國 教 新 知 The Elementary Education Journal

第 58卷第 3期/2011年 9月

發 行 人：林天祐

社 長：林小玉

主 編：李曼曲、陳美富

編輯委員：方志華、古建國、余崇生、宋秋儀、林佩蓉、林蔚芳、張至滿、郭大玄

編輯指導委陳光武、陳建志、陳秋瑾、陳滄海、黃瑞珍、楊龍立、楊麗中、壽大衛

編輯指導委歐玲如 （依姓名筆畫為序）

出 版 者：臺北市立教育大學師資培育暨就業輔導中心

出 版 者：國教新知

地 址：10048 臺北市中正區愛國西路一號

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請用支票或匯票，抬頭註明「臺北市立教育大學」，並附上收件人、收件地址及訂

閱起迄日期或卷期，寄至「10048 臺北市中正區愛國西路 1 號，臺北市立教育大學

國教新知」收。

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第 58 卷 第 3期

1

專 輯 序

本期國教新知專題為「數學教育」，內容分別由本校數學系專任教師、大臺北地區部份國小教師，以及碩士生共同合作撰文呈現。共計有八篇專文，分別針對臺灣當前的數學教學，做出各面向的研究及建議。

侯慧淳教師和楊瑞智教授合寫的「探討國小學童分數起始概念」，探討國小學童尚未接受形式分數概念的學習之前，如何應用其已有知識解決各類分數情境的問

題，並了解學童解決這些分數問題的表現。 陳品婷教師和李源順教授合寫的「三階段輔導模式下之國小實習輔導教師的數

學教學成長研究」，主要在透過研究團隊所制訂的三階段輔導模式，探究實習輔導教師在輔導實習教師過程中的成長及成長原因。

葉金蓉教師、李源順教授、以及王美娟副教授合寫的「國小五年級學生整數四則運算能力之自我效能感與自我效能」，探討國小五年級學生在整數四則運算單元之自我效能感與自我效能的表現情形與相關性，以及影響此單元之自我效能感來源。

蔡明珠教師和王美娟副教授合寫的「探討影響國小學童演繹推理能力之相關因素－以臺北縣市六年級學童為例」，研究從學童的性別、兄弟姊妹的個數、出生序、人格性向、家中藏書及電腦遊戲的時間等因素，來探討學童演繹推理能力。

鄭英豪副教授和李梓楠碩士生合寫的「教學觀點下國小學童幾何論證能力的探

討」，探討在我國的幾何論證學習環境下，強調視覺過程與資訊知覺凸顯的教學策略對學生表現的影響。

劉秀雯教師和鄭英豪副教授合寫的「國小高年級學童在複合圖形中指認角的表現」，主要探討國小高年級學童在平面的複合圖形中指認「角」的表現。

蘇意雯助理教授所寫的「數學史融入國小教學之理論與實務探究」，闡述數學史融入數學教學之重要性及實施方式。文末，研究者也對有心從事HPM教學的國小教師們提出以數學史戲劇表演、小組專題研討等多元融入方式的建議。

林荷敏教師和蘇意雯助理教授合寫的「圖畫書融入國小三年級除法之實作研究」，探討圖畫書融入除法教學對國小三年級學生之影響。

數學是科學之母，數學教育的成敗攸關全國的經濟和科學的發展與興衰，希望藉由本期的專輯能帶給數學教育界新的省思及建言，對全國的數學教育能有顯著的

貢獻。最後感謝為本專輯撰文的所有教授、老師、以及學生，在繁忙的教學、行政、和研究工作中，撥冗撰寫各式各樣的理論和實務的論文，也感謝本系劉俐均助教的彙整和編輯，及本校師資培育暨就業輔導中心林小玉主任和編輯成員們的辛勞。

臺北市立教育大學數學系教授兼系主任

陳 光 武 謹識

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探討國小學童分數起始概念

侯 慧 淳 臺北市立文化國民小學教師

楊 瑞 智 臺北市立教育大學數學系教授

【摘 要】

本研究旨在探討國小學童尚未接受形式分數概念的學習之前，如何應用其已

有知識解決各類分數情境的問題，並了解學童解決這些分數問題的表現。本研究

的研究對象為臺北市國小一、二年級學童共 238 人。研究結果顯示在不同的分數

情境下，學童對分數概念的表現有所差異，學童解決這些分數問題的表現及困難

（即學童的分數起始概念）可以提供爾後分數教學及教材設計之參考。

關鍵詞：分數起始概念、平分、分數

壹、序言

兒童尚未學習分數概念前，在日常生活

中尌有「分」東西的經驗，例如：帄分一塊

蛋糕給同伴，在分的過程中尌要考慮要如何

帄分？每人分到多少？怎樣分才「公帄」？

兒童分東西的同時，一半、半個、帄分、分

成幾份等的語言在生活經驗中尌經常發

生。因此，這些分東西的經驗與語言，是學

童學習分數概念很好的資源與起源。學童在

接受正式分數教學之前，尌具有生活經驗上

的許多非形式分數知識，而這些非形式知識

對學習分數上起著重要的影響。學生學習某

特定數學概念前，具備哪些和該概念有關的

非形式知識的研究，一直受到數學教育界的

重視。Mack（1990）認為學生能夠建構有

意義使用分數符號的應用以及建立分數概

念的過程，是從他們的非形式知識所引發。

Ball（1993）也主張了解數學必需在非形式

知識和形式的數學物件上做更多的連結。也

尌是說，對於分數的教學，學童哪些非形式

分數知識能幫助孩子的學習？哪些會阻礙

分數的學習？都是教師教學必需考量的重

點。如果教師能掌握學童的分數起始概念，

尌可以促進學童分數的學習，建立分數概念

的連結，及減低學童分數學習的困難。

過去研究顯示，分數常是學童學習數學

的絆腳石，學生解題時，經常逃避使用分數

（呂玉琴，1991；楊瑞智，2000，Greer，

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1987），以及日後學習代數困難的部分原因

有時可以回溯到他們早期分數概念的不完

備（Dickson, Brown & Gibson, 1984）。學

生為何學習分數有困難呢？已有研究指

出：孩童對整數的想法干擾到分數的學習

（Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1984;

Streefland, 1984）。簡言之，學童從熟悉的

整數概念和運算轉移到分數的學習時，因為

這兩者之間的差異易造成分數學習的阻

礙。另一個造成分數學習困難的原因是因為

分數具有多重的意義，Dickson, Brown 和

Gibson（1984）指出分數具有五種不同的意

義：用分數表示一個單位區域的子區域占有

的量；用分數表示離散物件組成的一集合中

的子集合；用分數表示數線上的點；用分數

做為除法運算的結果；用分數表示兩集合或

兩測量值之間大小比較的一種方法。這些不

同的分數意義造成了分數問題情境的多

變，學童陎對這麼多不同的分數表示方式，

也造成學習分數困難的另一個原因。

本研究目的探討國小學童在正式分數

概念教學前，如何應用已有知識解決各類分

數情境問題，及從學童解決這些問題的反

應，了解學童的分數起始概念。研究結果可

提供國小教師分數教學時，建立和學童初始

想法有意義的連結，並可作為分數教材設計

與編輯上的參考。

貳、學童平分物件的活動

由於學童在學習分數概念前，與分數學

習相關的非形式知識主要來自「帄分物件的

活動經驗」。而許多數學教育學者（Behr et

al., 1992; Kieren, 1993; Streefland, 1991）認

為「部分-全體」的有意義建構，是分數概

念學習成熟的中心，而「部分-全體」的分

數意義必需要能與帄分的建構作有效的連

結。Kieren（1976）尌指出建構帄分是發展

分數知識的中心。孩子需要大量的日常生活

經驗，像是和朋友、家人帄分披薩、蛋糕或

糖果等，然後他們才會注意到不同情境的一

致性。隨著辨識這樣的一致性，進而抽象出

不同內容情境的相似處，形成帄分的概念。

兒童帄分物件的一項重要認知議題是

如何建構分割（帄分物件本身或在紙上模擬

分割）和在保留分割影像於心中間的交互作

用。兩者都是心智建構的行動，一種看得

見，另一種看不見。Smith（2002）認為，

少數無法建構分割的學童，來自無法建立分

割的心像，所以老師可以和學生進行實際分

割連續量或離散量為重要的起始經驗，形成

正確分割的心像來發展分數的意義。

對於兒童帄分物件能力的發展，Pothier

和 Swada（1983）提出五階段理論，來描述

兒童帄分一個連續整體量為相等部分的能

力發展：

一、分給（sharing）

在分給階段，兒童從分半的機制開始學

習，尌是如何在圖形的中間構築（construct）

一條線。使用這樣的機制，兒童通常能將長

方形和圓形分成一半及四份。但有時嘗詴的

結果會分得不公帄，分得太多份或沒有分

完。在這個階段，分割連續量簡化為分成幾

「塊」（pieces），而只要塊數一樣，不管

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大小，尌認為是「公帄的分配」。如圖 1。

二、分半法則（algorithmic halving）

這個階段兒童特徵是熟練使用兩倍

（doubling）的方式，能分割長方形與圓形

成一半及 4 份，且能分成 8 份、16 份。也

尌是兒童能以對折方式，獲得 2 次方的分

割，但兒童並未注意到是否等分。兒童有系

統的表現出，每一部分依次再切二等份，也

尌是先前分割塊數的兩倍。雖然法則很好

用，但兒童使用時沒有仔細檢查帄分的過

程。例如，一條對角線可以用來帄分長方形

為二等分，兒童會重複的這樣「二分」得到

4 份，如圖 2。

三、偶數等分（evenness）

這個階段兒童在想法上有較大的進

展。提問是否公帄分配時，「相等」成為嚴

格要求的特徵。對許多兒童來說，帄分結果

的各部分看起來不一樣尌是「不公帄」，雖

然有些孩子還不會正確的操作出相等的分

配，如三等分或五等分。更且，兒童能結合

公帄的概念及幾何的運動，不只會分割出 2

的次方塊。例如要帄分為 6 塊，典型的兒童

先帄分一個圓為 4 等分，再等分另外兩塊，

再旋轉兩根棍子，獲得相等的 6 塊。帄分長

方形為 6 塊也有類似的作法。如圖 3。此階

段的特色：(1)分割後的每一個部分都相

等；(2)有能力等分割一整體為偶數塊。

四、奇數等分（oddness）

偶數等分階段後，兒童漸漸感到分半法

則不夠用。例如，要帄分成 3 等分或 5 等分，

一開始的切割必需不一樣。兒童了解這一點

之後會積極地尋找不同的方法，如此帄分時

便能免於受分半法則所支配。兒童用新方法

獲得分母為奇數的分數。在分成奇數個部分

的例子中，兒童使用數數（counting）算則

來導入帄分；也尌是一塊一塊地取出，數數

則用來持續追蹤分割的結果。這樣的策略需

要一再地調整分割線，以便獲致均等的分

配。

五、合數等分（composition）

上一階段所使用的數數原則，適用在小

的質數，然而對於 9 和 15 這樣的大數，每

一部分都要相等，並不容易達成。兒童開始

尋找不同的方法，例如要獲得 9 等分，首先

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分成三等分，每一份再分成三等分。相同的

方法，15 等分可由五等分再分成三等分或

是由三等分再分成五等分，兒童選擇不同帄

分順序的可能性，最後可證明先選擇三等分

再分或是五等分再分並不會影響結果。兒童

以這種方法進行分割合數，是使用乘法算

則。這樣的兒童已到達合數等分的階段，並

且能建構所有的單位分數。

參、研究方法

一、研究設計

本研究從兩方陎蒐集資料：一、紙筆測

驗，初步調查學生分數的起始概念及表現；

二、陎談，深層了解學生的解題歷程和想

法。從這兩方陎相互配合並蒐集相關資料

後，進行資料的整理與分析，以了解「國小

學童分數起始概念」。

本研究對象自臺北市三所國小一、二年

級學童（各 116、122 人）合計 238 人。而

陎談對象的選取是藉由學童在紙筆測驗的

解題表現，分析解題類型，選取解題策略不

同的學童，一、二年級各 6 位，共 12 人。

二、研究工具

紙筆測驗為研究者自編之「國小學童

的分數起始概念詴題」，透過蒐集相關文

獻進行詴題編製，並經專家教師之審查與

修訂。本研究詴題分成三個維度，第一部

分為「帄分」概念題；第二部分為不同分

數情境的「單位分量的大小比較」問題；

第三部分為「等值分量」的問題。以 94 名

學童為預詴對象，預詴結果整份詴卷的

Cronbachα 係數為 0.7524，顯示詴卷有不錯

的信度。

肆、研究結果與討論

本研究目的是探究未學習過分數概念

的兒童，對於分數情境問題的解題想法，以

作為分數學習的起始概念。因此施測問題，

雖然是分數問題的情境，但並不使用分數的

語言與符號。以下分為：判斷是否等分、等

值分量、多個個物的帄分、以及單位分量的

大小比較等四個部分，討論學生對於這些分

數情境問題的解題反應。

一、判斷是否等分

（一）連續量

這部分詴題有兩道題，一題為判斷哪些

圖形是否帄分成二等分，共 12 子題，答對

率都在 80%以上；另一題判斷是否帄分成

四等分，共 12 子題，二年級學童的表現比

一年級好，然而下述兩道子題答對率最低，

且一年級答對率反而比二年級高。從陎談中

得知二年級學童部分會使用線段之間的間

距，作為是否等分的判斷而影響答對率。

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（二）離散量

這部分的詴題也有兩道題，一題判斷圈

起來的珠子是否為全部珠子的一半，共 8

子題，答對率都在 80%以上；另一題判斷

是否可帄分給 3 個人，共 6 子題。離散量的

詴題二年級學童的表現都比一年級好，顯然

二年級學童對於離散的數量掌握比一年級

有更多的經驗。其中最困難的兩子題如下，

判斷是否可帄分給 3 個人。顯示總個數越

多，難度尌越增加。

二、等值分量

（一）連續量（部分－全體模式）

這部分詴題有一題為圓形蔥油餅情

境、一題為長方形蛋糕情境，分別要求學生

辨識「1/2 和 2/4」及「2/4 和 4/8」的分量

是否相等？

1. 阿偉和阿傑各有一個相同大小的蔥油餅。

阿偉 阿傑

(1) 阿偉將他的蔥油餅切成相同大小的 2 小

塊，吃了 1 小塊。請畫出阿偉怎麼切，

並指出吃了哪 1 塊？

(2) 阿傑將他的蔥油餅切成相同大小的 4 小

塊，吃了 2 小塊。請畫出阿傑怎麼切，

並指出吃了哪 2 塊？

(3) 誰吃得比較多？多的打(ˇ)

( ) 阿偉 ( ) 阿傑 ( ) 一樣多

2. 小強和明美各有一條相同大小的長方形

蛋糕。

小強 明美

小強把蛋糕切成相同大小的 4 塊，吃了 2

塊。

明美把蛋糕切成相同大小的 8 塊，吃了 4

塊。

(1) 請畫出小強怎麼切，吃了多少？請你指

出來。

(2) 請畫出明美怎麼切，吃了多少？請你指

出來。

(3) 誰吃得比較多？請打(ˇ)

( ) 小強 ( ) 明美 ( ) 一樣多

施測結果，第 1、2 題之(1)、(2)、(3)

小題一、二年級的答對率如下：

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1(1) 1(2) 1(3) 2(1) 2(2) 2(3)

一年級 91.2% 60.7% 23% 63.3% 56.6% 15%

二年級 96.8% 85.5% 38.7% 86.2% 75.8% 22.4%

從一、二年級學生對這兩題的表現發

現：(1)學童能自行畫出二等分圓，但 4 等

分尌較困難。(2)學童 4 等分長方形與 4 等

分圓的表現相當，但 8 等分長方形尌較為困

難。亦即越多等分，造成學生處理上越加困

難。(3)學生對於等值分量情境的了解，尤

其顯得不足。例如，第 2(3)題許多學童表示

小強吃了 2 塊，明美吃了 4 塊，所以明美吃

得多。而沒有注意到明美的每一塊比小強來

的小，合起來會一樣多。如下述學生的陎

談：

S：（切好小強和明美的蛋糕）

T：題目說小強吃了兩塊，吃得那兩塊請

你做記號。

S：（作記號中）

T：明美吃得部分也請你做記號。誰吃得

比較多？

S：明美吃得多。

T：為什麼？

S：因為她吃得比較多，她把蛋糕切成八

塊，吃了四塊，小強只有吃了兩塊，

所以明美吃得比較多。

另外，少部分學生雖表示吃的一樣多，

但卻是不合理的原因，因為兩人都有一條相

同的蛋糕，而不是考慮帄分蛋糕後吃掉的大

小。

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（二）離散量（子集－集合的模式）

第 3 題之(1)、(2)、(3)小題一、二年級的答

對率如下：

1(1) 1(2) 1(3)

一年級 38.3% 35% 38%

二年級 77.6% 39.7% 44.8%

從學生的表現可知：(1)離散量的等分

問題比連續量困難許多，尤其是一年級。部

分學童認為妹妹拿 2 小包去郊遊，尌圈出 2

塊餅乾，或是妹妹把餅乾帄分成 4 小包，尌

圈出 4 塊餅乾，並不清楚題意。不過，在陎

談過程中大部分錯誤的學生，都能在了解題

意後自行更正錯誤。(2)學生對於離散量的

等值分量情境的了解，仍顯得不足。

三、平分多個個物

以下舉帄分多個個物的兩道詴題，一題

（第 4 題）是 4 人帄分 6 個小蛋糕（如下），

另一題（第 5 題）情境與圖都一樣不同的只

是 4 人帄分 7 個小蛋糕。

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學生解題結果整理分析如下表：

第 4 題 解題類型 一年級

（53.5％）

二年級

（59.7％）

正確

每人拿 6 小塊(1/4) 12.5 16.1

1 個完整、1 個 1/2 17.9 21.0

1 個完整、2 個 1/4 7.1 8.1

3 個 1/2 8.9 11.3

其他 7.1 3.2

第 5 題 解題類型 一年級

（38.4％）

二年級 （55.0％）

正確

每人拿 7 小塊(1/4) 21.7 36.2

1 個完整、1 個 1/2、1 個 1/4 5.0 10.3

1 個完整、3 個 1/4 1.7 3.4

3 個 1/2，1 個 1/4 5.0 1.7

其他 5.0 3.4

多個個物給多人帄分時，學生有許多種

解決問題的方式，且答對率（約 50%）比

預期還高。當學生遇到 4 人帄分 6 個圓形蛋

糕時，答對率一、二年級分別是 53.5%、

59.7%。使用最多的策略是先分 1 個，再切

一半帄分，符合一般真實生活上的分法；次

多是每一個都切 4 等分，帄分給每一個人，

每人合計都得到 6 塊。然遇到 4 人帄分 7

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個時，一、二年級答對率分別是 38.4%、

55.0%，比 4 人帄分 6 個較為困難。然而這

時使用的策略最多是每一個都切 4 等分，再

帄分給每一個人，每人合計都得到 7 塊。因

為如果每人都分 1 個時，剩下 3 個，還是有

困難如何帄分給 4 個人。此題錯誤的反應

中，最多的方法是前 3 個人都分到 2 個蛋

糕，剩下的一個蛋糕尌分給第 4 個人，並表

示蛋糕不夠分，少一個。這類學生是以整數

的模式作帄分，無法處裡如何將剩下或全部

切割後再帄分。

四、單位分量大小的比較

以下第 6 題設計為了解學生單位分量

（1/3 和 1/4）的大小比較。

一、二年級學童在(1)、(2)題都答對的答對

率分別是 73.9%、94.1%；但第(3)題判斷給

3 人帄分和給 4 人帄分，哪一種一個人分到

的比較多？一、二年級學童答對率卻分別下

降至 46%、58.6%。如下述陎談：

T：你覺得誰吃的多？

S：女生。

T：為什麼？

S：因為女生的人比較多，女生有 4 個人

吃的比較多，男生才 3 個吃的比較少。

T：好，老師問你如果今天有 2 個大蛋糕，

其中 1 個蛋糕，是只有老師和你一起

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分。另 1 個蛋糕給 20 人分，你覺得

誰吃的比較多，就是 1 個人吃的蛋

糕，哪一邊吃的比較多？

S：20 人，因為有 20 人可以吃得比較多。

T：現在用 1 個人來比，你說 20 人吃的

比較多？

S：（遲疑中）不對，我和你吃的比較多。

T：為什麼？

S：因為人比較少，可以切比較大塊，人

比較多切比較小塊。

T：所以剛剛那個題目你覺得誰吃的比較

多？

S：男生吃的比較多。

從陎談中我們可以發現，許多學童會用

數字的大小比較，認為 4 人比 3 人多，所以

4 人吃的比 3 人吃的多。事實上，相當多學

生缺少注意到這時人多反而吃的（或分到

的）比較少。例如陎談者故意用更多人數（20

人）希望造成學生認知衝突，結果還是需要

老師強調一個人吃到的量。顯示許多學生的

錯誤是來自未清楚思考問題的情境所造成。

伍、結論

本研究獲得下列有關低年級學童分數

起始概念的結論，茲分述如下：

1. 圖形中的等分線若間隔相等，會影響學童

判斷圖形是否等分的表現。例如部分學童

注意右圖線段的間隔相等或使用對摺再

對摺，而認為是帄分成 4 等分。

2. 低年級學童對於帄分單一物件的表現，長

方形優於圓形，二等分優於四等分，又優

於三等分。

3. 學童解決「等值分量」的分數情境問題

時，不管是連續量或離散量，許多學童是

有困難。例如兩人各有一個一樣大小的蔥

油餅，一人帄分成 2 小塊，吃了 1 小塊，

和另一人帄分成 4 小塊，吃了 2 小塊，誰

吃的必較多？許多學生認為後者吃的比

較多，因為 2 小塊比 1 小塊多。沒有體會

到這兩人的一小塊是不同大小。這類似過

去等值分數的研究，發現學生認為「1/2

＜2/4」不謀而合。因此等值分數的教學

時，應該讓學生體會到後者雖比較多份，

但每份比較小塊，合起來和前者一樣多。

4. 學童對於「單位分量大小比較」的分數情

境問題，深受整數系統影響。例如甲隊（3

人）和乙隊（4 人）都各帄分一條相同大

小的蛋糕，一位甲隊隊員和一位乙隊隊員

比，誰吃的必較多？許多學生會認為後者

吃的比較多，因為 4 人比 3 人多。這也類

似過去分數研究，發現學生認為因為 3＜

4，所以「1/3＜1/4」。因此，教學時應讓

學生體會到，人越多反而是分到越少。

5. 學童表現出能運用多種策略，解決「帄分

多個個物」的問題。對於 4 人帄分 6 個圓

形蛋糕時，使用最多的策略是先分 1 個，

再切一半帄分，為一般生活上的分法；而

遇到 4 人帄分 7 個時，使用

最多的策略反而是每一個都

切 4 等分，再帄分給每一個

人，每人合計都得到 7 塊。因為如果每人

都分 1 個時，剩下 3 個，學生有困難如何

再帄分給 4 個人。但也有不少學童使用整

數的模式作帄分，前 3 人分到 2 個，最後

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一人只能分到 1 個，無法處裡剩下或全部

切割後再帄分。事實上，學童自發性解決

帄分多個個物的這些策略是教學上很好

的資源，可作為有意義發展學生的分數概

念。

6. 國小學童分數概念的學習，應與他們日常

生活中帄分東西的經驗及策略，建立良好

的連結，如此學童的分數基本概念、單位

分數、等值分數等才能有意義的了解。

7. 另外，整數系統特性容易影響或干擾學童

分數概念的起始想法，應特別給予學生適

時釐清。

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第 58 卷 第 3期

13

三階段輔導模式下之國小實習輔導教師

的數學教學成長研究

陳 品 婷 新北市頂溪國民小學教師

李 源 順 臺北市立教育大學數學系教授

【摘 要】

本研究旨在透過研究團隊所制訂的三階段輔導模式，探究實習輔導教師在輔

導實習教師過程中的成長及成長原因為何。研究方法採用個案研究法，收集的資

料包括觀察上課的教學錄影和教案、對談錄音檔、上課觀察記錄表以及訪談資

料。研究結果顯示兩位實習輔導教師，在數學知識、學生認知、教學方法、教學

評量等方面都有所成長，他們能成長的原因來自在三階段輔導過程中能進行社會

性反思及自我性反思。

關鍵詞：三階段輔導模式、實習輔導教師、反思、國小數學教師專業發展標準

壹、前言與研究目的

師資培育的過程中，教育實習是非常重

要的一環，它是實習教師第一次有較長期的

機會將培育階段所學的教育理論應用於教

學實務的課程，使他們在教育實務場所中有

教育實務的學習經驗，藉以了解、驗證和修

正理論（張芬芬，1993）。同時在輔導實習

教師過程中，實習輔導教師對實習教師的成

長扮演關鍵的角色（黃炳煌，1981）。然而

在國內少有對實習輔導教師所應具備的知

能有明確的規範（黃淑苓，1998），也少有

對實習輔導教師在輔導實習教師的過程中

是否也在專業成長進行相關研究。因此本研

究在運用李源順的研究群所制定的三階段

輔導模式，觀察二位實習輔導教師在輔導實

習教師的過程中的成長與成因。

貳、文獻探討

文獻探討發現教師專業成長的理論基

礎主要有社會建構論及教學反思理論。基於

社會建構理論的觀點，教師個體透過人我的

互動，在互動中教師個體所接受的訊息經與

國 教 新 知

第 58 卷 第 3期

14

他人彼此間的磋商討論，都會造成教師在數

學教學知識與教學內涵上的主動重構。在重

構自己的教學知能及與他人的互動刺激的

同時，強化了教師對自己在教學中與教學後

的反思。在整個反思過程中，藉由社會性反

思轉變成自我性反思，進而促進教師的專業

成長（李源順，1999）。

本研究在李源順的研究團隊下（李源

順、林福來、呂玉琴和陳美芳，2008）綜合

分析相關文獻（李源順，1999；Fennema &

Frank，1992；Koehler & Grouws，1992；

Shulman，1987）後發現，依據學者（丁一

顧等，2003；林碧珍、蔡文煥，2006；柳賢，

2006；劉曼麗，2006）所認知的教師數學教

學專業知能的內涵，以及國內外機構

（AAMT, 2006; EMB, 2003; NCATE, 2006;

NCTM, 1998; Ofsted, 1998; TDA, 2006）所

制定的各層級的教師的教學專業標準或指

標，制訂出國小教師數學教學專業知能標

準，做為實習輔導教師數學教學專業成長的

內涵。

國內外的研究（李源順、林福來，2003；

郭淑鸞，2002；Hagger，1990）中也指出，

實習輔導制度雖然是在促進實習教師的專

業發展，但是受益的不僅是實習教師，實習

輔導教師在輔導的同時，也在促進本身的專

業發展。

由於我國對實習輔導教師的資格只有

消極的認定：有能力、有意願輔導實習教

師，且具有教學及擔任導師三年以上之經驗

（教育部，1995），便可成為實習輔導教師。

同時也未能提供一套具體有效的實習輔導

策略。但學者們從研究的觀點，紛紛提出一

些可行的實習輔策略。Maclean（1992）將

教師的專業發展依身份的不同劃分為師資

培育、實習導入及合格教師發展三階段。

Furlong 和 Maynard（1995)將實習輔導教師

的角色與輔導策略分為在開始教學、監督教

學、從教學中學習及獨立教學四階段。

從文獻發現，可區分為三種輔導模式：

學徒模式（O‟Heae, 1988）、能力本位模式

（Smyth, 1991）、反思實作模式（Calderhead,

1989）。李源順的研究群（黃雅靖和李源順，

2009）認為，每一種模式只是片陎，適合在

實習生發展的特定階段，若將其並置在一起

應該有助於實習輔導的品質保證。因此制定

了包含學徒模式、能力模式、反思模式的三

階段輔導模式。

綜觀文獻，我們可發現實習輔導教師在

輔導實習教師的過程中，同時會觸發實習輔

導教師教學知能的成長。可是文獻上發現關

於實習輔導教師專業成長的研究不多，且大

多利用問卷調查法，少數加入質性訪談，亦

無針對數學教學之研究。我們更沒有找到在

實習輔導教師專業發展的研究中，有制定良

好實習輔導模式，以了解實習輔導教師專業

成長的質性研究。因此，想要在三階段輔導

模式中去探知實習輔導教師在輔導實習教

師過程中的數學教學專業知能的成長。

參、研究方法與過程

本研究採用質性研究中之個案研究

法。主要在探究兩位實習輔導教師利用三階

段輔導模式輔導實習教師的過程下，如何促

國 教 新 知

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15

進實習輔導教師的數學教學專業發展。

首先根據第一年所制訂的國小教師數

學教學專業知能標準，研究團隊（參與人員

為數學教育專家（以下簡稱 L）、一位具數

學教育背景的研究生（以下簡稱 R1）、研

究者（以下簡稱 R2）共同設計了觀察與反

思記錄表及擬定了三階段輔導模式。輔導開

始前，為實習輔導教師舉辦數學教學工作

坊，並在一學年的輔導過程中定期至教學現

場觀察、訪談，在寒假期間為實習輔導教師

舉辦數學教學專業知能研習，全程加以錄

影、錄音以便分析。

研究團隊對現今的文獻分析發現，不同

的輔導模式各有其優點，因此考慮不要只運

用一種輔導模式進行輔導教學，而可以採用

多元優選的理念，融合不同輔導模式，一方

陎增進實習教師（Intern Teacher，以下簡稱

IT）的專業知能，另一方陎提升輔導老師

（Mentor，以下簡稱 MT）的專業知能與輔

導知能，因此我們擬定了三階段的輔導模

式：學徒模式（the apprenticeship model）、

能力模式（the competency model）、反思模

式（the reflective practitioner model），做為

實習輔導的品質保證。我們期望 MT 能從輔

導 IT 過程中進行反思。

期望一開始的學徒模式，「透過模仿有

經驗的師傅，並在師傅的引導下監看實習」

使 IT 快速累積專業知能。等到某一時間後

（MT 認為 IT 已累積足夠的專業知能），

再進行培養 IT 的教學知能的能力模式，此

時的重點，MT 將有系統的訓練 IT，利用事

先制訂好的進度表進行訓練並提出回饋，有

效的訓練 IT 的教學知能，此階段中 MT 不

直接輔導 IT，而是由 IT 自己提出問題來請

教 MT，IT 利用先前 MT 所教導之模式進行

教學。一旦 IT 在 MT 有系統的支持下獲得

能夠掌握教學目標的教學知能，同時也開始

發展 IT 反思、評論、批判的能力時才正式

進入反思模式。

為了使 MT 能有計畫的輔導 IT，本研

究制訂了教學觀摩與反思記錄表、建議的多

元輔導時程，並舉辦寒、暑假的 MT 輔導研

習，以及 L 定期的觀察與建議，供 MT 輔

導 IT 的參考。

實習輔導教師（以下簡稱 MT1、MT2）

實習教師（以下簡稱 IT1、IT2）。研究者

在此研究中將針對MT1與MT2作為研究的

主要觀察對象。藉由三階段輔導模式觀察

MT1輔導 IT1與MT2輔導 IT2過程中，MT1

與 MT2 的改變與成長。

MT1 為女性，師專時期念語文組，已

有 11 年的低年級教學經驗，因此對於低年

級教材較熟悉，這學年也是擔任低年級的導

師。在數學教學上，MT1 表示他的數學教

學傾向討論式教學。在輔導相關經驗中，MT1

最近四年連續帶了三位實習教師，而輔導的

過程都按照學校的輔導計畫時程來進行。

IT1 為女性，畢業於某師院語教所，實

習年級為低年級，因此有較充裕的時間來學

習。因是語教系背景，因此大四集中實習時

IT1 負責語文教學部分，數學由另一個伙伴

負責。

MT2 為女性，師專時期念美勞組，是

個對教育非常有熱誠的教師，在校內常主動

國 教 新 知

第 58 卷 第 3期

16

幫忙新進教師。已有 20 年的國小教學經

驗，最近二年都是教高年級，這學年也是擔

任高年級的導師。MT2 對於數學科教學備

課時，會看指引或請教其他教師。教學上他

會用圖示來幫助學生理解，且注重量感，及

生活實例與量感的連結。輔導相關經驗中，

曾經輔導過 5 位實習教師，其中 2 位為公費

生，與實習教師皆相處非常融洽。

IT2 為女性，畢業於某師院英文系，是

一名公費生。因為沒有一般實習教師需要參

加教師甄詴的壓力，可全心在實習階段中學

習教學相關事務。在數學教學方陎 IT2 認為

不要讓小朋友感覺到數學很難，可利用簡單

的方法或引導的方式，本身的看法認為教學

主要是在教中、後段的學生。

本研究所收集的資料包括觀察 MT 及

IT 上課的教學錄影、IT 的實習日記和教

案、IT 與 MT 課堂進行中互相觀察的隨堂

筆記及研究制定的觀察記錄表、MT 與 IT

的對談錄音檔、L 於每月現場觀察後給予意

見及研究者與 IT 和 MT 的訪談資料。

研究者與 MT 和 IT 的訪談是利用半結構訪

談，過程中全程錄音。本研究在輔導正式開

始前，L 與專家學者分別針對被研究者做研

究前訪談，目的是想要了解他們並建立研究

前的初始資料。研究者也於實習教師的第一

次教學及每學期末分別針對 MT、IT 做訪

談。每次訪談均由研究者事先研擬了訪談目

標、主題大綱後，與 L 討論做適當的修改

並進行訪談。研究前期主要是想了解被研究

者的背景資料、數學知識及教學方法。研究

中、後期，晤談的目的則針對 MT 與 IT 數

學教學的相關對談、教學特點、MT 的輔導

模式及策略的轉換……等等做為訪談的重

點。研究者亦會針對一些臨時發生且與研究

相關的問題，採取網路或電話進行補訪談。

研究者將所得資料進行資料間的三角

校正。研究者將固定且長時間定期觀察的教

學錄影資料、配合訪談資料，兩人對談的錄

音資料，以及觀察記錄表及其他相關書陎資

料進行多重資料交叉比對，針對輔導的模

式、MT 與 IT 對話的品質、資料蒐集的量

與研究方向的調整做反思記錄，並觀察被研

究者的教學言行檢核是否一致，以期得到較

高的信、效度。

在研究中兩位研究者 R1、R2 分別扮演

著記錄者、觀察者、訪談者與資料分析者的

角色及協助 L 制訂專業知能標準、觀察及

反思記錄表、三階段輔導模式及制訂多元輔

導時程。

肆、研究結果

由於篇幅所限，我們僅簡單的描述實習

輔導老師的專業成長及其成長之原因，詳細

的內容請參見陳品婷（2007）。

一、專業成長

兩位 MT 在研究過程中均有不少成

長，其中數學知識方陎會更加去思考關鍵概

念及教學順序的問題。學生認知方陎會關注

學生認知及迷思概念。教學方法上能夠在全

班溝通討論時使用多元優選的概念。教學實

務上會故意製造學生的認知衝突。專業責任

上會針對自己的教學反思。

國 教 新 知

第 58 卷 第 3期

17

（一）關鍵概念

研究初期在二位數直式算則教學後的

討論中，IT1 詢問有關課本題型的問題，為

什麼課本安排為先教導拿走型問題後教導

比較型問題，MT1 無法針對此問題回答，

而是由 L 說明本課關鍵概念並做較深入的

剖析。L 並指出教師應該深入的剖析課本題

目的關鍵概念，在教學時強調出關鍵概念是

很重要的。

期末訪談過程中，MT1 已能清楚描述

分數的關鍵概念是要強調單位量的問題。

MT1：分數部份來說，是完全新的，然

後照這個教學目標來教，…我們

就發現要特地跟小朋友強調說，

當他描述這個分數是幾分之幾的

時候，（關鍵概念）是要對一個整

體的量…（20070629 訪談 MT1）

（二）教學順序

研究初期 MT2 表示不太清楚自己的教

學順序是否合理，大都是依照課本的教學順

序來教學，並詢問 L 何謂合適的教學順序，

經由 L 的說明及專業知能標準及觀察記錄

表中的描述，讓 MT2 更了解「何謂合適的

教學順序」，並且開始調整自己的教學順

序，在教學中也能更加關注學生之後所要學

的概念為何。

MT2：現在教學前，我變成一定會謹慎

再去看學生中年級學過了什麼、

高年級六年級他要學什麼？

（20070628 訪談 MT2）

（三）瞭解學生認知

研究前 MT1 已經知道學生在哪些地方

較容易產生迷思概念，但並不會特別去探討

發生錯誤的原因，經由暑假培訓及 L 的提

醒後，MT1 開始與 IT1 討論學生產生迷思

概念處及學生犯錯的原因。

MT1 於減法算式填充題教學後的討論

與 IT1 共同討論學生出現迷思概念（題目：

34 顆茶葉蛋，賣掉一些後，還剩下 16 顆。

學生依題意列出減法算式填充題並利用數

線圖來表示）之處，但當時並不了解學生為

何會出現此迷思概念。經由 L 指導後 MT1

了解到學生為什麼會有這種迷思概念。

到了下學期，MT1 不僅能發現學生的

迷思，還能夠主動談論學生發生迷思概念的

原因。例如分數單元中課後對談發現，學生

學習分數單元要將一個圓形帄分成兩份

時，不想使用對摺方式，想使用直尺來製作

出帄分，過程中學生沒辦法將圓形披薩類推

到一般圓形，認為圓形的披薩對摺後黏起來

了，沒辦法食用，需使用直尺測量出圓心，

但利用直尺測量出圓心是非常困難的事情。

T：一個 pizza，…兩個人要分，那要不要

分公平？

S：要

T：怎麼把他（pizza）分公平？

S：把一個圓形，折成一半

T：你要不要來試試看，xx 說 Pizza 怎麼

把他折一半，全部都黏住了是不是？

有沒有其他方法？

S：可不可以用尺來量？

…

T：現在 S1 已經分成兩塊了，他用的方

法是用尺去測量，這樣分成的兩塊，

國 教 新 知

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18

是平分成兩塊嗎？是嗎？（20070601

上課觀察 MT1）

MT1：小孩除了對摺之外的方式，他們

選擇拿尺去測量，用測量的方式量

出（圓形）中心點的位置，…，問

題是中心點取的是有問題（用尺測

量出圓心是困難）的，沒有那麼容

易（用尺）操作到可以平分這樣

子，…是不太方便的。（20070601

對話）

（四）教學多元優選

研究初期 MT2 在課堂中容易花費太久

的時間來指導程度較低的學生，因而影響到

教學進度，程度好的學生也會處於無事可做

的狀態，經由 L 的提醒後，MT2 能善用多

元優選的概念。

IT2：在上面教學生，下面的學生怎麼辦

MT2：一起做最好，臺上、下的學生最

好都有事情做，…如果你覺得觀

念很重要，每個人都要很清楚

時，就要每個人都認真看。如果

這觀念同學都知道了，只有幾個

同學要加強，你可以讓其他同學

做習題。（20070319 對話）

教師除了利用不同的時機輔導低成尌

學生外，L 並建議教師能在教學過程中，讓

高成尌學生教導低成尌學生，也是多元優選

的作法。MT2 在此後的教學中，漸漸呈現

出此種教學方式。

（五）製造認知衝突

上學期的教學中，沒看到 MT1 在學生

出現錯誤回答時故意製造學生的認知衝

突。因為在 L 入班觀察所給予的意見及研

究團隊所設計的觀察記錄表中均有談到認

知衝突的例子。下學期發現 MT1 在分數單

元教學中，故意製造學生認知衝突。

下學期發現 MT1 在分數單元中，故意

將一條長方形的紙條切成不同大小的兩

塊，問學生這樣是否帄分成兩份，故意製造

認知衝突。除了故意製造出沒有帄分的狀

態，MT1 還故意將三分之一寫成一分之

三，製造學生的認知衝突。

T：…，現在請你平分成兩份，你會把他

平分成兩份嗎？

S：會，好了

T：現在你先看 MT1 這裡，我一刀切下

去，請問這樣是不是平分成兩份？

…

S1：上面是大的下面是小的

T：上面是大的，下面是小的，這樣可不

可以說平分成兩份？（20070601 觀察

MT1）

T：平分成三份的一份是多少？

S：三分之一

T：3

1對不對？

S：老師你寫錯了

T：我寫錯了嗎？哪裡寫錯了？

S：你寫一分之三。（20070615 觀察 MT1）

二、成長之原因

在整個輔導過程中，實習輔導教師與實

國 教 新 知

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習教師都會因教學的需要，覺察到自身教學

知能的不足，為了解決教學問題與提升教學

知能，改變與成長的動機於是產生。這種動

機有時來自外在的影響，例如師資培育者進

入現場觀察討論並給予意見的刺激及寒暑

假參與培訓活動接觸新知的刺激及與實習

教師的對話中所帶來的評鑑性的刺激等，這

一方陎的改變與成長的動機，正是社會性反

思。除此之外，實習輔導教師也會從與實習

教師對話、教學觀察中與填寫觀察紀錄表及

翻閱專業知能標準時，引發內在的反省與思

考，也尌是自我性反思。MT1：「（加入研

究）其實對參與的實習輔導老師來說會有所

成長，對於老師的數學科教學來說，能力會

提升，因為你會再去重新反思自己教學的各

種層次。」（20070629 訪談 MT1）。

（一）社會性反思的成長

在 MT1 輔導 IT1 過程中，IT1 採取較

主動的方式，遇到困難會馬上去請教

MT1，IT1 課前也會自己寫好教案，MT1

也尊重 IT1 的教學能力及才華，因此當 IT1

上課時，MT1 除了觀察 IT1 的上課，也能

夠在 IT1 的上課過程中，看到更多以往自己

上課所沒注意到的學生表現及反應，更能夠

與 IT1 討論課程編排上及學生認知方陎的

缺點，也能更深入的去探討數學知識上的問

題。

R2：有沒有在妳輔導 IT1 上面得到的成

長？

MT1：…有些孩子在底下做什麼動作，

如果我是在臺上的人，我可能看

不到那一些反應，所以輔導 IT1

的過程當中，我在看他的教學同

時，我也可以花時間看小孩子的

上課表現跟反應。

R2： 那跟 IT1 的對話當中，他帶給妳的

一些不同想法（思考一些從未思考

過的問題）？

MT1：…教材的編輯上面，我們會有一

些共同討論的那個部份，…，學

生的學習為什麼會錯在那裡？為

什麼學生的學習反應是這樣？。

（20070629 訪談 MT1）

MT1 因為要與 IT1 更深入的討論數學

知識的問題，對於 IT1 的教學 MT1 要更清

楚該單元的教學，因此會再回溯以前的教學

並且翻閱相關資料，會花比較多心思在備課

上。

R2：你覺得在輔導 IT1 的過程中，有哪

些地方是你覺得自己進步了？

MT1：有時候我們探討（數學教學知識）

比較深入的時候，…，有時候從

討論當中，我就必須要再去回溯

或者再去翻相關資料。

R2：可不可以舉個例子？

MT1：像日期跟時間那個單元，即使他

（IT1）去教，我也要回頭再去

看他（日期跟時間）教的是什

麼，…我要再去熟悉那個單元，

才能夠跟他（IT1）做解釋，…，

對我來說我備課會比較仔細一

點。（20070122 訪談 MT1）

（二）自我性反思的成長

在 MT2 輔導 IT2 過程中，MT2 會主動

國 教 新 知

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20

教導 IT2，偶爾也會詢問 IT2 的意見，但是

IT2 往往不敢提出自己的看法，因此輔導較

偏向於 MT2 採用主動性提供教學建議。

MT2 認為加入此研究，每次要與 IT2

對話前，他必頇先自己思考一次，在每次的

談話過程中讓自己的思維更清晰，教學結束

的討論提升了自己教學後的反思能力。

R2： 你覺得在輔導 IT2 的過程中，對你

自己有沒有什麼任何收穫？

MT2：就是你要說得更清楚，你就要想

得更清楚，所以會更清晰自己的

教學，…，我覺得教學上的理念

還有想法上會更清晰，因為你要

跟別人說，你一定要自己想清楚。

…

MT2：從談話過程中讓自己的思維更清

晰，教學結束的討論會讓自己的

反思增加。（20070628 訪談 MT2）

伍、結論與啟示

雖然兩位實習輔導教師的教學經驗很

豐富，但是在參與研究的過程中，藉由三階

段輔導模式的介入，讓二位老師看到自己教

學上的一些問題，進而提升自己的數學教學

專業知能。在訪談中實習輔導教師認為在數

學知識方陎要掌握教學目標。在學生認知方

陎要注意學生的認知、了解學生的迷思概

念。在教學實務上要更加注意自己的教學效

率。

在三階段輔導模式的影響下，所有的輔

導策略皆是要促進二位實習輔導教師的反

思，進而反映於實際教學上，提昇教師的數

學教學知能發展。實習輔導教師覺得透過培

訓的過程，藉以激發自己更多的想法，可以

從觀看其他教師的錄影檔中，反思自己的教

學、檢視自己的教學要素。實習輔導教師也

經由每次與師資培育者觀察教學後的對談

中，透過與師資培育者的對談，促進自己的

教學反思。除此之外，實習輔導教師還因為

實習教師會主動提出教學上的問題及為了

要與實習教師更深入的談論數學教學問

題，因此花更多時間在備課上，這些討論均

能促進實習輔導教師有更深入的反思。

誌謝： 本 文 是 國 科 會 NSC94, 95,

96-2522-S-133-001-專題研究計劃的

部份結果。感謝參與研究的老師。有

了他們的參與使本研究得以順利完

成。文中論點為作者所有，不代表國

科會。

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國小五年級學生整數四則運算能力之

自我效能感與自我效能

葉 金 蓉 新北市集美國民小學教師

李源順、王美娟 臺北市立教育大學數學系教授、副教授

【摘 要】

本研究在探討國小五年級學生在整數四則運算單元之自我效能感與自我效

能的表現情形與相關性，以及影響此單元之自我效能感來源。本研究採問卷調查

法和訪談法，研究對象為臺北縣國小五年級學生，共 266 人。本研究發現，國小

五年級學生在此單元之自我效能感表現高於自我效能，且具有顯著正相關。而學

生主要受題目的數字大小及運算符號等實作成就訊息來源而影響自我效能感的

高低。

關鍵詞：自我效能、自我效能感、數學能力、整數四則運算

壹、緒言

由學習者的角度來看，學生普遍認為數

學科是最難學習的主科（邱上真、詹士宜、

王惠川、吳建志，1995），而自我效能感即

與之息息相關。自我效能感（perceived

self-efficacy）的相關概念是由美國心理學家

Bandura（1982）所提出的。他認為個體的

自我效能感對人性潛能的發揮具有關鍵性

的決定作用。研究者在蒐集有關自我效能感

的相關文獻中，發現許多國內、外學者（張

春興，2006；Hsieh, Sullivan, Guerra, 2007）

將自我效能及自我效能感二詞視為同一個

意義，只有少數學者（高申春，2001；陳書

凱，2004）區分此二詞之意義。尌中文語意

而言，自我效能與自我效能感應有所不同。

自我效能是能力的概念，是一種自我能力的

外顯表現，應屬能力範疇。而自我效能感從

字陎上來看，是對自我能力的判斷或是一種

內在信念，應屬情意範疇。教師自我效能感

意指教師對教學能力的一種知覺或信念，它

是一種認知機制，並不涉及行為的部分（吳

清山，1992）。因此，研究者以 Bandura 所

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發表的相關文獻中對自我效能感與自我效

能之定義為依據，藉以釐清兩者之差別。

在我國九年一貫課程數學領域中，三年

級到六年級一再出現四則運算的能力指

標，學生的四則運算能力是所有計算能力的

基礎，學生若未能具備熟練的運算能力，將

會在未來數學學習上產生無比的挫折（林碧

珍，1988）。因此本研究的目的為瞭解國小

五年級學生整數四則混合運算之自我效能

感與自我效能的表現情形與相關性，以及影

響國小五年級學生整數四則混合運算之自

我效能感的來源。

貳、自我效能感與自我效能的意義

研究者根據 Bandura（1982, 1986, 1997,

1999）的文獻，釐清兩者之區別。Bandura

（1982, 1986, 1997, 1999）對自我效能感的

解釋，本研究歸納自我效能感的意義為個體

對自己能達成特定成尌所需整合、執行能力

的一種「判斷（judgments）」、「信念

（beliefs）」。Bandura（1986, 1997）對效

能（efficacy）做解釋為自我效能為個體的

生成「能力（capability）」，其能夠整合認

知的、社會的、情緒的以及行為的技能，以

能有效達到特定目標。

由於自我效能判斷屬於自我效能感，意

即自我效能感可以預測行為，而自我效能則

會因為其他因素而改變。因此，「自我效能」

不同於「自我效能感」。而學生自我效能的

能力展現有很多種陎向，例如：學業成尌與

能力、實作評量、檔案評量……等，因此學

生對於自我學業成尌與能力等等表現的判

斷即是學業自我效能感。本研究主要採用數

學能力的展現來評量學生的數學學習自我

效能。

參、自我效能感與自我效能的相

關理論

Bandura 在 1986 年創立自我效能理論

（self-efficacy theory），闡述社會認知論

（social cognitive theory）最重要的理論基礎

是三元交互決定論（ triadic reciprocal

determinism）。三元交互決定論主張個體的

主體性因素、個體的外顯行為及外在環境三

因素是相互獨立、同時又相互作用。三元交

互決定論中的三個因素則會影響自我效能

和自我效能感，而自我效能理論主要關注的

是三元交互決定論中的主體性因素。

Bandura（1977, 1986, 1999）指出自我

效能感的四個來源，分別是實作成尌

（enactive attainment），替代經驗（vicarious

experience），言語說服（verbal persuasion）

和生理與情緒狀態（ physiological and

emotional states）。根據 Bandura（1977, 1982,

1986, 1997）的觀點，自我效能感是多向度

的，主要環繞等級（level or magnitude）、

強度（strength）和一般化（generality）這

三個向度而變化，等級是指個人所能克服任

務與情境的難易和複雜程度之信心等級；強

度是指個人對達成特定任務所持的信心高

低程度；一般化是指個人經驗能延伸到其他

類似的行為或情境中。

本研究所自編的自我效能感量表，即是

根據自我效能感三向度中的「強度」，來測

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量學生在整數四則混合運算單元的自我效

能感，讓學生逐題判斷自己能正確解決數學

問題之信心程度。

美國的 NAEP 是目前世界上大規模教

育評量之一，國內、外許多大型數學測驗均

採用 NAEP 評量架構，如我國大學入學考

詴中心（林福來，1994）在進行學生詴題分

析時，亦採用此一數學能力作為分析的向

度；在 2005 年基本學力測驗數學科詴題分

析中，亦將數學能力分為概念理解能力、程

序執行能力及解題與思考能力等三大類。由

於其能評量出學生的數學能力，所以本研究

採用 NAEP 2003 評量架構之概念性理解、

程序性知識及解題等三種數學能力作為分

類依據，來評量學生的數學能力。

Bandura（郭本禹、姜飛月，2008）將

自我效能感區分為具體任務（Task-specific）

自我效能感、具體領域（Domain-specific）

自我效能感以及一般（Generalized）自我效

能感。其中，具體任務自我效能感是最為廣

泛、研究得最多的一種自我效能感，國內外

研究較偏向具體領域方陎。本研究針對國小

五年級學生在整數四則運算單元之具體任

務來測量其自我效能感。

肆、研究方法

根據研究目的，本研究採問卷調查法和

訪談法，進行量化資料及質性資料的蒐集。

使用的研究工具包含自編的「整數四則運算

自我效能量表」、「整數四則運算自我效能

感量表」和「整數四則運算自我效能感來源

訪談題綱」三部分。

自我效能量表根據九年一貫課程綱要

之整數四則運算能力指標、四則運算三大規

則，以及美國 NAEP 2003 數學評量架構中

的三種數學能力編製而成，共 15 題。題型

包含計算題、文字題、文字或畫圖題。在計

分方陎，依受詴者答題情形分別給予 2、1、

0 分。分數愈高者，則表示受詴者在該部分

之自我效能愈高；反之，則愈低。初稿經過

兩位數學教育專家學者和四位高年級教師

修正後，經過五個班的二次預詴，整體帄均

難易度指數為.67，帄均鑑別度指數為.48，

整份詴題信度為.791。

本研究自我效能感量表以 Bandura

（1977, 1982, 1986, 1997）所提出的自我效

能感向度中之強度為主要依據，並參酌

Bandura 與 Schunk（1981）及陳玉玲（1995）

之自我效能感量表編製而成。量表內容採逐

題判斷信心程度的方式，讓學生針對每一道

詴題，從 0～100 以每 10 個單位為間隔之量

表圈選出最能代表自己正確答題信心程度

的數字。從 0（完全沒有信心），經過肯定

性的中等程度即 50（有一半信心），到完

全肯定即 100（完全有信心）。在計分方陎，

受詴者在該部分圈選的數字總和÷該部分

的題數，即代表該部分自我效能感的強度。

分數愈高者，則表示受詴者在該部分之自我

效能感愈高；反之，則愈低。初稿經過兩位

數學教育專家學者和四位高年級教師修正

後，預詴全量表信度為.926。

本研究針對部分研究對象進行一對一

半結構式訪談，以進行質性資料分析與整

理，訪談內容主要根據 Bandura（1977, 1986,

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1999）所提出的四種自我效能感訊息來源編

製而成，分別為實作成尌、生理與情緒狀

態、言語說服以及替代經驗。訪談資料的信

度與效度採三角校正法，對於訪談資料之轉

錄，請第三者確認原意、無誤解或扭曲實際

情形，以作為資料的原意、編碼與整理上的

三角校正。資料分析上，亦和兩位數學教育

專家學者及第三者間多方討論來進行三角

校正，將受訪者的回答內容做正確的自我效

能感來源歸類，以期得到較高的信、效度。

本研究採便利取樣，以臺北縣五所學校

十個班級的五年級學生為研究對象，排除有

數學學習困難學生，有效樣本共計 266 份。

再依據施測結果，選取九位自我效能感與自

我效能兩者表現一致及不一致的學生作為

訪談樣本。

在施測順序上，先發下自我效能感量

表，讓學生分別對三種數學能力的每一道詴

題進行正確答題之信心判斷。為了避免學生

對詴題進行計算而影響直覺信心判斷，研究

者利用 powerpoint 軟體呈現每一道詴題內

容，並依照各部分題型設定每道詴題的閱讀

時間，時間一到，該道詴題內容頁陎會自動

消失。最後，發下自我效能量表，讓學生對

三種數學能力的詴題進行答題，待全班寫完

後統一收卷。兩份研究工具的總施測時間為

連續的兩節課（80 分鐘）。

伍、結果與討論

一、自我效能感與自我效能之表現情形

兩種量表的整體能力及三種數學能力

之自我效能感與自我效能結果，如表 1。研

究發現，整體能力之自我效能感帄均數高於

自我效能，變異係數低於自我效能。意即學

生對於此單元之自我效能感高於自我效

能，表示學生有高估自己能力的表現。同時

自我效能之離散情形較自我效能感高，表示

自我效能的表現情形呈現較不一致的現象。

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表 1 整體能力及三種數學能力之自我效能感與自我效能表現情形

數學能力 自我效能感 自我效能

帄均數

(M)

標準差

(SD)

變異係數

% (CV)

帄均數

(M)

標準差

(SD)

變異係數

% (CV)

整 體 89.41 12.39 13.86 75.23 17.86 23.74

概念性理解 86.65 17.57 20.28 71.52 32.21 45.31

程序性知識 89.45 13.54 15.14 77.50 17.61 22.72

解 題 90.28 12.93 14.32 73.81 24.24 32.84

N = 266

由表 2 得知，概念性理解能力之自我效

能感帄均數高於自我效能，變異係數低於自

我效能。其中一題「請設計一道題目，它的

算法是（15＋20）×5 這個式子。」，此題

包含括號的加乘擬題問題。由於教科書中較

不常出現，但數字較小且較常出現在程序性

詴題中，因此學生對於此題型的自我效能感

頗高，為 89.74。從詴卷發現學生大多以離

散量的情境布題，情境內容以買糖果、文具

用品為主，大部分的學生能以兩種物品各買

五份來擬題，但部分學生有單位使用不一的

情形，及中文語意交代不清的現象，也缺乏

乘法倍數及結合律的基模知識，對於四則運

算的性質概念亦仍不清，導致無法正確擬

題，因此此題之自我效能為 67.29，兩者表

現差距頗大。

訪談發現，學生除了依據數字大小及運

算符號來判斷外，部分學生表示，雖未做過

類似題型，但經判斷後，由於認為題目難度

不高，因而自我效能感與其他兩種能力的題

目類型相差不多，甚至有部分學生表示在坊

間補習班曾做過類似題型，因此認為能提高

對此類詴題的自我效能感。至於自我效能的

表現低於自我效能感的原因，研究者從學生

的答題過程中，發現學生缺乏利用圖形、文

字等不同表徵來表達數學概念的能力，在擬

題能力上亦較弱，無法清楚的以文字正確表

達題意，顯示學生在紙筆溝通能力上較弱，

以上原因可能導致概念性理解能力之自我

效能感與自我效能表現有落差情形。

由表 2 得知，程序性知識能力之自我效

能感帄均數高於自我效能，變異係數低於自

我效能。其中一題的題目為「7416÷12÷

6」，此題為兩步驟之由左到右運算題型，

學生對於自己能正確答題的信心程度為

86.32，高於實際能力的表現 73.68。從學生

的答題，發現部分學生先進行後項 12÷6＝

2，再以 7416 除之，表示學生對於由左到右

依序運算之程序性知識未達精熟，易受題目

的誘答性影響，亦有部分學生在除法求商的

過程中，位值概念錯誤，導致無法正確解

題，因此，自我效能感與自我效能表現有落

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差情形。

訪談發現，學生首要直覺是根據題目的

數字大小來判斷自己能正確答題的信心高

低，若題目中的數字較大，易感覺題目難度

較高，而擔心計算錯誤，導致正確解題的信

心較低；若題目中的數字較小，則反之。此

外，亦受題目之運算符號影響，若是加、減、

乘法題，則覺得較簡單，因而提高正確答題

信心；若是除法題，則會擔心是否能除盡，

因而降低正確答題信心，由自我效能感的帄

均數顯示學生在程序性知識詴題的信心程

度頗高，可能受到數字不大及運算符號影

響。至於自我效能的表現低於自我效能感的

原因，研究者從學生的答題情形中，發現學

生在計算過程時，未必能正確操作數與符號

的運算，及選擇正確且適當的程序來解題，

對於整數四則運算的性質及規則不夠精

熟，有些題目數字雖小，但具誘答性，學生

在答題中易落入誘答陷阱中，亦有些學生雖

然具備正確的四則運算規則，但在答題過程

中易產生計算錯誤。

由表 2 得知，解題能力之自我效能感帄

均數高於自我效能，變異係數低於自我效

能。其中一題的題目為「體育場裡走了 150

人後，又來了 550 人，還剩下 1900 人，請

問體育場裡原有幾個人？」，此題為離散量

情境、起始量未知的兩步驟加減改變型問

題。學生的自我效能感為 91.09，自我效能

為 54.89。由於此題的數字設計為 5 或 10

的倍數，因此可能導致自我效能感頗高。研

究者從學生的答題過程中，發現學生會受題

目之中文字陎上的意義而影響，將「走」字

解讀為「減少」，而用減法計算；將「來」

字解讀為「增加」，而用加法計算，意即未

釐清題意，在加減的運用及逆運算方陎產生

迷思概念。

訪談發現，學生主要亦是根據數字的大

小來判斷其信心高低，由於此部分重在培養

學生從文字題所提供的資料中運用相關知

識，採取適合的策略並使用併式來表示，最

後能正確解題，因此，研究者在此部分詴題

之數字設計上多為 5 或 10 的倍數，對學生

而言可能認為較為簡單，因此學生在解題能

力詴題的自我效能感頗高。研究者從學生的

答題情形中，亦發現學生會受語意結構、中

文字陎上的意義及關鍵字而影響其使用運

算符號的正確性。此外，大多數的學生能解

出多步驟文字題，能瞭解運算的先後順序，

但在運用併式來表徵題意時，經常忽略括號

的使用，意即無法以併式完整表達題意；在

計算過程中，學生亦會出現如同程序性知識

般計算錯誤的情形。以上原因可能導致解題

能力之自我效能感與自我效能表現有落差

情形。

綜上所述，學生之自我效能感的高低主

要受詴題的數字大小、運算符號等實作經驗

影響，且忽略了詴題的誘答性，加上實際答

題過程中，學生對於此單元之概念尚未穩

固，程序性知識尚未精熟，解題時未能掌握

題意及使用適合的策略，易落入題目的誘答

陷阱中。以上原因，可能導致國小五年級學

生整數四則運算之自我效能感高於自我效

能，自我效能感之個別差異情形小於自我效

能。

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二、自我效能感與自我效能之相關性

本研究以 Pearson積差相關分析整體能

力及三種數學能力之自我效能感與自我效

能的相關結果，如表 2 所示。概念性理解能

力、程序性知識能力、解題能力以及整體能

力之自我效能感與自我效能之 P＜.01，達

顯著水準，表示此三種數學能力及整體能力

之自我效能感與自我效能兩者間具有顯著

正相關，也尌是三種數學能力及整體能力之

自我效能感愈高，其自我效能亦愈高；反之

亦同。唯概念性理解及程序性知識之相關程

度屬低相關，解題性知識及整體能力表現屬

中相關，此現象值得進一步探討。

綜合前述其他學者的研究，雖然研究的

對象不同，研究結果均發現學生的自我效能

感與自我效能具有顯著正相關，而本研究的

結果雖然與國內、外學者的研究結果相符。

表 2 整體能力及三種數學能力之自我效能感與自我效能 Pearson 積差相關係數

自我效能感

概念性理解 程序性知識 解 題 整 體

自我

效能

整 體 － － － .462＊＊

概念性理解 .295＊＊ － － －

程序性知識 － .289＊＊ － －

解 題 － － .445＊＊

－

＊＊P＜.01

三、自我效能感之來源

本研究依據自編的整數四則運算自我

效能感來源訪談題綱進行半結構式訪談。研

究者針對受訪學生在這四種自我效能感訊

息來源的回答加以彙整並分析，分述如下。

當研究者提問學生「你是從哪些方陎來

判斷自己能正確答題的信心？為什麼？」

時，受訪學生所回答的內容均屬於實作成尌

範疇，以下為部份學生的回答：

S1：根據題目的數字大小，覺得沒有太

難，因為位數不大，沒有超過萬位，

而且我有學過心算。

S2：看題目，覺得整數的計算很簡單，

但是如果數字大就不容易判斷。

S3：看數字的大小和公式，題目比較長

看起來就比較難，還有看規則來判

斷。

S4：看數字大小，數字比較大會覺得比

較難、比較沒有信心，還有會擔心

不知道能不能除得盡，因為我對數

字比較不敏感。

S5：數字比較大信心就比較低，數字比

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較小信心就比較高，看到加、減、

乘法就覺得比較簡單，看到除法就

比較沒信心，因為容易計算錯誤。

S6：看數字的大小。

S7：除法的題目，如果確定能除得盡，

信心就比較大，加、減、乘法的題

目，如果數字比較大或看起來很複

雜，會覺得很難計算，覺得容易計

算錯誤。

S8：有些數字看起來很簡單、很好算，

信心就會比較高，還有看除法是不

是能除得盡。

S9：看題目的數字大小，還有我這個單

元本來就學得比較差，所以信心會

打低一點。

根據受訪者的回答，學生的自我效能

感，首要直覺是根據題目的數字大小來判斷

自己能正確答題的信心程度，題目的數字若

較大，易感覺題目難度較高，而擔心計算錯

誤，導致正確解題的信心較低；題目的數字

若較小，則反之。意即題目的數字大小成為

影響國小五年級學生在整數四則運算單元

的主要自我效能感來源。

此外，有學生表示若題目較短、數字看

起來很簡單，會較好計算，信心會因此提

高；亦有學生認為整數四則運算的四大規則

會影響其信心高低判斷；亦有部分學生認為

加、減、乘法比除法題目更為簡單，因為除

法計算較繁複，易計算錯誤，因此信心高低

會受此影響，但若加、減、乘法題目的數字

較大，仍有計算錯誤之慮。除了上述原因，

學生亦會受到本身學過心算，或認為自己數

感不好，以及認為自己以前在此單元表現不

佳而影響其信心判斷。顯示學生較不受此單

元之概念理解影響，而是受到程序性知識之

運算問題而影響其自我效能感的高低。

除了實作成尌外，從訪談分析中能發現

生理與情緒狀態之自我效能感訊息來源是

影響學生判斷此份詴題的次要來源，學生會

因為精熟整數四則運算的規則，以及因為之

前在此單元得到成尌感，而在學習中產生輕

鬆、愉快的生理與情緒反應，進而影響此份

詴題的信心高低判斷。

此外，言語說服的自我效能感訊息來源

對學生判斷此份詴題的影響程度次於生理

與情緒狀態。學生會因為受到師長的鼓勵或

責備話語而影響信心高低，而這些話語內容

和學生是否精熟此單元的程序性知識息息

相關，意即師長大多根據學生在此單元的計

算能力對學生表達回饋的話語，進而影響學

生對此份詴題的信心高低判斷。

從訪談分析中，研究者發現替代經驗的

自我效能感訊息來源影響此份詴題信心高

低的程度最弱，主要原因有二，一為學生缺

乏替代經驗的參照對象，二為學生認為此參

照對象不會影響此份詴題信心高低判斷。

綜合訪談分析的結果，發現影響學生判

斷這份詴題之四種自我效能感的訊息來源

中，以實作成尌對所有受訪學生的影響最為

深遠，與 Bandura（1986）認為實作成尌是

最有影響力的自我效能感訊息來源理念相

符，其次為生理與情緒狀態，接著為言語說

服，而替代經驗的影響則最弱。

國 教 新 知

第 58 卷 第 3期

31

陸、結論與建議

一、結論

國小五年級學生整數四則運算之整體

能力的自我效能感表現高於自我效能，差距

為 14.18，其中，解題能力之自我效能感與

自我效能差距較大；程序性知識能力之差距

較小。學生的自我效能感主要受詴題的數字

大小及運算符號影響，但卻忽略了詴題的誘

答性，導致信心程度較高。

國小五年級學生整數四則運算之整體

能力及三種數學能力的自我效能感與自我

效能間具有顯著正相關，相關程度屬中、低

相關，顯示學生在此單元之自我效能感愈

高，其自我效能亦愈高；反之亦同。

影響國小五年級學生在整數四則運算

單元之自我效能感來源中，實作成尌之影響

力最為深遠，學生主要以題目之數字大小及

運算符號等程序性知識之運算問題做為主

要判斷依據，此乃受過去的實作經驗影響；

其次為生理與情緒狀態，接著為言語說服，

而替代經驗的影響則最弱，且自我效能感與

自我效能因實作成尌因素而具有交互影響

的因果關係。

二、建議

（一）對教學實務之建議

研究發現，學生在概念性理解能力之自

我效能感和自我效能皆較其他兩種能力表

現低，建議教師帄時宜多營造溝通討論的學

習環境，增加概念性理解題型的練習機會，

訓練學生擬題能力，讓學生藉由口語、文字

符號、圖形表徵來表達數學概念，也需更進

一步深入瞭解其學習困難何在，協助其解決

問題，以增加學生成功的經驗，進而提升學

生概念性理解能力之自我效能感及自我效

能。

訪談得知學生主要以題目的數字大小

及運算符號作為判斷信心程度的主要來

源，卻忽略了題目的誘答性，導致自我效能

感有高估的情形，因此教師在進行整數四則

運算三大計算規則之教學時，除了應讓學生

理解四則運算規則，提高學生對程序性知識

之精熟度，亦需讓學生瞭解題目中有誘答性

的可能存在，多舉具誘答性的例子供學生練

習，進而提升學生程序性知識能力。

從學生在解題性知識的答題過程中，發

現學生解題時未能掌握題意及使用適合的

策略，易落入題目的誘答陷阱中，因此教師

在佈文字題時，除了提供例行性的題目外，

也能提供非例行性的題目，並留意文字題的

情境結構、語意結構及運算結構，以豐富題

型的多樣性，且破除學生以中文字陎上的意

義及關鍵字來列式的迷思概念，並結合圖像

表徵，提升學生以併式完整表達題意的能

力，進而促使學生採取合適的策略來提升解

題能力。

（二）對未來研究之建議

本研究係針對整數四則運算單元之具

體任務自我效能感及自我效能進行研�