Théorie des graphes - Master 2 Informatique - UFR S.A · 2020. 4. 16. · Théorie des graphes...
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Theacuteorie des graphesMaster 2 Informatique - UFR SAT
Prof Ousmane THIARE
othiareugbedusn[wwwousmanethiarecom]
16 avril 2020
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Historique1726 Leonhard Euler expose une solution formelle auproblegraveme des 7 ponts de Koumlnigsberg (Kaliningrad)
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville une et une seule fois raquo
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Domaines drsquoapplicationsChimie
Modeacutelisations des moleacuteculesMeacutecanique
TreillisBiologie
Reacuteseau de neuronesSeacutequencement du geacutenome
Sciences sociales Modeacutelisations des relations
Et bien sucircr dans divers domaines de lrsquoinformatique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
AvertissementIl faut se meacutefier de lrsquoapparente simpliciteacute de certainsreacutesultatsDans la pratique la taille des graphes ne permet pas derepreacutesentation graphique
ATTENTION Veiller agrave toujours appliquer les algorithmes preacutesenteacutesmecircme si le reacutesultat peut ecirctre trouveacute laquo artisanalement raquo
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Deacutefinition grapheUn graphe orienteacute G crsquoest un couple (SA) avec
S un ensemble fini ensemble des sommetsA une relation binaire sur S ensemble des arcs
Un graphe NON orienteacute G crsquoest un couple (SA) S un ensemble fini ensemble des sommetsA paires non ordonneacutees ensemble des arecirctes
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe non orienteacute
On appelle degreacute drsquoun sommet le nombre drsquoarecirctes qui luisont incidentes
Dans un graphe orienteacute On appelle degreacute sortant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui partent de ce sommetOn appelle degreacute entrant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui arrivent agrave ce sommetOn appelle degreacute drsquoun sommet la somme des degreacutesentrant et sortant du sommet
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CheminUn chemin drsquoun sommet u au sommet uprime est uneseacutequence de sommets (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) tel que u = v0uprime = vk et foralli (viminus1 vi) isin AOn dit que ce chemin a une longueur kCe chemin est eacuteleacutementaire ssi foralli j vi 6= vj
Un sommet u accessible depuis un sommet v ssi ilexiste un chemin du sommet u au sommet v
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Degreacute drsquoun sommetDans un graphe orienteacute
Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un circuit ssi v0 = vkCe circuit est eacuteleacutementaire ssi foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vjUne boucle est un circuit de longueur 1Un est graphe acyclique ssi il ne contient aucun circuit
Dans un graphe non orienteacute Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un cycle ssi(v0 = vk ) and (foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vj)Un graphe est acyclique ssi il ne contient aucun cycle
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ProprieacuteteacutesOn dit drsquoun graphe qursquoil est
Reacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin AIrreacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin ATransitif ssi forallui uj uk isin S (ui uj) isin A and (uj uk ) isin ArArr (ui uk ) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Symeacutetrique ssi forallui uj isin S (ui uj) isin ArArr (uj ui) isin AAnti-Symeacutetrique (Assymetrique) ssi forallui uj isin S (ui uj) isin A and (uj ui) isin ArArr ui = uj
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ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est
Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)
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K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
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Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
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2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
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2 3
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Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
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seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 29168
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
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2 3
4
5
1
2 3
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
Introduction etDeacutefinitions
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Historique1726 Leonhard Euler expose une solution formelle auproblegraveme des 7 ponts de Koumlnigsberg (Kaliningrad)
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville une et une seule fois raquo
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Introduction etDeacutefinitions
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Domaines drsquoapplicationsChimie
Modeacutelisations des moleacuteculesMeacutecanique
TreillisBiologie
Reacuteseau de neuronesSeacutequencement du geacutenome
Sciences sociales Modeacutelisations des relations
Et bien sucircr dans divers domaines de lrsquoinformatique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
AvertissementIl faut se meacutefier de lrsquoapparente simpliciteacute de certainsreacutesultatsDans la pratique la taille des graphes ne permet pas derepreacutesentation graphique
ATTENTION Veiller agrave toujours appliquer les algorithmes preacutesenteacutesmecircme si le reacutesultat peut ecirctre trouveacute laquo artisanalement raquo
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Deacutefinition grapheUn graphe orienteacute G crsquoest un couple (SA) avec
S un ensemble fini ensemble des sommetsA une relation binaire sur S ensemble des arcs
Un graphe NON orienteacute G crsquoest un couple (SA) S un ensemble fini ensemble des sommetsA paires non ordonneacutees ensemble des arecirctes
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe non orienteacute
On appelle degreacute drsquoun sommet le nombre drsquoarecirctes qui luisont incidentes
Dans un graphe orienteacute On appelle degreacute sortant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui partent de ce sommetOn appelle degreacute entrant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui arrivent agrave ce sommetOn appelle degreacute drsquoun sommet la somme des degreacutesentrant et sortant du sommet
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
CheminUn chemin drsquoun sommet u au sommet uprime est uneseacutequence de sommets (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) tel que u = v0uprime = vk et foralli (viminus1 vi) isin AOn dit que ce chemin a une longueur kCe chemin est eacuteleacutementaire ssi foralli j vi 6= vj
Un sommet u accessible depuis un sommet v ssi ilexiste un chemin du sommet u au sommet v
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe orienteacute
Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un circuit ssi v0 = vkCe circuit est eacuteleacutementaire ssi foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vjUne boucle est un circuit de longueur 1Un est graphe acyclique ssi il ne contient aucun circuit
Dans un graphe non orienteacute Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un cycle ssi(v0 = vk ) and (foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vj)Un graphe est acyclique ssi il ne contient aucun cycle
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ProprieacuteteacutesOn dit drsquoun graphe qursquoil est
Reacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin AIrreacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin ATransitif ssi forallui uj uk isin S (ui uj) isin A and (uj uk ) isin ArArr (ui uk ) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Symeacutetrique ssi forallui uj isin S (ui uj) isin ArArr (uj ui) isin AAnti-Symeacutetrique (Assymetrique) ssi forallui uj isin S (ui uj) isin A and (uj ui) isin ArArr ui = uj
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ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est
Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)
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K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
3
3
4
5
5
1
1
2
3
3
3
2 5
4
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Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
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5
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
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2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
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2 3
4
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2 3
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Introduction etDeacutefinitions
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Domaines drsquoapplicationsChimie
Modeacutelisations des moleacuteculesMeacutecanique
TreillisBiologie
Reacuteseau de neuronesSeacutequencement du geacutenome
Sciences sociales Modeacutelisations des relations
Et bien sucircr dans divers domaines de lrsquoinformatique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
AvertissementIl faut se meacutefier de lrsquoapparente simpliciteacute de certainsreacutesultatsDans la pratique la taille des graphes ne permet pas derepreacutesentation graphique
ATTENTION Veiller agrave toujours appliquer les algorithmes preacutesenteacutesmecircme si le reacutesultat peut ecirctre trouveacute laquo artisanalement raquo
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Deacutefinition grapheUn graphe orienteacute G crsquoest un couple (SA) avec
S un ensemble fini ensemble des sommetsA une relation binaire sur S ensemble des arcs
Un graphe NON orienteacute G crsquoest un couple (SA) S un ensemble fini ensemble des sommetsA paires non ordonneacutees ensemble des arecirctes
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe non orienteacute
On appelle degreacute drsquoun sommet le nombre drsquoarecirctes qui luisont incidentes
Dans un graphe orienteacute On appelle degreacute sortant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui partent de ce sommetOn appelle degreacute entrant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui arrivent agrave ce sommetOn appelle degreacute drsquoun sommet la somme des degreacutesentrant et sortant du sommet
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
CheminUn chemin drsquoun sommet u au sommet uprime est uneseacutequence de sommets (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) tel que u = v0uprime = vk et foralli (viminus1 vi) isin AOn dit que ce chemin a une longueur kCe chemin est eacuteleacutementaire ssi foralli j vi 6= vj
Un sommet u accessible depuis un sommet v ssi ilexiste un chemin du sommet u au sommet v
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe orienteacute
Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un circuit ssi v0 = vkCe circuit est eacuteleacutementaire ssi foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vjUne boucle est un circuit de longueur 1Un est graphe acyclique ssi il ne contient aucun circuit
Dans un graphe non orienteacute Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un cycle ssi(v0 = vk ) and (foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vj)Un graphe est acyclique ssi il ne contient aucun cycle
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ProprieacuteteacutesOn dit drsquoun graphe qursquoil est
Reacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin AIrreacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin ATransitif ssi forallui uj uk isin S (ui uj) isin A and (uj uk ) isin ArArr (ui uk ) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Symeacutetrique ssi forallui uj isin S (ui uj) isin ArArr (uj ui) isin AAnti-Symeacutetrique (Assymetrique) ssi forallui uj isin S (ui uj) isin A and (uj ui) isin ArArr ui = uj
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est
Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
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2 3
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Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
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2 3
4
5
1
2 3
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
AvertissementIl faut se meacutefier de lrsquoapparente simpliciteacute de certainsreacutesultatsDans la pratique la taille des graphes ne permet pas derepreacutesentation graphique
ATTENTION Veiller agrave toujours appliquer les algorithmes preacutesenteacutesmecircme si le reacutesultat peut ecirctre trouveacute laquo artisanalement raquo
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Deacutefinition grapheUn graphe orienteacute G crsquoest un couple (SA) avec
S un ensemble fini ensemble des sommetsA une relation binaire sur S ensemble des arcs
Un graphe NON orienteacute G crsquoest un couple (SA) S un ensemble fini ensemble des sommetsA paires non ordonneacutees ensemble des arecirctes
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe non orienteacute
On appelle degreacute drsquoun sommet le nombre drsquoarecirctes qui luisont incidentes
Dans un graphe orienteacute On appelle degreacute sortant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui partent de ce sommetOn appelle degreacute entrant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui arrivent agrave ce sommetOn appelle degreacute drsquoun sommet la somme des degreacutesentrant et sortant du sommet
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
CheminUn chemin drsquoun sommet u au sommet uprime est uneseacutequence de sommets (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) tel que u = v0uprime = vk et foralli (viminus1 vi) isin AOn dit que ce chemin a une longueur kCe chemin est eacuteleacutementaire ssi foralli j vi 6= vj
Un sommet u accessible depuis un sommet v ssi ilexiste un chemin du sommet u au sommet v
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe orienteacute
Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un circuit ssi v0 = vkCe circuit est eacuteleacutementaire ssi foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vjUne boucle est un circuit de longueur 1Un est graphe acyclique ssi il ne contient aucun circuit
Dans un graphe non orienteacute Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un cycle ssi(v0 = vk ) and (foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vj)Un graphe est acyclique ssi il ne contient aucun cycle
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ProprieacuteteacutesOn dit drsquoun graphe qursquoil est
Reacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin AIrreacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin ATransitif ssi forallui uj uk isin S (ui uj) isin A and (uj uk ) isin ArArr (ui uk ) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Symeacutetrique ssi forallui uj isin S (ui uj) isin ArArr (uj ui) isin AAnti-Symeacutetrique (Assymetrique) ssi forallui uj isin S (ui uj) isin A and (uj ui) isin ArArr ui = uj
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est
Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
3
3
4
5
5
1
1
2
3
3
3
2 5
4
4
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Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
1
2 3
45
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
1
2 3
4
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1
2 3
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
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6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Deacutefinition grapheUn graphe orienteacute G crsquoest un couple (SA) avec
S un ensemble fini ensemble des sommetsA une relation binaire sur S ensemble des arcs
Un graphe NON orienteacute G crsquoest un couple (SA) S un ensemble fini ensemble des sommetsA paires non ordonneacutees ensemble des arecirctes
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Degreacute drsquoun sommetDans un graphe non orienteacute
On appelle degreacute drsquoun sommet le nombre drsquoarecirctes qui luisont incidentes
Dans un graphe orienteacute On appelle degreacute sortant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui partent de ce sommetOn appelle degreacute entrant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui arrivent agrave ce sommetOn appelle degreacute drsquoun sommet la somme des degreacutesentrant et sortant du sommet
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CheminUn chemin drsquoun sommet u au sommet uprime est uneseacutequence de sommets (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) tel que u = v0uprime = vk et foralli (viminus1 vi) isin AOn dit que ce chemin a une longueur kCe chemin est eacuteleacutementaire ssi foralli j vi 6= vj
Un sommet u accessible depuis un sommet v ssi ilexiste un chemin du sommet u au sommet v
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Degreacute drsquoun sommetDans un graphe orienteacute
Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un circuit ssi v0 = vkCe circuit est eacuteleacutementaire ssi foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vjUne boucle est un circuit de longueur 1Un est graphe acyclique ssi il ne contient aucun circuit
Dans un graphe non orienteacute Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un cycle ssi(v0 = vk ) and (foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vj)Un graphe est acyclique ssi il ne contient aucun cycle
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ProprieacuteteacutesOn dit drsquoun graphe qursquoil est
Reacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin AIrreacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin ATransitif ssi forallui uj uk isin S (ui uj) isin A and (uj uk ) isin ArArr (ui uk ) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Symeacutetrique ssi forallui uj isin S (ui uj) isin ArArr (uj ui) isin AAnti-Symeacutetrique (Assymetrique) ssi forallui uj isin S (ui uj) isin A and (uj ui) isin ArArr ui = uj
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est
Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)
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K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
3
3
4
5
5
1
1
2
3
3
3
2 5
4
4
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Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
1
2 3
45
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 39168
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
1
2 3
4
5
1
2 3
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe non orienteacute
On appelle degreacute drsquoun sommet le nombre drsquoarecirctes qui luisont incidentes
Dans un graphe orienteacute On appelle degreacute sortant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui partent de ce sommetOn appelle degreacute entrant drsquoun sommet le nombre drsquoarcsqui arrivent agrave ce sommetOn appelle degreacute drsquoun sommet la somme des degreacutesentrant et sortant du sommet
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
CheminUn chemin drsquoun sommet u au sommet uprime est uneseacutequence de sommets (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) tel que u = v0uprime = vk et foralli (viminus1 vi) isin AOn dit que ce chemin a une longueur kCe chemin est eacuteleacutementaire ssi foralli j vi 6= vj
Un sommet u accessible depuis un sommet v ssi ilexiste un chemin du sommet u au sommet v
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe orienteacute
Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un circuit ssi v0 = vkCe circuit est eacuteleacutementaire ssi foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vjUne boucle est un circuit de longueur 1Un est graphe acyclique ssi il ne contient aucun circuit
Dans un graphe non orienteacute Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un cycle ssi(v0 = vk ) and (foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vj)Un graphe est acyclique ssi il ne contient aucun cycle
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ProprieacuteteacutesOn dit drsquoun graphe qursquoil est
Reacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin AIrreacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin ATransitif ssi forallui uj uk isin S (ui uj) isin A and (uj uk ) isin ArArr (ui uk ) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Symeacutetrique ssi forallui uj isin S (ui uj) isin ArArr (uj ui) isin AAnti-Symeacutetrique (Assymetrique) ssi forallui uj isin S (ui uj) isin A and (uj ui) isin ArArr ui = uj
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est
Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
3
3
4
5
5
1
1
2
3
3
3
2 5
4
4
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
1
2 3
45
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 26168
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 34168
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 34168
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
1
2 3
4
5
1
2 3
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
CheminUn chemin drsquoun sommet u au sommet uprime est uneseacutequence de sommets (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) tel que u = v0uprime = vk et foralli (viminus1 vi) isin AOn dit que ce chemin a une longueur kCe chemin est eacuteleacutementaire ssi foralli j vi 6= vj
Un sommet u accessible depuis un sommet v ssi ilexiste un chemin du sommet u au sommet v
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe orienteacute
Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un circuit ssi v0 = vkCe circuit est eacuteleacutementaire ssi foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vjUne boucle est un circuit de longueur 1Un est graphe acyclique ssi il ne contient aucun circuit
Dans un graphe non orienteacute Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un cycle ssi(v0 = vk ) and (foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vj)Un graphe est acyclique ssi il ne contient aucun cycle
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ProprieacuteteacutesOn dit drsquoun graphe qursquoil est
Reacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin AIrreacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin ATransitif ssi forallui uj uk isin S (ui uj) isin A and (uj uk ) isin ArArr (ui uk ) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Symeacutetrique ssi forallui uj isin S (ui uj) isin ArArr (uj ui) isin AAnti-Symeacutetrique (Assymetrique) ssi forallui uj isin S (ui uj) isin A and (uj ui) isin ArArr ui = uj
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est
Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)
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K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
3
3
4
5
5
1
1
2
3
3
3
2 5
4
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Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
1
2 3
45
1
2
2
3
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3
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4
5
5
5
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 30168
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
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2 3
4
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Degreacute drsquoun sommetDans un graphe orienteacute
Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un circuit ssi v0 = vkCe circuit est eacuteleacutementaire ssi foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vjUne boucle est un circuit de longueur 1Un est graphe acyclique ssi il ne contient aucun circuit
Dans un graphe non orienteacute Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vk ) forme un cycle ssi(v0 = vk ) and (foralli j isin [1 k minus 1] vi 6= vj)Un graphe est acyclique ssi il ne contient aucun cycle
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ProprieacuteteacutesOn dit drsquoun graphe qursquoil est
Reacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin AIrreacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin ATransitif ssi forallui uj uk isin S (ui uj) isin A and (uj uk ) isin ArArr (ui uk ) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Symeacutetrique ssi forallui uj isin S (ui uj) isin ArArr (uj ui) isin AAnti-Symeacutetrique (Assymetrique) ssi forallui uj isin S (ui uj) isin A and (uj ui) isin ArArr ui = uj
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est
Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
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1
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4
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Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 15168
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
1
2 3
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1
2
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3
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5
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
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2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
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2 3
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Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 33168
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
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Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
1
2 3
4
5
1
2 3
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ProprieacuteteacutesOn dit drsquoun graphe qursquoil est
Reacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin AIrreacuteflexif ssi forallui isin S (ui ui) isin ATransitif ssi forallui uj uk isin S (ui uj) isin A and (uj uk ) isin ArArr (ui uk ) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Symeacutetrique ssi forallui uj isin S (ui uj) isin ArArr (uj ui) isin AAnti-Symeacutetrique (Assymetrique) ssi forallui uj isin S (ui uj) isin A and (uj ui) isin ArArr ui = uj
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est
Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
3
3
4
5
5
1
1
2
3
3
3
2 5
4
4
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Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
1
2 3
45
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
1
2 3
4
5
1
2 3
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
ConnexiteacuteOn dit drsquoun graphe non orienteacute qursquoil est
Connexe ssi pour toute paire de sommets [uv] il existeune chaicircne entre les sommets u et vComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S (u v) isin A
On dit drsquoun graphe orienteacute qursquoil est Connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant estconnexeFortement connexe ssi si pour tout (uv) il existe un cheminde u agrave v et de v agrave uComplet ssi tous les sommets sont laquorelieacutesraquo 2 agrave 2 forallu v isin S ((u v) isin A) or ((v u) isin A)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
3
3
4
5
5
1
1
2
3
3
3
2 5
4
4
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Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
1
2 3
45
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 28168
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
Prof Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 29168
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
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2 3
4
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1
2 3
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
Introduction etDeacutefinitions
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
K-ConnexeUn graphe non-orienteacute est k-connexe ssi
il reste connexe apregraves suppression drsquoun ensemblequelconque de k-1 arecirctes et srsquoil existe un ensemble de karecirctes qui deacuteconnecte le grapheautrement dit srsquoil existe au moins k chaicircnes indeacutependantesentre chaque couple de sommets
Un graphe orienteacute est k-connexe ssi le graphe non-orienteacute correspondant est k-connexe
Cette notion est utiliseacutee en eacutelectronique pour le calcul de la fiabiliteacutedans lrsquoeacutetude de jeux de strateacutegie (cut and connect)
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
3
3
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3
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4
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
1
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1
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5
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
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Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
1
2 3
4
5
1
2 3
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Exemple
3 2
1
4
1
4
3
Ce graphe orienteacute est
ReacutefleacutexifAntisymeacutetriqueTransitifConnexeComplet
ATTENTION Dansun graphe orienteacute
Complet nrsquoimplique pasFortement connexe
Ex Il nrsquoy a pas de cheminpour aller de 2 agrave 1
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
3
3
4
5
5
1
1
2
3
3
3
2 5
4
4
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
1
2 3
45
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
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A D F C B E
12
11 8 7
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
0
1
2 3
4
5
1
2 3
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Introduction et Deacutefinitions
- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
- Graphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
-
Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Graphes remarquablesCertains graphes portent des noms particuliers
Biparti=graphe qui peut ecirctre partitionneacute en deux sousensembles de sommets S1 et S2 tel que forall(u v) isin A (u isin S1 and v isin S2) or (v isin S1 and u isin S2)
Hypergraphe=graphe non orienteacute ou chaque arrecircte estune hyperarecircte qui relie un sommet agrave un sous ensemblede sommetsForecirct=graphe non orienteacute acycliqueArbre=graphe connexe non orienteacute acyclique
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Introduction etDeacutefinitions
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Repreacutesentation drsquoun grapheIl existe deux faccedilons de repreacutesenter un graphe (SA)
Liste adjacente pour les graphes peu densesCard(A) ltlt (Card(S))2
Matrice drsquoincidence pour les graphes densesCard(A) (Card(S))2
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Introduction etDeacutefinitions
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
5
1
2 3
45
1
2
2
3
3
4
5
5
1
1
2
3
3
3
2 5
4
4
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Liste drsquoadjacencePour chaque sommet u isin S on a une liste drsquoadjacence Adj[u] liste des sommets v isin S tel que (u v) isin A
3
1
2 3
45
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 01 0 1 0 11 1 0 1 10 0 1 0 10 1 1 1 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoadjacencePour un graphe non orienteacute
foralli j isin S aij =
1 si (i j) isin A0 sinon
5
1
2 3
4
Mat(SA) =0 1 1 0 00 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 10 0 1 0 0
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetCrsquoest une matrice A de taille nxm On associe lessommets aux lignes et les arcs aux colonnes Lrsquoeacutecriturede cette matrice neacutecessite la numeacuterotation des arcs lechoix est laisseacute agrave lrsquoutilisateur On deacutefinira donc la matricede A de la sorte
Pour un graphe non orienteacute foralli isin Sforallj isin S aij =
1 si le sommet i est le sommet origine de lrsquoarc kminus1 si le sommet i est le sommet de destination de lrsquoarc k0 sinon
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetOn obtient une matrice tregraves creuse Cette meacutethode estdonc peu performante On la preacutesente agrave des finstheacuteoriques plus qursquoalgorithmique tant son utilisation sereacutevegravele coucircteuse et complexeIllustration Voici une matrice drsquoincidence
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Theacuteorie des graphesIntroduction et Deacutefinitions
Matrice drsquoincidence arc-sommetVoici son expression
FIGURE Expression de la matrice drsquoincidence preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
BordureOn appelle bordure drsquoun sous-ensemble de sommet Sprime Lrsquoensemble des sommets de V minus Sprime ougrave V est lrsquoensembledes voisins des sommets de Sprime dans le graphe GElle est noteacutee B(SprimeG) = V minus Sprime = v isin S(v isin Sprime) and (exists isin S (s v) isinA)Rappel Lrsquoensemble xP(x) hArr lrsquoensemble des x tels que lacondition P(x) soit vraie
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
ParcoursLa permutation L(s1 middot middot middot sn) est un parcours de G ssi forallj isin [1n]B(L[1 j minus 1]G) 6= 0rArr sj isin B(L[1 j minus 1]G)avec L[i j] une sous liste de la permutation LDans cette deacutefinition
L[1 j] Liste des j sommets deacutejagrave visiteacutesL(s1 middot middot middot sn) Un ordre pour parcourir les graphes tel que Si au moins lrsquoun des sites deacutejagrave parcourus a un voisin dansle graphe alors le prochain site visiteacute doit ecirctre lrsquoun de cesvoisins
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)
Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin A
Cette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Sommet ouvert ou fermeacuteUn sommet s est ouvert dans L[1i] ssi existv isin L[i + 1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Il y a des voisins de s qui nrsquoont pas encore eacuteteacute visiteacutes(dans les i premiers sommets du parcours)Un sommet s est fermeacute dans L[1i] ssi q(existv isin L[i+1n] (s v) isin A)hArr forallv isin L[i+1n] (s v) isin ACette deacutefinition signifie Tous les voisins de s ont deacutejagrave eacuteteacute visiteacutes (dans les ipremiers sommets du parcours)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en largeur BFSOn appelle parcours en largeur - Breadth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le premier sommet ouvert dansL[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du premier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit A chaque eacutetape du parcours on visite tous les voisinsnon visiteacutes des sites visiteacutes agrave lrsquoeacutetape preacuteceacutedente
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]
Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacute
Autrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Parcours en profondeur DFSOn appelle parcours en profondeur - Depth First SearchUn parcours ougrave pour tout sommet si isin L[1i] lepreacutedeacutecesseur est le dernier sommet ouvert dans L[1i-1]Cette deacutefinition signifie Lorsque lrsquoon a visiteacute j-1 sommets le prochain sommetest un voisin du dernier site deacutejagrave visiteacute qui a encore aumoins un voisin non visiteacuteAutrement dit On descend le plus possible dans le parcours Quand onne peut plus on remonte le moins possible
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Algorithme BFSBFS(graphe G sommet s)POUR CHAQUE v 6= s FAIREcouleur(v)larr Blancdistance(v)larrinfincouleur(s)larr Rouge distance(s)larr 0F larr sTANT-QUE non FileVide(F) FAIRE
s larr Deacutefiler(F)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v) = Blanc ALORScouleur(v)larr Rougedistance(v)larr distance(s) + 1pre(v)larr sEnfiler(Fv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr Noir
FIN-TANT-QUEProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 27168
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rouge
La file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSA lrsquoeacutetat initial
seul le sommet A est rougeLa file est reacuteduite au site A
A B C D
E F G H
d (A)=0 d (B)=0 d (C)=0 d (D)=0
d (E)=infini d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F A
A A A A
A A A A
A
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet A
On visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et E
Le site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet AOn visite les voisins blancs de A B et ELe site A devient noir
B
B C D
E F G H
d (A)=0
d (F)=infini d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (C)=infini d (D)=infini
E
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet B
On visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B C
Le site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet BOn visite le voisin blanc de B CLe site B devient noir
d (F)=infini
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infini
C E
d (C)=2
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet E
On visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B F
Le site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet EOn visite le voisin blanc de B FLe site B devient noir
d (F)=2
B C D
E F G H
d (A)=0
d (G)=infini d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
F C
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet C
On visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C G
Le site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet COn visite le voisin blanc de C GLe site C devient noir
F
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
G
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet F
F nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blanc
Le site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet FF nrsquoa pas de voisin blancLe site F devient noir
G
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
File F
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet G
G nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blanc
Le site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSOn deacutefile le sommet GG nrsquoa pas de voisin blancLe site G devient noir
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithme
On obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeur
v isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSIl nrsquoy a plus de sommet agrave deacutefiler Fin de lrsquoalgorithmeOn obtient une arborescence en largeurv isin SdA(V ) = longueur du plus court chemin entre Aet V
File F VIDE
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme BFSATTENTION Dans un parcours en largeur tous les sommets ne sontpas visiteacutes Ainsi les sites inaccessibles depuis lrsquooriginegardent une distanceinfin
sommet A
B C D
E F G H
d (A)=0
d (H)=infini
A A A A
A A A A
AA
d (E)=1
d (B)=1 d (D)=infinid (C)=2
d (F)=2 d (G)=3
Sommets
inaccessibles
depuis le
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Initialisation BFSVARIABLE
date un compteur drsquoeacutetapeDFS_run(graphe G)
POUR CHAQUE σ isin S FAIREcouleur(s)larr Blanc
FIN POURdatelarr 0POUR CHAQUE s isin S FAIRE
SI couleur(s)=Blanc ALORSDFS(Gs )
FIN SIFIN POUR
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Algorithme reacutecursif BFSDFS(graphe G sommet s)
couleur(s)larr RougedateDebut(s)larr inc(date)POUR CHAQUE v isin Adj[s]
SI couleur(v)=Blanc ALORSpre(v)larr sDFS(Gv)
FIN SIFIN POURcouleur(s)larr NoirdateFin(s)larr inc(date)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)
Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rouge
La pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
La fonction DFS_run() appelle DFS(A)Seul le sommet A est rougeLa pile des appels de fonction est reacuteduite au DFS(A)
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=1 DFS(A) BE
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)
B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(B)B devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 2
E
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminusdate 1minus
Date=2
DFS(A)
BouclePile
DFS(B) CE
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)
C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(C)C devient rouge et on note la date dateDebut(B)larr 3
GF
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
Date=3
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)
G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(G)G devient rouge et on note la date dateDebut(G)larr 4
F
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
Date=4
date 4minus
DFS(G) F
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(F)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 5
date 5minus
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
Date=5
DFS(F)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)
F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 6
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
date 4minus
DFS(G)
F
date 56
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)F devient noir et on note la date dateFin(G)larr 7
Date=7
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus date 3minus
DFS(C)
E
F
date 56 date 47
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)
G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(F)Fin de la boucle dans la fonction DFS(G)G devient noir et on note la date dateFin(C)larr 8
date 38
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
Date=8
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)
On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)
E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Retour agrave la boucle dans la fonction DFS(B)On empile la fonction DFS(E)E devient rouge et on note la date dateFin(E)larr 9
F
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
DFS(B)
E
date 2minus
E
date 56 date 47
date 38
date 9minus
Date=9
DFS(E)
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)
E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet F nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(E)Fin de la boucle dans la fonction DFS(E)E devient noir et on note la date dateFin(E)larr 10
Boucle
date 910 date 56 date 47 date minusminusDFS(A)
DFS(B)
E
Date=10
date 1minus date 2minus date 38 date minusminus
A B D
H
Pile
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)
B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(B)B devient noir et on note la date dateFin(B)larr 11
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminusdate 1minus
DFS(A)
BouclePile
E
date 2minus
date 56 date 47
date 38
Date=11
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)
A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet E nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Fin de la boucle dans la fonction DFS(A)A devient noir et on note la date dateFin(A)larr 12
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacutee
La boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Lrsquoappel agrave la fonction DFS(A) est termineacuteeLa boucle principale de DFS_run() appelle ensuiteDFS(A) et DFS(B) qui se terminent tout de suite pasde voisins blanc
Date=12
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)
F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
On empile la fonction DFS(D)F devient rouge et on note la date dateDebut(F )larr 13
date 112
date 910 date 56 date 47 date minusminusE
date 38
A B D
H
Pile BoucleDate=13
DFS(D)
date 211 date 13minus
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)
H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)On empile la fonction DFS(H)H devient rouge et on note la date dateDebut(H)larr 14
DFS(H)
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
Date=14
G
date 14DFS(D)
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Le sommet G nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(G)Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 15
Date=15
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211 date 13minus
DFS(D)date 1415
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)
H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Fin de la boucle dans la fonction DFS(H)H devient noir et on note la date dateFin(H)larr 16
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortent
Parcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutes
On obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Exemple de lrsquoalgorithme DFS
Toutes les fonctions lanceacutees par DFS_init() avortentParcours en profondeurrArr tous les sommets sont visiteacutesOn obtient en forecirct en profondeur
Date=16
A B C D
E F G H
BouclePile
date 56 date 47
date 38
date 910
date 112 date 211
date 1415
date 1316
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Comparaison BFS et DFS
profondeur
A B C D
EF G
H
AB C
D
E FG H
BFS
Arborecence
en largeur
DFS
Foret en
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty
[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret
[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
Les dates de deacutecouvertes et fin de traitement ont unestructure parenthegraveseacuteeTheacuteoregravemes forallu v isin S une seule des 3 propositions suivantes estvraie
[dbut [u] fin[u]] cap [dbut [v ] fin[v ]] = empty[dbut [u] fin[u]] sub [dbut [v ] fin[v ]]ET u descendant de v dans une arborescence de la foret[dbut [v ] fin[v ]] sub [dbut [u] fin[u]]ET v descendant de u dans une arborescence de la foret
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Theacuteoregraveme des parenthegraveses
E
A
B
C
G
F
H
D
(A (B (C (G (F F) G) C) (E E) B) A) (D (H H) D)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
On vient de deacutecouvrir B
A B C D
E F G H
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Theacuteoregraveme du chemin blancTheacuteoregravemes Dans une foret en profondeur un sommet u est undescendant drsquoun sommet v si seulement si lorsque lrsquoondeacutecouvre u(dateDebut[u]) il existe un chemin desommet BLANC entre u et v
Donc F descendant de B
A B C D
E F G H
On vient de deacutecouvrir B
(B C G F) chemin BLANC
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Classement des arcsUn arc (uv) est appeleacute
arc de liaison les arcs de la forecirct en profondeurarc de retour si v est un des ancecirctres de uarc avant si u est un des ancecirctres de v ET qursquoil nrsquoest pasun arc de liaisonarc couvrant tous les autres
H
L L
L
LLLA
A
C
C
C
R
A B C D
E F G
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Theacuteoregraveme des arcs en retour
TheacuteoregravemeUn graphe orienteacute est acyclique sssi un parcours enprofondeur de G ne geacutenegravere pas drsquoarc retour
Preuve
(AcycliquerArr Pas drsquoarc de retour)hArr (arc de retourrArrcycle)
Soit (uv) un arc retourrArr v est un ancecirctre de urArr il existe un chemin de v agrave urArr ce chemin et (uv) forme un cycle
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesParcours en largeur et Parcours en profondeur
Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Introduction etDeacutefinitions
Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave v
v premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Theacuteoregraveme des arcs en retourPreuve
(Pas drsquoarc de retourrArr acyclique)hArr (cyclerArr arc deretour)
Soit C un cycle et v le premier sommet de C visiteacute dans leparcours On note (uv) lrsquoarc du cycle qui conduit agrave vv premier sommet visiteacuterArr les autres sommets de C sontblancsrArr u descendant de v (Th chemin blanc)rArr (uv) est un arc retour
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Algorithme de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionOn cherche ici agrave deacutecomposer un graphe orienteacute encomposantes fortement connexesLrsquoalgorithme utilise un double parcours en profondeur
Deacutecomposition (graphe G)DFS_run(G)Calculer tG transposeacute de G ( inversion du sens de tousles arcs) DFS_run(tG) dans la boucle principale quiappelle DFS(s) on parcourt les sommets par ordredeacutecroissant des dateFin calculeacutees lors du premier DFS(G)
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Exemple de deacutecompositionA la fin du premier appel DFS (G) on obtient
date 1415
A B C D
E F G HHH
date 112 date 211 date 38 date 1316
date 910date 56 date 47
On ordonne les sommets suivants dateFin(deacutecroissant) D - H - A - B - E - C - G - FCrsquoest lrsquoordre qui sera utiliseacute dans la boucle du 2me
DFS_runProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 67168
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Exemple de deacutecompositionOn inverse les arcs pour obtenir le graphe transposeacute
des arcs
A B C D
E F G H
A B C D
E F G H
Graphe G
Graphe Gt
Transposition
Inversion
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Exemple de deacutecompositionLa transposition est une opeacuteration matricielleLa matrice drsquoadjacente du graphe transposeacute tG est latransposeacutee de la matrice drsquoadjacence du graphe G
Lrsquoinversion de lrsquoarc ~BC hArr
a23 = 0a32 = 1
0 1 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0
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Exemple de deacutecompositionOn lance une deuxiegraveme fois le parcours en profondeurD est le premier sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(D) D devient rouge
Boucle
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Date=1 DFS(D)
Pile
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Exemple de deacutecompositionD nrsquoa pas de voisins blancsD devient noirFin du 1er appel de DFS() dans la boucle de DFS_run()
Date=2
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
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Exemple de deacutecompositionH est le 2me sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(H) H devient rouge
date 12
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus date minusminus
Pile BoucleDate=3
DFS(H) D
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Exemple de deacutecompositionH nrsquoa pas de voisins blancsH devient noirFin du 2egraveme appel de DFS() dans la boucle de DFS_run
date 34
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
Date=4
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Exemple de deacutecompositionA est le 3egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(A)A devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
Date=5DFS(A)
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Exemple de deacutecompositionA nrsquoa pas de voisins blancsA devient noirFin du 3egraveme appel de DFS() dans la boucle deDFS_run()
Date=6
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
DFS(A)
date 56
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Exemple de deacutecompositionA est le 4egraveme sommet dans la boucle de DFS_run()Appel agrave DFS(B)B devient rouge
AF
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
Date=7DFS(B)
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Exemple de deacutecompositionLe sommet A nrsquoest pas blancrArr pas drsquoappel agrave DFS(A)Appel agrave DFS(F)F devient rouge
A B C D
E F G H
date minusminus
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)Date=8
date 8minusDFS(F) CEG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(C)C devient rougeC nrsquoa pas de voisins blancsrArr C devient noir
date 910
A B C D
E F G H
date minusminus date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
Date=10
EG
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(E)E devient rougeE nrsquoa pas de voisins blancsrArr E devient noir
date 1112
A B C D
E F G H
date minusminus
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
Date=12
G
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Exemple de deacutecompositionAppel agrave DFS(G)G devient rougeG nrsquoa pas de voisins blancsrArr G devient noir
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 8minusDFS(F)
date 910
date 1112
Date=14
date 1314
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
date 815
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus
DFS(B)
date 910
date 1112 date 1314
Date=15
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Exemple de deacutecompositionFin de la boucle dans la fonction DFS(F)F devient noir et on note la date dateFin(F )larr 15
Date=16
A B C D
E F G H
Pile Boucle
date 12
date 34
date 56 date 7minus date 910
date 1112 date 1314date 815
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Exemple de deacutecompositionLe reacutesultat du deuxiegraveme parcours en profondeur est une forecirct de 4 arborescences
H
A B C D
E F G
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Exemple de deacutecompositionChacune de ces arborescences correspondent agrave 1composante fortement connexe du graphe de deacutepart
H
A B C D
E F G
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Algorithme du tri topologiqueLes graphes sont utiliseacutes pour repreacutesenter lapreacuteceacutedence drsquoeacutevegravenementCes graphes forment une classe les graphes orienteacutesacycliquesUne seacutequence respectant cette preacuteceacutedence est tritopologiqueSi on aligne les sommets du graphe sur une droite danslrsquoordre du tri topologique tous les arcs sont orienteacutesvers lrsquoavant
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Algorithme du tri topologiqueIl y a deux algorithmes pour faire un tri topologique
1) On cherche un eacuteveacutenement qui peut se produire Onenregistre cet eacuteveacutenement puis on recommenceTri_topologique_1(graphe G)
TANT-QUE resteSommet(G) FAIREchercher sommet s tq degreacuteEntrant(s)=0enregistrer ssupprimer tous arcs sortant de ssupprimer s
FIN-TANT-QUE2) On utilise le parcours en profondeurTri_topologique_2(graphe G)
DFS_run(G)Ordonner les sommets suivant dateFin(s) par ordre
deacutecroissantProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 86168
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere le graphe de preacuteceacutedence suivant
ATTENTION Un graphe de preacuteceacutedence nrsquoest pasun arbreUn arbre est non orienteacute connexe et acyclique
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A) = 0Enregistrement et suppression du sommet ASuppression des arcs partant de A
A
A B C
D E F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(D) = 0Enregistrement et suppression du sommet DSuppression des arcs partant de D
D
B C
D E F
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(F) = 0Enregistrement et suppression du sommet FSuppression des arcs partant de F
F
B C
E F
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C) = 0Enregistrement et suppression du sommet CSuppression des arcs partant de C
C
B C
E
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B) = 0Enregistrement et suppression du sommet BSuppression des arcs partant de B
B
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(E) = 0Enregistrement et suppression du sommet ESuppression des arcs partant de E
E
E
A D F C B
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Exemple du tri topologiqueFin de lrsquoalgorithmeOn a obtenu un tri topologique du graphe de deacutepartTous les arcs sont orienteacutes vers lrsquoavant
F
A D F C B
A B C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn considegravere maintenant la matrice drsquoadjacence dumecircme graphe de preacuteceacutedence
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
F
A B C
D E
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
A B C D E FA 0 1 0 1 0 0B 0 0 0 0 1 0C 0 1 0 0 0 0D 0 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 1 0 1 0
A
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C D E FB 0 0 0 1 0C 1 0 0 0 0D 0 0 0 1 0E 0 0 0 0 0F 0 1 0 1 0
A D
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(A)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet AhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de AhArr suppression ligne1
B C E FB 0 0 1 0C 1 0 0 0E 0 0 0 0F 0 1 1 0
A D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(C)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du sommet ChArr suppression colonne 2Suppression des arcs partant de ChArr suppression ligne2
B C EB 0 0 1C 1 0 0E 0 0 0
CA D F
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(B)=0hArr colonne 1 ne contient que des 0Suppression du sommet BhArr suppression colonne 1Suppression des arcs partant de BhArr suppression ligne1 B EB 0 1E 0 0
BA D F C
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Exemple du tri topologiquedegreEntrant(3)=0hArr colonne 2 ne contient que des 0Suppression du dernier sommet EhArr derniegravere caseOn a obtenu le mecircme tri topologique(
EE 0
)
EA D F C B
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Exemple du tri topologiqueDeuxiegraveme algorithme du tri topologiqueOn considegravere maintenant un parcours en profondeur surle mecircme graphe de preacuteceacutedence
F
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E
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Exemple du tri topologiqueOn aligne les sommets du graphe sur une ligne suivantles dates de fin dans lrsquoordre deacutecroissantOn obtient alors un tri topologique du graphe
5
date 912 date 36 date 27
date 1011 date 45 date 18
A
B
C
D E F
A D F C B E
12
11 8 7
6
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Parcours enlargeur etParcours enprofondeur
Grapheseuleacuteriens etGrapheshamiltoniens
Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
Theacuteorie des graphesGraphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
1726
D
A
B
C
laquo Lors drsquoune promenade est-il possible de passer surtous les ponts de la ville de Koumlnigsberg une et une seulefois raquorArr laquo Existe-t-il dans le graphe un chemin ougrave lesarecirctes sont diffeacuterentes deux agrave deux et qui revient sur lesommet de deacutepart raquoProf Ousmane THIARE Theacuteorie des graphes 16 avril 2020 104168
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Lemme des poigneacutees de mains
Theacuteoregraveme - (lemme des poigneacutees de mains)i La somme de tous les degreacutes est un nombre pair Crsquoestle double du nombre drsquoarecirctesii Le nombre de sommets de degreacute impair est pair
Deacutemonstration (i)Chaque arecircte est compteacutee deux fois Une fois pour le sommet de deacutepartUne fois pour le sommet drsquoarriveacutee
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Lemme des poigneacutees de mains
Deacutemonstration (ii)Soit Stotal le nombre de sommets du grapheSoit Siml le nombre de sommets de degreacute impair
Somme des degreacutes=Simpsumi=1
degImpi +
Stotalsumi=Simp+1
degPairei
=Simpsumi=1
(2ki + 1) +Stotalsum
i=Simp+1
(2ki)
=2Stotalsumi=1
(ki) + Simp
Somme des degreacutes est pairerArr Simp est pair
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Lacet de Jordan
Dans un graphe non orienteacute on dit qursquoun chemin(v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est un
Chemin de Jordan si les arecirctes qursquoil emprunte sontdistinctes deux agrave deux foralli j isin [0 k minus 1] i 6= j rArr (vi vi+1) 6= (vj vj+1)Lacet de Jordan si crsquoest un chemin de Jordan avec v0 = vkCycle de Jordan si crsquoest un lacet de Jordan et si lessommets intermeacutediaires sont distincts 2 agrave 2 foralli j isin [1 k minus 1] i 6= j rArr vi 6= vj
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Graphe euleacuterien
On dit qursquoun graphe non orienteacute est euleacuterien srsquoil existe un lacet de Jordan contenant toutes lesarecirctes du grapheSemi-euleacuterien srsquoil existe un chemin de Jordan contenanttoutes les arecirctes du graphe (mais pas de lacet de Jordan)Preacute-euleacuterien ou chinois srsquoil existe un lacet contenant aumoins une fois chacune des arecirctes du graphe
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Graphe euleacuterienTheacuteoregraveme de caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation Un graphe connexe est euleacuterien ssi tous ses sommetssont de degreacute paireUn graphe connexe est semi-euleacuterien ssi il ne contient que2 sommets de degreacute impaire
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
EuleacuterienrArr Tous les sommets ont un degreacute pairEuleacuterienrArr un lacet de Jordan qui passe par toutes lesarrecirctesEn suivant ce lacet on passe par tous les arcs une et uneseul foisOn suit ce lacet en enregistrant pour
Le sommet deacutepart lrsquoarc sortant rArr DEG + 1Les sommets intermeacutediaires lrsquoarc entrant et lrsquoarc sortant rArrDEG + 2Le sommet drsquoarriveacutee lrsquoarc entrant rArr DEG + 1
CyclerArr sommet deacutepart = sommet arriveacuteerArr DEG + 1 + 1Tous les degreacutes obtenus sont paires
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Semi-euleacuterienrArr Exactement 2 degreacutes impairsOn applique la mecircme meacutethodeSemi-euleacuterienrArr sommet deacutepart 6= sommet arriveacuteeSi un sommet nrsquoest ni le deacutepart ni le sommet drsquoarriveacutee
A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est pair
Pour le sommet de deacutepart (resp drsquoarriveacute) On fait DEG + 1 au deacutepart (resp a lrsquoarriveacutee)A chaque occurrence de ce sommet dans le chemin on faitDEG + 2Le degreacute obtenu pour ce sommet est impaireDEG=(nbOccurrences x 2) + 1
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LemmeSi tous les sommets ont un degreacute pair on peut toujourseacutetendre un chemin de Jordan vers un lacet de Jordan
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave v si u 6= v alors on a emprunter un nombre impaire arecirctes de vPuisque par hypothegravese v a un nombre paire drsquoarecirctes ilreste au moins une arrecircte qui nrsquoappartient pas au cheminde JordanDonc u 6= v rArr on peut eacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infiniOn finit donc par avoir u = vOn peut toujours eacutetendre ce chemin vers un lacet deJordan
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Tous les sommets ont un degreacute pairrArr EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le premier nrsquoa que des degreacutes pairs et il est Euleacuterien
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Graphe euleacuterienDeacutemonstration
Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
0
U
U U
U
U U
L L
L
L
L L
0
1
2
2
1
3
3
4 4
5
5
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu0 L0 u0 u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 u5 L0 u5 u0forment un lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr le graphe est Euleacuterien
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LemmeSi exactement 2 sommets u et v ont un degreacute impair onpeut toujours eacutetendre un chemin de Jordan partant de uvers un chemin de Jordan reliant u et v
PreuveSoit un chemin de Jordan de u agrave w
si w 6= v et w 6= u alors On a emprunteacute un nombre impairdrsquoarecirctes de w qui avait par hypothegravese un nombre pairdrsquoarecirctessi w=u on a emprunteacute un nombre pair drsquoarecirctes de u quiavait par hypothegravese un nombre impair drsquoarecirctes
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Dans les 2 cas il reste au moins une arecircte quinrsquoappartient pas au chemin de JordanrArr on peuteacutetendre le cheminOr il y a un nombre fini drsquoarecirctesrArr extension pas infinieOn finit donc par avoir w = v et donc chemin de Jordanreliant u et v
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2 sommets (u et v) avec un degreacute impairrArrSemi-EuleacuterienRaisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=1 il nrsquoexiste quedeux graphes DA A
seul le deuxiegraveme a deux degreacutes impairs et il estSemi-Euleacuterien
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Supposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Drsquoapregraves le lemme on peut construire un lacet de JordanLes arecirctes nrsquoappartenant pas au lacet forment descomposantes connexes
4
U
U V
U
UU
L
LL
L
LL
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2 3
4
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2 3
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Dans ces composantes tous les degreacutes sont pairsPar hypothegravese de reacutecurrence elles sont EuleacuteriennesSoit Li les lacets de Jordan les couvrant totalementu L0 u u1 L1 u1 u2 L2 u2 u3 L3 u3 u4 L4 u4 v L0 v formentun lacet de Jordan qui couvrent tout le grapherArr legraphe est Euleacuterien
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Les 7 ponts La solution
D
A
B
C
Degreacute(A)=3Degreacute(B)=5Degreacute(C)=3Degreacute(D)=3
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Les 7 ponts La solutionDes theacuteoregravemes preacuteceacutedents on peut deacuteduire que
Koumlnigsberg nrsquoest pas un graphe EuleacuterienKoumlnigsberg nrsquoest pas un graphe Semi-Euleacuterien
Il nrsquoy a pas de promenade possibleEt ce mecircme si on ne revient pas au point deacutepart
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Deacutefinition PontDans un graphe non orienteacute connexe on dit qursquounearecircte est un pont si lorsqursquoon la retire en effaccedilant lessommets devenus isoleacutes le nouveau graphe obtenunrsquoest plus connexe
V
Lrsquoarete (uv) est un pont Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
Lrsquoarete (uv) nrsquoest pas
un pont
U
V
U
V
U
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Algorithme de Fleury Fleury(graphe G)Choisir un sommet uTANT-QUE degr(u) 6= 0 FAIRE
Choisir une arecircte (uv) qui nrsquoest pas un pontEffacer (uv)SI degre(u)=0 ALORS
effacer uFIN SIu larr v
FIN TANT-QUE
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Algorithme de Fleury Liveness amp Safety
Pour deacutemontrer un algorithme il suffit de deacutemontrerdeux proprieacuteteacutes
La proprieacuteteacute de vivaciteacute Liveness laquo Il peut toujoursarriver quelque chose de bien raquoLa proprieacuteteacute de sucircreteacute Safety laquo Il nrsquoarrive jamais quelquechose de mauvais raquo
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
laquo degreacute(u) gt 0rArr on peut choisir un (uv) qui nrsquoest pasun pont raquo
Par deacutefinition srsquoil y a un pontrArr degreacute(u) gt 1Uniquement des pontsrArr au moins deux pontsSoit Ci la composante connexe au bout du pont (uvi )
Le degreacute de vi dans le graphe connexe Ci est impairDrsquoapregraves le lemme des poigneacutees de main il existe dans Ci
un autre sommet wi de degreacute impair
1
W
V
W
V
U
1 2
1
2
C
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Liveness
Que des pontsrArr au moins deux sommets de degreacuteimpairOr un graphe est euleacuterien ssi tous ses degreacutes sont pairsAu cours du parcours il ne peut y avoir en plus dusommet u qursquoau plus un autre sommet au degreacute impair(lrsquoorigine du parcours)Donc il ne peut pas y avoir plus drsquoun pont partant dusommet uPar contraposeacutee pas plus drsquoun pontrArr pas uniquementdes ponts
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Algorithme de Fleury Deacutemonstration Safety
laquo degreacute(u) = 0rArr on a parcouru toutes les arecirctes dugraphe raquo
Lrsquoalgorithme est ainsi fait qursquoagrave tout instant le graphe resteconnexeOr si un graphe connexe contient un point isoleacute crsquoest qursquoilest reacuteduit agrave cet unique point isoleacuteCela signifie que la derniegravere arecircte que lrsquoon vient drsquoeffacereacutetait aussi la derniegravere du grapheComme les arecirctes ne sont effaceacutees qursquoapregraves avoir eacuteteacuteparcourues Toutes les arecirctes du graphe on eacuteteacuteparcourues une et une seule fois
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Graphe hamiltonien
On dit qursquoun graphe non orienteacute connexe est hamiltonien srsquoil existe un cycle de Jordan contenanttoutes les sommets du graphesemi-hamiltonien srsquoil existe un chemin de Jordaneacuteleacutementaire contenant toutes les sommets du graphe(mais pas de cycle de Jordan)
Rappel Un chemin (v0 v1 v2 middot middot middot vkminus1 vk ) est eacuteleacutementaire ssiforalli j vi 6= vjUn cycle est toujours eacuteleacutementaire
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Graphe hamiltonien
Les graphes suivants sont
HamiltonienNon
Hamiltonien
Semi
Hamiltonien
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Graphe hamiltonienCaracteacuterisation
Contrairement au cas des graphes euleacuteriens on nrsquoaencore trouveacute aucune condition neacutecessaire et suffisanteassurant qursquoun graphe est hamiltonien ousemi-hamiltonienIl existe cependant de nombreux theacuteoregravemes donnantdes conditions suffisantes
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Caracteacuterisation
Theacuteoregraveme de caracteacuterisation de O Ore Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets forallu v non adjacents degreacute(u)+degreacute(v)ge nrArrLe graphe G est Hamiltonien
Rappel Un graphe est simple srsquoil ne contient pas de boucle et quedeux sommets sont relieacutes par au plus une arecircteLa proprieacuteteacute inteacuteressante drsquoun graphe simple degreacute(s) =nbVoisin(s)
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Caracteacuterisation
Corollaire de Dirac Soit G un graphe simple posseacutedant ngt2 sommets foralludegre(u) ge n2rArrLe graphe G est Hamiltonien
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
Le coloriage est une activiteacute de deacutetente reacuteserveacutee auxenfants
Pas en matheacutematiques
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Theacuteoregraveme des 4 couleurs
TheacuteoregravemeToute carte de geacuteographie est coloriable avec quatrecouleurs sans que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
Ce theacuteoregraveme pourrait appartenir aux laquo conjecturespour les nuls raquoCrsquoest agrave son apparente simpliciteacute qursquoil doit sa populariteacuteLa deacutemonstration de cette conjecture semblaitaccessible agrave Mr ToutLeMonde
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Domaines drsquoapplications
Dans la teacuteleacutephonie mobile Les questions de coloriage permettent de reacuteduire les
freacutequences drsquoeacutemissions utiliseacutees1 couleur = 1 freacutequences
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Historique La conjecture
1852 - Un cartographe anglais Francis Guthrieremarque en coloriant la carte des cantons anglais qursquoillui suffit de quatre couleurs pour que deux cantons ayantune frontiegravere commune nrsquoaient pas la mecircme couleurIl fait part de cette observation agrave son fregraverematheacutematicienFrederick Guthrie en parle agrave son professeur DeMorganPremiegravere trace eacutecrite lettre de De Morgan agrave SirHamilton1878 Arthur Cayley publie la conjecture aux laquo Socieacuteteacute matheacutematique de Londres raquolaquo Socieacuteteacute geacuteographique raquo
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Historique La conjecture
9
7
8
1
2
3
4
5
6
Deacutecoupage de lrsquoAngleterredu Pays de Gales et delrsquoEcosse avant leschangements de frontiegravereen 1974
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Historique Une preuve
1879 un avocat anglais Alfred Bray Kempe publie unedeacutemonstration du theacuteoregravemeKempe reccediloit une deacutecoration pour cette preuve1890 un avocat anglais John Heawood trouve unefaille dans la preuve de KempeIl deacutemontre alors le theacuteoregraveme pour 5 couleursIl eacutelargit le problegraveme agrave drsquoautres surfaces tore ruban Heawood est deacutecoreacute pour la restauration drsquoun chacircteau
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Historique Par la force
1971 Premiegravere tentative drsquoutilisation de la puissanceinformatique par le japonais Matsumoto1976 Kenneth Appel et Wolfgang Haken eacutetablissentenfin une preuve du theacuteoregraveme des 4 couleursLeur deacutemonstration du theacuteoregraveme se basait sur uneapproche matheacutematique conventionnelle et utilisait unordinateur dans le seul but de venir agrave bout de plus drsquounmilliard de combinaisons de calculs
Matheacutematiquement ils montrent qursquoil y a 1478configurations ineacutevitables dans une carte geacuteographiquePuis avec 1200 heures de calcul qursquoelles sont coloriables
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Theacuteorie des graphesGraphes planaires amp Le theacuteoregraveme des 4 couleurs
Historique Preuve assisteacutee
1995 Robertson Sanders Seymour et Thomasdiminuent le nombre de configurations 633 etautomatisent une partie de la deacutemonstration(laquoineacutevitabiliteacuteraquo)2005 Georges Gonthier et Benjamin Werner (INRIA)srsquoattaquent au problegraveme sous un angle diffeacuterent ilsutilisent exclusivement des outils drsquoaide agrave la preuveCoq Un outil informatique capable drsquoeffectuer et deveacuterifier la deacutemonstration eacutetape par eacutetapesrsquoaffranchissant du moindre risque drsquoerreurs deprogrammation
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Graphesplanaires amp Letheacuteoregraveme des 4couleurs
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Les limites
Ce theacuteoregraveme a ses limites Il ne doit pas y avoir de contraintes exteacuterieures sur leschoix des couleursDans la pratique ce nrsquoest pas toujours le cas
La mer et les lacs doivent ecirctre bleusCertains pays peuvent avoir des enclaves
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Theacuteoregraveme des enclaves
TheoremSi chacune des reacutegions drsquoune carte de geacuteographie estconstitueacutee de 1 ou 2 morceaux (au plus une enclave) ilest toujours possible de la colorier avec 12 couleurs defaccedilon agrave ce que deux reacutegions frontaliegraveres nrsquoaient pas lamecircme couleur
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Graphes drsquoincidencePour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION On ne considegravere pas lesfrontiegraveres reacuteduites agrave un seulpointEx Pas de frontiegravere entrele camembert laquo sport raquo etle camembert laquo art etlitteacuterature raquo
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Graphes drsquoincidence
Pour modeacuteliser ce problegraveme on peut utiliser la theacuteoriedes graphesA chaque carte on associe un graphe drsquoincidence
A chaque pays correspond un sommetA chaque frontiegravere correspond une arecircte
ATTENTION Ne pas oublier le pays laquobordure raquo
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Graphes planaires
On dit drsquoun graphe qursquoil est planaire si Srsquoil existe une repreacutesentation dans un plan de ce graphetel que les arecirctes ne srsquoentrecoupent pas
Par contre on peut toujours repreacutesenter un graphe danslrsquoespace tel que les arecirctes ne se croisent pas
Tous les sommets sont placeacutes sur lrsquoaxe ZA chaque arecircte on associe un demi-plan
A B C
A
B
C
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Identiteacute drsquoEuler
Pour tout graphe planaire connexe on a lrsquoidentiteacute drsquo Euler S-A+F =2S le nombre de sommetsA le nombre drsquoarecirctesF le nombre de faces ie le nombre de reacutegionsdeacutelimiteacutees par des arecirctes y compris la face exteacuterieure laseule agrave ne pas ecirctre borneacutee
A B C D
E F G H
S=8
A=12
F=6
SminusA+F=8minus12+6=2
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Preuve
Graphe connexe planairerArr S -A+F=2Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre drsquoarecirctes
Pour n=0 la connexiteacute impose un graphe reacuteduit agrave unsommet
A
S=1 A=0 et F=1rArr S-A+F=1ndash0+1=2
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PreuveSupposons la proposition vraie pour les graphes agraven-1 arecirctes
Soit un graphe connexe planaire agrave n arecirctes Si onsupprime 1 arecircte
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces
nminus1
S =8 A =12 F =6
S =8 A =11 F =5
n n n
nminus1 nminus1
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Preuve
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par deux faces Une seule face est non borneacuteerArr 1 de ces faces estborneacuteeLe reste du contour de cette face maintient la connexiteacuteSn = Snminus1 mais on a diminueacute An minus 1 = Anminus1 etFn minus 1 = Fnminus1Par hypothegravese de reacutecurrences on a Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = 2Snminus1 minus Anminus1 + Fnminus1 = Sn minus (An minus 1) + (Fn minus 1) =Sn minus An + Fn = 2
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Preuve (Suite)Graphe connexe planairerArr S ndash A + F = 2
B
S =8
A =11
F =5
S =4
A =5
F =3
S =4
A =5
F =3
n
n
n
A
A
A
B
B
Si lrsquoarecircte supprimeacutee est bordeacutee par une face Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrences ona SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2
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Preuve (Suite)
Alors cette face est la face exteacuterieure non borneacuteeOn obtient alors 2 composantes connexes GA et GBElles sont planaires donc par hypothegravese de reacutecurrenceson a SA minus AA + FA = 2 et SB minus AB + FB = 2On a partitionneacute les sommets SA + SB = Sn
On a supprimeacute une arecircte AA + AB = An minus 1La face exteacuterieure est commune FA + FB = Fn + 1
On a donc SA + SB minus (AA + AB) + FA + FB = 2 + 2Sn minus (An minus 1) + Fn + 1 = 4Sn minus An + Fn = 2
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Graphes non planaires
1930 le matheacutematicien polonais Kuratowski montre Tout graphe connexe non planaire contient un sous graphehomeacuteomorphe agrave lrsquoun des 2 graphes suivants
5
A
B
CD
E
A A A
B B B
1
1 2
2 3
3
K K33
Pour K33 le graphe bipartie avec deux ensembles agrave 3sommets laquo3 maisons relieacutees agrave 3 usinesraquo et pour K5 Legraphe complet agrave 5 sommets (relieacutes 2 agrave 2)
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Preuve K5
Chaque face drsquoun graphe planaire a au moins 3 coteacutes rArr A ge 3FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 6minus 3S + 3ArArr 3S minus 6 ge A
K5
S=5 et A=4+3+2+1=103x5-6lt10Nrsquoest pas planaire
K33
S=6 et A=93x6minus 6 ge 9Pourrait ecirctre planaire
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Preuve K33
Dans K33 un chemin de longueur 3 ne peut ecirctre fermeacuteLes faces du graphe K33 ne peuvent ecirctre triangulaires rArr A ge 4FSi lrsquoon considegravere lrsquoidentiteacute drsquoEuler S-A+F=2F=2-S+ArArr A ge 8minus 4S + 4ArArr 4S minus 2 ge A
K33S=6 et A=93x6-6lt9Nrsquoest pas planaire
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La remarque de Morgan
Comme K5 nrsquoest pas planaire Un graphe drsquoincidence ne peut avoir 5 sommets relieacutes 2agrave 2Une carte de geacuteographie ne peut avoir 5 paysmutuellement frontaliers
ATTENTION Cette proprieacuteteacute nrsquoest pas suffisante pour deacutemontrer letheacuteoregraveme des 4 couleursEx On peut construire une carte ougrave il nrsquoy a pas 4 paysmutuellement frontaliers et ougrave 3 couleurs ne sont passuffisantes
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Preuve de Kempe
TheoremTout graphe planaire possegravede au moins un sommet dedegreacute infeacuterieur ou eacutegal agrave 5
Preuve par lrsquoabsurde Soit G un graphe tel que foralls isin Sdeg(s) gt 5La somme des degreacutes de G est donc
sumsisinS
deg(s) ge 6S
Drsquoapregraves le lemme des poigneacutees de mains on a 2A ge 6S rArr A ge 3SOr on a vu que dans un graphe planaire on a 3S minus 6 ge ArArr 3S minus 6 ge 3S
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Preuve de Kempe
Preuve de Kempe Raisonnements par reacutecurrence sur n le nombre desommets
Pour nlt5 le reacutesultat est eacutevidentSupposons la conjecture vraie pour les graphes agrave n-1sommets
Soit G un graphe planaire avec n sommetsIl existe au moins un sommet u de G de degreacute infeacuterieur oueacutegale agrave 5
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Preuve de Kempe
Si les voisins u nrsquoutilisent que 3 couleurs dans lecoloriage de Gprime
En utilisant une couleur libre pour u on obtient un coloriagede G
Sinon on va essayer de modifier le coloriage de Gprime Si deacutegage une couleur pour u on obtiendra un coloriagede G
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Preuve de Kempe
rouge entre A et C
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
A en jaune
De proche en proche
noir jaune
jaune noir
Si D reste B=jaune
U peut devenir noir
Si D devient noir quand
A devient jaune
Il y a une chaine noir et
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Preuve de Kempe
A devient rouge
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
On va colorier
De proche en proche
U peut devenir noir
Il y a une chaine noir et
rouge entre A et C
A en rouge
noir rouge
rouge noir
Si C reste rouge Si C devient noir quand
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Preuve de Kempe
u peut devenir vert
A
BE
D C D
A
E B
U
C
E B
U
A
D C
Il y a une chaine noir
jaune entre A et D
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et rouge entre E et C
E peut devenir rouge
Il y a une chaine noir entre
et rouge entre A et C
Il nrsquoy a pas de chaine verte
et jaune entre B et D
B peut devenir jaune
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Comme K5 nrsquoest pasplanaireUn graphe drsquoincidence nepeut avoir
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en jaunedArrColorier F en noirdArrColorier H en jaunedArrColorier D en noirdArrIl y a une chaicircne noir-jauneA-F-H-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier A en rougedArrColorier G en noirdArrColorier H en rougedArrColorier C en noirdArrIl y a une chaicircne noir-rougeA-G-H-C
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier E en rougedArrColorier G en vertdArrC reste rouge
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Effet de bord Rupture de chaicircne
H
A
I
FG BE
D C
Colorier B en jaunedArrColorier F en vertdArrColorier G en jaunedArrColorier D en vertdArrIl y a une chaicircne vert-jauneB-F-G-D
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Effet de bord Rupture de chaicircne
chaine verte et jaune entre B et D
A A
E EB B
D D CC
U U
Lrsquoargument de Kempe repose sur
lrsquoexistence de deux chaines
minus noir et jaune entre A et D
minus verte et jaune entre B et D
Effet de bord possible quand
E devient rouge
une rupture dans la chaine AC
rien nrsquoempeche lrsquoexistence drsquoune
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- Parcours en largeur et Parcours en profondeur
- Graphes euleacuteriens et Graphes hamiltoniens
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