Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1...
Transcript of Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1...
![Page 1: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/1.jpg)
Univerzitet u Beogradu, Građevinski fakultet
Tok i grafik funkcije 3
nastavnik: Marina S. Markagić
Građevinarstvo - osnovne akademske studije 2014, I godina / I semestar
Matematička analiza I (B2O1A1) 9.12.2020.
Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimka su zaštićena. Snimak ili prezentacija mogu se koristiti samo zanastavu na daljinu studenata Građevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne mogu se koristiti
za druge svrhe bez pismene saglasnosti autora materijala.
December 9, 2020Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 1 / 18
![Page 2: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/2.jpg)
Zadatak 1
1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) =1 + ln |x |
x.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 2 / 18
![Page 3: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/3.jpg)
Zadatak 1
1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) =1 + ln |x |
x.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana za x 6= 0.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 2 / 18
![Page 4: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/4.jpg)
Zadatak 1
1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) =1 + ln |x |
x.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana za x 6= 0. Stoga je
Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 2 / 18
![Page 5: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/5.jpg)
Zadatak 1
1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) =1 + ln |x |
x.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana za x 6= 0. Stoga je
Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ima smisla ispitivati ovutačku.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 2 / 18
![Page 6: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/6.jpg)
Zadatak 1
1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) =1 + ln |x |
x.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana za x 6= 0. Stoga je
Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ima smisla ispitivati ovutačku.
f (−x) =1 + ln | − x |
−x= −1 + ln |x |
x= −f (x).
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 2 / 18
![Page 7: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/7.jpg)
Zadatak 1
1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) =1 + ln |x |
x.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana za x 6= 0. Stoga je
Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ima smisla ispitivati ovutačku.
f (−x) =1 + ln | − x |
−x= −1 + ln |x |
x= −f (x).
Dakle, funkcija f je neparna.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 2 / 18
![Page 8: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/8.jpg)
Zadatak 1
1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) =1 + ln |x |
x.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana za x 6= 0. Stoga je
Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ima smisla ispitivati ovutačku.
f (−x) =1 + ln | − x |
−x= −1 + ln |x |
x= −f (x).
Dakle, funkcija f je neparna. Grafik f-je je centralnosimetričan u odnosu nakoordinatni početak, pa ćemo dalje ispitivanje vršiti na intervalu (0, +∞).
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 2 / 18
![Page 9: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/9.jpg)
Zadatak 1
1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) =1 + ln |x |
x.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana za x 6= 0. Stoga je
Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) .
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ima smisla ispitivati ovutačku.
f (−x) =1 + ln | − x |
−x= −1 + ln |x |
x= −f (x).
Dakle, funkcija f je neparna. Grafik f-je je centralnosimetričan u odnosu nakoordinatni početak, pa ćemo dalje ispitivanje vršiti na intervalu (0, +∞).
3. Nule i znak:
f (x) = 0 ⇐⇒ 1 + ln x = 0 ⇐⇒ ln x = −1 ⇐⇒ x =1
e.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 2 / 18
![Page 10: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/10.jpg)
Zadatak 1
Jedna nula funkcije je tačka N1
(
1
e, 0
)
.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 3 / 18
![Page 11: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/11.jpg)
Zadatak 1
Jedna nula funkcije je tačka N1
(
1
e, 0
)
.
Znak funkcije:
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 3 / 18
![Page 12: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/12.jpg)
Zadatak 1
Jedna nula funkcije je tačka N1
(
1
e, 0
)
.
Znak funkcije:
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 3 / 18
![Page 13: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/13.jpg)
Zadatak 1
Jedna nula funkcije je tačka N1
(
1
e, 0
)
.
Znak funkcije:
f (x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (1/e, ∞)
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 3 / 18
![Page 14: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/14.jpg)
Zadatak 1
Jedna nula funkcije je tačka N1
(
1
e, 0
)
.
Znak funkcije:
f (x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (1/e, ∞)
f (x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (0, 1/e) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 3 / 18
![Page 15: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/15.jpg)
Zadatak 1
4. Asimptote:
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 4 / 18
![Page 16: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/16.jpg)
Zadatak 1
4. Asimptote:
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
1 + ln |x |x
= limx→+∞
1 + ln x
x
∞
∞= limx→+∞
1/x
1= 0 .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 4 / 18
![Page 17: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/17.jpg)
Zadatak 1
4. Asimptote:
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
1 + ln |x |x
= limx→+∞
1 + ln x
x
∞
∞= limx→+∞
1/x
1= 0 .
Dakle, funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 0 .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 4 / 18
![Page 18: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/18.jpg)
Zadatak 1
4. Asimptote:
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
1 + ln |x |x
= limx→+∞
1 + ln x
x
∞
∞= limx→+∞
1/x
1= 0 .
Dakle, funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 0 .
Dalje je:
limx→0+
1 + ln |x |x
= limx→0+
1 + ln x
x= −∞ .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 4 / 18
![Page 19: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/19.jpg)
Zadatak 1
4. Asimptote:
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
1 + ln |x |x
= limx→+∞
1 + ln x
x
∞
∞= limx→+∞
1/x
1= 0 .
Dakle, funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 0 .
Dalje je:
limx→0+
1 + ln |x |x
= limx→0+
1 + ln x
x= −∞ .
Prava x = 0 je vertikalna asimptota funkcije f .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 4 / 18
![Page 20: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/20.jpg)
Zadatak 1
4. Asimptote:
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
1 + ln |x |x
= limx→+∞
1 + ln x
x
∞
∞= limx→+∞
1/x
1= 0 .
Dakle, funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 0 .
Dalje je:
limx→0+
1 + ln |x |x
= limx→0+
1 + ln x
x= −∞ .
Prava x = 0 je vertikalna asimptota funkcije f .
5. Monotonost i ekstremne vrednosti: Prvi izvod funkcije f :
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 4 / 18
![Page 21: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/21.jpg)
Zadatak 1
4. Asimptote:
limx→+∞
f (x) = limx→+∞
1 + ln |x |x
= limx→+∞
1 + ln x
x
∞
∞= limx→+∞
1/x
1= 0 .
Dakle, funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 0 .
Dalje je:
limx→0+
1 + ln |x |x
= limx→0+
1 + ln x
x= −∞ .
Prava x = 0 je vertikalna asimptota funkcije f .
5. Monotonost i ekstremne vrednosti: Prvi izvod funkcije f :
f ′(x) =
1
|x | · |x |x
· 1 · x − (1 + ln |x |) · 1
x2= − ln |x |
x2.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 4 / 18
![Page 22: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/22.jpg)
Zadatak 1
f raste ⇐⇒ f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0, 1) ,
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 5 / 18
![Page 23: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/23.jpg)
Zadatak 1
f raste ⇐⇒ f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0, 1) ,
f opada ⇐⇒ f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (1, ∞) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 5 / 18
![Page 24: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/24.jpg)
Zadatak 1
U tački 1 prvi izvod menja znak, pa je Tmax(1, 1) tačka lokalnog
maksimuma.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 6 / 18
![Page 25: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/25.jpg)
Zadatak 1
U tački 1 prvi izvod menja znak, pa je Tmax(1, 1) tačka lokalnog
maksimuma.
6. Konveksnost i prevojne tačke: Drugi izvod funkcije f :
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 6 / 18
![Page 26: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/26.jpg)
Zadatak 1
U tački 1 prvi izvod menja znak, pa je Tmax(1, 1) tačka lokalnog
maksimuma.
6. Konveksnost i prevojne tačke: Drugi izvod funkcije f :
f ′′(x) =− 1
x· x2 + ln |x | · 2x
x4=
2 ln |x | − 1
x3.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 6 / 18
![Page 27: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/27.jpg)
Zadatak 1
U tački 1 prvi izvod menja znak, pa je Tmax(1, 1) tačka lokalnog
maksimuma.
6. Konveksnost i prevojne tačke: Drugi izvod funkcije f :
f ′′(x) =− 1
x· x2 + ln |x | · 2x
x4=
2 ln |x | − 1
x3.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 6 / 18
![Page 28: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/28.jpg)
Zadatak 1
f je konveksna ⇐⇒ f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (√
e, +∞) ,
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 7 / 18
![Page 29: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/29.jpg)
Zadatak 1
f je konveksna ⇐⇒ f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (√
e, +∞) ,
f je konkavna ⇐⇒ f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (0,√
e) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 7 / 18
![Page 30: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/30.jpg)
Zadatak 1
f je konveksna ⇐⇒ f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (√
e, +∞) ,
f je konkavna ⇐⇒ f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (0,√
e) .
Tačka P1
(√e,
3
2√
e
)
je prva prevojna tačka funkcije.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 7 / 18
![Page 31: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/31.jpg)
Zadatak 1
7. Grafik funkcije
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 8 / 18
![Page 32: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/32.jpg)
Zadatak 1
7. Grafik funkcije
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 9 / 18
![Page 33: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/33.jpg)
Zadatak 1
7. Grafik funkcije
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 10 / 18
![Page 34: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/34.jpg)
Zadatak 2
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) = arccos2x
1 + x2.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 11 / 18
![Page 35: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/35.jpg)
Zadatak 2
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) = arccos2x
1 + x2.
Rešenje:
1. Domen:
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 11 / 18
![Page 36: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/36.jpg)
Zadatak 2
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) = arccos2x
1 + x2.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana ako su ispunjene sledeće nejednakosti
−1 ≤ 2x
x2 + 1≤ 1.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 11 / 18
![Page 37: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/37.jpg)
Zadatak 2
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) = arccos2x
1 + x2.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana ako su ispunjene sledeće nejednakosti
−1 ≤ 2x
x2 + 1≤ 1.
Kako je x2 + 1 > 0 za sve x ∈ R, nejednakosti su ekvivalentne
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 11 / 18
![Page 38: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/38.jpg)
Zadatak 2
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) = arccos2x
1 + x2.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana ako su ispunjene sledeće nejednakosti
−1 ≤ 2x
x2 + 1≤ 1.
Kako je x2 + 1 > 0 za sve x ∈ R, nejednakosti su ekvivalentne
−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 11 / 18
![Page 39: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/39.jpg)
Zadatak 2
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) = arccos2x
1 + x2.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana ako su ispunjene sledeće nejednakosti
−1 ≤ 2x
x2 + 1≤ 1.
Kako je x2 + 1 > 0 za sve x ∈ R, nejednakosti su ekvivalentne
−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1.
Razmatrajmo sledeće:
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 11 / 18
![Page 40: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/40.jpg)
Zadatak 2
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) = arccos2x
1 + x2.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana ako su ispunjene sledeće nejednakosti
−1 ≤ 2x
x2 + 1≤ 1.
Kako je x2 + 1 > 0 za sve x ∈ R, nejednakosti su ekvivalentne
−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1.
Razmatrajmo sledeće:1 −(x2 + 1) ≤ 2x akko −x2 − 2x − 1 ≤ 0 akko −(x + 1)2 ≤ 0, što je
trivijalno ispunjeno.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 11 / 18
![Page 41: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/41.jpg)
Zadatak 2
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) = arccos2x
1 + x2.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana ako su ispunjene sledeće nejednakosti
−1 ≤ 2x
x2 + 1≤ 1.
Kako je x2 + 1 > 0 za sve x ∈ R, nejednakosti su ekvivalentne
−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1.
Razmatrajmo sledeće:1 −(x2 + 1) ≤ 2x akko −x2 − 2x − 1 ≤ 0 akko −(x + 1)2 ≤ 0, što je
trivijalno ispunjeno.2 2x ≤ x2 + 1 akko 0 ≤ x2 − 2x + 1 akko 0 ≤ (x − 1)2, što je trivijalno
ispunjeno.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 11 / 18
![Page 42: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/42.jpg)
Zadatak 2
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f (x) = arccos2x
1 + x2.
Rešenje:
1. Domen: Funkcija f je definisana ako su ispunjene sledeće nejednakosti
−1 ≤ 2x
x2 + 1≤ 1.
Kako je x2 + 1 > 0 za sve x ∈ R, nejednakosti su ekvivalentne
−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1.
Razmatrajmo sledeće:1 −(x2 + 1) ≤ 2x akko −x2 − 2x − 1 ≤ 0 akko −(x + 1)2 ≤ 0, što je
trivijalno ispunjeno.2 2x ≤ x2 + 1 akko 0 ≤ x2 − 2x + 1 akko 0 ≤ (x − 1)2, što je trivijalno
ispunjeno.
Dakle, domen funkcije f je Df = R .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 11 / 18
![Page 43: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/43.jpg)
Zadatak 2
2. Parnost i neparnost:
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 12 / 18
![Page 44: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/44.jpg)
Zadatak 2
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ispitujemo parnost ineparnost.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 12 / 18
![Page 45: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/45.jpg)
Zadatak 2
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ispitujemo parnost ineparnost.
f (−x) = arccos2 · (−x)
1 + (−x)2= arccos
−2x
1 + x26= f (x) 6= −f (x).
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 12 / 18
![Page 46: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/46.jpg)
Zadatak 2
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ispitujemo parnost ineparnost.
f (−x) = arccos2 · (−x)
1 + (−x)2= arccos
−2x
1 + x26= f (x) 6= −f (x).
Dakle, funkcija f nije ni parna ni neparna.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 12 / 18
![Page 47: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/47.jpg)
Zadatak 2
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ispitujemo parnost ineparnost.
f (−x) = arccos2 · (−x)
1 + (−x)2= arccos
−2x
1 + x26= f (x) 6= −f (x).
Dakle, funkcija f nije ni parna ni neparna.
3. Nule i znak:
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 12 / 18
![Page 48: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/48.jpg)
Zadatak 2
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ispitujemo parnost ineparnost.
f (−x) = arccos2 · (−x)
1 + (−x)2= arccos
−2x
1 + x26= f (x) 6= −f (x).
Dakle, funkcija f nije ni parna ni neparna.
3. Nule i znak:
f (x) = 0 ⇐⇒ arccos2x
1 + x2= 0 ⇐⇒ 2x
1 + x2= 1 ⇐⇒ x = 1.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 12 / 18
![Page 49: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/49.jpg)
Zadatak 2
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ispitujemo parnost ineparnost.
f (−x) = arccos2 · (−x)
1 + (−x)2= arccos
−2x
1 + x26= f (x) 6= −f (x).
Dakle, funkcija f nije ni parna ni neparna.
3. Nule i znak:
f (x) = 0 ⇐⇒ arccos2x
1 + x2= 0 ⇐⇒ 2x
1 + x2= 1 ⇐⇒ x = 1.
Funkcija f ima nulu f-je u tački N(1, 0) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 12 / 18
![Page 50: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/50.jpg)
Zadatak 2
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ispitujemo parnost ineparnost.
f (−x) = arccos2 · (−x)
1 + (−x)2= arccos
−2x
1 + x26= f (x) 6= −f (x).
Dakle, funkcija f nije ni parna ni neparna.
3. Nule i znak:
f (x) = 0 ⇐⇒ arccos2x
1 + x2= 0 ⇐⇒ 2x
1 + x2= 1 ⇐⇒ x = 1.
Funkcija f ima nulu f-je u tački N(1, 0) .
Funkcija t 7→ arccos t je nenegativna na svom domenu, pa je takva iposmatrana f-ja f .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 12 / 18
![Page 51: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/51.jpg)
Zadatak 2
2. Parnost i neparnost: Domen je simetričan, pa ispitujemo parnost ineparnost.
f (−x) = arccos2 · (−x)
1 + (−x)2= arccos
−2x
1 + x26= f (x) 6= −f (x).
Dakle, funkcija f nije ni parna ni neparna.
3. Nule i znak:
f (x) = 0 ⇐⇒ arccos2x
1 + x2= 0 ⇐⇒ 2x
1 + x2= 1 ⇐⇒ x = 1.
Funkcija f ima nulu f-je u tački N(1, 0) .
Funkcija t 7→ arccos t je nenegativna na svom domenu, pa je takva iposmatrana f-ja f .
Dakle, f (x) > 0 za x ∈ (−∞, 1) ∪ (1, ∞) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 12 / 18
![Page 52: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/52.jpg)
Zadatak 2
4. Asimptote:
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 13 / 18
![Page 53: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/53.jpg)
Zadatak 2
4. Asimptote:
limx→±∞
f (x) = limx→±∞
arccos2x
1 + x2= arccos 0 =
π
2.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 13 / 18
![Page 54: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/54.jpg)
Zadatak 2
4. Asimptote:
limx→±∞
f (x) = limx→±∞
arccos2x
1 + x2= arccos 0 =
π
2.
Prava y = π/2 je horizontalna asimptota funkcije f .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 13 / 18
![Page 55: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/55.jpg)
Zadatak 2
4. Asimptote:
limx→±∞
f (x) = limx→±∞
arccos2x
1 + x2= arccos 0 =
π
2.
Prava y = π/2 je horizontalna asimptota funkcije f .
Funkcija f nema vertikalnih asimptota.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 13 / 18
![Page 56: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/56.jpg)
Zadatak 2
4. Asimptote:
limx→±∞
f (x) = limx→±∞
arccos2x
1 + x2= arccos 0 =
π
2.
Prava y = π/2 je horizontalna asimptota funkcije f .
Funkcija f nema vertikalnih asimptota.
5. Monotonost i ekstremne vrednosti: Prvi izvod:
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 13 / 18
![Page 57: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/57.jpg)
Zadatak 2
4. Asimptote:
limx→±∞
f (x) = limx→±∞
arccos2x
1 + x2= arccos 0 =
π
2.
Prava y = π/2 je horizontalna asimptota funkcije f .
Funkcija f nema vertikalnih asimptota.
5. Monotonost i ekstremne vrednosti: Prvi izvod:
f ′(x) =1 − x2
|1 − x2| · (−2)
1 + x2=
−2
1 + x2, |x | < 1
2
1 + x2, |x | > 1.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 13 / 18
![Page 58: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/58.jpg)
Zadatak 2
4. Asimptote:
limx→±∞
f (x) = limx→±∞
arccos2x
1 + x2= arccos 0 =
π
2.
Prava y = π/2 je horizontalna asimptota funkcije f .
Funkcija f nema vertikalnih asimptota.
5. Monotonost i ekstremne vrednosti: Prvi izvod:
f ′(x) =1 − x2
|1 − x2| · (−2)
1 + x2=
−2
1 + x2, |x | < 1
2
1 + x2, |x | > 1.
Funkcija nema stacionarnih tačaka. U tački x = −1 važi f ′+(−1) = −1,
f ′−(−1) = 1, dok u tački x = 1 važi f ′
+(1) = 1, f ′−(1) = −1, te su ove
tačke jedini kandidati za lokalne ekstremume funkcije.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 13 / 18
![Page 59: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/59.jpg)
Zadatak 2
Označimo sa ϕ = ar tg 1 =π
4.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 14 / 18
![Page 60: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/60.jpg)
Zadatak 2
Označimo sa ϕ = ar tg 1 =π
4.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 14 / 18
![Page 61: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/61.jpg)
Zadatak 2
Označimo sa ϕ = ar tg 1 =π
4.
Funkcija f raste na intervalima (−∞, −1) i (1, ∞) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 14 / 18
![Page 62: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/62.jpg)
Zadatak 2
Označimo sa ϕ = ar tg 1 =π
4.
Funkcija f raste na intervalima (−∞, −1) i (1, ∞) .
Funkcija f opada na intervalu (−1, 1) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 14 / 18
![Page 63: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/63.jpg)
Zadatak 2
Označimo sa ϕ = ar tg 1 =π
4.
Funkcija f raste na intervalima (−∞, −1) i (1, ∞) .
Funkcija f opada na intervalu (−1, 1) .
Tačka Tmax(−1, π) je lokalni maksimum.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 14 / 18
![Page 64: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/64.jpg)
Zadatak 2
Označimo sa ϕ = ar tg 1 =π
4.
Funkcija f raste na intervalima (−∞, −1) i (1, ∞) .
Funkcija f opada na intervalu (−1, 1) .
Tačka Tmax(−1, π) je lokalni maksimum.
Tačka Tmin(1, 0) je lokalni minimum.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 14 / 18
![Page 65: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/65.jpg)
Zadatak 2
Označimo sa ϕ = ar tg 1 =π
4.
Funkcija f raste na intervalima (−∞, −1) i (1, ∞) .
Funkcija f opada na intervalu (−1, 1) .
Tačka Tmax(−1, π) je lokalni maksimum.
Tačka Tmin(1, 0) je lokalni minimum.
Ugao špica u tački maksimuma jednak je ϕ =π
4ako tački prilazimo sleva,
odnosno −ϕ = −π
4zdesna.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 14 / 18
![Page 66: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/66.jpg)
Zadatak 2
Ugao špica u tački minimuma jednak je ϕ =π
4ako tački prilazimo zdesna,
odnosno −ϕ = −π
4sleva.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 15 / 18
![Page 67: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/67.jpg)
Zadatak 2
Ugao špica u tački minimuma jednak je ϕ =π
4ako tački prilazimo zdesna,
odnosno −ϕ = −π
4sleva.
6. Konveksnost i prevojne tačke:
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 15 / 18
![Page 68: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/68.jpg)
Zadatak 2
Ugao špica u tački minimuma jednak je ϕ =π
4ako tački prilazimo zdesna,
odnosno −ϕ = −π
4sleva.
6. Konveksnost i prevojne tačke:
f ′′(x) =
(
−2sgn(1 − x2)
1 + x2
)′
=2sgn(1 − x2) · 2x
(1 + x2)2
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 15 / 18
![Page 69: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/69.jpg)
Zadatak 2
Ugao špica u tački minimuma jednak je ϕ =π
4ako tački prilazimo zdesna,
odnosno −ϕ = −π
4sleva.
6. Konveksnost i prevojne tačke:
f ′′(x) =
(
−2sgn(1 − x2)
1 + x2
)′
=2sgn(1 − x2) · 2x
(1 + x2)2
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 15 / 18
![Page 70: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/70.jpg)
Zadatak 2
Funkcija f je konveksna na intervalima (−∞, −1) i (0, 1) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 16 / 18
![Page 71: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/71.jpg)
Zadatak 2
Funkcija f je konveksna na intervalima (−∞, −1) i (0, 1) .
Funkcija f je konkavna na intervalima (−1, 0) i (1, ∞) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 16 / 18
![Page 72: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/72.jpg)
Zadatak 2
Funkcija f je konveksna na intervalima (−∞, −1) i (0, 1) .
Funkcija f je konkavna na intervalima (−1, 0) i (1, ∞) .
Drugi izvod menja znak prolaskom kroz tačke −1, 0 i 1.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 16 / 18
![Page 73: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/73.jpg)
Zadatak 2
Funkcija f je konveksna na intervalima (−∞, −1) i (0, 1) .
Funkcija f je konkavna na intervalima (−1, 0) i (1, ∞) .
Drugi izvod menja znak prolaskom kroz tačke −1, 0 i 1.
Prevojne tačke funkcije f su P1(−1, π) , P2
(
0,π
2
)
i P3(1, 0) .
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 16 / 18
![Page 74: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/74.jpg)
Zadatak 2
Funkcija f je konveksna na intervalima (−∞, −1) i (0, 1) .
Funkcija f je konkavna na intervalima (−1, 0) i (1, ∞) .
Drugi izvod menja znak prolaskom kroz tačke −1, 0 i 1.
Prevojne tačke funkcije f su P1(−1, π) , P2
(
0,π
2
)
i P3(1, 0) .
Primetimo da je tačka lokalnog maksimuma Tmax istovremeno i prevojnatačka P1 funkcije, dok je nula f-je N istovremeno i lokalni minimum Tmin iprevojna tačka P3.
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 16 / 18
![Page 75: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/75.jpg)
Zadatak 2
7. Grafik funkcije
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 17 / 18
![Page 76: Tok i grafik funkcije 3 - grf.bg.ac.rs€¦ · 4. Asimptote: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 +ln|x| x = lim x→+∞ 1 +lnx x ∞ ∞= lim x→+∞ 1/x 1 = 0. Dakle, funkcija ima](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052816/60ab310e67e94165ac36f12f/html5/thumbnails/76.jpg)
Zadatak 2
7. Grafik funkcije
Tok i grafik funkcije 3 December 9, 2020 18 / 18