TOÁN RỜI RẠC - WordPress.com · HướngDẫnBài Tập Toán rờirạc: 2011 - 2012 Chương...

PHÉP ĐẾM

NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU

TOÁN RỜI RẠC

1

2

NỘI DUNG

1.Giới thiệu

2.Các định lí

3.Ứng dụng

4.Ví dụ & bài tập

5.Kết luận

Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm

3

Giới Thiệu Nguyên L ý


Nguyên lý chuồng bồ câu được dùng rất nhiều trong

thực tế:

“Trong một lớp có 40 học sinh thì luôn có ít nhất

4 người bằng điểm nhau” (thang điểm 10 và điểm là số

nguyên)

“Nhốt 5 con thỏ trong 4 cái chuồng thì có một cái

chuồng có ít nhất 2 con thỏ”

4

Giới Thiệu Nguyên L ý


Nguyên lí chuồng bồ câu được cho được Johann

Dirichlet phát biểu lần đầu tiên vào năm 1834 dưới

tên “Schubfachprinzip”

http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet



http://en.wikipedia.org/wiki/1834

5

Vài Nét Về Dirichlet


Dirichlet tên đầy đủ là Johann Peter Gustav Lejeune

Dirichlet (1805-1859)

Ông sinh ra tại Düren (Đức) và học tại đại học Bonn và

từng công tác đại học Berlin. Ông được xem là người

đầu tiên đưa ra định nghĩa hiện đại của hàm số:

6

Vài nét về Dirichlet


Các định lý mang tên Định lý Dirichlet:

Định lý Dirichlet về cấp số cộng

Định lý Dirichlet về xấp xỉ diophantine

Định lý Dirichlet về phần tử đơn vị

7

Vài nét về Dirichlet


Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

(1805-1859)

8

Nguyên lý chuồng bồ câu


Định Lý 1:

“Nếu xếp m đối tượng vào n cái hộp và m > n

thì có ít nhất một cái hộp chứa từ 2 đối tượng

trở lên”

9Toán rời rạc: 2011 - 2012 Chương 5: Phép đếm

Ví dụ:

Có 10 con bồ câu nhưng lại chỉ có 9 ô thì có ít

nhất một ô có 2 con bồ câu



Định Lý 2:

“Nếu xếp N đối tượng vào k cái hộp thì tồn tại

ít nhất một cái hộp chứa N/k đối tượng.”

N/k là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc

bằng N/k.



Ví dụ:

- Trong lớp có 43 sinh viên nên có ít nhất 4 sinh viên

sinh cùng một tháng.

( 4 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng 43/12)

- Nếu lấy 20 trái cam chia cho 9 người thì có một

người được từ 3 trái trở lên



Định Lý 3:

“Một dãy số có n2+1 số thực khác nhau thì bao

gồm trong nó ít nhất một dãy số có n+1 số mà dãy

đó tăng dần hoặc giảm dần.”



Ví dụ:

Dãy số số sau có 10 số khác nhau : 10, 17, 8, 4, 12,

15, 18, 9, 7, 1

Nên dãy trên có ít nhất một dãy có 4 số mà dãy đó

tăng dần hoặc giảm dần.

10, 12, 15, 18 là dãy tăng dần…


14

Ứng Dụng


Nguyên lý chuồng bồ câu được vận dụng rất nhiều trong thực tế.

Nhờ nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng

chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp

tìm vật cụ thể.

Ví dụ:

Trong toán học: chứng minh sự tồn tại của một số chia hết 2011

mà các chữ số đều bằng 1

15

Ứng Dụng


Trong thực tế:

- Trong 64 người thi ít nhất có 2 người sinh ra ở

cùng 1 tỉnh.

- Nếu bạn bắn rơi n con bồ câu với m lần bắn

(m < n) thì có ít nhất một lần bạn bắn rơi hơn một con

bồ câu.

- Được sử dụng trong một số trò ảo thuật…

16

Một số Ví Dụ


1)

Chứng minh rằng nếu có 101 người có chiều cao khác

nhau đang xếp thành một hàng thì luôn tìm được 11

người trong hàng xếp theo mà 11 người này đang xếp

theo chiều cao tăng dần hoặc giảm dần.

17

Một số Ví Dụ


Bài giải

Xem chiều cao của 101 người là một dãy 101 số khác

nhau.

Ta có: 101 = 102 + 1

Theo định lý 3 ta có trong dãy 101 số trên có một dãy 11

số (10 + 1) mà dãy đó tăng dần hoặc giảm dần (đpcm)

18

Một số Ví Dụ


2) Chứng minh rằng trong số 12 số tự nhiên bất kỳ có

thể chọn hai số có hiệu chia hết cho 11.

Bài giải:

Khi chia 12 số bất kỳ cho 11 ta sẽ có mỗi số có

một số dư trong 11 số dư: 0, 1, 2,…, 10. Do đó theo

nguyên lý Dirichlet phải tồn tại ít nhất hai số có cùng

số dư. Hiệu của hai số đó sẽ chia hết cho 11.

19

Một số Ví Dụ


3) Có 5 đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với

mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời

gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu

bằng nhau .

20

Một số Ví Dụ


Bài giải:

Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là 0, 1, 2, 3,

4. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu 4

trận và một người chưa đấu trận nào => có tối đa 4 loại

số trận đã đấu.

Vận dụng nguyên lý chuồng bồ câu ta có ít nhất có 2

người có cùng số trận đã đấu.

21

Một số Ví Dụ


4) CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn

chữ số 1 chia hết cho 2007.

Bài giải:

Xét 2008 số gồm toàn chữ số 1. Theo nguyên lý

chuồng bồ câu sẽ tồn tại 2 số khi chia cho 2007 cùng

số dư.

22

Một số Ví Dụ


Giả sử số a = 11…1(có m chữ số 1)

b = 11…1(có n chữ số 1)

(m > n)

a – b = 11…1 .10n (có m - n chữ số 1)

Vì a và b có cùng số dư khi chia cho 2007 nên a –b

chia hết cho 2007

mà 10n không chia hết cho 2007

nên 11…1(có m - n chữ số 1) chia hết cho 2007(đpcm)

23

Bài Tập


1 .CMR: tồn tại một số tự nhiên: 0<x <17sao cho

(25x - 1) chia hết cho 17

2. Chứng minh trong n người (n≥2) thì luôn có ít

nhất 2 người có số người quen (trong số n người)

giống nhau .

24

Bài Tập


3. Cho một hình vuông và 13 đường thẳng, mỗi

đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác

có tỉ số diện tích 2:3. CMR trong số 13 đường

thẳng đó, có ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua một

điểm.

25

Hướng Dẫn Bài Tập


Câu 1:

Sử dụng phương pháp phản chứng.

(giả sử không có số x nào thỏa yêu cầu => không có

2 số x sao cho (25x-1) khi chia 17 có cùng số dư (ở

đây sử dụng phương pháp chứng minh gián tiếp) từ

đó suy ra 25x chia hết cho 17 (vô lý)).

26

Hướng Dẫn Bài Tập


Câu 2:

Có thể tham khảo ví dụ 3

Câu 3:

Chỉ ra 4 điểm mà các đường thẳng đi qua nó sẽ

chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là

2:3

TOÁN RỜI RẠC - WordPress.com · HướngDẫnBài Tập Toán rờirạc: 2011 - 2012 Chương...

Documents

Transcript of TOÁN RỜI RẠC - WordPress.com · HướngDẫnBài Tập Toán rờirạc: 2011 - 2012 Chương...