TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY

TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 10

Họ tên HS: …………….………….

Lớp: ………………..………

Tài liệu lưu hành nội bộ

Mục lục

CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP .........................................................................3

BÀI 1: MỆNH ĐỀ ......................................................................................................... 3

BÀI 2: TẬP HỢP .......................................................................................................... 5

BÀI 3: SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ ............................................................................... 7

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI .................................................8

BÀI 1: HÀM SỐ ............................................................................................................ 8

BÀI 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT .................................................................................... 10

BÀI 3: HÀM SỐ BẬC HAI ........................................................................................ 12

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II ......................................................................................... 13

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ..............................14

BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ............................................................. 14

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0 ......................................................................... 15

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a 0).................................. 15

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ......... 17

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN ......................................... 18

BÀI 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC ............................................. 19

BÀI 7: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) (đọc thêm)20

BÀI 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN ........................................... 21

BÀI 9: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN .................................................... 22

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III ........................................................................................ 23

CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ..........................25

BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC ......................................................................................... 25

CHƯƠNG I: VECTƠ ..................................................................................................28

BÀI 1: VECTƠ ............................................................................................................ 28

BÀI 2: TOẠ ĐỘ .......................................................................................................... 30

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I .......................................................................................... 32

CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG .............33

BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0

0 ĐẾN0

180 ........ 33

BÀI 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ......................................................... 33

BÀI 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ..................................................... 33

1. Mệnh đề

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.

Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

2. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P.

Mệnh đề "Không phải P" đgl mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P .

Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.

3. Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q.

Mệnh đề "Nếu P thì Q" đgl mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P Q.

Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P Q.

Khi đó: – P là giả thiết, Q là kết luận;

– P là điều kiện đủ để có Q;

– Q là điều kiện cần để có P.

4. Mệnh đề đảo

Cho mệnh đề kéo theo P Q. Mệnh đề Q P đgl mệnh đề đảo của mệnh đề P Q.

5. Mệnh đề tương đương


Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P Q.

Mệnh đề P Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P Q và Q P đều đúng.

Chú ý: Nếu mệnh đề P Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

6. Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với

mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

7. Kí hiệu và

"x X, P(x)" "x X, P(x)"

Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x X, P(x)" là "x X, P(x)".

Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x X, P(x)" là "x X, P(x)".

8. Phép chứng minh phản chứng

Giả sử ta cần chứng minh định lí: A B.

Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học chứng minh B đúng.

Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không

thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.

9. Bổ sung


Mệnh đề "P và Q" đgl giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P Q.

Mệnh đề "P hoặc Q" đgl hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P Q.

Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: P Q P Q , P Q P Q .

CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP

BÀI 1: MỆNH ĐỀ

Câu 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến:

a) Số 11 là số chẵn. b) Bạn có chăm học không ?

c) Huế là một thành phố của Việt Nam. d) 2x + 3 là một số nguyên dương.

e) 2 5 0 . f) 4 + x = 3.

g) Hãy trả lời câu hỏi này!. h) Paris là thủ đô nước Ý.

i) Phương trình x x2

1 0 có nghiệm. k) 13 là một số nguyên tố.

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?

a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. b) Nếu a b thì a b2 2 .

c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6. d) Số lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.

e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. f) 81 là một số chính phương.

g) 5 > 3 hoặc 5 < 3. h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ?

a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.

c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có

một góc bằng 060 .

d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.

e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.

f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.

g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời:

a) x R x2

, 0 . b) x R x x2

, c) x Q2

,4x 1 0 .

d) n N n n2

, . e) f) x R x x2

, 9 3

g) x R x x2

, 3 9 . h) x R x x2

, 5 5 i) x R x x2

,5 3 1

k) x N x x2

, 2 5 là hợp số. l) n N n2

, 1 không chia hết cho 3.

m) n N n n*, ( 1) là số lẻ. n) n N n n n

*, ( 1)( 2) chia hết cho 6.

Câu 5. Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để được mệnh đề đúng:

a) 4.... 5 . b) ab khi a b0 0.... 0 .

c) ab khi a b0 0.... 0 d) ab khi a b a b0 0.... 0.... 0.... 0 .

e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 …. cho 3.

f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 …. bằng 5.

Câu 6. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x R. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng:

a) P x x2

( ) :" 5x 4 0" b) P x x2

( ) :" 5x 6 0" c) P x x x2

( ) :" 3 0"

d) P x x x( ) :" " e) P x x( ) :"2 3 7" f) P x x x2

( ) :" 1 0"

Câu 7. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3.

b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.

c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

d) Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n.

Câu 8. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) x R x2

: 0 . b) x R x x2

: . c) x Q x2

: 4 1 0 .

d) x R x x2

: 7 0 . e) x R x x2

: 2 0 . f) x R x2

: 3 .

g) n N n2

, 1 không chia hết cho 3. h) n N n n2

, 2 5 là số nguyên tố.

i) n N n n2

, chia hết cho 2. k) n N n2

, 1 là số lẻ.

Câu 9. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":

a) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5.

x R x x2

, 1 0

b) Nếu a b 0 thì một trong hai số a và b phải dương.

c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.

d) Nếu a b thì a b2 2 . e) Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c.

Câu 10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":

a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ

ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.

b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông.

e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau.

Câu 11. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ":

a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông.

c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.

d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.

e) Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n2 là số lẻ.

1. Tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.

Cách xác định tập hợp: + Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }.

+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu .

2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau

A B x A x B

+ A A A, + A A, + A B B C A C,

A B A B vaø B A

3. Một số tập con của tập hợp số thực

N N Z Q R*

Khoảng: a b x R a x b( ; ) ; a x R a x( ; ) ; b x R x b( ; )

Đoạn: a b x R a x b[ ; ]

Nửa khoảng: a b x R a x b[ ; ) ; a b x R a x b( ; ] ;

a x R a x[ ; ) ; b x R x b( ; ]

4. Các phép toán tập hợp

Giao của hai tập hợp: A B x x A vaø x B

Hợp của hai tập hợp: A B x x A hoaëc x B

Hiệu của hai tập hợp: A B x x A vaø x B\

Phần bù: Cho B A thì A

C B A B\ .

Câu 1. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:

A = x R x x x x2 2

(2 5 3)( 4 3) 0 B = x R x x x x2 3

( 10 21)( ) 0

BÀI 2: TẬP HỢP

C = x R x x x x2 2

(6 7 1)( 5 6) 0 D = x Z x x2

2 5 3 0

E = x N x x vaø x x3 4 2 5 3 4 1 F = x Z x 2 1

G = x N x 5 H = x R x x2

3 0

Câu 2. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:

A = 0; 1; 2; 3; 4 B = 0; 4; 8; 12; 16 C = 3 ; 9; 27; 81

D = 9; 36; 81; 144 E = 2,3,5,7,11 F = 3,6,9,12,15

G = Tập tất cả các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

H = Tập tất cả các điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước và có bán kính bằng 5.

Câu 3. Trong các tập hợp sau đây, tập nào là tập rỗng:

A = x Z x 1 B = x R x x2

1 0 C = x Q x x2

4 2 0

D = x Q x2

2 0 E = x N x x2

7 12 0 F = x R x x2

4 2 0

Câu 4. Tìm tất cả các tập con, các tập con gồm hai phần tử của các tập hợp sau:

A = 1, 2 B = 1, 2, 3 C = a b c d, , ,

D = x R x x2

2 5 2 0 E = x Q x x2

4 2 0

Câu 5. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào?

a) A = 1, 2, 3 , B = x N x 4 , C = (0; ) , D = x R x x2

2 7 3 0 .

b) A = Tập các ước số tự nhiên của 6 ; B = Tập các ước số tự nhiên của 12.

c) A = Tập các hình bình hành; B = Tập các hình chữ nhật;

C = Tập các hình thoi; D = Tập các hình vuông.

d) A = Tập các tam giác cân; B = Tập các tam giác đều;

C = Tập các tam giác vuông; D = Tập các tam giác vuông cân.

Câu 6. Tìm A B, A B, A \ B, B \ A với:

a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12}

b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4}

c) A = x R x x2

2 3 1 0 , B = x R x2 1 1 .

d) A = Tập các ước số của 12, B = Tập các ước số của 18.

e) A = x R x x x x2

( 1)( 2)( 8 15) 0 , B = Tập các số nguyên tố có một chữ số.

f) A = x Z x2

4 , B = x Z x x x x2 2

(5 3 )( 2 3) 0 .

g) A = x N x x2 2

( 9)( 5x 6) 0 , B = x N x laø soá nguyeân toá x, 5 .

Câu 7. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho:

a) {1, 2} X {1, 2, 3, 4, 5}. b) {1, 2} X = {1, 2, 3, 4}.

c) X {1, 2, 3, 4}, X {0, 2, 4, 6, 8} d)

Câu 8. Tìm các tập hợp A, B sao cho:

a) AB = {0;1;2;3;4}, A\B = {–3; –2}, B\A = {6; 9; 10}.

b) AB = {1;2;3}, A\B = {4; 5}, B\A = {6; 9}.

Câu 9. Tìm A B, A B, A \ B, B \ A với:

a) A = [–4; 4], B = [1; 7] b) A = [–4; –2], B = (3; 7]

c) A = [–4; –2], B = (3; 7) d) A = (–; –2], B = [3; +)

e) A = [3; +), B = (0; 4) f) A = (1; 4), B = (2; 6)

Câu 10. Tìm A B C, A B C với:

a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2) b) A = (–; –2], B = [3; +), C = (0; 4)

c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1] d) A = (−; 2], B = [2; +), C = (0; 3)

e) A = (−5; 1], B = [3; +), C = (−; −2)

1. Số gần đúng Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng.

2. Sai số tuyệt đối

Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì a

a a đgl sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

3. Độ chính xác của một số gần đúng

Nếu a

a a d thì a d a a d . Ta nói a là ssố gần đúng của a với độ chính xác d,

và qui ước viết gọn là a a d .

4. Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí hiệu a

aa

.

a

càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn.

Ta thường viết a

dưới dạng phần trăm.

5. Qui tròn số gần đúng

Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số

bên phải nó bởi số 0.

Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số

bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn.

Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai sô tuyệt đối của số qui

tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn. Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng

nửa đơn vị của hàng qui tròn.

6. Chữ số chắc

Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số đgl chữ số chắc (hay

đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.

Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số

đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.

BÀI 3: SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ

1. Định nghĩa

Cho D R, D . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số

x D với một và chỉ một số y R.

x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x).

D đgl tập xác định của hàm số.

T = y f x x D( ) đgl tập giá trị của hàm số.

2. Cách cho hàm số

Cho bằng bảng Cho bằng biểu đồ Cho bằng công thức y = f(x).

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có

nghĩa.

3. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x f x; ( ) trên mặt

phẳng toạ độ với mọi x D.

Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường. Khi đó ta nói y = f(x) là phương

trình của đường đó.

4. Sư biến thiên của hàm số Cho hàm số f xác định trên K.

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x x K x x f x f x1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x K x x f x f x1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )

5. Tính chẵn, lẻ của hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x D thì –x D và f(–x) = f(x).

Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x D thì –x D và f(–x) = –f(x).

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu

thức f(x) có nghĩa: D = x R f x coù nghóa( ) .

Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:

1) Hàm số y = P x

Q x

( )

( )

: Điều kiện xác định: Q(x) 0.

2) Hàm số y = R x( ) : Điều kiện xác định: R(x) 0.

Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.

+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A D.

+ A.B 0 A

B

0

0

.

Câu 1. Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) f x x( ) 5 . Tính f(0), f(2), f(–2), f(3).

b) x

f x

x x2

1( )

2 3 1

. Tính f(2), f(0), f(3), f(–2).

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

BÀI 1: HÀM SỐ

c) f x x x( ) 2 1 3 2 . Tính f(2), f(–2), f(0), f(1).

d)

khi x

x

f x x khi x

x khi x2

20

1

( ) 1 0 2

1 2

. Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3).

e)

khi x

f x khi x

khi x

1 0

( ) 0 0

1 0

. Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5).

Câu 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) x

y

x

2 1

3 2

b)

xy

x

3

5 2

c) y

x

4

4

d) x

y

x x2

3 2

e) x

y

x x2

1

2 5 2

f)

xy

x x2

3

1

g) x

y

x3

1

1

h)

xy

x x x2

2 1

( 2)( 4 3)

i) y

x x4 2

1

2 3


a) y x2 3 b) y x2 3 c) y x x4 1

d) y x

x

11

3

e) y

x x

1

( 2) 1

f) y x x3 2 4 2

g) x

y

x x

5 2

( 2) 1

h) y x

x

12 1

3

i) y x

x2

13

4

VẤN ĐỀ 2: Xét sự biến thiên của hàm số Cho hàm số f xác định trên K.

y = f(x) đồng biến trên K x x K x x f x f x1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )

f x f x

x x K x x

x x

2 1

1 2 1 2

2 1

( ) ( ), : 0

y = f(x) nghịch biến trên K x x K x x f x f x1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )

f x f x

x x K x x

x x

2 1

1 2 1 2

2 1

( ) ( ), : 0

Câu 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:

a) y x2 3 ; . b) y x 5 ; .

c) y x x2

4 ; (–; 2), (2; +). d) y x x2

2 4 1 ; (–; 1), (1; +).

e) y

x

4

1

; (–; –1), (–1; +). f) y

x

3

2

; (–; 2), (2; +).

Câu 2. * Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc

trên từng khoảng xác định):

a) y m x( 2) 5 b) y m x m( 1) 2

c) m

y

x 2

d) m

y

x

1

VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:

Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.

Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).

+ Nếu f(–x) = f(x), x D thì f là hàm số chẵn.

+ Nếu f(–x) = –f(x), x D thì f là hàm số lẻ.

Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x D thì –x D.

+ Nếu x D mà f(–x) f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.

Câu 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y x x4 2

4 2 b) y x x3

2 3 c) x

y

x

2

4

4

d) y x2

( 1) e) y x x2


a) y x x2 1 2 1 b) y x x2 2 c) y x x2

2

1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0)

Tập xác định: D = R.

Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R.

+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R.

Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b).

Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d): y = ax + b:

+ (d) song song với (d) a = a và b b.

+ (d) trùng với (d) a = a và b = b.

+ (d) cắt (d) a a.

+ (d) vuông góc (d’) a . a = -1.

2. Hàm số y ax b (a 0)

bax b khi x

ay ax b

bax b khi x

a

( )

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và

y = –ax – b, rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.

Câu 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y x2 7 b) y x3 5 c) x

y3

2

d)

xy

5

3

Câu 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:

a) y x y x3 2; 2 3 b) y x y x3 2; 4( 3)

c) y x y x2 ; 3 d) x x

y y3 5

;

2 3

Câu 3. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số y x k x2 ( 1) :

a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm ( )-2;3M

c) Song song với đường thẳng y x2.

BÀI 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

Câu 4. Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b :

a) Đi qua hai điểm ( 1; 20), (3;8).- - A B

b) Đi qua điểm (4; ) -3M và song song với đường thẳng d: y x2

1

3

.

c) Cắt đường thẳng d1: y x 2 5 tại điểm có hoành độ bằng –2 và cắt đường thẳng d2:

y x–3 4 tại điểm có tung độ bằng –2.

d) Song song với đường thẳng y x1

2

và đi qua giao điểm của hai đường thẳng y x1

1

2

và y x3 5 .

e) Đi qua M(-1; 3) và vuông góc với đường thẳng y x1

2

.

Câu 5. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân biệt và

đồng qui:

a) y x y x y mx2 ; 3; 5 b) y x y mx y x m–5( 1); 3; 3

c) y x y x y m x2 1; 8 ; (3 2 ) 2 d) y m x m y x y x(5 3 ) 2; 11; 3

e) y x y x y m x m2

5; 2 7; ( 2) 4

Câu 6. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào:

a) y mx m2 1 b) y mx x3 c) y m x m(2 5) 3

d) y m x( 2) e) y m x(2 3) 2 f) y m x m( 1) 2

Câu 7. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến?

a) y m x m(2 3) 1 b) y m x m(2 5) 3

c) y mx x3 d) y m x( 2)

Câu 8. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây:

a) y x3 6 1 0 b) y x0,5 4 c) x

y 3

2

d) y x2 6 e) x y2 1 f) y x0,5 1

Câu 9. Với giá trị nào của m thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau:

a) y m x m y x(3 1) 3; 2 1 b) m m m m

y x y x

m m m m

2( 2) 3 5 4;

1 1 3 1 3 1

c) y m x y m x m( 2); (2 3) 1


a)

x khi x

y khi x

x khi x

1

1 1 2

1 2

b)

x khi x

y khi x

x khi x

2 2 1

0 1 2

2 2

c) y x3 5 d) y x2 1 e) y x1 5

2 3

2 2

f) y x x2 1 g) y x x 1 h) y x x x1 1

y ax bx c2 (a 0)

Tập xác định: D = R

Sự biến thiên:

Đồ thị là một parabol có đỉnh b

I

a a

;

2 4

, nhận đường thẳng

bx

a2

làm trục đối xứng,

hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0.

Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh b

I

a a

;

2 4

.

– Xác định trục đối xứng b

x

a2

và hướng bề lõm của parabol.

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục

toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

Câu 1. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y x x2

2 b) y x x2

2 3 c) y x x2

2 2

d) y x x21

2 2

2

e) y x x2

4 4 f) y x x2

4 1

Câu 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau:

a) y x y x x2

1; 2 1 b) y x y x x2

3; 4 1

c) y x y x x2

2 5; 4 4 d) y x x y x x2 2

2 1; 4 4

e) y x x y x x2 2

3 4 1; 3 2 1 f) y x x y x x2 2

2 1; 1

Câu 3. Xác định parabol (P) biết:

a) (P): y ax bx2

2 đi qua điểm (1;0)A và có trục đối xứng x3

2

.

b) (P): y ax bx2

3 đi qua điểm ( 1;9)A và có trục đối xứng x 2 .

c) (P): y ax bx c2 đi qua điểm (0;5)A và có đỉnh . (3; -4)I

d) (P): y ax bx c2 đi qua điểm (2; ) -3A và có đỉnh . (1; -4)I

e) (P): y ax bx c2 đi qua các điểm . -(1;1), ( 1; 3 (- ), 0;0)A B O

f) (P): y x bx c2 đi qua điểm (1;0)A và đỉnh I có tung độ bằng 1.


a) y x x2

2 1 b) y x x 2 c) y x x2

2 1

d) x neáu x

y

x x neáu x

2

2

2 1

2 2 3 1

e)

x neáu xy

x x neáu x2

2 1 0

4 1 0

f)

x khi xy

x x khi x2

2 0

0

BÀI 3: HÀM SỐ BẬC HAI

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II


a) y x

x

42

4

b) x x

y

x

1 1 c)

x xy

x x x

2

2

3

1

d) x x

y

x

22 3

2 5

e)

x xy

x

2 3 2

1

f)

xy

x x

2 1

4

Câu 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

a) y x x2

4 1 trên (; 2) b) x

y

x

1

1

trên (1; +) c) y

x

1

1

d) y x3 2 e) y

x

1

2

f) x

y

x

3

2

trên (2; +∞)


a) x x

y

x

4 2

2

2

1

b) y x x3 3 c) y x x + x

2( 2 )

d) x x

y

x x

1 1

1 1

e)

x xy

x

3

21

f) y x 2

Câu 4. Cho hàm số y ax bx c2 (P). Tìm , ,a b c .

Tìm , ,a b c thoả điều kiện được chỉ ra.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )P của hàm số vừa tìm được.

Tìm m để đường thẳng d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A và B. Xác định toạ độ trung

điểm I của đoạn .AB

a) ( )P có đỉnh S1 3

;

2 4

và đi qua điểm (1;1);A :d y mx

b) ( )P có đỉnh (1;1)S và đi qua điểm (0;2); :A d y x m2 .

1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)

x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.

Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.

Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x

1

( )

thì cần điều kiện P(x) 0.

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x) 0.

+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y

= f(x) và y = g(x).

2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1

và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.

(1) (2) khi và chỉ khi S1 = S2.

(1) (2) khi và chỉ khi S1 S2.

3. Phép biến đổi tương đương

Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta

được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:

– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.

– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.

Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả.

Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Câu 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

a) x

x x

5 53 12

4 4

b) x

x x

1 15 15

3 3

c) x

x x

2 1 19

1 1

d) x

x x

2 23 15

5 5


a) x x1 1 2 b) x x1 2 c) x x1 1

d) x x1 1 e) x

x x

3

1 1

f) x x x2

1 2 3


a) x x x2

3( 3 2) 0 b) x x x2

1( 2) 0

c) x

x

x x

12

2 2

d) x x

x

x x

24 3

1

1 1


a) x x2 1 b) x x1 2

c) x x2 1 2 d) x x2 2 1


a) x x

x x1 1

b) x x

x x

2 2

1 1

c)

x x

x x2 2

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Chú ý: Khi a 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn.

Câu 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) m x m x2

( 2) 2 3 b) m x m x m( ) 2

b) m x m m x( 3) ( 2) 6 d) m x m x m2( 1) (3 2)

Câu 2. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:

i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x R.

a) m x n( 2) 1 b) m m x m2

( 2 3) 1

c) mx x mx m x2

( 2)( 1) ( ) d) m m x x m2 2

( ) 2 1

1. Cách giải

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c

a

.

– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c

a

.

– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b

b

2

.

2. Định lí Vi–et

Hai số x x1 2, là các nghiệm của phương trình bậc hai ax bx c

20 khi và chỉ khi chúng thoả

mãn các hệ thức b

S x x

a1 2

và c

P x x

a1 2

.

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0

ax + b = 0 (1)

Hệ số Kết luận

a 0 (1) có nghiệm duy nhất b

x

a

a = 0 b 0 (1) vô nghiệm

b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a 0)

ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)

b ac2

4 Kết luận

> 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt b

x

a1,2

2

= 0 (1) có nghiệm kép b

x

a2

< 0 (1) vô nghiệm

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax bx c2

0

Để giải và biện luận phương trình ax bx c2

0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của

hệ số a:

– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx c 0 .

– Nếu a 0 thì mới xét các trường hợp của như trên.

Câu 1. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) x x m2

5 3 1 0 b) x x m2

2 12 15 0

c) x m x m2 2

2( 1) 0 d) m x m x m2

( 1) 2( 1) 2 0

e) m x m x2

( 1) (2 ) 1 0 f) mx m x m2

2( 3) 1 0

Câu 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:

a) x mx m x2 3

1 0;

2

b) x m x m x2 2

2 3 0; 1

c) m x m x m x2

( 1) 2( 1) 2 0; 2 d) x m x m m x2 2

2( 1) 3 0; 0

VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax bx c a2

0 ( 0) (1)

(1) có hai nghiệm trái dấu P < 0 (1) có hai nghiệm cùng dấu P

0

0

(1) có hai nghiệm dương P

S

0

0

0

(1) có hai nghiệm âm P

S

0

0

0

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì > 0.

Câu 1. Xác định m để phương trình:

i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt

iii) có hai nghiệm dương phân biệt

a) x x m2

5 3 1 0 b) x x m2

2 12 15 0

c) x m x m2 2

2( 1) 0 d) m x m x m2

( 1) 2( 1) 2 0

e) m x m x2

( 1) (2 ) 1 0 f) mx m x m2

2( 3) 1 0

g) x x m2

4 1 0 h) m x m x m2

( 1) 2( 4) 1 0

VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et 1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số

Ta sử dụng công thức b c

S x x P x x

a a1 2 1 2

; để biểu diễn các biểu thức đối xứng của

các nghiệm x1, x2 theo S và P.

Ví dụ: x x x x x x S P2 2 2 2

1 2 1 2 1 2( ) 2 2

2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:

b c

S x x P x x

a a1 2 1 2

; (S, P có chứa tham số m).

Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.

3. Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:

x Sx P2

0 , trong đó S = u + v, P = uv.

Câu 1. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:

A = x x2 2

1 2 ; B = x x

3 3

1 2 ; C = x x

4 4

1 2 ; D = x x

1 2 ; E = x x x x

1 2 2 1(2 )(2 )

a) x x2

5 0 b) x x2

2 3 7 0 c) x x2

3 10 3 0

d) x x2

2 15 0 e) x x2

2 5 2 0 f) x x2

3 5 2 0

Câu 2. Cho phương trình: m x m x m2

( 1) 2( 1) 2 0 (*). Xác định m để:

a) (*) có hai nghiệm phân biệt.

b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.

c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.

Câu 3. Cho phương trình: x m x m2

2(2 1) 3 4 0 (*).

a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2.

b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.

c) Tính theo m, biểu thức A = x x3 3

1 2 .

d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.

e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x2 2

1 2, .

HD: a) m2

2

b) x x x x1 2 1 2

1 c) A = m m m2

(2 4 )(16 4 5)

d) m1 2 7

6

e) x m m x m

2 2 22(8 8 1) (3 4 ) 0

Câu 4. Cho phương trình: x m x m m2 2

2( 1) 3 0 (*).

a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.

b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.

c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x2 2

1 28 .

HD: a) m = 3; m = 4 b) x x x x x x2

1 2 1 2 1 2( ) 2( ) 4 8 0 c) m = –1; m = 2.

1. Định nghĩa và tính chất

A khi A

AA khi A

0

0

A A0,

A B A B. . A A2 2

A B A B A B. 0 A B A B A B. 0

A B A B A B. 0 A B A B A B. 0

2. Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:

– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

– Bình phương hai vế.

– Đặt ẩn phụ.

Dạng 1: f x g x( ) ( )

C

f x

f x g x

f x

f x g x

1

( ) 0

( ) ( )

( ) 0

( ) ( )

C g x

f x g x

f x g x

2( ) 0

( ) ( )

( ) ( )

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ

TUYỆT ĐỐI

Dạng 2: f x g x( ) ( ) C

f x g x

12 2

( ) ( )

C

f x g x

f x g x

2

( ) ( )

( ) ( )

Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( )

Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.

Câu 1. Giải các phương trình sau:

a) x x2 1 3 b) x x4 7 2 5 c) x x2

3 2 0

d) x x x2

6 9 2 1 e) x x x2

4 5 4 17 f) x x x2

4 17 4 5

g) x x x x1 2 3 2 4 h) x x x1 2 3 14 i) x x x1 2 2


a) x x4 7 4 7 b) x x2 3 3 2 c) x x x1 2 1 3

d) x x x x2 2

2 3 2 3 e) x x x2

2 5 2 7 5 0 f) x x3 7 10


a) x x x2

2 1 1 0 b) x x x2

2 5 1 7 0 c) x x x2

2 5 1 5 0

d) x x x2

4 3 2 0 e) x x x2

4 4 2 1 1 0 f) x x x2

6 3 10 0

Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:

– Nâng luỹ thừa hai vế.

– Đặt ẩn phụ.

Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.

Dạng 1: f x g x( ) ( ) f x g x

g x

2

( ) ( )

( ) 0

Dạng 2: f x g x

f x g xf x hay g x

( ) ( )( ) ( )

( ) 0 ( ( ) 0)

Dạng 3: af x b f x c( ) ( ) 0 t f x t

at bt c2

( ), 0

0

Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )

Đặt u f x v g x( ), ( ) với u, v 0.

Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.

Dạng 5: f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( )

Đặt t f x g x t( ) ( ), 0 .


a) x x2 3 3 b) x x5 10 8 c) x x2 5 4

d) x x x2

12 8 e) x x x2

2 4 2 f) x x x2

3 9 1 2

g) x x x2

3 9 1 2 h) x x x2

3 10 2 i) x x x2 2

( 3) 4 9


BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

a) x x x x2 2

6 9 4 6 6 b) x x x x2

( 3)(8 ) 26 11

c) x x x x2

( 4)( 1) 3 5 2 6 d) x x x x2

( 5)(2 ) 3 3

e) x x2 2

11 31 f) x x x x2

2 8 4 (4 )( 2) 0


a) x x1 1 1 b) x x3 7 1 2

c) x x2 2

9 7 2 d) x x x x2 2

3 5 8 3 5 1 1

e) x x3 3

1 1 2 f) x x x x2 2

5 8 4 5

g) x x3 3

5 7 5 13 1 h) x x3 3

9 1 7 1 4

Câu 4. * Giải các phương trình sau:

a) x x x x3 6 3 ( 3)(6 ) b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16

c) x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1 d) x x x x7 2 (7 )(2 ) 3

e) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5 f) x x x x x2

3 2 1 4 9 2 3 5 2

g) x x x x22

1 1

3

h) x x x x2

9 9 9

Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của

phương trình (mẫu thức khác 0).


a) x x x x

2 10 501

2 3 (2 )( 3)

b) x x x

x x x

1 1 2 1

2 2 1

c) x x

x x

2 1 1

3 2 2

d)

x x

x

2

2

3 51

4

e) x x x x

x x

2 22 5 2 2 15

1 3

f)

x x

x x2 2

3 4 2

( 1) (2 1)


a) mx m

x

13

2

b)

mx m

x m

23

c)

x m x

x x m

12

1

d) x m x

x x

3

1 2

e)

m x mm

x

( 1) 2

3

f)

x x

x m x 1

BÀI 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

1. Cách giải: t x t

ax bx c

at bt c

24 2

2

, 00 (1)

0 (2)

2. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.

(1) vô nghiệm

voâ nghieäm

coù nghieäm keùp aâm

coù nghieäm aâm

(2)

(2)

(2) 2

(1) có 1 nghiệm coù nghieäm keùp baèng

coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi aâm

(2) 0

(2) 1 0,

(1) có 2 nghiệm coù nghieäm keùp döông

coù nghieäm döông vaø nghieäm aâm

(2)

(2) 1 1

(1) có 3 nghiệm coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi döông(2) 1 0,

(1) có 4 nghiệm coù nghieäm döông phaân bieät(2) 2

3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn

Dạng 1: x a x b x c x d K vôùi a b c d( )( )( )( ) ,

– Đặt t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( )

– PT trở thành: t cd ab t K2

( ) 0

Dạng 2: x a x b K4 4

( ) ( )

– Đặt a b

t x

2

a b b ax a t x b t,

2 2

– PT trở thành: a b

t t K vôùi4 2 2 4

2 12 2 0

2

Dạng 3: ax bx cx bx a a4 3 2

0 ( 0) (phương trình đối xứng)

– Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được:

PT a x b x c

xx

2

2

1 10

(2)

– Đặt t x hoaëc t x

x x

1 1

với t 2 .

– PT (2) trở thành: at bt c a t2

2 0 ( 2) .


a) x x4 2

3 4 0 b) x x4 2

5 4 0 c) x x4 2

5 6 0

d) x x4 2

3 5 2 0 e) x x4 2

30 0 f) x x4 2

7 8 0

Câu 2. *Giải các phương trình sau:

a) x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297 b) x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36

c) x x4 4

( 1) 97 d) x x4 4

( 4) ( 6) 2

e) x x4 4

( 3) ( 5) 16 f) x x x x4 3 2

6 35 62 35 6 0

g) x x x x4 3 2

4 1 0

BÀI 7: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) (đọc thêm)

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a x b y c

a b a ba x b y c

2 2 2 21 1 1

1 1 2 2

2 2 2

( 0, 0)

Giải và biện luận:

– Tính các định thức: a b

D

a b

1 1

2 2

, x

c b

D

c b

1 1

2 2

, y

a c

D

a c

1 1

2 2

.

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:

phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương

trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp

cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu 1. Giải các hệ phương trình sau:

a) x y

x y

5 4 3

7 9 8

b)

x y

x y

2 11

5 4 8

c)

x y

x y

3 1

6 2 5

d)

x y

x y

2 1 2 1

2 2 1 2 2

e)

x y

x y

3 216

4 3

5 311

2 5

f) x y

y

3 1

5x 2 3


a) x y

x y

1 818

5 451

b) x y

x y

10 11

1 2

25 32

1 2

c) x y x y

x y x y

27 327

2 3

45 481

2 3


a)

x y z

x y z

x y z

3 1

2 2 5

2 3 0

b)

x y z

x y z

x y z

3 2 8

2 6

3 6

c)

x y z

x y z

x y z

3 2 7

2 4 3 8

3 5

BÀI 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

Xét D Kết quả

D 0 Hệ có nghiệm duy nhất yx

DDx y

D D

;

D = 0 Dx 0 hoặc Dy 0 Hệ vô nghiệm

Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm

1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai

Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

2. Hệ đối xứng loại 1

Hệ có dạng: (I) f x y

g x y

( , ) 0

( , ) 0

(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

Đặt S = x + y, P = xy.

Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.

Giải hệ (II) ta tìm được S và P.

Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2

0 .

3. Hệ đối xứng loại 2

Hệ có dạng: (I) f x y

f y x

( , ) 0 (1)

( , ) 0 (2)

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

(I) f x y f y x

f x y

( , ) ( , ) 0 (3)

( , ) 0 (1)

Biến đổi (3) về phương trình tích:

(3) x y g x y( ). ( , ) 0 x y

g x y( , ) 0

.

Như vậy, (I)

f x y

x y

f x y

g x y

( , ) 0

( , ) 0

( , ) 0

.

Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).

4. Hệ đẳng cấp bậc hai

Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d

a x b xy c y d

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

.

Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).

Khi x 0, đặt y kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình

bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).

Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để

giải (sẽ học ở lớp 12).

– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm x y0 0

( ; ) thì y x0 0

( ; )

cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x y0 0

.


a) x y

x y

2 24 8

2 4

b) x xy

x y

224

2 3 1

c) x y

x y

2( ) 49

3 4 84

BÀI 9: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

d) x xy y x y

x y

2 23 2 3 6 0

2 3

e)

x y

xy x y

3 4 1 0

3( ) 9

f)

x y

xy x y

2 3 2

6 0

g) y x x

x y

24

2 5 0

h)

x y

x y y2 2

2 3 5

3 2 4

i)

x y

x xy y2 2

2 5

7

Câu 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

a) x y

x y m2 2

6

b)

x y m

x y x2 2

2 2

c)

x y

x y m2 2

3 2 1


a) x xy y

x y xy x y2 2

11

2( ) 31

b)

x y

x xy y2 2

4

13

c)

xy x y

x y x y2 2

5

8

d)

x y

y x

x y

13

6

6

e) x x y y

x y xy

3 3 3 317

5

f)

x x y y

x xy y

4 2 2 4

2 2

481

37


a) x x y

y y x

2

2

3 2

3 2

b)

x y x y

y x y x

2 2

2 2

2 2

2 2

c)

x x y

y y x

3

3

2

2

d)

yx y

x

xy x

y

3 4

3 4

e)

yy

x

xx

y

2

2

2

2

23

23

f)

x y

y

y x

x

2

2

12

12


a) x xy y

x xy y

2 2

2 2

3 1

3 3 13

b)

x xy y

x xy y

2 2

2 2

2 4 1

3 2 2 7

c)

y xy

x xy y

2

2 2

3 4

4 1

d) x xy y

x xy y

2 2

2 2

3 5 4 38

5 9 3 15

e)

x xy y

x xy y

2 2

2 2

2 3 9

4 5 5

f)

x xy y

x xy y

2 2

2 2

3 8 4 0

5 7 6 0

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III


a) m x m x m2 2

4 3 b) ( 2) 4 5a ax ax

Câu 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) x m x m

x x

2 11

1

b)

m xm x m

x

2

2 1

1

c) mx m

x

x x

2 1 12 1

1 1

d) x x m1 2 3


a) x x m2

2 12 15 0 b) x m x m2 2

2( 1) 0

b) x mx m2

1 0 d) x m x m m2

2( 2) ( 3) 0

Câu 4. Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại:

a) x mx m x2

0

31 0;

2

b) x m x m x2 2

02 3 0; 1 .

Câu 5. Trong các phương trình sau, tìm m để:

i) PT có hai nghiệm trái dấu

ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt

iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt

iv) PT có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả: x x

3 3

1 20 ; x x

2 2

1 23

a) x m x m m2

2( 2) ( 3) 0 b) x m x m2 2

2( 1) 0

c) x m x m2 2

2( 1) 2 0 d) m x m x m2

( 2) 2( 1) 2 0

e) m x m x m2

( 1) 2( 4) 1 0 f) x x m2

4 1 0

Câu 6. Trong các phương trình sau, hãy:

i) Giải và biện luận phương trình.

ii) Khi phương trình có hai nghiệm x x1 2, , tìm hệ thức giữa x x

1 2, độc lập với m.

a) x m x m2

( 1) 0 b) x m x m m2

2( 2) ( 3) 0

c) m x m x m2

( 2) 2( 1) 2 0 d) x m x m2 2

2( 1) 2 0


a) x x2 2

6 12 b) x x2 2

11 31

c) x x16 17 8 23 d) x x x2

2 8 3( 4)

e) x x x2

3 9 1 2 0 f) x x x2

51 2 1

g) x x x2 2

( 3) 4 9 h) x x3 1 3 1


a) x x4 3 10 3 2 b) x x x5 3 2 4

c) x x x3 4 2 1 3 d) x x x x2 2

3 3 3 6 3

e) x x x2 2 3 3 5 f) x x x3 3 5 2 4

g) x x x2 2 2 1 1 4 h) 811 xxx


a) x xy y

x y y x2 2

1

6

b)

x y

x x y y

2 2

4 2 2 4

5

13

c)

x y y x

x y

2 2

3 3

30

35


a)

x y

xy

x y

x y

2 2

2 2

1( )(1 ) 5

1( )(1 ) 49

b) y x x y

x y

x y

2 2

2 2

2 2

( 1) 2 ( 1)

11 24

c)

x y

x y

x y

x y

2 2

2 2

1 14

1 14

d)

x y

x y

x y

xy

2 2

2

31 1

1( )(1 ) 6


a) x x y

y y x

2

2

3 2

3 2

b)

x x y

y y x

3

3

2

2

c)

x x y

y y x

3

3

3 8

3 8

d)

x y

y

y x

x

2

2

12

12

e)

x y

x

y x

y

2

2

32

32

f)

yy

x

xx

y

2

2

2

2

23

23

1. Tính chất

2. Một số bất đẳng thức thông dụng

a) a a2

0, . a b ab2 2

2 .

b) Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b 0, ta có: a b

ab

2

. Dấu "=" xảy ra a = b.

+ Với a, b, c 0, ta có: a b c

abc3

3

. Dấu "=" xảy ra a = b = c.

Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.

– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.

c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:

+ a, b, c > 0.

+ a b c a b ; b c a b c ; c a b c a .

e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki (BCS)

Với a, b, x, y R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2

( ) ( )( ) . Dấu "=" xảy ra ay = bx.

CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC

Điều kiện Nội dung

a 0 a bc (2b)

a 0, c > 0 a 0 a 0

x a a x a

x ax a

x a

a b a b a b

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản

Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:

– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.

– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.

Một số BĐT thường dùng:

+ A2

0 + A B2 2

0 + A B. 0 với A, B 0. + A B AB2 2

2

Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.

– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể

tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Câu 1. Cho a, b, c, d, e R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b c ab bc ca2 2 2 b) a b ab a b

2 21

c) a b c a b c2 2 2

3 2( ) d) a b c ab bc ca2 2 2

2( )

e) a b c a ab a c4 4 2 2

1 2 ( 1) f) a

b c ab ac bc

2

2 22

4

g) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6 h) a b c d e a b c d e

2 2 2 2 2( )

i) a b c ab bc ca

1 1 1 1 1 1 với a, b, c > 0

k) a b c ab bc ca với a, b, c 0

Câu 2. Cho a, b, c R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b a b

33 3

2 2

; với a, b 0 b) a b a b ab

4 4 3 3

c) a a4

3 4 d) a b c abc3 3 3

3 , với a, b, c > 0.

e) a b

a b

b a

6 6

4 4

2 2 ; với a, b 0. f)

aba b2 2

1 1 2

11 1

; với ab 1.

Câu 3. Cho a, b, c, d R. Chứng minh rằng a b ab2 2

2 (1).

Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a) a b c d abcd4 4 4 4

4 b) a b c abc2 2 2

( 1)( 1)( 1) 8

c) a b c d abcd2 2 2 2

( 4)( 4)( 4)( 4) 256

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si 1. Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b 0, ta có: a b

ab

2

. Dấu "=" xảy ra a = b.

+ Với a, b, c 0, ta có: a b c

abc3

3

. Dấu "=" xảy ra a = b = c.

2. Hệ quả: + a b

ab

2

2

+

a b cabc

3

3

3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:

+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.

+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.

Câu 1. Cho a, b, c 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b b c c a abc( )( )( ) 8 b) a b c a b c abc2 2 2

( )( ) 9

c) a b c abc

33

(1 )(1 )(1 ) 1 d) bc ca ab

a b c

a b c

; với a, b, c > 0.

e) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6 f)

ab bc ca a b c

a b b c c a 2

; với a, b, c > 0

g) a b c

b c c a a b

3

2

; với a, b, c > 0.

Câu 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b c a b c

a b c

3 3 3 21 1 1( ) ( )

b) a b c a b c a b c3 3 3 2 2 2

3( ) ( )( ) c) a b c a b c3 3 3 3

9( ) ( )

Câu 3. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) x

y x

x

18; 0

2

. b) x

y x

x

2; 1

2 1

. c) x

y x

x

3 1; 1

2 1

.

d) x

y x

x

5 1;

3 2 1 2

e) x

y x

x x

5; 0 1

1

f) x

y x

x

3

2

1; 0

g) x x

y x

x

24 4

; 0

h) y x x

x

2

3

2; 0

Câu 4. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) y x x x( 3)(5 ); 3 5 b) y x x x(6 ); 0 6

c) y x x x5

( 3)(5 2 ); 3

2

d) y x x x5

(2 5)(5 ); 5

2

e) y x x x1 5

(6 3)(5 2 );

2 2

f) x

y x

x2

; 0

2

g)

xy

x

2

32

2

VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki 1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)

Với a, b, x, y R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2

( ) ( )( ) . Dấu "=" xảy ra ay = bx.

Với a, b, c, x, y, z R, ta có: ax by cz a b c x y z2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )( )

Hệ quả:

a b a b2 2 2

( ) 2( ) a b c a b c2 2 2 2

( ) 3( )

Câu 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b2 2

3 4 7 , với a b3 4 7 b) a b2 2 735

3 5

47

, với a b2 3 7

c) a b2 2 2464

7 11

137

, với a b3 5 8 d) a b2 2 4

5

, với a b2 2

e) a b2 2

2 3 5 , với a b2 3 5 f) x y x y2 2 9

( 2 1) (2 4 5)

5

Câu 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b2 2 1

2

, với a b 1 . b) a b3 3 1

4

, với a b 1 .

c) a b4 4 1

8

, với a b 1 . d) a b4 4

2 , với a b 2 .

PHẦN HÌNH HỌC

1. Các định nghĩa

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB .

Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB .

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 .

Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b, ,... để biểu diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.

2. Các phép toán trên vectơ

a) Tổng của hai vectơ

Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC .

Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC .

Tính chất: a b b a ; a b c a b c ; a a0

b) Hiệu của hai vectơ

Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a b 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là a .

Vectơ đối của 0 là 0 .

a b a b .

Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB .

c) Tích của một vectơ với một số

Cho vectơ a và số k R. ka là một vectơ được xác định như sau:

+ ka cùng hướng với a nếu k 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0.

+ ka k a. .

Tính chất: k a b ka kb ; k l a ka la( ) ; k la kl a( )

ka 0 k = 0 hoặc a 0 .

Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a vaø b a cuøng phöông k R b ka0 :

Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng k 0: AB kAC .

Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương

a b, và x tuỳ ý. Khi đó ! m, n R: x ma nb .

Chú ý:

Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB MA MB 0 OA OB OM2 (O tuỳ ý).

Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm ABC GA GB GC 0 OA OB OC OG3 (O tuỳ ý).

CHƯƠNG I: VECTƠ

BÀI 1: VECTƠ

VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ

Câu 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm

cuối là các điểm A, B, C, D ?

Câu 2. Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a) Chứng minh: BC C A A B .

b) Tìm các vectơ bằng B C C A, .

Câu 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC.

Chứng minh: MP QN MQ PN; .

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:

a) AC BA AD AB AD AC; .

b) Nếu AB AD CB CD thì ABCD là hình chữ nhật.

Câu 5. Cho ABC đều cạnh a. Tính AB AC AB AC; .

Câu 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AC AD .

Câu 7. Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA HB HC, , .

Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ AB AD , AB AC ,

AB AD .

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng

phương, ta thường sử dụng:

– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.

– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.

– Tính chất của các hình.

Câu 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:

a) AB DC AC DB b) AD BE CF AE BF CD .

Câu 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:

a) Nếu AB CD thì AC BD b) AC BD AD BC IJ2 .

c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA GB GC GD 0 .

d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC .

Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm.

Câu 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh:

AB AI JA DA DB2( ) 3 .

Câu 4. Cho ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh:

RJ IQ PS 0 .

Câu 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.

a) Chứng minh: IA IB IC2 0 .

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: OA OB OC OI2 4 .

Câu 6. Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt có các trọng tâm là G và G.

a) Chứng minh AA BB CC GG3 .

b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.

Câu 7. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:

AM AB AC1 2

3 3

.

Câu 8. Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:

a) AB CM BN2 4

3 3

c) AC CM BN4 2

3 3

Câu 9. Cho ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

a) Chứng minh: AA BB CC1 1 1

0

b) Đặt BB u CC v1 1

, . Tính BC CA AB, , theo u vaø v .

Câu 10. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.

a) Chứng minh: HA HB HC5 0 .

b) Đặt AG a AH b, . Tính AB AC, theo a vaø b .

VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường ta

biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a , trong đó O và a đã được xác định. Ta thường

sử dụng các tính chất về:

– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.

– Hình bình hành.

– Trung điểm của đoạn thẳng.

– Trọng tâm tam giác, …

Câu 1. Cho .ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC 0 .

Câu 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm ,I M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng .AB

Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho .IN MI

a) Chứng minh: BN BA MB . b) Tìm các điểm ,D C sao cho:.

Câu 3. Cho hình bình hành .ABCD

a) Chứng minh rằng: AB AC AD AC2 .

b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM AB AC AD3 .

Câu 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi ,M N lần NA NI ND NM BN NC; lượt là trung điểm của

, .AD BC Xác định điểm O sao cho: OA OB OC OD 0 .

1. Trục toạ độ

Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn

vị e . Kí hiệu O e; .

Toạ độ của vectơ trên trục: u a u ae( ) . .

Toạ độ của điểm trên trục: M k OM k e( ) . .

Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a AB a e. .

Chú ý: + Nếu AB cuøng höôùng vôùi e thì AB AB .

Nếu AB ngöôïc höôùng vôùi e thì AB AB .

+ Nếu A(a), B(b) thì AB b a .

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB BC AC .

2. Hệ trục toạ độ

Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i j,

. O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.

Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u x y u x i y j( ; ) . . .

BÀI 2: TOẠ ĐỘ

Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M x y OM x i y j( ; ) . . .

Tính chất: Cho a x y b x y k R( ; ), ( ; ), , A A B B C C

A x y B x y C x y( ; ), ( ; ), ( ; ) :

+ x x

a b

y y

+ a b x x y y( ; ) + ka kx ky( ; )

+ b cùng phương với a 0 k R: x kx vaø y ky .

x y

x y

(nếu x 0, y 0).

+ B A B A

AB x x y y( ; ) .

+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: A B A B

I I

x x y yx y;

2 2

.

+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: A B C A B C

G G

x x x y y yx y;

3 3

.

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1: A B A B

M M

x kx y kyx y

k k

;

1 1

.

( M chia đoạn AB theo tỉ số k MA kMB ).

VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục

Câu 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5.

a) Tìm tọa độ của AB .

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho MA MB2 5 0 .

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA NB2 3 1 .

Câu 2. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA MB MC 0 .

c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA NB NC2 3 .

VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục

Câu 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:

a) a i j b i j c i d j1

2 3 ; 5 ; 3 ; 2

3

.

b) a i j b i j c i j d j e i1 3

3 ; ; ; 4 ; 3

2 2

.

Câu 2. Viết dưới dạng u xi yj khi biết toạ độ của vectơ u là:

a) u u u u(2; 3); ( 1;4); (2;0); (0; 1) .

b) u u u u(1;3); (4; 1); (1;0); (0;0) .

Câu 3. Cho a b(1; 2), (0;3) . Tìm toạ độ của các vectơ sau:

a) x a b y a b z a b; ; 2 3 . b) u a b v b w a b1

3 2 ; 2 ; 4

2

.

Câu 4. Cho a b c1

(2;0), 1; , (4; 6)

2

.

a) Tìm toạ độ của vectơ d a b c2 3 5 . b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma b nc 0 .

c) Biểu diễn vectơ c a btheo , .

Câu 5. Cho hai điểm A B(3; 5), (1;0) .

a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC AB3 . b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

Câu 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.

Câu 7. Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2).

a) Tìm toạ độ các vectơ AB AC BC, , . b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.

c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM AB AC2 3 .

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN BN CN2 4 0 .

Câu 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).

a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.

b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Câu 9. Cho ba điểm A(-1;2;0);B(-2;3;-3);C(2;-1;4).

a) Chứng minh 3 điểm không thẳng hàng. b) Tìm trọng tâm của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ D sao cho ABCD là hình bình hành. d)Tìm toạ độ trung điểm của AD.

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I

Câu 1. Cho bốn điểm , , , .A B C D Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của AB và .CD

a) Chứng minh: AC BD AD BC IJ2 .

b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA GB GC GD 0 .

Câu 2. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý.

a) Hãy xác định các điểm , ,D E F sao cho MD MC AB , ME MA BC , MF MB CA .

Chứng minh các điểm , ,D E F không phụ thuộc vào vị trí của điểm .M

b) So sánh hai tổng vectơ: MA MB MC và MD ME MF .

Câu 3. Cho ABC với trung tuyến .AM Gọi I là trung điểm .AM

a) Chứng minh: IA IB IC2 0 .

b) Với điểm O bất kì, chứng minh: OA OB OC OI2 4 .

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD tâm .O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm .ABC

Chứng minh: a) AI AO AB2 2 . b) DG DA DB DC3 .

Câu 5. Cho tam giác ABC có trọng tâm .G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD AB2 ,

AE AC2

5

. a) Tính AG DE DG theo AB vaø AC, , . b) Chứng minh , ,D E G thẳng hàng.

Câu 6. Cho ABC có (4;3), ( 1;2), (3; 2).A B C

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của .ABC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Câu 7. Cho (2;3), ( 1; 1), (6;0).A B C

a) Chứng minh ba điểm , ,A B C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của .ABC

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Câu 8. Cho (0;2), (6;4), (1; 1).A B C Tìm toạ độ các điểm , ,M N P sao cho:

a) Tam giác ABC nhận các điểm , ,M N P làm trung điểm của các cạnh.

b) Tam giác MNP nhận các điểm , ,A B C làm trung điểm của các cạnh.

O x

y

M

x

y

1-1

1. Định nghĩa

Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn = xOM . Giaû söû M(x; y).

sin = y (tung ñoä)

cos = x (hoaønh ñoä)

tan = y tungñoä

x hoaønhñoä

(x 0)

cot = x hoaønhñoä

y tungñoä

(y 0)

Chú ý: – Nếu tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0.

– tan chỉ xác định khi 900, cot chỉ xác định khi 00 và 1800.

2. Tính chất

Góc phụ nhau Góc bù nhau

0

0

0

0

sin(90 ) cos

cos(90 ) sin

tan(90 ) cot

cot(90 ) tan

0

0

0

0

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

tan(180 ) tan

cot(180 ) cot

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

4. Các hệ thức cơ bản

sintan (cos 0)

cos

coscot (sin 0)

sin

tan .cot 1 (sin .cos 0)

2 2

2

2

2

2

sin cos 1

11 tan (cos 0)

cos

11 cot (sin 0)

sin

Chú ý: 0 sin 1; 1 cos 1 .

Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) a b c0 0 0

sin0 cos0 sin90 b) a b c0 0 0

cos90 sin90 sin180

c) a b c2 0 2 0 2 0

sin90 cos90 cos180 d) 2 0 2 0 2 03 sin 90 2cos 60 3tan 45

Câu 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) x x x x2

(sin cos ) 1 2sin .cos b) x x x x4 4 2 2

sin cos 1 2sin .cos

CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ ĐẾN

00 300 450 600 900 1800

sin 0 1

2

2

2

3

2

1 0

cos 1 3

2

2

2

1

2

0 –1

tan 0 3

3

1 3 0

cot 3 1 3

3

0

O

A

B

a b

a

b

c) x x x x2 2 2 2

tan sin tan .sin d) x x x x6 6 2 2

sin cos 1 3sin .cos

e) x x x x x xsin .cos (1 tan )(1 cot ) 1 2sin .cos

Câu 3. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 2 0 2 0 2 0 2 0cos 12 cos 78 cos 1 cos 89 b) 2 0 2 0 2 0 2 0

sin 3 sin 15 sin 75 sin 87

1. Góc giữa hai vectơ

Cho a b, 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB b, .

Khi đó a b AOB, với 00 AOB 1800.

Chú ý:

+ a b, = 900 a b

+ a b, = 00 a b, cùng hướng

+ a b, = 1800 a b, ngược hướng

+ a b b a, ,

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa: a b a b a b. . .cos , .

Đặc biệt: a a a a2

2. .

Tính chất: Với a b c, , bất kì và kR, ta có:

+ . .a b b a ; . .a b c a b a c ;

. . .ka b k a b a kb ; 2 2

0; 0 0a a a .

+ 22 2

2 .a b a a b b ; 22 2

2 .a b a a b b ;

2 2a b a b a b .

+ .a b > 0 ,a b nhoïn + .a b < 0 ,a b tuø

.a b = 0 ,a b vuoâng.

3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó: a b a b a b1 1 2 2

. .

a a a2 2

1 2 ;

a b a ba b

a a b b

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

cos( , )

.

; a b a b a b

1 1 2 20

Cho A A B B

A x y B x y( ; ), ( ; ) . Khi đó: B A B A

AB x x y y2 2

( ) ( ) .

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại , , 2 .A AB a BC a Tính các tích vô hướng:

a) AB AC. b) AC CB. c) AB BC.

Câu 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng .a Tính các tích vô hướng:

a) AB AC. b) AC CB. c) AB BC.

Câu 3. Cho tam giác ABC có 5, 7, 8.AB BC AC

a) Tính AB AC. , rồi suy ra giá trị của góc .A b) Tính CA CB. .

c) Gọi D là điểm trên CA sao cho 3.CD Tính CD CB. .

Câu 4. Cho các điểm ( 1;2), (2;3), ( 1;2).A B C

BÀI 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A

B CH

a) Tính AB AC. , BC AC. ,CB CA. . b) Tính độ dài , , .AB AC BC

c) Tính số đo góc giữa AB AC; ; số đo góc giữa CB CA; . d)Tính AB CA BC2 3 4

Câu 5. Cho tam giác ABC có (1; 1), (5; 3), (2;0).- - A B C

a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác .ABC b) Tìm toạ độ điểm M biết CM AB AC2 3

c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác .ABC

Câu 6. Cho tam giác ABC có ( 1;2), ( 3;1), (0;1).A B C

a) Tính độ dài canh , , .AB AC BC

b) Tính số đo các góc trong tam giác .ABC

c) Tìm điểm F sao cho ABFC là hình bình hành.

d) Tìm toạ độ diểm M thuộc 0x sao cho AM vuông góc với .BC

e) Tìm toạ độ điểm H thoả HA BH BC2

Cho ABC có:

o độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

o độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc

o độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc

o bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r

o nửa chu vi tam giác: p

o diện tích tam giác: S

1. Định lí côsin

a b c bc A2 2 2

2 .cos ; b c a ca B2 2 2

2 .cos ; c a b ab C2 2 2

2 .cos

2. Định lí sin a b c

R

A B C

2

sin sin sin

3. Độ dài trung tuyến

a

b c am

2 2 2

2 2( )

4

;

b

a c bm

2 2 2

2 2( )

4

;

c

a b cm

2 2 2

2 2( )

4

4. Diện tích tam giác

S = a b c

ah bh ch1 1 1

2 2 2

= bc A ca B ab C1 1 1

sin sin sin

2 2 2

= abc

R4

= pr

= p p a p b p c( )( )( ) (công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)

Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.

BC AB AC2 2 2 (định lí Pi–ta–go)

AB BC BH2

. , AC BCCH2

.

BÀI 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

AH BH CH2

. , AH AB AC

2 2 2

1 1 1

AH BC AB AC. .

b a B a C c B c C.sin .cos tan cot ; c a C a B b C b C.sin .cos tan cot

Câu 1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;

a) a b C c B.cos .cos b) A B C C Bsin sin cos sin cos

c) a

h R B C2 sin sin d) a b c

m m m a b c2 2 2 2 2 23

( )

4

Câu 2. Trong tam giác ABC có c A B0 0

14; 60 ; 40 .

a) Tìm độ dài cạnh AC, BC, số đo góc C. b) Tính diện tích tam giác.

c) Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Câu 3. Trong tam giác ABC có AC A C0 0

4,5; 30 ; 75 .

a) Tìm độ dài cạnh AB, BC. b) Tính diện tích tam giác. Tìm độ dài chiều cao AH.

c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Tìm độ dài đường trung tuyến AM.

Câu 4. Trong tam giác ABC có a b C0

6,3; 6,3; 54 .

a) Tìm độ dài cạnh c, tính số đo góc B.

b) Tính diện tích tam giác. Tìm độ dài chiều cao BH.

c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

d) Tìm độ dài đường trung tuyến BM.

Câu 5. Trong tam giác ABC có AC AB A0

32; 45; 87 .

a) Tìm độ dài cạnh BC, góc C. b) Tìm độ dài đường cao BH.

Câu 6. Cho tam giác ABC có a b c14; 18; 20 .

a) Tính diện tích tam giác. Tìm độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp.

b) Tìm số đo góc A,B. c) Tính độ dài đương trung tuyến CM.

Câu 7. Cho tam giác ABC có BC AC AB6; 7,3; 4,8

a) Tính số đo góc B.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

c) Tính độ dài chiều cao xuất phát từ đỉnh B.

TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 10

Documents

Transcript of TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 10