TOÁN RỜI RẠC - · PDF fileNhãn của đỉnh w là độ dài...

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 6:Đồ thị

Toán rời rạc: 2011-2012

Nội dung (phần 3)

1. Bài toán tìm đường đi ngắn nhất:

Giải thuật Dijsktra.

2. Giới thiệu bài toán TSP.

Chương 6: Đồ thị 2



Bài toán tìm đường đi ngắn nhất

Chương 6


Đồ thị có trọng số


Weighted graphLà đồ thị mà mỗi cạnh được gán một số (nguyên hoặc thực) với ngụ ý nào đó.



Liên quan:

Thời gian.

Khoảng cách.

Chi phí.

…




Độ dài (length) của đường đi có trọng số:Tổng trọng số của các cạnh trên đường đi. Đường đi ngắn nhất: đường đi có độ dài nhỏ nhất trong số các đường đi có thể có.

Lưu ý:Khác với khái niệm độ dài là tổng số cạnh.




Shortest path problems:Tìm ra đường đi có độ dài nhỏ nhất giữa 2 đỉnh s (source) và t (destination).

Các thuật toán:

Dijsktra (giữa 2 đỉnh, không cạnh âm).

Floyd-Warshall (mọi cặp đỉnh).

Bellman-Ford (có cạnh âm).




Nhận xét:

Có thể bỏ bớt các cạnh bội, chỉ giữ lại cạnh có trọng số nhỏ nhất.

Có thể bỏ đi các khuyên có trọng số không âm.

Nếu có khuyên trọng số âm: có thể không có lời giải.




Biểu diễn đồ thị dạng ma trận kề:aij =

Trọng số cạnh nhỏ nhất nối i đến j nếu có.

0 nếu không có cạnh nối i đến j nếu có.

Phải kiểm tra giá trị 0 trong ma trận.

Tổng quát hơn: thay 0 bằng +∞.



Nguyên lý Bellman

Gọi P là đường đi ngắn nhất từ i đến j, k là một đỉnh nằm giữa i và j trên P thì:

Đường đi P1 từ i đến k cũng chính là đường đi ngắn nhất từ i đến k.

Đường đi P2 từ k đến j cũng chính là đường đi ngắn nhất từ k đến j.



Thuật toán Dijsktra

Ý tưởng:

Giải thuật Dijsktra chủ yếu dựa trên nguyên lý gán nhãn (labeling).

Tác giả: Edsger DijkstraCông bố: 1959


Edsger Wybe Dijkstra1930 - 2002



Điều kiện:

Đồ thị G = (V, E).

Có hướng hoặc vô hướng.

Không có cạnh âm.




Ý tưởng:Dựa trên một dãy các bước lặp:

Bắt đầu từ tập chỉ chứa đỉnh xuất phát a.

Mỗi bước lặp thêm 1 đỉnh vào tập đỉnh đã ghé qua.

Gán nhãn cho các đỉnh trong mỗi bước lặp:Nhãn của đỉnh w là độ dài của đường đi ngắn nhất từ a đến nó (thông qua các đỉnh trong tập đã thăm).

Bước lặp tiếp:Chọn một đỉnh đã được gán nhãn (có giá trị nhãn nhỏ nhất) để tiếp tục.




Ví dụ: tìm đường đi từ s đến t.



Example




Cài đặt thuật toán Dijsktra:Trình bày - Nhóm (thời gian: tuần 9):

1. Liêu Tấn Đạt - MSSV: 1131200001.

2. Hoàng Trung Thành - MSSV: 1131200016.

3. Lê Trọng Hà - MSSV: 1131200006.




Bài toán TSP

Chương 6


Bài toán TSP


The travelling salesman problem:

“Cho một danh sách các thành phố và

khoảng cách đường đi giữa mỗi cặp thành

phố, tìm đường đi ngắn nhất có thể sao cho

mỗi thành phố được ghé qua đúng một lần”.

Defined by W. R. Hamilton (1800s)


Bài toán TSP

The travelling salesman problem:

Bài toán “lớn+khó” (NP-hard) trong tối ưu tổ hợp (combinatorial optimization).

Được nghiên cứu trong vận trù học (operations research) và khoa học máy tính lý thuyết (theoretical computer science).

Nguồn gốc thật sự: unknown.



Bài toán TSP

Ứng dụng:

Lập quy hoạch.

Ngành hậu cần.

Sản xuất vi mạch.

Xử lý chuỗi DNA.

….



Bài toán TSP



Bài toán TSP

Lược sử nghiên cứu (với sự trợ giúp của máy tính):

1950s, 1960s: phổ biến ở châu Âu, châu Mỹ. Phương pháp mặt phẳng cắt.

1972: Richard Karp chứng minh độ khó của TSP.

Cuối 1970s, đầu 1980s: giải được trường hợp 2392 thành phố (Grötschel, Padberg, Rinaldi).

2005: Cook và cộng sự đã giải được một trường hợp có 33810 thành phố, xuất phát từ một bài toán thiết kế vi mạch.



Bài toán TSP

Giải pháp: Các phương pháp “xấp xỉ”, là sự kết hợp giữa:

Lý thuyết đồ thị.

Phương pháp tối ưu hóa trong KHMT:

• Giải thuật di truyền.

• Các giải thuật tìm kiếm cục bộ (local search): Tabu search, giải thuật leo đồi, giải thuật mô phỏng luyện kim, đế chế đàn kiến,…



Bài toán TSP



Bài tập – Giải thuật Dijsktra


1

2

a z?




34

f c? f g?




5

a z?

TOÁN RỜI RẠC - · PDF fileNhãn của đỉnh w là độ dài...

Documents

Transcript of TOÁN RỜI RẠC - · PDF fileNhãn của đỉnh w là độ dài...