TMV151/TMV181 Fredrik LindgrenOutline 1 Massa, moment masscentrum. Avsnitt 7.4. Massa Moment och...
Transcript of TMV151/TMV181 Fredrik LindgrenOutline 1 Massa, moment masscentrum. Avsnitt 7.4. Massa Moment och...
-
TMV151/TMV181
Fredrik Lindgren
Matematiska vetenskaper
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet
19 november 2013
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 1 / 24
-
Outline
1 Massa, moment masscentrum. Avsnitt 7.4.MassaMoment och masscentrum
2 Centroider, Pappus sats, avsnitt 7.5CentroiderPappus sats
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 2 / 24
-
Punktmassor, linjedensiteters massor
Den totala massan m av N punktmassor med massorna mj ,j = 1, . . . ,N ges av
m =N∑
j=1
mj .
Den totala massorna av en rät tråd från x = a till x = b medlinjedensitet δ(x) ges av
m =
∫ b
a
δ(x) dx .
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 3 / 24
-
Ytors massor
Om ett område begränsas av a ≤ x ≤ b och 0 ≤ y ≤ f (x) och omytdensiteten σ(x) beror endast av x så ges ytans massa av
m =
∫ b
a
σ(x)f (x) dx .
En yta som fås av att rotera grafen (x , f (x)) för a ≤ x ≤ b runtx-axeln och som har en ytdensitet som bara beror av positionen i x-ledhar en massa m som ges av
m = 2π∫ b
a
σ(x)f (x)√
1 + f ′(x)2 dx
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 4 / 24
-
Kroppars massor
Om en kropp har känd snittsarea A(x) för snitt genom i (x , 0, 0)vinkelräta mot x-axeln och densitet ρ(x) som bara beror av positioneni x-led så ges massan hos den del av kroppen som befinner sig mellanx = a och x = b av
m =
∫ b
a
ρ(x)A(x) dx .
En rotationskropp som fås av att rotera området a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) runt x-axeln och som har densitet ρ(x) har massan
m = π
∫ b
a
ρ(x)f (x)2 dx .
Hur ser uttrycket för massan av en rotationskropp runt y -axeln ut?
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 5 / 24
-
Punktmassors moment
Definition
Om vi har N punktmassor mj utplacerade i punkterna xj , j = 1, . . . ,N såges massornas moment med avseende på punkten x0 av
Mx=x0 =N∑
j=1
mj(xj − x0).
Momentet m.a.p. x0 är alltså summan av produkten av punktmassona ochderas avstånd till x0 (med tecken!)
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 6 / 24
-
Punktmassors masscentrum
Definition
Masscentrum är den punkt x̄ för vilken Mx=x̄ = 0
Sats
Masscentrum x̄ ges av
x̄ =Mx=0
m.
Bevis.
Det gäller att
0 = Mx=x̄ =N∑
j=1
mj(xj − x̄) =N∑
j=1
mjxj −N∑
j=1
mj x̄ = Mx=0 − x̄m.
Så mx̄ = Mx=0 ⇔ x̄ = Mx=0m .
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 7 / 24
-
En massfördelning kan ersättas med en punktmassa
En massfördelning kan ersättas med en punktmassa i momentberäkningarenligt följande sats.
Sats
Det gäller att punktmassornas moment m.a.p. x = x0 ges av
Mx=x0 = m(x̄ − x0)
där x̄ är systemets masscentrum.
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 8 / 24
-
Bevis av satsen ovan.
Bevis.
Vi har att
Mx=x0 =N∑
j=1
mj(xj − x0) =N∑
j=1
(mj(xj − x̄) + mj(x̄ − x0))
=N∑
j=1
mj(xj − x̄) +N∑
j=1
mj(x̄ − x0) = Mx=x̄ + m(x̄ − x0)
= 0 + m(x̄ − x0).
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 9 / 24
-
Moment hos linjedensiteterEn tunn rät tråd med linjedensiteten δ(x) kan ses som en oändlig mängdpunktmassor där linjestycket dx innehållande punkten x har massandm = δ(x)dx och således momentet dMx=0 = xδ(x)dx med avseende påx = 0.
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
dx
dm=δ(x)dx
x=a x=b\bar{x}
linjedensitetenδ(x)
Figur: Bild som beskriver linjdensitet ...F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 10 / 24
-
Det följer att hela trådens moment ges av
Mx=0 =
∫ b
a
xδ(x)dx .
Trådens masscentrum ges av
x̄ =Mx=0
m=
∫ b
axδ(x)dx
∫ b
aδ(x)dx
.
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 11 / 24
-
Moment och masscentrum hos punktmassor i planetVi låter våra N punktmassor mj vara utplacerade i planet i punkterna(xj , yj).
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
m1=1
m2=2
m3=1
(xj,y
j)=(−1 ,0)
(xj,y
j)=(1 ,−1)
(xj,y
j)=(1 ,1)
x=\bar{x}y=\bar{y}
Figur: Bild som beskriver punktmassor.
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 12 / 24
-
Moment och masscentrum hos punktmassor i planet, forts.Momentet m.a.p. linjen x = x0 ges som förut av
Mx=x0 =N∑
j=1
mj(xj − x0).
och masscentrums x-koordinat av
x̄ =Mx=0
m.
Vi inför nu momentet My=y0 m.a.p linjen y = y0 på samma sätt:
My=y0 =N∑
j=1
mj(yj − y0).
och med motsvarande definition av masscentrums y -koodinat ȳ så fås att
ȳ =My=0
moch My=y0 = (ȳ − y0)m.
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 13 / 24
-
Ytdensiteters moment I
Betrakta den plana ytan som begränsas av a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x).Om den har en densitet σ = σ(x) så ges den infinitessimala massandm ovanför dx av dm = σ(x)f (x)dx . . .
. . . och momentet runt x = 0 som den ger upphov till avdMx=0 = xdm = xσ(x)f (x)dx . . .
. . . så det totala mometet ges av
Mx=0 =
∫ b
a
xσ(x)f (x)dx .
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 14 / 24
-
Ytdensiteters moment II
För att få momentet med avseende på y = 0 så konstaterar vi attmasscentrum för arean ovanför dx ligger i (x , 1
2f (x)). . .
. . . varvid dMy=0 = 12 f (x)dm =12f (x)σ(x)f (x)dx = 1
2σ(x)f (x)2dx
. . .
. . . varvid
My=0 =12
∫ b
a
σ(x)f (x)2dx .
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 15 / 24
-
Ytdensiteters masscentrum
Det gäller att
x̄ =Mx=0
m=
∫ b
axσ(x)f (x)dx
∫ b
aσ(x)f (x) dx
och
ȳ =My=0
m=
12
∫ b
aσ(x)f (x)2dx
∫ b
aσ(x)f (x) dx .
Dessutom är
Mx=x0 = m(x̄ − y0), My=y0 = m(ȳ − y0)
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 16 / 24
-
Kurvdensiteters moment och masscentrum
Om en kurva C ges av en funktionsgraf C = {(x , f (x)) : a ≤ x ≤ b} ochhar densitet δ(x) så ges dess moment runt koordinataxlarna av
Mx=0 =
∫ b
a
xδ(x) ds =
∫ b
a
xδ(x)√
a + f ′(x)2 dx
respektive
My=0 =
∫ b
a
δ(x)f (x)√
a + f ′(x)2 dx .
Masscentrum ges sedan av
x̄ =Mx=0
m, ȳ =
My=0
m
med m =∫ b
aδ(x)
√
a + f ′(x)2 dx . Övertyga dig om detta!
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 17 / 24
-
Outline
1 Massa, moment masscentrum. Avsnitt 7.4.MassaMoment och masscentrum
2 Centroider, Pappus sats, avsnitt 7.5CentroiderPappus sats
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 18 / 24
-
Centroid
Om ett plant område a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) har fix densitet σ = 1så är massan densamma som arean av området.
m =
∫ b
a
σf (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx = A.
I det här fallet kallas områdets masscentrum (x̄ , ȳ) dess centroid ochär alltså en egenskap hos det geometriska objektet.Talet x̄ kallas också f :s medelvärde.För ett plant område a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) gäller alltså att attcentoriden ges av
x̄ =Mx=0
A, ȳ =
My=0
A.
där
Mx=0 =
∫ b
a
xf (x) dx ,
My=0 =12
∫ b
a
f (x)2 dx ,
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 19 / 24
-
Exempel, centroider
Exempel
En cirkels centroid är dess centrum.
Exempel
Halvcirkeln begränsad av −R ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤√
R2 − x2 har centroiden ix̄ = 0 på grund av symmetrin. Det gäller att A = πR2/2 och
My=0 =12
∫ R
−R
(R2 − x2) dx = 12
(
2R3 −[
x3
3
]R
−R
)
=12
(
2R3 − 2R3
3
)
=2R3
3.
så
ȳ =2R3/3πR2/2
=4R3π
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 20 / 24
-
Triangelns centroid
Sats (Triangelns centroid)
En triangels centroid ges av skärningspunkterna mellan dess medianer.
Bevisidé.
Beviset bygger på faktumet att masscentrum är oberoende av val avkoordinataxlar. Genom att visa att momentet med avssende på engodtycklig median är noll följer att masscentrum måste ligga på varjemedian och därmed i medianernas skärningspunkt.
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 21 / 24
-
Pappus sats
Sats (Pappus sats)
Om ett plant område S ligger helt och hållet på ena sidan om en linje L såges volymen av kroppen då vi roterar S runt L av områdets area A gångersträckan som centroiden färdas under rotationen. Låt r̄ vara det vinkelräta
avståndet från centroiden (x̄ , ȳ) till L. Då färdas centroiden sträckan 2πr̄och volymen V ges av
V = 2πr̄A.
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 22 / 24
-
−3 −2 −1 0 1 2 3−2
0
2
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y
z
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 23 / 24
-
Bevis av Pappus sats
Bevis.
Välj koordinatsystem så L är y -axeln och antag att vår yta S är ingstängdmellan x = a och x = b. Då är r̄ = x̄ . Låt dA vara arean ovanför den tunnaremsan med bredd dx . Vi har att rotationscylinderns volym ges avdV = 2πxdA och
V = 2π∫ b
a
x dA = 2πMx=0 = 2πx̄A = 2πr̄A.
Pappus sats kan användas för att räkna ut såväl volymer som masscentrum(hos plana ytor). Studera exempel 5-6 sid. 422.
F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 24 / 24
Massa, moment masscentrum. Avsnitt 7.4.MassaMoment och masscentrum
Centroider, Pappus sats, avsnitt 7.5CentroiderPappus sats