b6õ - · PDF file76ë%T?} %Tlb/°8®b%T+:b Ó >* %T?} ¥ %T lb/°8®b%T+:b Ó ^] ° b Ó1
ISS0010 2osa 2018a-lab.ee/edu/system/files/eduard.petlenkov/courses/ISS... · 6)...
Transcript of ISS0010 2osa 2018a-lab.ee/edu/system/files/eduard.petlenkov/courses/ISS... · 6)...
SüsteemiteooriaISS0010 2-1-1 E 5 EAP
Lineaarsete statsionaarsete pidevaja süsteemide analüüs. Laplace`i teisendus. Olekumudel,
invariandid
http://www.a-lab.ee/edu/ISS0010 Eduard Petlenkov
[email protected], TTÜ ICT-502A, tel. 6202104TTÜ Arvutisüsteemide instituut
Arukate süsteemide keskus
Kursuse koostamisel on kasutatud Ennu Rüsterni poolt ettevalmistatud loengumaterjale
Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (1)
Eesmärk:● käitumise uurimine, analüüs
Mudelid:● sisend-väljund mudelid● sisend-olek-väljund mudel = olekumudel
Meetod:● Laplace`i teisendus
Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (2)
Süsteem: → Analüüs (käitumine)● lineaarne● statsionaarne ↑● aeg - pidev↕
Mudel – diferentsiaalvõrrand: → Laplace`i teisendus● lineaarne [operaatorarvutus]● konstantsete kordajatega● harilik (ei sisalda osatuletisi)
Matemaatika → Süsteemiteooria● keel (teooria esitamiseks ja probleemide vaatlemiseks)● vahend (ülesannete, probleemide lahendamiseks)
Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (3)
Antud on SISO (ühemõõtmeline) süsteem:● süsteem on esitatud lineaarse konstantsete
kordajatega hariliku diferentsiaalvõrrandiga(st antud on süsteemi sisend-väljund mudel)
● algtingimused● süsteemi sisend u(t)
Analüüsi eesmärk:● süsteemi reaktsiooni (väljundi) y(t) arvutamine ja
uurimine
sisend väljundu(t) y(t)
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs (4)
n-järku diferentsiaalvõrrandu(t) – antud
!!!!! "!!!!! #$% )0(,),0(),0(),0( 1
1
2
2
-
-
n
n
dtyd
dtyd
dtdyy
n-järku süsteem; n - algtingimust
ubdtudb
dtudb
yadtyda
dtyd
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
01
1
1
01
1
1
+++=
=+++
-
-
-
-
-
-
!
!
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs (5)Lineaarse konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandi (lineaarsestatsionaarse pidevajasüsteemi sisend-väljund mudel) kasutame kaudset Laplace`i teisendusel põhinevat kaudset meetodit:
● Teisendame diferentsiaalvõrrandi [originaal] algebraliseks võrrandiks [kujutis] arvestades sealjuures algtingimusi;
● Arvutame lineaarse süsteemi reaktsiooni (väljundi) kujutisealgebralisest võrrandist;
● Tulemuste tõlgendamiseks (arusaadavaks muutmiseks) arvutame reaktsiooni kujutise alusel originaali (Laplace´ipöördteisendus);
● Kontrollime reaktsiooni piirväärtusi.
Laplace`i teisendus (1)Tähistame:
x(t)- originaal;L – Laplace teisendus;X(s)- kujutis st x(t) Laplace teisendus;
Laplace`i teisenduse olulised omadused:• L- teisendus on lineaarne;• diferentseerimisele originaalide ruumis vastab
muutujaga s korrutamine kujutiste ruumis;• integreerimisele originaalide ruumis vastab
muutujaga s jagamine kujutiste ruumis;• lineaarne konstantsete kordajatega diferentsiaal-
võrrand teisendub L-teisenduse rakendamisel algebraliseks võrrandiks.
Laplace teisendus (2)L
x(t) X(s)
originaal kujutis,teisendus
1-L
Olulised omadused:1) LINEAARSUS
)()()()(
22
11
sXtxsXtx
L
L
¾®¬
¾®¬ )()()()( 2121 sXsXtxtx baba +«+
[ ]
)(0,0)(
)()()(0
tingimustkuitxjs
dtetxtxLsX st
<=+=
== ò¥
-
wt
2) HILISTUMINE *
0,)()()()(
>¾®¬-
¾®¬- tt tsL
L
esXtx
sXtx
3) DIFERENTSEERIMINE *
)0()0()0()()(
)0()0()()(
)0()()()()(
1
121
22
2
+--+-+-¾®¬
----
+-+-¾®¬
+-¾®¬
¾®¬
-
---
n
nnnnL
n
n
L
L
L
dtxd
dtdxsxssXs
dttxd
dtdxsxsXs
dttxd
xssXdttdx
sXtx
!
4) INTEGREERIMINE
ò ¾®¬
¾®¬t
L
L
ssXdx
sXtx
0
)()(
)()(
tt
5) KONVOLUTSIOON *
)()()()()()(
)()()()(
2120
121
22
11
sXsXdttxxtxtx
sXtxsXtx
Lt
L
L
×¾®¬-=*
¾®¬
¾®¬
ò tt
6) PIIRVÄÄRTUSTEOREEMID *
)()( sXtx L¾®¬)(lim)(lim
0ssXtx
st ¥®®=
)(lim)(lim0
ssXtxst ®¥®
=
L-teisenduse tabelx(t) X(s)
1)(td0),( >- ttd t se t-
1(t) s1
te a-a+s1
tnet a-1)(
!++ ns
na
t0sinw20
20
ww+s
t0cosw 20
2 w+ss
te t0sinwa-
20
20
)( waw
++s
te t0coswa-
20
2)( waa++
+ss
Laplace´i teisenduse kasutamine süsteemide analüüsil
Ühemõõtmelised (SISO) süsteemid (antud differentsiaalvõrrand ja sisend u(t)):
● nullised algtingimused – ülekandekarakteristikud (süsteemifunktsioonid);
● mittenullised algtingimused.
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (1)
Analüüsitav süsteem on kirjeldatud n-järku diferentsiaal-võrrandiga kujul:
Nullised algtingimused, antud sisend u(t).
ubdtudb
dtudb
yadtyda
dtyd
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
01
1
1
01
1
1
+++=
=+++
-
-
-
-
-
-
!
!
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (2)
Diferentsiaalvõrrandi lahendamisel kasutame Laplace´i teisendust: originaal →kujutis.
)()()()(sYtysUtu
L
L
¾®¬
¾®¬
)0()0()0()()(
)0()0()()(
)0()()()()(
1
121
22
2
+--+-+-¾®¬
----
+-+-¾®¬
+-¾®¬
¾®¬
-
---
n
nnnnL
n
n
L
L
L
dtxd
dtdxsxssXs
dttxd
dtdxsxsXs
dttxd
xssXdttdx
sXtx
!
Diferentseerimine (Laplace`i teisenduse omadus)
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (3)
Algebraline võrrand ( diferentsiaalvõrrandi kujutis ehk Laplace`iteisendus)
)()()()(
01
1
01
1
sUbsbsbsYasas
mm
mm
nn
n
×+++=
=×+++-
-
--
!
!
)()(0
11
01
1 sUasasbsbsbsY n
nn
mm
mm
++++++
=-
-
--
!!
H(s) - ülekandefunktsioon
Y(s)=H(s)·U(s)
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (4) – ülekandekarakteristikud /
süsteemifunktsioonid
1) Ülekandefunktsioon - H(s)
)()()(
01
1
01
1
sAsB
asasbsbsbsH n
nn
mm
mm =
++++++
=-
-
--
!!
polünoomi B(s) juured - nullid
polünoomi A(s) juured – poolused (süsteemi poolused) !
2) Hüppekaja (süsteemi reaktsioon ühikhüppele 1(t))- g(t) 3) Impulsskaja (süsteemi reaktsioon ühikimpulsile δ(t))- h(t)
Iseloomustavad SISO süsteemi nullistel algtingimustel!
Näide No.1 Süsteemi hüppekaja arvutamineu(t) y(t) ?
H(s)
Antud on:
5210)()2
)(1)()1
2 ++=
=
sssH
ttu
Leida: y(t), y(0), y(∞)
Lahendus:
ssssY
stsUsHsY L
152
10)(
1)(1),()()(
2 ×++
=
¾®¬×=
Probleemiks on [ ])(1 sYL- arvutamine
)()(
)52(10)( 2 sA
sBsss
sY =++
=
Arvutame A(s) juured (poolused)
¬=++ 0522 ss ruutvõrrandi lahendamine
021511
3
2,1
=
±-=-±-=
pip
Poolused: { }0,21,21 ii --+-
L-pöördteisenduse leidmiseks tuleb Y(s) lahutada osamurdudeks.
Võimalikud variandid:
1.variant
2121)52(10 321
2 isk
isk
sk
sss +++
-++=
++
Õnnetuseks 32 ,kk - kompleksarvud; arvutamine väga keerukas !!
2.variant
52)52(10
2321
2 +++
+=++ ss
ksksk
sss
321, kkk - reaalarvud.
21,kkEsmalt leiame ja .3kskskssk )()52(10 32
21 ++++=
Võrdleme 20 ,, sss kordajaid (see on nn. määramata kordajate meetod)
10 510: ks = (vabaliikmete võrdlus)
21 =k
420: 331 -=®+= kkks20: 221
2 -=®+= kkks
)(2)1(422
52422
)52(10
2222 sYs
ssss
sssss
=++--
+=++--
+=++
NB! poolused
Näide No.1 - lahendamisel vajalikud Laplace`i teisendused:
1(t) ↔ s1
«- te t0sinwa
20
20
)( waw
++s
«- te t0coswa
20
2)( waa++
+ss
leidmiseks on otstarbekas Y(s) avaldist teisendada.1-L
! !
2)(022)0(
)(1)2sin2cos22()(
2)1(2
2)1()1(22)( 2222
=¥=-=
×--=
++-+
+++-+=
--
yy
ttetety
sss
ssY
tt
"#"$%"#"$%1-L
Kontroll (piirväärtusteoreemid)
2)(lim)(
0)52(
10lim)(lim)0(
0
2
==¥
=++
==
®
¥®¥®
ssYysss
sssYy
s
ss
Näide No.2 Süsteemi ülekandefunktsiooni leidmineu(t) y(t)
H(s) ?
Antud:
[ ] [ ])2(3)2(232 6633)()2)()()1
------ ---=
=tttt eeeety
ttu d
Leida: H(s) ? )()()(sUsYsH =
sLt
sLt
LtLt
L
es
e
es
e
se
se
sUt
2)2(3
2)2(2
32
366
266
333;
233
)(1)(
---
---
--
×+
¾®¾
×+
¾®¾
+¾®¾
+¾®¾
=¾®¾d
)3)(2(63
36
26
33
23
)()()(
222
++-=
++
+-
+-
+==
---
sse
se
se
sssUsYsH
sss
NB! Hilistumisega süsteem
Näide No.3 Süsteemi impulsskaja arvutamine u(t) y(t) ?
H(s)
Antud:
2)2)(1(3)()2
);()()1
+++=
=
ssssH
ttu d
Leida )(),0(),( ¥yyty
Y(s)=H(s)·U(s) 1)( ¾®¾Ltd
2321
2 )2(21)2)(1(3)(
++
++
+=
+++
=sk
sk
sk
ssssY
Leiame 321 ,, kkk)1()2)(1()2(3 32
21 ++++++=+ skssksks
Rakendame määramata kordajate meetodit veidi teisiti (arvutuste lihtsustamiseks)
Paneme sisse järgmised s väärtused:
224301)12(3222)21(311
2321
33
12
1
-=®++==-=®+-=+--==®+-=+--=
kkkkskkskks
ttt teeety
ssssY
22
2
22)(
)2(1
22
12)(
--- --=
+-
++-
++
=
1-L
vt. L-teisenduste tabel
0)(;0)0( =¥= yy
Kontroll:
0)(lim)(
0)2)(1(
3lim)(lim)0(
0
2
==¥
=++
+==
®
¥®¥®
ssYyss
ssssYy
s
ss
Osamurdudeks lahutamisel olulised variandid:1. poolused - reaalsed, lihtsad (2.näide);2. poolused - reaalsed, kordsed (3.näide);3. poolused - kompleksarvude paar (1.näide).
«- tnet a1)(
!++ ns
na
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (5) – osamurdudeks lahutamine
Laplace`i pöördteisenduse leidmisel põhiprobleemiks on osamurdudeks lahutamine.
Olgu nm
sAsBsH
¬¬
=)()()(
Kui lugeja ja nimetaja polünoomide järgud on võrdsed m=n (erijuhtum), siis esmalt tuleb lugeja polünoom jagada nimetaja polünoomiga
nn
sAsBbsH n ¬
-¬+=
1)()(')(
Järgnevalt lahutame )()('sAsB osamurdudeks.
Tavaliselt m<n
=++----
==+ )())(())((
)()()()( 2
121 basspspspspssB
sAsBsH k
rr!
!! +-
+-
+-
++-
=+
+
+
+2
1
2,1
1
1,1
1
1
)( r
r
r
r
r
r
psk
psk
psk
psk
bassksk
psk abab
kr
kr
+++
+-
++
+2
2,1,
1
,1
)(!
NB! Arvutuslikult väga oluline
rpp ,,1 ! - reaalarvulised, lihtsad poolused;1+rp - reaalarvuline, k-kordne poolus;
bass ++2 - vastab komplekspooluste paarile.
Ülekandefunktsioonide ühest rakendusest –süsteemide kompositsioon (1)
U1(s) Y1(s)s1 s2
H1(s)
U2(s) Y2(s)
H2(s)U1(s) Y2(s)
H(s)U(s) Y(s)
)()()( 111 sUsHsY ×=
)()()( 222 sUsHsY ×=)()( 12 sYsU =¬
)()()()( 1212 sUsHsHsY ×=
)()()( 21 sHsHsH = 2 järjestikku)()()( 1 sHsHsH n!= n järjestikku
)()()( sUsHsY =
1) Järjestikühendus
2) Paralleelühendus
●+
+
U(s)
U(s)
U1(s)
U2(s)
H(s)
H1(s)
H2(s)Y(s)
Y(s)
Y2(s)
Y1(s)
[ ]
)()()()()()(
)()()()()()()()()()()()()(
1
21
21
21
22
11
sHsHsHsHsHsH
sUsHsHsYsYsYsYsUsHsYsUsHsY
n++=+=+=
+=×=×=
!2 paralleelselt
n paralleelselt
3) Tagasisideühendus
U(s) U1(s)
U2(s)
H1(s)
Y2(s)
Y1(s)
H2(s)
±
U(s)
H(s)
Y(s)
)()()()()()(
222
111
sUsHsYsUsHsY
×=×=
)()()( 21 sYsUsU ±=
[ ][ ])()()()()(
)()()()(
2211
211
sUsHsUsHsYsYsUsHsY
±=±=
)()( 21 sUsY =
[ ] )()()()()(1 1121 sUsHsYsHsH =±
)()()(1
)()()(21
11 sU
sHsHsHsYsY
±==
Avaldises: märk “+” – negatiivne tagasiside (skeemil märk “-”)märk “- ” – positiivne tagasiside (skeemil märk “+”)
● Lihtsatest süsteemidest on võimalik moodustada (soovitud omadustega) keerukaid süsteeme.● Lihtsatest süsteemidest on võimalik moodustuda mitmemõõtmelisi süsteeme (mitu sisendit või mitu väljundit).
Kuidas muutuvad süsteemi omadused?
Olgu antud 2 süsteemi ülekandefunktsioonidega:
®+
=2s1)s(H 1 poolus:{-2}
®-
=3s1)s(H2 poolus:{3}
Järjestikühendus
H1(s) H2(s)
®-+
=×=)3s)(2s(
1)s(H)s(H)s(H 21 poolused: {-2,3}
Paralleelühendus
H1(s)
H2(s)
®-+
-=
-+
+=
=+=
)3s)(2s(1s2
)3s(1
)2s(1
)s(H)s(H)s(H 21
poolused: {-2,3}
H1(s)
-H2(s)
Tagasisideühendus (negatiivne tagasiside)
5s1)s(H1 -
= poolus: {5}
K)s(H2 =
)5K(s1
K5s11
5s1
)s(H)s(H1)s(H)s(H
21
1
-+=
×-
+
-=+
=
K=0
K=1
!
5s1)s(H-
=
4s1)s(H-
=
K=5
K=6
s1)s(H =
1s1)s(H+
=
!
Järeldused:
1. Järjestik- ja paralleelühendused ei muuda süsteemi(de) pooluste paigutust
2. Tagasisideühendusega on võimalik muuta süsteemi pooluste paigutust st. luua soovitud omadustega süsteeme.
NB! Süsteemi poolused (pooluste paigutus) määrab ära süsteemi käitumise
Näide No.4 Mitmemõõtmeline süsteem - ülekandemaatriksid
u1(t) H1(s) H2(s)_
●
+
++
+_y2(t)
H3(s)
u2(t)
u3(t)
y1(t)
3)(;10)(;
21)( 321 +
==+
=sssHsH
ssH
●
Ülekandefunktsioonide ühest rakendusest –süsteemide kompositsioon (2)
u1(t)
u2(t)
u3(t)
y1(t)
y2(t)
sisendid väljundid
6 ülesannet
Üritame matemaatiliselt kirjeldada moodustunud süsteemi
Ülekanne: )()( 11 tytu ®
615)3(10
321012
10
)()()(1)()()( 2321
2111 ++
+=
+×
++
+=+
=ss
s
ss
s
ssHsHsH
sHsHsH yu
Ülekanne: )()( 21 tytu ®
61510
310
211
310
21
)()()(1)()()()( 2
321
32121 ++
=
+××
++
+××
+=+
=sss
ss
s
ss
ssHsHsHsHsHsHsH yu
Ülekanne: )()( 12 tytu ®
615)3)(2(10
310
211
10)()()(1
)()( 2321
212 ++
++=
+××
++
=+
=ssss
ss
ssHsHsH
sHsH yu
Ülekanne: )()( 22 tytu ®
615)2(10
310
211
310
)()()(1)()()( 2321
3222 ++
+=
+××
++
+×
=+
=ssss
ss
s
ss
sHsHsHsHsHsH yu
Ülekanne: )()( 13 tytu ®
61510
310
211
310
21
)()()(1)()()()( 2
321
32113 ++
-=
+××
++
+××
+-
=+-=
sss
ss
s
ss
ssHsHsHsHsHsHsH yu
Ülekanne: )()( 23 tytu ®
615)2(
310
211
3)()()(1
)()( 2321
323 ++
+-=
+××
++
+-
=+
-=
ssss
ss
s
ss
sHsHsHsHsH yu
úúú
û
ù
êêê
ë
é×úû
ùêë
é=úû
ùêë
é
)()()(
)()(
3
2
1
2
1
232221
131211
sUsUsU
HHHHHH
sYsY
yuyuyu
yuyuyu
! !133212
)()()(´´´
×= sss UHY "#$
H(s) – ülekandemaatriks (koosneb ülekandefunktsioonidest)
Analoogiliselt:- hüppekajade maatriks;- impulsskajade maatriks.
Näide No.5 Mitmemõõtmelise süsteemi analüüs
u1(t) H1(s) H2(s)+
H3(s)
u2(t)
y(t)●+
)(4)(;3)(
;1)(;11)(;
33)(
21
321
ttuetu
sHs
sHs
sH
t 1×==
=+
=+
=
-
Leida ?)(),0(),( ¥yyty
Lahendus:
)()()()()( 2211 sUsyHusUsyHusY ×+×=
sss
sHsHsHsHsyHu
sssHsHsHsHsHsyHu
43
)()()(1)()(
43
)()()(1)()()(
2321
22
2321
211
++
=-
=
+=
-=
[ ]!
[ ]! )4)(1(
12254443
13
43)( 2
2
)(4
2
3
2 ++++
=×++
++
×+
=-
sssss
ssss
ssssY
tLeL t 1
Lahutame osamurdudeks
41)4)(1(12254)( 43
221
2
2
++
+++=
++++
=sK
sK
sK
sK
ssssssY
5 ⁄ 2 1 ⁄ 23 3
)1()4()4)(1()4)(1(12254
24
23
212
++++
++++++=++
ssKssKssKsssKss
¥=¥=+-=+-+= -- )(;0213
25)0(;
2133)(
25)( 4 yyeettty tt1
Süsteemide analüüs (näide) – mittenullised algtingimused
Näide No.6Analüüsitav süsteem on kirjeldatud diferentsiaalvõrrandiga
);t(u3dt)t(du2)t(y25
dt)t(yd
2
2
+=+
Algtingimused: 1)0(y,5)0(y == !
Sisendsignaal tetu 5)( -=Leida y(t) ?Lahendus:
dt)t(dy)t(y =!
)s(Y)t(y L¾®¾
)0(y)0(sy)s(sYdt
)t(yd L
2
2
!--¾®¾
)s(U)t(u L¾®¾
)0(u)s(sUdt)t(du L -¾®¾
dif.võrrand ¾®¾L
[ ] )s(U3)0(u)s(sU2)s(Y25)0(y)0(sy)s(Ys2 +-=+-- !
!!! "!!! #$
%
!!"!!#$)t(Y
2
)s(Y
2
vs
25s)0(u2)0(y)0(sy)s(U
25s3s2)s(Y
+-+
+×++
=
)5s()25s(3s2)s(U
25s3s2)s(Y
22s +++
=++
=
5s1)s(Ue)t(u Lt5
+=¾®¾= -
Osamurdudeks lahutamine
5sk
)25s(ksk
)5s()25s(3s2 3
2
21
2 ++
++
=++
+
2s+3=(k1s+k2)(s+5)+k3(s2+25)
2s+3=k1s2+k2s+5k1s+5k2+k3s2+25k3
Määramata kordajate meetod:
s2: 0=k1+k3 ® k1=-k3s1: 2=k2+5k1s0: 3=5k2+25k3
507k,
1013k,
507k 321 -===
5s507
25s1013s
507
)s(Y2s +
-+
+=
t5Ls e
507
5s507
)s(Y 1 --¾®¾+
-= -
22222 5s55
1013
5s
s507
25s1013s
507
+
×+
+=
+
+
L-teisenduste tabelist
tsins 0
l
2
0
2
0 1 w¾®¾w+
w -
tcosss
0
l
2
0
2
1 w¾®¾w+
-
t5
s
L
s e507t5sin
5013t5cos
507)t(y)s(Y 1 --+=¾®¾ -
25s551
25ss5
25s1s5
25s21s5
25s)0(u2)0(y)0(sy)s(Y
22
222v
+
×-
+=
=+-
=+-+
=+
-+= !
t5sin51tcos5)t(y)s(Y v
L
v
1 -=¾®¾ -
t5sin51tcos5
e507t5sin
5013t5cos
507
)t(y)t(y)t(y
t5
vs
-+
+-+=
=+=
-
ys(t) – sundliikumine (sisendsignaali mõjul)yv(t) – vabaliikumine (algtingimuste mõjul)
5055070
507)0(y =-+-+=
m.o.t.t.
Lineaarsete pidevaja süsteemi analüüs: hilistumisega süsteemid
Näide No.7 Hilistumisega süsteemi analüüsSüsteem on antud kujul:
)t(u3dt
)1t(du2)t(y101dt)t(dy20
dt)t(yd
2
2
+-
=++
Leida:1) süsteemi ülekandefunktsioon;2) vabaliikumine;3) sundliikumine.
2)0(y,4)0(y -== !)t()t(u 1=
Algtingimused:
Sisendsignaal:
)s(U)t(u L¾®¾
);s(Y)t(y L¾®¾
)0(y)0(sy)s(Ysdt
)t(yd 2L
2
2
!--¾®¾
[ ] sL e)0(u)s(sUdt
)1t(du --¾®¾-
)0(y)s(sYdt)t(dy L -¾®¾
[ ][ ] )s(U3e)0(u)s(sU2
)s(Y101)0(y)s(sY20)0(y)0(sy)s(Yss
2
+-==+-+--
-
!
Lahendus:
!!!!!! "!!!!!! #$
%
!!! "!!! #$)s(Y
2
s
)s(Y
2
s
vs
101s20se)0(u2)0(y20)0(y)0(sy)s(U
101s20s3se2)s(Y
++-++
++++
=--
• Ülekandefunktsioon (nullised algtingimused)
101s20s3se2
)s(U)s(Y)s(H
2
s
+++
==-
• Vabaliikumine
=++
-++=
-
101s20se)0(u2)0(y20)0(y)0(sy)s(Y
2
s
v
!
1)0(u,2)0(y,4)0(y =-== !
=++
-++
+=
++-
++×+-
=-
101s20s2
101s20s78s4
101s20se2
101s20s4202s4
222
s
2
01 0 1s2 0s 2 =++
i1 01011010p 2
2,1 ±-=-±-= poolused!
22
s
2222 1)10s(e2
1)10s(38
1)10s()10s(4
++-
+++
+++
=-
tcose)s(
s0
tL
2
0
2
1 w¾®¾w+a+
a+ a--
tsine)s( 0
tL
2
0
2
0 1 w¾®¾w+a+
w a--
)1t(tsine2tsine38tcose4)t(y)s(Y t10t10t10
v
L
v
1 -d*-+=¾®¾ ----
)1t(e!N B 1Ls -d¾®¾ --
0)(y,4)0(y vv =¥=
• Sundliikumine
)s(U101s20s3se2)s(Y
2
s
s +++
=-
s1)s(U)t(1)t(u L =¾®¾=
)10120(321
1012032)( 22 ++
+=×
+++
=--
sssse
ssssesY
ss
s
Liikme e-s tõttu probleemid L-1 leidmisega. Kasutame L-teisenduse omadust – konvolutsioon!
Esitame Ys(s) kujul
)10120(3
101202)( 22 ++
+×++
= -
ssse
sssY s
s
Esmalt leiame
¾®¾×++
-- 1
101202
2Lse
ss
Sisuliselt on tegemist järgmise süsteemiga
konvolutsioon ٭
1-L 1-L
101202
2 ++ sse-s
)1(
sin21)10(
210120
2
1
1 10222
-¾®¾
¾®¾++
=++
-
-
-
-
te
tesss
Ls
tL
d
)1(sin2)1(sin210120
2 )1(10102
1
-=-*¾®¾×++
---- - tetteess
ttLs d
korrutis konvolutsioon
Teiseks leiame ¾®¾++
-1
)10120(3
2L
sss
10120)10120(3
2321
2 +++
+=++ ss
KsKsK
sss
10131013:
20200:0:
110
13311
12212
=®=
-=®+=
-=®+=
KKs
KKKKsKKKKs
sKsKKsKsKsKsKssK
32
2112
1
322
1
101203)()10120(3++++=
++++=
101601013
3
2
=
=
K
K
222321
1)10(10160
1013
1013
10120 ++
--+=
+++
+s
s
sssKsK
sK
)(1013101
31 t
sL 1¾®¾
-
222222 1)10(10130
1)10(
)10(1013
1)10(
)603(1011
++
-+
++
+-=
++
+-
ss
s
s
s
te
Lt cos
1013 10
1
-
-
- te t sin10130 10--
tetettety ttts sin
10130cos
1013)(
1013)1(sin2)( 1010)1(10 ---- --+-= 1
Väike üldistus
Kuidas muutub lahenduskäik, kui u(t)=1(t-1) ?
Vaatame üle, kuidas mõjub sisendsignaali hilistumine sundliikumisele
s
L
s
s
es
ttu
sttu
sUss
seLty
-
--
®-=
¾®¾=
þýü
îíì ×
+++
=
1)1()(
1)()(
)(1012032)( 2
1
1
1
Järelikult Ys(s) avaldub
)10120(32)( 2
2
+++
=--
sssesesY
ss
s
)2(sin2)2(sin210120
2 )2(101022
1
-=-*¾®¾×++
---- - tetteess
ttLs d
korrutis konvolutsioon
)1(sin10130)1(cos
1013)1(
1013
)1(sin10130cos
1013)(
1013
)10120(3
)1(10)1(10
1010
2
1
-----=
=-*þýü
îíì --
¾®¾++
----
--
- -
tetet
ttetet
esss
tt
tt
Ls
1
1 d
Esitame Ys(s) kujul
sss e
ssse
sssY --
+++
++=
)10120(3
101202)( 2
22
OlekumudelAlustame lihtsast näitest.
ÇÇÇÇ
v(t)+
++
+
_
__
R
C
L vL(t)
vR(t)
vC(t)
i(t)
dttdiLtv
dttiC
tv
L
t
C
)()(
)(1)(0
=
= ò
)()()()(0)()()()(
tvtvtvtvtvtvtvtv
CRL
CRL
=++=---
dttdvti
CdttdiR
dttidL
tvdttiC
tRidttdiL
t
)()(1)()(
)()(1)()(
2
2
0
=++
=++ ò)0();0(
dtdii algtingimused
Valime olekumuutujad (soovitavalt füüsikalise sisuga )
ò
ò
==
==
t
LL
t
C
dttvL
titx
dttiC
tvtx
02
01
)(1)()(
)(1)()(
|||)(ti
)(1)(1)( 21
1 txC
tiCdt
dxtx ===!
! )()(1)()(
1
2
2
2
0)(
)(
tvdttiC
tRidttdiL
tx
t
tx
dtdxtx
=++ ò=
"#"$%#$%&
ïî
ïí
ì
=
+--=
21
212
1)(
)(1)()(1)(
xC
tx
tvL
txLRtx
Ltx
!
!
)()( 2 txty =
îíì
=+=)0(),()()()()(
xtCxtytButAxtx!
;10
;1
10
úúû
ù
êêë
é=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--=
LB
LR
L
CA
[ ] úû
ùêë
é=úû
ùêë
é==
)()(
)()(
)(;102
1
titv
txtx
txCL
C
|||)(tiu(t)=v(t)
x(t)i(t)y(t)
v(t)u(t)
Olekumudel üldkujul:
îíì
=+=)0(),()()()()(
xtCxtytButAxtx!
olekuvõrrand
väljundvõrrand
;
)(
)()(
)(;
)(
)()(
)(;
)(
)()(
)( 2
1
2
1
2
1
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
ty
tyty
ty
tu
tutu
tu
tx
txtx
tx
mrn
!!!A – n x n;B - n x r;C - m x n.
Kasutame Laplace’i teisendust:
)()();()();()(
sYtysUtusXtx
L
LL
¾®¬
¾®¬¾®¬
îíì
=+=-
)()()()()0()(
sCXsYsBUsAXxssX
Olekuvõrrandist)()()0()()( 11 sBUAsExAsEsX -- -+-=
Rakendame Laplace´i pöördteisndust
ò --
-
¾®¬-
-¾®¬t
tAL
LAt
dBuesBUAsE
AsEe
0
)(1
1
)()()(
)(
ttt
ïïî
ïïí
ì
=
+= ò¬
-
-
¬-
Cx(t)y(t)
)()0()(0
)(min
)(
)0(min
t
tuesundliiku
tA
xevabaliiku
At dBuexetx !! "!! #$"#$ ttt
OlekumudelOmadused:1. Sisend – olek (siseolek) – väljund mudel;2. Olekumuutujad on valitavad;3. Igale olekumuutujate valikule (komplektile) vastab
üks olekumudel;4. Igale reaalsele süsteemile saab koostada mitu
olekumudelit, mis kõik kirjeldavad antud süsteemi ja erinevad üksteisest olekumuutujate valikute poolest.
Seonduvad probleemid:1. Olekumudelite teisendamine (olekuvektorite lineaar-
teisendused);2. Süsteemi olekumudelite seosed ülekandemudeliga
ja invariandid.
Olgu meil maatriks T-nxn, det T≠0 st. regulaarne maatriks.
¬= )(~)( txTtx defineerime lineaarteisenduse
îíì
=+=)0(),()()()()(
xtCxtytButAxtx!
1/)()(~)(~ -×+= TtButxATtxT!
îíì
=+= --
)(~)()()(~)(~ 11
txCTtytBuTtxATTtx!
îíì
=
+=
)0(~),(~~)()(~)(~~)(~
xtxCty
tuBtxAtx!
kus
CTCBTBATTA
=
=
=-
-
~~~
1
1
Olekuvõrrandi karakteristlik polünoom
det(sE-A)
Karakteristliku võrrandi det(sE-A)=0 juured on A omaväärtused.
Teoreem: Karakteristlik võrrand det(sE-A)=0 on invariantne oleku x(t)regulaarsete teisenduste suhtes.
)(detdet)(detdet)(det)~(det
0det
1
11
AsETAsETATTTsTAsE
T
-=-=
=-=-
¹
-
--
m.o.t.t.
Teoreem: Ülekandemaatriks (u(t)→y(t))
BAsECsH 1)()( --=
BAsECsH 1)()( --= on invariantne oleku x(t) regulaarseteteisenduste suhtes.
[ ])()(
)()(
)(~)~(~)(~0det
1
111111
11111
sHBAsECBTTAsECTTBTTAsETCT
BTATTTsTCTBAsECsH
T
=-=
=-=-=
=-=-=
¹
-
------
-----
Karakteristlik võrrand ja ülekandemaatriks on invariandid oleku x(t) regulaarsete teisenduste suhtes.
m.o.t.t.
Pidevaja süsteemi mudelidÜlekandemudelid: Olekumudel:[sisend–väljund mudelid] [sisend-olek-väljund mudel]● diferentsiaalvõrrand / ● olekuvõrranddif.võrrandite süsteem ● väljundvõrrand● ülekandefunktsioon /ülekandemaatriks● hüppekaja /hüppekajade maatriks● impulsskaja /impulsskajade maatriksPoolused [ülekande- ↔ Omaväärtused [oleku-funktsiooni nimetaja juured] võrrandi A maatriksi oma-
väärtused]Poolused / omaväärtused määravad süsteemi käitumise.