TKE132102 Week 1 Aljabar-Matriks
-
Upload
agung-karunia-adi -
Category
Documents
-
view
242 -
download
0
description
Transcript of TKE132102 Week 1 Aljabar-Matriks
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari FadliPendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
Lecture #1Aljabar Matriks
Matematika TeknikTKE132102
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
OutlineMatrix : Terminology, Types, Properties, Operation,
Determinan
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
Matrix - a rectangular array of
variables or constants in
horizontal rows and vertical
columns enclosed in brackets.
Element - each value in a matrix;
either a number or a constant.
Dimension - number of rows by
number of columns of a matrix.
Matrix Terminology
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
Column Matrix - a matrix with only one column.
Row Matrix - a matrix with only one row.
Square Matrix - a matrix that has the same number of rows and columns.
Equal Matrices - two matrices that have the same dimensions
and each element of one matrix is equal to the corresponding
element of the other matrix
Zero matrices - Every element of a matrix is zero, it is called a zero
matrix, i.e.,
Types of Matrices
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
upper triangular matrix lower triangular matrix
4000
6300
5220
1341
4125
0323
0022
0001
identity matrix
1000
0100
0010
0001
Types of Matrices
diagonal matrix
4000
0300
0020
0001
Symmetric AT = A
653
542
321
orthogonal AAT = ATA
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
A + B = B + A
A + (B +C) = (A + B) +C
l(A + B) = lA + lB, where l is a scalar
AB BA in general
(commutative law)
(associative law)
(distributive law)
Properties of matrices
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
Matrices Operations
Skalar dan matriks
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
Determinant - Every square matrix has associated with it a scalarcalled its determinant (det(A) or |A|)
**To find a determinant you must have
a SQUARE MATRIX!!**
Determinant Matrix Terminology
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
Determinants from Matrices and Transpose have the same value
If one row/cols of a matrix consists entirely of zeros, det = 0
2624
37
A 26
23
47
A
0
567
000
312
A 0
087
056
022
A
Properties
If two rows of a matrix are interchanged, the det changes sign.
3132
57
A 31
57
32
A
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
If two cols of a matrix are identical, the determinant is zero.
027
27
A 0
303
232
111
A
Properties
If the matrix B is obtained from the matrix A by multiplying every element in
one row of A by the scalar , then |B|= |A|.
543
12
A 357
2821
12
AB
For an n n matrix A and any scalar , det(A)= ndet(A).
543
12
A 20
86
24
A 22 X 5 = 20
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
If a matrix B is obtained from a matrix A by adding to one row of A, a scalar
times another row of A, then |A|=|B|.
The determinant of a triangular matrix, either upper or lower, is the product of
the elements on the main diagonal.
If A and B are of the same order, then det(AB)=det(A) det(B).
543
12
A 5
21
12
B
15
500
310
273
A
Properties
If det(A) = 0. Thus, A is not invertible
6 42
1 0 1
3 2 1
A
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
Sarrus
Minor and Coffactor
Elementary Row Operations (OBE)
Properties
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
then,A
dc
babcadAdet
h
e
b
g
d
a
ihg
fed
cba
A
bdi- afh -ceg- cdh bfg aeiAdet then ,
Properties
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
Given a matrix A=[aij] , the cofactor of the element aij is a scalar obtained
by multiplying together the term (-1)i+j and the minor obtained from A by
removing the ith row and the jth column. In other words, the cofactor Cij is
given by Cij = (1)i+jMij.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A3332
1312
21aa
aaM
3331
1311
22aa
aaM
2121
12
21 )1( MMC
2222
22
22 )1( MMC
Expansi Cofactor
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
To find the determinant of a matrix A of arbitrary order,
Pick any one row or any one column of the matrix; For each element in the row or column chosen, find its cofactor; Multiply each element in the row or column chosen by its cofactor and
sum the results. This sum is the determinant of the matrix.
ininiiii
n
jijij CaCaCaCaAA
22111
)det(
njnjjjjj
n
iijij CaCaCaCaAA
22111
)det(
ith row expansion
jth column expansion
Expansi Cofactor
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
MMM
MMM
MMM
MINOR
333231
232221
131211
CCC
CCC
CCC
COFACTOR
332313
322212
312111
CCC
CCC
CCC
cofactorADJ T
Expansi Cofactor
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
3620
4211
4521
6242
A
Rows Reduction
3620
4211
4521
3121
A
3620
1310
1600
3121
A
3620
1600
1310
3121
A
5000
1600
1310
3121
A2(-1)(1)(6)(5)
-
Jurusan Teknik ElektroSemester Ganjil Tahun Ajaran 2015/2016
Pendidikan Untuk Indonesia Lebih Baik - Ari Fadli
cols Reduction
3620
4211
4521
6242
A
3000
4103/51
4133/21
61002
A
3000
4103/50
4133/25/3
61002
A
3000
41000
4132/35/3
6103/52
A
3000
41000
4132/30
61033/4
A
3000
4103/50
4133/25/3
61002
A