Teoria degli INSIEMI A cura Prof. Salvatore MENNITI.
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Teoria degli INSIEMI
A cura Prof. Salvatore MENNITI
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Questa presentazione può essere utilizzata come valido supporto allo studio, per studiare autonomamente le parti fondamentali dell’unità didattica.
Si propone inoltre un approfondimento sugli insiemi infiniti e alcuni paradossi che ne derivano.
Sono proposti alcuni esercizi, grazie ai quali verificare il proprio grado di preparazione e i livelli di apprendimento.
Presentazione
![Page 3: Teoria degli INSIEMI A cura Prof. Salvatore MENNITI.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081419/5542eb58497959361e8c2ab6/html5/thumbnails/3.jpg)
RAPPRESENTAZIONEPer rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi
metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amici di Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna,
Martina.
Con i diagrammi di Eulero Venn:1 AAndrea
Matteo
Marta
Anna
Martina
2
Attraverso la rappresentazione tabulare
(estensiva):
3 Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva):
A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna
A = xx è amico di Marco
Simone
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APPARTENENZA “”
A
U (insieme ambiente o universo)
a
b B
c
e
df
a A, a U, a B,
U = a; b; c; d; e; f
A = a; b; d; e; f
B = b; d
b B, b A, b U
c U, c B, c A
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SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ”B è un SOTTOINSIEME
IMPROPRIO di A
A è un SOTTOINSIEME DI U
Ogni insieme è un SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di sé stesso
A
U
a
b B
c
d
B A
A UA A, B B,…..
L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di ogni insieme
C, B, …..
C
C è un SOTTOINSIEME DI B
C B
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SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE
A
U
a
b B
c
e
df
U = a; b; c; d; e; f
A = a; b; d; e; f
B = b; d
a; b; d A
d B
b; d B
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APPARTENENZA e INCLUSIONE
INCLUSIONEAPPARTENENZA
b A
b A
L’elemento b appartiene
all’insieme A
L’insieme b è strettamente
incluso nell’insieme A
b
A
d
L’insieme d;bA
d;b Ao
d;b = A
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INSIEME COMPLEMENTARE AC
A
U
a
b
c e f
g
d
CUA =a; b; g
E’ l’insieme deglielementi di U
Che non appartengonoad A
AC= CuA= xx U e x A
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INTERSEZIONE “A B”
A
B
A B
E’ l’insieme degli elementiche appartengono sia ad A
sia a B A B = xx A e x B
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CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE
A A = A
A =
Se B A allora A B = B
A A =
A U = A
Se A B = , A e B si dicono DISGIUNTI
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UNIONE “A B”
A
B
A B
E’ l’insieme degli elementiche appartengono ad A
“o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.
A B = xx A o x B
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UNIONE di insiemi DISGIUNTI
A B
L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due
insiemi dati.
A B
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CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
A A = A
A = A
Se B A allora A B = A
A A = U
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A B A B
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l
A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l
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DIFFERENZA A - B
A
B
A - BSi tolgono ad A tutti gli elementi
che appartengono a B
E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B
E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B
A - B = xx A e x B
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DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l
A - B = a; b; cB - A = g; h; i; l
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DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.
A Ba d c b e
f
g h
l i
A - B = a; b; c
B - A = g; h; i; lA B
a d c b e
f
g h
l i
A
Ba d c b e
f
g h
l i
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CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI
A - A =
A - = A
Se A B = allora A - B = A e B - A = B
Se B A allora B - A =
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INSIEME DELLE PARTI “P(A)”
A a
c b
A = a; b; c;
a; b; c
Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI
propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica
con P(A)
I possibili SOTTOINSIEMI di A sono:
a b c a; b a; c b; c
P(A) = ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c
Gli elementi di P(A) sono INSIEMI
Se A contiene n elementi, P(A) ne contiene 2n
L’insieme delle parti di A è:
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PARTIZIONE DI UN INSIEME
A Si consideri un numero “n” di sottoinsiemi di A.
Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se:
Ai A e Ai , i
A1A2
A3A4A5
Ogni sottoinsieme è proprio
Ai Ak = con i kI sottoinsiemi sono a due a due disgiunti
A1 A2 A3 A4 A5 = AL’unione di tutti i
sottoinsiemi dà l’insieme A
1
2
3
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PRODOTTO CARTESIANO
Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B
A x B = (x;y)x A e y B
Si legge A cartesiano B
Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2
Aa
b
c
B
1
2
A x B = (a ;1), (a ;2), (b ;1),
(b ;2), (c ;1), (c ;2)
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RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi:
Aa
b
c
B
1
2
Rappresentazione SAGITTALE
1 (a;1) (b;1) (c;1)
2 (a;2) (b;2) (c;2)
B/A a b c
Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA
a b c
1
2
Rappresentazione CARTESIANA
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OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO
La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x)
Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie
A x A = A2
A x B B x A
Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “n*m” elementi.
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LE “STRANEZZE” DEGLI INSIEMI INFINITI
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Rispondi: L’insieme dei numeri pari P è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali N?
N = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..
P = 0; 2; 4; 6; 8; 10….Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni elementi di N.
Quale insieme ha più elementi? N o P?Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare, essendo P un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo punto ci si dovrà fermare, proprio come succede quando si conta il numero delle stanze della casa dove abitiamo! PROVA A CONTARE UTILIZZANDO LE DITA IL NUMERO DELLE STANZE DELLA TUA CASA!!!!
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N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..
P = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18….
Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P. Invece che contare utilizzando le dita come facciamo qualche volta, utilizziamo l’insieme N e delle frecce. Per ora trascuriamo lo zero.
A quale numero ci fermiamo????? Quanti sono gli elementi di P?? Chi ha più elementi N o P?
Abbiamo ottenuto un risultato assai strano! Dato un insieme con un numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!
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ESERCIZIO N. 1…..
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
Trova: A B C
A B C = g; h; i; l
C
m
n
A B C = d; e; f
A B C = d
A B C = e; f
Clicca sulla risposta corretta
EsercizioSuccessivo
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ESERCIZIO N. 2…..
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
Trova: C - (A B)
C - (A B) = m; n
C
m
n
C - (A B) = m; n; d
Clicca sulla risposta corretta
C - (A B) = e; f
C - (A B) = g; h; i; lEsercizio
Successivo
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ESERCIZIO N. 3…..
AB
Quale espressione rappresenta l’area
evidenziata?
C - (A B)
C
(C B) - A
Clicca sulla risposta corretta
C B
(A B) - CEsercizio
Successivo
![Page 30: Teoria degli INSIEMI A cura Prof. Salvatore MENNITI.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081419/5542eb58497959361e8c2ab6/html5/thumbnails/30.jpg)
ESERCIZIO N. 4…..
AB
Quale espressione rappresenta l’area
evidenziata?
C - (A B)
C
(C B) - A
Clicca sulla risposta corretta
C B
(A B) - CEsercizio
Successivo
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ESERCIZIO N. 5…..
AB
Quale espressione rappresenta l’area
evidenziata?
(C - (A B)) ((A B) - C)
C
(C B) - A
Clicca sulla risposta corretta
C B
(A B) - C