Tính BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN · 9/29/2016 1 Bài giảngToán cao cấp1...

9/29/2016

1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

BÀI TẬPPHÉP TÍNH VI PHÂN

HÀM MỘT BIẾN

CHƯƠNG 2


Bài 1• Tính đạo hàm các hàm số sau:

2

2

ln

201232 2

2

3

sin

1. sin 7. arctan sin

2. 8. sin

3. 2 9.

4. log ln 10. 1 . .

5. log sin 11.

sin6. cot 12.

xx x

xxx

x

xx

x

y x y x

y x x y x

y y x

y x y x e x

x y x x x

xy arc x y

x


Các phương pháp tính đạo hàm

• Công thức cơ bản: tổng, hiệu, tích, thương,hàm hợp.

• Biến đổi, rút gọn

• Lấy logarit

• Căn thức thường đưa về dạng lũy thừa cho dễtính.


Bài 2

• Tính đạo hàm tại điểm bằng định nghĩa

0' lim

h

f a h f af a

h

0' lim

h

f a h f af a

h

0' lim

h

f a h f af a

h


Bài 2.1

• Cho

• Tính

1, 0

10 , 0

x

xx

f x ex

' 0f


Bài 2.2

• Cho

• Tính

• f’(x) có liên tục tại x=0 hay không?

2 1sin , 0

0 , 0

x xf x x

x

' 0f x khi x

9/29/2016

2


Bài 2.3

• Cho

Tìm n để:

a) f(x) liên tục tại x=0

b) f(x) có đạo hàm hữu hạn tại x=0

c) f(x) có đạo hàm liên tục tại x=0

1sin , 0

0 , 0

nx xf x x

x


Bài 2.4

• Cho

Tìm a để f(x) có đạo hàm tại x=0

2

, 0

1 , 0

xe xf x

x ax x


Bài 2.5,2.6,2.7

2

5. Cho .Tính .

6. Cho 2 3 1 5.Tính .

1 , 1

7. Cho 1 2 ,1 2

2 , 2

Tính .

f x x x f x

f x x x f x

x x

f x x x x

x x

f x


Bài 3,4• Tính đạo hàm dạng tham số

tx

t

yy

x

0

0 0 0

0

t

x

t

y ty x voi x t x

x t


Bài 3,4• Tính đạo hàm dạng tham số

• Tìm y’(x0) của các hàm số.

2

2

5

5

2ln 11. 2.

2arctan

arccot3. 4.

arctan sin

t

t

t

t

xx t

yy t t

x ex t

y t y e t

3

5 3 0

0

3 11. , 1

3 5 1

2. , 1cos

t

t

x t tx

y t t

x ex

y e t


Bài 5• Tính đạo hàm hàm ẩn

• Tính đạo hàm, giải phương trình tìm y’

• Nhớ kết hợp các qui tắc tính đạo hàm đã biết

2

3 2

2 ln

1. ln 0

2.

3. 4 0

4. cos 3

y

y x

x x

x y x e

x y

x y

y x y

9/29/2016

3


Bài 6

• Tìm vi phân

• Công thức:

21. . 2. ln 1 3.x xd x e d x d x

dy y x dx

nn nd y y x dx


Bài 7

• Tìm vi phân hàm ẩn:

5 21. 1

2. cos

3. ln

y y x

xy x

y xy


Bài 8

• Tìm điều kiện để hàm số liên tục, khả vi trên R.

• Dùng tính chất về liên tục, khả vi trên khoảngcủa hàm sơ cấp.

• Xét liên tục, khả vi tại điểm

• Giới hạn trái, phải…

2 2 , 0

, 0

x x xf x

ax b x


Bài 9• Cho hàm số:

• Tính:

1 2 ... 100f x x x x x

0 ?f


Bài 10• Tính đạo hàm cấp 2 dạng tham số

3

. .x t t t t tx x x

tt

y x y y xy y

x x

2

2

cos1.

sin

ln 12. khi 0

t

t

x e t

y e t

x tt

y t


Bài 11• Tính đạo hàm cấp 2 hàm ẩn

taïi4 4

0

1.

2. 1 0,1

3. sin

x ye xy

x xy y M

x x y

9/29/2016

4


Bài 12• Tính đạo hàm cấp cao dạng tích

102

10

1. 1 sin , .

2. , .x

y x x tính y

ey tính y

x


Bài 13

Tính đạo hàm cấp n

2

2

11.

1

12.

3 23. sin 3 1x

yx x

yx x

y e x


Bài 14• Sử dụng công thức L’Hospitale (Lô – pi – tan)

2

20 0

20 0

20 0

0 0

2 arcsin1. lim 2. lim

cos sinsin1 1 2

3. lim 4. limsin sinsin

5. lim 6. lim lnarcsin . ln 1

1 1 1 17. lim 8. lim

arcsin1

x x

x x

x x

x x

x x

xx x

e e x x x

x x xx xe e x

x x x xxx x

x xx x

x x xe

20

1 19. lim

arctanx x x x


Bài tập chương 3


Bài 1

• Tìm các đạo hàm riêng của hàm số sau

2

4 4 3 3 2 2

) ) ln tan

) 2 ) ln

) arctan ) 1y

ya z x y b z

x

c z x y x y d z x x y

ye z f z xy

x


Bài 2

• Tìm các đạo hàm riêng tại (𝜋

3; 4)của hàm số sau

, sinf x y x y

9/29/2016

5


Bài 3

• Tính vi phân toàn phần của hàm số:

• Tính vi phân cấp 2 của hàm số:

) tan 3 6 ) arcsinx y xa z x y b z

y

3 2 2

2

) 4 5 ) ln

) 2 ) ln sin . lnx

a z x x y y b z x y

c z xy y d z e y y x


Bài 4• Tìm cực trị các hàm số sau

3 2

4 4 2 2

2 2

3 2

3

3

2 2

3

) 3 15 12

) 2

) 1

) 1

) 2 6 6 3 2 1

) 2 3 2 6 3

) 1 2

) 2 6 1 3 10 2

a z x xy x y

b z x y x xy y

b z x xy y x y

c z x y x y

d z x x y y x y

e z y x x y x y

f z x y

g z x x y y


Bài tập chương 4


Bài 1 Tích phân đổi biến số3

2 2

3 2

4

4

4 2

2 3 3

sin. .

1. .

21 sin2

. .2 9 3 cos

. .3 sin 4 cos 52 5sin2

. .4 7 sin cos

xa dx b a x dx

xx

c x dx d dxa x x x

xe dx f dxx x x

x dxg dx h

x xx xx dxx

i dx jx x x x


Bài 2. Tích phân từng phần

2

2

2

2 2

. arccos

. arctan

ln 1.

1

.

a x xdx

b xdx

x x xc dx

x

d a x dx


Bài 3. Tính tích phân

2

1

21

1

20 0

1

0 1

3

20

. , 02 cos 1

arcsinsin. .1 2 cos 1

. . cos ln

sin.

cos

x e

x x

dxa ax x a

x dxx xdxb c

x x x

e dxd e x dx

e e

x x dxf

x

9/29/2016

6


Bài 4. Tính tích phân

2

320

3220 22

3 2

5 31 1

2

20 0

1. 2.11

arctan .3. 4.

1 1

15. 6.

1 2 1 2 3

1 ln7. 8.

1

19. 10. .

4 5

a

x

dx dx

xx x

dx x dx

x x x

dxdx

x x x x x

xdx dx

xx

dx x e dxx x


Bài 5

1

230 01 2

2 21 03 3

2 23 1

12

20 0

1. 2.3 2

3. 4.4

5. 6.9 4 3

ln7. ln sin 8.

1

dx dx

x xxdx dx

x xdx dx

x x x

xx dx dx

x

• Tính tích phân:


Bài 6• Xét sự hội tụ của tích phân:

2 21 0

1

331 0

1 1

40 0

ln1. 2.

1 11 4 sin2

3. 4.cos

5. 6.1 1

x

x

x

xdx xdx

x x ex dx dx

e xx xx dxdx

e x


Bài 7• Xét sự hội tụ của tích phân:

1 12

4 20 01 1

sin sin0 01

20

sin6

1. 2.1 1

3. 4.1 cos

5.

x x

xx dx

dxx xxdx dx

e e x

dx

x x

Tính BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN · 9/29/2016 1 Bài giảngToán cao cấp1...

Documents

Transcript of Tính BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN · 9/29/2016 1 Bài giảngToán cao cấp1...