhưng một hàm không bị chặn có thể không phải là một vô cùng lớn. 2.3.2 Tính chất của VCB và VCL Vì VCB, VCL là những giới hạn, do ñó theo tính chất của giới hạn, với các VCB và VCL khi

0x x→ ta có:

1. Tổng hai (VCB) là một (VCB) 2. Tích của một (VCB) và một ñại lượng bị chặn là một (VCB) 3. Tích của hai (VCL) là một (VCL) 4. Tổng của một (VCL) và một ñại lượng bị chặn là một (VCL)

5. Nếu ( )xα là một (VCB) và 1

( ) 0( )

xx

αα

≠ ⇒ là một (VCL)

6. Nếu ( )xα là một (VCL) 1

( )xα⇒ là một (VCB)

0

7. lim ( ) ( ) ( ),x x

f x L f x L x→

= ⇔ = +α trong ñó ( )xα là một VCB khi0.x x→

2.3.3 So sánh các VCB. ♦ Định nghĩa 15

Xét hai VCB ( )f x và ( )g x ( )0khi x x hay x→ → ∞ .

i) Nếu 0

( )

( )lim 0

( )x xx

f x

g x→→∞

= thì ta nói ( )f x là VCB bậc cao so với ( )g x (nghĩa là ( )f x dần

tới 0 nhanh hơn ( )g x ñến nỗi tỷ số ( )

( )

f x

g x vẫn còn dần tới 0)

ii) Nếu 0

( )

( )lim 0

( )x xx

f xk

g x→→∞

= ≠ thì ta nói ( )f x và ( )g x là VCB cùng cấp .

iii) Nếu 0

( )

( )lim 1

( )x xx

f x

g x→→∞

= thì ( )f x và ( )g x ñược gọi là hai VCB tương ñương, ký

10 hiệu là : ( ) ( ).f x g x∼

2.3.3 So sánh các VCL ♦ Định nghĩa 16 Xét hai VCL ( )f x và ( )g x

0( )khi x x hay x→ →∞

i) Nếu 0

( )

( )lim

( )x xx

f x

g x→→∞

= +∞ thì ta nói ( )f x là VCL bậc cao so với ( )g x .

ii) Nếu0

( )

( )lim 0 ( )

( )x xx

f xk k const

g x→→∞

= ≠ = thì ta nói ( )f x và ( )g x là hai VCL cùng bậc.

iii) Nếu 0

( )

( )lim

( )1

x xx

f x

g x→→∞

= thì ( )f x và ( )g x ñược gọi là hai VCL tương ñương, ký

hiệu là: ( ) ( ).f x g x∼

� Định lý 3 (Định lý thay thế VCB hay VCL tương ñương) Giả sử ( ), ( ), ( ), ( )f x F x g x G x là các (VCB) (hay các VCL) ñồng thời khi x a→

Nếu

lim ( ). ( ) lim ( ). ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) lim lim( ) ( )

x a x a

x a x a

f x g x F x G xf x F x

f x F xg x G x

g x G x

→ →

→ →

= ⇒ =

i

i

∼

∼

▼ Chú ý 7

Nếu

( ) ( )

( ) ( )

f x F x

g x G x

khi x a

⇒ →

∼

∼( ) ( ) ( ) ( )f x g x F x G x

khi x a

± ± →

∼

� Ví dụ 6 2

2 2

2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

g x G x x

f x g x x

f x x x F x G x x

F x x x f x F x

g x G x

Khi x

= =−

+ = = + + = − = − ⇒ ⇒ →

∼

∼

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x F x G x+ +∼

vì 2

0limx

x

→ 2x−1 1= − ≠ .

2

( ) ( )

( ) ( )( ) cos

02) : ( ) 1

( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 sin2

( ) ( )

f x F x

g x G xf x x

Khi xCho F x x

xg x G x g x f x

G x F x x

= → = − ⇒ ⇒ = = − = − =

∼

∼

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )g x f x G x F x− −∼

11

vì:

2

0 0

2 sin sin2 2lim lim .sin 1.0 0 1.

2

2

x x

x xx

x x→ →

= = = ≠

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

• Khi giải bài toán lim ( )

x af x

→ ( hoặc lim ( )

xf x

→∞), chúng ta nên tập thói quen “thay” giá

trị ( )x a hay x= =∞ vào biểu thức của ( )f x . Nếu ñược một số cụ thể thì bài toán không

phải dạng vô ñịnh, số ñó chính là ñáp số của bài toán. Lúc ñó chúng ta kết thúc giải bài toán. Nếu trong quá trình “thay” ñó mà chúng ta ñược một trong 7 dạng vô ñịnh :

∞∞∞ ∞−∞ ∞

∞0 00

, , 0. , , 1 , ,00

thì phải tìm cách khử dạng vô ñịnh.

• Các ký hiệu ∞0, 1, ở trong các dạng vô ñịnh không ñược hiểu là những số cụ thể. Chẳng hạn ký hiệu 0không ñược hiểu là số 0 trong tập số thực ℝ mà 0 ở ñây là “một

ñại lượng tiến tới 0”. Với cách hiểu ñó thì dạng vô ñịnh 00

không phải là phép chia số

0 cho số 0 , ñây là một ký hiệu tượng trưng cho việc tìm ( )

lim( )x a

f x

g x→ (hoặc

( )lim

( )x

f x

g x→∞ )

mà ( ), ( )f x g x ñồng thời là các VCB khi ( )x a hay x→ →∞ . Tương tự ký hiệu 1∞ nói

lên việc tìm ( )

lim ( )x a

g xf x

→mà lim ( ) 1

x af x

→= còn lim ( )

x ag x

→= ∞ ,... Nắm vững ý nghĩa vô

ñịnh và ký hiệu dạng vô ñịnh chúng ta sẽ không mắc phải những sai lầm

kiểu: 0 001(!), 1(!), 0. 0(!), 0(!), 1 1(!), 1(!), 0 0(!)

0∞∞

= = ∞ = ∞ −∞ = = ∞ = =∞

…

Sau ñây chúng ta sẽ nêu một số dạng toán tìm giới hạn của hàm số thường gặp: DẠNG 1

DÙNG ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN ĐỂ CHỨNG MINH GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ NÀO ĐÓ .

� Ví dụ 9

Chứng minh: a)2

6

4 1lim 13

2 1x

x

x→

−=

−; b)

1lim 0x x→∞

= , c) 21

1lim

( 1)x x→=+∞

−

Giải 2 24 1 4 1 13(2 1) (2 1).(2 1) 13(2 1)

) 132 1 2 1 (2 1)

x x x x x xa

x x x

− − − − − + − −− = =

− − −

(2 1)x −=

(2 1 13)

(2 1)

x

x

+ −

−

24 12 12 2 6 13 2 6

2 1

xx x x

xε ε

−= − = − ⇒ − < ⇔ − <

−

�

2 2

6

4 1 4 16 6 13 lim 13,

2 2 1 2 1x

x xx x

x xδ

εδ ε

→

− −⇔ − < ⇒ − < ⇒ − < ⇒ =

− − (ñpcm).

12

b) Cho 0ε > bé tùy ý. Ta có: 1 1 1

0 hay xx x

ε εε

− < < ⇒ > do ñó nếu lấy

1M = ∈

εℝ thì với mọi x thỏa mãn ñiều kiện

1 10 lim 0.

xx M

x x→∞> ⇒ − < ε ⇒ = c)

Với một số 0A> cho trước bất kỳ, 2

1 1( ) 1 .

( 1)f x A x

x A= > ⇔ − >

− Chọn

δ =A

1 ta ñược >f A( ) 0 với mọi x mà

21

10 1 lim

( 1)xx

xδ

→< − < ⇒ =+∞

−

DẠNG 2

DÙNG ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN THEO DÃY ĐỂ CHỨNG MINH MỘT HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN KHI

ox x→ HOẶC x → ∞

� Ví dụ 10 Chứng minh hàm số 1

( ) cosf xx

= không có giới hạn khi 0.x →

Giải

Nếu chọn hai dãy số có số hạng tổng quát : 2

1 1&

2 (2 1)n nx x

n n ππ′= =

+

( )

( )

12

2

2

1lim lim cos lim cos2 1

lim lim 01

lim lim cos lim cos( ) 01

(2 1)

nn n n

n

n nn n

nn n n

f x n

x x

f x n

n

π

π

π

π

π

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

→∞ →∞ →∞

= = = ′ ⇒ = = ⇒ ′ = = + = +

i

i

Như vậy: lim lim 0n n

n nx x

→∞ →∞′= = nhưng ( ) ( )

0lim 1 0 lim lim ( )

n nn n x

f x f x f x→∞ →∞ →

′= ≠ = ⇒

không tồn tại. DẠNG 3

TÌM GIỚI HẠN KHÔNG VÔ ĐỊNH

Nếu bài toán tìm giới hạn không thuộc dạng vô ñịnh thì không cần thiết biến ñổi gì, chỉ việc áp dụng các ñịnh lý phép tính giới hạn ñể tính trực tiếp. � Ví dụ 11 Tìm các giới hạn sau:

a) 2

22

5lim

3a

x

xI

x→

+=

−, b)

1

2 1lim

2bx

xI

x→

+ += ,

c)

2

1lim

2 1cx

xx

Ix→+∞

+ = −

13

Giải Vì: a), b) không thuộc dạng vô ñịnh nào, nên ta có:

2

22

5 4 5) lim 9.

4 33a

x

xa I

x→

+ += = =

−−

1

2 1 2 1 1 2. 2) lim 2.

2 2.1 2bx

xb I

x→

+ + + += = = =

c) Vì :

11

1 1lim lim ,

2 1 1 22

x x

x xx

x

→+∞ →+∞

++

= =−

−

còn 2limx

x→+∞

=+∞ , nên 1

2cI

+∞ = .

Theo kiến thức về hàm số mũ xa ñã biết thì khi cơ số 0 1a< < thì lim 0.x

xa

→+∞= Do

ñó 1

0.2c

I

+∞ = =

Nhận xét : Loại toán tìm giới hạn dạng không vô ñịnh nói chung không nhiều và dù sao cũng tương ñối ñơn giản. Phần lớn những bài toán tìm giới hạn thường thuộc vào một trong 7 dạng vô ñịnh ñã nói ở trên. DẠNG 4

KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH

⋇ Phương pháp

Khi giải bài toán tìm lim ( )x a

F x→

(hoặcx → ∞ ) mà ( )F x có dạng vô ñịnh thì ta phải

biến ñổi ( )F x về ( )G x sao cho lim ( ) lim ( )x a x a

F x G x→ →

= mà ( )G x không có dạng vô

ñịnh. Dưới ñây chúng tôi gợi ý, hướng dẫn một số phương pháp biến ñổi ñể khử dạng vô ñịnh:

DẠNG 5 KHI TÌM ( )

lim( )x

f x

g x→∞ TRONG ĐÓ ( )f x VÀ ( )g x LÀ HAI ĐA THỨC ĐỐI

VỚI x THÌ TA CHIA CẢ TỬ THỨC VÀ MẪU THỨC CHO kx VỚI k LÀ LŨY THỪA CAO NHẤT ĐỐI x . CŨNG CÓ THỂ DÙNG CÁCH NÀY CHO NHIỀU

TRƯỜNG HỢP TRONG PHÂN THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC. � Ví dụ 12

2 3

2 3

2 1 32

3

8 531

2 3 0) lim lim 0, ( )

18 5

x x x

x x

x x

x xa chia cho x

x x

− +

→∞ →∞ − +

− += = =

− +

31 1

1) lim lim 1 )

1x x

x x

xb x

x x x→+∞ →+∞

= =

+ + + +

( chia cho

14

DẠNG 6 KHI TÌM )(

( )lim

( )x ax

f x

g x→→∞

TA PHÂN TÍCH CẢ TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ

THÀNH NHÂN TỬ, SAU ĐÓ RÚT GỌN ĐỂ KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH

� Ví dụ 13 3 2

22 2

( 2)3 2) lim lim

6x x

xx x xa

x x→− →−

++ +=

− −

2( )

( 2)

x x

x

+

+

22

2

( 2) 2

2 3lim

3( 3) x

x x

xx →−

− −=

− −

+=

−−

4 2 2

5 5.

−= =−

−

2

3 2 21 1 1

1 31 3 1 3) lim lim lim

1 11 (1 )(1 ) (1 )(1 )x x x

x xb

x xx x x x x x x→ → →

+ + − − = − = − − − − + + − + +

1

2

21

(1 )lim

2lim

(1 )(1 ) xx

xx x

x x x →→

− −+ −= =

− + +

( 2)

(1 )

x

x

+

− 2 21

2 3lim 1

3(1 ) 1x

x

x x x x→

+ −= − = = −

+ + + +.

DẠNG 7 KHI TÌM lim ( )

x af x

→ MÀ ( )f x CÓ CHỨA CĂN THỨC THÌ CHÚNG

TA NHÂN LƯỢNG “LIÊN HỢP” ĐỂ KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH.

� Ví du 14

3 33 32 2

3 31 1 13 32

( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)1lim lim lim

1 ( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)x x x

x x x x x x xx

x x xx x x x→ → →

− + + + − + +−= =

− − +− + + +

3 32

1

1 3lim .

21x

x x

x→

+ += =

+

▼ Chú ý 8

Các ñẳng thức sau ñây thường dùng ñể khử dạng vô ñịnh khi có chứa căn thức :

• n∀ ∈ ℕmàn − lẻ: 1 2 3 2 12( )( ... )

n n n n nn na b a b a a b a b ab b− − − − −

+ = + − + − − +

1 2 3 2 12: ( )( ... )n n n n nn nn a b a b a a b a b ab b− − − − −

• ∀ ∈ − = − + + + + +ℕ

DẠNG 8 KHI TÌM lim ( )

x af x

→ MÀ ( )f x LÀ MỘT BIỂU THỨC CHỨA HÀM

SỐ LƯỢNG GIÁC THÌ TA BIẾN ĐỔI ( )f x VÀ DÙNG 0

sinlim 1x

x

x→= ĐỂ

KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH. � Ví dụ 15

Tính 20

2 1 coslimx

xI

x→

− += .

15

Giải

2 20 0

( 2 1 cos )( 2 1 cos ) 2 (1 cos )lim lim

( 2 1 cos ) ( 2 1 cos )x x

x x xI

x x x x→ →

− + + + − += =

+ + + +

( )

2

2

220 0

2

2 sin1 cos 2 1 2lim lim .1.

4 8( 2 1 cos ) ( 2 2)4. ( 2 1 cos )

x

x x x

x

x x x→ →

−= = = =

+ + ++ +

DẠNG 9: TÌM GIỚI HẠN DẠNG : ( ))

( )

(

lim ( )g x

x ax

I f x→→∞

=

⋇ Phương pháp

1) Nếu

)(

lim ( )x ax

f x A→→∞

= (hữu hạn) và

)(

lim ( )x ax

g x B→→∞

= (hữu hạn) BI A⇒ =

2) Nếu 1A≠ còn .B I A I A+∞ −∞=±∞⇒ = ∨ =

3) Nếu 1A= còn B=∞ thì :

1

( ( ) 1)

( ( ) 1) ( )

( )

) )( (

lim 1 ( ( ) 1) lim 1 ( ( ) 1)

f

f g

gx

x x

x

x a xx x

aI f x f x

−

−

→ →→∞ →∞

= + − = + −

( )

lim ( ( ) 1). ( )

.x ax

f gx x

e

→→∞

−

=

� Ví dụ 16

0 0

1

11 1 1) lim lim

2 2 2

x

ax x

x

x xa I

x x→ →

+

+ + + = ⇒ = + + (hữu hạn) và

0

1lim 1

1x

x

x→

+=

+(hữu

hạn) suy ra 1

1 1

2 2aI

= = .

2

2

lim2

12 1

) lim lim 0.2 1 1 2

2

xx

x

x x

x xx

x

→∞+∞

→∞ →∞

+ + = = = = − −

bb I

2 2

2 2 2

2 12 1 2 1) lim lim 1 1 lim 1

4 2 4 2 4 2c

x x x

x xxxx x x x

c Ix x x x x x→∞ →∞ →∞

− − + − + = = + − = + − + − + − +

16

2

12

2 4 2 22 4 212 1 2 24 2

limlim

22 1

4 2

(2 1)2 4 2

lim 1 .x

x

xx xx x

xxx x xx

x x x

x x

x x

e e e

→∞→∞

−− +

−− +−

− +−

→∞ − +

−

− + = + = = =

DẠNG 10: KHI GẶP GIỚI HẠN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN lôgarit CHÚNG TA

NÊN BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG CÁC GIỚI HẠN: 0

ln(1 )lim 1x

x

x→

+= hoặc

0

log (1 ) 1lim

lna

x

x

x a→

+= ĐỂ KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH.

� Ví dụ 17

( ) ( ) ( )0 0 0 0

ln ln 1 ln 1ln( ) ln 1) lim lim lim lim

a x x xa a a

xx x x xa

a x aa

x x x aa

+

→ → → →

+ ++ −= = = =

( )ln 1 1lnln 1 ln ln) lim lim lim lim ee

e e x e

xx

x x x e

x x eb

x e x e x e x e→ → → →

+ −− −= = =

− − − −

ln 11 1lim .

e

e

x ex

e

x e

e e−→

− + = =

DẠNG 11: KHI GẶP GIỚI HẠN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN hàm số mũ CHÚNG TA NÊN BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG CÁC GIỚI HẠN:

0

1lim ln

x

x

aa

x→

−= hoặc

0

1lim 1

x

x

e

x→

−= ĐỂ KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH.

� Ví dụ 18

2 2

0 0

1 2 1 2 2) lim . lim 1.

3 3 2 3 3

x x

x x

e ea

x x→ →

− −= = = .

sin2 sin

0

sin2 sin

0

1 1lim) lim

x x

x

x x

x

e e

x x

e eb

x →→

− −−

− =

( ) ( )2

0

2. 1 1sin 2 sinlim . .

sin 2 2 sin

sìn x sìnx

x

e ex x

x x x x→

− −= −

0 0 0 0

2

lim . lim lim . lim1 sin 2 1 sin

2 2.1 1.1 2 1 1.sin 2 2 sinx x x x

sìn x sìnxe x e x

x x x x→ → → →−

− −= = − = − =

17

DẠNG 12: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ “THAY THẾ (VCB) HAY (VCL) TƯƠNG

ĐƯƠNG” ĐỂ KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH. Để giúp cho việc thay thế “tương ñương” ñược dễ dàng chúng ta nên nhớ một một số công thức thay thế tương ñương sau:

1 sin x x∼ khi 0x→

2 tan x x∼ khi 0x→

3 2

1 cos2

xx− ∼ khi 0x→

4 arcsinx x∼ khi 0x→

5 arctan x x∼ khi 0x→

6 1axe ax− ∼ khi 0x→

7 1 lnxa x a− ∼ khi 0x→

8 ln(1 )ax ax+ ∼ khi 0x→

9 (1 ) 1x xα α+ − ∼ khi 0x→ và 0α>

10 ( )α β γ α± ± ∼ , ,α β γ là các (VCB) khi x a→ và α là (VCB) bậc

thấp nhất (Quy tắc ngắt bỏ (VCB) bậc cao )

11 ( )A B C A± ± ∼ , ,A B C là các (VCL) khi x a→ và A là (VCL)

bậc cao nhất (Quy tắc ngắt bỏ (VCL) bậc thấp ) � Ví dụ 19

2

30 0 0

7 sin 7 7 7) lim lim lim .

sin 5 5 5sin 5a

x x x

x x x xa I

x xx x→ → →

+= = = =

−

0 05

1.4.1 4 1 22) lim lim .

1 31 15 1 .15.5

bx x

xxb I

x x→ →

+ −= = =

+ −

3 3

0 0 0

arcsin( 3 ) 3 3 3) lim lim lim .

ln(1 7 ) 7 7 7cx x x

x x x x xc I

x x x→ → →

+ += = = =

+

( )2012

20

2012

1arcsin 2 6

26

20

arcsin

limln(1 tan )

1 1 6 11 6 2

) limln(1 tan ) x

dx

x

x

x

e xe x

d Ix →→ +

− + + − + + − = =

+

( )2012

1arcsin 2 6

2 20 0

2

2012

2 20 0

1 6 11lim lim

ln(1 tan ) ln(1 tan )

6.arcsin 6lim lim

tan tanx x

x

x x

xe

x x

x

x

x x→ → → →

+ −−=

+ ++ = +

18

2

20 0

2012

lim limx x

x x

x→ →= +

2x 0 0

2010lim lim1 0 1 1.x x

x→ →

= + = + =

DẠNG 5

CÁC SAI LẦM VÀ THIẾU SÓT KHI TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

� Ví dụ 20

Tính 2lim 1x

I x x→∞

= + −

• Sai lầm thường gặp : 2 2

2

2 2

( 1 )( 1 ) 1lim ( 1 ) lim lim 0

( 1 ) 1x x x

x x x xI x x

x x x x→∞ →∞ →∞

+ − + += + − = = =

+ + + +

• Nguyên nhân sai lầm Cách giải trên ñã không xét các giới hạn riêng khi : x hay x→ +∞ → −∞

• Lời giải ñúng là: 2 2lim ( 1 ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 , ( )

xx xI

→−∞= + − = −∞ + − −∞ = +∞ + + ∞ = +∞ +i

2 2

2

2 2

( 1 )( 1 ) 1lim ( 1 ) lim lim

( 1 ) 1x x x

x x x xx x

x x x x

I→+∞ →+∞ →+∞

+ − + += + − = =

+ + + +i

( )1

0 ++= =+ ∞

Từ (+) và (++) 2 2lim ( 1 ) lim ( 1 )x x

x x x x→−∞ →+∞

⇒ + − ≠ + − ⇒ ∃ 2lim ( 1 )x

x x→∞

+ −

mà chỉ tồn tại giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số ñã cho khi .x →∞

� Ví dụ 21

Tính 2

2 1lim

1x

xI

x x→∞

−=

− +

• Sai lầm thường gặp :

( ) ( )2

12

12

2 2 31 32 4 4

2 1 1 2lim 2 lim 2 lim 2

1 011x x x

x

xxI

x x x→∞ →∞ →∞

−

−−= = = = =

++− + − +

i

Nguyên nhân sai lầm: Vì 1

2x− ⇔

21

2x −

• Lời giải ñúng

( ) ( )2

12

12

2 212 4 4

33

2 1 2 2( ) lim 2 lim lim 2.

1 011x x x

x

xxI

x x x→+∞ →+∞ →+∞

−

−−= = = = =

++− + − +

�

19

( ) ( )2

1

2

1

2

2 31 3

2 4 4

2

2( ) 2 2lim lim 2

1 01

2 1( ) lim

1 x xx

x

x

x

xI

x x→−∞ →−∞

−

→−∞

− − −= = =−

++− +

−= =

− +��

Từ ( )� và ( )��2 2

2 1 2 1lim lim

1 1x x

x x

x x x x→−∞ →+∞

− −⇒ ≠ ⇒ ∃

− + − + 2

2 1lim

1x

x

x x→∞

−

− +

chỉ tồn tại giới hạn phải và giới hạn trái của hàm số ñã cho khi .x →∞

� Ví dụ 22 Tính 0

1 cos 4limx

xI

x→

−=

• Sai lầm thường gặp : 2

0 0 0

1 cos 4 2 sin 2 2 2 sin2 sin 2lim lim 2 2 lim 2 2.

2 2x x x

x x x xI

x x x x→ → →

−= = = = =

• Nguyên nhân sai lầm là: 22 sin 2x

x⇔

2.sin2.

x

x

• Lời giải ñúng :

Vì : 2

0 0

2 sin21 cos 4 2 sin 2lim limx x

xx x

x x x→ →

−= = . Do ñó :

2

0 0 0 0

2 sin21 cos 4 2 sin 2 sin2lim lim lim 2 2 lim 2 2 (*)

2x x x x

xx x x

x x x x− − − −→ → → →

−−= = =− = −i

2

0 0 0 0

1 cos 4 2 sin 2 2 sin2 sin2lim lim lim 2 2 lim 2 2 (**)

2x x x x

x x x x

x x x x+ + + +→ → → →

−= = = =i

Từ (*) & (**)0 0

1 cos 4 1 cos 4lim lim

x x

x x

x x− +→ →

− −⇒ ≠ ⇒ ∃

0

1 cos 4lim ,x

x

x→

−

chỉ tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số ( )f x tại ñiểm 0.x =

§ 3 HÀM LIÊN TỤC 3.1 Hàm số liên tục tại một ñiểm ♦ Định nghĩa 17 Hàm số ( )f x ñược gọi là liên tục tại

0x x= (hay liên tục tại ñiểm

0x ) nếu thỏa mãn :

( )f xi xác ñịnh tại 0

x và trong lân cận 0

( )V xδ

00

lim ( ) ( ).x x

f x f x→

=i

3.2 Các ñiều kiện tương ñương � Định lý 4 Giả sử hàm số ( )f x xác ñịnh trên khoảng ( , )a b và

0( , )x a b∈ . Các ñiều kiện sau ñây

tương ñương: a) ( )f x liên tục tại ñiểm

0x .

b) 0ε∀ > bé tuỳ ý, 0δ∃ > sao cho 0 0

( ) ( )x x f x f xδ ε− < ⇒ − <

c) Mọi dãy { } ( , )n

x a b⊂ mà 0 0

lim lim ( ) ( )n n

n nx x f x f x

→∞ →∞= ⇒ =

20 3. 3 Hàm liên tục một phía. 3.3.1 Hàm số liên tục bên phải ♦ Định nghĩa 18 Giả sử hàm số ( )f x xác ñịnh trên nửa khoảng

0[ , )x b ⊂ ℝ . Ta nói rằng hàm số ( )f x liên

tục phải tại ñiểm 0

x nếu 0

0lim ( ) ( ).

x x

f x f x+→

=

3.3.2 Hàm số liên tục bên trái ♦ Định nghĩa 19 Giả sử hàm số ( )f x xác ñịnh trên nửa khoảng

0( , ] .a x ⊂ ℝ Ta nói rằng hàm số

( )f x liên tục trái tại ñiểm 0

x nếu 0

0lim ( ) ( ).

x x

f x f x−→

=

Hiển nhiên ( )f x liên tục tại 0

x khi và chỉ khi ( )f x liên tục phải và liên tục trái tại0.x

3.4 Định nghĩa hàm số liên tục trên : ( , ); [ , ]; [ , ) ( , ]a b a b a b hay a b

♦ Định nghĩa 20 (Hàm số liên tục trên khoảng ( , )a b )

Hàm số ( )f x xác ñịnh trên khoảng ( , )a b ( , )a hay a b hay b∈ =−∞ ∈ =+∞ℝ ℝ gọi

là liên tục trên khoảng này nếu nó liên tục tại mọi ñiểm của ( , )a b .

♦ Định nghĩa 21 (Hàm số liên tục trên ñoạn [ , ]a b )

Hàm số ( )f x xác ñịnh trên khoảng [ , ]a b gọi là liên tục trên ñoạn này nếu nó liên tục trên

khoảng ( , )a b , liên tục phải tại ñiểm a và liên tục trái tại ñiểm b .

Hàm số liên tục trên nửa khoảng [ , )a b (hay trên nửa khoảng ( , ]a b ) ñược ñịnh nghĩa

tương tự) 3.5 Điểm gián ñoạn 3.5.1 Hàm số gián ñoạn tại một ñiểm ♦ Định nghĩa 22 Ta bảo

0x là ñiểm gián ñoạn của hàm số ( )f x khi ( )f x không liên tục tại

0.x

Như vậy 0

x là ñiểm gián ñoạn của hàm số ( )f x xẩy ra trong các trường hợp sau:

- ( )f x không xác ñịnh tại 0.x

- 0

lim ( )x x

f x→

không tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng .∞

- ( )f x xác ñịnh tại0

x và có giới hạn hữu hạn nhưng 0

0lim ( ) ( ).

x xf x f x

→≠

3.6 Sự liên tục của một số hàm số thường gặp � Định lý 5

Nếu hàm số ( )f x liên tục tại ñiểm 0

x thì hàm số ( )f x cũng liên tục tại ñiểm 0.x

� Định lý 6

i Nếu hai hàm số ( )f x và ( )g x liên tục tại 0

x I∈ thì các hàm số ( ) ( ); ( )( )f x g x fg x±

( ) ( )cf x c ∈ ℝ cũng liên tục tại 0.x

i Ngoài ra nếu 0

( ) 0g x ≠ thì hàm số ( )

( )

f x

g x liên tục tại

0.x

21 � Định lý 7 Nếu ( )f x là một hàm số sơ cấp và

0x thuộc miền xác ñịnh của nó thì ( )f x liên tục tại

0.x

Một số dạng bài tập về hàm liên tục DẠNG 1 DÙNG NGÔN NGỮ ( )ε δ− ĐỂ CHỨNG MINH TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM

SỐ TẠI 0

x x=

� Ví dụ 23

Chứng minh rằng các hàm số 32) , )a y x b y x= = liên tục tại 0

.x ∈ ℝ

Giải 2 2

2 2 20 0 0 0 0 0 0 0

) 0, : ( ) 2 ( ) 2a x x x x x x x x x x x x xε ε∀ > ∈ − = − + − ≤ − + − <ℝ

2

0 0 02 0 (1).x x x x x ε⇔ − + − − <

Đặt 20 0

(1) 2 0 (2)t x x t x t ε= − ⇒ ⇔ + − <

2 2 2

0 0 1,2 0 0.x x t x xε ε ε′ ′∆ = + ⇒ ∆ = + ⇒ = − ± +

với 2

0 0t x x ε<− + + thì thỏa mãn (2), nên

0 0 0

2x x x x ε− <− + +

Lại ñặt: 0 0

20x x ε δ− + + = > thì 2 2

0 0x x x xδ ε− < ⇒ − < nên hàm số

2y x= liên tục tại 0

.x ∈ℝ

0) 0 & ,b xε∀ > ∈ℝ ta có:

0 0 03 30 23 2 233 233 230 0 3 0

0 0

3. 1 3 .42 4

x x x x x xx x

x x x x xx x x

ε− − −

− = = ≤ < + + + +

3 20 0

3. . .

4x x x ε⇒ − < Đặt : 323 3

0 0

3. .

4 ox x x x xδ ε δ ε= ⇒ − < ⇒ − <

nên hàm số 3y x= liên tục tại ñiểm 0

.x x= ∈ ℝ

DẠNG 2

XÉT SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI ĐIỂM 0.x x=

⋇ Phương pháp

i Để xét sự liên tục của hàm số tại ñiểm 0

x ta cần xét: ( )f x có xác ñịnh tại 0

x và trong

lân cận của 0

x hay không và 0

lim ( )x x

f x→

có bằng 0

( )?f x

- Nếu ( )f x thỏa mãn các ñiều kiện trên thì kết luận ( )f x liên tục tại 0.x

- Nếu một trong những ñiều kiện trên không thỏa mãn thì ( )f x gián ñoạn tại 0.x

22 i Trong một số trường hàm số ( )f x cho bởi nhiều công thức, có thể dùng ñịnh nghĩa liên tục trái, liên tục phải ñể xét : - Nếu

0

0lim ( ) ( )

x x

f x f x−→

= thì ( )f x liên tục trái tại 0.x

- Nếu 0

0lim ( ) ( )

x x

x f x+→

= thì ( )f x liên tục phải tại 0.x

- Nếu 0 0

0lim ( ) lim ( ) ( ) ( )

x x x x

f x f x f x f x− +→ →

= = ⇒ liên tục tại 0.x

� Ví dụ 24

Cho hàm số: { }2 2

1 cos2sin , \ 0

( ) sin2 0

xx x

f x x

khi x

π π − + ∀ ∈ − = =

. Xét tính liên tục

của hàm số tại 0.x =

Giải

{ }2

2 2

2 sin1 cos2 2 sin, \ 0 ( ) sin sin sin

sin sin sin

xx xx f x x x x

x x xπ π − ∀ ∈ − ⇒ = + = + = +

0 0

2 sinlim ( ) lim sinx x

xf x x

+ +→ →

= +

⇒

isin x

0 0

sin 0 2 0 2 2 .

2 sinlim ( ) lim sinx x

xf x x

− −→ →

= + = + =

= −isin x

sin 0 2 0 2 2 .

= − = − = −

Vì 0 0

lim ( ) 2 2 lim ( ) ( )x x

f x f x f x+ −→ →

= ≠ − = ⇒ gián ñoạn tại ñiểm 0.x =

• Ví dụ 25

3

10

6( )1 1

0

khi x

Cho f xx x

khi xx

== + − + ≠

. Xét tính liên tục của hàm số tại 0.x =

Giải 3 3

0 0 0

1 1 ( 1 1) ( 1 1)lim ( ) lim limx x x

x x x xf x

x x→ → →

+ − + + − − + −= =

3

0 0

1 1 1 1 1 1 1lim lim (0)

2 3 6x x

x xf

x x→ →

+ − + −= − = − = = . Vậy ( )f x liên tục tại ñiểm

0.x =

� Ví dụ 26

Cho hàm số 1

sin 0( )

1 0

khi xf x x

khi x

≠= =

. Xét tính liên tục của hàm số tại ñiểm 0.x =

Giải

Chọn hai dãy ñiểm { }nx và { }nx ′ với 1 2

&(1 4 )n n

x xn nπ π

′= =+

. Khi ñó ta có:

23

1lim ( ) lim sin sin 0 (1)

1

0

10 lim ( ) lim sin lim sin 2 1,(2)2 2

(1 4 )

nn n

n

n

n

nn

n n n

f x n

nx

x f x n

n

π

π

ππ

π

→∞ →∞

→∞

→∞

→∞ →∞ →∞

= = = → ⇒ ′ → ′ = = + = +

i

i

Từ (1) và (2) lim ( ) lim ( ) lim ( )n n

n n nf x f x f x

→∞ →∞ →∞′⇒ ≠ ⇒ không tồn tại, nên hàm số ( )f x

không liên tục tại ñiểm 0.x =

� Ví dụ 27

Tính (0)f ñể sin7 sin 3

( )x xe e

f xx

−= liên tục tại 0.x =

Giải sin 7 sin 3

0 0 0 0

sin7 sin 3

0 0

1 1 7 3lim lim lim lim 4lim ( ) lim

x x

x x x x

x x

x x

e e x x

x x x x

e ef x

x → → → →→ →

− −− = − =

−= =

Vậy: Để ( )f x liên tục tại 0x = thì (0) 4.f =

DẠNG 3

XÉT SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TOÀN BỘ .ℝ

⋇ Phương pháp

Để xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ ,ℝ ta có thể tiến hành theo các bước sau : i Tìm miền xác ñịnh của hàm số ñã cho. i Nếu hàm số ñã cho là hàm số sơ cấp thì nó liên tục tại mọi ñiểm thuộc miền xác ñịnh của nó. i Nếu hàm số cho bởi nhiều công thức, thì chúng ta cần phải xét tại ñiểm biên giữa hai khoảng và dùng ñịnh nghĩa liên tục trái và liên tục trái ñể xét. � Ví dụ 28

Cho hàm số

sin1

( ) 1

1

xkhi x

f x x

khi x

π

π

≠= − − =

.

Chứng tỏ rằng hàm số ( )f x liên tục trên toàn bộ .ℝ Giải

i Nếu 1 sin & 1x x xπ≠ ⇒ − là các hàm số sơ cấp liên tục, nên sin

( )1

xf x

x

π=

− là

thương của hai hàm sơ cấp liên tục nên ( )f x liên tục với mọi 1x ≠ , (1)

i Đặt: 1 0 0

sin1 sin ( 1) sin( )1 lim lim lim

1 0 1x t t

xx t t tt x

x t x t t

π π π π

→ → →

= + + += − ⇒ ⇒ = = → ⇒ → −

0 0.1 (1)

sin( ) sinlim limt t

ft t

t tπ ππ π

π π ππ π

π π→ →− =− = ⇒

+= =− = ( )f x liên tục tại

24

1,(2)x = . Từ (1) và (2) suy ra ( )f x liên tục trên toàn bộ .ℝ

� Ví dụ 29

Cho 0

( )0

xe khi xf x

a x khi x

<=

+ ≥

. Chọn a như thế nào ñể ( )f x liên tục trên toàn bộ .ℝ

Giải Hàm số ( )f x cho bởi hai công thức, nên nó không phải là hàm số sơ cấp. Miền xác ñịnh

của ( )f x là toàn bộ .ℝ

i Nếu 0 ( ) xx f x e< ⇒ = là hàm số sơ cấp nên nó liên tục x∀ ∈ℝmà 0x< .

i Nếu 0 ( )x f x a x> ⇒ = + cũng hàm số sơ cấp nên nó liên tục x∀ ∈ℝmà 0x> .

i Nếu 0x = ta có:

0 0

lim ( ) lim 1,x o

x x

f x e e− −→ →

+ = = = (1)

0 0

lim ( ) lim ( ) ,x x

f x a x a+ +→ →

+ = + = (2)

(0)f a+ = (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra hàm số ( )f x liên tục tại 0 1.x a= ⇔ =

Vậy : Với 1a = thì hàm số ñã cho liên tục trên toàn bộ .ℝ �

25

BÀI TẬP CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

Dạng không vô ñịnh

TT Đề ra ĐS TT Đề ra ĐS

1.1 2

31

3lim

2x

x

x→−

−

+ -2 1.2

5

3

4 3lim

2 7x

x

x→

− +

59

13

1.3 4

22

2 3 2lim

2x

x x

x x→−

+ +

− + 14

2 1.4

2

33lim

6x

x

x x→ − −

2

2

1.5 1

5 1lim

2 7x

x

x→

−

+

2

3 1.6

2

3 22

5 3lim

2 2 6x

x x

x x x→−

+ +

+ + +

3

4

Khử dạng vô ñịnh bằng cách phân tích thành nhân tử

1.7 2

22

3 10lim

3 5 2x

x x

x x→

+ −

− − 1 1.8* lim

n n

x a

x a

x a→

−

−

1.

nn a

−

1.9 31

1 3lim

1 1x x x→

+ − − 1

1.10* 1

1lim

11 nx

n

xx→

− − −

1

2

n−

1.11 2

3

2 15lim

3x

x x

x→

+ −

− 8 1.12

2

5

2 15lim

5x

x x

x→−

+ −

+ -8

1.13 3

1

1lim

( 5) 6x

x

x x→

−

+ −

3

7 1.14

3 2

32

3 9 2lim

6x

x x x

x x→

+ − −

− −

15

11

Khử dạng vô ñịnh bằng cách nhân lượng liên hợp

1.15 5

5lim

5x

x

x→

−

−

2 5

1.16 2

3 5 1lim

2x

x

x→

− −

−

3

2

1.17 2

0

1 1limx

x x

x→

+ + −

1

2 1.18

3

20

cos coslimx

x x

x→

−

1

12

1.19 3

1

3 2lim

1x

x x

x→

− −

−

3

2 1.20*

0

1 1lim (2 )

n

x

xn

x→

+ −≤ ∈ℕ

1

n

1.21 1

3

1

(1 )(1 )...(1 )lim

( )1

n

x n

x x x

x→ −

− − −

− 1

!n 1.22

2

21

3 2 4 2lim

3 2x

x x x

x x→

− − − −

− +

1

2

1.23 32 3 3lim 1 1

xx x x

→+∞

+ − − 1 1.24

3

2

3 58lim

2x

x x

x→

− +

−

189

16

26

1.25 2

0

1 1limx

x x x

x→

+ − + + 0 1.26

2

21

3 2 4 2lim

3 2x

x x x

x x→

− − − −

− + 2

1.27 33 2

21

3 2 4 2lim

3 2x

x x x

x x→

− − − −

− +

4

3 1.28

33

0limx

a x a

x→

+ −

3 2

1

3. a

1.29 33 2

21

2 1lim

1x

x x x

x→

− + − +

−

1

3 1.30

0

1 coslim

1 cosx

x

x+→

−

− 0

1.31 3

0

1 4 1limx

x

x→

+ −

4

3 1.32

3

2

4 2lim

2x

x

x→

−

−

1

3

1.33 3

0

1 1lim

3x

x

x→

− +

1

9− 1.34 2

1

cos

lim1

x

x x

π

→

− π

1.35 2

1lim

1x

x x

x→

−

− 3 1.36

3

1 2

1lim

3 2x

x

x→ −

+

+ − 2

3−

1.37 3

41

1lim

1x

x

x→

−

−

4

3 1.38

2

0 2

4 2lim

9 3x

x

x→

− −

− − 3

2

1.39 3

0

2 1 8limx

x x

x→

− − −

11

12− 1.40

3 2

21

3 2 4 2lim

3 2x

x x x

x x→

− − − −

− + 10

3

1.41 33 2

21

5 7lim

1x

x x

x→

− − +

−

11

24− 1.42

3 2

21

3 2 4 2lim

3 2x

x x x

x x→

− − − −

− +

5

2

Khử dạng vô ñịnh ( ))

( )

(

lim ( )g x

x ax

I f x→→∞

=

1.43 2

2

5 2lim

3 7x

xx x

x x→+∞

+ − − + 8e 1.44

3 42

lim3

x

x

x

x

+

→+∞

+ − 15e

1.45

1

2

20

2 3lim

3 2

x

x

x x

x x→

+ − − − 0

+∞

1.46 2

1lim

3x

xx

x→+∞

+ − + 4e−

1.47 1

0lim(1 sin )xx

x→

+ e 1.48 1

0lim(cos )xx

x→

1

1.49 12

0lim(cos )xx

x→

1

e 1.50

1

cotlim(1 sin )x

g xx ππ→

+ 1e−

1.51 0

lim cosx

xx

→

1

e 1.52 ( )

2

lim sinx

tgxx

π→ 1

27

1.53 0

1

sin1lim

1 sinx

xtgx

x→

+ + 1 1.54

1

11lim

2x

x

xx

x→+∞

+

+ + + 1

Dùng VCB (hay VCL) tương ñương ñể khử dạng vô ñịnh

1.55 30

ln(1 )lim

sinx

tgx

x x→

+

+ 1 1.56

3 40

(1 )(1 cos )lim

sin

x

x

e x

x x→

− −

+

1

2−

1.57 2

20

sin 3lim

ln (1 2 )x

x

x→ + 9

4 1.58

20

ln(1 2 sin )limx

x x

tg x→

+ 2

1.59 1

1

sin( 1)lim

ln

x

x

e

x

−

→

− 1 1.60

20

ln coslimx

x

x→ 1

2−

1.61 0

sin . sin 2 ... sinlim

! nx

x x nx

n x→ 1 1.62

0

ln coslim

ln cosx

ax

bx→

2

2

a

b

Dùng các giới hạn:

0 0 0 0 0

1 1log (1 )sin ln(1 ) 1lim 1; lim 1; lim ; lim ln ; lim 1

ln

x x

x x x x x

aa exx x

ax x x a x x→ → → → →

− −++= = = = =

(hoặc biến ñổi lượng giác) ñể khử dạng vô ñịnh.

1.63 20

5 3lim

x x

x x x→

−

+ 5

3ln 1.64 lim [ln( 1) ln ]

xx x x

→+∞+ − 1

1.65 lim [sin ln( 1) sin ln ]x

x x→+∞

+ − 0 1.66 lim [sin 1 sin ]x

x x→+∞

+ − 0

1.67 0

sin2 sin

limx

x xe e

x→

− 1 1.68

2

20

coslim

x

x

e x

x→

−

3

2

1.69 0

limsin sin

ax bx

x

e e

ax bx→

−

− 1 1.70

20

cos coslimx

mx nx

x→

− 2 2

2n m−

1.71 2

40

sin 2 sin .sin 4limx

x x x

x→

− 6 1.72 2

1

coslim

1

x

x x

π

→ −

2

π

1.73

3

3

3lim

cos6

x

tg x tgx

xπ π→

−

+

-24 1.74

4

lim 24

x

tg x tg xπ

π

→

− 1

2

i Xét tính liên tục của hàm số tại ñiểm 0

x cho trước (Từ bài 1.75→ 1.78)

i Xét tính liên tục của hàm số trên nửa khoảng (ñoạn) ñã cho (Từ bài 1.79 →1.80)

1.75

2

2

1

( ) 11

1

x x khi x

f x xkhi x

x

− ≥= − < −

(tại 0

1x = ) ( )f x liên tục tại 0

1x = .

28

1.76

2 1( ) 1

2

xkhi x -1

f x xkhi x = -1

− ≠= + −

(tại 0

1x = − )

( )f x liên tục tại

01x = − .

1.77

2

4 20

2

sin 1( ) 0

41

08

xkhi x

x x

xf x khi x

khi x

+ − > + += < =

(tại 0

0x = )

( )f x không liên tục tại

00.x =

1.78 1 4 1

0( )

2 0

xkhi x

f x xkhi x

+ − ≠= =

(tại 0

0x = ) ( )f x liên tục tại 0

0.x =

1.79 2

2 1 11

( ) 2 31 1

x xkhi x

f x x xkhi x

− + − >= + − =

trên [1; )+∞ ( )f x liên tục trên nửa

khỏang: [1; )+∞

1.80 2( ) 4f x x= − (trên ñoạn [ 2;2]− ) ( )f x liên tục trên

ñoạn: [ 2;2]−

Tìm giá trị của tham số (hoặc các tham số) ñể các hàm số sau ñây liên

tục tại ñiểm xo (Từ bài 1.81→ 1.84)

1.81

2 3 2. 2

7 3( )2

21

x xa khi x

xf xx a

khi xx

− + > + −= − ≤ −

(tại 0

2x = ) 4

6 1a =

+

1.82 1 1 0

( ) 40

2

x x khi x

f x xa khi x

x

− − + <= − + ≥ +

(tại 0

0x = ) 2a = −

1.83

sin 20( )

0

xkhi x

f x xx m khi x

<= + ≥

(tại 0

0x = ) 2m =

1.84

2 3 1

( ) 5 1

2 3 1

ax bx khi x

f x khi x

x b khi x

+ + <= = − >

tại 1ox =

3

1

a

b

= = −

29

Tìm giá trị của tham số (hoặc các tham số) ñể các hàm số sau ñây

liên tục trên toàn bộ ℝ (Từ bài 1.85→ 1.90)

1.85*

2

2

2

2 11

( ) 23 4 1

x axkhi x

f x x x

bx x khi x

− − >= + − − + ≤

1

0

a

b

= =

1.86 1 1

( )3 3 1

x khi xf x

ax khi x

+ ≤= + >

1

3a = −

1.87 2 2

3 2( )

2 2

ax khi xf x

a ax x khi x

+ >= − + ≤

1

3a=−

1.88 ( )

31

1( ) | 1 |1

xkhi xf x x

a khi x

− ≠= − =

0a =

1.89 2 1

( )1

ax khi xf x

x khi x

+ ≥= <

1a = −

1.90 1

2( )

sin2

ax khi xf x

x b khi x

π

π

+ ≤= + >

2

ab

π=

---------------- Hết ----------------

30

CHƯƠNG 2

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1 ĐẠO HÀM 1.1 Định nghĩa 1 (Số gia ñối số, số gia hàm số) Giả sử hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên khoảng

0( , ) & ( , )a b x a b∈ .

i Gọi 0

x x x∆ = − là số gia của ñối số x tại 0.x

i Gọi 0 0

( ) ( )x

y f x f x∆ = +∆ − là số gia của hàm số y tại 0.x

1.2 Đạo hàm, ñạo hàm bên phải, ñạo hàm bên trái ♦ Định nghĩa 2

i Nếu tồn tại và hữu hạn 0

limx

y

x∆ →

∆

∆ thì giới hạn ñó gọi là ñạo hàm của hàm số ( )f x tại

0x và ñược ký hiệu là

0( )

dyf x hay

dx′ . Như vậy:

0 0( ) lim .

x

dy yf x

dx x∆ →

∆′ = =

∆

i Nếu chỉ tồn tại và hữu hạn 0 0

0 0

( ) lim ( ) limx x

y yf x hay f x

x x+ −

+ −

∆ → ∆ →

∆ ∆′ ′= =

∆ ∆ thì các giới

hạn ñó lần lượt gọi là ñạo hàm bên phải hoặc ñạo hàm bên trái của hàm số ( )f x tại

ñiểm 0.x

� Định lý 1 Hàm số ( )y f x= có ñạo hàm tại ñiểm

0( )x f x⇔ có ñạo hàm bên phải và ñạo hàm bên

trái tại ñiểm 0x và các ñạo hàm ñó bằng nhau.

Từ ñịnh lý 1 trên chúng ta suy ra :

i Nếu 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ).f x f x f x f x− +′ ′ ′ ′∃ ⇒ = =

i Nếu 0 0

( ) ( )f x f x− +′ ′≠ ⇒ ∃0

( ).f x′

1.3 Ý nghĩa hình học của ñạo hàm. Trong mặt phẳng toạ ñộ, nếu ñường cong có phương trình ( )y f x= và ñiểm

0 0( ( ))M x f x thuộc ñường cong này. Nếu tại ñiểm

0x

0( )f x′∃ thì phương trình tiếp

tuyến với ñường cong ( )y f x= tại ñiểm0 0

( , ( ))M x f x là :

0 0 0( ) ( )( ).y f x f x x x′− = −

1.4 Đạo hàm trên (a, b), [a, b] ♦ Định nghĩa 3 i Ta nói rằng ( )f x có ñạo hàm trên khoảng ( , )a b , nếu nó có ñạo hàm tại mọi ñiểm

( , ).x a b∈

i Ta nói rằng hàm số ( )f x có ñạo hàm trên ñoạn [ , ]a b nếu:

( )f x⋅ có ñạo hàm trên khoảng ( , ).a b

( )f x⋅ có ñạo hàm bên phải tại a và ( )f x có ñạo hàm bên trái tại b .

1.5 Mở rộng khái niệm ñạo hàm. ♦ Định nghĩa 4 (Đạo hàm bằng ∞ )

31

i Giả sử hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên khoảng

0( , ) & ( , )a b x a b∈ nếu

0limx

y

x→∆

∆= +∞

∆ thì ta nói rằng ñạo hàm của ( )f x tại

0x bằng +∞ và viết

0( )f x′ =+∞

i 0

( )f x′ = −∞ ñịnh nghĩa tương tự.

1.6 Quan hệ giữa ñạo hàm và liên tục. � Định lý 2 Hàm số ( )y f x= có ñạo hàm tại

0x thì nó liên tục tại

0.x

Từ Định lý 2 ⇒ Nếu hàm số ( )y f x= không liên tục tại 0x thì nó không có ñạo hàm tại

0.x ▼ Chú ý 1 Điều ngược lại không phải bao giờ cũng ñúng nghĩa là: Nếu ( )f x liên tục tại

0x thì chưa

chắc ( )f x có ñạo hàm tại0x .

� Ví dụ 1 Xét sự liên tục và có ñạo hàm của hàm số ( )f x x= tại 0.x =

Giải � Hàm số ( )f x x= xác ñịnh tại 0x = và trong lân cận của ñiểm 0x = . Ta thấy:

0 0

0 00 0

lim ( ) lim 0

lim ( ) lim ( ) (0) 0lim ( ) lim ( ) 0

x x

x xx x

f x x

f x f x ff x x

+ +

+ −− −

→ →

→ →→ →

= = ⇒ = = = = − =

i

i

( )f x⇒ liên tục tại 0.x = Mặt khác chúng ta có:

0 0

0 0

(0) 0 0

( ) (0) 0(0 ) lim lim 1 (0 ) (0 )

0 0

( ) (0) 0(0 ) lim lim 1

0 0

x x

x x

f

f x f xf f f

x x

f x f xf

x x

+ +

− −

+ + −

→ →

−

→ →

= = − − ′ ′ ′= = = ⇒ ≠ − − − − − ′ = = =− − −

i

i

i

.

( )f x⇒ không có ñạo hàm tại 0.x =

Vậy: hàm số ( )f x x= liên tục tại 0x= , nhưng ( )f x không có ñạo hàm tại 0.x=

1.7 Bảng ñạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm

c ∈ ℝ 0 cosx sin x−

xα 1xαα −

tan x

2

1

cos x

0 1)(x aa < ≠

lnxa a cotx

2

1

sin x−

32

xe xe arcsin x 2

1

1 x−

logax 1

lnx a arccosx 2

1

1 x

−−

ln x 1

x arctan x

2

1

1 x+

sin x cosx cotarc x 2

1

1 x−+

1.8 Các quy tắc lấy ñạo hàm 1- Đạo hàm của một tổng : ( )u v u v′ ′ ′+ = +

2- Đạo hàm của một tích : ( )u v u v u v′ ′ ′= +

3- Đạo hàm của một thương : 2

u u v uv

v v

′ ′ ′− =

4- Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm số ( )y f u= mà ( )u xϕ= thì ( )y f x = ϕ là một

hàm hợp của .x Khi ấy : .x u xy y u′ ′ ′= .

5- Đạo hàm của hàm số ngược � Định lý 3 Giả sử hàm số ( )y f x= liên tục và tăng nghiêm ngặt trong khoảng ( , )a b và gả thiết

rằng ( )x yϕ= là hàm ngược xác ñịnh trong lân cận của ñiểm 0 0

( )y f x= với

0( , ).x a b∈ Khi ñó nếu hàm số ( )y f x= có ñạo hàm tại

0 0& ( ) 0x x f x= ≠ thì hàm số

( )x yϕ= có ñạo hàm tại ñiểm 0 0

0

1& ( ) .

( )y x y

f x′ =

′

� Ví dụ 2

Cho hàm số 3y x= có hàm ngược là 32

1( ) .

3x y x y

x′= ⇒ =

§2 VI PHÂN 2.1 Hàm khả vi và vi phân của hàm số

♦ Định nghĩa 5 (Hàm khả vi) i Giả sử hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên khoảng ( , ) & ( , )

oa b x a b∈ . Cho

0x số gia

x∆ sao cho 0

( , )x x x a b+∆ = ∈ và gọi 0 0

( ) ( )y f x x f x∆ = +∆ − là số gia của

hàm số ứng với số gia của ñối số .x∆

i Ta nói ( )f x khả vi tại 0x nếu có thể viết 0( )y A x x∆ = ∆ + ∆ , trong ñó A là một

hằng số, 0( )x∆ ) là VCB bậc cao hơn .x∆ .

♦ Định nghĩa 6 (Vi phân của hàm số) Nếu ( )f x khả vi tại

0x thì biểu thức: dy A x= ∆ gọi là vi phân của hàm số ( )f x tại

0x . Từ ñịnh nghĩa ta thấy ngay rằng: Với x∆ bé thì .dy y≈∆

33

2.2 Quan hệ giữa ñạo hàm và vi phân � Định lý 4 Hàm số ( )y f x= khả vi tại

0x khi và chỉ khi nó có ñạo hàm tại

0.x

▼ Chú ý 2 Từ ñịnh lý 3 ở trên ta suy ra :

i Nếu ( )f x có ñạo hàm tại 0x thì biểu thức vi phân của ( )f x là ( )dy f x dx′= .

i Muốn chứng minh hàm số ( )f x khả vi tại ñiểm 0x ta ñi chứng minh ( )f x có ñạo hàm

tại ñiểm 0.x

2.3 Các quy tắc lấy vi phân Nếu ,u v là hai hàm số có ñạo hàm trên khoảng ( , )a b thì :

1) 0dc= với c const=

2) dx x=∆ nếu x là biến ñộc lập.

3) ( )d u v du dv± = ± .

4) ( )d cu cdu= với c const=

5) ( ) .d uv vdu udv= +

6) 2

u vdu udvdv v

− = nếu 0.v≠

§ 3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 3.1 Đạo hàm cấp cao ♦ Định nghĩa 7 Cho hàm số ( )y f x= . Nếu ( )f x có ñạo hàm với mọi ( , )x a b∈ thì ( )f x′ cũng là một

hàm củax trên ( , )a b . Khi ñó nếu ( )f x′ có ñạo hàm trên ( , )a b thì ta gọi ( )( )f x′′ là ñạo

hàm cấp hai của hàm f(x) và ký hiệu ( )f x′′ . Đạo hàm cấp n của ( )f x ñược ký hiệu

( )( )nf x . Theo ñịnh nghĩa ta có : ( )( 1) ( )( ) ( )n nf x f x+ ′= . Ta quy ước: ( )( ) ( )of x f x= .

3.2 Công thức tính ñạo hàm bậc cao của tổng, của tích.

( )( ) ( ) ( )

1) ( ) ( ) ( ) ( )n n n

f x g x f x g x+ = +

( )0

( ) ( ) ( )2) ( ) ( ) ( ). ( ),

nk

nk

n k n kf x g x C f x g x

=

−= ∑ với

!.

!( )!kn

nC

k n k=

−

(Công thức: 2) gọi là công thức Leibnitz) 3.3 Công thức ñạo hàm bậc cao của một số hàm số

( )1) ( ) ln ( 0)x n nxa a a a= > .

( )

22) (sin ) sin( )n nax a ax n π= +

( )( )

23) cos cos( )

n nax a ax n π= +

( )( )

4) .( 1)( 2)...( 1)n

m m nx m m m m n x −= − − − + .

( )1

( ) ( 1) ( 1)!5) ln

nn

n

nx

x

−− −= .

34

3.4 Vi phân cấp cao Tương tự như với ñạo hàm cấp cao, ta có thể nói về vi phân cấp cao. Giả sử hàm số ( )y f x= khả vi trên ( , )a b .

a) Như ñã biết biểu thức dy y dx′= là vi phân cấp một của hàm số ( )f x . Hàm số này

phụ thuộc vào hai biến ñộc lập x và x∆ . b) Nếu hàm này khả vi trên ( , )a b thì vi phân của nó: ( )d dy gọi là vi phân cấp hai

của hàm ( )y f x= , ký hiệu là 2d y .

Như vậy: ( )2 2( )d y y x x y x′′ ′′= ∆ ∆ = ∆ . Nhưng do 2 2dx x d y y dx′′= ∆ ⇒ =

c) Một cách tổng quát: ( )n n nd y y dx= (nếu y - khả vi cấp n trên ( , )a b ).Vì hệ thức này

nên ñạo hàm cấp n còn có thể viết : ( )

nn

n

d yy

dx= (chẳng hạn các ñạo hàm cấp một hay

ñạo hàm cấp hai có thể viết : 2

2, , )

dy d y

dx dx′ ′′= = ⋯y y

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 1

TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

⋇ Phương pháp

Cho hàm số ( )y f x= có ñạo hàm trên miền D. Muốn tính ( )f x′ chúng ta có thể dùng một trong hai phương pháp sau : ♦ Phương pháp 1 (Làm chậm) Bước 1 : Chox một số gia x∆ và tính ( )f x x+∆

Bước 2 : Tính số gia của hàm số ( ) ( )y f x x f x∆ = +∆ −

Bước 3 : Tính giới hạn ( )

0

( )0: lim ( )

0 x

f x x f xf x

x∆ →

+∆ −′=

∆

� Ví dụ 7 Cho ( ) . ( ).f x x Tính f x′=

Giải

Bước 1 : Chox một số gia x∆ và ( )tính f x x x x+∆ = +∆

Bước 2 : Số gia của hàm số là ( ) ( )y f x x f x x x x∆ = +∆ − = +∆ −

Bước 3 : Tính giới hạn 0 0

( ) ( )lim limx x

x x xf x x f x

x x∆ → ∆ →

+∆ −+∆ −=

∆ ∆

( )0 0

1 1 1lim lim ( )

2 2x x

x x xf x

x x x x xx x x x∆ → ∆ →

+∆ −′= = = ⇒ =

+∆ +∆ +∆ +

35

♦ Phương pháp 2 (Làm nhanh) Bước 1 : Lấy bất kỳ

0x D∈ .

Bước 2 : Tính giới hạn 0

0

00

( ) ( )0: lim ( )

0 x x

f x f xf x

x x→

−′=

−

Bước 3 : Từ công thức 0

( )f x′ suy ra công thức ′f (x) . � Ví dụ 8

Cho ( ) . ( ).f x x Tính f x′=

Giải Lấy bất kỳ

0.x Theo ñịnh nghĩa ñạo hàm tại một ñiểm ta có:

0 0

00 0

00 0

( )( ) ( )( ) lim lim lim

ox x x x x x

x xf x f x x xf x

x x x x→ → →

−− −′ = = =

− −0

( )x x− ( )0x x+

( ) ( )000 0

1 1 1 1lim lim ( )

2. 2ox x x xf x

x xx x x x→ →′= = = ⇒ =

+ +

▼ Chú ý 3

Phương pháp 2 (Làm nhanh) như trên, có thể áp dụng ñể tính ñạo hàm của hàm số cho bởi nhiều biểu thức toán học.

� Ví dụ 9 Cho hàm số

2sin1( ) 1

0 1

xkhi xf x xkhi x

π ≠= − =

Hãy xét xem tại ñiểm 0

1x = , hàm số ( )f x có ñạo hàm hay không?

Giải

Xét:2

21 1

( ) (1) sinlim lim .

1 ( 1)x x

f x f x

x x

π

→ →

−=

− −Đặt

2

21

1 sin1 lim .

1 0 ( 1)x

x t xt x

x t x

π

→

= += − ⇒ ⇒ → ⇒ → −

22

2 2

20 0

sinsin ( )lim lim . .t t

tt

tt

ππ ππ π

π→ →

+ = = = Vậy ( )f x có ñạo hàm tại ñiểm

01x = và

2(1) .f π′ =

VẤN ĐỀ 2

TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC VÀ QUY TẮC

⋇ Phương pháp:

1) Dựa vào bảng ñạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. 2) Áp dụng các công thức và quy tắc tính ñạo hàm. 3) Cần chú ý thêm một số trường hợp sau ñây: a) Đạo hàm của hàm phụ thuộc tham số: Hàm số phụ thuộc tham số ñược cho dưới dạng ( ), ( ); ( , )x t y t t α β= = ∈ϕ ψ . Nếu

hàm ( )x tϕ= trong khoảng ( , )α β có hàm ngược 1( )t xϕ−= thì ta có 1[ ( )],(1).y xϕ−= ψ

36

Lấy ñạo hàm hai vế theo x phương trình (1) và áp dụng công thức ñạo hàm của hàm

ngược, ta thu ñược: . .t tx t x

x t

yy t

x

′ ′′ ′ ′= = =

′ ′

ψψ

ϕ

� Ví dụ 11 Cho: ( ) siny t tψ= = , 2( ) cosx t t= =ϕ với 0, .2 x

t Tính yπ ′∈

.

Giải

cos

2 cos sin , cost t x

tt t t y′ ′ ′=− = ⇒ =ϕ ψ

2. cos t−

1.

2 sin. sin tt= −

b) Đạo hàm của hàm số mũ dạng ( )

( )g x

y f x=

( ) ( ) ( )( )

ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( )( ) ( )ln ( ) ( ) ln ( )g x

y f y g x f x y g x f xy

x g x f x g x f xy

′= ⇒ = ⇒ =′′ ′′⇔ = +

( )( ) 1( ). ( )( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) .

( )

g xg x f xy y g x f x y f x g x f x f x g x f x

f x

− ′ ′ ′ ′ ′⇔ = + ⇔ = +

c) Đạo hàm của hàm số lôgarit dạng ( )log ( )g xy f x=

( ) ( )2( )

ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( )ln ( ) ln ( )

ln ln ( ) ln ( )log ( )

( )g x

f x g x f x g xf x f xy y y

g g x g xy f x

x

′ ′′ − ′ ′⇒ = ⇒ = ⇔ = =

2 2

( ) ( ). ln ( ) ln ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ). ( ). ln ( )

ln ( ) ( ). ( ). ln ( )

f x g xg x f x

f x g x f x g x g x g x f x f xy y

g x f x g x g x

′ ′−

′ ′−′ ′⇔ = ⇔ =

VẤN ĐỀ 3

TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ. ỨNG DỤNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH GẦN ĐÚNG

⋇ Phương pháp

i Muốn tìm vi phân của một hàm số ( )y f x= , ta áp dụng công thức ( ) .dy f x dx′=

i Áp dụng vi phân ñể tính gần ñúng : Với x∆ bé thì :

0 0( ) ( ) ( )dy y f x x f x f x x′≈ ∆ ⇒ +∆ ≈ + ∆ với ñộ chính xác là

0( )x∆ , một vô cùng bé bậc cao hơn x∆ .

� Ví dụ 12

1) Tính vi phân của các hàm số sau : 33; .ty arctgx s e= =

Giải

( )3 3

23 2

6

31) ; 3 .

1

t txdy arctgx dx dx ds e dt t e dt

x

′′ = = = = +

20

2) ( ) , 1, 0, 0018.f x x x x= = ∆ = Tính giá trị gần ñúng 2(1,0018) (1,0018) ?f = =

Giải (1,0018) (1 0,0018) (1) (1).(0,0018) 1 2.1.(0,0018) 1,0036f f f ′= + ≈ + ≈ + ≈ là giá trị gần

ñúng của 2(1,0018) . Ta biết rằng giá trị ñúng của 2(1,0018) 1,00360324= . So sánh giữa

37

hai giá trị “ñúng” và “gần ñúng” của 2(1,0018) chúng ta thấy khá gần nhau.

3) Cho 0

( ) , 1, 0, 0025f x x x x= = ∆ = , Tính giá trị “gần ñúng” của 1, 0025 .

Giải

1

2

11 .(0, 0025) 1 .(0, 0025) 1, 001250.

2 . 1: 1, 0025 (1) (1).0, 0025Vì f f ≈ + ≈ + ≈′≈ + Nếu

chúng ta so sánh giá trị “ñúng” của 1,0025 1,001249...= với giá trị “gần ñúng” của

1,0025 ta thấy hai giá trị này rất gần nhau. VẤN ĐỀ 4

TÍNH ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

� Ví dụ 13

2 (20)) . (0).xa Cho y x e Tính y=

10) cos2 . .b y x x Tính d y=

Giải

a) Theo công thức Lepnit ta có : ( )0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ). ( )

nk

nk

n k n kf x g x C f x g x

=

−= ∑ , ta có :

( )(20) ( ) (20) (19)(20) 2 2 1 2

20 20

(18)2 2 2 120 20 20

( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 )ox o x x x o x x

y x x e C x e C x e C x e C x e C x e′= = + ′′+ = +

2 (20) 2 0 1 0 2 0 220 20 20 20 20

18 !20 !.2. (0) 0 (2.0) .2. .2 .2

2!18 !x oC e y C e C e C e C+ ⇒ = + + = = =

19.20.2

18 !38 0.

. 2=

b) Theo coâng thöùc tính vi phaân caáp cao :

( ) ( ) ( ) ( )(10) (10) (9) ( 8 )10 10 ( ) 1 2 10

10 10 10cos2 cos2 cos2 cos2o od y x x dx C x x C x x C x x dx

′ ′′= = + +

( )10 9 1 10 10 9 1010

2 .cos 2 10. 2 . .cos 2 9. 2 .cos2 2 .10.sin22 2

x x C x dx x x x dxπ π = + + + = − −

( ) ( )10 9 10 10 102 .cos2 2 .2.5. sin 2 2 . .cos 2 5.sin 2 .x x x dx x x x dx= − − = − +

VẤN ĐỀ 5 DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN (QUY TẮC L/Hospital )

♦ Quy tắc L/Hospital 1 (Dùng ñể khử dạng vô ñịnh 0

0)

Giả sử các hàm số ( ), ( )y f x y g x= = có ñạo hàm ở lân cận 0x và

0 0

lim ( ) lim ( ) 0x x x x

f x g x→ →

= =

và ( ) 0g x′ ≠ ở lân cận của ñiểm 0x khi ñó nếu

0

( )lim

( )x x

f x

g x→

′=

′l (l hữu hạn hay

l=±∞ ) thì ta có: 0 0

( ) ( )lim lim

( ) ( )x x x x

f x f x

g x g x→ →

′= =

′l.

38

♦ Quy tắc L/Hospital 2 (Dùng ñể khử dạng vô ñịnh ∞

∞)

Giả sử các hàm số ( ), ( )y f x y g x= = có ñạo hàm ở lân cận 0x và

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x g x→ →

=

=∞ và ( ) 0g x′ ≠ ở lân cận của ñiểm 0x khi ñó nếu

0

( )lim

( )x x

f x

g x→

′=

′l (l hữu hạn hay

l = ±∞ ) thì ta có: 0 0

( ) ( )lim lim

( ) ( )x x x x

f x f x

g x g x→ →

′= =

′l..

▼ Chú ý 4

a) Trường hợp 0

( )lim

( )x x

f x

g x→

′

′ vẫn thuộc dạng vô ñịnh

0

0hay

∞

∞ mà tỷ số

( )

( )

f x

g x

′′

′′ thoả

mãn ñiều kiện của quy tắc L/Hospital, ta lại áp dụng ñược quy tắc lần nữa và có thể xét tiếp tục như thế (nếu thoả mãn) tức là :

0 0 0 0

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim ... lim

( ) ( ) ( ) ( )

n

nx x x x x x x x

f x f x f x f x

g x g x g x g x→ → → →

′ ′′= = = = =

′ ′′l.

b) Lấy ñạo hàm tử số riêng, lấy ñạo hàm mẫu số riêng , chứ không phải lấy ñạo hàm

của một thương.

c) Trong 2 quy tắc L/Hospital chỉ phát biểu cho .o

x x→ Nhưng khi 0 0,x x x x− +→ → hay khi

x→±∞ thì các quy tắc trên vẫn ñúng.

� Ví dụ 14 Tìm các giới hạn sau ñây :

2 20 0 0

( ) 1 cos 1 1 2) lim lim lim 2.

sin ( sin ) 1cos 1x x x

tgx x tgx x xa A

x x x x x→ → →

′− − + += = = = = =

′− −

( )20 0 0 0 02

1 cos (1 cos ) sin (sin ) cos 1) lim lim lim lim lim

2 (2 ) 2 2x x x x x

x x x x xb B

x xxx

→ → → → →

′ ′− −= = = = = =

′′

( )

2

22 2 2 2 2

1 2 2cos

3 22

cos 3

( ) 1 cos 3 1 (cos 3 )) lim lim lim lim lim

3 ( 3 ) 3 3coscos

x

x x x x xx

tgx tgx x xc C

tg x tg x xx

π π π π π→ → → → →

′ ′= = = = =

′ ′

2 2 2 2

1 3 sin 6 sin 6 (sin 6 ) 6 cos 6 6.( 1)lim lim lim lim 3.

3 sin 2 sin 2 (sin 2 ) 2 cos2 2.( 1)x x x x

x x x x

x x x xπ π π π→ → → →

′− −= = = = = =

′− −

II) DÙNG QUY TẮC L/HOSPITAL ĐỂ KHỬ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 1) Dùng quy tắc L/HOSPITAL ñể khử các dạng vô ñịnh 0.∞

⋇ Phương pháp: Dạng vô ñịnh 0.∞ ñưa về dạng 0

0 hay dạng

∞

∞ ñể áp dụng quy

tắc Lôpitan.

Giả sử: ( )0 0

0

00

0 0

1( )

1( )

( ) 0lim ( ) ( ) lim

lim ( ) 0 0lim ( ) ( ) 0.

lim ( ) ( )lim ( ) ( ) lim

x x

x x x xx x g x

x x x xf x

x x

f xI f x g x

f x

I f x g xg x g x

I f x g x→

→ →→

→ →→

= = = ⇒ = ∞ ⇒ = ∞ ∞ = = ∞

ii

ii

39

� Ví dụ 15 1

10 0 0 0

ln 1lim ln ( 0) lim lim lim 0x

x x x x

xx x x

x x

α α

α αα

αα+ + + +− − −→ → → →

> = = = − =−

2) Dùng quy tắc L/HOSPITAL ñể khử các dạng vô ñịnh : ∞∞∞∞ - ∞∞∞∞ ⋇ Phương pháp Giả sử: lim ( ) & lim ( )

x a x af x g x

→ →= ∞ = ∞ , khi ñó chúng ta có:

1 1

1 1 ( ) ( )lim( ( ) ( )) lim lim

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

x a x a x a

g x f xf x g x

f x g x f x g x

→ → →

− − = − = ×

(Dạng 0

0 )

Trong thực tế bằng các biến ñổi nhiều khi ta có thể ñưa một dạng vô ñịnh nào ñó về

dạng 0

0 hoặc

∞

∞ khá ñơn giản.

� Ví dụ 16

0 0 0 0

1 cos sin ( cos sin ) cos sin coslim( ) lim lim lim

sin ( sin ) sin cosx x x x

x x x x x x x x x xcotgx

x x x x x x x x→ → → →

′− − − −− = = =

′ +

0

0

0 0

lim 0 0lim 0.

1 1 1 21 cos 1 lim lim cos

sin sin

x

x

x x

xx

x xx x

x x

→

→

→ →

= − = − =− =− =+ ×

+ + ×

3) Dùng quy tắc L/HOSPITAL ñể khử khử các dạng vô ñịnh : 1 ; 0 ;o o∞ ∞

⋇ Phương pháp

Các dạng vô ñịnh 1 ; 0 ;o o∞ ∞ bao giờ cũng ñưa về ñược dạng 0.∞ bằng cách lôgarit

hoá biểu thức ñã cho. Giả sử cần tìm ( )

lim ( )g x

axf x

→

(dạng 1∞

). Ta làm như sau:

( )( )

( ) ln ( )ln ( ) lim ln ln lim lim ( )ln ( )g x

x a x a x ay f x y g x f x y y g x f x

→ → →

= ⇒ = ⇒ = =

(Dạng 0.∞ ). Đến ñây thì có thể dùng quy tắc L/Hospital ñể khử dạng vô ñịnh.

� Ví du 17 Tìm

12

lim ,1

x

x

x

x

+

→+∞

+ − (Dạng 1∞ )

Giải

Đặt:

1 12 2 2

lim ln ln lim lim ( 1)ln1 1 1

x x

x x x

x x xA A x

x x x

+ +

→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = ⇒ = = + − − −

( )2

2

( 1).1 ( 2).11 ( 1)2.ln

21 ( 1)lim lim lim

1 1

1 ( 1)

x x x

x xx xx

xx x

x x

→+∞ →+∞ →+∞

− − +− −+ + − − = = =

−+ +

2

2

3

( 2) ( 1)

1

( 1)

x x

x

−×

+ −

−+

2 2

2 2

3 1 ( 1) 2 1lim : 3. lim 3. lim

( 2)( 1) ( 2)( 1)( 1) 2x x x

x x x

x x x xx x x→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = = = + − + −+ + −

40

2

2

3

2 1

1 2

1 1 0 03. lim 3. 3 ln 3 .

1 0 01x

x x

x x

A A e→+∞

+ + += = = ⇒ = ⇒ =

+ −+ −

+

▼ Chú ý 5

a) Theo quy tắc L/Hospital nếu 0

( )

( )lim

( )x xx

f x

g x→→∞

′=

′l , tức là nếu tỷ số các ñạo hàm có giới hạn

là l thì 0 0

( ) ( )

( ) ( )lim lim

( ) ( )x xx x x x

f x f x

g x g x→∞ →∞→ →

′= =

′l,nhưng nếu

0( )

( )lim

( )xx x

f x

g x→∞→

′

′ không tồn tại thì không

thể kết luận :0

( )

( )lim

( )xx x

f x

g x→∞→

cũng không tồn tại.

� Ví dụ 18 Tính sin

limsinx

x x

x x→∞

−

+ (dạng

∞

∞)

Giải sin ( sin ) 1 cos

lim lim lim . 1 cos 1sin ( sin ) 1 cosx x x

x x x x xKhi x x

x x x x x→∞ →∞ →∞

′− − −= = → ∞ ⇒ − ≤ ≤

′+ + +

1 coslim

1 cosx

x

x→∞

−⇒

+ không xác ñịnh. Nhưng nếu kết luận không tồn tại

sinlim

sinx

x x

x x→∞

−

+ là

sai vì: nếu dùng phương pháp biến ñổi ta có sin

sin

1sinlim lim

sin 1x x

xx

xx

x x

x x→∞ →∞

−−=

+ +

1 01.

1 0

−= =

+

b) i) Nhờ quy tắc L/Hospital ta có thêm phương pháp mới ñể tìm giới hạn các dạng vô ñịnh một

cách khá hiệu nghiệm . Tuy nhiên áp dụng quy tắc L/Hospital ñòi hỏi người giải toán phải lấy ñạo

hàm thành thạo, nếu ñạo hàm sai và nhất là ñạo hàm “sót” khi tính ñạo hàm của hàm hợp thì

kết quả sẽ ngược lại với ñiều ta mong muốn, vì kết quả sai thì nói gì ñến phương pháp hiệu

nghiệm (!)

ii) Nhưng chúng ta cũng cần nhớ rằng quy tắc L/Hospital không phải là “chìa khoá vạn năng”

giúp cho chúng ta giải ñược mọi bài toán về giới hạn (bởi vì hàm số dưới dấu “lim” với biến số

không liên tục thì không áp dụng ñược quy tắc L/Hospital). Trong một số trường hợp có khi càng

áp dụng quy tắc L/Hospital lại càng phức tạp, không giải ñược bài toán, nhưng nếu dùng phương

pháp khác lại rất gọn:

� Ví dụ 19 Tìm giới hạn 0

1lim

sin

a x

x

e

bx→

− (dạng

0

0)

Giải

: 1 ( 0) & sin ( 0)a xVì e a x khi x bx bx khi x− → →∼ ∼ . Do ñó chúng ta

có:0 0 0

1 . .lim lim lim

sin

a x

x x x

e a x a x

bx bx→ → →

−= =

.b x

a

b= . Nếu không dùng phương pháp

thay thế tương ñương mà áp dụng quy tắc Lôpitan ñể giải bài toán trên thì sẽ gặp không ít khó khăn, phức tạp.

41

TÓM LẠI

Kết hợp các phương pháp tìm giới hạn ñã học trong các chương trước ñây ta rút ra:

Đến nay ta có ba phương pháp tìm giới hạn dạng vô ñịnh:

a) Phương pháp biến ñổi. b) Phương pháp thay thế tương ñương.

c) Phương pháp áp dụng quy tắc L/Hospital.

Như ta ñã biết hai phương pháp b) và c) khá hiệu nghiệm cần vận dụng. Tuy nhiên

mỗi phương pháp cũng có những hạn chế riêng và có vị trí riêng của nó. Vì thế chúng

ta cần nắm vững cả 3 phương pháp ñể có thể tùy cơ mà vận dụng. Khi giải một bài

toán “Giới hạn” có thể vận dụng một hay vài phương pháp vừa nêu ở trên miễn là làm

sao tìm ra kết quả ñúng và nhanh nhất. �

42

BÀI TẬP

BÀI ĐỀ RA

ĐÁP SỐ HOẶC HƯỚNG DẪN

2.1 Xác ñịnh một ñiểm trên ñường cong

1

1

xy

x

−=

+ với 1x ≠ − mà tại ñó tiếp

tuyến song song với ñường thẳng .2

xy =

Tính ñạo hàm cấp 1 của các hàm số

2.2 1 1. ( ).xCho y x Tính y x′= ( )1

( ) ln 1xy x x x′ = +

2.3

. ( ).xxxCho y x Tính y x′=

Đáp số : 3 2 ln 1( ) . ln ln

xx x xx x xy x x x x x x

x x

′ = + + +

2.4 1

. ( ).xCho y x Tính y x′=

1

2

1 ln( ) .x

xy x x

x

− ′ =

2.5 2

32

1. ( ).

1

xCho y Tính y x

x

−′=

+

2

32 4

4 1 1( ) . .

3 (1 )1

x xy x

xx

−′ =−

−+

2.6 45

73 34

( 4). ( ).

( 3) . ( 2)

xCho y Tính y x

x x

−′=

− −

2

5 7 104 3

137 1010 1752( )

60 4. ( 3) . ( 2)

x xy x

x x x

− + −′ =

− − −

2.7 Cho hàm 4 32 .y x x= − Giải các

phương trình 0,y ′ = 0.y ′′=

2.8 Cho hàm

3

2.

1

xy

x=

− Giải các phương

trình 0,y ′ = 0.y ′′=

2.9 Cho hàm 3 2(5 )y x x= − . Giải các

phương trình 0,y ′ = 0.y ′′=

2.10

Cho 2 1sin 0

( )0 0

x khi xf x x

khi x

≠= =

a) Tính ( )f x′ tại mỗi ñiểm .x ∈ ℝ

b) Chứng minh rằng: ( )f x′ không

liên tục tại 0.x=

1 12 sin cos 0

) ( )0 0

x khi xa f x x x

khi x

− ≠′ = =

b) Tự giải.

43

2.11 Cho

2

1

. 0( )

0 0

xx e khi xf x

khi x

− ≠= =

Tính ( ).f x′

22

11

2

20

0 0

( )x

xe

e khi xx

khi x

f x

−−

+ ≠= =

′

2.12 Cho ( )

22 21

cos 3 cos 2 .15

y x x= −

Tính ( ).y x′

4 21sin 2 . 27 cos 24 cos 4

15y x x x

′ =− − +

2.13 Cho

2

2

11cos .

xy arc

x x

− = −

Tính ( ).y x′ ( )2 2

2 2

4 2

. 1 2

. 2 2 1 1 . 1

( )x x x

x x x x x x

y x− + − +

= − + − + −

′

2.14

Cho 2 2

2 2 ln .a a x

a x ax

y+ +

= + −

Tính ( ).y x′

2 2a xy

x

+′=

2.15 Cho hàm số arcsin sin .y x=

Tính ( ).y x′ 2

cos

2 sin sin

xy

x x

′=−

2.16 Cho hàm số

1

.xx x

yx x

+ −=

−

Tính ( ).y x′ ( )

2

2

4 2 3

2

x xy

x x x x

− −′ =

−

2.17 Cho

1 1 1 1 1 1cos

2 2 2 2 2 2xy + + +=

với 0,2

xπ

∈

. Tính ( ).y x′

1sin

8 8

xy ′ = −

2.18 Cho hàm số 2

log (3 1).x

y x= +

Tính ( ).y x′ 2

3 ln(2 ) (3 1)ln(3 1)

(3 1) ln (2 )

x x x xy

x x x

− + +′ =

+

2.19 Cho 2

log (3 1).x

y x= −

Tính ( ).y x′ 2

3 ln(2 ) (3 1) ln(3 1)

(3 1)ln (2 )

x x x xy

x x x

− − −′ =

−

2.20

Cho hàm số .y x x x= + + Tính ( ).y x′

Đáp số: 1 1 1

. 1 1222

yxx xx x x

′ = + + ++ +

44

2.21

Cho hàm số 12

( )

log (3 sin ).xe x

y x−

= Tính ( ).y x′

Đáp số:

1 1 1

1 1

2 2 2

2 2

2. ( )cot ln( ) ( ) ln(3 sin )

( ) ln ( )

x x x

x x

x e x gx e x e x xy

x e x e x

− − + +′ =

− −

2.22

Cho hàm số 3 4 41 1 1 .y x= + + + Tính ( ).y x′

Đáp số:

( )

3

2 33 4 44 4 443

( )

6. 1 1 1 . 1 1 . 1

xy x

x x x

′ = + + + + + +

Tính ñạo hàm cấp n của các hàm số

2.23 2

1.

2 1Cho y

x x=

− + Tính ( )( ).ny x ( )

2

( 1) ( 1)!( )

( 1)

n

n

n

ny x

x+

− +=

−

2.24

2(30) ( )( ) . ( ); ( ).

1nx

Cho f x Tính f x f xx

=−

(30) 31( ) 30 !(1 )f x x

−= −

2.25 (100)1

( ) . ( ).1

xCho f x Tính f x

x

+=

−

(100)

100 100

(399 )3.5.7...197( ) .

2 (1 ) 1

xf x

x x

−=

− −

2.26 Cho hàm số 2 .axy x e= Tính ( )( ).ny x

Đáp số 1 2( ) 2 1 2( ) 2 2

n nn n ax ax ax

n ny x x a e C x a e C a e

− −= + +

2.27

Cho hàm số 2 sin2 .y x x= Tính ( )( ).ny x ĐS:

1 22( )( ) .2 sin 2 2 2 cos 2 ( 1) 2 sin 2

2 2 2

n nnn n n ny x x x n x x n n x

π π π− − = + − + − − +

Tính vi phân cấp 1 các hàm số

2.28 2

.Cho t ax bx c ax= + + +

Tính .dx

2

22

(2 )

a t bt c adx dt

a t b

+ +=

+

2.29 1.

1

xCho t

x

+=

− Tính .dx

2 2

4

( 1)

tdx dt

t

−=

−

2.30 Cho 31.

1

xt

x

+=

−Tính .dx

2

3 2

6

( 1)

tdx dt

t

−=

−

45

2.31 Cho ,( ).2

xt tg xπ π= − < < Tính .dx

2

2

1

dtdx

t=

+

Dùng quy tắc Lôpitan ñể tìm giới hạn

2.32 3

32 0

4lim

sinx

xL

x x→=

− 24

2.33 33 0lim

sinx

tgx xL

x x→

−=

− 2

2.34 34

2lim lnx

L x arctgxπ→+∞

= 2

π−

2.35* ( )35 0 2

1 1lim

ln 1ln 1x

Lxx x

→

= − + + +

12

−

2.36 ( )36 0lim lnx

L x x→

= 0

2.37* ( 1)

37 0lim

xx

xL x

−

→= 1

2.38 381

lim ln . ln( 1)x

L x x+→

= − 0

2.39* 2

1

39 0

lnlim

ln

x x

xx

a x aL

b x b→

− = −

−2 2ln a ln b2e

2.40 40

3

1 2 coslim

3x

xL

xπ π→

−=

− 3

3−

2.41 41 0

1 sin coslim

1 sin cosx

x xL

ax ax→

+ −=

+ − 1

a

2.42 42 30

sinlim

sinx

tgx xL

x→

−= 1

2

---------------- Hết ----------------

46

` CHƯƠNG 3: PHEÙP TÍNH TÍCH PHAÂN

§1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 1.1 Nguyên hàm ♦ Định nghĩa 1 Hàm số ( )F x ñược gọi là nguyên hàm của hàm số ( )f x trên khoảngI nếu với mọi ,x I∈

ta có: ( ) ( )F x f x′ = . Nếu khoảng I có chứa các ñầu mút thì tại các ñầu mút ( )F x chỉ

cần có ñạo hàm một phía.

1.2 Một số ñịnh lý � Định lý 1

Nếu ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên khoảng I thì :

1. Với mọi hằng số ( )C F x C⇒ + cũng là một nguyên hàm của ( )f x trên khoảng I .

2. Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số ( )f x trên khoảng I ñều có thể viết

dưới dạng ( )F x C+

Nói cách khác: ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên khoảngI { }( )F x C C⇒ + ∈ ℝ

là họ các nguyên hàm của ( )f x trên khoảng I .

� Định lý 2 (Sự tồn tại nguyên hàm)

Mọi hàm số ( )f x liên tục trên ñoạn [ , ]a b ñều có nguyên hàm trên ñoạn ñó.

1.3 Tích phân không xác ñịnh ♦ Định nghĩa 2 a) Biểu thức ( )F x C+ trong ñó ( )F x là nguyên hàm của hàm số ( )f x trên khoảng

I và C - là hằng số tuỳ ý, ñược gọi là tích phân không xác ñịnh (thường gọi tắt là tích

phân) của hàm số ( )f x trên I và ký hiệu: ( ) ( ) .f x dx F x C= +∫

b) Dấu “∫ ” ñọc là “tích phân”, ( )f x gọi là hàm dưới dấu tích phân, ( )f x dx gọi là

biểu thức dưới dấu tích phân, x gọi là biến số dưới dấu tích phân.

▼ Chú ý 1

a) Muốn tính một tích phân không xác ñịnh của hàm số ( )f x chỉ cần tính một

nguyên hàm của nó.

b) Nếu ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x thì ( ) ( ) ( ( ))f x dx F x dx d F x′= = . Do ñó biểu

thức dưới dấu tích phân ( )f x dx không phải là một ký hiệu ngẫu nhiên, mà thực sự là một

vi phân: vi phân của chính nguyên hàm ( )F x .

c) Có một số hàm số nhìn vào ta thấy rất ñơn giản nhưng lại không có nguyên hàm vì

chúng không thể biểu diễn dưới dạng các hàm số sơ cấp: 2xe dx−∫ (Tích phân Poatxông)

2

2

cos

sin

x dx

x dx

∫∫

(Tích phân Fresnet)

ln

dx

x∫ (Tích phân logarit)

47

cosxdx

x∫ (Tích phân cosnus)

sin xdx

x∫ (Tích phân sinus)

1.3.1 Bảng các nguyên hàm cơ bản a) Việc lấy tích phân một hàm nào ñó thực chất là việc ñưa dần từ một tích phân phức tạp

về một tích phân ñơn giản hơn. Cuối cùng ta ñưa ñến một tích phân ñơn giản nhất

ñựơc gọi là tích phân cơ bản. Dựa vào bảng các ñạo hàm cơ bản và ñịnh nghĩa tích phân

không xác ñịnh chúng ta có các tích phân cơ bản sau:

1) 0dx C=∫

2) 1dx dx x C= = +∫ ∫

3) 1

, ( 1)1

xx dx C

αα α

α

+

= + ≠ −+∫

4) 1 lndx

x dx x Cx

− = = +∫ ∫

5) ,(0 1)ln

xx aa dx C a

a= + < ≠∫ (Đặc biệt: x xe dx e C= +∫ )

6) sin cosxdx x C= − +∫

7) cos sinx dx x C= +∫

8) 2

cot1

dxarctgx C arc x C

x= + = − +

+∫

9) 2

arcsin arccos1

dxx C x

x

= + = −−

∫

10) 2

cotsin

dxgx C

x= − +∫

11) 2cos

dxtgx C

x= +∫

▼ Chú ý 2

1. Công thức 4) chỉ có nghĩa trên một khoảng ( , )a b không chứa ñiểm 0 :x =

i Nếu ( , ) (0, )a b ⊂ +∞ tức là 0x > thì ( ) 1ln (ln ) .x x

x

′ ′= =

i Nếu ( , ) ( , 0)a b ⊂ −∞ tức là 0x < thì ( ) 1 1ln [ln( )] ( 1)x x

x x

′ ′= − = − =−

2. Một số tích phân tuy không thể rút trực tiếp từ các ñạo hàm cơ bản nhưng thường

ñược dùng nhiều khi giải bài tập:

12) lndx

x a Cx a

= − +−∫

48

13) 1

sin cos , 0.mxdx mx C mm

= − + ≠∫

14) 1

cos sin , 0mxdx mx C mm

= + ≠∫

15) 2 2

1, ( 0)

dx xarctg C a

a ax a= + ≠

+∫

16) 2 2

1ln

2

dx x aC

a x ax a

−= +

+−∫

17) 2 2

1ln

2

dx a xC

a a xa x

+= +

−−∫

18) 2 2

arcsin arccos ,dx x x

C C aa aa x

= + = − + >−

∫ ( 0)

19) 2 2

2 2ln

dxx x a C

x a

= + + ++

∫

20) 2 2

2 2ln

dxx x a C

x a

= + − +−

∫

21)

2 2 22 2 2 2ln

2 2

x x a ax a dx x x a C

++ = + + + +∫

Việc chứng minh các công thức trên không ñến nỗi khó khăn xem ñó là các bài tập.

1.3.2 Các tính chất của tích phân không xác ñịnh ¤ Tính chất 1

( )( ) ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( )d f x dx d F x C d F x F x dx f x dx′= + = = =∫

( Hay ( )( ) ( ) ( )f x dx F x f x′ ′= =∫ )

¤ Tính chất 2 ( ) ( )dF x dx F x C= +∫

¤ Tính chất 3 ( ) ( )k f x dx k f x dx=∫ ∫ (Với k là một hằng số)

¤ Tính chất 4 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫

1.4 Các phương pháp lấy tích phân ⋇ Phương pháp ñổi biến số

1. Giả sử cần tính tích phân ( )f x dx∫ ( )∗ .Mặc dù biết rằng tích phân tồn tại nhưng

trong nhiều trường hợp ta không thể tính trực tiếp tích phân ñó. Khi ñó ta có thể dùng

phương pháp ñổi biến. Nội dung của phương pháp ñó như sau: Đưa vào biến mới t và

⇒Đặt : ( ) ( )x t dx t dtϕ ϕ′= ⇒ = thay vào (*) ta ñược:

( ) ( ) ( ) ( ) .f x dx f t t dt g t dtϕ ϕ ′= = ∫ ∫ ∫

Bây giờ bài toán quy về việc tìm tích phân của hàm ( )g t . Sau khi tìm ñược tích phân ñó

ta lại ñưa biến mới t trở về biến cũ x .

49

2. Phương pháp ñổi biến là một trong những phương pháp tích phân hiệu lực nhất. Ngay cả những khi sử dụng các phương khác nhưng rất nhiều trường hợp trong các phép tính trung gian vẫn cần ñến phương pháp ñổi biến. Tuy nhiên cần nói thêm rằng việc

áp dụng phương pháp ñổi biến, thành công ñến mức nào là tuỳ thuộc vào sự khéo léo và

kinh nghiệm của mỗi người khi chọn hàm số ( )x tϕ= , ñể việc tính toán ñược ñơn giản và

nhanh chóng cho ra kết quả. Sau ñây chúng ta nêu một số cách khi áp dụng phương pháp

ñổi biến số:

i) Áp dụng công thức theo chiều thuận

� Ví dụ 1 Tính tích phân 2 2 ( 0)I a x dx a= − >∫

Giải

Hàm số 2 2a x− có nghĩa khi và chỉ khi: .x a≤

Đặt: 2 2

2 2

cos ;2 2

sin cos ; arcsin

sin ; cos

dx a t dt t

xx a t a x a t t

a

x a xt t

a a

π π = − ≤ ≤= ⇒ − = = − = =

i

i

i

( )2 2

2 2 2 2 2 1cos 1 cos2 sin2

2 2 4

a aI a x dx a tdt a t dt t t C⇒ = − = = + = + +∫ ∫ ∫

2 22 2 2 2 2

2

.( sin cos ) arcsin arcsin

2 2 2

x a xa a x x a x a xt t t C C

a a a a a

− − = + = + + = + +

▼

Chú ý 3

Khi gặp các tích phân: 2 2a x dx−∫ hoặc 2 2a x dx+∫ hoặc 2 2 ( 0)x a dx a− >∫

Thông thường các tích phân ñó sẽ dễ tính hơn khi khử căn thức. Lợi dụng các công thức

lượng giác 2 2 2

2

1sin cos 1 1

cosx x hay tg x

x+ = + = chúng ta có thể khử căn thức của

các biểu thức trên bằng một phép ñổi biến số tương ứng trong bảng sau ñây:

Biểu thức Phép ñổi biến số Biểu thức sau biến ñổi dx = …

2 2a x− ( cos , [ 0, ] )

sin , ,2 2

hay x a t t

x a t t

π

π π

= ∈

= ∈ −

cosa t

sina t

cosa t

sina tdt−

2 2a x+ , ,2 2

x atgt tπ π = ∈ −

cos

a

t

2cos

dta

t

50

2 2x a−

∗Với x > a

, 0,cos 2

ax t

t

π = ∈

∗Với x <-a

, 0,cos 2

ax t

t

π = − ∈

atgt

atgt

2

sin

cos

ta dt

t

2

sin

cos

ta dt

t−

ii ) Áp dụng công thức theo chiều ngược

Để tính tích phân ( ) ,I f x dx= ∫ ta phân tích biểu thức dưới dấu tích phân ñể ñưa về

dạng ( ) [ ( )] ( ) ( ( )).f x dx g x x d xϕ ϕ ϕ′= Đặt ( ) ( ) .t x I g t dtϕ= ⇒ = ∫

� Ví dụ 2 2 2 21

) ( ).2

x xa I e x dx e d x= =∫ ∫ Đặt:22 1 1 1

2 2 2t t xt x I e dt e C e C= ⇒ = = + = +∫

3 4 4 4121

) 9 ( 9) ( 9).4

b I x x dx x d x= + = + +∫ ∫ Đặt 4 9t x= +

4 3

31 322 2

32

1 1 1 2 1. ( 9) .

4 4 2.2 3 6

tI t dt C t C x C⇒ = = + = + = + +∫

⋇ Phương pháp tích phân từng phần

1. Nội dung phương pháp Giả sử ( )& ( )u x v x là hai hàm số của biến số x có ñạo hàm liên tục. Theo quy tắc vi phân

của một tích ta có: ( ) ( )d uv udv vdu d uv uv udv vdu= + ⇒ = = +∫ ∫ ∫

udv uv vdu⇒ = −∫ ∫ (1). Công thức (1) ñược gọi là công thức tích phân từng phần.

Phương pháp tích phân từng phần ñược áp dụng trong trường hợp có thể phân tích biểu

thức dưới dấu tích phân, thành tích hai thừa số. Một thừa số là một hàm ( )u x và thừa số

thứ hai là vi phân của một hàm ( )v x nào ñó. Khi ấy việc tính tích phân udv∫ thay bằng

việc tính tích phân vdu∫ nếu tích phân vdu∫ ñơn giản hơn tích phân ñã cho. Phương

pháp tích phân từng phần có thể áp dụng nhiều lần liên tiếp khi tính một tích phân nào ñó,

cho ñến khi tìm ñược kết quả thì thôi.

2. Một số dạng tích phân có thể dùng phương pháp tích phân từng phần ñể tính

i) Dạng ( ) axP x e dx∫ trong ñó ( )P x là một ña thức.

⋇ Phương pháp

Ta ñặt ( )u P x= , .axdv e dx= Khi ñó du là một ña thức ( )P x′ có bậc giảm ñi một ñơn vị

so với bậc của ( )P x , 1 axv ea

= . Như vậy mỗi lần tích phân từng phần sẽ dẫn tới một

tích phân dạng cũ, nhưng bậc của ña thức giảm ñi một ñơn vị . Qua nhiều lần tích

phân từng phần có thể bậc của ña thức ( )P x giảm tới 0. Lúc ñó ta dễ dàng tính ñược

tích phân cuối cùng.

51

� Ví dụ 3

Tính tích phân 2 3xI x e dx= ∫

Giải

2 3 2 3 2 3 3 2 3 31 1 1 2(3 ) 2 ( )

3 3 3 9x x x x x xI x e dx x e d x x e xe dx x e x d e = = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫

2 3 3 3 2 3 3 3 2 31 2 1 2 2 1 2 2

3 9 3 9 27 3 3 9x x x x x x xx e xe e dx x e xe e C x x e C

= − − = − + + = − + + ∫ i

i) Dạng ( )sinP x axdx∫ ( hoặc ( )cosP x axdx∫ ).

⋇ Phương pháp Đặt ( )u P x= ; sindv axdx= (hoặc cosdv axdx= ). Khi ñó du là ña

thức có bậc giảm ñi một ñơn vị so với bậc của ( )P x , còn v là hàm số cosax (hoặc hàm

số sinax ). Như vậy tích phân dạng này sẽ chuyển thành tích phân dạng tương tự, còn

bậc của ña thức giảm ñi một ñơn vị. Tích phân từng phần nhiều lần sẽ làm cho bậc của ña

thức ( ),P x giảm tới 0.

� Ví dụ 4 Tính tích phân 2 sin 3I x xdx= ∫

Giải

2 2 2 21 1 1 1sin 3 (cos 3 ) cos 3 2 cos 3 cos 3

3 3 3 3I x xdx x d x x x x xdx x x= =− =− + =− +∫ ∫ ∫

2 1 2 22sin 3 sin 3 cos 3 sin 3 cos 39 3 9 27x x xdx x x x x x C+ − = − + + + ∫ .

iii) Dạng ( ) lnP x xdx∫ , ( )P x arctgxdx∫ , ( )arcsinP x xdx∫ .

⋇ Phương pháp

Đặt lnu x= (hoặc arctan arcsin ,...u x hay u x= = ) ( )dv P x dx= .Khi ñódu sẽ chứa

một biểu thức hữu tỷ hoặc vô tỷ ñối với x , còn ( )v x là ña thức có bậc tăng lên một ñơn

vị so với bậc của ( )P x . Tuy nhiên khi lấy tích phân từng phần thì sẽ dẫn ñến tích phân

hàm số hữu tỷ hoặc vô tỷ, chứ không còn tích phân các hàm số siêu việt nữa.

� Ví dụ 5 Tính tích phân arctanI x xdx= ∫

Giải 2

2 2

2

1 1 1arctan arctan ( ) arctan

2 2 2 1

xI x xdx xd x x x dx

x= = = −

+∫ ∫ ∫

21 1 1arctan .

2 2 2x x arctgx x C= + − +

iv) Dạng ( ) sinaxP x e bxdx∫ (hoặc ( ) cosaxP x e bxdx∫ ).

⋇ Phương pháp

Đặt: ( ), sinaxu P x dv e bxdx= = (hoặc cosaxdv e bxdx= )

Ta có: 2 2

sin cos( ) & sin .

axax a bx b bxdu P x dx v e bxdx e

a b

−′= = =+

∫ (+C)

52

(hoặc 2 2

sin coscos . ( )

axax b bx a bxv e bxdx e C

a b

+= = +

+∫ )

Như vậy mỗi lần tích phân từng phần ta ñã chuyển ñược các tích phân trên về các tích

phân cùng dạng, nhưng bậc của ña thức giảm ñi một ñơn vị. Thực hiện tích phân từng

phần nhiều lần có thể giảm bậc của ña thức tới 0 và ta quay trở lại với các tích phân

dạng: sinaxe bxdx∫ hoặc cosaxe bxdx∫ mà chúng ta ñã biết cách giải.

v) Dùng tích phân từng phần ñể lập công thức quy nạp khi tính tích phân.

� Ví dụ 6 Tính sin ( 2)n

nI xdx n= ≥∫

Giải 1 1 2 2sin sin ( cos ) sin cos ( 1) sin cosn n n n

nI xdx x d x x x n x xdx− − −= = − = − + −∫ ∫ ∫

1 2sin cos ( 1) sin ( 1) sinn n nx x n xdx n xdx− −= − + − − −∫ ∫

1

12 2

sin cos 1sin cos ( 1) ( 1)

n

n

n n n n n

x x nI x x n I n I I I

n n

−−

− −−

= − + − − − ⇒ = − +

Ta ñã biết 0 1 1

, sin cos ( )I dx x I xdx x C= = = = − +∫ ∫

22

23

3

sin .cos 1sin ( )

2 2sin .cos 2

sin cos ( )3 3

x xI xdx x C

x xI xdx x C

= = − + +⇒ = = − − +

∫

∫

i

i

� Ví dụ 7 Tính tích phân : 2 2

( 1, 2, 3, )( )

n n

dxI n

x a= =

+∫ …

Giải

Đặt: 2 2 2 2 12 2

21

( ) ( ) 2 2( ) ( )n n

n n

nxdxu du xdxIx a x a nx a x adv dx v x

+

= ⇒ = − ⇒ = = ∫+ + + + = ⇒ =

i

i

22

1 2 2 2 2 2 2 12 22 2 2

( ) ( ) ( )( )n n n n

x x dx dxn dx n na

x a x a x ax a+ +

+ = + −+ + ++

∫ ∫ ∫

21 12 2 2 2 2 2

1 (2 1) 12 2 . . .

2( ) 2 ( )n n n nn n

x x nn I n a I I I

nx a na x a a+ +

−= + − ⇒ = +

+ +

Theo hệ thức (2) thì 1n

I + ñược biểu diễn qua nI . Vì vậy áp dụng liên tiếp hệ thức truy

toán, ta ñi ñến kết quả là 1n

I + (và tất nhiên nI ) cuối cùng thì cũng ñược biểu diễn qua

1.I Từ (2) ta có:

1 2 2

1dx xI arctg C

a ax a= = +

+∫

2 2 2 2 2 2 2 3

1 1. .

( ) 2 ( ) 2

dx x xI arctg C

ax a a x a a= = + +

+ +∫

3 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 5

1 3 3.

( ) 4 ( ) 8 ( ) 8

dx x x xI arctg C

ax a a x a a x a a= = + + +

+ + +∫

53

1.5 Tích phân các hàm số hữu tỷ 1.5.1 Hàm hữu tỷ là gì? i Hàm số hữu tỷ là thương của hai ña thức. Như vậy một hàm số hữu tỷ có dạng:

10 1 1

10 1 1

( ) ...( ) ;

( ) ...

n n

m n n

m mn m m

P x a x a x a x af x

Q x b x b x b x b

−−

−−

+ + + += =

+ + + +với , & 1, 1m n m n∈ ≥ ≥ℕ

i Nếu bậc của tử số không nhỏ hơn bậc của mẫu số ( )m n≥ thì bằng phép chia ña

thức, ta phân tích ñược ( )f x thành tổng của một ña thức với một phân thức khác có bậc

của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số (gọi là phân thức thật sự).

Chẳng hạn: 5 3

2

3 3

2 1 14 1( 3)

5 5

x x x xx

x x x x

+ − + += − +

+ +

1.5.2 Tích phân các phân thức ñơn giản Trong việc tính tích phân các phân thức thực sự thì các tích phân sau ñây gọi là tích phân

các phân thức ñơn giản:

)A

a dxx a−∫

)( )

k

Ab dx

x a−∫

2)

Mx Nc dx

x px q

+

+ +∫

2)

( )mMx N

d dxx px q

+

+ +∫

▼ Chú ý 4 Trong c) và d) tam thức bậc hai 2x px q+ + không có nghiệm thực.

a) ( )

ln( )

A d x adx A A x a C

x a x a

−= = − +

− −∫ ∫

b)1

( ) 1( ) ( ) .

1( ) ( ) ( )

k

k k k

A d x a Adx A A x a d x a C

kx a x a x a

−

−

−= = − − = − +

−− − −∫ ∫ ∫

c) 22 2

2 4( ) ( )p px px q x q+ + = + + − và ñặt

2

4

pa q= −

Tiếp tục ñặt: 2 2 2

2

2

( )M p

p

dx dt

x px q t a

Mx N Mt N

t x

=⇒ + + = + + = + −

= +

2 22

2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) 1( )

2 2( )

M pMt NMx N M d t a Mp dt

dx dt Nax px q t a t a t a

+ −+ +⇒ = = + −

+ + + + +∫ ∫ ∫ ∫

2 2 1ln ( )

2 2

M Mp tt a N arctg C

a a= + + − +

2

2 2 2

2 2. ln( )

2 4 4

Mx N M N Mp x pdx x px q arctg C

x px q q p q p

+ − +⇒ = + + + +

+ + − −∫

54

d) Tương tự như trong bài c) ta có :

2

2 2 2 2 2 22

2( )( )

2 2( ) ( ) ( )( )

M p

m m mm

tdtMt N M Mp dtdt N

t a t a t a

dx

x px q

+ −= + −

+ + +=

+ +∫ ∫ ∫∫

2 2 2 2

2 2( ) ( ) ( )

2 2 ( )

m

m

M Mp dtt a d t a N

t a

−= + + + −

+∫ ∫

2 22 2 1

1. ( ) ,

2( 1) 2 ( )( )

mI

m m

M pM dtN

m t at a−= − + −

− ++∫��

trong ñó mI tính theo

1mI +

như sau: 1 2 2 2 2

1 (2 1) 1. . .

22 ( )m mn

x nI I

nna x a a+

−= +

+

1.5.3 Tích phân các phân thức thực sự

i Việc tính tích phân thực sự cơ bản dựa vào ñịnh lí sau ñây trong ñại số:

Mỗi phân thức thực sự ( )

( )

P x

Q x ñều có thể phân tích thành tổng một số hữu hạn các phân

thức ñơn giản.

i Trong mục trên ñã tính ñược tích phân của tất cả các phân thức ñơn giản, nên chỉ còn

lại vấn ñề: làm thế nào ñể phân tích một phân thức thực sự thành tổng của những phân

thức ñơn giản?

Trước hết hãy chú ý tới ña thức ( )Q x ở mẫu số. Ta giả thiết bậc cao nhất của ( )Q x

có hệ số bằng 1và theo ñịnh lý cơ bản của ñại số học luôn luôn có thể phân tích :

2( ) ( ) ( )iink

i i iQ x x a x p x q= − + +… … … trong ñó , , ; , ;

i i i i i ia p q R k n N a

∗∈ ∈

là những nghiệm thực của các ña thức bậc nhất i

x a− còn 2i i

x p x q+ + là những ña

thức bậc hai không có nghiệm thực.

i Nếu 1ik = hoặc 1

in = ta gọi các thừa số tương ứng là thừa số ñơn còn nếu

2ik ≥ hay 2

in ≥ ta gọi các thừa số tương ứng là thừa số bội.

� Ví dụ 8 Tính tích phân: 2

2 2

2 2 13

( 2)( 1)

x xI dx

x x

+ +=

− +∫

Giải

Phân tích:2

2 2 2 2 2

2 2 13

2( 2)( 1) 1 ( 1)

x x A Bx C Dx E

xx x x x

+ + + += + +

−− + + +.

Quy ñồng mẫu số rồi ước lược ta có: 2 2 2 22 2 13 ( 1) ( )( 2)( 1) ( )( 2) (1)x x A x B x C x x D x E x+ + = + + + − + + + −

Muốn tìm các hệ số : , , ,A B C D chúng ta có hai cách sau ñây:

¤ Cách 1

• Cho 2x = ta có : 25A = 25 1.A⇒ =

• Cho x i= (với i − nghiệm phức của phương trình 2 1x + = 0) ta ñược:

55

2 11 3( 2 ) ( 2 ) 11 2

2 2 4

D E DD E D E i i

D E E

+ = − = − − + + − + = + ⇔ ⇔ − + = = −

• Thay các giá trị A = 1, D = - 3 và E = - 4 vào (1) ta có: 2 2 2 22 2 13 ( 1) ( )( 2)( 1) (3 4)( 2), (2)x x x B x C x x x x+ + = + + + − + − + −

• Từ (2), nếu ta cho 0x = và 1x = thì ta có hệ phương trình:

2 4 1

3 2

C B

B C C

− = = − ⇔ + = − = −

Tóm lại: 1, 1, 2, 3, 4A B C D E= = − = − = − = − . Bây giờ ta tính tích phân:

2

2 2 2 2 2

2 2 13 2 3 4

2( 2)( 1) 1 ( 1)

x x dx x xI dx dx dx

xx x x x

+ + + += = − −

−− + + +∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2

82

( 2) 1 2 4 3 32 2 21 ( 1)

xd x x

dx dxx x x

+− += − −

− + +∫ ∫ ∫

2

22 2 2

2 2 2 2

1 ( 1) 3ln 2 2 ( 1) ( 1) 4

2 21 1 ( 1)

I

d x dx dxx x d x

x x x

−+= − − − − + + −

+ + +∫ ∫ ∫ ∫

��

2

2 2

1 3 1ln 2 ln 1 2 4 .

2 22( 1) 2( 1)

xx x arctgx arctg x C

x x

= − − + − + − + + + +

2

2 2

1 ( 2) (3 4 )ln 4

2 1 2( 1)

x xarctgx C

x x

− −= + − +

+ +

¤ Cách 2 Đẳng thức (1) tương ñương với ñẳng thức sau ñây:

2 4 3 22 2 13 ( ) (-2B C)x (2 2 )x x A B x A B C D x+ + = + + + + + − +

( 2 2 ) ( 2 2 ) (3)B C D E x A C E+ − + − + + − −

Từ (3) bằng cách ñồng nhất các hệ số của các luỹ thừa tương ứng, chúng ta có hệ phương

trình:

(*)

0 1

2 0 1

2 2 2 2

2 2 2 3

2 2 13 4

A B A

B C B

A B C D C

B C D E D

A C E E

+ = = − + = = − + − + = = −⇔ − + − + = = − − − = = −

(Giải hệ phương trình tuyến tính (*) có thể bằng phương pháp Gauxơ hoặc bằng phương

pháp thế).

56

2

2 2 2 2 2

2 2 13 2 3 4

2( 2)( 1) 1 ( 1)

x x dx x xI dx dx dx

xx x x x

+ + + +⇒ = = − −

−− + + +∫ ∫ ∫ ∫

2

2 2

1 ( 2) (3 4 )ln 4 .

2 1 2( 1)

x xarctgx C

x x

− −= + − +

+ +

1.6 Tích phân các hàm số vô tỷ và lượng giác Phương pháp chủ yếu ñể tính tích phân các hàm số vô tỷ và lượng giác là dùng phép ñổi

biến số ñể ñưa tích phân cần tính về tích phân các hàm số hữu tỷ. Phương pháp này gọi là

hữu tỷ hóa tích phân. 1.6.1 Tích phân các hàm số vô tỷ

a) Tích phân dạng , mpx q

R x dxrx s

+ + ∫ ; trong ñó , , , ,p q r s m∈ ∈ℝ ℕ và 2m ≥ ,

R biểu thị một hàm số hữu tỷ ñối với các ñối số trong ngoặc.

Dùng phép biến ñổi: ( )

( )

( )

m

mm

st qx tpx q

t w x p r trx s

dx t dt

ϕ

ϕ

− = =+ = = ⇒ −+ ′ =

, ( ), ( ) ,(1).mpx q

R x dx R t t t dtrx s

ϕ ϕ + ′⇒ = +

∫ ∫

Tích phân (1) là tích phân của một hàm hữu tỷ mà chúng ta ñã biết cách tìm.

� Ví dụ 9 Tính tích phân 32

1 1.

1( 1)

xI dx

xx

+=

−−∫

Giải

Đặt: 3 2 232 2

1 1 33 2

1 1 2( 1) ( 1)

x x dx dxt t t dt t dt

x x x x

+ += ⇒ = ⇒ = − ⇒ = −

− − − −

443 4 3

3 3 3 3 1

2 2 4 8 8 1

t xI t dt I C t C C

x

+ ⇒ = − ⇒ = − + = − + = − + − ∫

b) Tích phân dạng 2,R x ax bx c dx + + ∫

Trong ñó , , , 0a b c a∈ ≠ℝ , R là hàm hữu tỷ của các ñối số trong ngoặc. Ta xét:

¤ Trường hợp 1:

Nếu 0∆ > thì tam thức có 2 nghiệm thực phân biệt 1 2,x x ta có thể biến ñổi:

2 21 2 1

1

( )( ) ( )x x

ax bx c a x x x x x x ax x

−+ + = − − = −

−

và tích phân ñưa về dạng ở mục a) ở trên.


Nếu 0∆ < tam thức 2ax bx c+ + không có nghiệm thực và luôn cùng dấu với a , ñể

căn bậc hai xác ñịnh buộc phải có ñiều kiện 0a > , trường hợp này ta dùng phép thế Ơ –

le, bằng cách ñặt: 2 2ax bx c t ax hay ax bx c t ax+ + = − + + = +

57

2 2

2

22 ; 2

2 (2 );

2

a t bt c a at bt c adx dt

a t b a t b

t cx ax bx c

a t b

+ + + +=

+ +

−⇒ = + + =

+

Rõ ràng biểu thức dưới dấu tích phân ñã ñược hữu tỷ hoá, chúng ta có thể tiến hành lấy

tích phân.

� Ví dụ 10 Tính tích phân 2 1

dxI

x x x

=+ − +

∫

Giải Tích phân thuộc trường hợp 2 nên chúng ta dùng phép thế Ơ-le :

2 22 2

2

1 11 1 , 2.

2 1 (2 1)

t t tx x t x x x x x t dx dt

t t

− − +− + = − ⇒ = ⇒ + − + = =

− −

2

2 2

2 2 2 2 3 3

2 1.(2 1) (2 1)

t tI dt dt

t tt t t

− + ⇒ = = − + − − − ∫ ∫

3 1 3. 2 ln ln 2 1

2 (2 1) 2t t C

t= − + − − +

−

2 2

2

3 32 ln 1 ln 2( 1) 1

22[2( 1) 1]x x x x x x C

x x x

= − + + − + − + − + − ++ − + −


Nếu 0∆ = thì tam thức 2ax bx c+ + có 2 nghiệm trùng nhau, lúc ñó tích phân ñã cho

không có dạng vô tỷ nữa (mà là tích phân của một hàm hữu tỷ) do ñó chúng ta tiến

hành ngay việc lấy tích phân.

1.6.2 Tích phân các hàm số lượng giác dạng (sin , cos )R x x dx∫

Cũng tương tự như các dạng tích phân ñã biết trước ñây, muốn hữu tỷ hoá một tích phân

dạng (sin , cos )R x x dx∫ ta phải tìm ñược một phép ñổi biến sao cho biểu thức

dưới dấu tích phân trở thành biểu thức hữu tỷ.

¤ Trường hợp 1: (Phép thế vạn năng) Nếu hàm số dưới dấu tích phân là một hàm số lượng giác nào ñó thì chúng ta ñặt:

2

2 2 2

2

2 1 2sin , cos ,

1 1 1, ( )2 2

2 ,1

t t tx x tgx

x t t tt tg x

x arctgt dx dtt

π π

− = = = + + −= − < < ⇒ = = +

¤ Trường hợp 2 Nếu thay sin x bởi sin x− mà biểu thức: ( sin ; cos ) (sin ; cos )R x x R x x− =− thì

ñặt: 2

2cos arccos & & sin 1

1

dtt x x t dx x t

t

= ⇒ = =− = −−

¤ Trường hợp 3 Nếu thay cosx bởi cosx− mà biểu thức: (sin ; cos ) (sin ; cos )R x x R x x− =− thì

ñặt: 2

2sin arcsin & &cos 1

1

dtt x x t dx x t

t

= ⇒ = = = −−

58

¤ Trường hợp 4 Nếu thay sin x bởi sin x− và cosx bởi cosx− mà biểu thức

( sin ; cos ) (sin ; cos )R x x R x x− − = thì chúng ta ñặt:

,t tgx= ( với

2

2 2

1) 12 2 sin ; cos

1 1

dtx arcrtgt dx

tx t

x x

t t

π π

= ⇒ = +− < < ⇒ = = + +

i

i)

� Ví dụ 11 Tính sin

dxI

x=∫

Giải ¤ Cách 1 Dùng phương pháp biến ñổi biểu thức dưới dấu tích phân:

2 2

sin (cos ) (cos )

sin (1 cos )(1 cos )sin (1 cos )

dx xdx d x d x

x x xx x= = − = −

− +−∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 (1 cos ) (1 cos )(cos )

2 1 cos 1 cos 2 (1 cos ) (1 cos )

d x d xd x

x x x x

− + = − + =− − + − + − + ∫ ∫ ∫

( )2

2

2 sin1 cos1 1 1 2ln 1 cos ln 1 cos ln ln2 2 1 cos 2

2 cos2

xx

x x C C Cx x

−= − − + + = + = +

+

2

sin sin1 22 2ln ln ln .2 2 2

cos cos2 2

x xx

C C tg Cx x

= + = + = +

¤ Cách 2 Dùng phép thế “vạn năng”:

Đặt: 2

2 2

2

2sin ;

2 21 :2 sin 1 12 ;

1

2

tx

dx dt tt Idt x t tx arctgt dxt

xt tg dt

=+⇒ = =

+ += =+

= ⇒

∫ ∫i

i

2

2

(1 )t=

+

2(1 )t+× ln ln .

2 2

dt xdt t C tg C

t t

= = + = + ∫ ∫

¤ Cách 3 Khi ta thay sin x bởi sin x− vào biểu thức dưới dấu tích phân thì

1 1

( sin ) sinx x=−

− nên chúng ta ñặt:

2

2

arccos ,1cos

sin 1

dtx t dx

tt x

x t

= = − −= ⇒ = −

i

i

2

2 2 2: 1

sin 1 1 . 1

dx dt dtI t

x t t t

⇒ = = − − = − − − − ∫ ∫ ∫

59

( )22

2

1 1 1

2 1 111

dt dtdt

t ttt

= − = − = − + − + − −∫ ∫ ∫

( )(1 ) (1 )1 1ln 1 ln 1

2 (1 ) (1 ) 2

d t d tt t C

t t

+ − = − − = − + − − + + + ∫ ∫

2

2

2 sin1 1 cos1 1 1 2ln ln ln2 1 2 1 cos 2

2 cos2

xt x

C C Ct x x

− −= + = + = +

+ +

2

sin sin1 22 2ln ln ln .2 2 2

cos cos2 2

x xx

C C tg Cx x

= + = + = +

¤ Cách 4 Biến ñổi biểu thức dưới dấu tích phân ta có:

2.

sin2 sin cos sin cos

2 2 2 2

xd

dx dx

x x x x x

= =∫ ∫ ∫ Đặt:

2 sin cos

x duu tg I

u u= ⇒ =∫

Khi ta thay sinu bởi sinu− và thay cosu bởi cosu− vào biểu thức dưới dấu tích

phân: 1 1

( sin )( cos ) sin cosu u u u=

− − nên chúng ta ñặt:

2

22 2

2 2

11 1sin ; cos (1 ) .

1 1 1 1

dtu arcrtgt du

t dtt tgu It tu u t

t t t t

= ⇒ = += ⇒ ⇒ = = = + + + + +

∫i

i

ln ln .2

dt xt C tg C

t= = + = +∫

� Ví dụ 12

Tính tích phân 3 sin 4 cos

dxI

x x=

+∫

Giải Hàm số dưới dấu tích phân không thoả mãn ñiều kiện nào trong ba trường hợp cuối .

Do ñó chúng ta có thể dùng phép thế vạn năng, bằng cách ñặt :

,2

xt tg= (với xπ π− < < )

2

2 2

2

2 1sin ; cos

1 12

2 ;1

t tx x

t tdt

x arctgt dxt

− = = + +⇒ = = +

i

i

60

22 2

2 2

22

6 4(1 )(1 ) (1 )

1 1

dt dtI

t tt t

t t

⇒ = = − + + + + +

∫2

2

4 6 4

(1 )

t t

t

− + +

+

∫

2 2

12

2 12.(2 3 2) 2 3 2(2 )

2

dt dt dt

t t t tt t

= − = = − − − + + − +

∫ ∫ ∫

( )( )

1 1221 2 1 1 1 2. ln

2 5 2 1 5 21 22 2

d t td tdt C

t ttt t

+ + − = + = − = + − −− + +

∫ ∫ ∫

11 2 2ln .5

22

xtg

Cx

tg

+= +

−

§2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

2.1 Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hàm số ( )y f x= liên tục và dương trên ñoạn [ , ]a b , có ñồ thị như hình 1 . Hình

phẳng giới hạn bởi các ñường ( ), ,y f x x a x b= = = và trục Ox gọi là hình thang cong.

Ta hãy ñịnh nghĩa và tính diện tích hình thang cong ñó. Trước hết chia tùy ý ñoạn

[ , ]a b thành n phần bằng các ñiểm chia : 1 2 1o n n

a x x x x x b−= < < < < < =… .

Tương ứng hình thang cong cũng ñược chia thành nhiều phần bởi các ñường thẳng

ix x= . Ký hiệu

ix∆ ñồng thời vừa là ñoạn thẳng

1,

i ix x− : 1

,i i ix x x−

∆ =

( 1,i n= ) vừa là ñộ dài của nó 1( 0)

i i ix x x −∆ = − > . Trên

ix∆ chọn ñiểm tùy ý

iξ .

61

Nếu ix∆ khá bé có thể xem diện tích phần hình thang cong nằm trong dải giữa

1ix − và

ix gần ñúng bằng diện tích hình chữ nhật có các cạnh là

ix∆ và ( ): ( )

i i i if S f xξ ξ≈ ∆ .

Do ñó diện tích hình thang cong ABCD có thể xem gần ñúng bằng tổng diện tích của tất

cả các hình chữ nhật tương ứng: 1

( )n

i ii

S f xξ=

= ∆∑ (hợp các hình chữ nhật ñó lập

thành có diện tích gần bằng diên tích hình thang cong). Dễ thấy rằng sai số của ñẳng thức

gần ñúng ñó sẽ giảm vô hạn khi tất cả các ñoạn ix∆ tiến tới 0. Do ñó ñương nhiên ta sẽ

coi giới hạn của tổng trong vế phải (nếu có) là giá trị ñúng của diện tích hình thang cong

ñang xét.

Trong thực tế có rất nhiều bài toán dẫn tới việc nghiên cứu giới hạn của tổng trên. Tùy

theo ý nghĩa của hàm số ( )f x mà giới hạn ñó biểu thị của một ñại lượng cụ thể: diện tích,

thể tích, khối lượng, … Vì thế sẽ không uổng công khi ta nghiên cứu thật kỹ giới

hạn ñó một cách tổng quát, tách hàm số ( )f x ra khỏi mọi ý nghĩa hình học, vật lý, cơ

học,…của nó.

2.2 Định nghĩa tích phân xác ñịnh 2.2.1 Phân hoạch, tổng tích phân, ñường kính của phân hoạch… Cho hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên ñoạn [ , ]a b . Chia tùy ý ñoạn này thành n phần bằng

các ñiểm chia (gọi là phân hoạch): 1 2 1o n n

a x x x x x b−= < < < < < =… .Ta ký hiệu

( 1, )ix i n∆ = ñồng thời vừa là ñoạn

1,

i ix x− vừa là ñộ dài của ñoạn thẳng ñó. Trên

mỗi ñoạn ix∆ ta lấy một ñiểm tùy ý

iξ rồi lập tổng (gọi là tổng tích phân):

1

( )n

i ii

f xσ ξ=

= ∆∑ . Rõ ràng tổng này phụ thuộc vào phép chia ñoạn [ , ]a b và cách chọn các

ñiểm iξ . Độ dài lớn nhất của các ñoạn ( 1, 2, 3,..., )

ix i n∆ = (ký hiệu làλ ) ñược gọi là

ñường kính của phân hoạch. Để cho ñộ dài của tất cả các ñoạn ix∆ tiến tới 0 chỉ cần

0λ → . Khi ñó giới hạn của tổng tích phân khi 0λ → : σ0

limIλ→

= có nghĩa là : Với

mọi 0ε > , tìm ñược 0δ > sao cho chỉ cần λ δ< (tức là mọi phân hoạch có ñường kính

nhỏ hơn δ ), bất ñẳng thức: Iσ ε− < ñược thỏa mãn với bất kỳ cách chọn các ñiểm iξ .

♦ Định nghĩa 3

Giới hạn I của tổng tích phân 1

( )n

i ii

f xσ ξ=

= ∆∑ khi 0λ → (nếu có) , ñược gọi là tích

phân xác ñịnh hoặc tích phân Riơman (Riemann) - của hàm số ( )f x trên ñoạn[ , ]a b và ký

hiệu: 0

1

( ) lim ( )

nb

i iia

I f x dx f xλ

ξ→ =

= = ∆∑∫ . Khi ñó, ta nói hàm số ( )f x khả tích (có tích

phân) trên [ , ]a b , a và b gọi là cận dưới và cận trên của tích phân.

Qua hai mục trên, ta rút ra ý nghĩa hình học của tích phân xác ñịnh là: giá trị của tích

phân chính là số ño diện tích của hình thang cong ñã nói.

62

▼ Chú ý 5

1) Có một sự khác biệt rất lớn giữa tích phân xác ñịnh và tích phân không xác ñịnh.

Trước hết là vì hai khái niệm này ñược ñịnh nghĩa khác nhau. Sau ñó ta nhận thấy: tích

phân xác ñịnh là một số, trong khi tích phân không xác ñịnh là một họ hàm số.

2) Vì tích phân xác ñịnh là một số, nên không còn phụ thuộc biến số dưới dấu tích phân.

Do ñó ta có thể thay ký hiệu biến số dưới dấu tích phân bằng bất kỳ chữ nào:

( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x dx f t dt f u du= = =∫ ∫ ∫ …

3) Theo ñịnh nghĩa, giới hạnI không phụ thuộc cách chia ñoạn [ , ]a b và cách chọn các

ñiểm iξ . Do ñó, nếu ñã biết hàm số ( )f x khả tích (tức là có giới hạn I thì ñể tính tích

phân bằng ñịnh nghĩa, ta có thể tùy ý lấy một cách chia và một cách chọn cụ thể nào ñó

cho thích hợp (dễ tính tổng tích phân). Thông thường là chia ñều ñoạn [ , ]a b . Cách

chia ñó gọi là phân hoạch ñều, trong ñó : i

b ax x

n

−∆ = ∆ = với mọi .i

2.3 Những tính chất cơ bản của tích phân xác ñịnh Định nghĩa tích phân ñã nêu ra ở trên ứng với ñoạn [ , ]a b theo nghĩa thông thường :

.a b< Để hoàn chỉnh, ta phải mở rộng ñịnh nghĩa tích phân cho các trường hợp a b≥ .


i ( ) 0

a

a

f x dx =∫

i ( ) ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx b a= − <∫ ∫ . (Với giả thiết ( )b

a

f x dx∫ tồn tại)

Trong cả ba trường hợp, nếu tích phân tồn tại, ta ñều nói hàm số khả tích. Các tính chất

dưới ñây là phát biểu cho cả ba trường hợp (khi ñó ta phải hiểu ñoạn[ , ]a b theo nghĩa rộng,

tức là có thể )a b≥ , nếu không chỉ rõ quan hệ giữa a và b .

¤ Tính chất 1 Nếu c là một hằng số thì ( )b

a

cdx c b a= −∫

¤ Tính chất 2 (Hệ thức Salơ cho tích phân)

Cho ba số , ,a b c bất kỳ. Hàm số ( )f x khả tích trên ñoạn lớn nhất trong ba ñoạn

[ , ]; [ , ],[ , ]a b a c b c thì khả tích trên hai ñoạn kia và ( ) ( ) ( )

b b

a a

c

c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .

¤ Tính chất 3

Nếu ( )f x và ( )g x khả tích trên [ , ]a b thì ( ) ( )Af x Bg x+ cũng khả tích trên [ , ]a b ,

và ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

Af x Bg x dx A f x dx B g x dx + = + ∫ ∫ ∫ (với A và B là hai số bất kỳ)

¤ Tính chất 4

Nếu trên ñoạn [ , ]a b , trong ñó ,a b≤ hàm số ( )f x khả tích và không âm thì ( ) 0

b

a

f x dx ≥∫

63

.

Hệ quả 1 Nếu các hàm số ( )& ( )f x g x cùng khả tích trên [a, b], a b≤ và trên ñó ( ) ( )f x g x≤

( ) ( )

b b

a a

f x dx g x dx≤∫ ∫ .

Hệ quả 2 Nếu ( )f x khả tích trên [ , ],a b a b≤ và trên ñó ( )m f x M≤ ≤ thì

( ) ( ) ( )b

a

m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫

¤ Tính chất 5 Nếu ( )f x khả tích trên [ , ],a b a b≤ thì ( )f x cũng khả tích trên ñoạn này

và: ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx≤∫ ∫

▼ Chú ý 6 Với ,a b bất kỳ, ta có: ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx≤∫ ∫

¤ Tính chất 6 (Định lý về giá trị trung bình)

Nếu trên [ , ],a b hàm số ( )f x khả tích và ( )m f x M≤ ≤ thì có một số , m Mµ µ≤ ≤

sao cho: ( ) ( )

b

a

f x dx b aµ= −∫

Hệ quả 3 Nếu ( )f x liên tục trên [ , ],a b thì tồn tại ít nhất một ñiểm ( , )c a b∈ sao cho

( ) ( )( ).

b

a

f x dx f c b a= −∫

2.4 Mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm. Công thức Niutơn – Laibnit Ta ñã lưu ý rằng, ñịnh nghĩa của tích phân xác ñịnh và nguyên hàm có vẻ như không có

gì liên quan với nhau. Nhưng ñịnh lý Niutơn – Laibnit dưới ñây lại cho ta mối quan

hệ chặt chẽ giữa tích phân xác ñịnh và nguyên hàm:

� Định lý 3

Giả sử ( )f x là một hàm số liên tục và có một nguyên hàm ( )F x trên [ , ]a b . Khi ñó:

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a= −∫

2.5 Các phương pháp tính tích phân xác ñịnh � Định lý 4:

Nếu : [ , ] ( ( ))J t tϕ α β ϕ→ ֏ là một hàm số có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [ , ]α β và

: ( ( ))f J x f x→ℝ ֏ là một hàm số liên tục trên khoảng J trong ℝ , khi ñó:

( )

( )

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx f t t dt

ϕ β

ϕ α

ϕ ϕ ′= ∫ ∫

64

� Ví dụ 13

Tính tích phân:

2

4

2

9

cos.

xI dx

x

π

π

= ∫

Giải

Đặt:

22

3

, 2 2 cos

cos cos ,3 2

x u dx udu u uu x I du

ux u u

π

π

π π

= == ⇒ ⇒ = = ≤ ≤∫

2

3

2

3

32 cos 2 sin 2. sin sin 2 1 2 3.

2 3 2udu u

π

π

π

π

π π = = = − = − = − ∫

� Ví dụ 14 Tính tích phân: 2

0

sin

1 cos

x xI dx

x

π

=+

∫

Giải

Đặt: 2 2

; sin sin

1 cos 1 cos

0 & 0.

dx dt x t

x t x t

Khi x t khi x t

π

π π

= − == − ⇒ + = + = ⇒ = = ⇒ =

i

i

i

0

2 2 20 0

( )sin sin sin

1 cos 1 cos 1 cos

t t t t tI dt dt dt

t t t

π π

π

ππ

−⇒ = − = −

+ + +∫ ∫ ∫

2 2 20 0 0

sin sin sin

1 cos 1 cos 1 cos

t x x tI dt dx dt I

t x t

π π π

π π⇒ = − = −+ + +

∫ ∫ ∫

2 00 0

sin(arctan(cos )) arctan(cos )

2 2 21 cos

tI dt d t t

t

π πππ π π ⇒ = = − = − +

∫ ∫

( ) ( )arctan(cos ) arctan(cos 0) arctan( 1) arctan(1)2 2

π ππ= − − =− − −

2

2 4 4 4

π π π π = − − − =

⋇ Phương pháp tích phân từng phần

Nếu ( )u x và ( )v x là các hàm số có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [ , ]a b thì:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b b bb b

a aa a a a

u x v x dx u x v x u x v x dx hay udv uv vdu

′ ′ = − = − ∫ ∫ ∫ ∫

65

� Ví dụ 15

13 2

0

.xI x e dx=∫

Đặt :

( )

3 23

2 2 2

3

1 1

2 2

x x x

u x du x dxu x

dv e dx dv d e v e

= = = ⇔ ⇒ = = =

1 13 2 2 2

0 0

.1 3

2 2x xI x e x e dx= − ∫ Đặt:

( )

22

1

2 2

1

11

21 1

1

2

2

1

2x x x

u xu x

dv e dx dv d e

du xdx

v e

==⇔

= =

= ⇒ =

1 1 13 2 2 2 2

0 0 0

1 3 1.

2 2 2x x xx e x e xe dx

= − − ∫ Đặt tiếp: ( )

2

2

2 2

22 2

xx

dv

u xu x

dv e dxd e

==

⇔=

=

1 1 112

3 2 2 2 2 2

2 00 02 0

1 3 3 1 1(2 )1

2 4 2 2 42

x x x x

x

du dx

I x e x e xe e d xv e

= ⇒ ⇒ = − + − = ∫

1 11 1

3 2 2 2 2 2

0 00 0

1 3 3 3(2 )

2 4 4 8x x x xx e x e xe e d x= − + − ∫

11 1 1

3 2 2 2 2 2

0 0 00

1 3 3 3

2 4 4 8x x x xx e x e xe e

= − + −

2 21 3

2 4e e= − 23

4e+

22 2 23 1 3 3 3

( 1) .8 2 8 8 8

ee e e

+− − = − + =

§ 3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

3.1 Tích phân suy rộng loại 1, loại 2 3.1.1 Đặt vấn ñề Định nghĩa tích phân xác ñịnh chỉ ñịnh nghĩa giới hạn trong phạm vi ñoạn [ , ]a b là hữu

hạn và hàm số ( )f x bị chặn trên ñoạn ñó. Nhưng trong thực tế ta gặp rất nhiều bài toán

mà các ñiều kiện trên không ñược thỏa mãn. Do ñó cần mở rộng ñịnh nghĩa tích phân xác

ñịnh ra ngoài phạm vi trên.

3.1.2 Tích phân suy rộng cho các cận vô hạn (Tích phân suy rộng loại 1)

♦Định nghĩa 5

1) Giả sử ( )f x xác ñịnh trên [ , )a +∞ và khả tích trên ñoạn[ , ]a n bất kỳ. Nếu ( )

n

a

f x dx∫

có giới hạn (hữu hạn) khi n → +∞ thì ta gọi giới hạn ñó là tích phân suy rộng (loại1)

và ký hiệu: ( ) lim ( )n

na a

f x dx f x dx

+∞

→+∞=∫ ∫ (1)

i Khi ñó ta cũng nói tích phân trên hội tụ và ( )f x khả tích trên [ , )a +∞ . Trong

trường hợp giới hạn trên không tồn tại hoặc bằng ∞ thì ta nói tích phân

66

( )

a

f x dx

+∞

∫ - phân kỳ.

2) Tương tự , tích phân trên ( , ]b−∞ , ( ) lim ( )

b b

mm

f x dx f x dx→−∞

−∞

=∫ ∫ (2)

3) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

a a n

m na m a

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

+∞ +∞

→−∞ →+∞−∞ −∞

= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (3)

▼ Chú ý 7 Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên [ , ).a +∞ Xuất phát từ ñẳng thức :

( ) ( ) ( ) ( )

nn

aa

f x dx F x F n F a= = −∫ . Rõ ràng tích phân (1) hội tụ khi và chỉ khi

tồn tại lim ( )n

F n→+∞

mà ta ký hiệu là: F(+∞) = lim ( ).n

F n→+∞

i Tích phân (1) có thể viết : ( ) ( ) ( ) ( )a

a

f x dx F F a F x

+∞+∞

= +∞ − =∫

i Tích phân (2) có thể viết: ( ) ( ) ( ) ( )

aa

f x dx F a F F x−∞

−∞

= − −∞ =∫

i Tích phân (3) có thể viết: ( ) ( ) ( ) ( )f x dx F F F x

+∞+∞

−∞−∞

= +∞ − −∞ =∫

� Ví dụ 16 Tính các tích phân suy rộng sau:

2 00

1. lim ( ) (0) 02 21

n

n

dxarctg x arctg arctg

x

π π+∞

→+∞

= = +∞ − = − = +∫

00

22. lim (0) ( ) 0

2 21 mm

dxarctg x arctg arctg

x

π π

→−∞−∞

= = − −∞ = − − = +∫

0

2 2 20

3. .2 21 1 1

dx dx dx

x x x

π ππ

+∞ +∞

−∞ −∞

= + = + =+ + +∫ ∫ ∫

� Ví dụ 17 Xét tính hội tụ của tích phân: ( 0, ).

a

dxI a

xλλ

+∞

= > ∈∫ ℝ

Giải

1

lim lim lim1

nn n

n n na a a a

dx dx xI x dx

x x

λλ

λ λ λ

+∞ −−

→+∞ →+∞ →+∞

= = = = − ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 111

lim lim lim .1 1 1 1 1 1n n n

n a a n an

λ λ λ λ λλ

λ λ λ λ λ λ

− − − − −−

→+∞ →+∞ →+∞

= − = − = − − − − − − −

Xét hai trường hợp:

67

• Nếu 1

111 1 0 1 0 lim

1 1 n

aI n

λλλ λ λ

λ λ

−−

→+∞> ⇒ − > ⇒ − < ⇒ = −

− −

1 1

1

1 1lim

1 1 1n

a a

n

λ λ

λλ λ λ

− −

−→+∞= − =

− − −(hữu hạn)

a

dxI

xλ

+∞

⇒ = ∫ - Hội tụ.

• Nếu 1

111 1 0 1 0 lim

1 1 n

aI n

λλλ λ λ

λ λ

−−

→+∞< ⇒ − < ⇒ − > ⇒ = −

− −

1 1

1 1 1a

a a dxI

x

λ λ

λλ λ λ

+∞− −+∞= − = −∞ = −∞ ⇒ =

− − − ∫ - Phân kỳ.

• Nếu 1λ= thì ( )lim lim ln lim ln ln

nn

an n naa

dxx n a

x

dxI

x →+∞ →+∞ →+∞

+∞

= = − = = ∫∫

( ) ln

a

adx

Ixλ

+∞

= +∞ − =+ ∞ ⇒ = ∫ - Phân kỳ.

3.1.3 Sự hội tụ của tích phân với hàm số dương a) Đặt vấn ñề

Nếu ( ) 0 ( ) ( ) (4)

n

a

f x thì n f x dx≥ Φ = ∫ là hàm ñơn ñiệu tăng của n . Vấn ñề hội tụ của

tích phân ( )

n

a

f x dx∫ quy về sự tồn tại giới hạn của hàm số tăng ( )n khi nΦ →+∞ .

b) Điều kiện hội tụ Cho hàm số ( ) 0f x ≥ . Điều kiện cần và ñủ ñể tích phân

( ) ( ) lim ( )

n

na a

n f x dx f x dx

+∞

→+∞Φ = =∫ ∫ hội tụ là ( )nΦ bị chặn trên với mọi n

( )

a

f x dx L

+∞

≤∫ (nếu không tích phân phân kỳ ra vô hạn).

c) Các dấu hiệu so sánh Dấu hiệu so sánh 1

� Định lý 5 Giả sử 0 ( ) ( ) ( [ , )).f x g x x a≤ ≤ ∀ ∈ +∞ Khi ñó:

a) Nếu tích phân ( )

a

g x dx

+∞

∫ - hội tụ ⇒ tích phân ( )

a

f x dx

+∞

∫ cũng hội tụ.

b) Nếu tích phân ( )

a

f x dx

+∞

∫ - phân kỳ ⇒ tích phân ( )

a

g x dx

+∞

∫ cũng phân kỳ.

� Ví dụ 18

Xét tính hội tụ của tích phân: 2

1 (1 )xdx

x e

+∞

+∫

Giải

68

2 2

1 1[1, ) .

(1 )xx thì

x e x∀ ∈ +∞ <

+Do tích phân

21

1dx

x

+∞

−∫ hội tụ, nên tích phân

21 (1 )x

dx

x e

+∞

+∫ cũng hội tụ.

� Ví dụ 19 Xét tính hội tụ của tích phân

1

,( 1)( 2)

dx

x x x

+∞

+ +∫ (Đáp số: Hội tụ)

� Ví dụ 20 Xét tính hội tụ của tích phân 3

1

( 1)x dx

x

+∞ +∫

Giải

Ta thấy: 3 3

1 1 1[1; ) .

x xx thì

xxx x

+∀ ∈ +∞ > = ≥ Vì tích phân

1

dx

x

+∞

∫ - phân kỳ

nên tích phân cũng3

1

( 1)x dx

x

+∞ +∫ - phân kỳ.

Dấu hiệu so sánh 2

� Định lý 6

Giả sử ( ) 0, ( ) 0, [ , )f x g x x a> > ∀ ∈ +∞ và ( )

lim .( )x

f xk

g x→+ ∞∃ = Khi ñó:

a) Nếu 0k = và tích phân ( )

a

g x dx

+∞

−∫ hội tụ ⇒ tích phân ( )

a

f x dx

+∞

∫ cũng hội tụ.

b) Nếu 0 k< <+∞ ⇒hai tích phân: ( )

a

f x dx

+∞

∫ và ( )

a

g x dx

+∞

∫ cùng HT hoặc cùng PK.

c) Nếu k = +∞ và ( )

a

g x dx

+∞

−∫ phân kỳ ⇒ thì tích phân ( )

a

f x dx

+∞

∫ cũng phân kỳ.

� Ví dụ 21

Xét tính hội tụ của tích phân: 3 2

1 2 1 5

dx

x x

+∞

+ + +∫ .

Giải

Xét: 3 23 2

lim

2 1 5

1 1lim :

2 1 5 xx

x

x xxx x→+∞→+∞ + + +

= + + +

3 23

3

1 1lim lim 0.

21 1 52 1 5 2x x

x

x x

x xx

→+∞ →+∞= >

+ + + + + +

= =

69

Vì 1

02

< <+∞ ⇒ cả hai tích phân 1

dx

x

+∞

∫ và3 2

1 2 1 5

dx

x x

+∞

+ + +∫ cùng hội

hoặc cùng phân kỳ. Nhưng tích phân

1

dx

x

+∞

∫ - phân kỳ ⇒ tích

phân3 2

1 2 1 5

dx

x x

+∞

+ + +∫ cũng phân kỳ.

� Ví dụ 22 Xét tính hội tụ của tích phân: 1 ( 1)( 2)

dx

x x x

+∞

+ +∫ .

Giải

1[1; ) 0

( 1)( 2)x thì

x x x∀ ∈ +∞ >

+ +và

32

10

x

> và 32

1 1lim :

( 1)( 2)x x x x x→+∞

+ +

32

32

3 2 3 2 3 2

3

1 1 1lim : lim lim

3 2 3 2 3 2x x x

x

x x x x x x x x xx

x

→+∞ →+∞ →+∞

= = = + + + + + +

2

1 1lim 1

3 2 1 0 01

x

x x

→+∞= = =

+ ++ +

mà 0 1< <+∞ ⇒ cả hai tích phân:

321

dx

x

+∞

∫ ,

1 ( 1)( 2)

dx

x x x

+∞

+ +∫ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ nhưng tích phân

321

dx

x

+∞

∫

hội tụ (vì 3

1)2

α = > ⇒ tích phân

1 ( 1)( 2)

dx

x x x

+∞

+ +∫ cũng hội tụ.

▼ Chú ý 8

Để nghiên cứu tính hội tụ của tích phân ( )

a

f x dx

+∞

∫ ta có thể so sánh nó với một tích phân

mà ta biết rõ tính hội tụ (hoặc phân kỳ) của nó, chẳng hạn

a

dx

xλ

+∞

∫ . Lúc ñó ta có:

Khii 1λ > thì tích phân

a

dx

xλ

+∞

∫ - Hội tụ.

Khii 1λ ≤ thì tích phân

a

dx

xλ

+∞

∫ - Phân kỳ.

� Định lý 7

70

Nếu tích phân ( )

a

f x dx

+∞

∫ hội tụ thì tích phân ( )

a

f x dx

+∞

∫ hội tụ. (Trong trường hợp

này ta nói tích phân ( )

a

f x dx

+∞

∫ hội tụ tuyệt ñối )

�Ví dụ 23 Xét sự hội tụ của tích phân I = 3

1

sin xdx

x

+∞

∫

Giải

Ở ñây hàm dưới dấu tích phân có dấu thay ñổi. Ta có : 3 3 3

sinsin 1xx

x x x≤ ≤ .

Vì tích phân 3

1

dx

x

+∞

∫ - hội tụ ⇒ tích phân 3

1

sin xI dx

x

+∞

= ∫ - hội tụ tuyệt ñối.

3.2 Tích phân của hàm dưới dấu tích phân gián ñoạn (tích phân suy rộng loại 2) Cho hàm số xác ñịnh và liên tục với mọi [ , )x a b∈ hàm này không xác ñịnh tạix b= ,

(tức là hàm bị gián ñoạn tại b ). Ta không thể phát biểu ñịnh nghĩa tích phân ( )

b

a

f x dx∫

như là giới hạn của tổng tích phân, vì ( )f x không liên tục trên ñoạn [ , ]a b , giới hạn ñó có

thể không tồn tại. Ta ñưa vào ñịnh nghĩa tích phân suy rộng ( )b

a

f x dx∫

của hàm ( )f x gián ñoạn tại ñiểm b như sau :


a) Nếu hàm số ( )f x không liên tục trái tại x b= thì ( ) lim ( )b n

n ba a

f x dx f x dx−→

=∫ ∫

Tích phân này ñược gọi là hội tụ khi giới hạn ở vế phải tồn tại. Nếu giới hạn ñó không

tồn tại hoặc bằng ∞ thì tích phân ( )b

a

f x dx∫ gọi là phân kỳ.

b) Nếu hàm số ( )f x không liên tục phải tạix a= thì ( ) lim ( )

b b

m aa m

f x dx f x dx+→

=∫ ∫ .

c) Nếu ( )f x bị gián ñoạn tại ñiểm x c= màa c b< < thì :

( ) lim ( ) lim ( )b n b

n c m ca a m

f x dx f x dx f x dx− +→ →

= +∫ ∫ ∫ (⊗ )

i Tích phân suy rộng ( )

b

a

f x dx∫ (trong ñó ( ) ,f c = ∞ với a c b< < ) ñược gọi là hội

71

tụ nếu tồn tại hai giới hạn ở vế phải của ñẳng thức (⊗ ). Nếu không tồn tại dù chỉ một

trong các giới hạn ñó thì tích phân suy rộng ( )

b

a

f x dx∫ gọi là phân kỳ.

� Ví dụ 24 Tính tích phân

1

21

dx

x−∫

Giải Hàm dưới dấu tích phân bị gián ñoạn tại x = 0, ta tách tích phân làm hai:

11 1

2 2 20 0 00 11 1

1 1lim lim lim lim

mm

n m nm nn

dx dx dx

x xx x x− + − +→ → →→ −− −

= + = − −∫ ∫ ∫

0 0

1 1 1 1lim lim ( 1) (1 )

1 1m nm n− +→ →

= − − − − = − −∞ + − −∞ = +∞ −

⇒ tích phân

1

21

dx

x−∫ - phân kỳ.

▼ Chú ý 9

Để xác ñịnh sự hội tụ hoặc phân kỳ của tích phân hàm gián ñoạn, ta có các ñịnh lý và hệ

quả tương tự như tích phân với các cận vô hạn.

� Định lý 8

Với mọi [ , ), 0 ( ) ( )x a b f x g x∈ ≤ ≤ nếu ( )f x và ( )g x gián ñoạn tại ñiểm b và tích phân

( )

b

a

g x dx∫ hội tụ thì tích phân ( )

b

a

f x dx∫ cũng hội tụ.

� Định lý 9 Với mọi [ , ), 0 ( ) ( )x a b f x g x∈ ≤ ≤ nếu ( )f x và ( )g x gián ñoạn tại ñiểm b và tích

phân ( )

b

a

f x dx∫ phân kỳ thì tích phân ( )

b

a

g x dx∫ cũng phân kỳ.

� Định lý 10

Nếu hàm số ( )f x có dấu thay ñổi trong ñoạn[ , ]a b và gián ñoạn tại ñiểm [ , ]c a b∈ , nếu

tích phân ( )

b

a

f x dx∫ hội tụ thì tích phân ( )

b

a

f x dx∫ cũng hội tụ.

�

72

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

BÀI

ĐỀ RA ĐÁP SỐ

Tính các tích phân sau bằng phương pháp ñổi biến số

3.1 2 2

dx

x x −∫

2

1 2arcsin

2

1 2( )

2 2

Cx

xhay arctg C

− +

−+

3.2 1x

dx

e +∫ ln( 1)xe C−− + +

3.3 2 3

dx

x x +∫ 1 2 3 3

ln3 2 3 3

xC

x

+ −+

+ +

3.4 3sin

cos

xdx

x∫ 52

cos 2 cos5

x x−

3.5

3

2

(arcsin )

1

xdx

x−∫

4arcsin

4

xC+

3.6

2

1

x

x

edx

e +∫ 2

1( 2)3

x xe e C+ − +

3.7

2

21

x dx

x−∫ 21

(arcsin 1 )2

x x x C− − +

3.8 2

2

1xdx

x

+∫ (Đặt tanx t= )

-1 1 sin

lnsin 1 sin

tC

t t

++ +

−

3.9

3

22

x dx

x−∫

322

2(2 )2 2

3

xx C

−− − +

3.10 2 2 2( )

dx

x a+∫ (Đặt tanx a t= )

2 2 2

1 1

2

x xarctg C

a aa x a

+ + +

Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau

3.11 2( 2 5). xx x e dx−− +∫ 2( 5)xe x C−− + +

3.12 2( 5 6)cos 2x x xdx+ +∫

22 10 11 2 5sin2 cos2

4 4

x x xx x C

+ + ++ +

73

3.13 2ln x dx∫ 2ln 2 ln 2x x x x x C− + +

3.14 2(3 6 5)x x arctgxdx+ +∫

3 2 21( 3 5 3) ( 3)

2x x x arctgx x+ + + − + −

22 ln(1 ) .x C− + +

3.15 3 cosx x dx∫ 2

3 (sin cos ln 3)

1 (ln 3)

x x x+

+

3.16 sin(ln )x dx∫ (sin(ln ) cos(ln ))2

xx x C− +

Tính tích phân các hàm số hữu tỷ

3.17 ( 1)( 2)( 3)

dx

x x x− + +∫ 3

4

1 ( 1)( 3)ln

12 ( 2)

x xC

x

− ++

+

3.18 2

2

5 9

5 6

x xdx

x x

− +

− +∫ x + 3ln 3x − -3ln 2x − + C

3.19

2

3

1

( 1) ( 3)

xdx

x x

+

− +∫

2

1 3 5 1ln

8( 1) 32 34( 1)

xC

x xx

−− − + +

− +−

3.20

2

3 2

2 6

7 14 8

x xdx

x x x

+ +

− + −∫

3 ln 1 7 ln 2 5 ln 4x x x C− − − + − +

3.21 3 1

dx

x +∫

2

2

1 ( 1) 1 2 1ln

6 1 3 3

x xarctg C

x x

+ −+ +

− +

3.22*

4 1

dx

x +∫

2

22

2 1 21 2ln

4 14 2 2 1

x x xarctg C

xx x

+ ++ +

−− +

(biết: arctan arctan arctan1

x yx y

xy

++ =

−)

Lập các công thức quy nạp ñể tính tích phân

3.23 10

. ính .n x

nI x e dx T I−= ∫

1n x

n nI x e n I−

−= − +

10 910

( 10 ...xI e x x−= − + +

10.9.8...2x+ + 10.9...1) .C+

3.24

3 4. , .

cosn n

dxI Tính I I

x= ∫ 2 2

1 2. ( 1)

1 1cos cosn n n

tgx n dxI n

n nx x− −

− = + > − − ∫

Đs: 3 42 3

sin 1 sin 2ln &

2 2 4 32 cos 3 cos

x x xI tg C I tgx C

x x

π= + + + = + +

74

3.25 n

nI tg x dx= ∫

12 ( 1)

1

nn

n

tg xI tg x dx n

n

−−= − >

− ∫

3.26

1 24 5

1 1cos . , ; cos sin cosn n n

n n

nI x dx Tính I I I x x x dx

n n

− − − = = + ∫ ∫

Đs: i 34

1 3cos sin ( sin cos )

4 8I x x x x x C= + + +

i 4 3

5

1 4 4sin cos sin sin

5 5 15I x x x x C= + − +

3.27

n

n

uI du

au b=

+∫ .

12.

(2 )

nn

n

uI u au b nb du

a n au b

− = + − + + ∫1

Tính tích phân các hàm số vô tỉ

3.28

3 62

3(1 )

x x xdx

x x

+ +

+∫

263

36

2x arctg x C+ +

3.29 1

1

xdx

x

−+∫

1 1 1ln 2

11 1

x x xarctg C

xx x

+ − − ++ +

−+ + −

3.30 2

1.

1

x dx

x x

−+∫

1 1 1ln

1 1

x x xC

xx x

+ + − +− +

+ − −

3.31* 3

1

1

xdx

x

+−∫

2

2 3

1 1 2 2 1 2ln

3 ( 1) 13 3

t t t tarctg C

t t

+ + ++ + +

− −

3.32

2( 1) 3 2

dx

x x x− − +∫

22.

1

xC

x

−+

−

3.33 2 2 2x x dx− +∫

2 21 12 2 ln 1 2 2

2 2

xx x x x x C

−− + + − + − + +

Tính các tích phân của các hàm số lượng giác

3.34 2 4sin cos

dx

x x∫

3

2 cot3

tg xtgx gx C+ − +

3.35 sin sin2 sin 3x x x dx∫

1 1 1cos 6 cos 4 cos2

24 16 8x x x C− − +

75

3.36 3 5 cos

dx

x+∫ 2

1 2ln4

22

xtg

Cx

tg

++

−

3.37 2

sin 2

1 sin

xdx

x+∫ 2ln(1 sin )x C+ +

3.38 3

sin

(1 cos )

xdx

x−∫

2

1

2(1 cos )C

x− +

−

3.39 2 2cos 3x x dx∫

231 1

sin 6 cos 6 sin 66 2 6 36

x xx x x x C + + − +

3.40 cosxx e x dx∫ (sin cos ) sin2

xex x x x C + − +

3.41 2 sin( )x xe e dx∫ sin cosx x xe e e C− +

Tính các tích phân xác ñịnh sau

3.42

2 2

2 31

3

2

t tdt

t t

+

+∫ 20 3−

3.43

2

3 2

0

1 4x x dx+∫ 149

60

3.44

23

23

29

3

( 2)

( 2) 3

xdx

x

−

− +∫

98

2 3π+

3.45

ln 5

0

1

3

x x

x

e edx

e

−

+∫ 4 π−

3.46 2 2 2

0

a

x a x dx−∫ 4

16

aπ

3.47

13 2

0

xx e dx∫ 2 3

8

e +

3.48

0

sinxe x dx

π

∫ 1( 1)

2eπ +

3.49 3

1

lne

x dx∫ 6 2e−

3.50

4

1

1arctg x dx−∫ 4

33π−

76

3.51

2

1

sin( ln )x dx∫ 1

sin(ln2) cos(ln 2)2

− +

Tính các tích phân suy rộng sau

3.52 ( 1)ln

a

dxa

x x

+∞

>∫ +∞−Phân kỳ

3.53 2

( 1)ln

a

dxa

x x

+∞

>∫ 1

lna− Hội tụ

3.54

03 2 cos

dx

x

π

+∫ 5

π- Hội tụ

3.55 2

0

xx e dx

+∞−

∫ 1

2− Hội tụ

3.56 2 4 9

dx

x x

+∞

−∞ + +∫

5

π− Hội tụ

3.57 2

2 20 1 sin

dx

a x

π

+∫ 22 1a

π

+ - Hội tụ

3.58

12

20 ln

dx

x x∫

1

ln 2− Hội tụ

3.59

5

20 25

dx

x−∫

2

π− Hội tụ

3.60

1

0

ln x dx∫ - 1 - Hội tụ

Dùng các dấu hiệu hội tụ ñể xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau

3.61 3 2

1 2 1 5

dx

x x

+∞

+ + +∫ Phân kỳ

3.62 5

0 1

xdx

x

+∞

+∫ Hội tụ

3.63

2

2

sin xdx

xπ

+∞

∫ Hội tụ

77

3.64

2

2 3(4 1)

x dx

xπ

+∞

+∫ Hội tụ

3.65 2

3 . 1

dx

x x

+∞

+∫ Hội tụ

3.66

100

3 4 30 2

dx

x x x+ +∫ Hội tụ

3.67

1

3 40 1

dx

x−∫ Hội tụ

3.68

2

1ln

dx

x∫ Phân kỳ

3.69 32 4

1 1

dx

x x

+∞

− + +∫ Hội tụ

---------------- Hết ----------------

78

CHƯƠNG 4

ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN § 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU i Ta gọi miền phẳng hay tập hợp phẳng là một bộ phận của mặt phẳng.

i Khoảng cách giữa hai ñiểm 1 1 1( , )M x y và

2 2 2( , )M x y của mặt phẳng là số thực

2 21 2 2 1 2 1

( , ) ( ) ( )d M M x x y y= − + − .

i Tập hợp { }20 0

( , ) ( , )S M M d M Mδ δ= ∈ ≤ℝ gọi là mặt tròn trên mặt phẳng.

i Ta gọi δ - lân cận của ñiểm M là phần trong của mặt tròn tâm M bán kính δ (Hình

1).

i Điểm M ñược gọi là ñiểm trong của miền E, nếu tồn tại một δ− lân cận nào ñó của

ñiểm M nằm hoàn toàn trong E (Hình 2)

i Miền E ñược gọi là mở (hở) nếu mọi ñiểm của nó ñều là ñiểm trong.

i Miền phẳng E gọi là bị chặn nếu tồn tại một mặt tròn chứa nó.

i Điểm N ñược gọi là ñiểm biên của miền E nếu mọi lân cận của nó vừa chứa những

ñiểm thuộc E vừa chứa những ñiểm không thuộc E . Điểm biên của một miền có thể thuộc

hoặc không thuộc miền ấy. Tập hợp tất cả những ñiểm biên của miền E ñược gọi là biên

của E. Biên của E thường ñược ký hiệu E∂ (Hình 2).

iMột ñường cong gọi là kín nếu ñiểm ñầu và ñiểm cuối của nó trùng nhau.

iMiền E ñược gọi là miền ñóng (kín) nếu nó chứa mọi ñiểm biên (nghĩa là biên của E là

một bộ phận của miền ñó) (Hình 2).

iMiền ñóng E ñược gọi là miền ñơn liên nếu biên của E là một ñường cong kín ñơn

(ñường cong kín ñơn là ñường cong không tự cắt).

� Ví dụ 1 - Trên hình 1, phần mặt tròn không kể biên là một tập hợp mở.

- Còn tập hợp { }2( , ) ( , )o o

S M M d M Mδ δ= ∈ ≤ℝ là một tập hợp ñóng.

§ 2 HÀM HAI BIẾN 2.1 Định nghĩa hàm hai biến ♦ Định nghĩa 1

i Xét tập tích ñề các 2ℝ và tập hơp

2G ⊂ℝ . Ta gọi ánh xạ :f G → ℝ là một hàm hai

biến xác ñịnh trên ,G G ñược gọi là miền xác ñịnh của hàm f .

Vậy một hàm hai biến f xác ñịnh trên G là một phép tương ứng cho ứng với mỗi cặp

số thực có thứ tự ( , )x y G∈ một số thực xác ñịnh mà ta ký hiệu ( , ).f x y Ta viết :

E∂

79

: ( , ) ( , )f x y f x y→ (ñọc: “ f chuyển ( , )x y thành f của ( , )x y ”)

i ( , )f x y là ảnh của ( , )x y qua ánh xạ f . Ta cũng gọi ( , )f x y là giá trị của f tại (x, y)

Nếu ñặt ( , )z f x y= thì chúng ta có thể biểu diễn hàm f như sau :( , ) ( , )f x y z f x y→ =

hay gọn hơn ( , )z f x y= trong ñó ,x y là các biến ñộc lập và z là biến phụ thuộc.

i Để chỉ các hàm khác nhau, ta dùng các chữ khác nhau: ( , ); ( , ),...z f x y z g x y= =

i Ta quy ước rằng: Nếu hàm ñược xác ñịnh bởi một biểu thức nào ñó và nếu không nói

gì thêm thì miền xác ñịnh là tập hợp tất cả các cặp số thực có thứ tự mà ứng với nó biểu

thức ñã cho có nghĩa.

2.2 Đồ thị hàm hai biến i Giả sử ñã cho hàm hai biến : ( , ) ( , )f x y f x y→ . Mỗi cặp ( , )x y ñều ñược biểu diễn bởi

một ñiểm ( , )M x y trong mặt phẳng Oxy , nên ta cũng có thể xem là hàm hai biến ( , )f x y là

hàm của ñiểm ( , ), : ( )M x y f M f M→ . Có thể minh họa hình học một hàm hai biến như

sau: Vẽ hệ trục tọa ñộ Đề các Oxyz với mỗi ñiểm ( , )M x y trong mặt phẳngOxy , cho ứng

với một ñiểm P trong không gian có các tọa ñộ ( ; ; )x y z trong ñó ( , )z f x y= Tập hợp

các ñiểm P như thế khi M chạy trong miền G của mặt phẳng Oxy ñược gọi là ñồ thị

của hàm ( , )z f x y= xác ñịnh trên miền .G Đồ thị của hàm hai biến thường là một mặt

cong trong không gian (Hình 3)

•Bằng cách tương tự, chúng ta cũng có ñịnh nghĩa về hàm n – biến ( 3)n ≥ .

Hàm hợp của hàm hai biến cũng ñịnh nghĩa tương tự như hàm hợp của hàm 1 biến trước

ñây.

2.3 Giới hạn của hàm hai biến

2.3.1 Giới hạn của dãy ñiểm trên mặt phẳng ♦ Định nghĩa 2 (Dãy ñiểm trong mặt phẳng )

Nếu với mỗi số tự nhiên n lấy một ñiểm ( , )n n n

M x y của mặt phẳng thì ta có một dãy

ñiểm trong mặt phẳng và ký hiệu { } 1 2( , ) : , , ..., , ...

n n n nM x y M M M

♦ Định nghĩa 3 (Giới hạn của dãy ñiểm)

Điểm 20 0 0( , )M x y ∈ ℝ gọi là giới hạn của dãy ñiểm { }( , )

n n nM x y khi n → ∞ nếu

80

( )0lim , 0.

nn

d M M→ ∞

= Ký hiệu { }0 0lim .

n nn

nM M hay M M

→ ∞

→ ∞= →

▼ Chú ý 1

Khái niệm giới hạn của dãy ñiểm { }nM ñược ñịnh nghĩa nhờ khái niệm giới hạn của dãy

số ( ){ }0,

nd M M .Vậy: ( )0 0

lim 0, , : ,n n

nM M N n N d M Mε ε

→ ∞= ⇔ ∀ > ∃ ∀ > <

� Định lý 1 Nếu dãy ñiểm { }nM có giới hạn thì giới hạn ñó là duy nhất.

� Định lý 2 0

0 0 00

lim

lim ( , ) ( , )lim

nn

n n nn

nn

x x

M x y M x yy y

→ ∞

→∞→ ∞

== ⇔ =

.

2.3.2 Giới hạn bội của hàm hai biến

♦ Định nghĩa 4 (Điểm tụ của một tập hợp)

Điểm 0

M ñược gọi là ñiểm tụ của tập hợp G nếu mọi mặt tròn tâm 0

M , bán kính 0δ >

ñều chứa ít nhất một ñiểm thuộc ,G khác ñiểm 0

M .

Cần chú ý rằng:Điểm tụ của tập hợpG có thể là ñiểm trong hoặc là ñiểm biên của G .

♦ Định nghĩa 5 (Theo ngôn ngữ ε δ− )

Cho hàm ( )f M xác ñịnh trên miền 2G .⊂ℝ Xét

0M là ñiểm tụ của .G Sốa ñược gọi là

giới hạn (bội) của hàm ( )f M khi 0

M M→ nếu 0

0, 0: ,M G M Mε δ∀ > ∃ > ∀ ∈ ≠

0( ) .MM f M aδ ε< ⇒ − < Khi ấy viết:

0 00

lim ( ) lim ( , )M M x x

y y

f M a hay f x y a

→ →→

= = .

Đinh nghĩa theo ngôn ngữ ε δ− nói trên tương ñương với ñịnh nghĩa theo dãy sau:

♦ Định nghĩa 6 (Vẫn xét 0

M là ñiểm tụ của miền xác ñịnh G của hàm ( )f M ).

Số a ñược gọi là giới hạn (bội) của hàm 0

( )f M khi M M→ nếu với mọi dãy ñiểm

{ } 0: ,

n n nM M G M M∈ ≠ mà

0( ) .

n n

n nM M thì f M a

→ ∞ → ∞ → →

Khi ấy chúng ta viết:

0 00

lim ( ) lim ( , ) .M M x x

y y

f M a hay f x y a

→ →→

= =

▼ Chú ý 2

Ở ñây khi 0

M M→ tiến bằng mọi cách không có sự hạn chế nào về cách M tiến ñến

ñiểm 0.M Từ ñịnh nghĩa giới hạn của hàm số theo dãy chúng ta có hệ quả sau ñây:

⊗ Hệ quả:

Nếu 0 0

0 0

lim ( ) lim ( )n n

n n

n

n

n

n

f M f Ka bM M M

M K M → ∞ → ∞

→ ∞

→ ∞= =≠

≠ → ⇒ ≠ →

i

i

thì ∃0

lim ( )M M

f M→

� Ví dụ 2

Chứng minh rằng không tồn tại 00

limxy

xy

x y→→

+.

81

Giải

Chọn ( ) ( )21 1 1 1, 0 ; .,

n nn n n nM K − + Ký hiệu:

0( , ) , (0, 0),

xyf x y M

x y=

+ta thấy:

2 3

2

1

0 0 1

1 1

0 0 1

.0lim ( ) lim 0

0

lim ( ) lim 1

n nn n

n nn n

n n

n

n n n

n

M M M f M

M K M f K

→∞ →∞

→∞ →∞

→ ∞

→ ∞

≠ ⇒ = =+

−≠ ⇒ = = −

→ ⇒ ∃ + →

00

limxy

xy

x y→→

+

d) Các tính chất của giới hạn � Định lý 3 Giả sử:

0 0

lim ( ) & lim ( )M M M M

f M a g M b→ →

= = , ( ,a b − hữu hạn). Khi ñó ta có:

0 0 01) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

M M M M M Mi f M g M f M g M a b

→ → →

± = + = ±

0 0 02) lim ( ). ( ) lim ( ). lim ( ) .

M M M M M Mi f M g M f M g M ab

→ → →

= =

0

0

0

3

lim ( )( )

) lim( ) lim ( )

M M

M MM M

f Mf M a

ig M g M b

→

→→

= = (nếu 0b ≠ )

� Định lý 4

0 0

lim ( ) 0 lim ( ) 0M M M M

f M f M→ →

= ⇔ =

� Định lý 5 (Nguyên lý kẹp)

Giả sử ( ) ( ) ( )f M g M h M≤ ≤ với mọi ñiểmM nằm trong lân cận nào ñó của ñiểm

0M và

0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( ) .M M M M M M

f M h M a g M a→ → →

= = ⇒ =

� Ví dụ 3

1 12

1.2 2) lim

1 2 3xy

xyi

x y→→

= =+ +

23 2 3 2

2 4 4 4 400

) lim . :0xy

x xx y x yi Vì

x y x y→→

≤ ≤+ +

2y

22x 2y

3 20

4 400

0 lim 02

x

xy

x x y

x y

→

→→

= → ⇒ =+

3 2

4 400

lim 0xy

x y

x y→→

⇒ =+

2.3.3 Giới hạn lặp của hàm nhiều biến Ngoài giới hạn bội vừa nêu ở trên, ñối với hàm nhiều biến ta còn có khái niệm giới hạn

lặp. Ta trình bày khái niệm này cho hàm hai biến:


0 0

lim lim ( , ) .x x y y

f x y→ →

• Khi tìm giới hạn phía trong dấu ngoặc :

0

lim ( , )y y

f x y→

ta coi y là

hằng số.

82

0 0

lim lim ( , ) .y y x x

f x y→ →

• Khi tìm giới hạn phía trong dấu ngoặc :

0

lim ( , )y y

f x y→

ta coi x là

hằng số.

� Ví dụ 4

0 0 0 0 0 0

01. lim lim lim lim lim lim 0 0.

x y x y x x

xy xy

x y x y x→ → → → → →

= = = =

+ + Tương tự

0 0lim lim 0y x

xy

x y→ →=

+

0

0 00

1 1 12. : 0 cos cos .1 0 lim cos 0.

x

y xy

Vì x x x x xy y y

→

→ →→

≤ ≤ ≤ = → ⇒ = Ta

ñã biết rằng không tồn tại giới hạn 0

1lim cosy y→

⇒ không tồn tại giới hạn lặp

0 0

1lim lim cosx y

xy→ →

. Như vậy sự tồn tại của giới hạn bội không suy ra ñược sự tồn tại

của giới hạn lặp và ngược lại. Tuy nhiên người ta ñã chứng minh ñược :

� Định lý 6 Giả sử tồn tại

00

lim ( , )x xy y

f x y a→→

= . Hơn nữa, nếu các giới hạn phía trong của giới hạn lặp

khi ấy có nghĩa, thì:0 0 0 0

lim lim ( , ) lim lim ( , )x x y y y y x x

f x y f x y a→ → → →

= = .

2.4 Sự liên tục của hàm nhiều biến 2.4.1 Khái niệm hàm liên tục ♦ Định nghĩa 8 Hàm số ( )f M ñược gọi là liên tục tại ñiểm

0M nếu ( )f M xác ñịnh tại

0M và tồn tại giới

hạn bội 0

0lim ( ) ( )

M Mf M f M

→= .

♦ Định nghĩa 9 Hàm số ( )f M ñược gọi là liên tục trên tập D nếu ( )f M liên tục tại mọi ñiểm M D∈ .

� Ví dụ 5

Cho hàm số

3 2

4 4( , ) (0, 0)

( , )

( , ) (0, 0)

x ykhi x y

f x y x y

a khi x y

≠= + =

Hãy tìm a ñể ( , )f x y liên tục tại 0(0, 0).M

Giải + Ta thấy

0( ) (0, 0) , (1).f M f a= = Mặt khác ta có:

+Vì

23 2

4 40

x xx y

x y≤ ≤

+

2y

22x 2y

3 20

4 400

0 lim 0, (2).2

x

xy

x x y

x y

→

→→

= → ⇒ =+

Từ (1) và

(2) chúng ta suy ra: Để hàm số ( , )f x y liên tục tại 0(0, 0)M khi và chỉ khi:

3 2

4 40 00 0

lim ( , ) lim (0, 0) 0.x xy y

x yf x y f a

x y→ →→ →

= = ⇔ =+

83

2.4.2 Các tính chất của hàm liên tục � Định lý 7 Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm liên tục tại

0M là một hàm liên tục tại

0M (riêng

trường hợp thương cần ñiều kiện mẫu số khác 0 tại 0

M )

� Định lý 8 Hợp của hai hàm liên tục là một hàm liên tục (tại ñiểm tương ứng).

� Định lý 9

ChoD là một tập con ñóng và bị chặn trong nℝ ; ( )f M là hàm liên tục trên D . Khi ấy

( )f D là tập ñóng và bị chặn trên ℝ .

§ 3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3.1 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 1 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến là ñạo hàm của hàm ñó theo một biến nào ñó khi coi

các biến khác là hằng số. Ta trình bày cụ thể cho hàm hai biến số:

♦ Định nghĩa 10 Đạo hàm riêng theo biến x của hàm số ( , )z f x y= tại ñiểm

0 0 0( , )M x y ký hiệu:

0 0 0 0( , ) ( , )

x

ff x y hay x y

x

∂′

∂ là giới hạn

0 0 0 0

0

( , ) ( , )lim ,x

f x x y f x y

x∆ →

+ ∆ −

∆ khi ñó chúng ta

viết: 0 0 0 0

0 0 0

( , ) ( , )( , ) lim .

xx

f x x y f x yf x y

x∆ →

+ ∆ −′ =

∆Tương tự, chúng ta cũng có ñạo hàm

riêng theo y tại ñiểm 0 0 0( , )M x y là

0 0 0 0

0 0 0

( , ) ( , )( , ) lim

yy

f x y y f x yf x y

y∆ →

+ ∆ −′ =

∆

▼ Chú ý 3

Nếu ñặt: 0

( ) ( , )g x f x y= thì ta có:0 0 0

( , ) ( )xf x y g x′ ′= .Tương tự nếu ñặt

0( ) ( , )g y f x y= thì

ta có: 0 0 0

( , ) ( ).yf x y g y′ ′=

� Ví dụ 6

1. Cho hàm số 3 33( , ) .f x y x y= + Hãy tính (0, 0) & (0, 0).x yf f′ ′

2. Cho hàm số 2( , ) sin( )f x y x y xy= + . Hãy tính & .x yf f′ ′

Giải

1. Đặt 3 3 3( ) 0 (0, 0) (0) (0, 0) 1.x x

g x x x f g f′ ′ ′= + = ⇒ = ⇔ = Tương tự thì chúng ta cũng

có: (0, 0) 1.yf ′ =

22. ( , ) 2 cos( ); ( , ) cos( ).x yf x y xy y xy f x y x x xy′ ′= + = +

3.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao ♦ Định nghĩa 11 Cho 2.n ≥ Đạo hàm riêng cấp n là ñạo hàm riêng của ñạo hàm riêng cấp 1n − .

Cụ thể ta có các ñạo hàm riêng cấp 2 của hàm ( , )z f x y= như sau:

( )2 2)xx x xx x

a z z f f′′′ ′′ ′′ ′= = =

( )2 2)yy yy y y

b z z f f′′′ ′′ ′′ ′= = =

84

( ))xy xy x y

c z f f′′′ ′′ ′= =

( ))yx yx y x

d z f f′′′ ′′ ′= =

+ Đạo hàm riêng cấp cao của hàm hai biến theo các biến khác nhau ñược gọi là các ñạo

hàm riêng hỗn hợp. Nói chung, các ñạo hàm riêng hỗn hợp phụ thuộc vào thứ tự lấy ñạo

hàm theo các biến. Tuy nhiên, nếu các ñạo hàm riêng hỗn hợp ñó liên tục thì chúng bằng

nhau. Cụ thể chúng ta có ñịnh lý sau ñây:

� Định lý 10 (Schwartz) Giả sử hàm số ( , )f x y cùng các ñạo hàm riêng ; ; ;

x y xy yxf f f f′ ′ ′′ ′′ xác ñịnh trong một lân

cận của ñiểm 0 0

( , )x y và liên tục tại 0 0

( , )x y . Khi ấy: 0 0 0 0

( , ) ( , ).xy yxf x y f x y′′ ′′=

� Ví dụ 7 3 2 51. : 2 .Cho z x y y= + Tính 2 2; ; ; , , .

x y xy yxx yz z z z z z′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′

2. Cho 2

2sinx y

u e z+

= .Tính 2

(4) .xy z

u

3. Cho 2( , ) sinf x y x y xy= + . Tính 2 2; ; ; ; ; .x y xy yxx yf f f f f f′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′

Giải

1.

2 2 2 3 3

3 4 2 2

6 12 ; 4 20

4 5 12 ; 12

x xx yy

y xy yx

z x y z xy z x y

z x y y z x y z x y

′ ′′ ′′= = = + ⇒ ′ ′′ ′′= + = =

i

i

2. Từ 2 2 2

2 2 2sin sin 2 . . sinx y x y x y

x xyu e z u e z u y e z

+ + +′ ′′= ⇒ = ⇒ =

2 2 2

22 2 2 2 22. . sin 4 . .sin 2(1 2 ). .sin .x y x y x y

xyu e z y e z y e z+ + +′′′⇒ = + = +

2 2

2

(4) 2 24 (1 2 ).2 sin cos 2 (1 2 ). sin 2 .x y x y

xy zu e y z z e y z+ +⇒ = + = +

3. + Từ 22 2( , ) sin 2 cos 2 cos

x xf x y x y xy f xy y xy f y y xy′ ′′= + ⇒ = + ⇒ = −

và ( )2 cos 2 cos sin .xy yf xy y xy x xy xy xy

′′′ = + = + −

+ Từ 22 2 2( , ) sin cos sin .

y yf x y x y xy f x x xy f x xy′ ′′= + ⇒ = + ⇒ = −

và ( )2 cos 2 cos sinyx

xf x x xy x xy xy xy

′′′ = + = + −

� Ví dụ 8 Chứng minh rằng hàm số

2 2

2 2( , ) 0

( , )

0 ( , ) 0

x yxy khi x y

f x y x y

khi x y

− ≠= + =

có các ñạo hàm riêng hỗn hợp cấp 2 tại ñiểm (0,0), nhưng các ñạo hàm riêng hỗn hợp ñó

không bằng nhau.

Giải

+ ( , ) 0Khi x y ≠ thì 2 2

2 2( , )

x yf x y xy

x y

−=

+, do ñó chúng ta có:

85

( )

( )

4 4 2 2

22 2

4

x

y x y x yf

x y

− +′ =

+

và ( )

( )

4 4 2 2

22 2

4

y

x x y x yf

x y

− −′ =

+

Mặt khác, theo ñịnh nghĩa ñạo hàm riêng thì:

0 0 0

( , 0) (0, 0) 0 0 0(0, 0) lim lim lim 0

xx x x

f x ff

x x x∆ → ∆ → ∆ →

∆ − −′ = = = =

∆ ∆ ∆i

0 0 0

(0, ) (0, 0) 0 0 0(0, 0) lim lim lim 0

yy y y

f y ff

y y y∆ → ∆ → ∆ →

∆ − −′ = = = =

∆ ∆ ∆i

( )5

0 0

(0, ) (0, 0)(0, 0) lim lim

x x

y yxy

f y f yf

y∆ → ∆ →

′ ′∆ − − ∆′′ = =

∆i

( )5

y∆1, (1)= −

( )5

0 0

(0, ) (0, 0)(0, 0) lim lim

y y

y xyx

f y f xf

x∆ → ∆ →

′ ′∆ − ∆′′ = =

∆i

( )5

x∆1, (2)=

+ Từ (1) và (2) (0, 0) 1 1 (0, 0),xy yxf f′′ ′′⇒ = − ≠ = (ñpcm)

3.2 Vi phân riêng và vi phân toàn phần của hàm hai biến 3.2.1 Vi phân riêng ♦ Định nghĩa 12 i Người ta gọi vi phân riêng của hàm 2 biến ( , )z f x y= ñối với x tại ñiểm

0 0( , )x y là

phần chính của số gia riêng 0 0 0 0

( , ) ( , )xz f x x y f x y∆ = + ∆ − tỉ lệ với số gia x∆ của

biến ñộc lập x ký hiệu .x

d z

i Nếu hàm số ( , )z f x y= có ñạo hàm riêng theo x tại 0 0

( , )x y thì nó có vi phân riêng

xd z tại ñiểm ấy và ngược lại. Khi ấy ta có: x xxd z z x z dx′ ′= ∆ =

i Tương tự : Nếu hàm số ( , )z f x y= có ñạo hàm riêng theo y tại 0 0

( , )x y thì nó có vi

phân riêng yd z tại ñiểm ấy và ngược lại. Khi ấy ta có: y y y

d z z y z dy′ ′= ∆ =

3.2.2 Vi phân toàn phần � Định nghĩa 13 + Hàm số ( , )z f x y= ñược gọi là khả vi tại ñiểm

0 0( , )x y nếu số gia f∆ ñược viết dưới

dạng , ( )f A x B y x yα β∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ⊕ ở ñây ,A B là các hằng số, còn

00

xα

∆ → → và

00.

yβ

∆ → → Khi ấy biểu thức: . .A x B y∆ + ∆ gọi là

vi phân toàn phần của hàm ( , )z f x y= tại 0 0

( , )x y và ñược ký hiệu 0 0

( , )dz x y .

+ Nếu ta ký hiệu 2 2x yρ = ∆ + ∆ và chú ý , 0 0.x y ρ∆ ∆ → ⇔ → Ta thấy rằng

, 0 ( ) 0x y khiα β α β ρ ρε→ ⇒ ∆ + ∆ = → . Vậy: dạng ( )⊕ tương ñương với

0 0( , ) ( ),f x y A x B y ρε∆ = ∆ + ∆ + trong ñó ( )pε là VCB khi 0.ρ →

86

b) Công thức tính vi phân toàn phần của hàm 2 - biến : dz

x yz dx z dy′ ′= +

3.2.3 Tính chất của vi phân � Định lý 11 Nếu ,f g là các hàm khả vi thì ta có:

( ) .d f g df dg± = ±i

( ) .d f g gdf f dg= +i

2,

f gdf fdgd

g g

− = i (nếu 0g ≠ )

� Ví dụ 9 Cho 2( , ) sin .f x y x y y= + Hãy tính ( , )df x y

Giải 2( , ) (x, ) (x, ) 2 ( cos )

x ydf x y f y dx f y dy xy dx x y dy′ ′= + = + +

3.2.4 Dùng vi phân ñể tính gần ñúng Cho ( , )f x y khả vi tại

0 0( , )x y . Xét ,

x y∆ ∆ ñủ bé. Khi ấy 0( )ρ có thể bỏ qua vì rất bé.

Lúc ñó ta có công thức gần ñúng :

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

x yf x y df x y f x x y y f x y f x y x f x y y′ ′∆ ≈ ⇔ + ∆ + ∆ ≈ + ∆ + ∆

Sai số 0( )ρ không ñánh giá ñược, tuy nhiên ta biết rằng nó nhỏ khi ,x y∆ ∆ ñủ nhỏ.

� Ví dụ 10

Dùng vi phân ñể tính gần ñúng 2 2(4, 01) (3, 05) .a = +

Giải 2 2

0 0 0 0( , ) , 4, 3, 0, 01; 0,05 ( , ).f x y x y x y x y a f x x y y= + = = ∆ = ∆ = ⇒ = + ∆ + ∆

Vì:0 0 0 0 0 0

2 2 2 24 43 3

4 2( , ) ; ( , ) 5; ( , ) .

5 3x y

x xy y

x yf x y f x y f x y

x y x y= == =

′ ′= = = = =+ +

4 25 .0, 01 .0, 05 5, 038.

5 3a⇒ ≈ + + =

3.2.5 Các ñiều kiện khả vi Giữa tính khả vi và sự liên tục của hàm hai biến ( , )z f x y= có mối liên hệ ñược thể hiện

qua các mệnh ñề sau:

1) Điều kiện cần ñể hàm khả vi: Nếu hàm số ( , )z f x y= khả vi tại ñiểm

0 0( , )x y thì tại ñiểm ñó nó liên tục và có ñạo hàm

riêng theo mỗi biến. Khi ñó:

0 0 0 0 0 0(( , ) , ( , ) , ) ( )

x yx yf x y A f x y B f A x B y ε ρ′ ′= = ⇒ ∆ = ∆ + ∆ +

▼ Chú ý 4

Điều kiện cần ñể hàm khả vi tương ñương với mệnh ñề sau ñây:

“Nếu tại ñiểm 0 0

( , )x y hàm số ( , )z f x y= không liên tục hoặc không có ñạo hàm riêng

theo từng biến thì nó không khả vi tại ñiểm 0 0

( , )x y .

87

2) Điều kiện ñủ ñể hàm khả vi: Nếu hàm số ( , )z f x y= có các ñạo hàm riêng ,

x yf f′ ′ ở lân cận của ñiểm

0 0( , )x y và nếu

các ñạo hàm riêng ấy liên tục tại ñiểm 0 0

( , )x y thì ( , )f x y khả vi tại ñiểm 0 0

( , )x y và

.x y

dz z dx z dy′ ′= +

� Ví dụ 11

Cho0

( , )0 0

xykhi x y

f x y x y

khi x y

+ ≠= + + =

. Xét tính khả vi của hàm số ( , )f x y tại ñiểm (0, 0).

Giải

Ta biết rằng không tồn tại 00

limxy

xy

x y→→

⇒+

hàm số ( , )f x y không liên tục tại ñiểm (0,0) và

chúng ta cũng suy ra hàm số ( , )f x y cũng không khả vi tại ñiểm (0;0).

� Ví dụ 12

Chứng minh rằng: hàm số 3( , )f x y xy= không khả vi tại ñiểm O(0;0).

Giải Theo ñịnh nghĩa ñạo hàm riêng ta có:

3

0 0

( ;0) (0;0) .0 0lim lim 0

xx x

f x f xf

x x∆ → ∆ →

∆ − ∆ −′ = = =

∆ ∆

3

0 0

0. 0(0; ) (0;0)lim lim 0

yy y

yf y ff

y y∆ → ∆ →

∆ −∆ −′ = = =

∆ ∆

Để xét tính khả vi của hàm số 3( , )f x y xy= tại ñiểm O(0;0) chúng ta xét:

3

0 0

(0;0) (0;0) (0;0) ( , ) ( , ) ,(*).x y

f x y f x f y x y x yε ρ ε ρ′ ′∆ = ∆ ∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ = ∆ ∆��

trong ñó 2 2 .x yρ = ∆ + ∆ Từ (*) ta có: 3 1( ; ) . .

( , )x y x y

x yε

ε∆ ∆ = ∆ ∆ ×

∆ ∆

Xét dãy ñiểm: { } 1 1; ( ; )x y

n n

∆ ∆ =

với 1, 0, 0 .n x y khi n= ∞ ⇒ ∆ → ∆ → → ∞

Khi ñó dãy ñiểm 1 1

( ; ) (0;0).n

nM O

n n

→∞ → Nhưng dãy các giá trị của hàm

( ; )x yε ∆ ∆ : 33 32 2 2 2

2

1 1 1 1 1 1 1 1( ; ) .

2 21 1

n

n n n n n n

nn n

ε = × = × = × +

3 33

3 2 2. 2

nn n

n

→+∞= = → + ∞ nên hàm ( ; )x yε ∆ ∆ không phải là một VCB khi

0& 0x y∆ → ∆ → ⇒ Hàm số 3( , )f x y xy= không khả vi tại ñiểm O(0, 0).

88

3.2.6 Vi phân cấp cao •Khi ñiểm M thay ñổi thì vi phân ( , )df x y cũng thay ñổi nên ( , )df x y cũng là một hàm

của các biến ,x y . Như vậy, ta có thể nói về vi phân của vi phân cấp 1, gọi là vi phân cấp

2: 2 ( , ) ( ( , )).d f x y d df x y=

•Tương tự: ( )1( , ) ( , ) , 2.n nd f x y d d f x y n−= ≥ Bây giờ ta giả sử ,x y là các biến ñộc lập

Chú ý rằng khi ấy ,dx dy là các hằng số nên 2 2 2 2 0.d x d y= =

Do ñó: ( ) ( )2( , ) ( , ) ( ) ( )

x y x yd f x y d df x y d f dx f dy d f dx d f dy′ ′ ′ ′= = + = +

( ) ( )2 2xy yxx yf dx f dy dx f dx f dy dy′′ ′′ ′′ ′′= + + +

⇒ 2 22 2 2

xy yxx yd z f dx f dx dy f dydx f dy′′ ′′ ′′ ′′= + + +

3.3 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 3.3.1 Đạo hàm riêng của hàm hợp ¤ Trường hợp 1 � Định lý 12 Giả sử ( , )z f x y= là hàm khả vi trong miền mở D . Cho ( ), ( )x x t y y t= = là các

hàm khả vi trong khoảng 1 2

( , )t t và ( ( ), ( ))x t y t D∈ khi 1 2

( , )t t t∈ . Khi ấy hàm

hợp [ ( ), ( )]z f x t y t= cũng khả vi trong khoảng 1 2

( , )t t và: . .t x t y tz z x z y′ ′ ′ ′ ′= +

� Ví dụ 13

Cho:1 1

ln ( ) . ( ) . ( ) . . . sin . ln

cosx y

y

y y

z xdz

x t z t z x t z y t y x x t xdt t

y t

−

= ′ ′ ′ ′ ′= ⇒ = = + = − =

.

¤ Trường hợp 2 � Định lý 13 Cho ( ) & ( , )z z t t t x y= = khả vi tại các ñiểm tương ứng. Khi ấy hàm hợp

( , ) ( ( , ))z x y z t x y= cũng khả vi tại ñiểm tương ứng và: . & .x t x y t yz z t z z t′ ′ ′ ′ ′ ′= =

� Ví dụ 14

Cho 22z t= nhưng cos( )t x y= − . Tính , .x yz z′ ′

Giải

( )4 . cos( ) 4 .( ) . sin( ) 4 cos( )sin( )x xxz t x y t x y x y x y x y

′′ ′= − = − − − = − − −i

2 sin 2( ).x y= − −

( )4 . cos( ) 4 .( ) .sin( ) 4 cos( )sin( )y yyz t x y t x y x y x y x y

′′ ′= − = − − − = − −i

2 sin 2( ).x y= −

¤ Trường hợp 3

89

� Định lý 14

Cho ( , ); ( , ); ( , )z f x y x x u v y y u v= = = khả vi tại các ñiểm tương ứng. Lúc ñó hàm

( )( , ); ( , )z f x u v y u v= cũng khả vi tương ứng và . .. .

u x u y u

v x u y y

z z x z y

z z x z y

= +′ ′ ′ ′ ′= +′ ′ ′ ′ ′

� Ví dụ 15

Cho:

2 22 2

2 2

(2 ).sin ( 2 ). sinsin

(2 ). cos ( 2 )coscos

u

v

z x y xyz xy y v x xy v u

x u vz xy y u v x xy u

y v u

= − ′ = − − − = ⇒ ′ = − + − =

3.4 Đạo hàm của hàm ẩn 3.4.1 Khái niệm về hàm ẩn Giả sử cho một hệ thức liên hệ giữa hai biến ,x y dạng: ( , ) 0F x y = (1). Nếu với một

giá trị 0

x x= ta có một giá trị xác ñịnh 0

y y= sao cho 0 0

( , ) 0F x y = thì ta nói rằng hệ

thức (1) xác ñịnh cho ta một hàm ẩn y theo biếnx . Nói cách khác: hàm số ( )y xϕ= ñược xác

ñịnh một cách ẩn bởi hệ thức (1). Nếu thay thế ( )y xϕ= vào hệ thức (1) ta ñược một

ñồng nhất thức.

� Ví dụ 16

a) Từ hệ thức33 3 31 0,(2) 1x y y x+ − = ⇒ = − hay nói khác ñi: hàm

3 31y x= −

ñược cho “ẩn” dưới hệ thức (2).

b) Tuy nhiên không phải bất kỳ một hệ thức dạng (1) nào cũng cho ta một hàm ẩn.

Chẳng hạn hệ thức sau: 2 2 1 0x y+ + = không xác ñịnh một hàm ẩn nào. Vậy thì với

ñiều kiện nào thì hệ thức (1) xác ñịnh cho ta một hàm ẩn? Điều này ñược trả lời trong

ñịnh lý dưới ñây:

3.4.2 Điều kiện tồn tại hàm ẩn của hệ thức dạng F(x, y) = 0 � Định lý 15 Giả sử

0 0( , ) 0F x y = . Nếu hàm ( , )F x y có ở lân cận ñiểm

0 0 0( , )M x y các ñạo hàm riêng

liên tục và tại ñiểm ấy: 0

( ) 0y

F M′ ≠ thì phương trình ( , ) 0F x y = xác ñịnh một hàm ẩn

( )y xϕ= trong một lân cận nào ñó của ñiểm 0

x hàm ấy lấy giá trị 0

y khi 0,x x= nó

liên tục và có ñạo hàm liên tục trong lân cận của ñiểm 0.x

3.4.3 Đạo hàm của hàm ẩn của hệ thức dạng F(x, y) = 0 Giả sử hệ thức ( , ) 0F x y = xác ñịnh một hàm ẩn ( )y xϕ= hơn nữa ,

x yF F′ ′ liên tục. Thế

hàm ẩn ( )y xϕ= vào biểu thức ( , ) 0F x y = ta ñược ( ), ( ) 0F x xϕ =

( , ( ) 0 . 0. ( ) 0x y x y ox

F x x F F y Vì F Mϕ′ ′ ′ ′ ′⇒ = ⇔ + = ≠

⇒ ( ) :x x y

y F F′ ′ ′= −

▼ Chú ý 6

Ngoài cách tính ( ) :x x y

y F F′ ′ ′= − , chúng ta có thể tính x

y ′ bằng cách lấy ñạo hàm hai vế

của ñẳng thức ( , ) 0F x y = theo ,x từ ñó suy ra x

y ′ .

� Ví dụ 17

90

Coi ( )y y x= là hàm ẩn xác ñịnh bởi phương trình .x y

x y e−

+ = Hãy tính .x

y ′

Coi ( )y y x= là hàm ẩn xác ñịnh bởi phương trình .x y

x y e−

+ = Hãy tính .x

y ′

Giải

¤ Caùch 1 Từ : .x y

x y e−

+ = Đặt: ( , ) 0x y

F x y x y e−

= + − =

( )1 (1 ) 1

:1 1 1

x y x y x y

x

x x yx y x y x y

y

F e e ey F F

F e e e

− − −

− − −

′ = − − − − ′ ′ ′⇒ ⇒ = − = = ′ = + + +

¤ Caùch 2

Lấy ñạo hàm hai vế theo x của ñẳng thứcx y

x y e−

+ = , ta có 1 (1 )x y

x xy y e

−′ ′+ = −

1(1 ). 1 .

1

x y

x y x y

x x x y

ee y e y

e

−

− −

−

−′ ′⇒ + = − ⇒ =

+

� Ví dụ 18

Coi ( )y y x= là hàm ẩn xác ñịnh bởi phương trình 3 3 3 3 .x y y x+ + = Tính (0).x

y ′

Giải ¤ Cách 1

Từ 3 3 3 3 .x y y x+ + = Nếu cho 3 20 3 0 ( 3) 0 0(*)x y y y y y= ⇒ + = ⇔ + = ⇔ =

Đặt: 2

3 32

3 3( , ) 3( ) 0

3 3

x

y

F xF x y x y y x

F y

′ = −= + + − = ⇒ ′ = +

( )2 2

2 2

( 3 3) 1: ,(**).

3 3 1x x y

x xy F F

y y

− − −′ ′ ′⇒ = − = =

+ +Vì (*) 0 0,x y= ⇒ = vì vậy:

2

2

1 0(0) 1.

1 0x

y−

′⇒ = =+

¤ Cách 2

Lấy ñạo hàm hai vế theo của ñẳng thức: 2 23 3 3 3 . 3 33 3x x

x y y yx y y x ′ ′+ + =+ + = ⇒

2

2 2

2

13( 1). 3 (1 ) ( ),

1x x

xy y x y

y

−′ ′⇒ + = − ⇒ =

+⊙ cũng do (*): khi 0 0x y= ⇒ = nên từ

( )⊙ chúng ta có: 2

2

1 0(0) 1.

1 0x

y−

′ = =+

�

91

ĐỀ BÀI TẬP CHƯƠNG 4: ĐẠO HÀM -VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Tìm các giới hạn ñồng thời theo các biến

TT ĐỀ RA ĐS TT ĐỀ RA ĐS

4.1 2 2lim

xy

x y

x y→ + ∞→ + ∞

+

+ 0 4.2

2

lim 1xy

xy

x→ + ∞→

+ 2e

4.3 ( ) ( )2 2limx y

xy

x y e− +

→ + ∞→ + ∞

+ 0 4.4

2 2

4 400

limxy

x y

x y→→

+

+ +∞

4.5 ( ) 7

1

2

03

lim 1 x xy

xy

xy +→→

+ 3e 4.6 ( )

( )

22

20 22

2 1 1lim

2xy

x y

x y→→

+ − + −

+ −

12

4.7 2 2

2lim

2xy

x y

x xy y→ + ∞→ + ∞

+

− + 0 4.8

2

2 200

limxy

x y

x y→→

+ 0

4.9

4 4

2 200

limxy

x y

x y→→

+

+ 0 4.10

0 2 20

limxy

xy

x y→→ +

0

Tìm các giới hạn lặp sau

4.11

2

2 20 0

( )lim limy x

x y

x y→ →

+ +

1 4.12 2 2

0 0lim limx y

x y x y

x y→ →

− + + +

1

4.13

3 2

2 2lim limy x

x y x y

x y→ →

+ − + −

-5 4.14 0 0

sin( )lim limy x

x y

x→ →

0

Khảo sát sự tồn tại của các giới hạn của các hàm 2 biến sau

4.15 2 200

limxy

xy

x y→→

+ ∃GH

4.16

2 2

2 200

limxy

x y

x y→→

−

+ ∃ GH

4.17

2

4 200

limxy

x y

x y→→

+ ∃GH

4.18

( )10

lnlimxy

x y

y→→

+ ∃ GH

Tính liên tục của hàm số 2 biến số

92

4.19 Xét tính liên tục của hàm số: 2 2

1sin ( , ) (0, 0)

( , )

0 ( , ) (0, 0)

xy khi x yx yf x y

khi x y

≠ += =

tại ñiểm (0,0).

4.20

Chứng minh rằng hàm số

2 2

2 2

2 2

0( , )

0 0

xykhi x y

f x y x y

khi x y

+ ≠= + + =

liên tục tại ñiểm (0,0) theo mỗi biến, nhưng không liên tục ñồng thời theo

cả hai biến ñó.

4.21 Xét tính liên tục của hàm số:

( ) ( )cos cos0

( , ) 21 0

x y x ykhi xy

f x y xy

khi xy

− − + ≠= =

theo tập hơp hai biến và theo từng biền số tại ñiểm O(0,0).

4.22 Với giá trị nào của a thì hàm số:

2 3

2 2( , ) (0, 0)

( , )

( , ) (0, 0)

x ykhi x y

f x y x y

a khi x y

≠= + =

liên tục tại (0,0)? ( )Ñaùp soá : a 0=


2

2 2( , ) (0,0)

( , )

( , ) (0,0)

x ykhi x y

f x y x y

a khi x y

≠= + =

liên tục tại

ñiểm (0,0)? ( )Ñaùp soá : a 0=


32 2

2 4

2 2

0( , ) ( )

0

xykhi x y

f x y ax y

a khi x y

+ ≠= ∈ + + =

ℝ

liên tục tại ñiểm O(0,0)? ( )Ñaùp soá : a 0=

4.25 Với giá trị nào của a thì hàm số

2 2sin( )

2 2

1( , ) (0, 0)

( , )

( , ) (0, 0)

x ye

khi x yf x y x y

a khi x y

+ − ≠= + =

liên tục tại ñiểm (0,0)? ( )Ñaùp soá : a 1=

Tính các ñạo hàm riêng cấp 1 (cấp 2) và tính dz (hoặc d2z)

4.26 Cho arct ( ).z g xy= Tính , , .x yz z dz′ ′

2 2 2 21 1

y xdz dx dy

x y x y= +

+ +

93

4.27 Cho arc .xx

z e tgyy

= −

Tính , , .x yz z dz′ ′

2 2

1arctan

1

xx x e

dz e y dx dyy y y

= − − + +

4.28 Cho .yz x= Tính , , .x yz z dz′ ′

1ln

y ydz y x dx x xdy−

= +

4.29 Cho ln sin .

x az

y

+= Tính

, , .x yz z dz′ ′

( )1cot

2 .

x a x adz dx dy

y y y y

+ + = −

4.30 Cho hàm số: 2 2ln .z x x y

= + +


2 2 2 2 2 2

1 ydz dx dy

x y x y x x y

= + + + + +

4.31 Cho ln tan .x

zy

= Tính , , .x y

z z dz′ ′ 2

2 2

2 2sin sin

xdz dx dy

x xy y

y y

= −

4.32 Choyxez e= . Tính , , .

x yz z dz′ ′

y yy xe y xedz e e dx xe e dy= +

4.33 Cho .exy

ez = Tính , , .x yz z dz′ ′

xy xyxy e xy edz ye e dx xe e dy= +

4.34 Cho ( )2 2sin .z x y= +


2 2 2 22 cos( ) 2 cos( )dz x x y dx y x y dy = + + +

4.35 Cho 2 2z x y= + . Tính , , .

x yz z dz′ ′ 2 2 2 2

x ydz dx dy

x y x y

= ++ +

4.36 Cho cos( ).x xyz e= Tính 2, .dz d z ( )( ) ( )cos( ) sin sinx xdz e xy y xy dx ye xy dy = − −

4.37 Cho 2sin( ).z xy= Tính 2, .dz d z 2 2 2cos( ) 2 cos( )dz y xy dx xy xy dy= +

Tính ñạo hàm các hàm ẩn sau

4.38 Cho 3 3 1 0.x y+ − = Tính (1,2).x

y ′ 2

2

1(1,2)

4x x

xy y

y′ ′= − ⇒ = −

4.39 Cho 4 4 2 2 5.x y xy ax y a+ − =

Tìm ( ; ).x

y a a′

3 4 2

3 4 2

4 2;

4 2x

x y y axyy

y x x ayx

− − +′ =

+ − ( ; ) 1

xy a a′ = − .

4.40

Cho hàm số:1 ( ; ) (0;0)

( , )0 ( ; ) (0;0)

khi x yf x y

khi x y

≠= =

Chứng minh rằng ( , )f x y không liên tục tại ñiểm (0,0) nhưng tồn tại các ñạo

hàm riêng: (0, 0); (0, 0).x yf f′ ′

94

4.41

Chứng minh rằng hàm số:

( )2 2

2 2

2 2

2 2

0( , )

0 0

x yxy khi x y

f x y x y

khi x y

− + ≠= + + =

có các ñạo hàm riêng hỗn hợp cấp 2 tại ñiểm (0,0), nhưng các ñạo hàm hỗn

hợp ñó không bằng nhau.

4.42 Chứng minh rằng hàm số:

32 2

6 20

( , )

0 0

x ykhi x y

f x y x y

khi x y

+ ≠= + = =

giaùn ñoaïn taïi ñieåm O(0,0), nhöng coù ñaïo haøm rieâng taïi ñieåm O(0,0).

4.43 Cho hàm số:

2 2

2( , ) (0, 0)

( , )

0 ( , ) (0, 0)

xykhi x y

x yf x y

khi x y

≠ += =

Tính (0, 0); (0, 0).x yf f′ ′ Hàm có khả vi tại (0,0) hay không? Vì sao?

4.44 Chứng minh rằng hàm số:

3 32 2

2 2

2 2

0( , )

0 0

x ykhi x y

f x y x y

khi x y

+ + ≠= + + =

Có ñạo hàm riêng tại ñiểm O(0,0), nhưng không khả vi tại ñiểm O(0,0).

--------------- Hết --------------

95

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1. 1.1 Khái niệm phương trình vi phân – Cấp của một phương trình vi phân ♦ Định nghĩa 1 i Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số chưa biết, biến số ñộc lập và các

ñạo hàm (hoặc vi phân) của hàm số chưa biết.

i Nếu hàm số chưa biết phụ thuộc vào một biến số ñộc lập thì phương trình vi phân ñược

gọi là phương trình vi phân thường. Nếu hàm số chưa biết phụ thuộc vào nhiều biến số

gọi là phương trình ñạo hàm riêng.

i Cấp cao nhất của ñạo hàm có mặt trong phương trình ñược gọi là cấp của phương trình vi phân. � Ví dụ 1

1) 2 25x y xy y′ + = là phương trình vi phân thường cấp 1 .

2) 2

2

24

d y dyxy xdxdx

− = là phương trình vi phân thường cấp 2 .

3) 2 .y y y x′ ′′ ′′′+ = là phương trình vi phân thường cấp 3 .

4) ( , , , ) 0F x y y y′ ′′ = là dạng tổng quát của phương trình vi phân thường cấp 2 .

5) 2 2 0z z

x yx y

∂ ∂+ =

∂ ∂ là phương trình ñạo hàm riêng cấp 1 . Trong §1 chúng ta chỉ

xét các phương trình vi phân thường cấp 1, tức là phương trình dạng ( , , ) 0F x y y ′ = hoặc

dưới dạng giải ñược ñối với ( , ).y f x y′ =

1.2 Nghiệm - Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp 1 i Hàm khả vi ( )y xϕ= ñược gọi là nghiệm của phương trình vi phân: ( , )y f x y′ = , nếu

khi thay nó vào hàm chưa biết (ẩn hàm) của phương trình sẽ ñược ñồng nhất thức.

i Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1: ( , )y f x y′ = trong miền D là hàm

( , )y x Cϕ= có các tính chất sau:

i) Nó là nghiệm của phương trình ñã cho với mọi giá trị của hằng số C bất kỳ thuộc

một tập hợp nào ñó.

ii) Với mọi ñiều kiện ban ñầu 0 0

( )y x y= sao cho0 0

(x , )y D∈ chỉ có một giá trị

duy nhất 0

C C= làm cho nghiệm 0

( , )y x Cϕ= thỏa mãn ñiều kiện ban ñầu ñã

cho.

i Mọi nghiệm ( , )y x Cϕ= ứng với giá trị cụ thể 0

C C= gọi là nghiệm riêng.

i Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân ( , )y f x y′ = thỏa mãn ñiều kiện ban ñầu

0 0( )y x y= gọi là bài toán Côsi.

▼ Chú ý 1

i Đồ thị mỗi nghiệm ( )y xϕ= của phương trình vi phân ñã cho vẽ trên mặt phẳng xOy

gọi là ñường cong tích phân của phương trình này. Như vậy nghiệm tổng quát

96

( , )y x Cϕ= trên mặt phẳng xOy tương ứng với một họ các ñường cong tích phân phụ

thuộc vào một tham số là hằng số bất kỳ C . Còn nghiệm riêng thỏa mãn ñiều kiện ban ñầu

0 0( )y x y= tương ứng với một ñường cong ñi qua ñiểm

0 0 0( , )M x y cho trước của họ

ñó. i Tuy nhiên ta còn gặp những phương trình vi phân có các nghiệm không thể nhận ñược từ nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị C nào (kể cả C =± ∞ ). Nghiệm như vậy gọi là

nghiệm kỳ dị. Ví dụ: Có thể thử lại rằng phương trình 2y 1 y′ = − có nghiệm tổng quát

sin( )y x C= + . Đồng thời 1y = cũng là nghiệm của phương trình này. Nhưng nghiệm

1y = không nhận ñược từ nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị C nào, tức là nghiệm kỳ

dị. i Đồ thị của nghiệm kỳ dị là ñường cong tích phân mà tại mỗi ñiểm của nó có tiếp tuyến chung với một trong các ñường cong tích phân xác ñịnh bởi nghiệm tổng quát. Đường cong như vậy gọi là hình bao của họ ñường cong tích phân. iQuá trình tìm nghiệm của phương trình vi phân gọi là tích phân phương trình vi

phân.

Nói chung, không có một phương pháp vạn năng nào ñể giải mọi phương trình vi

phân và không phải phương trình vi phân nào cũng giải ñược. Mỗi lớp phương trình

vi phân có một phương pháp giải ñặc thù. Trong chương này nhằm giúp cho anh chị em sinh viên làm quen với khái niệm phương trình vi phân và sử dụng nó trong các

môn học khác, về mặt lý thuyết chúng tôi chỉ giới thiệu một số dạng phương trình vi

phân tương ñối ñơn giản, mà tập trung nhiều hơn vào việc trình bày các ví dụ về giải phương trình vi phân.

1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 1.3.1 Phương trình vi phân với biến số phân ly ♦ Định nghĩa 2 Phương trình dạng: ( ) ( ) 0,(1)f x dx g y dy+ = gọi là phương trình với biến số phân ly.

⋇ Phương pháp giải

Muốn tìm nghiệm của phương trình (1) chúng ta tích phân hai vế của (1) ta ñược nghiệm

tổng quát: ( ) ( ) ( )f x dx g y dy C C+ = ∈∫ ∫ ℝ

▼ Chú ý 2

Phương trình dạng 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0,(2).f x g y dx f x g y dy+ = Có thể ñưa phương trình (2)

về phương trình (1) bằng cách chia hai vế của (2) cho 2 1( ). ( ) 0,f x g y ≠ ta ñược:

1 2

2 1

( ) ( )0,(3).

( ) ( )

f x g ydx dy

f x g y+ = Từ (3) chúng ta sẽ tìm ñược nghiệm tổng quát của phương

trình ñã cho. Ngoài ra, nếu phương trinh 1( ) 0g y = có nghiệm y b= thì y b=

cũng là nghiệm của phương trình (2).

� Ví dụ 2 Giải phương trình: 2 21 1 0x y dx y x dy− + − =

Giải

Chia hai vế của phương trình trên cho 2 21 . 1 0 1 & 1,x y x y− − ≠ ⇔ ≠ ± ≠±

97

chúng ta ñược: 2 2 2 2

01 1 1 1

x y x ydx dy dx dy C

x y x y

+ = ⇒ + =− − − −

∫ ∫

( ) ( )1 1

2 2 2 22 21 11 (1 ) 1 (1 )

2 2x d x y d y C

− −′⇒− − − − − − =∫ ∫

222 2

1 12 2

11 1 1. . 1 1 , (*)

2 2

yxC x y C

−− ′⇒− − = ⇒ − + − =

Ngoài nghiệm tổng quát ở (*) thì các hàm số 1 ( 1 1)y x= ± − < < là các nghiệm kỳ dị

của phương trình vi phân ñã cho. 1.3.2 Phương trình vi phân thuần nhất (ñẳng cấp) ♦ Định nghĩa 3

Phương trình dạng: ( , ) ( , ) 0 (4);dy dy

f x y hay f x ydx dx

= − = với ( , )f x y thỏa mãn

ñiều kiện ( , ) ( , ), ( ),f x y f x yλ λ λ= ∀ ∈ ℝ gọi là phương trình vi phân thuần nhất.


Biến ñổi biểu thức của ( , )f x y sao cho xuất hiện tỉ số ,y

x tiếp theo chúng ta ñặt

yu

x=

dy(5).

dx

duu x

dxy ux = +⇒ = ⇒ Thế y ux= và

dy

dx từ (5) vào phương trình (4) và

chúng ta sẽ ñược một phương trình biến số phân ly theo x và u . Giải phương trình biến

số phân ly này ta sẽ tìm ñược công thức nghiệm theox và u .Cuối cùng thay y

ux

= vào

công thức nghiệm vừa tìm ñược, chúng ta sẽ tìm ñược nghiệm của phương trình (4).

� Ví dụ 3 Giải phương trình vi phân sau : 2 2

2dy xy

dx x y=

− (6)

Giải

2 2 2

22

: .

1

ydy xy dy xVìdx dxx y y

x

= ⇔ =− −

Đặt .y dy du

u y ux x ux dx dx

= ⇒ = ⇒ = +

Khi ñó: 2 2

2 3 2

2 1 1(6) 0

1 ( 1)

du u dx u dx ux u du du C

dx x xu u u u u

− − ′⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =− + +

∫ ∫

2

2 2

2 1 ( 1)

( 1) ( 1)

dx u dx d u dudu C C

x u x uu u

+ ′ ′⇔ + − = ⇔ + − = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

22

( 1)2( 1)

ln ln( 1) ln ln ln ln (7).x u

u

x ux u u C C C

u

+ +⇔ + + − = ⇔ = ⇔ =

Thay y

ux

= vào (7) ta có 2 2 .x y Cy+ = Ngoài ra 0y= cũng là nghiệm của phương

98

Thay y

ux

= vào (7) ta có 2 2 .x y Cy+ = Ngoài ra 0y= cũng là nghiệm của phương

trình (6).

▼ Chú ý 3

1) Xét phương trình vi phân: 1 1 1

,(8)dy ax by c

fdx a x b y c

+ + = + +

i Nếu 1

0c c= = thì phương trình (8) là phương trình thuần nhất, mà ta ñã biết cách giải.

i Nếu ít nhất một trong 2 số c hoặc 1c khác 0 và nếu

1 1

0a b

a b≠ , thì phương trình (8)

có thể ñưa về phương trình thuần nhất bằng cách:

ñặt 1

1

x x h

y y k

= + = +thì phương trình (8) trở thành: 1 11

1 1 1 1 1 1 1

(9)ax by ah bk cdy

fdx a x b y a h b k c

+ + + + = + + + +

Tiếp theo ta giải hệ phương trình 1 1 1

0

0

ah bk c

a h b k c

+ + = + + = ñể tìm , .h k Khi ñó phương trình

(9) trở thành phương trình thuần nhất: 1 11

1 1 1 1 1

a x bydyf

dx a x b y

+ = + mà ta ñã biết cách giải.

i Nếu 1 1 1

1 1 11 1 1 1 1

( ): 0a b a a a x b y ca b dy

y fa b b ba b dx a x b y c

λ λλ

λ

= + + ′= ⇒ = = ⇒ ⇒ = = = + +

1 1( ) (10).g a x b y= + Đến ñây nếu ñặt

1 1 1 1

dzz a x b y a b y

dx′= + ⇒ = + .Do (10) nên

ta có: 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) (11).dz

y g a x b y g z a b g zdx

′= + = ⇒ = + Phương trình (11) là phương

trình biến số phân ly mà ta ñã biết cách giải. � Ví dụ 4 Giải phương trình vi phân sau: ( 2) ( 4) 0,(12)x y dx x y dy+ − + − + =

Giải Từ phương trình (12) chúng ta có thể viết lại như sau:

1 1 1

1, 1, 2 2 0 12(13)

1, 1, 4 4 0 34

a b c h k hdy x y

a b c h k kdx x y

= − =− = − − + = =−− − + = ⇒ ⇒ ⇒ = =− = − + = =− +

Đặt:1 1

11

1

1

,1

1 (14)3

3

dx dx dy dyx x

x xy y

y y

= = = − ⇒ = + = + = −

. Nếu thay (14) vào (13) ta ñược

1 1 1

1 1 1

(15)dy x y

dx x y

− −=

−. Đây là phương trình vi phân thuần nhất. Muốn giải phương

trình (15) ta tiếp tục ñặt: 11 1 1

1 1

,(16).dy du

y u x x udx dx

= ⇒ = + Từ (15) và (16) ta có:

99

21 1 1

11 1 1 1

1 (1 ) 1 2 1

1 1 1

x u x xdu u u u u u ux u dudx x u x u dx u u

− − − − − − − − − −+ = = ⇒ = =

− − − −

21

2 2 21

(1 ) 1 (2 2) 1 ( 2 1). .

2 22 1 2 1 2 1

dx u u d u udu du

x u u u u u u

− − − −⇒ = = − = −

− − − − − −

221

121

1 ( 2 1) 1ln ln 2 1 ln

2 22 1

dx d u ux u u C

x u u

− − ′⇒ = − ⇒ = − − − +− −

∫ ∫

222 2 1 1

1 1 1 11 1

ln ln 2 1 ln 2 1 ,(17).y y

x u u C x Cx x

⇔ + − − = ⇔ − − = Do (14) nên

2

21

3 3(17) ( 1) 2 1

1 1

y yx C

x x

− − ⇔ + − − = + +

222

12

( 3) 2( 3)( 1) ( 1)( 1)

( 1)

y y x xx C

x

− − − + − + ⇔ + = + 22

212

( 3) 2( 3)( 1) ( 1)( 1)

( 1)

y y x xx C

x

− − − + − + ⇔ + = +

2 21

( 3) 2( 3)( 1) ( 1)y y x x C⇔ − − − + − + =

2 21

6 9 2( 3 3) ( 2 1)y y xy y x x x C⇔ − + − + − − − + + =

2 21

2 4 8 14x xy y x y C⇔ + − − + = +

2 22 4 8 ,x xy y x y C⇔ + − − + = (Với 1

C = C 14+ ).

� Ví dụ 5 Giải phương trình: 1

2 2 1

dy x y

dx x y

− − −=

+ −

Giải

Vì hệ phương trình : 11 0

(*).12 2 1 02

h kh k

h k h k

+ = − + + = ⇔ + − = + =

Hệ (*) vô nghiệm,

nên từ phương trình 1 ( ) 1

,2 2 1 2( ) 1

dy x y dy x y

dx x y dx x y

− − − − + −= ⇒ =

+ − + −chúng ta có thể ñặt

biến mới như sau: .z x y y z x dy dz dx= + ⇒ = − ⇒ = − Phương trình ñã cho có dạng:

1 1 1 21 1

2 1 2 1 2 1 2 1

dz dx z dz z dz z z

dx z dx z dx z z

− − − − − − − −= ⇔ − = ⇔ = + =

− − − −

(2 1) 2 (2 1) 3 32 2

2 2 1 2 2 2

z z zdz dz dx dz dx dz

z z z z z

− − − ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇒ + − − − − − ∫

2 3 ln 2 2( ) 3 ln 2dx z z x C x y x y x C= ⇔ + − = + ⇔ + − + − − =∫

100

2 3 ln 2 .x y x y C⇔ + + + − = Ngoài ra khi 2z= thì 2x y+ = cũng là một tích phân

của phương trình ñã cho. 1.3.3 Phương trình vi phân hoàn chỉnh ♦ Định nghĩa 4 Phương trình ( , ) ( , ) 0, (18)M x y dx N x y dy+ = ñược gọi là phương trình vi phân

hoàn chỉnh nếu vế trái của phương trình (18) là vi phân của một hàm ( , )U x y nào ñó,

nghĩa là: ( , ) ( , ) ( , ).M x y dx N x y dy dU x y+ =

Nghiệm của phương trình (18) là ( , ) .U x y C=

� Định lý 1 Giả sử các hàm số ( , ); ( , )M x y N x y có các ñạo hàm riêng &

y xM N′ ′ liên tục trong một

miền ñơn liên D . Điều kiện cần và ñủ ñể phương trình (18) là một phương trình vi phân

hoàn chỉnh là y x

M N′ ′= khắp nơi trong .D


Tìm nghiệm của phương trình (18) bằng phương pháp tích phân bất ñịnh:

� Ví dụ 6 Giải phương trình vi phân: 2 2(4 ) (4 ) 0, (19)xy y dx x y x dy+ + + =

Giải

Vì 2

2

( , ) 48 1

( , ) 4y x

M x y xy yM xy N

N x y x y x

= + ′ ′⇒ = + = ⇒ = + phương trình vi phân (19) là

phương trình vi phân hoàn chỉnh.Theo bài ra thì ta phải tìm một hàm ( , )U x y sao cho:

2 2( , ) ( , ) ( , ) (4 ) (4 )x y

dU x y M x y dx N x y dy U dx U dy xy y dx x y x dy′ ′= + ⇔ + = + + +

2

2

4 (20).

4 (21)

x

y

U xy y

U x y x

′ = +⇔ ′ = +Từ (20) muốn tìm hàm ( , )U x y chúng ta có thể lấy tích phân

hai vế theo :x

2 2 2(4 ) ( , ) 2 ( )dU xy y dx U x y x y xy yϕ= + ⇒ = + +∫ ∫

24 ( )y

U x y x yϕ′ ′⇒ = + + (22). Từ 2 ñẳng thức (21); (22) ta có:

24x y x+ 2( ) 4y x y xϕ′+ = + ( ) ( ) 0y yϕ ϕ′ ′+ ⇒ =

( ) .y Cϕ⇒ = ∈ ℝ Chọn 2 20 ( ) 0 ( , ) 2C y U x y x y xyϕ= ⇒ = ⇒ = +

2 22x y xy C⇒ + = là nghiệm tổng quát của phương trình (19).

▼ Chú ý 4

Với cách làm tương tự chúng ta có thể xuất phát từ ñẳng thức (21) cũng tìm ñược hàm 2 2( , ) 2U x y x y xy= + như trên.

Ví dụ 7* Giải phương trình vi phân: 2(sin cos ) cos ) 0xy xy xy dx x xy dy+ + =

Đáp số: sin , .x xy C C= ∀ ∈ ℝ

101

� Ví dụ 8 Giải phương trình vi phân: 3 2 3 2( ) ( ) 0.x xy dx y yx dy+ + + =

Đáp số: 4 2 42( ) , .x xy y C C+ + = ∀ ∈ ℝ

d) Thừa số tích phân 1) Đặt vấn ñề Trong một số trường hợp phương trình ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = không phải là phương

trình vi phân hoàn chỉnh, nhưng ta có thể tìm ñược một hàm số hai biến ( , )x yµ sao cho

khi ta nhân hàm số này vào hai vế của phương trình: ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = thì ta lại ñược một phương trình vi phân hoàn chỉnh, tức là

( , ) ( , ) 0, (23)M x y dx N x yµ µ+ =

⋇ Phương pháp tìm thừa số tích phân

Phương trình (23) là một phương trình vi phân hoàn chỉnh khi và chỉ khi :

( ) ( ) ( ) . .y x x y y x x yy x

N MM N M N N M M Nµ µ µ µ µ µ µ

µ µ

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⇔ − = − ⇒ − = −

(ln ) (ln ) (24).y x x y

M N N Mµ µ′ ′ ′ ′⇔ − = − Phương trình (24) là phương trình ñạo hàm

riêng, dựa vào phương trình này chúng ta có thể tìm ñược thừa số tích phân .µ Sau ñây chúng ta sẽ nêu lên một số trường hợp ñặc biệt có thể tìm ñược thừa số tích phân một cách dễ dàng. Đó là trường hợp phương trình ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = có thừa số

tích phân chỉ phụ thuộc và x hoặc chỉ phụ thuộc vào y :

• Nếu ( )( ) ln 0y

xµ µ µ′= ⇒ = phương trình (24) trở thành: ( ) (25)ln ,

y x

x

M N

Nµ

′ ′−=′

Rõ ràng ñiều kiện cần và ñủ ñể phương trình ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = có thừa số

tích phân chỉ phụ thuộc vào ,x là vế phải của (25) chỉ phụ thuộc x .

• Nếu ( )( ) ln 0x

yµ µ µ′= ⇒ = phương trình (24) trở thành: ( ) (26)ln ,x y

y

N

N

Mµ

′=

′−′

Rõ ràng ñiều kiện cần và ñủ ñể phương trình ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = có thừa số

tích phân chỉ phụ thuộc vào y là vế phải của (26) chỉ phụ thuộc y . � Ví dụ 9

Giải phương trình vi phân: 2( ) 2 0,x y dx xy dy+ − = (27)

Giải

( )2( , ) 2 2 2 (ln ) 2

: ln2( , ) 2

y x

x

M N

N

M x y x y y y dVì

xy x dx xN x y xy

µµ

′ ′−=

= + + ′ ⇒ = = − ⇒ =− −= −

2 2

1 1(ln ) 2 (ln ) 2 ln 2 ln ln .

dx dxd d x

x x x xµ µ µ µ⇒ = − ⇒ = − ⇔ =− = ⇒ =∫ ∫

Nhân 2 vế của phương trình (27) với thừa số tích phân2

1,

xµ = ta có

2

2

2 2

2 22 02 0 ln 0

dx y ydx dy

x xx

x y xy ydx dy d x

xx x+ − =

+ − = ⇔ ⇔ − =

102

2

ln .y

d x Cx

′⇒ − = ∫ Chọn

2 2

0 ln 0 lny y

C x xx x

′ = ⇒ − = ⇒ =

2

, ( ).y

xx C e C⇒ = ∀ ∈ℝ

� Ví dụ 10 Giải phương trình vi phân: 2 2 22 ln 1 0xy y dx x y y dy + + + =

(28)

Giải

( )2 2 2

2 ln 2 2 ( ln 1) 1ln

2 ln1

x y

y

M

M

M xy y N x x x

xy y yN x y yµ

′−=

= ′ − + ′ ⇒ = = − = + +

(ln ) 1(ln ) (ln )

d dy dyd d

dy y x y

µµ µ⇒ =− ⇒ = − ⇒ =−∫ ∫

1 1ln ln ln .y

y yµ µ⇔ = − = ⇒ = Nhân 2 vế của phương trình (28) với thừa số tích

phân 1

yµ = ta ñược phương trình:

2 2 2 12 ln0

x y yxy ydx dy

y y

+ ++ =

222 ln 1 0

xx ydx dy y y dy

y

⇔ + + + =

( ) ( ) ( ) ( )1

2 2 2 2 221ln 1 0 ln 1 1

2d x y y y dy d x y y d y C⇔ + + = ⇒ + + + =∫ ∫

Vậy: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (28) là: ( )3

2 2 21ln 1 .

3x y y C+ + =

1.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ♦ Định nghĩa 5 ⊕ Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất là phương trình vi phân có

dạng: ( ) ( ),(29)y p x y q x′ + = trong ñó ( ); ( )p x q x là các hàm liên tục trong khoảng

( , ).a b

i Người ta chứng minh ñược nghiệm tổng quát của phương trình ( ) ( )y p x y q x′ + =

ñược tính theo công thức: ( ) ( )

( ) ,p x dx p x dx

y e q x e dx C C− ∫ ∫ = + ∈ ∫ ℝ

⊕ Phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất là phương trình vi phân có dạng:

( ) 0y p x y′ + =

iNgười ta chứng minh ñược nghiệm tổng quát của phương trình ( ) 0y p x y′ + = ñược

tính theo công thức: ( )

,p x dx

y Ce C−∫= ∀ ∈ ℝ

⋇ Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

⊕ Cách 1 Tìm nghiệm của phương trình ( ) ( )y p x y q x′ + = bằng cách dựa vào

103 công thức:

( ) ( )( ) ;

p x dx p x dxy e q x e dx C C

− ∫ ∫ = + ∀ ∈ ∫ ℝ

⊕ Cách 2

iTrước hết dùng công thức nghiệm ( )

, ,p x dx

y Ce C−∫= ∀ ∈ ℝ ñể tìm nghiệm tổng quát

của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất: ( ) 0y p x y′ + = .

iTiếp theo, chúng ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không

thuần nhất: ( ) ( )y p x y q x′ + = . Muốn vậy, trong công thức ( )

(*)p x dx

y Ce−∫=

ta coi ( )C C x= là hàm củax mà ta cần xác ñịnh. Tiếp theo từ (*) ta tính .y ′ Thay y và

y ′ vừa tìm ñược vào phương trình ( ) ( )y p x y q x′ + = , tiếp tục biến ñổi chúng ta sẽ tìm

ñược .C Cuối cùng thay C vừa tìm ñược vào công thức (*)chúng ta sẽ ñược nghiệm tổng

quát của phương trình ( ) ( ).y p x y q x′ + =

� Ví dụ Giải phương trình vi phân: ( cos ), (30)y x y x x′= −

Giải ⊕ Cách 1

Từ: 2 1cos (31)( cos ) cos y x x

xy x y x x xy y x x y − =′ ′ ′= − ⇒ − = ⇒

Áp dụng công thức nghiệm: ( ) ( )

cosp x dx p x dx

y e x x e dx C− ∫ ∫ = + ∫

Ta có:( ) ( )1 11

( ) ; ( ) cos cosx xdx dx

p x q x x x y e x x e dx Cx

− − − ∫ ∫ = − = ⇒ = + ∫

ln lncos cos

dx dx

x xx x

y e x x e dx C e x x e dx C− − ∫ ∫ = + = + ∫ ∫

1lnln 1cos . cos

xx

xe x x e dx C y x x x dx C=

+ ⇒ = + ∫ ∫

1. cos cos sin , .x

y x x x dx C x y x x dx Cx x x Cx C⇔ = + ⇒ = + = + ∀ ∈∫ ∫ ℝ

⊕ Cách 2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất 1

0,dy

ydx x

− = bằng cách áp

dụng công thức ( ) ln

1 1 1 1, ( )

p x dxdx

xxy C e C e C e C x

−∫=∫= = = +

11

.dC

y C xdx

′⇒ = + Thay ,y y ′ vừa tìm ñược vào phương trình (31) ta có:

11 11 1 1

cos.

cos cos cosx xC xdC dC

C x x dC xdx dC xdxdx x dx

⇔+ − = = ⇔ = ⇒ =∫ ∫1

sin .C x C⇒ = + Lại thay 1

sinC x C= + vào (+) ta ñược nghiệm tổng quát của

phương trình (30) là: (sin ) sin , ( )y x x C x x Cx C= + = + ∀ ∈ ℝ

104 1.3.5 Phương trình vi phân Bernoulli ♦ Định nghĩa 6

Phương trình vi phân Bernoulli là phương trình có dạng: ( ) ( ) (31)dy

p x y q x ydx

α+ = trong

ñó ( )p x và ( )q x là các hàm số liên tục trên khoảng ( , ).a b


i Khi 0α= hoặc 1α= thì phương trình (31) trở thành phương trình vi phân tuyến tính

cấp 1.

i Khi 0 & 1α α≠ ≠ thì ta chia 2 vế của phương trình (31) cho ( 0)y yα ≠ ta ñược:

1( ) ( ), (32).

dyy p x y q x

dx

αα −− + = Chúng ta ñặt 1

(1 )dz dy

z y ydx dx

α αα

− −= ⇒ = −

. , (33).(1 )

dy y dz

dx dx

α

α⇒ =

− Thay

dy

dx từ (33) vào (32) ta ñược:

1.. ( ) ( )

(1 )(1 ) ( ) (1 ). ( ) (34)

y y dzp x y q x

dx

dzp x z q x

dx

α αα

αα α

−−+ =

−⇔ + − = − .

Phương trình (34) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo z , mà chúng ta ñã biết cách giải.

� Ví dụ 12 Giải phương trình vi phân sau: 24 . , (35)dy

x y x ydx

− =

Giải Phương trình (35) là phương trình Bernoulli. Chia cả 2 vế của phương trình (35) cho

1

2 0 ( 0 & 0)xy x y≠ ⇒ ≠ ≠ ta ñược 1 12 2

4. . (36).dy

y y xdx x

−− = Đặt ần mới

12z y=

1 12 2

12 (37).

2

dz dy dy dzy y

dx dx dx dx

−⇒ = ⇒ = Thay

dy

dx từ (37) vào (36) chúng ta ñược:

1 12 2

4 4 22 . 2 . . , (38).

2

dz dz dz xy y z x z x z

dx x dx x dx x

− − = ⇔ − = ⇔ − =

Để giải phương trình (38) ta áp dụng công thức nghiệm ñã biết:

2 2( ) ( ) 1

( )2

dx dxp x dx p x dx

x xz e q x e dx C z e xe dx C−−

∫ ∫∫ ∫ = + ⇒ = + ∫ ∫

2 2

1ln

ln 2 2

2

1 1 1

2 2x x

dxz e x e dx C x x dx C z x C

xx

⇒ = + = + ⇒ = + ∫ ∫ ∫

( )2 ln .z x x C⇒ = + Vì: 21

2 421

ln , .2

z y y z y x x C C = ⇒ = ⇒ = + ∀ ∈

ℝ

§2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 2.1 Một số khái niệm mở ñầu ♦ Định nghĩa 8

105

Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng: ( , , , ) 0 (1)F x y y y′ ′′ = (hoặc dưới

dạng giải ñược ñối với : ( , , ))y y f x y y′′ ′′ ′=

♦ Định nghĩa 9 (Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2) i Ta gọi nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2: ( , , , ) 0F x y y y′ ′′ = là

hàm số: 1 2

( , , ),y x C Cϕ= (1 2,C C∀ ∈ ℝ ) thỏa mãn phương trình vi phân ấy.

i Hàm số 0 01 2

( , , )y x C Cϕ= có ñược từ nghiệm tổng quát bằng cách cho những hằng

số tùy ý các giá trị cụ thể 0 01 2,C C ñược gọi là nghiệm riêng của phương trình vi phân

( , , , ) 0F x y y y′ ′′ = .

i Phương trình1 2

( , , , ) 0x y C C =Φ cho ta mối liên hệ giữa biến ñộc lập và nghiệm tổng

quát của phương trình vi phân cấp 2 gọi là tích phân tổng quát của nó.

i Nếu cho 0 01 1 2 2

,C C C C= = ta ñược phương trình 1 2

( , , , ) 0o o

x y C C =Φ gọi là tích

phân riêng của phương trình vi phân nói trên.

2.2 Định lý sự tồn tại và duy nhất nghiệm � Định lý 2 Nếu trong phương trình ( , , ),y f x y y′′ ′= hàm ( , , )f x y y ′ liên tục trong một miền nào ñó

chứa ñiểm ( , , )o o ox y y ′ thì tồn tại một nghiệm ( )y f x= của phương trình ñó, nghiệm ấy và

ñạo hàm của nó lấy tại 0

x x= những giá trị cho trước 0 0 0 0

( ) , ( ) .y x y y x y′ ′= =

Ngoài ra nếu ,f f

y y

∂ ∂′∂ ∂ cũng liên tục thì nghiệm ấy là duy nhất.

i Điều kiện ñể y và y ′ lấy tại 0

x x= các giá trị cho trước 0 0,y y ′ gọi là ñiều kiện ñầu

và người ta thường viết những ñiều kiện ấy như sau: ; .o o

o ox x x xy y y y

= =′ ′= =

2.3 Phương trình cấp 2 giảm cấp ñược. 2.3.1 Vế phải của phương trình không phụ thuộc vào y và :y ′ ( )y f x′′= (2)


Vì: ( )y y′′′ ′= nên từ

1( ) ( ) ( ) ( )y f x y f x y f x dx C′′ ′ ′ ′= ⇒ = ⇒ = +∫

( ) 1 21 2, , .= ( ) C Cy f x dx dx C x C ∀ ∈⇒ + +∫ ∫ ℝ

� Ví dụ 15 Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình siny x′′= thỏa mãn các

ñiều kiện ñầu: 00

0; 1.xx

y y==

′= =

Giải

Theo cách giải ở trên ta có: ( )1 1 2sin cosy x dx C y x dx C x C′ = + ⇒ = − + +∫ ∫

1 2sin .x C x C= − + + Do ñó nghiệm tổng quát của phương trình siny x′′ = là:

106

1 2sin .y x C x C= − + + Vì

1 2 200 sin 0 0 0 0.

xy C C C

== ⇒− + + = ⇔ = Mặt khác

Từ 1 2 1 1 10

sin cos . 1 cos 0 1 2x

y x C x C y x C Vì y C C=

′ ′=− + + ⇒ =− + = ⇒− + = ⇔ =

Vậy nghiệm riêng cần tìm là: sin 2 .y x x= − +

2.3.2 Vế phải của phương trình không chứa y : ( , )y f x y′′ ′= (3)


Đặt:y p y p′ ′′ ′= ⇒ = , khi ñó phương trình (3) có dạng ( , )p f x p′ = (4).Phương trình

(4) là một phương trình vi phân cấp 1. Giả sử phương trình (4) có nghiệm tổng

quát là 1 1 1 2

( , ). Vì ( , ) ( , ) .p x C y p y x C y x C dx Cϕ ϕ ϕ′ ′= = ⇒ = ⇒ = +∫

� Ví dụ 16 y

y xx

′′′ = − (5)

Giải

Đặt: y p y p′ ′′ ′= ⇒ = ⇒phương trình ñã cho có dạng ,(6)p p

p x p xx x

′ ′= − ⇔ + =

Để giải phương trình ,p

p xx

′ + = chúng ta có thể áp dụng công thức:

1ln

ln ln ln

1 1 1

dx dxx x x x

x xp e xe dx C e xe dx C e xe dx C− −

∫ ∫ = + = + = + ∫ ∫ ∫

( )2

21 1 11

1 1 1

3

C C Cxp x x dx C x x dx p x dx

x x xx x x⇒ = + = + ⇔ = + = +∫ ∫ ∫

Vì: 2 3

11 2

ln .3 9

Cx xy p y y C x C

x′ ′= ⇒ = + ⇒ = + +

2.3.3 Vế phải của phương trình không chứa : ( , )x y f y y′′ ′= , (7)


Đặt y p′ = xem p là hàm của y và y là hàm của ,x ta có: . .dp dy dp

y pdy dx dy

′′ = = Khi

ñó phương trình(7) có dạng ( , ) (8),dp

p f y pdy

= ñây là phương trình tuyến tính cấp 1

theop mà chúng ta ñã biết cách giải. Nếu phương trình (8) có nghiệm 1

( , )p y Cϕ=

1 2 1 21 1

( , ) , ,( , ) ( , )

dy dy dyy C dx x C C C

dx y C y Cϕ

ϕ ϕ⇒ = ⇔ = ⇒ = + ∀ ∈∫ ℝ

⇒ nghiệm tổng quát của phương trình (7).

� Ví dụ 17 Giải phương trình vi phân sau: 22 0y y y′′ ′+ = (9)

Giải

Đặt: ,y p′= xem p là một hàm của y ta có: dp

y pdy

′′ = ⇒ phương trình (9) có dạng:

107

2

0

2 0 2 02y 0

pdp dp

py p p y p dpdy dy p

dy

= + = ⇒ + = ⇒ + =

i Nếu 0y y C′= ⇒ = (+)

i Nếu 0

1 12y 0 ln ln ln

2 2 2

dp dp dy dp dyp p y C

dy p y p y+ = ⇒ = − ⇒ =− ⇒ =− +∫ ∫

320 0

0 0 1 2

C Cdyp y dy C dx y dy C dx y C x C

dxy y⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = +∫ ∫

(với 1 0

3

2C C= ). Nếu chọn

10C = ta ñược họ nghiệm (+). Vậy nghiệm tổng quát

của phương trình (9) là: 32

1 2.y C x C= +

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số. 2.4.1 Một số khái niệm ♦ Định nghĩa 10 i Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số (hằng) không thuần

nhất là phương trình có dạng: ( ) (10),y p y q y f x′′ ′+ + = trong ñó ,p q là các

hằng số, còn ( )f x là một hàm số của biến ñộc lập .x

i Phương trình 0 (11)y p y q y′′ ′+ + = gọi là phương trình thuần nhất tương

ứng với phương trình (10).

iHai nghiệm 1 2,y y của phương trình (11) gọi là ñộc lập tuyến tính nếu 1

2

( )

( )

y xconst

y x≠

Trong trường hợp 1

2

( )

( )

y xconst

y x= thì 2 nghiệm

1 2,y y gọi là phụ thuộc tuyến tính.

� Ví dụ 18 a) 5 7 3 2y y y x′′ ′+ + = + là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số

hằng không thuần nhất b) 2 15 0y y y′′ ′+ + = là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

thuần nhất.

c) Giả sử 2 31 1

,x xy e y e= = là các nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính

cấp 2 với hệ số hằng nào ñó. Ta thấy 2

11 23

2

,x

x

x

y ee const y y

y e

−⇒ = = ≠ ⇒ là hai

nghiệm ñộc lập tuyến tính (ñltt).

i Giả sử 1 2

, 3x xy e y e′ ′= = là các nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính

cấp 2 với hệ số hằng nào ñó. Ta thấy 11 2

2

1,

33

x

x

y econst y y

y e⇒ = = = ⇒ là hai

nghiệm phụ thuộc tuyến tính (pttt).

108 � Định lý 3 Nếu

1 2,y y là hai nghiệm riêng ñộc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất:

0,y p y q y′′ ′+ + = thì 1 1 2 2 1 2

, ,y C y C y C C= + ∀ ∈ ℝ là nghiệm tổng quát của

phương trình thuần nhất ñã cho.

▼ Chú ý 7

Nếu 1 2,y y là hai nghiệm (pttt) của phương trình 0y p y qy′′ ′+ + = thì ta có

1 2y ky=

(trong ñó k ∈ ℝ ) 1 1 2 2 1 2 2 2

( )

C

y C y C y C k C y C y y⇒ = + = + = ⇒��

chỉ phụ thuộc một

hằng số C tùy ý 2

y Cy⇒ = không thể là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

tuyến tính cấp 2 thuần nhất (11). Vì vậy: Trong ñịnh lý 3 ñiều kiện 1 2,y y là hai

nghiệm (ñltt) là rất quan trọng. � Định lý 4 Nếu

0y là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: ( )y p y q y f x′′ ′+ + =

và y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất 0y p y q y′′ ′+ + = thì

0y y y= + là nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất:

( ).y p y q y f x′′ ′+ + =

� Định lý 5 (Nguyên lý chồng chất nghiệm) Cho phương trình vi phân không thuần nhất

1 2( ) ( )y p y q y f x f x′′ ′+ + = + . Nếu

1y

là nghiệm riêng của phương trình 1( )y p y q y f x′′ ′+ + = và

2y là nghiệm riêng của

phương trình 2( )y p y q y f x′′ ′+ + = thì

1 2y y+ là nghiệm riêng của phương

trình không thuần nhất 1 2( ) ( )y p y q y f x f x′′ ′+ + = + .

▼ Chú ý 8

Nếu ,p q trong phương trình (10) là các hàm của x thì các ñịnh lý trên vẫn ñúng.

2.4.2 Phương pháp giải phương trình tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng thuần nhất ⋇ Phương pháp giải

i Theo Định lý 3 ở trên muốn tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (11)

Ta chỉ cần tìm hai nghiệm (ñltt) của nó. Chúng ta sẽ tìm nghiệm riêng của (11) dưới

dạng ,kxy e= trong ñó k là một hằng số nào ñó cần xác ñịnh. Từ kx kxy e y ke′= ⇒ =

2 .kxy k e′′ = Thay , ,y y y′ ′′ vào (11) chúng ta ñược 2( ) 0.kxk pk q e+ + =

Vì 0,kxe ≠ nên từ phương trình 2( ) 0kxk pk q e+ + = chúng ta có:

2 0,(12).k pk q+ + = Vậy nếu k thỏa mãn phương trình (12) thì kxy e= là nghiệm

riêng của phương trình thuần nhất 0.y p y q y′′ ′+ + =

i Phương trình 2 0k pk q+ + = ñược gọi là phương trình ñặc trưng của phương

109 trình thuần nhất 0.y p y q y′′ ′+ + = Như vậy nghiệm riêng của phương trình (11)phụ

thuộc vào nghiệm của phương trình (12). Nhưng phương trình ñặc

trưng 2 0k pk q+ + = là một phương trình ñại số bậc hai có hai nghiệm 1 2,k k

trong các trường hợp sau ñây: 1) Nếu phương trình (12) có hai nghiệm

1 2k k≠ thì phương trình thuần nhất

(11) có nghiệm tổng quát: ( )1 21 2 1 2

,k x k x

y C e C e C C= + ∀ ∈ℝ

� Ví dụ 19 Giải phương trình vi phân : 6 8 0y y y′′ ′− + =

Giải

Phương trình ñặc trưng 2 6 8 0k k− + = có hai nghiệm 1 2

2, 4k k= = . Do ñó nghiệm

tổng quát của phương trình 6 8 0y y y′′ ′− + = là 2 41 2 1 2

, ( , )x xy C e C e C C= + ∀ ∈ ℝ

2) Nếu phương trình ñặc trưng 2 0k pk q+ + = có hai nghiệm trùng nhau

1 2k k=

thì phương trình thuần nhất (11) là 11 2 1 2

( ) , ( , )k x

y C C x e C C= + ∀ ∈ ℝ .

� Ví dụ 20

Giải phương trình sau: 4 4 0y y y′′ ′+ + = , (Đs: 21 2

( ) xy C C x e−= + )

3) Nếu phương trình ñặc trưng 2 0k pk q+ + = có hai nghiệm phức liên hợp:

1 2,k i k iα β α β= + = − thì phương trình thuần nhất 0y p y q y′′ ′+ + = có nghiệm

tổng quát: 1 2 1 2

os sin , ( , )x xy C e c x C e x C Cα αβ β= + ∀ ∈ ℝ .

� Ví dụ 21 Cho phương trình 2 4 0, (13)y y y′′ ′+ + = .Tìm một nghiệm riêng của phương trình

ñã cho thỏa mãn các ñiều kiện ñầu 0 0

1, 1x x

y y= =

′= = .

Giải

Phương trình ñặc trưng: 2

1 22 4 0 1 3 1 3k k k i k i+ + = ⇔ = − + ∨ = − −

Do ñó nghiệm tổng quát của phương trình 2 4 0y y y′′ ′+ + = có dạng sau:

( ) 1 2 1 21 2( 3 ) cos 3 ( 3 ) sin 3cos 3 sin 3

x xC C x C C xy e C x C x y e

− −− + − + ′= + ⇒ =

Vì:1

1

0 021 2

111, 1 2

3 13

x x

CC

y yCC C= =

= = ′= = ⇒ ⇒ ⇒ =− + =

nghiệm riêng

của (13) là:1

(3 cos 3 2 3 sin 3 ).3

y x x= +

2.4.2 Các phương pháp giải phương trình tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng không thuần nhất.

⋇ Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

110

Phương pháp biến thiên hàng số Lagrange ñể giải phương trình vi phân không

thuần nhất ( ),y p y q y f x′′ ′+ + = trong ñó ,p q ∈ ℝ là phương pháp dựa trên

ñịnh lý sau:

� Định lý 6 Nếu

1 1 2 2y C y C y= + là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

0y p y q y′′ ′+ + = thì nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất

( )y p y q y f x′′ ′+ + = là 1 1 2 2( ) ( ) ,y C x y C x y= + trong ñó

1 2( ) & ( )C x C x là nghiệm

của hệ: 1 1 2 2

1 1 2 2

0.

( )

C y C y

C y C y f x

′ ′ + = ′ ′ ′ ′ + =

▼ Chú ý 9

Nếu ,p q trong phương trình ( )y p y q y f x′′ ′+ + = là các hàm của x thì Định lý 6

vẫn ñúng.

� Ví dụ 22 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: .y

y xx

′′′− =

Giải

Trước hết ta hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 0y

yx

′′′− =

( ) ( ) ( ) ( )1ln ln ln ln ln ln ln

yd y d x d y d x y x C

y x

′′′ ′ ′⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = +

′ ∫ ∫

lndy

Cx y Cx Cx dy Cx dx dy Cx dxdx

′= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ ∫

2 22 1 2

.2

Cy x C C x C= + = + Biểu thức 2

1 2y C x C= + là nghiệm của phương trình

y ,y

xx

′′′− = nếu các số

1 2,C C thỏa mãn hệ phương trình:

2

1 2

1 2

.1 0

2 .0

C x C

C x C x

′ ′+ =′ ′+ =

1

3

2

1

22

1

22 , ( ).1

2 6

,

xCC

xC x C

′ = +=⇒ ⇒

′ =− =− +

∈

ℝ1

2

1 2

C

C

C C

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình ñã cho là: 3

2

2 6

x xy x= + + − +

1 2

C C

( )3

2 , , .3

xy x⇔ = + + ∀ ∈ℝ

1 2 1 2C C C C

⋇ Phương pháp hệ số bất ñịnh

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất :

( )y p y q y f x′′ ′+ + = có dạng ,o

y y y= + trong ñó y là nghiệm tổng quát của

phương trình vi phân thuần nhất 0y p y q y′′ ′+ + = , còn 0y là một nghiệm riêng của

111

phương trình vi phân không thuần nhất ( )y p y q y f x′′ ′+ + = sẽ ñược tìm bằng cách

dựa vào ñặc ñiểm của ( )f x trong các trường hợp sau:

Trường hợp thứ nhất

( ) ( )x

nf x e P xα= trong ñó ( )

nP x là một ña thức bậc n của x và α là một hằng số

Người ta chứng minh ñược rằng :

i Nếu α không phải là nghiệm của phương trình ñặc trưng 2 0k pk q+ + = thì

một nghiệm riêng của phương trình ( )x

ny py qy e P xα′′ ′+ + = có dạng

0( )x

ny e Q xα=

trong ñó ( )n

Q x là ña thức cùng bậc với ( )nP x và có ( 1)n + hệ số chưa biết mà

chúng ta có thể tìm ñược bằng phương pháp hệ số bất ñịnh.

i Nếu α là nghiệm ñơn của phương trình ñặc trưng 2 0k pk q+ + = thì một

nghiệm riêng của phương trình ( )x

ny py qy e P xα′′ ′+ + = sẽ có dạng

0( )x

ny xe Q xα=

trong ñó ( )n

Q x là ña thức cùng bậc với ( )nP x và có ( 1)n + hệ số chưa biết mà chúng

ta có thể tìm ñược bằng phương pháp hệ số bất ñịnh.

i Nếu α là nghiệm kép của phương trình ñặc trưng 2 0k pk q+ + = thì một nghiệm

riêng của phương trình ( )x

ny py qy e P xα′′ ′+ + = sẽ có dạng 2

0( )x

ny x e Q xα=

trong ñó ( )n

Q x là ña thức cùng bậc với ( )nP x và có ( 1)n + hệ số chưa biết mà chúng

ta có thể tìm ñược bằng phương pháp hệ số bất ñịnh.

� Ví dụ 23 Giải phương trình vi phân: 2 1y y y x′′ ′− + = + (14)

Giải

Vì phương trình ñặc trưng 21 2

2 1 0 1k k k k− + = ⇔ = = ⇒ nghiệm tổng quát của

phương trình thuần nhất 2 0y y y′′ ′− + = là 1 2 1 2

( ) ,( , ) (15)xy C C x e C C= + ∀ ∈ ℝ

Phương trình (14) có thể viết lại như sau: 02 (1 ) 0xy y y e x α′′ ′− + = + ⇒ = không

phải là nghiệm ñơn của phương trình ñặc trưng 2 2 1 0k k− + = nên một nghiệm riêng

của phương trình (14) có dạng 0 0 0 0 0

( ) & 0. , ,y ax b y a y Thay y y′ ′′ ′= + ⇒ = = 0y ′′ vào

phương trình (14) chúng ta ñược: 1

( 2 ) 12 1

aax a b x

a b

=+ − + = + ⇔ + =−

01 & 3 3a b y x⇒ = = ⇒ = + , (16). Từ (15) và (16) chúng ta suy nghiệm tổng quát

của phương trình (14) là: 0 1 2 1 2

( ) ( 3), ( , )xy y y C C x e x C C= + = + + + ∀ ∈ ℝ

� Ví dụ 24 Giải phương trình vi phân: 3 2 (3 4 )xy y y e x′′ ′− + = − (17)

Giải

112

Phương trình ñặc trưng 2

13 2 0 1 2k k k k− + = ⇔ = ∨ = ⇒ phương trình thuần

nhất 3 2 0y y y′′ ′− + = có nghiệm tổng quát là : 21 2 1 2

,( , ), (18)x xy C e C e C C= + ∀ ∈ ℝ

Từ 1

( ) (3 4 ) 1 & ( ) 3 4xf x e x p x xα= − ⇒ = = − và 1α= là nghiệm ñơn của

phương trình ñặc trưng, nên một nghiệm riêng của (1) có dạng: 2

22

( (2 ) )( ) ( )

( (4 ) 2 2 )

xx x o

o x

o

y ax a b x b ey x e ax b e a x bx

y ax a b x a b e

′ = + + += + = + ⇒ ′′ = + + + +

Thay , ,o o oy y y′ ′′ vào (17) ta ñược:

2 2 2( (4 ) 2 2 ) 3( (2 ) ) 2 ( ) (3 4 )x x x xax a b x a b e ax a b x b e e ax bx e x+ + + + − + + + + + = −

2 4( 2 2 ) (3 4 ) 2 2 3 4

2 3x x

aax a b e x e ax a b x

a b

− =−⇔ − + − = − ⇔− + − = − ⇔ − =2

(2 1) (19).1

x

o

ay x e

b

=⇔ ⇒ = + = Từ (18) và (19) ⇒nghiệm tổng quát của phương

trình (17) là: 2 21 2

(2 ) .x x x

oy y y C e C e x x e= + = + + +

� Ví dụ 25 Giải phương trình vi phân: 26 5 3 5 , (20).xy y y e x′′ ′− + = +

Giải

• Vì phương trình ñặc trưng: 21 2

6 5 0 1, 5k k k k− + = ⇔ = = ⇒ phương trình thuần

nhất 6 5 0y y y′′ ′− + = có nghiệm tổng quát là: 51 2 1 2

, , ,(21)x xy C e C e C C= + ∀ ∈ ℝ

• Trước hết ta tìm nghiệm riêng của phương trình: 1

6 5 3 ( ),(22)xy y y e f x′′ ′− + = =

Từ 1( ) 3 xf x e= ⇒ 1α= là nghiệm ñơn của phương trình ñặc trưng , nên một nghiệm

riêng của phương trình (22) có dạng:

0 0 02 .x x x x xy Axe y Ae Ax e y Ae Ax e′ ′′= ⇒ = + ⇒ = + Thay

0 0 0, ,y y y′ ′′ vào (22) ta

ñược: 3

4(2 ) 6( ) 5 3 4 3x x x x

AA Ax e A Ax e Ax e e A ⇒ =−+ − + + = ⇒ − =

0

3

4, (23)x

y x e⇒ =−

• Tìm nghiệm riêng của phương trình: 22

6 5 5 ( ),(24)y y y x f x′′ ′− + = =

2 0 2 22 2( ) 5 (5 ) 0 & 5xf x x e x P xα= = ⇒ = = ⇒một nghiệm riêng của phương trình

(24) có dạng: 21 1 1

2 , 2 .y ax bx c y ax b y a′ ′′= + + ⇒ = + = Thay 1 1, ,y y ′

1y ′′ vào (24)

chúng ta có: 2 22 6(2 ) 5( ) 5a ax b ax bx c x− + + + + =

2 25 ( 12 5 ) (2 6 5 ) 5ax a b x a b c x⇔ + − + + − + =

113

21215

6225

15 512 62

12 5 0 (25).5 25

2 6 5 0

aa

a b b y x x

a b c c

== ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = + + − + = =

Từ: (21), (23) &(25)

⇒ nghiệm tổng quát của phương trình (20) là:

5 20 1 1 2 1 2

3

4

12 62, ( , ).

5 25xx x

x ey y y y C e C e x x C C−= + + = + + + + ∀ ∈ ℝ

� Ví dụ 26

Giải phương trình vi phân: 3 22 5 4 5 6 6 , (26)xy y y e x x x′′ ′− + = + − +

Giải ⊕ Cách 1 Phương pháp nhẩm nghiệm:

i Phương trình ñặc trưng 21 2

2 5 0 1 2 & 1 2k k k i k i− + = ⇔ = + = − ⇒phương

trình thuần nhất 2 5 0y y y′′ ′− + = có nghiệm tổng quát:

1 2 1 2( cos2 sin 2 ), , (*)xy e C x C x C C= + ∀ ∈ ℝ

i Phương trình 2 5 4 xy y y e′′ ′− + = (27) có nghiệm riêng 1

xy e= (**) vì nếu thay

1xy e= vào 2 vế của phương trình (27) thì làm cho hai vế bằng nhau.

i Mặt khác 32y x= (***) là nghiệm của phương trình: 3 22 5 5 6 6 ,(28)y y y x x x′′ ′− + = − +

vì nếu thay 31y x= vào 2 vế của phương trình (28) thì làm cho hai vế bằng nhau.

Từ : (*), (**), (***) ta suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (26) là: 3

1 2 1 2 1 2(1 cos2 sin 2 ) , ( , ).xy y y y e C x C x x C C= + + = + + + ∀ ∈ℝ

∇ Nhận xét Cách 1 giải tuy ngắn gọn hơn nhưng ñòi hỏi người giải toán phải nhạy bén mới nhanh

chóng tìm ra ñược các nghiệm 3,xy e y x= = .

⊕ Cách 2 Phương pháp hệ số bất ñịnh

i Phương trình ñặc trưng 21 2

2 5 0 1 2 & 1 2k k k i k i− + = ⇔ = + = − ⇒phương

trình thuần nhất 2 5 0y y y′′ ′− + = có nghiệm tổng quát:

1 2 1 2( cos2 sin 2 ), , ( )xy e C x C x C C= + ∀ ∈ +ℝ

i Tìm nghiệm riêng của phương trình: 1

2 5 4 ( ), ( )xy y y e f x′′ ′− + = = �

1( ) 4 1xf x e α= ⇒ = không phải là nghiệm của phương trình ñặc trưng, nên một

nghiệm riêng của phương trình ( )� có dạng 1 1 1

x xy ae y y ae′ ′′= ⇒ = = thay 1 1 1, ,y y y′ ′′

vào phương trình ( )� ta ñược: xa e 2 xa e− 5 xa e+ 4 xe= 2 5 4a a a⇔ − + =

14 4 1 ,( )xa a y e⇔ = ⇒ = ⇒ = ++

iTiếp theo ta tìm nghiệm riêng của phương trình:

2

3 2

( )

2 5 5 6 6 ,( )

f x

y y y x x x′′ ′− + = − + ��

114

Từ 3 22( ) 5 6 6 0f x x x x α= − + ⇒ = ⇒nghiệm riêng của phương trình ( )�� có dạng

23 2 2

2 2 2 22

3 2. , ,

6 2

y ax bx cy ax bx cx d Thay y y y

y ax b

′ = + + ′ ′′= + + + ⇒ ′′ = +vào phương

trình ( )�� ta ñược: 2 3 2 3 26 2 2(3 2 ) 5( ) 5 6 6ax b ax bx c ax bx cx d x x x+ − + + + + + + = − +

3 2 3 25 ( 6 5 ) (6 4 5 ) (2 2 5 ) 5 6 6ax a b x a b c x b c d x x x⇔ + − + + − + + − + = − +

32

5 5 1

6 5 6 0,( )

6 4 5 6 0

2 2 5 0 0

a a

a b by x

a b c c

b c d d

= = − + = − = ⇔ ⇒ ⇒ = +++ − + = = − + = =

Từ ( ), ( ), ( )+ ++ +++ ta có nghiệm tổng quát của phương trình (26) là:

( ) 31 2 1 2 1 2

1 cos2 sin 2 , ( , ).xy y y y e C x C x x C C= + + = + + + ∀ ∈ ℝ

⊕ Cách 3 Tìm nghiệm riêng mỗi số hạng của vế phải phương trình ñã cho.

i Gọi y là nghiệm tổng quát của phương trình: 2 5 0y y y′′ ′− + =

1 2 1 2( cos2 sin 2 ), , , (1)xy e C x C x C C⇒ = + ∀ ∈ ℝ

i Gọi 1y là nghiệm riêng của phương trình 2 5 4 xy y y e′′ ′− + =

1.xy e⇒ = (2)

i Gọi 2y là nghiệm riêng của phương trình 32 5 5y y y x′′ ′− + =

3 22

6 6 72

5 25 125y x x x⇒ = + − − , (3)

i Gọi 3y là nghiệm riêng của phương trình vi phân 22 5 6y y y x′′ ′− + = −

23

6 24 12,

5 25 125y x x⇒ = − − + (4)

i Gọi 4y là nghiệm riêng của phương trình vi phân 2 5 6y y y x′′ ′− + =

4

6 12,

5 25y x⇒ = + (5)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) ta suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (26) là:

( ) 31 2 3 4 1 2 1 2

1 cos2 sin 2 ,( , ).xy y y y y y e C x C x x C C= + + + + = + + + ∀ ∈ ℝ

∇ Nhận xét Tìm nghiệm của bài toán theo Cách 3 dài dòng và tính toán phức tạp so với Cách 1 hoặc Cách 2 , do ñó chúng ta không nên tìm nghiệm theo cách này.

115 Trường hợp thứ hai

( ) ( ( )cos ( )sin )x

n mf x e P x x Q x xα β β= + trong ñó ( ), ( )

n mP x Q x là các ña thức

bậc n và m của x và ,α β là những hằng số.

Người ta chứng minh ñược rằng :

)1 Nếu iα β+ không phải là nghiệm của phương trình ñặc trưng 2 0k p k q+ + =

thì một nghiệm riêng của phương trình vi phân ( )y p y q y f x′′ ′+ + = có dạng:

( )0( )cos ( )sin .

xy e Q x x R x x

αβ β= +

l l Trong ñó ( )Q x

l và ( )R x

llà các ña thức bậc l

ñầy ñủ (với max( , )m n=l ) có l 1+ hệ số chưa biết mà chúng ta sẽ tìm ñược bằng

phương pháp hệ số bất ñịnh.

)2 Nếu iα β+ là nghiệm của phương trình ñặc trưng 2 0k p k q+ + = thì một nghiệm

riêng của phương trình vi phân ( )y p y q y f x′′ ′+ + = có dạng:

0( ( )cos ( )sin ).xy xe Q x x R x xα β β= +

l l Trong ñó ( )Q x

l và ( )R x

llà các ña thức bậc

l ñầy ñủ (với max( , )m n=l ) có l 1+ hệ số chưa biết mà chúng ta sẽ tìm ñược bằng

phương pháp hệ số bất ñịnh.

� Ví dụ 27 Giải phương trình vi phân 4 siny y x x′′ + = , (29)

Giải

Phương trình ñặc trưng: 2

1 21 0 ,k k i k i+ = ⇔ = =− ⇒ phương trình thuần nhất

0y y′′ + = có nghiệm tổng quát 1 2

cos sin , (30)y C x C x= +

Mặt khác 0 1i i iα β+ = + = là nghiệm của phương trình ñặc trưng nên một

nghiệm riêng của phương trình (29) có dạng: 2 20 1 1

( )cos ( )siny ax bx x a x b x x= + + +

Ta có: 2 2

0 1 1 1 1( (2 ) )cos ( (2 ) )siny a x a b x b x ax a b x b x′ = + + + + − + − +i

2 20 1 1 1 1 1

cos ( )sin( (4 ) (2 2 )) (4 ) (2 2 )x xy ax a b x a b a x a b x a b+′′= − + − + + − − + + −i Tha

y 0 0,y y ′′ vào phương trình (29) và rút gọn ta ñược:

1 1 1(4 2( ))cos ( 4 2( ))sin 4 sina x a b x a x a b x x x+ + + − + − =

1

210

1

1 1

2 0 1

0 0cos sin , (31)

2 2 0

0 1

a a

a b by x x x x

a a

b a b

= = − + = = ⇔ ⇒ ⇒ = − + − = = − + = =

Từ (30) và (31) ta suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (29) là: 2

1 2 1 2cos sin cos sin , ( , )y x x x x C x C x C C= − + + + ∀ ∈ ℝ

116 � Ví dụ 28 Giải phương trình vi phân: sin cos2 , (32)y y x x′′ + = +

Giải

• Phương trình ñặc trưng 2

1 0k k i k i+ = ⇔ = ∨ =− ⇒ phương trình thuần nhất

0y y′′ + = có nghiệm tổng quát là 1 2 1 2

cos sin , ( , ),(33)y C x C x C C= + ∀ ∈ℝ

• Trước tiên ta tìm nghiệm riêng của phương trình sin , (34)y y x′′ + =

• Đặt: 01( ) sin sin 0 & 1 0xf x x e x i i iα β α β= = ⇒ = = ⇒ + = + = là nghiệm

của phương trình ñặc trưng, nên một nghiệm riêng của phương trình (32) có dạng:

1

1

1

( cos sin )( )cos ( )sin

( 2 )cos (2 )siny x a x b x

y a bx x ax b x

y ax b x a bx x= + ⇒

′ = + + − + ′′ = − + − +

Thế 1 1,y y ′′ vào phương trình (34) chúng ta có:

( 2 )cos ( 2 )sin cos sin sin .ax b x a bx x a x x bx x x− + + − − + + =

12

1

2 1 12 cos 2 sin sin cos ,(35)

2 0 0 2

a ab x a x x y x x

b b

− = =− ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇒ = − = =

• Tiếp theo chúng ta tìm nghiệm riêng của phương trình: cos2 , (36)y y x′′ + =

Đặt 02( ) cos2 cos2 0& 2 0 2 2 ,xf x x e x i i iα β α β= = ⇒ = = ⇒ + = + = không phải là

nghiệm của phương trình ñặc trưng, nên một nghiệm riêng của phương trình (36) có

dạng: 22 2

2

2 cos2 2 sin 2cos2 sin 2 . ,

4 cos2 4 sin 2

y b x a xy a x b x Thay y

y a x b x

′ = −= + ⇒ ′′ = − −

i

i 2y ′′

vào phương trình (36) ta ñược: 4 cos2 4 sin 2 cos2 sin 2 cos2 3 cos2 3 sin 2 cos2a x b x a x b x x a x b x x− − + + = ⇔− − =

2

13

3 1 1cos2 (37).

3 0 0 3

a ay x

b b

− = =− ⇒ ⇒ = − − = = Từ (33), (35), (37) ta suy ra nghiệm

tổng quát của phương trình (32) là:

21 2 1 1 2

1 1sin cos cos 2 ,( ).

2 3cos ,C x x x xy y y y C x C C− −= + + = + ∀ ∈ℝ

�

117

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

A) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

T T Đề bài Đáp số

Giải các phương trình vi phân biến số phân li sau

5.1 ( ) ( )2 2

2 21 1 0x y dx y x dy+ + + = 2 2

1 1

1 1C

x y+ =

+ +

5.2 2 2 2 2( ) 0x yx y y xy′− + + = lnx x y

Cy xy

+− =

5.3 cos2 sin 0y y y′ − =

2 cos ,ln tan2

y x Cy

x + = +⋅ =

( ).y kπ≠

sin 0 ,( )y y k kπ⋅ = ⇒ = ∈ ℤ

5.4 sin( ) sin( )y x y x y′ + + = − ln tan 2 sin & ( )

2

yx C y kπ⋅ + = ≠

sin 0 , ( )y y k kπ⋅ = ⇒ = ∈ℤ

5.5 1 1

2

y

y

ey

xe

− ′=−

ln 2 2 lnye y x C− + − =

5.6 cos sin 1

cos sin 1

y yy

x x

− −′=− +

tan (1 tan )(1 tan )

2 2 2

y y xC⋅ = + −

2 22

y k hay y kπ

π π⋅ = = − +

5.7 1

1.yx y

′ = +−

2( ) 2x y x C− + =

5.8 cos( )y x y′= − cos2

x yx C

−+ =

5.9 2 22 1y x xy y′= + − +

10x C

x y⋅ + + =

+

y x⋅ = − cũng là nghiệm.

5.10 ln 1

ln 1

xy

y

+′ =+

ln lnx x y y C= +

118

Tìm nghiệm riêng các phương trình vi phân thỏa mãn ñiều kiện ñầu

5.11

2 21 1 0,x y dx y x dy+ + + =

0

1.x

y=

=

2 21 1x y C+ + + =⋅

2 21 1 1 2x y+ + + = +⋅

5.12 0

sin ln 0, 1x

x dy y y dx y=

− = = ln tan

2

xy C⋅ =

⋅ Không có nghiệm riêng với 0

1x

y==

5.13 2 2

0(1 ) , 0x x

xe y dy e dx y

=+ = =

( )3 3arctan xy e C⋅ = +

( )3 33arctan .

4xy e

π⋅ = −

5.14 2 2

1( 1) 4; 2.

xx y y y

=′+ = + =

1arctan arctan

2 2

yx C⋅ = +

⋅ arctan 2arctan .2 4

yxπ

= +

5.15

sin cos cos sin 0,y x y x y′ + =

4 4x

y ππ

==

⋅ sin siny x C=

⋅1

sin sin2

y x =

Giải các phương trình vi phân thuần nhất (ñẳng cấp) sau

5.16 ( ) ( ) 0.y x dx y x dy− + + = 2 22y xy x C+ − =

5.17 2 2 .xdy y dx x y dx− = +

2 2y x yx C

x

+ + =

5.18 2 22 0.xyy x y′ + − = ⋅ 4 2 2Cx y x= −

⋅ Ngoài ra y x= ± cũng là nghiệm.

5.19 2 2 2 2(3 ) ( ) 0.x y y y x xy ′+ + − = ( )2 2y Cx x y= +

5.20 ( ) ( )cos siny y

x ydx xdy y xdy ydxx x

+ = − cosy

xy Cx=

5.21 2 2 ( 1) 0.x y y xy y′ ′+ + − = lnx

Cxyy

=

5.22 1

3

x yy

x y

− +′ =+ +

2 2( 1) 2( 2)( 1) ( 2)y x y x C+ + + + − + =

119

5.23 2

22

1

yy

x y

+ ′ = + −

22arctan

32y

xy Ce

+−

−+ =

Giải các phương trình vi phân hoàn chỉnh (Toàn phần) sau

5.24 2 2(3 2 2 ) (6 3) 0y xy x dx xy x dy+ + + + + = 2 2 23 3y x x y x y C+ + + =

5.25 3 2 3 2( ) ( ) 0x xy dx y yx dy+ + + = 24 42( )x xy y C+ + =

5.26 2( 1) ( 3) 0x y dx x y dy+ + + − + = 2 23 6 6 2 18x xy x y y C+ + − + =

Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp một

5.27 2

2 xy xy xe−′ + = 2

2

2xx

y C e− = +

5.28 3y xy x′ + = 2

2 22x

y x Ce−

= − +

5.29 ( )2

2 2(1 ) 2 1x y xy x′+ − = + ( )2(1 )y x x C= + +

5.30 ( )3

0

21 ,

11

2x

y y xx

y=

′ − = ++

=

i

2

2( 1)

( 1)2

xy x C

+ = + +

i

4( 1)

2

xy

+=

5.31 2

0(1 ) 1, 0

xx y xy y

=′+ + = =

i2

21ln

1

1 C

x

y x x ++

= + +

i2

2

1ln 1

1y x x

x

= + ++

5.32 22 ( 6 ) 0ydx y x dy+ − = 2 31

2x y C y= +

5.33 3 2 2( ) 3 1x x y x y x′+ + = + ( )

2

32

1ln

21

xy x C

x

= + + +

5.34 2 2(1 ) ( 1) 2 0x x y x y x′+ − − + = 1 1

y C xx x

= + +

5.35 2( 4) 4x y xy′− + = 2

2

14 ln 4

4y x x C

x

= + − + −

120

B) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 VỚI HỆ SỐ HẰNG

5.36 42 3 xy y y e′′ ′− − = 3 41 2

1

5x x xy C e C e e−= + +

5.37 2 3 xy y y xe′′ ′+ − = 2

21 2 2 3x x xx x

y C e C e e− = + + −

5.38 3 2 siny y y x′′ ′− + = 21 2

1 3sin cos

10 10x xy C e C e x x= + + +

5.39 4 siny y x′′ + = 1 2

cos sin 2 cosy C x C x x x= + −

5.40 2 25 4 4 xy y y x e′′ ′− + = 4 2 21 2

(2 2 3)x x xy C e C e x x e= + − − +

5.41 43 4 x xy y y e x e

− −′′ ′+ − = + 4 41 2

1

5 6 36x x x xx x

y C e C e e e− − − = + − − +

5.42 3 2 cosy y y x x′′ ′− + = ( )( )

21 2

0,1 0,12 cos

0, 3 0, 34 sin

x xy C e C e x x

x x

= + + −

− +

5.43 24 8 sin 2xy y y e x′′ ′− + = + ( )2 21 2

cos2 sin2 0,25 0,1cos2

0,05 sin2

x xy e C x C x e x

x

= + + +

+

5.44 3 2 3 5 sin 2y y y x x′′ ′− + = + 2

1 2

1 2

3 9 3 1cos2 sin 2 ,

2 4 4 4( , )

x xy C e C e x x x

C C

= + + + + −

∀ ∈ℝ

---------------- Hết ----------------

121

CHƯƠNG 6: CHUỖI SỐ

§ 1 CÁC KHÁI NIỆM CHUNG VỀ CHUỖI 1.1 Định nghĩa và ví dụ ♦ Định nghĩa 1

i Cho dãy số 1 2, , ..., ,...

nu u u Biểu thức

1 21

... ...n n

n

u u u u∞

=

+ + + + = ∑ (1) ñược gọi

là một chuỗi số (nhiều khi gọi tắt là “chuỗi ”)

i Các số 1 2, , ..., ,...

nu u u ñược gọi là các số hạng của chuỗi số, số

nu ñược gọi là

số hạng thứ n của chuỗi.

i Tổng hữu hạn của n − số hạng ñầu tiên của chuỗi (1) là:

1 21

...n

n n nn

S u u u u=

= + + + = ∑ gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi ñã cho.

i Nếu dãy số: 1 2, ,..., ,...

nS S S có giới hạn hữu hạn S khi ,n→∞ tức là lim

nn

S S→∞

=

thìS ñược gọi là tổng của chuỗi 1n

n

u∞

=∑ và lúc ñó ta nói rằng chuỗi

1n

n

u∞

=∑ là chuỗi hội

tụ (HT). Chuỗi không hội tụ ñược gọi là chuỗi phân kỳ (PK).

(Như vậy chuỗi (1) là chuỗi phân kỳ nếu limn

nS

→+∞không tồn tại hoặc bằng ∞ )

i Trong trường hợp chuỗi 1 2

1

... ...n n

n

u u u u∞

=

+ + + + = ∑ và có tổng là S thì

hiệu 1 2 3

1

...n n n n k

k n

S S u u u u∞

+ + += +

− = + + + = ∑ ñược gọi là chuỗi dư của chuỗi ñã

cho.

1.2 Một số ví dụ

�Ví dụ 1 Tìm số hạng tổng quát của chuỗi: 1 4 7 10

... (*)5 9 13 17+ + + +

(Hướng dẫn: 3 2

4 1n

nu

n

−=

+ và chuỗi (*) có thể viết lại như sau

n= 1

3 2

4 1

n

n

∞ −

+∑ )

�Ví dụ 2 Tìm tổng riêng và tổng (nếu có) của chuỗi 2

n=1

1

4 1n

∞

−∑ .

Giải

Tổng riêng 1 2 2

1 1 1 1... ...

3 4.4 1 4.9 1 4. 1n nS u u u

n= + + + = + + + +

− − −. Ta

viết số hạng tổng quát 2

1 1 1 1 1

(2 1)(2 1) 2 2 1 2 14 1 n n n nn

= = − − + − + −

⇒Tổng n – số hạng ñầu tiên của chuỗi ñã cho là:

122

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 1

2 1 3 2 3 5 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1n

nS

n n n n

= − + − + + − = − = − + + + ⇒

Tổng của chuỗi ñã cho là 1

lim lim2 1 2n

n n

nS S

n→∞ →∞= = =

+, nên chuỗi ñã cho HT.

� Ví dụ 3

Xét tính hội tụ của chuỗi: 1 12

1

... ...(2)n n

n

a q a aq aq aq∞

− −

=

= + + + + +∑

Giải

Ta có 12 ...

n

nS a aq aq aq

−= + + + + . Đây là tổng của n số hạng ñầu tiên của cấp số

nhân với công bội là q nên xét các trường hợp sau :

11 :

1

n

n

qq S a

q

−⊕ ≠ =

− ta sẽ tìm lim :

nn

S→+∞

i Nếu 1q < thì 1

lim 0 lim .1

n

nn n

q S S aq→∞ →∞

= ⇒ = = <∞⇒−

chuỗi (2) hội tụ.

i Nếu 1q > thì lim limn

nn n

q S S→∞ →∞

=∞ ⇒ = = ∞ ⇒ chuỗi (2) phân kỳ.

⊕ Nếu 1q= thì 1

1 1

n

n n

aq a∞ ∞

−

= =

=∑ ∑ ñây là chuỗi PK, vì lim lim ( ) .n

n nS na

→∞ →∞= =∞

⊕ Nếu 1q = − thì chuỗi 1 1

1 1

1 ( 1)( 1) &

2

nn n

nn n

a q a S a∞ ∞

− −

= =

− −= − = ⇒∑ ∑ chuỗi

1

1

n

n

a q∞

−

=∑ - phân kỳ vì

1 ( 1)lim lim ,

2

n

nn n

S a→∞ →∞

− −= không tồn tại.

Vậy:1

1

n

n

a q∞

−

=∑ - hội tụ khi 1q < và phân kỳ khi 1.q ≥

1.3 Điều kiện cần của chuỗi hội tụ � Định lý 1

Nếu chuỗi 1n

n

u∞

=∑ hội tụ thì lim 0.

nn

u→∞

=

▼ Chú ý 1

a) Định lý trên chỉ là ñiều kiện cần chứ không phải là ñiều kiện ñủ ñể một chuỗi HT

tức là nếu có lim 0n

nu

→∞= thì chưa thể khẳng ñịnh ñược chuỗi số

1n

n

u∞

=∑ HT hay PK.

� Ví dụ 4

Mặc dù 1

lim lim 0,n

n nu

n→∞ →∞= = nhưng người ta ñã chứng minh ñược rằng chuỗi

1

1

n n

∞

=∑ là

chuỗi phân kỳ.

123

b) Từ ñịnh lý trên ta suy ra nếu lim

nn

u→∞

không tồn tại hoặc lim 0n

nu p

→∞= ≠ thì chuỗi

1n

n

u∞

=∑ là chuỗi phân kỳ.

1.4 Các tính chất cơ bản của chuỗi hội tụ ¤ Tính chất 1

Nếu chuỗi 1n

n

u∞

=∑ hội tụ thì chuỗi dư

1 2 3...

n n nu u u+ + ++ + + cũng hội tụ và ngược

lại nếu chuỗi dư hội tụ thì chuỗi1n

n

u∞

=∑ cũng hội tụ.

▼ Chú ý 2

Từ tính chất 1 ta thấy : Việc bỏ ñi một số hữu hạn các số hạng ñầu tiên của một chuỗi nào

ñó không ảnh hưởng ñến tính hội tụ hay phân kỳ của nó.

¤ Tính chất 2

Nếu chuỗi 1n

n

u∞

=∑ hội tụ và có tổng là S thì chuỗi

1

( )n

n

k u k const∞

=

=∑ cũng hội tụ và có

tổng là .kS

¤ Tính chất 3

Nếu hai chuỗi 1 1

&n n

n n

u v∞ ∞

= =∑ ∑ cùng hội tụ và có tổng lần lượt là

1S và

2S thì chuỗi

1

( )n n

n

u v∞

=

+∑ cũng hội tụ và có tổng 1 2

.S S+

§ 2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.1 Định nghĩa và ví dụ ♦ Định nghĩa 2

i Chuỗi 1n

n

u∞

=∑ ñược gọi là chuỗi số dương nếu tất cả các số hạng 0

nu n≥ ∀ ∈ℕ

Nếu 0,nu n> ∀ ∈ℕ thì chuỗi ñược gọi là chuỗi dương thật sự.

i Trong trường hợp 0,nu n< ∀ ∈ ℕ thì chuỗi

1n

n

u∞

=∑ là chuỗi số âm. Khi ñó theo Tính

chất 2 ta có thể dễ dàng suy ra tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số âm nhờ vào sự hội

tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương.

� Định lý 2 Tổng của chuỗi số dương là một số hữu hạn (chuỗi hội tụ) nếu dãy các tổng riêng bị chặn

trên và bằng ∞ (chuỗi phân kỳ) nếu dãy các tổng riêng không bị chặn.

� Ví dụ 5

Cho chuỗi 1

1 1 1 1 11 ... ...(3)2 3 3n n n

∞

=

= + + + + + +∑ (ñây là chuỗi ñiều hòa).

124

Giải

Ta có 1 1 1 1 1

... . ( ) (4)1 2 2 2 2

n nn n n n

+ + + > = ∀ ∈+ +

ℕ . Nếu ta bỏ ñi hai số hạng

ñầu của chuỗi (3) và gộp các số hạng còn lại theo các nhóm 12, 4, 8,...,2k− số hạng:

k 1

k 1 k 2 2k

2 4 2soá haïng soá haïng soá haïng

1 1 1 1 1 1 1 1 1, ...3 4 5 6 7 8 2 2 2

, ..., ,...döïa vaøo (4) chuùng ta coù thaáy

−

− −

− −−

+ + + + + + +

��

t

hấy rằng mỗi nhóm của tổng trên ñều lớn hơn 12

. Vậy: tổng riêng không bị chặn và (3)

là chuỗi phân kỳ.

2.2 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương 2.2.1 Các ñịnh lý so sánh � Định lý 3 (Định lý so sánh 1)

Cho 2 chuỗi số dương 1 1

&n n

n n

u v∞ ∞

= =∑ ∑ . Nếu với n ñủ lớn ( 0 )n N≥ > mà

n nu v≤

thì từ sự hội tụ của chuỗi 1n

n

v∞

=∑ ⇒ chuỗi

1n

n

u∞

=∑ cũng hội tụ và nếu chuỗi

1n

n

u∞

=∑

phân kỳ ⇒ chuỗi 1n

n

v∞

=∑ cũng phân kỳ.

▼ Chú ý 3

Để nghiên cứu tính hội tụ của một chuỗi số nào ñó ta thường so sánh nó với một chuỗi

mà ta ñã biết ñược tính phân kỳ hay hội tụ. Các chuỗi thường ñược dùng ñể so sánh là:

1) Chuỗi cấp số nhân 1

, 0n

n

a q a∞

=

≠∑ hội tụ khi 0 1q≤ < , phân kỳ khi 1.q ≥

2) Chuỗi “ñiều hòa” 1

1

n n

∞

=∑ là chuỗi phân kỳ.

3) Chuỗi Dirichlet 1

1

nsn

∞

=∑ hội tụ khi 1s > và phân kỳ khi 1.s ≤

� Ví dụ 6 Chứng minh rằng chuỗi 21

1

( 1)n n n

∞

= +

∑ - là một chuỗi hội tụ.

Giải

Ta thấy:32

2 2

1 1 1

( 1) .n n n n n

< =+

mà chuỗi 321

1 3, 1

2n

HT do s

n

∞

=

− = > ⇒∑

chuỗi 2

1

1

( 1)n n n

∞

=

−+

∑ cũng hội tụ.

125

� Định lý 4 (Định lý so sánh 2)

Cho 2 chuỗi số dương 1 1

&n n

n n

u v∞ ∞

= =∑ ∑ . Giả sử tồn tại lim n

nn

uk

v→∞=

a) Nếu 0 k< < +∞ ⇒ cả hai chuỗi ñã cho cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

b) Nếu 0k = mà chuỗi 1n

n

v∞

=∑ - hội tụ ⇒ chuỗi

1n

n

u∞

=

−∑ cũng hội tụ.

c) Nếu k=+∞ mà chuỗi 1n

n

v∞

=∑ phân kỳ ⇒ chuỗi

1n

n

u∞

=

−∑ cũng phân kỳ.

Chứng minh:

a) Nếu 0 ,k< <∞ theo ñịnh nghĩa giới hạn ta có: 0, : : n

n

uN n N k

vε ε∀ > ∃ ∀ > − <

( ) (1).nn n

n

uk u k v

vε ε⇒ − < ⇒ < + Töø (1) ta suy ra :

- Nếu chuỗi 1n

n

v∞

=∑ hội tụ ⇒ chuỗi

1

( )n

n

k vε∞

=

+∑ hội tụ⇒ chuỗi 1n

n

u∞


- Nếu chuỗi 1n

n

u PK∞

=

− ⇒∑ chuỗi 1

( )n

n

k v PKε

∞

=

+ −∑ 1n

n

v∞

=

⇒ ∑ -cũng phân kỳ.

b) Nếu 0k = , theo ñịnh nghĩa giới hạn ta có: 0, : : n n

n n

u uN n N

v vε ε ε∀ > ∃ ∀ > < ⇒ <

,n nu vε⇒ < do ñó nếu chuỗi

1n

n

v HT∞

=


nn

v HTε

∞

=

− ⇒∑ chuỗi 1n

n

u∞

=∑ - HT.

c) Nếu ,k =+∞ theo ñịnh nghĩa giới hạn vô tận ta có: 0, : : n

n

uM N n N M

v∀ > ∃ ∀ > >

.n nu Mv⇒ > Ta thấy: nếu chuỗi

1n

n

v PK∞

=


nn

Mv PK∞

=

−∑ và theo ñịnh lý

so sánh 1 thì : nếu chuỗi 1

nn

Mv PK∞

=

− ⇒∑ chuỗi 1n

n

u∞

=∑ cũng phân kỳ.

� Ví dụ 7 Chứng minh rằng chuỗi 2

1

1

( 1)n n n

∞

= +∑ - là một chuỗi hội tụ.

Giải

Ta biết rằng:

32

3 22

232

2 2 ( 1)

1 1 1lim : lim lim

( 1) ( 1)n n n n n

n

n

n n n nn→∞ →∞ →∞ +

= = + +

126

3 3

1 1lim lim 1

1.( ) 1n n

n n nn

→∞ →∞−= = =

+ +

⇒ cả 2 chuỗi

32

21 1

1 1&

( 1)n n n nn

∞ ∞

= = +∑ ∑ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Vì

321

1

n

HT

n

∞

=

− ⇒∑ chuỗi

21

1

( 1)n n n

∞

=

−+

∑ cũng HT.

2.2.2 Dấu hiệu Cô – si (Cauchy) � Định lý 5

Cho chuỗi số dương 1

.n

n

u∞

=∑ Đặt lim n

nn

C u→∞

= , khi ñó:

a) Nếu 1C < ⇒ chuỗi 1n

n

u∞

=∑ - hội tụ.

b) Nếu 1C > ⇒ chuỗi 1n

n

u∞

=∑ - phân kỳ.

c) Nếu 1C = thì chưa khẳng ñịnh ñược chuỗi 1n

n

u∞

=∑ hội tụ hay phân kỳ.

� Ví dụ 8

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:

2

1

1 11

2

n

nn n

∞

=

+ ∑

Giải

Ta có

2

1 1 1 1lim lim 1 lim 1

22

nn n

nn nn nn n n

C un n→∞ →∞ →∞

= = + = +

1 1lim 1 12 2

n

n

e

n→∞

= + = > ⇒ chuỗi

2

1

1 11

2

n

nn n

∞

=

+ − ∑ phân kỳ.

� Ví dụ 9 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:

( )1

2 1

2n

n

n∞

=

−∑

Giải

Xét

( )( ) ( )

112 1 2 1 1 1

lim lim lim 2 1 . (*)2 2 22

n

nn nn n n

H

n nC n H

→∞ →∞ →∞

− −= = = − =

��

127

Từ ( )1

lim 2 1 nn

H n→∞

= − (dạng 0∞ ) ( ) ( )

1 1

ln ln lim 2 1 lim ln 2 1n n

n nH n n

→∞ →∞

⇒ = − = −

Dùng Lô-pi-tan ta có: ( )

2ln 2 1 2 1ln lim lim

1n n

nnH

n→∞ →∞

− −⇒ = =

2 2lim 0 ln 0 1 (**).2 1

o

nH H e

n→∞= = = ⇒ = ⇒ = =

− ∞

Thay H 1 töø (**) vaøo (*) ta ñöôïc:=1 1.1 12 2

C = = < .Theo dấu hiệu Cô-si

chuỗi

( )1

2 1

2n

n

n∞

=

−−∑ hội tụ

2.2.3 Dấu hiệu Đalămbe ,(D alembert )

� Định lý 6

Cho chuỗi số dương 1

.n

n

u∞

=∑ Đặt:

1lim .

n

nn

uD

u

+

→∞= Khi ñó:

a) Nếu 1D < ⇒ chuỗi 1n

n

u∞

=∑ - hội tụ.

b) Nếu 1D > ⇒ chuỗi 1n

n

u∞

=∑ - phân kỳ.

c) Nếu 1D = thì chưa khẳng ñịnh ñược chuỗi 1n

n

u∞

=∑ hội tụ hay phân kỳ.

� Ví dụ 10

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2 1

1 !

n

n

e

n

+∞

=∑ .

Giải

Đặt

2 3

2 31

2 1 2 1

( 1)! ( )!lim lim lim lim 0 1

1( 1)!

( )!

n

nn

n nn n n nn

e

u n n e eD

u ne n e

n

+

++

+ +→∞ →∞ →∞ →∞

+= = = = = <

++

⇒ chuỗi

2 1

1 !

n

n

e

n

+∞

=∑ - hội tụ.

� Ví dụ 11 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

( )1

2 1

2n

n

n∞

=

−∑

128

Giải

( ) ( )( )

1

(2 1) 22 1 2 1lim : lim

2 2

n

n nn n

nn nD

+→∞ →∞

+ + − = = ( )2n

( )2 11

lim2 12

2 (2 1)n

n

nn

→∞

+=

−−

1

1

21 1lim 1.22 2

n

nn

→∞

+= = <

−Theo Đa-lăm-be thì chuỗi

( )1

2 1

2n

n

n∞

=

−∑ hội tụ

� Ví dụ 12

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1

1 1 1 1... ...

( 1) 1.2 2.3 ( 1)n n n n n

∞

=

= + + + ++ +∑

Giải

Ta có 1

2

1

1( 1)( 2lim lim lim lim 1

1 2 1

( 1)

n

n n n nn n

unn n

Du n

n n

+

→∞ →∞ →∞ →∞

+ += = = = =

+ ++

⇒ không thể kết luận chuỗi 1

1

( 1)n n n

∞

= +∑ hội tụ hay phân kỳ.

▼ Chú ý 4

Qua các ví dụ trên ta thấy khi xét sự hội tụ của các chuỗi dương, nếu số hạng tổng quát

nu của chuỗi có dạng tích, thương hoặc “giai thừa” thì ta có thể áp dụng dấu hiệu

,D alembert , nếu nu có dạng “mũ ” thì ta nên áp tiêu chuẩn Cauchy.

2.2.4 Dấu hiệu tích phân Cô-si � Định lý 7

Cho chuỗi dương 1n

n

u∞

=∑ có các số hạng giảm dần. Giả sử ( )f x là hàm liên tục, giảm

dần trên [1, )+∞ và ( ) .n

f n u= Khi ñó chuỗi 1n

n

u∞

=∑ ñồng thời hội tụ hoặc phân kỳ với

tích phân suy rộng

1

( ) .f x dx

+∞

∫

� Ví dụ 13 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

1

1

nsn

∞

=∑ .

Giải

Ta có 1

( )n su f n

n= = . Trong biểu thức của số hạng tổng quát

1n su

n= của chuỗi ta

thay n bởi biến x và ta nhận thấy hàm số 1

( )s

f xx

= là hàm dương , ñơn ñiệu giảm và liên

129

tục trên [1, )+∞ , do ñó chuỗi

1

1

nsn

∞

=∑ và tích phân suy rộng

1s

dx

x

+∞

∫ cùng hội tụ hoặc cùng

phân kỳ .

i Vì( )11

1 1

0 1 11

1 1 111

1 1 1 11

1 1

ss

s

khi ss s sdx x

s Is s sx

khi ss s

−+∞−+∞

− = >+∞ − − −≠ ⇒ = = = − = +∞− − − − =+∞ < − −

∫i

i

11

11

.

11

11

s sn

s sn

dxs HT HT

x n

dxs PK PK

x n

+∞ ∞

=

+∞ ∞

=

> ⇒ − ⇒ −⇒ < ⇒ − ⇒ −

∑∫

∑∫

i

i

i Khi 1s = ta ñược chuỗi 1

1

n n

∞

=∑ ñây là chuỗi ñiều hòa nên nó phân kỳ.

� Ví dụ 14 Xét tính hội tụ của chuỗi 2

1

2.1n

n

n

∞

= +∑

Giải

Ta có 2

2( )

1n

nu f n

n= =

+. Trong biểu thức của số hạng tổng quát

2

2

1n

nu

n=

+ của

chuỗi nêu ta thay n bởi biến x và ta nhận thấy hàm số 2

2( )

1

xf x

x=

+là hàm dương ,

ñơn ñiệu giảm và liên tục trên [1, )+∞ , do ñó chuỗi : 2

1

2

1n

n

n

∞

= +∑ và tích phân suy

rộng 2

1

2

1

xdx

x

+∞

+∫ - cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ .

Vì 2

2

2 2 2 11 1 1

2 2 ( 1)lim lim lim ln( 1)

1 1 1

m mm

m m m

x x d xI x

x x x

+∞

→∞ →∞ →∞

+ = = = = + + + +∫ ∫ ∫

21

2ln( ) ln 2

1

x dxPK

x

+∞

= +∞ − = +∞ ⇒ − ⇒+

∫ chuỗi 2

1

2

1n

n

n

∞

= +∑ cũng phân kỳ.

§ 3 CHUỖI VỚI SỐ HẠNG CÓ DẤU TÙY Ý 3.1 Chuỗi ñan dấu (Chuỗi ñan dấu là một trường hợp ñặc biệt của chuỗi có dấu tùy ý)


Ta gọi chuỗi số sau ñây là chuỗi ñan dấu: ( )1 2 3 4...u u u u± − + − + với 0

nu n> ∀

� Ví dụ 15

1 1

1

) ( 1) 1 1 1 1 ... ( 1) ...n n

n

a∞

− −

=

− = − + − + + − +∑

130

1 1

1

( 1) ( 1)1 1 1) 1 ... ...

2 3 4

n n

n

bn n

+ +∞

=

− −= − + − + + +∑

3.1.2 Dấu hiệu Leibnitz

Cho chuỗi ñan dấu 1

1

( 1) , ( 0 )n

n nn

u u n∞

−

=

− > ∀ ∈∑ ℕ . Nếu dãy nu giảm (tức là

1n nu u+ < với n∀ ∈ ℕ ) và lim 0

nn

u→∞

= thì chuỗi ñan dấu ñã cho hội tụ.

� Ví dụ 16 Xét tính hội tụ của chuỗi ñan dấu ñiều hòa:

1

1

( 1)n

n n

+∞

=

−∑

Giải

Vì : 1

1 1

1

1lim lim 0

n n

nn n

u un n

un

+

→∞ →∞

= < = + ⇒ = =

i

i

chuỗi 1

1

( 1)n

n

HTn

−∞

=

−−∑

3.2 Chuỗi có dấu tùy ý Trong 3.2 chúng ta sẽ nghiên cứu những chuỗi mà các số hạng của nó là những số thực

có dấu bất kỳ. Chẳng hạn:

2 2

2 2

1

1 2 3 4( 1) ... ( 1) ...

2 4 8 162 2

n n n n

n nn

n n+ +∞

=

− =− − + + − + − +∑

là một chuỗi có dấu tùy ý.

3.2.1 Hội tụ tuyệt ñối (HTTĐ) và bán hội tụ (BHT) ♦ Định nghĩa 4

• Nếu chuỗi số 1n

n

u∞

=∑ và chuỗi số

1n

n

u∞

=∑ cùng hội tụ thì ta nói chuỗi số

1n

n

u∞

=∑ hội tụ

tuyệt ñối.

• Nếu chuỗi số 1n

n

u∞

=∑ hội tụ mà chuỗi số

1n

n

u∞

=∑ phân kỳ thì ta nói chuỗi số

1n

n

u∞

=∑ bán

hội tụ.

3.2.2 Dấu hiệu hội tụ tuyệt ñối

� Định lý 8 Nếu chuỗi 1n

n

u∞

=∑ hội tụ thì chuỗi

1n

n

u∞


▼ Chú ý 5 Điều ngược lại của Định lý 8 không ñúng, nghĩa là:

Nếu chuỗi 1n

n

u∞

=∑ hội tụ thì chưa chắc chuỗi

1n

n

u∞

=∑ ñã hội tụ.

� Ví dụ 17

Theo Ví dụ 16 ở trên thì chuỗi ñiều hòa ñan dấu

1

1

( 1)n

n n

+∞

=

−∑ là chuỗi hội tụ.

131

Nhưng chuỗi

1

1 1

( 1) 1 1 1 11 ... ...2 3

n

n nn n n

+∞ ∞

= =

−= = + + + + +∑ ∑ chính là chuỗi ñiều

hòa lại là chuỗi phân kỳ ⇒ chuỗi

1

1

( 1)n

n n

+∞

=

−∑ - bán hội tụ.

� Ví dụ 18

Cho chuỗi có dấu tùy ý 1

( 1)

2

1

( 1) .2n

n n

nn

n

nu

∞

=

+∞

=

−= ∑∑ ⇒ chuỗi giá trị tuyệt ñối

1 1 2n

n nn

un∞ ∞

= =

=∑ ∑ . Xét 1

1

1 1lim lim : lim

2

1

2 2

n

n n nn

n n

u nD

u n

n n+

→∞ →∞ →∞+

+ = = =

+

1

1 1 1lim 1 1

2 2 nn

n

un

∞

→+∞ =

= + = < ⇒ ∑ -hội tụ ⇒ chuỗi

1

( 1)

2( 1) .2n

n n

n

n∞

=

+

−∑ cũng hội tụ.

�

132

BÀI TẬP

CHƯƠNG 6: CHUỖI SỐ DƯƠNG

Dùng các dấu hiệu so sánh, xét tính hội tụ của các chuỗi số

TT Đề ra ĐS TT Đề ra ĐS

6.1 1

1 2

5

n

n n

∞

=

∑ HT 6.2

1

1

( 1)n n n

∞

= +∑ PK

6.3 1

2 sin3

n

nn

π∞

=∑ HT 6.4

2

21

2ln

1n

n

n

∞

=

+

+∑ HT

6.5 ( )1

1

5 5nn

n

∞+

=

−∑ HT 6.6 21

1

cosn n n

∞

= −∑ PK

6.7

3

1 ( 1)n

n

n n

∞

= +∑ HT 6.8

1

!

2nn

n∞

=∑ PK

Dùng dấu hiệu Cô - si hoặc Đalămbe hoặc dấu hiệu tích phân Cô – si

ñể xét tính hội tụ của các chuỗi.

6.9 ( )1

2 1

2n

n

n∞

=

−∑ HT 6.10

1

2.5.8...(3 1)

1.5.9...(4 3)n

n

n

∞

=

−−∑ HT

6.11 1

1

2 1

n

n

n

n

∞

=

+ − ∑ HT 6.12

2 1

1 3 1

n

n

n

n

−∞

=

− ∑ HT

6.13 1

!

2 1n

n

n∞

= +∑ PK 6.14

( )( )

2

1

!

2 !n

n

n

∞

=∑ HT

6.15 1 !

n

n

n

n

∞

=∑ PK 6.16

1

3 . !n

nn

n

n

∞

=∑ PK

6.17

2

1

1 11

2

n

nn n

∞

=

+ ∑ PK 6.18

1

1.3.5....(2 1)

4.8.12...(4 )n

n

n

∞

=

−∑ HT

6.19 1 2 1

n

n

n

n

∞

=

+ ∑ HT 6.20

1

1arcsin

n

n n

∞

=

∑ HT

133

6.21

( 1)

2

1

1

n n

n

n

n

−∞

=

− + ∑ HT 6.22

3 12

21

3

4

n

n

n

n

+∞

=

+ + ∑ HT

6.23 1

4 . !n

nn

n

n

∞

=∑ PK 6.24

1

sin2!

n

n

n

n

n

π

∞

=∑ PK

6.25 1

5 ( 2)!

(2 )!

n

n

n

n

∞

=

+∑ HT 6.26

2

231

( 2)

2 .

n

n nn

n

n

∞

=

+∑ HT

6.27

2

1

3n

n

n

n

∞

=

− ∑ HT 6.28

1

1.3.5...(2 1)

3 . !nn

n

n

∞

=

−∑ HT

6.29 2

1

lnn n n

∞

=∑ PK 6.30 2

2

1

lnn n n

∞

=∑ HT

6.31 1

1

2n

n

narctg

n

∞

=

+ + ∑ HT 6.32

( )

2

11 2n

nn

n∞

= +∑ HT

6.33 1

2 . !n

nn

n

n

∞

=∑ HT 6.34

( )22

1

7 . !n

nn

n

n

∞

=∑ HT

6.35 2

1

2

3

n

nn n

∞

= +∑ HT 6.36

2

1

11

n

n n

∞

=

− ∑ HT

6.37

23 2

3 21

3 1

2 5 4 5

n

n

n n

n n n

∞

=

+ + + − + ∑ HT 6.38

2 310 10 10

...1! 2 ! 3!

+ + + HT

Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi ñan dấu (hoặc chuỗi có dấu bất kỳ) sau

6.39

1

1

( 1)

2 1

n

n n

−∞

=

−−∑ BHT 6.40

1

1

( 1)n

n n

−∞

=

−∑ BH

T

6.41

1

21

( 1)n

n n

−∞

=

−∑ HTT

Đ 6.42

( )1

sin

ln 3n

n

nα∞

=∑ HT

TĐ

6.43 1

1

2 1( 1)

( 1)

n

n

n

n n

∞−

=

+−

+∑ BHT 6.44

1

2 1

3 1

n

n

n

n

∞

=

+ + ∑

HT

TĐ

6.45 2

( 1)

ln

n

n n n

∞

=

−∑ BHT 6.46

( 1)

2

2

( 1) .2

n n

nn

n+∞

=

−∑ HT

TĐ

---------------- Hết ----------------

134

CHƯƠNG 7

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

§1§1§1§1. MA TRẬN 1.1 Khái niệm về ma trận ♦ Định nghĩa 1 i Ma trận cấp m n× (hay là ma trận kiểu ( , )m n ) là một bảng số gồm m – dòng, n - cột,

ñược ký hiệu như sau :

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n n

m m mn m m mn

a a a a a a

a a a a a aA hay A

a a a a a a

= =

… … hay có lúc còn viết tắt: ( )

ij m nA a

×=

Trong ñó ( 1, ; 1, )ija i m j n∈ = =ℝ gọi là “Phần tử” (hay là “Thành phần”) của ma trận A.

i Nếu m n= khi ñó người ta gọi A là ma trận vuông cấp n và ký hiệu ( )ij n

A a= .

1.2 Một số dạng ma trận: 1. Ma trận không (0)

m nO

×= (các phần tử của nó ñều bằng 0)

2. Ma trận ñơn vị cấp n :

1 0 0 00 1 0 0

I

0 0 0 1

=

⋯

⋯

⋮ ⋯⋯⋯ ⋮

⋯

( Có lúc người ta còn dùng ký hiệu nI ñể chỉ ma trận ñơn vị cấp n )

3. Ma trận chuyển vị : ( ) ( )t

ij m n ji n mA a A a

× ×= ⇒ =

4. Hai ma trận bằng nhau : ( ) ( ) , 1, , 1, .ij m n ij m n ij ija b a b i m j n

× ×= ⇔ = ∀ = =

5. Ma trận bậc thang ♦ Định nghĩa 2 iMa trận ( )

ij m nA a

×= là ma trận bậc thang nếu số các phần tử bằng 0 ñứng trước phần tử

khác 0 ñầu tiên của mỗi hàng (kể từ bên trái qua) tăng dần theo từng hàng cho ñến hàng chỉ toàn số 0. � Ví dụ 1

.Ma tranä baäc thang ruùt goïn Ma traän baäc thang caáp 4 Ma traän baäc thang caáp 4 6

1 0 0 0 1 3 7 1 1 2 3 1 4 60 1 0 0 0 4 2 3 0 2 9 3 3 7

; ;0 0 1 0 0 0 5 1 0 0 4 1 5 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

×

��

135

▼ Chú ý 1

Nếu ( )ij n

A α= là ma trận cấp vuông cấp n và các phần tử phân biệt ñược là các phần tử trên

ñường chéo 11 22 33; ; ; ... ;

nnα α α α thì người ta gọi A là ma trận tam giác . Ngoài ra nếu mọi

phần tử nằm ngoài ñường chéo chính ñều bằng 0 tức là 0ijα ≠ nếu i j≠ thì A ñược gọi là

ma trận chéo hay ma trận ñường chéo.

� Ví dụ 2

.. Ma traän cheùoMa traän tam giaùc

1 0 0 04 1 2

0 5 0 00 5 3 ;

0 0 8 00 0 1

0 0 0 2

− −

− ��

1.3 Các phép toán của ma trận 1. Cộng (trừ) hai ma trận Muốn cộng (trừ) hai ma trận ta chỉ việc cộng (trừ) các thành phần tương ứng ( cùng dòng, cùng cột) của chúng ( ) ( ) ( ) .

ij m n ij m n ij ij m na b a b

× × ×± = ±

2. Nhân ma trận với một số Muốn nhân một ma trận A với một số k ta chỉ việc nhân số k với mọi phần tử của A : . ( ) ( )

ij m n ij m nk A k a ka

× ×= =

3. Nhân hai ma trận Muốn tìm phần tử

ikc của ma trận tích AB ta phải lấy mỗi phần tử

ija của dòng thứ i của ma

trận A nhân với phần tử jkb của cột thứ k của ma trận B rồi cộng lại.

� Ví dụ 3

3 5 7 32 61 4 7

1 4 . 9 12 192 4 3

7 0 7 28 49

3 51 4 7 50 21

. 1 42 4 3 11 6

7 0

B

B

A

A

− − − − = − − −

− − − = −

i

��

i

��

AB BA

⇒ ≠ ⇒

tích 2 ma trận không có tính giao hoán.

▼ Chú ý 2 Tích của hai ma trận chỉ xác ñịnh khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng

của ma trận thứ hai.

⋇ Phương pháp dùng máy tính bỏ túi hiện phép nhân hai ma trận.

� Ví dụ 4 Cho hai ma trận: 1 0 7

3 5 11& 10 4 6 .

4 0 99 11 5

A B

− = = − −

Tính .AB

136 a) Máy tính CASIO – fx – 570 MS • MODE MODE MODE 2 SHIFT MAT 1 1 �

soá doøng

2 = �soá coät

3

= 3 = 5 = 1 1 = ( )− 4 = 0 = 9 = AC • SHIFT MAT 1 2 �

soá doøng

3 = �soá coät

3 = ( )− 1 = 4 = 7 =

1 0 = 0 = ( )− 6 = 9 = 1 1 = 5 = AC . • SHIFT MAT 3 1 × SHIFT MAT 3 2 = • Màn hình xuất hiện 146. Đó là thành phần

11c của ma trận tích . Nháy con trỏ sang

phải mỗi lần ta ñược một thành phần tiếp theo của ma trận tích.

Kết quả: 146 133 46

85 83 17AB

=

b) Máy tính CASIO – fx – 570 ES • MODE 6 1 4 3 = 5 = 1 1 = ( )− 4 = 0 = 9 = AC SHIFT 4 1 2 1 ( )− 1 = 4 = 7 = 1 0 = 0 = ( )− 6 = 9 = 1 1 = 5 = AC . • SHIFT 4 3 × SHIFT 4 4 =

Màn hình xuất hiện quả : 146 133 4685 83 17

1.4 Phép biến ñổi sơ cấp trên ma trận : Cho ma trận ( )

ij m nA a

×= có m – dòng, n - cột ; các phần tử

i ja ∈ ℝ . Người ta gọi mỗi

phép biến ñổi sau ñây là một phép biến ñổi sơ cấp trên dòng của ma trận A :

1. Đổi hai dòng thứ i và dòng thứ k cho nhau, ký hiệu : .i kd d←→

2. Nhân dòng thứ i với một số thực 0λ ≠ , ký hiệu .i id dλ←→

3. Thay dòng thứ i bằng tổng của dòng i với λ lần dòng k, ký hiệu: .ki i

d d dλ←→ +

▼ Chú ý 3

137 a) Trong thực hành, nhiều khi người ta áp dụng ñồng thời cả hai bước: 2) và 3) nghĩa là

* *, ( , ).i i kd d dα λ α λ←→ + ∈ ∈ℝ ℝ

b) Người ta thường dùng các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng ñể chuyển một ma trận về dạng bậc thang. 1.5 Ma trận tương ñương dòng ♦ Định nghĩa 3 Một ma trận A ñược gọi là tương ñương dòng với một ma trận B, ký hiệu A B∼ , nếu B là ma trận có ñược từ A sau một số hữu hạn các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng. � Ví dụ 5

Ma traän A

1 1 11 2 32 1 1

− ��

~

1Ma traän B

1 1 10 1 20 3 1

− − ��

~

Ma traän B

1 1 10 1 20 0 5

��

1

( ) .A B B A B⇒ ⇒∼ ∼ ∼

§2 PHÉP THẾ 2.1 Khái niệm về phép thế ♦ Định nghĩa 4

a) Giả sử tập hợp { }1,2, 3,...,n

X n= Một song ánh :n n

X Xσ → ñược gọi là một phép thế

trên tập n

X . ( Nói riêng, song ánh ñồng nhất ñược gọi là phép thế ñồng nhất ).

b) Một phép thế τ trên tập hợp n

X ñược gọi là một chuyển trí hai phần tử ,i j thuộc n

X nếu

( ) , ( ) ( ) , , .n

i j j i vaø k k k X k jτ τ τ= = = ∀ ∈ ≠ Nó ñược ký hiệu ( , )i j .

Nói một cách ñơn giản: “chuyển trí” chỉ hoán vị hai phần tử nào ñó của n

X còn giữ nguyên

các phần tử khác. i Tập hợp các phép thế trên tập hợp nX ñược ký hiệu

nS . Phép thế :

n nX Xσ → ñược

biểu diễn như sau: 1 2 3

(1) (2) (3) ( )

n

nσ

σ σ σ σ

=

⋯

⋯.

Trong ñó ( )iσ là ảnh của phần tử n

i X∈ ñược viết dòng dưới, trong cùng một cột với i .

� Ví dụ 6

a) 1 2 3 4

3 2 4 1σ

= là một phép thế trên tập { }4

1, 2, 3, 4 , (1) 3, (2) 2,X σ σ= = =

(3) 4,σ = (4) 1.σ = .

b) Phép thế 1 2 3 4

1 4 3 2τ

= là một chuyển trí của hai số 2 và 4. Chuyển trí ñó ñược viết gọn

(2, 4).τ =

▼ Chú ý 4

Ảnh của các phần tử của tập nX qua mỗi phép thế cho ta một hoán vị trên tậpn

X .

138 Ngược lại, mỗi hoán vị lại xác ñịnh cho ta một phép thế (chẳng hạn hoán vị (3, 4, 1,

2) xác ñịnh cho ta phép thế 1 2 3 4

3 4 1 2µ

= trên tập

4X . Vì thế, số các phép thế trên tập

nX bằng số các hoán vị trên tập ấy, nghĩa là bằng !n . Như vậy tập

nS có !n phần tử.

� Ví dụ 7

3S có 3! 6= phần tử. Đó là những phép thế sau:

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , .

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1

2.2 Nghịch thế: ♦ Định nghĩa 5 Giả sử σ là một phép thế trên tập

nX . Với , ,

ni j X i j∈ ≠ ta nói cặp ( ( ), ( ))i jσ σ là một

nghịch thế của σ nếu i j< nhưng (i) ( j)σ σ> .

� Ví dụ 8

Trong phép thế: 1 2 3

2 3 1σ

= có 2 nghịch thế là: (2, 1), (3, 1).

� Ví dụ 9

Trong phép thế: 1 2 3

3 2 1τ

= có 3 nghịch thế là: (3, 2), (3, 1), (2, 1).

2. 3 Dấu của phép thế ♦ Định nghĩa 6 i Phép thế σ ñược gọi là một phép thế chẵn (hay lẻ) nếu nó có một số chẵn (hay lẻ) các nghịch thế. i Ta gán cho mỗi phép thế chẵn một giá trị bằng +1, mỗi phép thế lẻ một giá trị bằng -1. Giá trị này của phép thế σ ñược gọi là dấu củaσ và ñược ký hiệu bởi sgn( )σ .

Như vậy, theo ñịnh nghĩa thì : 1 neáu chaün

sgn( )1 neáu leû

σσ

σ

=

−

� Ví dụ 10

Trong Ví dụ 8 phép thế: 1 2 3

2 3 1σ

= là phép thế chẵn vì có 2 nghịch thế : (2,1) và

(3,1) suy ra sgn( ) 1σ = + . Trong Ví dụ 9 phép thế: 1 2 3

3 2 1τ

= có 3 nghịch thế : (3,2),

(3,1), (2,1) nên nó là một phép thế lẻ. Do ñó : sgn( ) 1τ = − .

§ 3 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 3.1 Khái niệm về ñịnh thức

139

♦ Định nghĩa 7 Cho ma trận vuông:

11 12 11

21 22 2 2

1 2

...

...,

nj

j n

njn n nn

a a aa

a a a aA

aa a a

=

⋯

⋯

⋯⋮ ⋯⋯ ⋯ ⋮

⋯ ⋯

người ta gọi tổng:

1 (1) 2 (2) ( ) ( )sgn( ) . ... ...

n

i i n nS

D a a a aσ σ σ σ

σ∈

= σ∑ (tức là tổng của tất cả các tích của các phần tử

nằm ở trên các dòng và các cột khác nhau ; mỗi số hạng của tổng mang dấu “+” hoặc dấu “-” tùy thuộc vào phép thế σ chẵn hay lẻ) là ñịnh thức của ma trận A và ký hiệu bởi

11 12 11

21 22 2 2

1 2

...

...det .

nj

j n

njn n nn

a a aa

a a a aD hay A hay A

aa a a

=

⋯

⋯

⋯⋮ ⋯⋯ ⋯ ⋮

⋯ ⋯

i Trong cách ký hiệu trên ta gọi mỗi số ija là một phần tử của ñịnh thức.Các phần tử

1 2, ,...,

i i ina a a tạo thành dòng thứ i , các phần tử

1 1, ,...,j j nj

a a a tạo thành cột thứ j của ñịnh

thức D .

i KhiA là ma trận cấp n thì ta cũng nói A là một ñịnh thức cấp n .

� Ví dụ 11

Ở phổ thông ta ñã biết khái niệm ñịnh thức cấp 2: 11 122

21 22

a aD

a a= ,

2D là tổng của 2! 2=

hạng tử; các hạng tử ñó là: 11 22 21 12

&a a a a .Vì phép thế 1 21 2

không có nghịch thế nào, nên

nó là một phép thế chẵn ⇒ tích 11 22a a mang dấu “+”.Còn phép thế

1 22 1

có một nghịch

thế: (2,1) nên 1 22 1

là một phép thế lẻ ⇒ tích 21 12a a mang dấu “-”.

Tóm lại ta có: 11 122 11 22 21 12

21 22

a aD a a a a

a a= = −

� Ví dụ 12 Định thức cấp 3: 11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

.

a a a

D a a a

a a a

= Ta thấy có 3! 6= hạng tử, trong ñó có

3 hạng tử mang dấu “+” và 3 hạng tử mang dấu “-” nên:

3 11 22 33 12 23 31 13 32 21 31 13 22 11 23 32 33 21 12D a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + + − − −

140

� Ví dụ 13 Định thức 5

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

D = có 5! 120= hạng tử, nhưng chỉ có 1

hạng tử khác 0 ñó là: 12 24 31 43 55. . . . 1.1.1.1.1 1a a a a a = = . Mặt khác phép thế:

1 2 3 4 52 4 1 3 5

là

phép thế lẻ vì có 3 nghịch thế: (2,1); (4,1); (4, 3) ⇒hạng tử 12 24 31 43 55. . . .a a a a a mang dấu

“-” 5

1.D⇒ =−

3.2 Tính chất của ñịnh thức Chúng ta nêu lên một số tính chất cơ bản của ñịnh thức mà chúng ta không chứng minh. Nhưng yêu cầu người học phải biết vận dụng các tính chất này khi giải bài tập. ¤ Tính chất 1

Nếu ñối với một dòng thứ i nào ñó của ñịnh thức :

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

n

n

ni i in

n n nn

a a a

a a a

Da a a

a a a

=

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

Ta có: , ( , 1, )i j ij ij n n na a a i j n D D D′ ′′ ′ ′′= + = ⇒ = + , trong ñó:

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

1 2 1 2

;

n n

n n

n ni i in i i in

n n nn n n nn

a a a a a a

a a a a a a

D Da a a a a a

a a a a a a

′ ′′= =′ ′ ′ ′′ ′′ ′′

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯

¤ Tính chất 2 Nếu mọi phần tử ở dòng thứ i của ñịnh thức D có thừa số chung c thì có thể ñặt c ra ngoài dấu của ñịnh thức; tức là:

11 12 1 11 12 11 1

1 2 1 2

1 2 1 2

.

n nj j

i i ij in i i ij in

nj njn n nn n n nn

a a a a a aa a

ka ka ka ka a a a aD k

a aa a a a a a

= =

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

141

¤ Tính chất 3 Trong ñịnh thức nếu ñổi chỗ hai dòng cho nhau thì ñịnh thức ñổi dấu. ¤ Tính chất 4 Nếu ñịnh thức có hai dòng giống nhau thì ñịnh thức ñó bằng 0. ¤ Tính chất 5 Nếu ñịnh thức có hai dòng mà các phần tử (cùng cột), tương ứng tỉ lệ thì ñịnh thức ñó bằng 0 ¤ Tính chất 6 Nếu nhân mỗi phần tử ở dòng thứ i với cùng một số c rồi cộng vào các phần tử cùng cột ở dòng thứ k thì ñược một ñịnh thức mới bằng ñịnh thức ñã cho. ¤ Tính chất 7

Với tA là ma trận chuyển vị của ma trận A thì ta có: tA A= tức là, hai ma trận chuyển vị

của nhau thì có ñịnh thức bằng nhau.

▼ Chú ý 5

Nhờ tính chất 7, nếu ta thay từ “dòng” bởi từ “cột” trong các tính chất 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì ta

lại ñược những tính chất của ñịnh thức phát biểu với cột ; chẳng hạn “Nếu ñổi chỗ hai cột

cho nhau thì ñịnh thức ñổi dấu” ; …

§ 4 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC 4.1 Định thức con - Phần bù ñại số ♦ Định nghĩa 8 Cho ñịnh thức D cấp n : 1) Nếu chọn r −dòng

1 2, ,..., ( )

ri i i r n< và r − cột

1 2, ,..., ( )

rj j j r n< , thì các phần tử

nằm ở giao của r −dòng và r −cột ấy lập thành một ñịnh thức ký hiệu bởi 1 2

1 2

, ,...,

, ,...,r

r

j j j

i i iM

và gọi là một ñịnh thức con cấp r của .D • Đặc biệt ñịnh thức con cấp n duy nhất của ñịnh thức D chính là D, còn ñịnh thức con cấp 1 trong ñịnh thức D chính là một phần tử tùy ý của .D 2) Nếu xóa ñi r −dòng và r −cột ấy thì các phần tử còn lại lập thành một ñịnh thức ký

hiệu bởi � 1 2

1 2

, ,...,

, ,...,r

r

j j j

i i iM và gọi là ñịnh thức con bù của ñịnh thức 1 2

1 2

, ,...,

, ,...,r

r

j j j

i i iM .

3) Giả sử ñịnh thức con 1 2

1 2

, ,...,

, ,...,r

r

j j j

i i iM lập nên từ các phần tử nằm ở giao ñiểm của r −

dòng 1 2, ,...,

ri i i và r − cột

1 2, ,...,

rj j j và giả sử � 1 2

1 2

, ,...,

, ,...,r

r

j j j

i i iM là ñịnh thức con bù của ñịnh

thức con 1 2

1 2

, ,...,

, ,...,r

r

j j j

i i iM trong ñịnh thức D . Ta ñịnh nghĩa phần bù ñại số của 1 2

1 2

, ,...,

, ,...,r

r

j j j

i i iM

trong D là: �1 2 1 2 1 2

1 2

... ... , ,...,

, ,...,( 1) .

r r r

r

i i i j j j j j j

i i iM

+ + + + + + +−

• Đặc biệt phần bù ñại số ijA của phần tử

ija trong ñịnh thức D là: ( 1)

i j

i j i jA M

+= −

trong ñóij

M là ñịnh thức con bù của phần tử ija trong D .

142 4.2 Khai triển ñịnh thức theo r - dòng hoặc r – cột � Định lý (Định lý Laplace) Nếu trong ñịnh thức D cấp n ta ñã chọn r −dòng (hoặc r −cột) tùy ý (1 1).r n≤ ≤ − Thế

thì ñịnh thức D bằng tổng của các tích của tất cả các ñịnh thức con cấp r lập ñược trên

r −dòng dòng (hoặc r −cột) ñó với phần bù ñại số của chúng.

(Người ta cũng nói ñây là ñịnh lý khai triển theo r −dòng (hoặc r −cột)).

� Ví dụ 13 Tính ñịnh thức: 4

2 3 0 0

4 5 0 0.

6 1 1 2

7 8 4 6

D =−

−

Trên 2 dòng ñầu có thể lập ñược 6 ñịnh thức con cấp 2 nhưng chỉ có một ñịnh thức con cấp 2 khác 0. Vì vậy theo ñịnh lý Laplace, nếu khai triển theo 2 dòng ñầu ta có :

4

2 3 1 2. ( 2).( 2) 4.

4 5 4 6D = = − − =

4.3. Khai triển một ñịnh thức theo các phần tử của một dòng hay một cột. Áp dụng ñịnh lý Laplace cho một dòng ta có công thức khai triển ñịnh thức theo các phần tử của dòng thứ i là:

1 1 2 2...

i i i i in inD a A a A a A= + + + (trong ñó

ijA là phần bù ñại số của

phần tử ija ). Tương tự: Công thức khai triển ñịnh thức theo các phần tử của cột thứ j là:

1 1 2 2

... .j j j j nj nj

D a A a A a A= + + +

� Ví dụ 14 Tính ñịnh thức: 4

0 4 0 0

1 3 2 1.

2 5 3 1

3 7 2 2

D−

=−

Nếu khai triển theo dòng thứ nhất ta ñược: 1 24

1 3 1 1 2 1

4.( 1) 2 5 1 4 2 3 1

3 7 2 3 2 2

D +

− −

= − = − −

−

1 1 1 2 1 33 1 2 1 2 34 1.( 1) 2.( 1) 1.( 1)

2 2 3 2 3 2+ + +

− − = − − + − − −

( )4 1.1.4 2.( 1).( 7) 1.1.( 13) 4(4 14 13) ( 4)( 23) 124.= − + − − − − = − + + = − − = −

§ 5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC ⋇ Tính ñịnh thức cấp 3 :

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

a a a

D a a a

a a a

= bằng cách viết thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải của cột

143

thứ ba của ñịnh thức ta có:

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

3231

2221

1211

aaaaaa

3 11 22 33 12 23 31 13 32 21 31 13 22 11 23 32 33 21 12.D a a a a a a a a a a a a a a a a a a⇒ = + + − − −

⋇ Phương pháp Laplace

Nếu trong ñịnh thức có nhiều dòng, nhiều cột chứa phần tử 0 thì ta có thể dùng ñịnh lý Laplace khai triển trên các dòng và cột ñó. ⋇ Phương pháp ñưa về dạng tam giác

Phương pháp ñưa về dạng tam giác là dùng các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng của ñịnh thức cần tính, ñể ñưa tất cả các phần tử nằm trên (hoặc dưới) ñường chéo chính của ñịnh thức ñó ñều bằng 0:

11 12 1 1 11

22 2 2 21 22

1 2

1 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

( 0 ) ( 0 )

i n

i n

ii in i i ii

nn n n ni nn

ij ij

a a a a a

a a a a a

haya a a a a

a a a a a

a khi i j a khi i j= > = <

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

Lúc ñó giá trị của ñịnh thức bằng tích của các phần tử trên ñường chéo chính. i Có khi trong quá trình làm triệt tiêu các phần tử nằm trên (hoặc dưới) ñường chéo chính, nếu ñã thấy xuất hiện nhiều số 0, ta có thể áp dụng ngay ñịnh lý Laplace. � Ví dụ 15

Tính ñịnh thức

3 5 1 4

2 1 3 2.

1 2 0 3

4 1 2 1

D− −

=−

−

Giải

6121452

(*)31 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0

132 1 3 2 0 5 3 4 0 1 1 13 0 1 12

3 5 1 4 0 1 1 13 0 0 2 61 0 0 1

4 1 2 1 0 7 2 11 0 0 5 80 0 0 0

D

− − − −

− − − − −= − = − = = −

− − −

− − − −

1452

2.( 1).1. 145.= − − =

− − − + + +

144

▼ Chú ý 6 Từ ñịnh thức (*) nếu dùng ñịnh lý Laplace, khai triển theo hai cột ñầu, ta ñược:

( )1 2 1 21 2 2 611 . ( 1).1.( 145) 145.

0 1 5 80D

+ + + − −= − = − − =

− − −

⋇ Phương pháp dùng máy tính bỏ túi

� Ví dụ 16 Tính ñịnh thức

2 1 6

5 0 1

3 2 4

D

−

=

a) Đối với máy : “CASIO f x – 570MS ” • MODE MODE MODE 2 SH I FT MAT 1 1 3 = 3 = 2 = − 1 = 6 = 5 = 0 = 1 = 3 = 2 = 4 = AC 1 SH I FT MAT ⊳ 1 SH I FT MAT 3 1 = 73 ⇒ D = 73. b) Đối với máy : “CASIO f x – 570ES ” • MODE 6 1 1 2 = − 1 = 6 = 5 = 0 = 1 = 3 = 2 = 4 = AC SH I FT 4 7 SH I FT 4 3 = 73 ⇒ D = 73.

� Ví dụ 17 Tính ñịnh thức 1 1 13 4 2

1 3 9

5 11 15D = ⇒ Đ.S: 25

2−

▼ Chú ý 7

Hai loại máy tính bỏ túi “CASIO f x – 570MS” và “CASIO f x – 570ES” chỉ tính ñược

ñịnh thức cấp 3≤ .

§ 6 HẠNG CỦA MA TRẬN 6.1 Hạng của ma trận : ♦ Định nghĩa 9 Cho ma trận ( ) .

ij m nA a

×= Ta gọi hạng của ma trận A là một số nguyên dương r nếu:

a) Trong A tồn tại một ñịnh thức con cấp r khác 0. b) Mọi ñịnh thức con cấp lớn hơn r trong ma trận A ñều bằng 0. c) Ta ký hiệu hạng của ma trận A là rankA. Nếu A là ma trận 0, thì ta quy ước gọi hạng

của nó bằng 0.

145 � Ví dụ 18

Ma trận

2 5 1 3

1 11 7 6

1 2 2 1

A

− = − − − −

có hạng bằng 2 vì có ñịnh tức cấp 2: 2

2 527 0

1 11D = = ≠

−.

còn mọi ñịnh thức cấp > 2 ñều bằng 0. 6.2 Các phương pháp tính hạng ma trận

Để tìm hạng của ma trận:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

=

…chúng ta có 2 phương pháp sau ñây :

⋇ Phương pháp 1: Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp ñịnh thức bao quanh

Giả sử ma trận ( )ij m n

A a×

= có ít nhất một ñịnh thức con 0s

D ≠ . Nếu mọi ñịnh thức con

1sD+

có bao quanh ñịnh thức con s

D ñều bằng 0 .rankA s⇒ = Nhưng nếu có một ñịnh thức

con 10

sD+≠ (mà

1sD+

chứa s

D ở trên ) ta tiếp tục xét các ñịnh thức con 2s

D+

chứa 1s

D+

như ta ñã xét các ñịnh thức con s 1D+

chứa sD … Vì số dòng và số cột của ma trận A là hữu

hạn, nên qua một số hữu hạn bước thì chúng ta sẽ tìm ñược một ñịnh thức 0r

D ≠ mà mọi

ñịnh thức 1r

D+

bao quanh r

D ñều bằng 0 .rankA s⇒ =

� Ví dụ 19

Ma trận

2 5 1 3

1 11 7 6

1 2 2 1

A

− = − − − −

có hạng bằng 2 vì có ñịnh tức cấp 2: 2

2 527 0

1 11D = = ≠

−

và mọi thức cấp 3 bao quanh 2D ñều bằng 0, nên rankA = 2.

⋇ Phương pháp 2 Dùng phép biến ñổi sơ cấp ñể tính hạng ma trận

Để tìm hạng của ma trận A khác không, ta dùng các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng ñể ñưa ma trận A tương ñương với một ma trận B có dạng bậc thang. Lúc ñó hạng của ma trận A bằng số dòng khác 0 của ma trận B.

� Ví dụ 20 Tìm hạng của ma trận;

1 2 2 1

3 7 15 5

4 7 1 2

2 3 4 0

A

− − = − − −

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

3 7 15 5 0 1 9 2 0 1 9 2

4 7 1 2 0 1 7 2 0 0 2 0

2 3 4 0 0 1 8 2 0 0 1 0

A

− − − − − − = − − − − − − −

∼ ∼∼

Ma traän B

1 2 2 10 1 9 20 0 2 00 0 0 0

−

− ��

146 rankA = 3 (vì trong ma trận B ở trên có 3 – dòng khác 0 ) § 7 MA TRẬN NGHICH ĐẢO 7.1 Khái niệm ma trận nghịch ñảo ♦ Định nghĩa 10 Ma trận vuông A cấp n ñược gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại một ma trận vuông B

cấp n sao cho: n

AB I BA= = (Ở ñâynI là ma trận ñơn vị cấp n ). Khi ñó B ñược gọi là

ma trận nghịch ñảo (hay ma trận ñảo) của A.

� Ví dụ 21 a) : .

n n n nVì I I I I= ⇒ là ma trận nghịch ñảo của chính nó.

b) Vì : 2 5 3 5 1 0 2 5 3 5

&1 3 1 2 0 1 1 3 1 2

= ⇒ − − − − − − − − là nghịch ñảo của nhau.

� Vấn ñề ñặt ra là : Có phải mọi ma trận vuông cấpn ñều có nghịch ñảo không? Nếu có thì tìm ma trận nghịch ñảo ñó như thế nào? Định lý sau ñây sẽ trả lời cho những câu hỏi ñó:

� Định lý Ma trận vuông A có ma trận nghịch ñảo khi và chỉ khi A 0≠

i Người ta gọi : Ma trận mà ñịnh thức của nó khác 0 ñược gọi là ma trận không suy biến. Với khái niệm ma trận không suy biến chúng ta có thể phát biểu ñịnh lý trên như sau : Ma trận vuông A là ma trận khả nghịch khi và chỉ khi nó không suy biến. 7.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch ñảo ⋇ Phương pháp1

Tìm ma trận nghịch ñảo bằng ñịnh thức.

Cho ma trận không suy biến

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...,

... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

=

… ma trận

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ...

...

n

n

n n nn

A A A

A A A

A A A

… có ñược bằng

cách tìm phần bù ñại số của các phần tử ( 1, ; 1; )ija i m j n= = của ma trận A . Lúc ñó ma

trận nghịch ñảo của ma trậnA là:

11 12 1

1 21 22 2

1 2

...

...1

... ... ...

...

n

n

n n nn

A A A

A A AA

A

A A A

−

=

… trong ñó A là ñịnh thức của

ma trận .A � Ví dụ 22

Tìm ma trận nghịch ñảo của ma trận

1 3 0

0 2 1

3 1 5

A

= −

Giải

147

Ta có:

1 3 0 1 3 0 1 3 0

0 2 1 0 2 1 0 2 1 1.2.1 2

3 1 5 0 8 5 0 0 1

A = − = − = − = =

−

11 21 31 12 22 32 13 23 3311; 15; 3, 3; 5; 1; 6; 8; 2A A A A A A A A A= =− =− = − = = =− = =

11 15 32 2 2

1 3 5 12 2 2

11 15 31

3 5 12

3 4 16 8 2

A−

− − − − ⇒ = − = − − −

⋇ Phương pháp 2 Tìm ma trận nghịch ñảo bằng các phép biến ñổi sơ cấp.

Giả sử A là ma trận không suy biến cấp n . Ta viết ma trận A “cạnh” ma trận ñơn vị cùng

cấp nI , ta ñược ( )nA I , và dựa vào :

� Định lý Nếu thực hiện những phép biến ñổi sơ cấp như nhau trên ma trận không suy biến A và ma

trận ñơn vị nI mà ma trậnAbiến thành

nI thì

nI biến thành 1A− Quá trình trên có thể diễn

tả theo sơ ñồ sau : ( )nA IDuøng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng

→ ( )1nI A −

� Ví dụ 23

Tìm ma trận nghịch ñảo của ma trận:

1 3 0A 0 2 1

3 1 5

= −

Giải

1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 0 0

0 2 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 0 3 5 1

3 1 5 0 0 1 0 8 5 3 0 1 0 0 1 3 4 1 0 0 1 3 4 1

− − − − − − − −

∼ ∼ ∼

11 15 3 11 15 32 2 2 2 2 2

13 5 1 3 5 1 3 5 12 2 2 2 2 2 2 2 2

1 0 01 3 0 1 3 0

0 1 0 0 1 0

3 4 1 3 4 1 3 4 10 0 1 0 0 1

A−

− − − − − − ⇒ = − − − −

∼ ∼

⋇ Phương pháp 3

Dùng máy tính bỏ túi ñể tìm ma trận nghịch ñảo (Cấp 2 và cấp 3)

� Ví dụ 24

Tìm ma trận nghịch ñảo của ma trận:

4 7 0

2 1 5

0 1 6

A

= −

148 A) Máy tính CASIO – fx – 570MS • MODE MODE MODE 2 SH I FT MAT 1 1 3 = 3 = 4 = 7 = 0 = ( )− 2 =

1 = 5 = 0 = 1 = 6 = AC SH I FT MAT 3 1 1x − = • Màn hình xuất hiện thành phần 11b của ma trận nghịch ñảo. Nháy con trỏ sang phải mỗi

lần ta ñược một thành phần tiếp theo 12 12 21 22; ; ; ; ...b b b b ⇒ Kết quả :

1 21 3588 44 88

1 3 3 522 11 221 1 944 22 44

A−

− = − − −

b) Máy tính CASIO – fx – 570ES • MODE 6 1 1 4 = 7 = 0 = ( )− 2 = 1 = 5 = 0

= 1 = 6 = AC SH I FT 4 3 1x − =

• Màn hình xuất hiện kết quả:

1 21 3588 44 88

1 3 3 522 11 221 1 944 22 44

A−

− = − − −

�

149

BÀI TẬP

Các phép toán về ma trận

TT ĐỀ BÀI ĐÁP SỐ

1 Cho ma trận 0 1

.1 2

A − =

Tính 3 3 .A A−

2 Cho các ma trận:

0 1 1 2 5 3 2 1; ;

1 2 1 1 3 4 2 0A B C

− − − = = = −

Tính: ) 3 ; ) ( ); ) .t t ta B A B b A B C c A BC− + −

3 Tính nA nếu: 1 1 1 1

) , )0 1 0 1

a A b A − = = −

4 Tính nB nếu: 1.

0B

λ

λ

=

Tính các ñịnh thức sau:

5

3 5 1 9 7 4 1 3 5

4 6 0 ; 1 5 5 ; 1 2 3

2 10 7 3 2 8 2 7 9

A B C

− −

= = = − −

−

det A 238det B 567det C 9

= −

=

= −

6

9 5 0 0 0 2 3 0 0 0

3 4 0 0 0 1 2 3 0 0

7 12 1 5 0 0 1 2 3 0;

1 2 1 6 12 0 0 1 2 3

18 15 0 1 5 0 0 0 1 2

D E

−

= =

− −

det D 867det E 10

=

= −

7

Không tính, hãy chứng minh:

4 1 7 33 1 6

2 0 5 47 2 10 0; 0

5 3 8 71 4 2

1 2 6 8

A B

−−

−= = = =

−−

− −

Áp dụng Tính chất 5, Tính chất 6 .

8

Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 .

b c c a a b a b c

b c c a a b a b c

b c c a a b a b c

+ + +

+ + + =

+ + +

Khai triển theo Tính chất 1 .

150

9 Cho ñịnh thức

2 2 2

1 1 1

D x y z

x y z

= .Chứng minh rằng:

( ) ( )( ) y z D z xD x y D − ∨ −− ∨ ⋮ ⋮⋮

Khai triển ñịnh thức và phân tích thành nhân tử

Giải phương trình, bất phương trình ñịnh thức

10

a) Tìmx biết rằng: 1

04 1

x x

x

+=

− +

b) Tìmx biết rằng: cos 8 sin 5

0sin 8 cos 5

x x

x x

−=

1

2

x 4a)

x 1

= −

= −

kb) x ,(k )6 3π π

= + ∈ℤ

11 Tìmx biết rằng:

3

2 1 3 0

( 10) 1 1

x x

x

−

− =

+

1

2

x 4 22

x 4 22

= − + = − −

12 Tìmx biết rằng:

2 ( 2) 1

1 1 2 0

5 3

x

x

+ −

− >

−

6 x 4− < < −

Hạng của ma trận

13

Hãy tìm hạng của các ma trận sau: 7 1 0 6 3 2 0 1

3 2 10 5 2 3 2 5 3 4

0 4 3 , ,2 5 0 3 4 11 10 5

5 1 02 2 1 1 3 1 4 2

A B C

− − − − − = = = − − − − −

rankA 3=i rankB 4=i rankC 3=i

14

Tùy theo giá trị của a, hãy tìm hạng của ma trận:

1 2 3

0 1 3 .

1 1

A

a

=

Neáu a 0 thì rankA 3≠ =i

Neáu a 0 thì rankA 2= =i

Ma trận nghịch ñảo

15

Tìm ma trận nghịch ñảo của các ma trận sau bằng cả hai

phương pháp:

2 5 7 1 3 4

6 3 4 ; 2 0 3

5 2 3 2 1 3

A B

= = − − − −

151

16 Cho ma trận:

1 1 1 1

1 1 1 1.

1 1 1 1

1 1 1 1

B

− − = − − − −

Tìm 1B− bằng cả 2 phương pháp.

17

Cho ma trận:

1 2 3

2 1 3

2 2

A

a

= −

với .a ∈ ℝ

a) Tìm a ñể A khả nghịch.

b) Tìm 1A− bằng cả 2 phương pháp.

Giải phương trình ma trận

18

a) Tìm ma trậnX biết: 1 2 5 3 2 1

21 1 3 4 2 0

X − − + = −

b) Tìm ma trận Y biết: 0 1 1 2 5

1 2 1 1 3Y

− = −

a) Tìm ma trận Z biết: 0 1 3 2 1 1 2 5

1 2 4 2 0 1 1 3Z − − − + = −

b) Tìm ma trận M biết: 0 1 3 2

1 2 4 2M − − − =

19

a) Tìm ma trậnX biết:

1 2 3 1 3 0

3 2 4 10 2 7

2 1 0 10 7 8

X

− − − = −

b) Tìm ma trận Y biết:

1 2 3 1 3 0

3 2 4 10 2 7

2 1 0 10 7 8

Y

− − − = −

20

Dùng ma trận ñể giải các hệ phương trình sau:

7 2 3 15 2 6

) 5 3 2 15 ; ) 2 3 7 16

10 11 5 36 5 2 16

x y z x y z

a x y z b x y z

x y z x y z

+ + = + − = − + = + − = − + = + + =

---------------- Hết ----------------

152

CHƯƠNG 8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính(hpttt) Hệ phương trình tuyến tính m - phương trình n - ẩn là hệ có dạng:

1111 1 12 2 1

2 221 1 22 2 2

1 1 2 2

(1)

n nj j

j j n n

m j j mn nm m m

a xa xa x a x b

a x a xa x a x b

a x a xa x a x b

+ + + + + = + + + + + = + + + + + =

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯

trong ñó 1 2, ,....,

nx x x là các ẩn ,

ij ia b ∈ℝ với 1, , 1,i m j n= = ;

ija ñược gọi là các hệ số

của các ẩn jx còn ( 1, )

ib i m= ñược gọi là các hạng tử tự do.

1.2 Nghiệm của (hpttt)

Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n - số 1 2( , ,..., ) n

nc c c ∈ℝ sao cho khi thay

j jx c= thì mọi

ñẳng thức trong hệ (1) ñều là những ñẳng thức số ñúng.

1.3 Ma trận các hệ số - Ma trận bổ sung của một hệ phương trình tuyến tính.

� Ma trận :

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

=

… ñược gọi là ma trận các hệ số của hệ (1)

� Ma trận:

111 12 1

21 22 2 2

1 2

...

...

... ... ... ....

...

n

n

m m mn m

ba a a

a a a bA

a a a b

=

… ñược gọi là ma trận bổ sung của hệ (1)

1.4 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Crame

Nếu hệ (1)có m n= và ñịnh thức

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...0

... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aD

a a a

= ≠…

thì nó ñược gọi là hệ phương

trình tuyến tính Crame (vắn tắt là hệ Crame). Định thứcD ñược gọi là ñịnh thức của hệ

phương trình.

1.5 Hệ phương trình tuyến tính tương ñương. Hai hệ phương trình tuyến tính ñược gọi là tương ñương nếu chúng có cùng một tập

hợp nghiệm.

153 § 2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. Hai nhà toán học Crônecke - Capêni ñã chứng minh ñược ñịnh lý về sự tồn tại nghiệm của

hệ phương trình tuyến tính.

2.1 Định lý Crônecke - Capêni

Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi rankA = rankA

� Ví dụ 1 Cho hệ phương trình tuyến tính:

:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 2 1

2 4 5

3 6 9

12 2 2 10

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

− − + = − − + = + + − =− − + − =

(¤)

Xét xem hệ phương trình trên có nghiệm hay không ? Vì sao ?

Giải

Dùng các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng của ma trận A ta có:

3 1 1 2 1 1 1 3 6 9 1 1 3 6 9

1 1 2 4 5 1 1 2 4 5 0 2 5 10 14

1 1 3 6 9 3 1 1 2 1 0 4 10 20 28

12 2 1 2 10 12 2 1 2 10 0 14 35 70 118

A

− − − − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − −

∼ ∼

1 1 3 6 9

0 2 5 10 142 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 20

rankA rankA

− − − − ⇒ = ≠ = ⇒

∼ hệ (¤) vô nghiệm.

§ 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Phương pháp Crame.

� Định lý

Hệ Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thứcj

j

Dx

D= với 1,j n= trong ñó D là

ñịnh thức của của hệ phương trình, cònjD là ñịnh thức thu ñược từ ñịnh thức D bằng cách

thay cột thứ j của D bằng cột các số hạng tử tự do.

3.2 Phương pháp Gauss

♦ Đối với những hệ phương trình tuyến tính mà số phương trình khác với số ẩn, hoặc số

phương trình bằng số ẩn nhưng ñịnh thức của ma trận các hệ số bằng 0 thì ta không áp

dụng ñược phương pháp Crame ñể giải.

♦Lúc ñó ta dùng phương pháp Gauss (phương pháp khử dần ẩn số). Nội dung của phương

pháp này là thực hiện các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng ñể ñưa ma trận :

154

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

...................... ....

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA

a a a b

=

~

11 12 1 1 1

22 2 1 2

Ma trän C

... ...

0 ... ...

.......................... ...

0 0 ... ...

k n

k n

kk kn k

c c c c d

c c c d

c c d

��

♦Dựa vào ma trận C ta có thể thấy ñược hệ phương trình có nghiệm hay không có nghiệm

và nếu có nghiệm thì có duy nhất hay có vô số nghiệm !

� Khi ñó hệ phương trình có dạng “bậc thang”:

111 1 12 2 1 1 1 1 1

222 2 2 1 1 2 2

1 1

k k k k n n

k k k k n n

kk k kn n kkk k

c xc x c x c x c x d

c xc x c x c x d

c x c x dc x

+ +

+ +

+ +

+ + + + + + = + + + + + = + + + =

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋱⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮

⋱ ⋯

thì việc giải hệ phương trình ñược tiến hành như sau :

♦ Nếu k = n thì bắt ñầu từ việc giải ra 1 2 1 1 2

... ( , ,..., )n n n nx x x x x x x

− −→ → → → ⇒

♦ Nếu k < n thì từ cột thứ k+1 ñến cột thứ n ñược chuyển sang phía bên phải của dấu

“ = ” và quá trình lại ñược giải từ dưới lên ñể tính 1 1... .

k kx x x

−→ → →

� Ví dụ 2 Giải hệ phương trình tuyến tính sau :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 4 7

2 9 4 , (*)

3 11 7 17

x x x

x x x

x x x

− + =− − − = − − =

Giải ♦ Phương pháp Crame

Vì:

1 5 4

2 9 1 17 0

3 11 7

D

−

= − − = ≠ ⇒

− −

hệ phương trình (*) là hệ Crame.

1 2 3

7 5 4 1 7 4 1 5 7

4 9 1 17; 2 4 1 0; 2 9 4 34

17 11 7 3 17 7 3 11 17

D D D

− − − − −

= − − = = − = = − = −

− − − −

Hệ phương trình (*)có nghiệm duy nhất: ( )1 2 3 17 0 34; ; ; ; 1; 0; 2 .

17 17 17

D D D

D D D

− = = −

♦ Phương pháp Gauss

1

2

3

1 5 4 7 1 5 4 7 1 5 4 7 1

2 9 1 4 0 1 9 18 0 1 9 18 0

3 11 7 17 0 4 19 38 0 0 17 34 2

x

A x

x

− − − − − − = = − − − − ⇒ = − − − − =−

∼ ∼

155

♦ Phương pháp ma trận

Đặt: 1

2

3

1 5 4 7

2 9 1 , , 4

3 11 7 17

x

A X x B

x

− − = − − = = ⇒ − −

Phương trình 1

(*) AX B X A B−

⇔ = ⇒ =

Nhưng từ:

79 7952 41 52 4117 17 17 17 17 17

1 11 19 9 11 19 917 17 17 17 17 175 4 1 5 4 117 17 17 17 17 17

1 5 4 1 5 4

2 9 1 2 9 1

3 11 7 3 11 7

A A X−

− − − − = − − ⇒ = − ⇒ = − − − = − − − − − − −

1

0

2

� Ví dụ 3 Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

3 2 2

4 3 2 1

2 7 1

x x x x

x x x x

x x x

− + − = + + − = + − =−

Giải Thực hiện các phép biến ñổi sơ cấp trên các dòng của ma trận bổ sung:

1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2

4 1 3 2 1 0 13 5 2 7 0 13 5 2 7

2 7 1 0 1 0 13 5 2 5 0 0 0 0 2

− − − − − − − − − − − ⇒ − − − −

∼ ∼

Trong bảng cuối cùng và phương trình thứ ba có dạng: 1 2 3 40 0 0 0 2x x x x+ + + = (**)

Rõ ràng phương trình (**) vô nghiệm ⇒ hệ ñã cho cũng vô nghiệm.

� Ví dụ 4

Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

1 2 3 419

1 2 3 4 269

1 2 3 4 21

1 2 3 4 2

282 3 4

3 3 2

5 2 5

8 7 2 3

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ + + = − − + = + + + = + + − =

Giải • Cách 1

14919 14922 221169224471

2 2

2828 281 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

3 3 1 2 0 9 10 10 0 9 10 10

5 1 2 5 0 9 13 15 0 0 3 5 31

8 7 2 3 0 9 22 35 0 0 12 25 149

−− − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − −

∼ ∼

1492

281 2 3 4

0 9 10 10 11; ; 2; 5 .

0 0 3 5 31 2

0 0 0 5 25

− − − − ⇒ − − − − −

∼

156

• Cách 2

1 2 3 4

14919 1492 3 422 2

21169 2112 3 422 2

447122 2

28 2 3 428281 2 3 4 1 2 3 4

9 10 103 3 1 2 0 9 10 10

5 1 2 5 0 9 13 15 ( ) 9 13 15

8 7 2 3 0 9 22 35 9

x x x x

x x x

x x x

x

= − − − − + + =− − − − − − − − − + + + = − − − − −

∼ ∼

4473 4 2

22 35x x

+ + =

Dùng máy tính bấm tay giải hệ (+) ta ñược:

12 2

3 1

4

12 28 2. 3.2 4.5 1

25

x

x x

x

= = ⇒ = − − − = =

11; ; 2; 52

⇒ là nghiệm của hệ phương trình ñã cho.

� Ví dụ 5 Giải hệ phương trình tuyến tính:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 2 1

2 4 5, ( )

3 6 9

12 2 2 10

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

− − + = − − + = ⊗ + + − =− − + − =−

Giải Để biến ñổi ma trận bổ sung, trước hết ta ñổi dòng thứ hai cho dòng thứ nhất, sau ñó khử

dần các hệ số :

3 1 1 2 1 1 1 2 4 5 1 1 2 4 5

1 1 2 4 5 3 1 1 2 1 0 2 5 10 14

1 1 3 6 9 1 1 3 6 9 0 2 5 10 14

12 2 1 2 10 12 2 1 2 10 0 10 25 50 70

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

∼ ∼

1 2 3 4 1 2 3 4

2 3 4 2 3 4

1 1 2 4 5

0 2 5 10 14 2 4 5 5 2 4

0 0 0 0 0 2 5 10 14 2 14 5 10

0 0 0 0 0

x x x x x x x x

x x x x x x

− − − − − − + = − = + − + − =− =− − +

∼ ∼ ∼

11 2

1 51 4 232 2

52 4 332

4

2

2 7 5

7 5

x ba

x x x bx a

x x x ax

x b

=− − + =− − + =− − + ⇔ ⇒ =− − + = ∈ = ∈

ℝ

ℝ

Hệ ( )⊗ có vô số nghiệm phụ thuôc hai

tham số. � Ví dụ 6 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau:

2

1

,( ),( )

x y z

x y z

x y z

λ

λ λ λ

λ λ

+ + = + + = ∈ • + + =

ℝ

157

Giải

� Cách 1 : Dùng ñịnh thức:

2

1 1

1 1 ( 1) ( 2);

1 1

D

λ

λ λ λ

λ

= = − + 2

2

1 1 1

1 ( 1) ( 1)

1xD λ λ λ λ

λλ

= =− − +

2

2

1 1

1 1 ( 1) ;

1yD

λ

λ λ

λλ

= = − 2 2

2

1 1

1 ( 1) ( 1)

1 1zD

λ

λ λ λ λ

λ

= = − +

♦ Nếu D 0 1 2λ λ≠ ⇔ ≠ ∧ ≠− ⇒ hệ có một nghiêm duy nhất :

21 1 ( 1), ,2 2 2

λ λ

λ λ λ

+ + − + + +

♦ Nếu 0 1 2D λ λ= ⇔ = ∨ =− :

• Khi 1λ = ta có hệ phương trình :

1 1

1 1 1

1

x y z x a b

x y z x y z x y z y a

z bx y z

+ + = = − − + + = ⇔ + + = ⇒ = − − ⇒ = ∈ = ∈+ + =

ℝ

ℝ

⇒Hệ có vô số nghiệm

phụ thuộc 2 tham số.

• Khi 2λ =− , ta có hệ phương trình:

2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 0 3 3 3

2 4 1 1 2 4 1 1 2 4 0 3 3 6

x y z

x y z A

x y z

− + + = − − − − − ⇒ − + =− ⇒ = − − − − − + − = − − −

∼ ∼

1 2 1 2

0 3 3 3

0 0 0 3

− − − − ⇒

∼ phương trình: 0 0 0 3x y z+ + = vô nghiệm nên hệ ( )⊗ cũng vô nghiệm.

� Cách 2: Dùng phương pháp Gauss: 22

2

2 2 3

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 1 0 1 1 1

A

λλ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λλ λ λ

= − − − − − −

∼ ∼

2

2

2

1 1

0 1 1 ,( ).

0 0 (1 )(2 ) (1 )(1 )

λλ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

− − − − + − +

∼ �

158

♦ Nếu 1 2λ λ≠ ∧ ≠− ⇒ hệ ( )• có một nghiêm duy nhất :21 1 (1 )

; ;2 2 2

λ λ

λ λ λ

+ + − + + +

♦ Nếu 1λ = , thay 1λ = vào ma trận ( )� ta ñược phương trình sau:

1

1 1

x a b

x y z x y z y a

z b

= − −+ + = ⇒ = − − ⇒ = ∈ ⇒ = ∈

ℝ

ℝ

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số.

♦ Nếu 2λ= − , ta cũng thay 2λ= − vào ( )� ta ñược hệ phương trình tuyến tính sau:

2 4 (1)

( ) 3 3 6 (2).

0 0 0 3 (3)

x y z

y z

x y z

+ − =× − + =− + + =

Trong hệ ( ),× thì phương trình (3) vô nghiêm ⇒hệ phương

trình ( )× cũng vô nghiệm.

� Ví dụ 7 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4

3; ( ; )

2 4

ax x x

x bx x a b

x x x

+ + = + + = ∈ + + =

ℝ

Giải

Ta có: 1

1 1 4 1 1

1 1 (1 )(2 ), 3 1 1

1 2 1 4 2 1x

a

D b a b D b= = − − = = −

2 3

4 1 1 4

1 3 1 (1 ), 1 3 4 6 4 7

1 4 1 1 2 4x x

a a

D a D b ab a b= = − = = − − +

+ Nếu (1 )(2 ) 0 1& 2D a b a b= − − ≠ ⇔ ≠ ≠ thì hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy

nhất : 1 1 4 6 4 7

; ;(1 )(2 ) 2 (1 )(2 )

ab a b

a b b a b

− − − + − − − − −

+ Nếu 1, 1a thay a= = vào hệ phương trình ñã cho chúng ta ñược hệ phương trình:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 1 1 1 4 1 1 1 4 (1)

(*) 3; ( ) 1 1 3 0 1 0 1 (2)

2 4 1 2 1 4 0 1 0 0 (3)

x x x

x bx x b b b

x x x

+ + = + + = ∈ ⇒ − − + + =

ℝ ∼

1, 1Khi b thay b= =i vào phương trình (2) ta có: 1 2 30 0 0 1x x x+ + =− (4) phương

trình (4) vô nhiệm, nên hệ phương trình ñã cho cũng vô nghiệm.

159

1,Khi b ≠i từ (2) và (3) ta suy ra: 110

0b

y

y

−−

= ≠ =

(vô lý) ⇒ Hệ phương trình ñã cho cũng

vô nghiệm.

Như vậy: Nếu 1a = thì hệ phương trình (*) vô nghiệm .b∀ ∈ ℝ

+ Nếu 2, 2b thay b= = vào hệ phương trình ñã cho chúng ta ñược hệ phương trình:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 (1 )

(**) 2 3 (2 ); ( )

2 4 (3 )

ax x x

x x x a

x x x

′+ + = ′+ + = ∈ ′+ + =

ℝ

Hai phương trình (2 ) & (3 )′ ′ của hệ (**) có vế trái giống nhau nhưng vế phải khác nhau

nên hệ phương trình (**) vô nghiệm, .a∀ ∈ ℝ

⇒ Nếu 2b = thì hệ phương trình (*) vô nghiệm .a∀ ∈ ℝ

�

BÀI TẬP

T.T ĐỀ RA Đ. SỐ

Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Crame:

.18

2 2 1

1

1

x y z

y z

x y z

− − = − + =− + + = −

(2; 4; 3)−

.28 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

2 2

3 2 0

x x x

x x x

x x x

− + = + + = + + =

(7; 3; 9)− −

.38 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4

3 4 2 11

3 2 4 11

x x x

x x x

x x x

− − = + − = − + =

(3; 1; 1)

.48 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 5

2 3 1

2 3 11

x x x

x x x

x x x

+ + = + + = + + =

(2; 2; 3)−

Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss

160

.58

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 2 6

2 2 3 8

3 2 2 4

2 3 2 8

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ + − = − − − = + − + = − + + =−

(1; 2; 1; 2)− −

.68

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 7 3 5

4 2 3 2

5 10 9 3

4 13 13 4 11

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ + + = + − + = + − + = + + − =

(58; 15; 2; 0)− −

.78

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 3 4 2

2 2 4 3 9

3 4 4 5 12

4 5 6 7 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ + + = + + + = + + + = + + + =

88 113 3

( 18; ; 8; )− − −

.88

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 2 1

2 4 5

3 6 9

12 2 2 10

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

− − + = − − + = + + − = − − + − = −

11 2

52 2

3

4

2

7 5

x ba

x ba

x a

x b

=− − + =− − + = ∈ = ∈

ℝ

ℝ

.98

1 2 4

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3

3 2 1

2 2 4

3 2 2 7

x x x

x x x

x x x x

x x x x

− + = − − − = + − − = + − + =

(1; 2; 0; 0)

Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau :

.108

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( 1) 1

(1 ) 1

(1 ) 1

a x x x

x a x x

x x a x

a

+ + + = + + + = + + + =∀ ∈ ℝ

iNếu 0 & 3a a≠ ≠ − hệ có nghiệm

duy nhất:1 1 1; ; .3 3 3a a a

+ + +

iNếu 0a = hệ vô số nghiệm.

iNếu 3a = − hệ vô nghiệm.

.118

1

1; ( )

1

mx y z

x my z m

x y mz

+ + = + + = ∈ + + =

ℝ

iNếu 1& 2m m≠ ≠ − hệ có nghiệm

duy nhất:1 1 1; ; .2 2 2m m m

+ + +

iNếu 1m = hệ vô số nghiệm.

iNếu 2m = − hệ vô nghiệm.

161

.128 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1

2 4 3; ( )

2 8 3

x x x

x x x a

x x x a

+ + = + + = ∈ + + =

ℝ iNếu 5a ≠ hệ vô nghiệm.


.138 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

2 3 3; ( )

3 2

x x x

x x ax a

x ax x

+ − = + + = ∈ + + =

ℝ

iNếu 3 & 2a a≠ − ≠ hệ có nghiệm

duy nhất:1 1

1; ; .3 3a a

+ +

iNếu 3a = − hệ vô nghiệm.


---------------- Hết ----------------

TOÁN CAO C P C - AGU Staff Zone · · 2014-09-21+ Gi s X là m t t p h p s th c sao cho v i m i...

Documents

Transcript of TOÁN CAO C P C - AGU Staff Zone · · 2014-09-21+ Gi s X là m t t p h p s th c sao cho v i m i...