Questo lavoro può essere da supporto alla lezione e può essere considerato come un valido aiuto per lo studente soprattutto nell’apprendimento graduale del concetto ed è per questo motivo che ci si è preoccupati della semplicità della trattazione pur nel rispetto della correttezza logica e terminologica. L’alunno può utilizzarla per rivedere autonomamente le parti fondamentali dell’unità didattica. Sono state inoltre introdotte alcune diapositive di approfondimento sugli insiemi infiniti e i paradossi che ne derivano. Al termine sono stati proposti alcuni esercizi grazie ai quali l’alunno può autoverificare il proprio grado di preparazione.

Presentazione

CONCETTO D’INSIEME

• Nel linguaggio corrente ci sono numerose parole dal significato collettivo, per esempio, i termini comunità, folla, squadra, gregge, stormo, collezione indicano raggruppamenti di persone, di animali o di cose. Il termine corrispondente, usato in matematica è quello di insieme; gli oggetti che ne fanno parte si chiamano elementi

INSIEMI IN SENSO MATEMATICO

I QUADRATI CHE HANNO IL

PERIMETRO DI 100CM

Gli studenti della tua classe che Hanno 16 anni

I capoluoghi di Provincia della

Calabria

In matematica si considerano insiemi solo quei raggruppamenti di oggetti per cui è possibile stabilire, secondo un criterio oggettivo, se un oggetto appartiene o no a quel raggruppamento

Non sono insiemi In senso

matematico

I quadrati che hannoPerimetro

molto piccolo

Gli studenti della tua classe che

sono simpatici

I capoluoghi di Provincia più

importanti d’Italia

RAPPRESENTAZIONEPer rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo

“A” di tutti gli amici di Anna che sono: Rita, Maria, Giuseppe, Marco, Lina, Romeo.

Con i diagrammi di Eulero Venn:

1 ARita

Marco

Maria

RomeoLina

2Attraverso la

rappresentazione tabulare (estensiva):

3 Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva):

A = Maria; Rita; Marco; Giuseppe; Romeo; Lina

A = xx è amico di Anna

Giuseppe

SOTTINSIEMI• Dati due insiemi A e B si dice che B è un sottoinsieme di A se ogni

elemento di B appartiene ad A

• A= a,e,i,o,u

• B = i,o,u

e

ioa

u

AB

SOTTOINSIEMI PROPRI E IMPROPRI

• Sono sottoinsiemi impropri di UL’insieme vuoto L’intero insieme U• Si dice che U è un sottoinsiemeProprio di U se e solo seS é un sottoinsieme di Udiverso dall’insieme vuotoe dall’insieme UL’insieme vuoto è un qualsiasi insieme privo di elementi

U

consonanti

a e i o

uS

APPARTENENZA “”

A

U

a

b

B

c

e

df

a A, a U, a B,

U = a; b; c; d; e; f

A = a; b; d; e; f

B = b; d

b B, b A, b U

c U, c B, c A

SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ”B è un SOTTOINSIEME

IMPROPRIO di A

A è un SOTTOINSIEME DI U

Ogni insieme è un SOTTOINSIEME

(IMPROPRIO) di sé stesso

AU

a b

B

c

d

B A

A UA A, B B,…..

L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME

(IMPROPRIO) di ogni insieme

C, B, …..

C

C è un SOTTOINSIEME DI B

C B

SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE

A

U

a b

B

c

e

df

U = a; b; c; d; e; f

A = a; b; d; e; f

B = b; d

a; b; d A

d B

b; d B

APPARTENENZA e INCLUSIONE

INCLUSIONEAPPARTENENZA

b A

b A

L’elemento b appartiene

all’insieme A

L’insieme b è strettamente

incluso nell’insieme A

b A

d

L’insieme d;b è uguale ad A

d;b Aoppured;b = A

INSIEME COMPLEMENTARE. A

A

U

a

b

c e f

g

d

A =a; b; g

E’ l’insieme deglielementi di U

Che non appartengonoad A

A = CuA= xx U e x A

INSIEME COMPLEMENTARE. CBA

A

B

a

b

c e f

g

d

CBA =a; b; g

E’ l’insieme deglielementi di B

Che non appartengonoad A

CBA= xx B e x A

INTERSEZIONE “A B”

A

B

A B

E’ l’insieme degli elementiche appartengono sia ad A

sia a B A B = xx A e x B

CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE

A A = A

A =

Se B A allora A B = B

A A =

A U = A

Se A B = , A e B si dicono DISGIUNTI

UNIONE “A B”

A

B

A B

E’ l’insieme degli elementiche appartengono ad A

“o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.

A B = xx A o x B

UNIONE di insiemi DISGIUNTI

A B

L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due

insiemi dati.

A B

CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE

A A = A

A = A

Se B A allora A B = A

A A = U

A B A B

AB

a d

c b e

f

g

h l

i

A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l

A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

DIFFERENZA. “A - B”

A B

A - BSi tolgono ad A tutti gli elementi

che appartengono a B

E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B

E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.

AB

a d

c b e

f

g

h l

i

A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l

A - B = a; b; cB - A = g; h; i; l

DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.

A Ba d c b e

f

g h

l i

A - B = a; b; c

B - A = g; h; i; lA B

a d c b e

f

g h

l i

A

Ba d c b e

f

g h

l i

CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI

A - A =

A - = A

Se A B = allora A - B = A e B - A = B

Se B A allora B - A =

INSIEME DELLE PARTI “P(A)”

A a

c b

A = a; b; c;

a; b; c

Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI

propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica

con P(A)

I possibili SOTTOINSIEMI di A sono:

a b c a; b a; c b; c

P(A) = ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c

Gli elementi di P(A) sono INSIEMI

Se A contiene n elementi,

P(A) ne contiene 2n

L’insieme delle parti di A è:

PARTIZIONE DI UN INSIEME

A Si consideri un numero “n” di sottoinsiemi di A.

Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se:

Ai A e Ai , i

A1A2

A3A4A5

Ogni sottoinsieme è proprio

Ai Ak = con i kI sottoinsiemi sono a due a due disgiunti

A1 A2 A3 A4 A5 = AL’unione di tutti i

sottoinsiemi dà l’insieme A

1

2

3

PRODOTTO CARTESIANO

Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B

A x B = (x;y)x A e y B

Si legge A cartesiano B

Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2

A a

b

c

B1

2

A x B = (a ;1), (a ;2), (b ;1),

(b ;2), (c ;1), (c ;2)

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO

L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi:

A a

b

c

B1

2

Rappresentazione SAGITTALE

1 (a;1) (b;1) (c;1)

2 (a;2) (b;2) (c;2)

B/ A a b c

Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA

a b c

1

2

Rappresentazione CARTESIANA

OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO

La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x)

Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie

A x A = A2

A x B B x A

Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.

Rispondi: L’insieme dei numeri pari P è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali N?

N = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..

P = 0; 2; 4; 6; 8; 10….Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni elementi di N.

Quale insieme ha più elementi? N o P?

Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare essendo P un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo punto ci si dovrà fermare, invece….. Strano no!!!!! Rappresentiamo tutto cio’ graficamente (diapositiva seguente)

N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..

P = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18….

Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P., utilizziamo l’insieme N e delle frecce. Per ora trascurando lo zero.

Ci chiediamo a quale numero ci fermiamo? Quanti sono gli elementi di P? e proviamo a rispondere chi ha più elementi N o P?

Abbiamo ottenuto un risultato molto strano! Dato un insieme con un numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!

PARADOSSO DEL GRAND HOTEL DI HILBERT

• Tale paradosso inventato dal celebre matematico David Hilbert mostra alcune caratteristiche del concetto di infinito, e le differenze fra operazioni con insiemi infiniti e finiti.

• Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate, ed afferma che qualsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungeranno, sarà sempre possibile ospitarli tutti, anche se il loro numero è infinito.

• Nel caso semplice. Arriva un singolo nuovo ospite, il furbo albergatore sposterà tutti i clienti nella camera successiva, in questo modo, benchè l’albergo fosse pieno è comunque,essendo infinito, possibile sistemare il nuovo ospite.

• Un caso meno intuitivo, si ha quando arrivano infiniti nuovi ospiti. Sarebbe possibile procedere nel modo visto in precedenza, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti(già spazientiti dal precedente spostamento): sostiene Hilbert che la soluzione stà semplicemente nello spostare ogni ospite nella stanza con il numero doppio rispetto a quello attuale, lasciando ai nuovi ospiti tutte le camere con i numeri dispari, che sono essi stessi infiniti,risolvendo dunque il problema. Gli ospiti sono dunque tutti sistemati, benchè l’albergo fosse pieno

L’HOTEL DI HILBERT

1 2 3 4 5 6 7 ...

1 2 3 4 5 6 7 ...

1 2 3 4 5 6 7 ...

ESERCIZIO N. 1…..

AB

a d

c b e

f

g

h l

i

Trova: A B C

A B C = g; h; i; l

Cm

n

A B C = d; e; f

A B C = d

A B C = e; f

Clicca sulla risposta corretta

ESERCIZIO N. 2…..

AB

a d

c b e

f

g

h l

i

Trova: C - (A B)

C - (A B) = m; n

Cm

n

C - (A B) = m; n; d

Clicca sulla risposta corretta

C - (A B) = e; f

C - (A B) = g; h; i; lEsercizio

SuccessivoSoluzione

ESERCIZIO N. 3…..

AB

Quale espressione rappresenta l’area

evidenziata?

C - (A B)

C

(C B) - A

Clicca sulla risposta corretta

C B

(A B) - CEsercizio

Successivo

ESERCIZIO N. 4…..

AB

Quale espressione rappresenta l’area

evidenziata?

C - (A B)

C

(C B) - A

Clicca sulla risposta corretta

C B

(A B) - CEsercizio

Successivo

ESERCIZIO N. 5

AB

Quale espressione rappresenta l’area

evidenziata?

(C - (A B)) ((A B) - C)

C

(C B) - A

Clicca sulla risposta corretta

C B

(A B) - CEsercizio

Successivo

SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2…..

AB

a d

c b e

f

g

h l

i

Trova: C - (A B) Cm

n

Torna all’esercizio

Un clic del mouse per avanzare passo-

passo

Si tolgono a C gli elementi di A B

Soluzione = m; n

Ritorna alla diapositivaprecedente

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