(Microsoft PowerPoint - théorie des graphes-ISL- partie1)
-
Upload
truongmien -
Category
Documents
-
view
236 -
download
5
Transcript of (Microsoft PowerPoint - théorie des graphes-ISL- partie1)
������������������������� ������ ���������������������������� ������ ���������������������������� ������ ����� ������������� ������������� ������������ ������������� ������������� ����������
���������������������������������������� � � ��������������������������������
�������������������������������������������� � �
������������������������������������
7 Défis7 Défis7 Défis7 Défis��������������������
��������������� �������������� ������������������ �������������� ���
� ������������������������������� !�!����������������� � �������������������������������
"�"���������������������
!�!�����������������
#�#�$����$����
��������������������
%�%���������%�%���������
��������������������������������������������������������������������������������
Défi nDéfi n��������11Défi nDéfi n��������11En Belgique, on ne se fait qu’une fois la bise, en, France,
��������������������la bise, en, France,
2, 3, 4 fois, cela dépend de…heu,
����
��������������� �������������� ���
� ������������������������������� dépend de…heu, bref, le nombre de personnes qui ont
� �������������������������������
"�"��������������������� personnes qui ont habité la terre et qui
ont donné un nombre impair de
!�!�����������������
#�#�$����$���� nombre impair de bises est-il pair ou
impair ?
#�#�$����$����
��������������������
��������������������������������������������������������������������������������
impair ?
ModélisationModélisationModélisationModélisation
��������������������������������������������������������������������������������
VocabulaireVocabulaireVocabulaireVocabulaireVocabulaireVocabulaireVocabulaireVocabulaire
������������� ���� �������
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�����������
�
��������������������������������������������������������������������������������
�����������
VocabulaireVocabulaireVocabulaireVocabulaireVocabulaireVocabulaireVocabulaireVocabulaire
����������
��������
�
�
�
�
�� �
�
�
��
��������������������������������������������������������������������������������
Différents types de graphesDifférents types de graphesDifférents types de graphesDifférents types de graphes
����������������������
!���"�����
��������������������������������������������������������������������������������
!���"�����
Différents types de graphesDifférents types de graphesDifférents types de graphesDifférents types de graphes
�����������
�������� ������
��������������������������������������������������������������������������������
�������� ������
Différents types de graphesDifférents types de graphesDifférents types de graphesDifférents types de graphes
�����#�������$% �����#�������1 2
2
$%
$&$
13
2
$&$�
34
4 $�1
13
��������������������������������������������������������������������������������
2 5
Différents types de graphesDifférents types de graphesDifférents types de graphesDifférents types de graphes
1 2
4
�����'�������3 4
5 6
71 2
3 43 4
5
�����#'�������#������#�#$%(&�
��������������������������������������������������������������������������������
Deux propriétésDeux propriétésDeux propriétésDeux propriétésLa somme des degrés des sommets d’un graphe est
égale à deux fois son nombre d’arêtes.égale à deux fois son nombre d’arêtes.� d(x) = 2 A
5
5
4
4
61
12
2 6
6
8
3
7 78
8
��������������������������������������������������������������������������������
33
Deux propriétésDeux propriétésDeux propriétésDeux propriétés
Le nombre de sommets de degré impaird'un graphe est pair.d'un graphe est pair.
5
5
Σd(x)=2A 4
4
6
Σd(x)=2A Σd(x)= Σdi(x)+ Σdp(x)
1
12
2 6
6
8����
3
7 78
8����
��������������������������������������������������������������������������������
33
ProblèmeProblème concretconcretProblèmeProblème concretconcret
?
��������������������������������������������������������������������������������
Défi nDéfi n��������22Défi nDéfi n��������22��������������������
Le ballon de football est un polyèdre dont
��������������������
�������������������������� est un polyèdre dont toutes les faces sont
des hexagones ou
��������������������������
��� ��� des hexagones ou pentagones réguliers.
Sans les compter,
��� ���
� �������������������������������
"�"���������������������Sans les compter, combien y a-t-il de
pentagones et d'hexagones?
"�"���������������������
!�!�����������������d'hexagones?
#�#�$����$����
��������������������
��������������������������������������������������������������������������������
��������������������
ModélisationModélisationModélisationModélisation
H HP
H H
HH
PPP
HH H
H
H
PPH
��������������������������������������������������������������������������������
Qu’est-ce qu’un graphe planaire?planaire?
1 2
1 2
33
4 54 54 5
��������������������������������������������������������������������������������
Qu’est-ce qu’un graphe planaire?planaire?
1 2
3
4 5
��������������������������������������������������������������������������������
Qu’est-ce qu’un graphe planaire?planaire?
3
6
10
14
15
27
11 13Non planaires48
11 13Non planaires1
5
9
12
16
��������������������������������������������������������������������������������
Face ou régionFace ou régionFace ou régionFace ou région
)��2
)��
6 C
1
3A B
4 54 5
��������������������������������������������������������������������������������
Formule Formule d'Eulerd'EulerFormule Formule d'Eulerd'Euler
S – A + F = 2S – A + F = 2• S = nombre de
sommets
* +�
sommets• A = nombre d'arêtes • F = nombre de faces
�
* + • F = nombre de faces
��������������������������������������������������������������������������������
�
Résolution de notre Résolution de notre problème.problème.problème.problème.
P5H6 +Nombre d'arêtes =
2P5H6 +
Nombre de sommets = 3
P5H6 +
Nombre de faces =
3
P+HNombre de faces = P+H
��������������������������������������������������������������������������������
Résolution de notre Résolution de notre problème.problème.
S – A + F = 2problème.problème.
S – A + F = 2
P5H6 +P5H6 + P+H� � �2
P5H6 +3
P5H6 + P+H� � �
�� ���� ����������������������������������������������������������������������������������
�� ���� ��
��������������������������������������������������������������
5P = 3H5P = 3H5P = 3H5P = 3H5P = 3H5P = 3H
��������������������������������������������������������������������������������
����������������
��
��������������������������������������������������������������������������������
Critères de planaritéCritères de planaritéCritères de planaritéCritères de planaritéY a-t-il un moyen de Y a-t-il un moyen de
déterminer si une représentation de graphe représentation de graphe
est celle d’un graphe planaire ?planaire ?
Graphe planaire ���� sous-graphes planaires����
sous-graphes non planaires ���� Graphe non planaireRéciproque fausse!
sous-graphes non planaires ���� Graphe non planaire
��������������������������������������������������������������������������������
Théorème admisThéorème admisThéorème admisThéorème admis
Soit G un graphe Soit G un graphe planaire et connexe avec n ����3 sommets. avec n ����3 sommets. Alors G contient au Alors G contient au plus 3n − 6 arêtes.
��������������������������������������������������������������������������������
Tout graphe acyclique Tout graphe acyclique est planaireest planaireest planaireest planaire
�� 2
1 3
6
45
��������������������������������������������������������������������������������
45
Les graphes complets Les graphes complets sont ...sont ...sont ...sont ...
�2
• Planaires jusqu'à l'ordre 4 :
13
� 2�
34
��������������������������������������������������������������������������������
1
Les graphes complets Les graphes complets sont ...sont ...sont ...sont ...
��Non planaire à partir de l'ordre 5:��Non planaire à partir de l'ordre 5:
� 4�
13 13
2 5
��������������������������������������������������������������������������������
Les graphes bipartites Les graphes bipartites complets... complets... complets... complets...
• De type K1,n sont planaires : • De type K1,n sont planaires : �
3
2
3
7
16
45
��������������������������������������������������������������������������������
Les graphes bipartites Les graphes bipartites complets ... complets ... complets ... complets ...
� ����� ��! ����� ���������"�
�3
� ����� ��!#� ����� ���������"� 12
� 3
4
�
12 56
4
��������������������������������������������������������������������������������
Les graphes bipartites... Les graphes bipartites... Les graphes bipartites Les graphes bipartites completscomplets ……
Les graphes bipartites... Les graphes bipartites... completscomplets ……
de type Kde type K3,33,3 ne sont pas planaires.ne sont pas planaires.
� 36
2 5
1 41 4
��������������������������������������������������������������������������������
Les graphes bipartites... Les graphes bipartites... Les graphes bipartites …Les graphes bipartites …Les graphes bipartites... Les graphes bipartites... Les graphes bipartites …Les graphes bipartites …
Pourtant, ses sousPourtant, ses sous--graphes le sont!graphes le sont!
� 36 4�
2
3
2 5
12 6
1 4 5
��������������������������������������������������������������������������������
ConséquenceConséquenceConséquenceConséquence
�� 36 � 4
2 5
13
1 4 2 5
��������������������������������������������������������������������������������
Pas suffisantPas suffisantPas suffisantPas suffisant
expansion 4
�
expansion 4
7 8 � 4
13
13
2 5
6 9
102 5
��������������������������������������������������������������������������������
Théorème de KuratowskiThéorème de KuratowskiThéorème de KuratowskiThéorème de Kuratowski
Un graphe fini est planaire si et seulement Un graphe fini est planaire si et seulement s'il ne contient pas de sous-graphequi soit une expansion de K5 ou K3,3
��������������������������������������������������������������������������������
Défi nDéfi n��������33Défi nDéfi n��������33��������������������
Combien de couleurs au
��������������������
��������������� �������������� ��� couleurs au minimum faut-il
pour colorer chaque pays de la
��������������� �������������� ���
� �������������������������
chaque pays de la carte d’Europe de telle sorte que 2
������
"�"���������������������telle sorte que 2 pays voisins ne soient pas de la
"�"���������������������
!�!����������������� soient pas de la même couleur ?
!�!�
#�#�$����$����
��������������������
��������������������������������������������������������������������������������
��������������������
ModélisationModélisationModélisationModélisation
��������������������������������������������������������������������������������
Coloration d’un grapheColoration d’un grapheColoration d’un grapheColoration d’un graphe
Graphe planaire
��������������������������������������������������������������������������������
ColorationColorationColorationColoration
MMO
B OB O
M
B O
O BO BR V O B
5 couleurs 3 couleurs suffisent
Coloration incorrectesuffisent incorrecte
nombre chromatique χ(G)
��������������������������������������������������������������������������������
nombre chromatique χ(G)
Nombre chromatique de Nombre chromatique de graphes complets Kgraphes complets Kgraphes complets Kgraphes complets Knn
3 χχχχ=nVoici K4χ=4χ=4
1 4
2
��������������������������������������������������������������������������������
cycle élémentaire cycle élémentaire cycle élémentaire cycle élémentaire
4 Nbre pair de sommets� χ=2
1 3
4
� χ=2
4
25
1 3
Nbre impair de sommets2
Nbre impair de sommets� χ=3
…��������������������������������������������������������������������������������
…
L’algorithme de Welsh et Powell.Powell.
�������������� $����%����&�'(�)�����* * ���+��,�� (�������* %��-$����%����&�'(�)�����* * ���+��,�� (�������* %��-
1
��������������������������������������������������������������������������������
Sommets Degrés
S1
S2�
��������������
.� ��������+�,���+��.� ��������+�,���+��
'(�)�����* * ��-'(�)�����* * ��-
S2
S3
S4 �
�
S4
S5
S6
�
�
�
S7
S8
S9
�
�
�S9
S10
S11
�
�
�S11
S12
S13
�
1 S14
S15
S16
�
�
�
��������������������������������������������������������������������������������
S16 �
Degré Sommets
8 S10������������
/�������������* * ����+��,�� (��+����/�������������* * ����+��,�� (��+����
�0��+���+�'���������+�������+�,���0��+���+�'���������+�������+�,��
8 S10
5 S6
5 S3
������������
�0��+���+�'���������+�������+�,���0��+���+�'���������+�������+�,��4 S5
4 S8
4 S154 S15
4 S9
3 S43 S4
3 S11
2 S22 S2
2 S7
2 S12
1
1 S1
1 S14
1 S16
��������������������������������������������������������������������������������
1 S16
0 S13
Degrés Sommets Couleurs
8 S10������������ 8 S10
5 S6
5 S3
������������$����%������+���'�������$����%������+���'�������
4 S5
4 S8
4 S154 S15
4 S9
3 S43 S4
3 S11
2 S2
1
2 S2
2 S7
2 S121 1 S1
1 S14
1 S16
��������������������������������������������������������������������������������
1 S16
0 S13
Voici le résultat:Voici le résultat:Voici le résultat:Voici le résultat:
��������������������������������������������������������������������������������
Théorème des Théorème des 44 couleurscouleursThéorème des Théorème des 44 couleurscouleurs
Tout graphe planaire estTout graphe planaire estcoloriable en 4 couleurs.coloriable en 4 couleurs.
��������������������������������������������������������������������������������
AutresAutres applicationsapplications dede lalacolorationcoloration dede graphesgraphes
AutresAutres applicationsapplications dede lalacolorationcoloration dede graphesgraphes
��������������������������������������������������������������������������������
Défi nDéfi n��������44Défi nDéfi n��������44��������������������
��������������� �������������� ���Est-il possible
d’aligner toutes
��������������� �������������� ���
� ������������������������������� d’aligner toutes les pièces d’un
domino en respectant la
"�"���������������������
!�!� respectant la continuité ?
!�!�����������������
#�#�$����$����#�#�$����$����
��������������������
��������������������������������������������������������������������������������
ModélisationModélisationModélisationModélisation
: sommets 0, 1, …, 6: sommets 0, 1, …, 6
: arête
��������������������������������������������������������������������������������
4�&������&�������������
1
4
4
$,
1
13
3
66 70
22
55
��������������������������������������������������������������������������������
2 5
Graphe eulérienGraphe eulérien
1 2
Graphe eulérienGraphe eulérien
'�'�� 1
12
2
3636
45 44
55
��������������������������������������������������������������������������������
Graphe eulérienGraphe eulérien
1 2
Graphe eulérienGraphe eulérien
1
12
2
3636
45
'�'�����������4
45
5
��������������������������������������������������������������������������������
'�'�����������
Léonhard Euler (1707-1783)(1707-1783)
��������������������������������������������������������������������������������
Théorème d’EulerThéorème d’EulerThéorème d’EulerThéorème d’Euler
��� ��������� ������������� �� ��������� ���������������� ���������������� ���������� ���������������� ������
������ ���������������� � �����
��������� ����� ���������� ����� �
���� ������ ��� ������������.���� ������ ��� ������������.
��������������������������������������������������������������������������������
+123 ��4 �� ���
4
4
+123 ��4 �� ���
1
13
3
4
66 70
66 7
22
55
��������������������������������������������������������������������������������
�!������0 -1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 0
�!������0 -1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 0
�!�������0 – 1 – 3 – 6 – 2 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 0
�!�������0 – 1 – 3 – 6 – 2 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 0
��������������������������������������������������������������������������������